Solusyonan natin ang problema. Mayroon kaming dalawang uri ng cookies. Ang iba ay tsokolate at ang iba ay plain. Mayroong 48 na piraso ng tsokolate, at 36 na simple. Kinakailangang gawin ang maximum na posibleng bilang ng mga regalo mula sa mga cookies na ito, at lahat ng mga ito ay dapat gamitin.
Una, isulat natin ang lahat ng mga divisors ng bawat isa sa dalawang numerong ito, dahil ang parehong mga numerong ito ay dapat na mahahati sa bilang ng mga regalo.
Nakukuha namin
- 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
- 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Hanapin natin sa mga divisors ang mga karaniwang mayroon ang una at pangalawang numero.
Ang mga karaniwang divisors ay magiging: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Ang pinakamalaking common divisor sa lahat ay 12. Ang numerong ito ay tinatawag na greatest common divisor ng 36 at 48.
Batay sa resulta, maaari nating tapusin na 12 regalo ang maaaring gawin mula sa lahat ng cookies. Ang isang ganoong regalo ay maglalaman ng 4 na chocolate cookies at 3 regular na cookies.
Paghahanap ng Pinakamahusay na Karaniwang Divisor
- Ang pinakamalaking natural na bilang kung saan ang dalawang numero a at b ay nahahati nang walang natitira ay tinatawag na pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong ito.
Minsan ginagamit ang pagdadaglat na GCD upang paikliin ang entry.
Ang ilang mga pares ng mga numero ay may isa bilang kanilang pinakamalaking karaniwang divisor. Ang mga naturang numero ay tinatawag mga numero ng coprime. Halimbawa, ang mga numero 24 at 35. Magkaroon ng GCD =1.
Paano mahahanap ang pinakadakilang karaniwang divisor
Upang mahanap ang pinakadakilang karaniwang divisor, hindi kinakailangang isulat ang lahat ng mga divisors ng mga numerong ito.
Maaari mong gawin kung hindi man. Una, i-factor ang parehong numero sa prime factor.
- 48 = 2*2*2*2*3,
- 36 = 2*2*3*3.
Ngayon, mula sa mga kadahilanan na kasama sa pagpapalawak ng unang numero, tinanggal namin ang lahat ng hindi kasama sa pagpapalawak ng pangalawang numero. Sa aming kaso, ito ay dalawang deuces.
- 48 = 2*2*2*2*3 ,
- 36 = 2*2*3 *3.
Nananatili ang mga salik 2, 2 at 3. Ang kanilang produkto ay 12. Ang bilang na ito ang magiging pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong 48 at 36.
Ang panuntunang ito ay maaaring palawigin sa kaso ng tatlo, apat, at iba pa. numero.
Pangkalahatang pamamaraan para sa paghahanap ng pinakamalaking karaniwang divisor
- 1. I-decompose ang mga numero sa prime factors.
- 2. Mula sa mga salik na kasama sa pagpapalawak ng isa sa mga bilang na ito, ekis ang mga hindi kasama sa pagpapalawak ng iba pang mga numero.
- 3. Kalkulahin ang produkto ng natitirang mga salik.
Ang paghahanap ng pinakamalaking karaniwang divisor ng tatlo o higit pang mga numero ay maaaring bawasan sa sunud-sunod na paghahanap ng gcd ng dalawang numero. Nabanggit namin ito nang pinag-aaralan ang mga katangian ng GCD. Doon namin binuo at pinatunayan ang teorama: ang pinakadakilang karaniwang divisor ng ilang mga numero a 1 , a 2 , …, a k ay katumbas ng bilang dk, na matatagpuan sa sequential na pagkalkula GCD(a 1 , a 2)=d 2, GCD(d 2 , a 3)=d 3, GCD(d 3 , a 4)=d 4, …,GCD(d k-1 , a k)=d k.
Tingnan natin kung ano ang hitsura ng proseso ng paghahanap ng GCD ng ilang numero sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa solusyon ng halimbawa.
Halimbawa.
Hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng apat na numero 78 , 294 , 570 at 36 .
Desisyon.
Sa halimbawang ito a 1 =78, a2=294, isang 3 \u003d 570, a4=36.
Una, gamit ang Euclid algorithm, tinutukoy namin ang pinakamalaking karaniwang divisor d2 unang dalawang numero 78 at 294 . Kapag naghahati, nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay 294=78 3+60; 78=60 1+18;60=18 3+6 at 18=6 3. kaya, d 2 \u003d GCD (78, 294) \u003d 6.
Ngayon kalkulahin natin d 3 \u003d GCD (d 2, isang 3) \u003d GCD (6, 570). Gamitin natin muli ang algorithm ng Euclid: 570=6 95, samakatuwid, d 3 \u003d GCD (6, 570) \u003d 6.
Ito ay nananatiling kalkulahin d 4 \u003d GCD (d 3, a 4) \u003d GCD (6, 36). Bilang 36 hinati ng 6 , pagkatapos d 4 \u003d GCD (6, 36) \u003d 6.
Kaya ang pinakamalaking karaniwang divisor ng apat na ibinigay na mga numero ay d4=6, ibig sabihin, gcd(78, 294, 570, 36)=6.
Sagot:
gcd(78, 294, 570, 36)=6.
Nagbibigay-daan din sa iyo ang pag-decompose ng mga numero sa prime factor na kalkulahin ang GCD ng tatlo o higit pang mga numero. Sa kasong ito, ang pinakamalaking karaniwang divisor ay makikita bilang produkto ng lahat ng karaniwang prime factor ng mga ibinigay na numero.
Halimbawa.
Kalkulahin ang GCD ng mga numero mula sa nakaraang halimbawa gamit ang kanilang mga prime factorization.
Desisyon.
I-decompose natin ang mga numero 78 , 294 , 570 at 36 sa pangunahing mga kadahilanan, nakukuha namin 78=2 3 13,294=2 3 7 7, 570=2 3 5 19, 36=2 2 3 3. Ang karaniwang mga pangunahing kadahilanan ng lahat ng ibinigay na apat na numero ay ang mga numero 2 at 3 . Kaya naman, GCD(78, 294, 570, 36)=2 3=6.
Sagot:
gcd(78, 294, 570, 36)=6.
Ibabaw ng Pahina
Paghahanap ng gcd ng mga negatibong numero
Kung ang isa, ilan o lahat ng mga numero na ang pinakamalaking divisor ay makikita ay mga negatibong numero, ang kanilang gcd ay katumbas ng pinakamalaking karaniwang divisor ng mga module ng mga numerong ito. Ito ay dahil sa magkasalungat na numero a at -a ay may parehong mga divisors, na tinalakay namin kapag pinag-aaralan ang mga katangian ng divisibility.
Halimbawa.
Hanapin ang gcd ng mga negatibong integer −231 at −140 .
Desisyon.
Ang ganap na halaga ng isang numero −231 katumbas 231 , at ang modulus ng numero −140 katumbas 140 , at gcd(−231, −140)=gcd(231, 140). Ang algorithm ng Euclid ay nagbibigay sa amin ng mga sumusunod na pagkakapantay-pantay: 231=140 1+91; 140=91 1+49; 91=49 1+42; 49=42 1+7 at 42=7 6. Kaya naman, gcd(231, 140)=7. Pagkatapos ay ang nais na pinakamalaking karaniwang divisor ng mga negatibong numero −231 at −140 katumbas 7 .
Sagot:
GCD(−231,−140)=7.
Halimbawa.
Tukuyin ang gcd ng tatlong numero −585 , 81 at −189 .
Desisyon.
Kapag nahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor, ang mga negatibong numero ay maaaring mapalitan ng kanilang mga ganap na halaga, iyon ay, gcd(−585, 81, −189)=gcd(585, 81, 189). Mga pagpapalawak ng numero 585 , 81 at 189 sa pangunahing mga kadahilanan ay, ayon sa pagkakabanggit, ng anyo 585=3 3 5 13, 81=3 3 3 3 at 189=3 3 3 7. Ang karaniwang mga pangunahing kadahilanan ng tatlong numerong ito ay 3 at 3 . Pagkatapos GCD(585, 81, 189)=3 3=9, samakatuwid, gcd(−585, 81, −189)=9.
Sagot:
gcd(−585, 81, −189)=9.
35. Mga ugat ng isang polynomial. Ang teorama ni Bezout. (33 at pataas)
36. Maramihang mga ugat, criterion ng multiplicity ng ugat.
Ngunit maraming natural na numero ang pantay na nahahati ng iba pang natural na numero.
Halimbawa:
Ang bilang na 12 ay nahahati ng 1, ng 2, ng 3, ng 4, ng 6, ng 12;
Ang bilang na 36 ay nahahati ng 1, ng 2, ng 3, ng 4, ng 6, ng 12, ng 18, ng 36.
Ang mga numero kung saan ang numero ay nahahati (para sa 12 ito ay 1, 2, 3, 4, 6 at 12) ay tinatawag mga divisors ng numero. Divisor ng isang natural na numero a ay ang natural na numero na naghahati sa ibinigay na numero a walang bakas. Ang isang natural na numero na may higit sa dalawang mga kadahilanan ay tinatawag pinagsama-sama. Tandaan na ang mga numero 12 at 36 ay may mga karaniwang divisors. Ito ang mga numero: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ang pinakamalaking divisor ng mga numerong ito ay 12.
Karaniwang divisor ng dalawang ibinigay na numero a at b ay ang bilang kung saan ang parehong ibinigay na mga numero ay nahahati nang walang natitira a at b. Common Divisor of Multiple Numbers (GCD) ay ang bilang na nagsisilbing divisor para sa bawat isa sa kanila.
Sa madaling sabi ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero a at b ay nakasulat tulad nito:
Halimbawa: gcd (12; 36) = 12.
Ang mga divisors ng mga numero sa talaan ng solusyon ay tinutukoy ng isang malaking titik na "D".
Halimbawa:
gcd (7; 9) = 1
Ang mga numero 7 at 9 ay mayroon lamang isang karaniwang divisor - ang numero 1. Ang mga naturang numero ay tinatawag coprimechi slam.
Mga numero ng koprime ay mga natural na numero na mayroon lamang isang karaniwang divisor - ang numero 1. Ang kanilang gcd ay 1.
Greatest Common Divisor (GCD), mga katangian.
- Pangunahing ari-arian: pinakamalaking karaniwang divisor m at n ay nahahati ng anumang karaniwang divisor ng mga numerong ito. Halimbawa: para sa mga numero 12 at 18 ang pinakamalaking karaniwang divisor ay 6; ito ay nahahati ng lahat ng karaniwang divisors ng mga numerong ito: 1, 2, 3, 6.
- Corollary 1: set ng mga karaniwang divisors m at n tumutugma sa hanay ng mga divisors gcd( m, n).
- Corollary 2: set ng common multiples m at n tumutugma sa hanay ng maraming LCM ( m, n).
Nangangahulugan ito, sa partikular, na upang mabawasan ang isang fraction sa isang hindi mababawasan na anyo, kinakailangan na hatiin ang numerator at denominator nito sa kanilang gcd.
- Pinakamahusay na Common Divisor of Numbers m at n ay maaaring tukuyin bilang ang pinakamaliit na positibong elemento ng hanay ng lahat ng kanilang mga linear na kumbinasyon:
at samakatuwid ay kumakatawan bilang isang linear na kumbinasyon ng mga numero m at n:
Ang ratio na ito ay tinatawag Ang ratio ni Bezout, at ang mga coefficient u at v — bezout coefficients. Ang mga koepisyent ng Bézout ay mahusay na nakalkula ng pinahabang Euclid algorithm. Ang pahayag na ito ay pangkalahatan sa mga hanay ng mga natural na numero - ang kahulugan nito ay ang subgroup ng pangkat na nabuo ng set ay paikot at nabuo ng isang elemento: gcd ( a 1 , a 2 , … , isang n).
Pagkalkula ng pinakamalaking karaniwang divisor (gcd).
Ang mga mahusay na paraan upang kalkulahin ang gcd ng dalawang numero ay Ang algorithm ni Euclid at binaryalgorithm. Bilang karagdagan, ang halaga ng GCD ( m,n) ay madaling makalkula kung ang canonical expansion ng mga numero ay kilala m at n para sa mga pangunahing kadahilanan:
kung saan ang mga natatanging prime at at ay mga di-negatibong integer (maaaring zero ang mga ito kung ang kaukulang prime ay wala sa pagpapalawak). Tapos gcd ( m,n) at LCM ( m,n) ay ipinahayag ng mga formula:
Kung mayroong higit sa dalawang numero: , ang kanilang GCD ay makikita ayon sa sumusunod na algorithm:
- ito ang gustong GCD.
Gayundin, upang mahanap pinakamalaking karaniwang divisor, maaari mong i-decompose ang bawat isa sa mga ibinigay na numero sa prime factor. Pagkatapos ay isulat nang hiwalay ang mga salik lamang na kasama sa lahat ng ibinigay na numero. Pagkatapos ay pinarami namin ang mga numerong nakasulat sa kanilang mga sarili - ang resulta ng pagpaparami ay ang pinakamalaking karaniwang divisor .
Suriin natin ang pagkalkula ng pinakamalaking karaniwang divisor hakbang-hakbang:
1. I-decompose ang mga divisors ng mga numero sa prime factor:
Maginhawang isinusulat ang mga kalkulasyon gamit ang isang vertical bar. Sa kaliwa ng linya, isulat muna ang dibidendo, sa kanan - ang divisor. Karagdagan sa kaliwang hanay isinulat namin ang mga halaga ng pribado. Ipaliwanag natin kaagad sa isang halimbawa. I-factor natin ang mga numerong 28 at 64 sa prime factor.
2. Sinalungguhitan namin ang parehong pangunahing mga kadahilanan sa parehong mga numero:
28 = 2 . 2 . 7
64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2
3. Hinahanap namin ang produkto ng magkaparehong prime factor at isulat ang sagot:
GCD (28; 64) = 2. 2 = 4
Sagot: GCD (28; 64) = 4
Maaari mong ayusin ang lokasyon ng GCD sa dalawang paraan: sa isang column (tulad ng ginawa sa itaas) o "sa isang linya."
Ang unang paraan ng pagsulat ng GCD:
Hanapin ang GCD 48 at 36.
GCD (48; 36) = 2 . 2. 3 = 12
Ang pangalawang paraan ng pagsulat ng GCD:
Ngayon, isulat natin ang solusyon sa paghahanap ng GCD sa isang linya. Hanapin ang GCD 10 at 15.
D(10) = (1, 2, 5, 10)
D(15) = (1, 3, 5, 15)
D(10, 15) = (1, 5)
Pinakamahusay na Common Divisor
Kahulugan 2
Kung ang isang natural na numerong a ay nahahati sa natural na bilang na $b$, kung gayon ang $b$ ay tinatawag na divisor ng $a$, at ang bilang na $a$ ay tinatawag na multiple ng $b$.
Hayaang maging natural na mga numero ang $a$ at $b$. Ang numerong $c$ ay tinatawag na karaniwang divisor para sa parehong $a$ at $b$.
Ang hanay ng mga karaniwang divisors ng mga numerong $a$ at $b$ ay may hangganan, dahil wala sa mga divisors na ito ang maaaring mas malaki sa $a$. Nangangahulugan ito na sa mga divisor na ito ay mayroong pinakamalaki, na tinatawag na pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong $a$ at $b$, at ang notasyon ay ginagamit upang tukuyin ito:
$gcd \ (a;b) \ o \ D \ (a;b)$
Upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numero:
- Hanapin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na pinakamalaking karaniwang divisor.
Halimbawa 1
Hanapin ang gcd ng mga numerong $121$ at $132.$
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Piliin ang mga numerong kasama sa pagpapalawak ng mga numerong ito
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Hanapin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na pinakamalaking karaniwang divisor.
$gcd=2\cdot 11=22$
Halimbawa 2
Hanapin ang GCD ng mga monomial na $63$ at $81$.
Mahahanap namin ayon sa ipinakita na algorithm. Para dito:
I-decompose natin ang mga numero sa prime factors
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Pinipili namin ang mga numero na kasama sa pagpapalawak ng mga numerong ito
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Hanapin natin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na pinakamalaking karaniwang divisor.
$gcd=3\cdot 3=9$
Mahahanap mo ang GCD ng dalawang numero sa ibang paraan, gamit ang hanay ng mga divisors ng mga numero.
Halimbawa 3
Hanapin ang gcd ng mga numerong $48$ at $60$.
Desisyon:
Hanapin ang hanay ng mga divisors na $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Ngayon, hanapin natin ang hanay ng mga divisors na $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$
Hanapin natin ang intersection ng mga set na ito: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - tutukuyin ng set na ito ang set ng mga common divisors ng mga numero $48$ at $60 $. Ang pinakamalaking elemento sa set na ito ay ang bilang na $12$. Kaya ang pinakamalaking karaniwang divisor ng $48$ at $60$ ay $12$.
Kahulugan ng NOC
Kahulugan 3
karaniwang maramihan ng mga natural na numero Ang $a$ at $b$ ay isang natural na numero na isang multiple ng parehong $a$ at $b$.
Ang mga karaniwang multiple ng mga numero ay mga numero na nahahati sa orihinal na walang nalalabi. Halimbawa, para sa mga numerong $25$ at $50$, ang mga karaniwang multiple ay ang mga numerong $50,100,150,200$, atbp.
Ang least common multiple ay tatawagin na least common multiple at tinutukoy ng LCM$(a;b)$ o K$(a;b).$
Upang mahanap ang LCM ng dalawang numero, kailangan mo:
- I-decompose ang mga numero sa prime factor
- Isulat ang mga salik na bahagi ng unang numero at idagdag sa kanila ang mga salik na bahagi ng pangalawa at huwag pumunta sa una
Halimbawa 4
Hanapin ang LCM ng mga numerong $99$ at $77$.
Mahahanap namin ayon sa ipinakita na algorithm. Para dito
I-decompose ang mga numero sa prime factor
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Isulat ang mga salik na kasama sa una
idagdag sa kanila ang mga salik na bahagi ng pangalawa at huwag pumunta sa una
Hanapin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na hindi bababa sa karaniwang maramihang
$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Ang pag-compile ng mga listahan ng mga divisors ng mga numero ay kadalasang napakatagal. Mayroong isang paraan upang mahanap ang GCD na tinatawag na Euclid's algorithm.
Mga pahayag kung saan nakabatay ang algorithm ni Euclid:
Kung ang $a$ at $b$ ay mga natural na numero, at ang $a\vdots b$, kung gayon ang $D(a;b)=b$
Kung ang $a$ at $b$ ay mga natural na numero tulad ng $b
Gamit ang $D(a;b)= D(a-b;b)$, maaari nating sunud-sunod na bawasan ang mga numerong isinasaalang-alang hanggang sa maabot natin ang isang pares ng mga numero upang ang isa sa mga ito ay mahahati ng isa. Kung gayon ang mas maliit sa mga numerong ito ay ang nais na pinakamalaking karaniwang divisor para sa mga numerong $a$ at $b$.
Mga katangian ng GCD at LCM
- Anumang common multiple ng $a$ at $b$ ay nahahati ng K$(a;b)$
- Kung $a\vdots b$ , kung gayon K$(a;b)=a$
Kung K$(a;b)=k$ at $m$-natural na numero, kung gayon ang K$(am;bm)=km$
Kung ang $d$ ay karaniwang divisor para sa $a$ at $b$, kung gayon ang K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
Kung ang $a\vdots c$ at $b\vdots c$ , ang $\frac(ab)(c)$ ay isang common multiple ng $a$ at $b$
Para sa anumang natural na bilang na $a$ at $b$ ang pagkakapantay-pantay
$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$
Anumang karaniwang divisor ng $a$ at $b$ ay isang divisor ng $D(a;b)$
Ang artikulong ito ay nakatuon sa isang katanungan tulad ng paghahanap ng pinakadakilang karaniwang divisor. Una, ipapaliwanag namin kung ano ito, at magbigay ng ilang mga halimbawa, ipakilala ang mga kahulugan ng pinakadakilang karaniwang divisor ng 2, 3 o higit pang mga numero, pagkatapos nito ay tatalakayin natin ang mga pangkalahatang katangian ng konseptong ito at patunayan ang mga ito.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ano ang mga karaniwang divisors
Upang maunawaan kung ano ang pinakadakilang karaniwang divisor, bumalangkas muna kami kung ano ang karaniwang divisor para sa mga integer.
Sa artikulo sa mga multiple at divisors, sinabi namin na ang isang integer ay palaging may maraming divisors. Dito kami ay interesado sa mga divisors ng isang tiyak na bilang ng mga integer nang sabay-sabay, lalo na karaniwan (magkapareho) para sa lahat. Isulat natin ang pangunahing kahulugan.
Kahulugan 1
Ang karaniwang divisor ng ilang integer ay isang numero na maaaring maging divisor ng bawat numero mula sa tinukoy na set.
Halimbawa 1
Narito ang mga halimbawa ng naturang divisor: ang triple ay magiging isang karaniwang divisor para sa mga numero - 12 at 9, dahil ang mga pagkakapantay-pantay na 9 = 3 · 3 at − 12 = 3 · (− 4) ay totoo. Ang mga numero 3 at - 12 ay may iba pang karaniwang divisors, tulad ng 1 , - 1 at - 3 . Kumuha tayo ng isa pang halimbawa. Ang apat na integer 3 , − 11 , − 8 at 19 ay magkakaroon ng dalawang karaniwang divisors: 1 at - 1 .
Dahil alam ang mga katangian ng divisibility, masasabi nating ang anumang integer ay maaaring hatiin ng isa at minus one, na nangangahulugan na ang anumang hanay ng mga integer ay magkakaroon na ng hindi bababa sa dalawang karaniwang divisors.
Tandaan din na kung mayroon tayong isang karaniwang divisor para sa ilang mga numero b, kung gayon ang parehong mga numero ay maaaring hatiin sa kabaligtaran na numero, iyon ay, sa pamamagitan ng - b. Sa prinsipyo, maaari lamang tayong kumuha ng mga positibong divisors, at ang lahat ng karaniwang divisors ay mas malaki rin sa 0 . Ang diskarte na ito ay maaari ding gamitin, ngunit ang mga negatibong numero ay hindi dapat ganap na balewalain.
Ano ang pinakamalaking karaniwang divisor (gcd)
Ayon sa mga katangian ng divisibility, kung ang b ay isang divisor ng isang integer a na hindi katumbas ng 0, kung gayon ang modulus ng b ay hindi maaaring mas malaki kaysa sa modulus ng a, kaya ang anumang numero na hindi katumbas ng 0 ay may hangganan na bilang ng mga divisors . Nangangahulugan ito na ang bilang ng mga karaniwang divisors ng ilang mga integer, kahit isa sa mga ito ay naiiba sa zero, ay magiging may hangganan din, at mula sa kanilang buong hanay ay maaari nating palaging piliin ang pinakamalaking bilang (napag-usapan na natin ang tungkol sa konsepto ng pinakamalaki at pinakamaliit na integer, ipinapayo namin sa iyo na ulitin ang ibinigay na materyal).
Sa karagdagang pangangatwiran, ipagpalagay namin na hindi bababa sa isa sa hanay ng mga numero kung saan kailangan mong hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor ay magiging iba sa 0 . Kung lahat sila ay katumbas ng 0 , kung gayon ang kanilang divisor ay maaaring maging anumang integer, at dahil walang hanggan ang marami sa kanila, hindi natin mapipili ang pinakamalaki. Sa madaling salita, imposibleng mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor para sa hanay ng mga numero na katumbas ng 0 .
Dumaan kami sa pagbabalangkas ng pangunahing kahulugan.
Kahulugan 2
Ang pinakamalaking karaniwang divisor ng maraming numero ay ang pinakamalaking integer na naghahati sa lahat ng mga numerong iyon.
Sa pagsulat, ang pinakamalaking karaniwang divisor ay kadalasang tinutukoy ng pagdadaglat na GCD. Para sa dalawang numero, maaari itong isulat bilang gcd (a, b) .
Halimbawa 2
Ano ang isang halimbawa ng GCD para sa dalawang integer? Halimbawa, para sa 6 at - 15 ito ay magiging 3 . Patunayan natin ito. Una, isusulat namin ang lahat ng mga divisors ng anim: ± 6, ± 3, ± 1, at pagkatapos ay lahat ng divisors ng labinlimang: ± 15, ± 5, ± 3 at ± 1. Pagkatapos nito, pipili kami ng mga karaniwan: ito ay − 3 , − 1 , 1 at 3 . Sa mga ito, kailangan mong piliin ang pinakamalaking bilang. Ito ay magiging 3 .
Para sa tatlo o higit pang mga numero, ang kahulugan ng pinakamalaking karaniwang divisor ay magiging magkapareho.
Kahulugan 3
Ang pinakamalaking karaniwang divisor ng tatlo o higit pang mga numero ay ang pinakamalaking integer na naghahati sa lahat ng mga numerong iyon nang sabay-sabay.
Para sa mga numerong a 1 , a 2 , … , a n ang divisor ay maginhawang tinutukoy bilang GCD (a 1 , a 2 , … , a n) . Ang halaga ng divisor mismo ay nakasulat bilang GCD (a 1 , a 2 , … , a n) = b .
Halimbawa 3
Narito ang mga halimbawa ng pinakamalaking karaniwang divisor ng ilang integer: 12 , - 8 , 52 , 16 . Ito ay magiging katumbas ng apat, na nangangahulugang maaari nating isulat na gcd (12, - 8, 52, 16) = 4.
Maaari mong suriin ang kawastuhan ng pahayag na ito sa pamamagitan ng pagsusulat ng lahat ng mga divisors ng mga numerong ito at pagkatapos ay piliin ang pinakamalaki sa kanila.
Sa pagsasagawa, madalas may mga kaso kapag ang pinakamalaking karaniwang divisor ay katumbas ng isa sa mga numero. Nangyayari ito kapag ang lahat ng iba pang mga numero ay maaaring hatiin sa isang ibinigay na numero (sa unang talata ng artikulo na ibinigay namin ang patunay ng pahayag na ito).
Halimbawa 4
Kaya, ang pinakadakilang karaniwang divisor ng mga numero 60, 15 at - 45 ay 15, dahil ang labinlimang ay nahahati hindi lamang sa pamamagitan ng 60 at - 45, kundi pati na rin sa sarili nito, at walang mas malaking divisor para sa lahat ng mga numerong ito.
Ang mga numero ng Coprime ay isang espesyal na kaso. Ang mga ito ay mga integer na may pinakamalaking karaniwang divisor na 1 .
Mga pangunahing katangian ng algorithm ng GCD at Euclid
Ang pinakamalaking karaniwang divisor ay may ilang mga katangian ng katangian. Binubalangkas namin ang mga ito sa anyo ng mga theorems at patunayan ang bawat isa sa kanila.
Tandaan na ang mga pag-aari na ito ay binuo para sa mga integer na mas malaki sa zero, at itinuturing lang namin ang mga positibong divisors.
Kahulugan 4
Ang mga numerong a at b ay may pinakamalaking karaniwang divisor na katumbas ng gcd para sa b at a , ibig sabihin, gcd (a , b) = gcd (b , a) . Ang pagpapalit ng mga lugar ng mga numero ay hindi makakaapekto sa huling resulta.
Ang property na ito ay sumusunod sa mismong kahulugan ng GCD at hindi nangangailangan ng patunay.
Kahulugan 5
Kung ang numero a ay maaaring hatiin ng numero b, ang hanay ng mga karaniwang divisors ng dalawang numerong ito ay magiging katulad ng set ng mga divisors ng numero b, iyon ay, gcd (a, b) = b.
Patunayan natin ang pahayag na ito.
Patunay 1
Kung ang mga numero a at b ay may mga karaniwang divisors, kung gayon ang alinman sa mga ito ay maaaring hatiin ng mga ito. Kasabay nito, kung ang a ay isang multiple ng b, kung gayon ang anumang divisor ng b ay magiging isang divisor din ng a , dahil ang divisibility ay may katangiang tulad ng transitivity. Kaya, ang anumang divisor b ay magiging karaniwan para sa mga numerong a at b. Ito ay nagpapatunay na kung maaari nating hatiin ang a sa b , kung gayon ang hanay ng lahat ng mga divisors ng parehong mga numero ay tumutugma sa hanay ng mga divisors ng isang numero b. At dahil ang pinakamalaking divisor ng anumang numero ay ang numero mismo, kung gayon ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong a at b ay magiging katumbas din ng b, i.e. gcd(a, b) = b. Kung a = b , pagkatapos ay gcd (a , b) = gcd (a , a) = gcd (b , b) = a = b , hal. gcd (132 , 132) = 132 .
Gamit ang property na ito, mahahanap natin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numero kung ang isa sa mga ito ay maaaring hatiin ng isa. Ang nasabing divisor ay katumbas ng isa sa dalawang numerong ito kung saan maaaring hatiin ang pangalawang numero. Halimbawa, ang gcd (8, 24) = 8, dahil ang 24 ay multiple ng walo.
Depinisyon 6 Patunay 2
Subukan nating patunayan ang ari-arian na ito. Sa una ay mayroon tayong pagkakapantay-pantay na a = b q + c , at anumang karaniwang divisor ng a at b ay hahatiin din ang c , na ipinaliwanag ng kaukulang divisibility property. Samakatuwid, ang anumang karaniwang divisor ng b at c ay hahatiin ang a . Nangangahulugan ito na ang hanay ng mga karaniwang divisors a at b ay mag-tutugma sa hanay ng mga divisors b at c, kasama ang pinakamalaki sa kanila, na nangangahulugan na ang pagkakapantay-pantay na gcd (a, b) = gcd (b, c) ay totoo.
Kahulugan 7
Ang sumusunod na katangian ay tinatawag na Euclid algorithm. Gamit ito, maaari mong kalkulahin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numero, pati na rin patunayan ang iba pang mga katangian ng GCD.
Bago bumalangkas ng ari-arian, ipinapayo namin sa iyo na ulitin ang teorama na pinatunayan namin sa artikulo sa paghahati na may natitira. Ayon dito, ang divisible number a ay maaaring katawanin bilang b q + r, at narito ang b ay isang divisor, q ay ilang integer (tinatawag din itong hindi kumpletong quotient), at ang r ay isang natitira na nakakatugon sa kondisyon 0 ≤ r ≤ b.
Sabihin nating mayroon tayong dalawang integer na mas malaki sa 0 kung saan ang mga sumusunod na pagkakapantay ay magiging totoo:
a = b q 1 + r 1 , 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1
Ang mga pagkakapantay-pantay na ito ay nagtatapos kapag ang r k + 1 ay naging katumbas ng 0 . Tiyak na mangyayari ito, dahil ang sequence b > r 1 > r 2 > r 3 , … ay isang serye ng mga bumababang integer, na maaaring magsama lamang ng isang may hangganang bilang ng mga ito. Samakatuwid, ang r k ay ang pinakamalaking karaniwang divisor ng a at b , ibig sabihin, r k = gcd (a , b) .
Una sa lahat, kailangan nating patunayan na ang r k ay isang karaniwang divisor ng mga numerong a at b, at pagkatapos nito, ang r k ay hindi lamang isang divisor, ngunit ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang ibinigay na mga numero.
Tingnan natin ang listahan ng mga pagkakapantay-pantay sa itaas, mula sa ibaba hanggang sa itaas. Ayon sa huling pagkakapantay-pantay,
Ang r k − 1 ay maaaring hatiin ng r k . Batay sa katotohanang ito, pati na rin ang naunang napatunayang pag-aari ng pinakadakilang karaniwang divisor, maaaring pagtalunan na ang r k − 2 ay maaaring hatiin ng r k , dahil
Ang r k − 1 ay nahahati sa r k at ang r k ay nahahati sa r k .
Ang ikatlong pagkakapantay-pantay mula sa ibaba ay nagpapahintulot sa amin na tapusin na ang r k − 3 ay maaaring hatiin ng r k , at iba pa. Ang pangalawa mula sa ibaba ay ang b ay nahahati ng r k , at ang una ay ang a ay nahahati ng r k . Mula sa lahat ng ito napagpasyahan namin na ang r k ay isang karaniwang divisor ng a at b .
Ngayon patunayan natin na r k = gcd (a , b) . Ano ang kailangan kong gawin? Ipakita na ang anumang karaniwang divisor ng a at b ay maghahati sa r k . Tukuyin natin ito r 0 .
Tingnan natin ang parehong listahan ng mga pagkakapantay-pantay, ngunit mula sa itaas hanggang sa ibaba. Batay sa nakaraang pag-aari, maaari nating tapusin na ang r 1 ay nahahati sa r 0, na nangangahulugang ayon sa pangalawang pagkakapantay-pantay, ang r 2 ay nahahati sa r 0. Bumaba tayo sa lahat ng pagkakapantay-pantay at mula sa huli ay napagpasyahan natin na ang r k ay nahahati sa r 0 . Samakatuwid, r k = gcd (a , b) .
Sa pagsasaalang-alang sa property na ito, napagpasyahan namin na ang hanay ng mga karaniwang divisors ng a at b ay katulad ng set ng mga divisors ng gcd ng mga numerong ito. Ang pahayag na ito, na isang kinahinatnan ng algorithm ng Euclid, ay magbibigay-daan sa amin na kalkulahin ang lahat ng mga karaniwang divisors ng dalawang ibinigay na numero.
Lumipat tayo sa iba pang mga pag-aari.
Kahulugan 8
Kung ang a at b ay mga integer na hindi katumbas ng 0, dapat mayroong dalawa pang integer na u 0 at v 0 kung saan magiging wasto ang equality gcd (a , b) = a u 0 + b v 0.
Ang pagkakapantay-pantay na ibinigay sa pahayag ng ari-arian ay isang linear na representasyon ng pinakamalaking karaniwang divisor ng a at b . Ito ay tinatawag na Bezout ratio, at ang mga numerong u 0 at v 0 ay tinatawag na Bezout coefficients.
Patunay 3
Patunayan natin ang ari-arian na ito. Isinulat namin ang pagkakasunud-sunod ng mga pagkakapantay-pantay ayon sa Euclid algorithm:
a = b q 1 + r 1 , 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1
Ang unang pagkakapantay-pantay ay nagsasabi sa atin na r 1 = a − b · q 1 . Ipahiwatig ang 1 = s 1 at − q 1 = t 1 at muling isulat ang pagkakapantay-pantay na ito bilang r 1 = s 1 · a + t 1 · b . Dito ang mga numerong s 1 at t 1 ay magiging integer. Ang pangalawang pagkakapantay-pantay ay nagbibigay-daan sa amin upang tapusin na r 2 = b − r 1 q 2 = b − (s 1 a + t 1 b) q 2 = − s 1 q 2 a + (1 − t 1 q 2) b . Ipahiwatig ang − s 1 q 2 = s 2 at 1 − t 1 q 2 = t 2 at muling isulat ang pagkakapantay-pantay bilang r 2 = s 2 a + t 2 b , kung saan ang s 2 at t 2 ay magiging mga integer din. Ito ay dahil ang kabuuan ng mga integer, ang kanilang produkto at pagkakaiba ay mga integer din. Sa eksaktong parehong paraan, nakukuha natin mula sa ikatlong pagkakapantay-pantay r 3 = s 3 · a + t 3 · b , mula sa sumusunod na r 4 = s 4 · a + t 4 · b, atbp. Sa wakas, napagpasyahan namin na r k = s k a + t k b para sa mga integer s k at t k . Dahil r k \u003d GCD (a, b) , tinutukoy namin ang s k \u003d u 0 at t k \u003d v 0. Bilang resulta, makakakuha tayo ng linear na representasyon ng GCD sa kinakailangang anyo: GCD (a, b) \u003d a u 0 + b v 0.
Kahulugan 9
gcd (m a, m b) = m gcd (a, b) para sa anumang natural na halaga m.
Patunay 4
Maaaring bigyang-katwiran ang ari-arian na ito bilang mga sumusunod. I-multiply sa bilang m magkabilang panig ng bawat pagkakapantay-pantay sa Euclid algorithm at makuha natin na gcd (m a , m b) = m r k , at r k ay gcd (a , b) . Kaya, gcd (m a, m b) = m gcd (a, b) . Ito ang pag-aari ng pinakamalaking karaniwang divisor na ginagamit kapag hinahanap ang GCD sa pamamagitan ng paraan ng factorization.
Kahulugan 10
Kung ang mga numero a at b ay may karaniwang divisor p , pagkatapos ay gcd (a: p , b: p) = gcd (a , b) : p . Sa kaso kapag p = gcd (a , b) makakakuha tayo ng gcd (a: gcd (a , b) , b: gcd (a , b) = 1, samakatuwid, ang mga numerong a: gcd (a , b) at b : Ang gcd (a , b) ay coprime.
Dahil a = p (a: p) at b = p (b: p) , kung gayon, batay sa nakaraang pag-aari, maaari tayong lumikha ng mga pagkakapantay-pantay ng anyong gcd (a , b) = gcd (p (a: p) , p · (b: p)) = p · GCD (a: p , b: p) , kung saan magkakaroon ng patunay ng property na ito. Ginagamit namin ang pahayag na ito kapag binabawasan namin ang mga ordinaryong fraction sa isang hindi mababawasan na anyo.
Kahulugan 11
Ang pinakamalaking karaniwang divisor a 1 , a 2 , … , a k ay ang bilang d k , na makikita sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagkalkula ng gcd (a 1 , a 2) = d 2 , gcd (d 2 , a 3) = d 3 , gcd (d 3 , a 4) = d 4 , … , GCD (d k - 1 , a k) = d k .
Ang pag-aari na ito ay kapaki-pakinabang para sa paghahanap ng pinakamalaking karaniwang divisor ng tatlo o higit pang mga numero. Sa pamamagitan nito, maaari mong bawasan ang pagkilos na ito sa mga operasyong may dalawang numero. Ang batayan nito ay isang corollary mula sa algorithm ni Euclid: kung ang hanay ng mga karaniwang divisors a 1 , a 2 at a 3 ay nag-tutugma sa set d 2 at a 3 , pagkatapos ay kasabay din ito ng mga divisors d 3 . Ang mga divisors ng mga numerong a 1 , a 2 , a 3 at a 4 ay tutugma sa mga divisors ng d 3 , ibig sabihin ay tutugma din sila sa mga divisors ng d 4 , at iba pa. Sa huli, nakuha natin na ang mga karaniwang divisor ng mga numero a 1 , a 2 , … , a k ay nag-tutugma sa mga divisors d k , at dahil ang numerong ito mismo ang magiging pinakamalaking divisor ng numero d k , pagkatapos ay gcd (a 1 , a 2 , … , a k) = d k .
Iyon lang ang gusto naming pag-usapan tungkol sa mga katangian ng pinakadakilang karaniwang divisor.
Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
