Ang differential equation ay isang equation na kinabibilangan ng isang function at isa o higit pa sa mga derivatives nito. Sa karamihan ng mga praktikal na problema, ang mga function ay mga pisikal na dami, ang mga derivative ay tumutugma sa mga rate ng pagbabago ng mga dami na ito, at tinutukoy ng equation ang relasyon sa pagitan ng mga ito.

Tinatalakay ng artikulong ito ang mga pamamaraan para sa paglutas ng ilang uri ng mga ordinaryong differential equation, ang mga solusyon na maaaring isulat sa anyo elementarya na pag-andar, iyon ay, polynomial, exponential, logarithmic at trigonometric function, pati na rin ang kanilang mga inverse function. Marami sa mga equation na ito ay nangyayari sa totoong buhay, bagaman karamihan sa iba pang mga differential equation ay hindi malulutas ng mga pamamaraang ito, at para sa kanila ang sagot ay nakasulat bilang mga espesyal na function o power series, o matatagpuan sa pamamagitan ng mga numerical na pamamaraan.

Upang maunawaan ang artikulong ito, kailangan mong malaman ang differential at integral calculus, pati na rin magkaroon ng ilang pag-unawa sa mga partial derivatives. Inirerekomenda din na malaman ang mga pangunahing kaalaman ng linear algebra bilang inilapat sa mga differential equation, lalo na ang second-order differential equation, bagama't sapat na ang kaalaman sa differential at integral calculus upang malutas ang mga ito.

Paunang impormasyon

• Ang mga differential equation ay may malawak na klasipikasyon. Ang artikulong ito ay nagsasalita tungkol sa ordinaryong differential equation, ibig sabihin, tungkol sa mga equation na kinabibilangan ng function ng isang variable at mga derivatives nito. Ang mga ordinaryong differential equation ay mas madaling maunawaan at malutas kaysa partial differential equation, na kinabibilangan ng mga function ng ilang variable. Hindi isinasaalang-alang ng artikulong ito ang mga partial differential equation, dahil ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na ito ay karaniwang tinutukoy ng kanilang partikular na anyo.
  • Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga ordinaryong differential equation.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng partial differential equation.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2 )f)(\partial y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• Umorder Ang differential equation ay tinutukoy ng pagkakasunud-sunod ng pinakamataas na derivative na kasama sa equation na ito. Ang una sa mga ordinaryong differential equation sa itaas ay nasa unang pagkakasunud-sunod, habang ang pangalawa ay nasa pangalawang pagkakasunud-sunod. Degree ng isang differential equation ay tinatawag na pinakamataas na kapangyarihan kung saan itinaas ang isa sa mga termino ng equation na ito.
  • Halimbawa, ang equation sa ibaba ay ikatlong order at pangalawang kapangyarihan.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d)) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ kanan)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• Ang differential equation ay linear differential equation kung ang function at lahat ng derivatives nito ay nasa unang kapangyarihan. Kung hindi, ang equation ay nonlinear differential equation. Ang mga linear differential equation ay kapansin-pansin dahil ang mga linear na kumbinasyon ay maaaring gawin mula sa kanilang mga solusyon, na magiging mga solusyon din sa equation na ito.
  • Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga linear differential equation.
  • Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga non-linear na differential equation. Ang unang equation ay non-linear dahil sa sine term.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• Karaniwang desisyon Ang ordinaryong differential equation ay hindi natatangi, kabilang dito arbitrary constants ng integration. Sa karamihan ng mga kaso, ang bilang ng mga arbitrary na constant ay katumbas ng pagkakasunud-sunod ng equation. Sa pagsasagawa, ang mga halaga ng mga constant na ito ay tinutukoy ng ibinigay paunang kondisyon, iyon ay, sa pamamagitan ng mga halaga ng function at mga derivatives nito sa x = 0. (\displaystyle x=0.) Ang bilang ng mga paunang kundisyon na kailangan upang mahanap pribadong desisyon differential equation, sa karamihan ng mga kaso ay katumbas din ng pagkakasunud-sunod ng equation na ito.
  • Halimbawa, titingnan ng artikulong ito ang paglutas ng equation sa ibaba. Ito ay isang pangalawang order na linear differential equation. Ang pangkalahatang solusyon nito ay naglalaman ng dalawang di-makatwirang mga pare-pareho. Upang mahanap ang mga constant na ito, kailangang malaman ang mga paunang kondisyon sa x (0) (\displaystyle x(0)) at x′ (0) . (\displaystyle x"(0).) Karaniwan ang mga paunang kondisyon ay ibinibigay sa punto x = 0 , (\displaystyle x=0,), bagama't hindi ito kinakailangan. Isasaalang-alang din ng artikulong ito kung paano maghanap ng mga partikular na solusyon para sa mga ibinigay na paunang kundisyon.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Mga hakbang

Bahagi 1

Mga equation ng unang order

Kapag ginagamit ang serbisyong ito, maaaring ilipat ang ilang impormasyon sa YouTube.

1. Mga linear na equation ng unang order. Tinatalakay ng seksyong ito ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga linear differential equation ng unang order sa pangkalahatan at mga espesyal na kaso, kapag ang ilang termino ay katumbas ng zero. Kunwari na lang y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x)) at q (x) (\displaystyle q(x)) ay mga function x . (\displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.) Ayon sa isa sa mga pangunahing theorems ng mathematical analysis, ang integral ng derivative ng isang function ay isa ring function. Kaya, sapat na na isama lamang ang equation upang mahanap ang solusyon nito. Sa kasong ito, dapat itong isaalang-alang na kapag kinakalkula ang hindi tiyak na integral, lumilitaw ang isang di-makatwirang pare-pareho.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.) Ginagamit namin ang pamamaraan paghihiwalay ng mga variable. Sa kasong ito, ang iba't ibang mga variable ay inilipat sa iba't ibang panig ng equation. Halimbawa, maaari mong ilipat ang lahat ng miyembro mula sa y (\displaystyle y) sa isa, at lahat ng miyembro ay may x (\displaystyle x) sa kabilang panig ng equation. Maaari ding ilipat ang mga miyembro d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x) at d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), na kasama sa mga derivative expression, gayunpaman, dapat itong alalahanin na ito ay isang convention lamang, na kung saan ay maginhawa kapag naiiba ang isang kumplikadong function. Isang talakayan sa mga terminong ito, na tinatawag na mga kaugalian, ay nasa labas ng saklaw ng artikulong ito.

   • Una, kailangan mong ilipat ang mga variable sa magkabilang panig ng equals sign.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Pinagsasama namin ang magkabilang panig ng equation. Pagkatapos ng pagsasama, lumilitaw ang mga arbitrary na constant sa magkabilang panig, na maaaring ilipat sa kanang bahagi ng equation.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Halimbawa 1.1. Sa huling hakbang, ginamit namin ang panuntunan e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b)) at pinalitan e C (\displaystyle e^(C)) sa C (\displaystyle C), dahil isa rin itong arbitrary na pare-pareho ng pagsasama.
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = - cos ⁡ x + C ln ⁡ y = - 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e )(\frac (1)(2y))(\ mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(nakahanay)))

   P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.) Upang mahanap ang pangkalahatang solusyon, ipinakilala namin integrating factor bilang isang katangian ng x (\displaystyle x) upang bawasan ang kaliwang bahagi sa isang karaniwang derivative at sa gayon ay malutas ang equation.

   • I-multiply ang magkabilang panig μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • Upang bawasan ang kaliwang bahagi sa isang karaniwang derivative, ang mga sumusunod na pagbabago ay dapat gawin:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • Ang huling pagkakapantay-pantay ay nangangahulugan na d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Ito ay isang integrating factor na sapat upang malutas ang anumang first order linear equation. Ngayon ay maaari tayong makakuha ng isang pormula para sa paglutas ng equation na ito patungkol sa µ , (\displaystyle \mu ,) bagaman para sa pagsasanay ay kapaki-pakinabang na gawin ang lahat ng mga intermediate na kalkulasyon.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Halimbawa 1.2. Sa halimbawang ito, isinasaalang-alang namin kung paano maghanap ng partikular na solusyon sa isang differential equation na may ibinigay na mga paunang kundisyon.
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d)) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(aligned)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Paglutas ng mga linear na equation ng unang pagkakasunud-sunod (naitala ng Intuit - National Open University).

2. Nonlinear First Order Equation. Sa seksyong ito, isinasaalang-alang ang mga pamamaraan para sa paglutas ng ilang nonlinear differential equation ng unang pagkakasunud-sunod. Bagama't walang pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang equation, ang ilan sa mga ito ay maaaring malutas gamit ang mga pamamaraan sa ibaba.

   D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Kung ang function f (x , y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)) ay maaaring hatiin sa mga function ng isang variable, ang naturang equation ay tinatawag separable differential equation. Sa kasong ito, maaari mong gamitin ang pamamaraan sa itaas:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
   • Halimbawa 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ begin(aligned)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(nakahanay)))

   D y d x = g (x , y) h (x , y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) Magpanggap na tayo g (x , y) (\displaystyle g(x, y)) at h (x , y) (\displaystyle h(x, y)) ay mga function x (\displaystyle x) at y . (\displaystyle y.) Pagkatapos homogenous differential equation ay isang equation kung saan g (\displaystyle g) at h (\displaystyle h) ay homogenous na pag-andar ang parehong antas. Iyon ay, ang mga pag-andar ay dapat masiyahan ang kondisyon g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) saan k (\displaystyle k) ay tinatawag na antas ng homogeneity. Anumang homogenous differential equation ay maaaring ibigay ng isang naaangkop pagbabago ng mga variable (v = y / x (\displaystyle v=y/x) o v = x / y (\displaystyle v=x/y)) upang i-convert sa isang equation na may mga separable variable.

   • Halimbawa 1.4. Ang paglalarawan sa itaas ng homogeneity ay maaaring mukhang malabo. Tingnan natin ang konseptong ito na may isang halimbawa.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • Upang magsimula, dapat tandaan na ang equation na ito ay hindi linear na may paggalang sa y . (\displaystyle y.) Nakikita rin natin na sa kasong ito imposibleng paghiwalayin ang mga variable. Gayunpaman, homogenous ang differential equation na ito, dahil parehong homogenous ang numerator at denominator na may kapangyarihan na 3. Samakatuwid, maaari tayong gumawa ng pagbabago ng mga variable v=y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) Bilang resulta, mayroon kaming isang equation para sa v (\displaystyle v) na may mga nakabahaging variable.
     • v (x) = − 3 log ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) Ito ay Bernoulli differential equation- isang espesyal na uri ng nonlinear equation ng unang degree, ang solusyon kung saan ay maaaring isulat gamit ang elementary functions.

   • I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Ginagamit namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function sa kaliwang bahagi at binabago ang equation sa isang linear equation na may paggalang sa y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),) na maaaring malutas sa pamamagitan ng mga pamamaraan sa itaas.
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x , y) + N (x , y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)(\mathrm (d) )x))=0.) Ito ay kabuuang differential equation. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang tinatawag na potensyal na function φ (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), na nakakatugon sa kondisyon d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • Upang matupad ang kondisyong ito, kinakailangan na magkaroon kabuuang derivative. Isinasaalang-alang ng kabuuang derivative ang pag-asa sa iba pang mga variable. Upang kalkulahin ang kabuuang derivative φ (\displaystyle \varphi ) sa x , (\displaystyle x,) ipinapalagay namin iyon y (\displaystyle y) maaaring depende rin sa x . (\displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • Ang paghahambing ng mga termino ay nagbibigay sa atin M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))) at N (x, y) = ∂ φ ∂ y . (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).) Ito ay isang tipikal na resulta para sa mga equation na may ilang mga variable, kung saan ang mga pinaghalong derivatives ng makinis na mga function ay katumbas ng bawat isa. Minsan ang kasong ito ay tinatawag Ang teorama ni Clairaut. Sa kasong ito, ang differential equation ay isang equation sa kabuuang differentials kung ang sumusunod na kondisyon ay nasiyahan:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • Ang pamamaraan para sa paglutas ng mga equation sa kabuuang mga pagkakaiba ay katulad ng paghahanap ng mga potensyal na function sa pagkakaroon ng ilang mga derivatives, na tatalakayin natin sa madaling sabi. Una nating pinagsama M (\displaystyle M) sa x . (\displaystyle x.) Sa abot ng M (\displaystyle M) ay isang function at x (\displaystyle x), at y , (\displaystyle y,) kapag nagsasama, nakakakuha tayo ng hindi kumpletong function φ , (\displaystyle \varphi ,) may label na bilang φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Kasama rin sa resulta ang umaasa sa y (\displaystyle y) pare-pareho ng pagsasama.
     • φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • Pagkatapos nito, para makuha c (y) (\displaystyle c(y)) maaari mong kunin ang partial derivative ng resultang function na may paggalang sa y , (\displaystyle y,) ipantay ang resulta N (x , y) (\displaystyle N(x, y)) at pagsamahin. Maaari ding isama muna ang isa N (\displaystyle N), at pagkatapos ay kunin ang partial derivative na may kinalaman sa x (\displaystyle x), na magbibigay-daan sa amin na makahanap ng isang arbitrary na function d(x). (\displaystyle d(x).) Ang parehong mga pamamaraan ay angkop, at kadalasan ang mas simpleng function ay pinili para sa pagsasama.
     • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\ bahagyang (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • Halimbawa 1.5. Maaari kang kumuha ng mga partial derivatives at i-verify na ang equation sa ibaba ay isang total differential equation.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(aligned)))
     • d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • Kung ang differential equation ay hindi isang kabuuang differential equation, sa ilang pagkakataon ay makakahanap ka ng integrating factor na magbibigay-daan sa iyong i-convert ito sa total differential equation. Gayunpaman, ang mga naturang equation ay bihirang ginagamit sa pagsasanay, at bagaman ang integrating factor umiral, hanapin ang mangyayari hindi ganoon kadali, kaya hindi isinasaalang-alang ang mga equation na ito sa artikulong ito.

Bahagi 2

Mga equation ng pangalawang order

1. Mga homogenous na linear differential equation na may pare-parehong coefficient. Ang mga equation na ito ay malawakang ginagamit sa pagsasanay, kaya ang kanilang solusyon ay pinakamahalaga. Sa kasong ito, hindi namin pinag-uusapan ang mga homogenous na function, ngunit tungkol sa katotohanan na mayroong 0 sa kanang bahagi ng equation. Sa susunod na seksyon, ipapakita namin kung paano ang kaukulang magkakaiba differential equation. sa ibaba a (\displaystyle a) at b (\displaystyle b) ay mga pare-pareho.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Katangiang equation. Ang differential equation na ito ay kapansin-pansin dahil madali itong malutas kung bibigyan mo ng pansin kung anong mga katangian ang dapat magkaroon ng mga solusyon nito. Makikita sa equation na y (\displaystyle y) at ang mga derivatives nito ay proporsyonal sa isa't isa. Mula sa mga nakaraang halimbawa, na isinasaalang-alang sa seksyon sa mga first-order na equation, alam namin na ang exponential function lang ang may ganitong katangian. Samakatuwid, ito ay posible na ilagay sa harap ansatz(isang edukadong hula) tungkol sa kung ano ang magiging solusyon sa ibinigay na equation.

   • Ang solusyon ay kukuha ng anyo ng isang exponential function e r x , (\displaystyle e^(rx),) saan r (\displaystyle r) ay isang pare-pareho na ang halaga ay makikita. I-substitute ang function na ito sa equation at kunin ang sumusunod na expression
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Ang equation na ito ay nagpapahiwatig na ang produkto ng isang exponential function at isang polynomial ay dapat na zero. Ito ay kilala na ang exponent ay hindi maaaring katumbas ng zero para sa anumang mga halaga ng antas. Kaya't napagpasyahan namin na ang polynomial ay katumbas ng zero. Kaya, binawasan namin ang problema ng paglutas ng isang differential equation sa isang mas simpleng problema ng paglutas ng isang algebraic equation, na tinatawag na characteristic equation para sa isang ibinigay na differential equation.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • Mayroon kaming dalawang ugat. Dahil ang differential equation na ito ay linear, ang pangkalahatang solusyon nito ay isang linear na kumbinasyon ng mga partial na solusyon. Dahil ito ay isang pangalawang order equation, alam namin na ito ay Talaga pangkalahatang solusyon, at walang iba. Ang isang mas mahigpit na katwiran para dito ay nakasalalay sa mga theorems sa pagkakaroon at pagiging natatangi ng solusyon, na matatagpuan sa mga aklat-aralin.
   • Ang isang kapaki-pakinabang na paraan upang suriin kung ang dalawang solusyon ay linearly na independyente ay ang pagkalkula Wronskian. Wronskian W (\displaystyle W)- ito ang determinant ng matrix, sa mga hanay kung saan mayroong mga function at ang kanilang mga sunud-sunod na derivatives. Ang linear algebra theorem ay nagsasaad na ang mga function sa Wronskian ay linearly dependent kung ang Wronskian ay katumbas ng zero. Sa seksyong ito, maaari naming subukan kung ang dalawang solusyon ay linearly independent sa pamamagitan ng pagtiyak na ang Wronskian ay hindi zero. Ang Wronskian ay mahalaga sa paglutas ng mga nonhomogeneous differential equation na may pare-parehong coefficient sa pamamagitan ng paraan ng pagkakaiba-iba ng parameter.
     • w = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • Sa mga tuntunin ng linear algebra, ang hanay ng lahat ng mga solusyon ng isang ibinigay na differential equation ay bumubuo ng isang vector space na ang dimensyon ay katumbas ng pagkakasunud-sunod ng differential equation. Sa puwang na ito, maaaring pumili ng batayan mula sa linearly independent mga desisyon mula sa bawat isa. Ito ay posible dahil sa ang katunayan na ang function y (x) (\displaystyle y(x)) wasto linear operator. Derivative ay isang linear operator, dahil binabago nito ang espasyo ng mga naiba-iba na function sa espasyo ng lahat ng function. Ang mga equation ay tinatawag na homogenous sa mga kaso kung saan para sa ilang linear operator L (\displaystyle L) ito ay kinakailangan upang mahanap ang isang solusyon sa equation L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   Lumiko tayo ngayon sa ilang partikular na halimbawa. Ang kaso ng maraming ugat ng katangian na equation ay isasaalang-alang sa ibang pagkakataon, sa seksyon sa pagbabawas ng order.

   Kung ang mga ugat r ± (\displaystyle r_(\pm )) ay magkaibang tunay na mga numero, ang differential equation ay may sumusunod na solusyon

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   Dalawang kumplikadong ugat. Ito ay sumusunod mula sa pundamental na theorem ng algebra na ang mga solusyon sa solusyon ng polynomial equation na may real coefficients ay may mga ugat na tunay o bumubuo ng mga pares ng conjugate. Samakatuwid, kung ang kumplikadong numero r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta ) ay ang ugat ng katangian equation, kung gayon r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta ) ito rin ang ugat ng equation na ito. Kaya, ang solusyon ay maaaring isulat sa form c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),) gayunpaman, ito ay isang kumplikadong numero at hindi kanais-nais sa paglutas ng mga praktikal na problema.

   • Sa halip, maaari mong gamitin Formula ng Euler e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), na nagbibigay-daan sa iyo na isulat ang solusyon sa anyo ng mga function ng trigonometriko:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Ngayon ay maaari mo na sa halip na pare-pareho c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2)) isulat c 1 (\displaystyle c_(1)), at ang expression i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) pinalitan ng c 2 . (\displaystyle c_(2).) Pagkatapos nito makuha namin ang sumusunod na solusyon:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin \beta x))
   • May isa pang paraan upang isulat ang solusyon sa mga tuntunin ng amplitude at phase, na mas angkop para sa mga pisikal na problema.
   • Halimbawa 2.1. Hanapin natin ang solusyon ng differential equation na ibinigay sa ibaba na may ibinigay na mga paunang kondisyon. Para dito, kinakailangan na kunin ang nakuha na solusyon, gayundin ang hinango nito, at palitan ang mga ito sa mga paunang kundisyon, na magpapahintulot sa amin na matukoy ang mga arbitrary na constant.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\ x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )i)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\kaliwa(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(aligned)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
   
   Paglutas ng mga differential equation ng nth order na may pare-parehong coefficient (naitala ng Intuit - National Open University).

2. Pag-downgrade ng order. Ang pagbabawas ng order ay isang paraan para sa paglutas ng mga differential equation kapag ang isang linearly independent na solusyon ay kilala. Ang pamamaraang ito ay binubuo sa pagpapababa ng pagkakasunud-sunod ng equation ng isa, na nagpapahintulot sa equation na malutas gamit ang mga pamamaraan na inilarawan sa nakaraang seksyon. Hayaang malaman ang solusyon. Ang pangunahing ideya ng pagpapababa ng order ay upang makahanap ng solusyon sa form sa ibaba, kung saan kinakailangan upang tukuyin ang function v (x) (\displaystyle v(x)), pinapalitan ito sa differential equation at paghahanap v(x). (\displaystyle v(x).) Isaalang-alang natin kung paano magagamit ang pagbabawas ng pagkakasunud-sunod upang malutas ang isang differential equation na may pare-parehong coefficient at maramihang mga ugat.

   
   

   Maramihang mga ugat homogenous differential equation na may pare-parehong coefficient. Alalahanin na ang isang pangalawang-order na equation ay dapat magkaroon ng dalawang linearly independent na solusyon. Kung ang katangiang equation ay may maraming ugat, ang hanay ng mga solusyon hindi bumubuo ng isang puwang dahil ang mga solusyong ito ay linearly dependent. Sa kasong ito, ang pagbabawas ng order ay dapat gamitin upang makahanap ng pangalawang linearly independent na solusyon.

   • Hayaang magkaroon ng maraming ugat ang katangiang equation r (\displaystyle r). Ipinapalagay namin na ang pangalawang solusyon ay maaaring isulat bilang y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), at i-substitute ito sa differential equation. Sa kasong ito, karamihan sa mga termino, maliban sa terminong may pangalawang derivative ng function v , (\displaystyle v,) ay mababawasan.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • Halimbawa 2.2. Dahil sa sumusunod na equation, na mayroong maraming ugat r = − 4. (\displaystyle r=-4.) Kapag pinapalitan, karamihan sa mga tuntunin ay kinansela.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(nakahanay)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\begin(\begin )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(aligned)))
   • Tulad ng aming ansatz para sa isang differential equation na may pare-parehong coefficient, sa kasong ito ang pangalawang derivative lamang ang maaaring katumbas ng zero. Dalawang beses kaming nagsasama at makuha ang nais na expression para sa v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Pagkatapos ang pangkalahatang solusyon ng isang differential equation na may pare-parehong mga koepisyent, kung ang katangian na equation ay may maramihang mga ugat, ay maaaring isulat sa sumusunod na anyo. Para sa kaginhawahan, maaari mong tandaan na upang makakuha ng linear na kalayaan, sapat na upang i-multiply lamang ang pangalawang termino sa pamamagitan ng x (\displaystyle x). Ang hanay ng mga solusyon na ito ay linearly independent, at sa gayon ay nahanap namin ang lahat ng solusyon sa equation na ito.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) Naaangkop ang pagbabawas ng order kung alam ang solusyon y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), na makikita o ibibigay sa pahayag ng problema.

   • Naghahanap kami ng solusyon sa form y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x)) at isaksak ito sa equation na ito:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Sa abot ng y 1 (\displaystyle y_(1)) ay isang solusyon sa differential equation, lahat ng termino na may v (\displaystyle v) ay lumiliit. Bilang isang resulta, ito ay nananatili first order linear equation. Upang makita ito nang mas malinaw, baguhin natin ang mga variable w (x) = v′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w′ + (2 y 1′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\kanan)(\mathrm (d) )x\kanan))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Kung ang mga integral ay maaaring kalkulahin, makuha namin ang pangkalahatang solusyon bilang isang kumbinasyon ng mga elementary function. Kung hindi man, ang solusyon ay maaaring iwanang sa integral form.

3. Cauchy-Euler equation. Ang Cauchy-Euler equation ay isang halimbawa ng second-order differential equation na may mga variable coefficients, na may mga eksaktong solusyon. Ang equation na ito ay ginagamit sa pagsasanay, halimbawa, upang malutas ang Laplace equation sa spherical coordinates.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Katangiang equation. Tulad ng makikita mo, sa differential equation na ito, ang bawat termino ay naglalaman ng power factor, ang antas nito ay katumbas ng pagkakasunud-sunod ng kaukulang derivative.

   • Kaya, maaaring subukan ng isa na maghanap ng solusyon sa form y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),) kung saan tutukuyin n (\displaystyle n), tulad ng naghahanap kami ng solusyon sa anyo ng exponential function para sa isang linear differential equation na may pare-parehong coefficient. Pagkatapos ng pagkita ng kaibhan at pagpapalit, nakukuha namin
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • Upang magamit ang katangiang equation, dapat nating ipagpalagay iyon x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Dot x = 0 (\displaystyle x=0) tinawag regular na isahan na punto differential equation. Ang ganitong mga punto ay mahalaga kapag nilulutas ang mga differential equation gamit ang power series. Ang equation na ito ay may dalawang ugat, na maaaring magkaiba at totoo, maramihan o kumplikadong conjugate.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b )))(2)))

   Dalawang magkaibang tunay na ugat. Kung ang mga ugat n ± (\displaystyle n_(\pm )) ay totoo at iba, kung gayon ang solusyon ng differential equation ay may sumusunod na anyo:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   Dalawang kumplikadong ugat. Kung ang katangiang equation ay may mga ugat n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), ang solusyon ay isang kumplikadong function.

   • Upang baguhin ang solusyon sa isang tunay na function, gumawa kami ng pagbabago ng mga variable x = e t , (\displaystyle x=e^(t),) i.e t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,) at gamitin ang Euler formula. Ang mga katulad na aksyon ay isinagawa nang mas maaga kapag tinutukoy ang mga arbitrary na constant.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • Pagkatapos ang pangkalahatang solusyon ay maaaring isulat bilang
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Maramihang mga ugat. Upang makakuha ng pangalawang linearly independent na solusyon, kailangang bawasan muli ang order.

   • Ito ay nangangailangan ng kaunting pag-compute, ngunit ang prinsipyo ay pareho: pinapalitan namin y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1)) sa isang equation na ang unang solusyon ay y 1 (\displaystyle y_(1)). Pagkatapos ng mga pagbawas, ang sumusunod na equation ay nakuha:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Ito ay isang first order linear equation na may kinalaman sa v′ (x) . (\displaystyle v"(x).) Ang solusyon niya ay v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.) Kaya, ang solusyon ay maaaring isulat sa sumusunod na anyo. Medyo madaling tandaan - para makuha ang pangalawang linearly independent na solusyon, kailangan mo lang ng karagdagang termino na may ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Inhomogeneous linear differential equation na may pare-parehong coefficient. Ang mga nonhomogeneous equation ay may anyo L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),) saan f (x) (\displaystyle f(x))- tinatawag na libreng miyembro. Ayon sa teorya ng differential equation, ang pangkalahatang solusyon ng equation na ito ay isang superposition pribadong desisyon y p (x) (\displaystyle y_(p)(x)) at karagdagang solusyon y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).) Gayunpaman, sa kasong ito, ang isang partikular na solusyon ay hindi nangangahulugang isang solusyon na ibinigay ng mga paunang kondisyon, ngunit sa halip ay isang solusyon na dahil sa pagkakaroon ng inhomogeneity (libreng miyembro). Ang komplementaryong solusyon ay ang solusyon ng katumbas na homogenous equation kung saan f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.) Ang pangkalahatang solusyon ay isang superposisyon ng dalawang solusyong ito, dahil L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), at mula noon L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,) ang gayong superposisyon ay talagang isang pangkalahatang solusyon.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   Paraan ng hindi tiyak na coefficients. Ang paraan ng mga indefinite coefficient ay ginagamit sa mga kaso kung saan ang libreng termino ay isang kumbinasyon ng mga exponential, trigonometric, hyperbolic o power function. Tanging ang mga function na ito ay ginagarantiyahan na magkaroon ng isang tiyak na bilang ng mga linearly independent derivatives. Sa seksyong ito, makakahanap tayo ng isang partikular na solusyon sa equation.

   • Ihambing ang mga tuntunin sa f (x) (\displaystyle f(x)) na may mga termino sa pagwawalang-bahala sa mga patuloy na kadahilanan. Tatlong kaso ang posible.
     • Walang magkaparehong miyembro. Sa kasong ito, isang partikular na solusyon y p (\displaystyle y_(p)) ay magiging isang linear na kumbinasyon ng mga termino mula sa y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) naglalaman ng miyembro x n (\displaystyle x^(n)) at isang miyembro mula sa y c , (\displaystyle y_(c),) saan n (\displaystyle n) ay zero o isang positibong integer, at ang terminong ito ay tumutugma sa isang solong ugat ng katangian na equation. Sa kasong ito y p (\displaystyle y_(p)) ay bubuo ng kumbinasyon ng function x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) ang mga linearly independent derivatives nito, gayundin ang iba pang termino f (x) (\displaystyle f(x)) at ang kanilang mga linearly independent derivatives.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) naglalaman ng miyembro h (x) , (\displaystyle h(x),) na isang gawain x n (\displaystyle x^(n)) at isang miyembro mula sa y c , (\displaystyle y_(c),) saan n (\displaystyle n) ay katumbas ng 0 o isang positibong integer, at ang terminong ito ay tumutugma sa maramihan ugat ng katangiang equation. Sa kasong ito y p (\displaystyle y_(p)) ay isang linear na kumbinasyon ng function x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(saan s (\displaystyle s)- multiplicity ng root) at ang mga linearly independent derivatives nito, pati na rin ang iba pang miyembro ng function f (x) (\displaystyle f(x)) at ang mga linearly independent derivatives nito.
   • Isulat natin y p (\displaystyle y_(p)) bilang isang linear na kumbinasyon ng mga termino sa itaas. Dahil sa mga coefficient na ito sa isang linear na kumbinasyon, ang pamamaraang ito ay tinatawag na "pamamaraan ng mga hindi tiyak na coefficient". Sa paglitaw ng mga nakapaloob sa y c (\displaystyle y_(c)) ang kanilang mga miyembro ay maaaring itapon dahil sa pagkakaroon ng mga arbitrary constants sa y c . (\displaystyle y_(c).) After that nag substitute kami y p (\displaystyle y_(p)) sa isang equation at katumbas ng mga katulad na termino.
   • Tinutukoy namin ang mga coefficient. Sa yugtong ito, ang isang sistema ng mga algebraic equation ay nakuha, na kadalasang malulutas nang walang anumang mga espesyal na problema. Ang solusyon ng sistemang ito ay ginagawang posible na makuha y p (\displaystyle y_(p)) at sa gayon ay malutas ang equation.
   • Halimbawa 2.3. Isaalang-alang ang isang inhomogeneous differential equation na ang libreng termino ay naglalaman ng isang finite number of linearly independent derivatives. Ang isang partikular na solusyon ng naturang equation ay matatagpuan sa pamamagitan ng paraan ng hindi tiyak na coefficients.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt(6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(nakahanay)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ wakas(mga kaso)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Paraan ng Lagrange. Ang Lagrange method, o ang paraan ng variation ng mga arbitrary constants, ay isang mas pangkalahatang paraan para sa paglutas ng mga inhomogeneous differential equation, lalo na sa mga kaso kung saan ang free term ay hindi naglalaman ng finite number of linearly independent derivatives. Halimbawa, sa mga libreng miyembro tan ⁡ x (\displaystyle \tan x) o x − n (\displaystyle x^(-n)) upang makahanap ng isang partikular na solusyon, kinakailangan na gumamit ng pamamaraang Lagrange. Ang pamamaraang Lagrange ay maaari pa ngang gamitin upang malutas ang mga differential equation na may variable coefficients, bagaman sa kasong ito, maliban sa Cauchy-Euler equation, ito ay mas madalas na ginagamit, dahil ang karagdagang solusyon ay karaniwang hindi ipinahayag sa mga tuntunin ng elementarya na pag-andar.

   • Ipagpalagay natin na ang solusyon ay may sumusunod na anyo. Ang derivative nito ay ibinibigay sa pangalawang linya.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • Dahil ang iminungkahing solusyon ay naglalaman ng dalawa hindi kilalang dami, ito ay kinakailangan upang magpataw karagdagang kundisyon. Pinipili namin ang karagdagang kundisyong ito sa sumusunod na form:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Ngayon ay makukuha natin ang pangalawang equation. Pagkatapos palitan at muling ipamahagi ang mga miyembro, maaari mong pagsama-samahin ang mga miyembro v 1 (\displaystyle v_(1)) at mga miyembro mula sa v 2 (\displaystyle v_(2)). Kinansela ang mga tuntuning ito dahil y 1 (\displaystyle y_(1)) at y 2 (\displaystyle y_(2)) ay mga solusyon ng katumbas na homogenous equation. Bilang resulta, nakukuha natin ang sumusunod na sistema ng mga equation
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(aligned)))
   • Ang sistemang ito ay maaaring mabago sa isang matrix equation ng form A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) kaninong solusyon x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) Para sa matrix 2 × 2 (\displaystyle 2\beses 2) ang inverse matrix ay matatagpuan sa pamamagitan ng paghahati sa determinant, pag-permute sa mga elemento ng dayagonal, at pag-reverse ng sign ng mga off-diagonal na elemento. Sa katunayan, ang determinant ng matrix na ito ay isang Wronskian.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • Mga ekspresyon para sa v 1 (\displaystyle v_(1)) at v 2 (\displaystyle v_(2)) ay nakalista sa ibaba. Tulad ng sa paraan ng pagbabawas ng pagkakasunud-sunod, sa kasong ito, lumilitaw ang isang di-makatwirang pare-pareho sa panahon ng pagsasama, na kinabibilangan ng karagdagang solusyon sa pangkalahatang solusyon ng differential equation.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   Lecture ng National Open University Intuit na pinamagatang "Linear differential equation of the n-th order with constant coefficients".

Praktikal na paggamit

Ang mga differential equation ay nagtatatag ng isang relasyon sa pagitan ng isang function at isa o higit pa sa mga derivatives nito. Dahil ang mga ganitong relasyon ay karaniwan, ang mga differential equation ay nakahanap ng malawak na aplikasyon sa isang malawak na iba't ibang mga lugar, at dahil nakatira tayo sa apat na dimensyon, ang mga equation na ito ay madalas na mga differential equation sa pribado derivatives. Tinatalakay ng seksyong ito ang ilan sa mga pinakamahalagang equation ng ganitong uri.

• Exponential na paglago at pagkabulok. radioactive decay. Pinagsamang interes. Ang bilis ng mga reaksiyong kemikal. Ang konsentrasyon ng mga gamot sa dugo. Walang limitasyong paglaki ng populasyon. Batas ng Newton-Richmann. Sa totoong mundo, maraming mga sistema kung saan ang rate ng paglago o pagkabulok sa anumang partikular na oras ay proporsyonal sa halaga sa puntong iyon sa oras, o maaaring matantiya nang mabuti ng isang modelo. Ito ay dahil ang solusyon sa differential equation na ito, ang exponential function, ay isa sa pinakamahalagang function sa matematika at iba pang agham. Sa pangkalahatan, sa ilalim ng kontroladong paglaki ng populasyon, ang sistema ay maaaring magsama ng mga karagdagang termino na naglilimita sa paglaki. Sa equation sa ibaba, ang pare-pareho k (\displaystyle k) maaaring mas malaki o mas mababa sa zero.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Harmonic vibrations. Sa parehong klasikal at quantum mechanics, ang harmonic oscillator ay isa sa pinakamahalagang pisikal na sistema dahil sa pagiging simple nito at malawak na aplikasyon para sa pagtatantya ng mas kumplikadong mga sistema tulad ng isang simpleng pendulum. Sa klasikal na mekanika, ang mga harmonic oscillations ay inilalarawan ng isang equation na nag-uugnay sa posisyon ng isang materyal na punto sa pagbilis nito sa pamamagitan ng batas ni Hooke. Sa kasong ito, maaari ding isaalang-alang ang damping at driving forces. Sa expression sa ibaba x ˙ (\displaystyle (\dot (x)))- time derivative ng x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta ) ay isang parameter na naglalarawan sa puwersa ng pamamasa, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- angular frequency ng system, F (t) (\displaystyle F(t)) ay isang puwersang nagtutulak na umaasa sa oras. Ang harmonic oscillator ay naroroon din sa mga electromagnetic oscillatory circuit, kung saan maaari itong ipatupad nang mas tumpak kaysa sa mga mekanikal na sistema.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• Bessel equation. Ang Bessel differential equation ay ginagamit sa maraming lugar ng physics, kabilang ang solusyon ng wave equation, ang Laplace equation, at ang Schrödinger equation, lalo na sa pagkakaroon ng cylindrical o spherical symmetry. Ang second-order differential equation na ito na may variable coefficients ay hindi isang Cauchy-Euler equation, kaya ang mga solusyon nito ay hindi maaaring isulat bilang elementary functions. Ang mga solusyon ng equation ng Bessel ay ang mga function ng Bessel, na pinag-aralan nang mabuti dahil sa katotohanang ginagamit ang mga ito sa maraming lugar. Sa expression sa ibaba α (\displaystyle \alpha ) ay isang pare-pareho na tumutugma utos Mga function ng Bessel.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• Mga equation ni Maxwell. Kasama ng puwersa ng Lorentz, ang mga equation ni Maxwell ay bumubuo ng batayan ng classical electrodynamics. Ito ay apat na partial differential equation para sa electric E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t)) at magnetic B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) mga patlang. Sa mga expression sa ibaba ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- density ng singil, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t)) ay ang kasalukuyang density, at ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0)) at μ 0 (\displaystyle \mu _(0)) ay ang mga electric at magnetic constants, ayon sa pagkakabanggit.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin(\cdot)\ (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(aligned)))
• Schrödinger equation. Sa quantum mechanics, ang Schrödinger equation ay ang pangunahing equation ng motion na naglalarawan sa paggalaw ng mga particle ayon sa pagbabago sa wave function. Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) sa oras. Ang equation ng paggalaw ay inilalarawan ng pag-uugali Hamiltonian H ^ (\displaystyle (\hat(H))) - operator, na naglalarawan sa enerhiya ng system. Isa sa mga kilalang halimbawa ng Schrödinger equation sa physics ay ang equation para sa isang non-relativistic particle, na napapailalim sa potensyal V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Maraming mga sistema ang inilalarawan ng equation na Schrödinger na umaasa sa oras, na may equation sa kaliwang bahagi. E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,) saan E (\displaystyle E) ay ang enerhiya ng butil. Sa mga expression sa ibaba ℏ (\displaystyle \hbar ) ay ang pinababang Planck na pare-pareho.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\kanan)\Psi )
• wave equation. Imposibleng isipin ang pisika at teknolohiya nang walang mga alon, naroroon sila sa lahat ng uri ng mga sistema. Sa pangkalahatan, ang mga alon ay inilalarawan ng equation sa ibaba, kung saan u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t)) ay ang nais na function, at c (\displaystyle c)- eksperimento na tinutukoy na pare-pareho. Si d'Alembert ang unang nakatuklas na para sa one-dimensional na kaso ang solusyon sa wave equation ay anuman function na may argumento x − c t (\displaystyle x-ct), na naglalarawan ng arbitrary wave na kumakalat sa kanan. Ang pangkalahatang solusyon para sa one-dimensional na case ay isang linear na kumbinasyon ng function na ito na may pangalawang function na may argumento x + c t (\displaystyle x+ct), na naglalarawan ng alon na kumakalat sa kaliwa. Ang solusyon na ito ay ipinakita sa pangalawang linya.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Navier-Stokes equation. Inilalarawan ng mga equation ng Navier-Stokes ang paggalaw ng mga likido. Dahil ang mga likido ay naroroon sa halos lahat ng larangan ng agham at teknolohiya, ang mga equation na ito ay napakahalaga para sa hula ng panahon, disenyo ng sasakyang panghimpapawid, agos ng karagatan, at marami pang ibang aplikasyon. Ang mga equation ng Navier-Stokes ay mga non-linear na partial differential equation, at sa karamihan ng mga kaso ay napakahirap lutasin ang mga ito, dahil ang non-linearity ay humahantong sa kaguluhan, at upang makakuha ng matatag na solusyon sa pamamagitan ng mga numerical na pamamaraan, kinakailangan na paghahati sa napakaliit na mga cell, na nangangailangan ng makabuluhang kapangyarihan sa pag-compute. Para sa mga praktikal na layunin sa hydrodynamics, ang mga pamamaraan tulad ng pag-average ng oras ay ginagamit upang magmodelo ng mga magulong daloy. Ang higit pang mga pangunahing tanong, tulad ng pagkakaroon at pagiging natatangi ng mga solusyon para sa mga non-linear na partial differential equation, ay mga kumplikadong problema, at ang pagpapatunay ng pagkakaroon at pagiging natatangi ng mga solusyon para sa Navier-Stokes equation sa tatlong dimensyon ay kabilang sa mga problema sa matematika ng milenyo. . Nasa ibaba ang incompressible fluid flow equation at ang continuity equation.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac ) (\bfial (\) )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Maraming mga differential equation ang hindi malulutas ng mga pamamaraan sa itaas, lalo na ang mga nabanggit sa huling seksyon. Nalalapat ito kapag ang equation ay naglalaman ng mga variable coefficient at hindi isang Cauchy-Euler equation, o kapag ang equation ay non-linear, maliban sa ilang napakabihirang kaso. Gayunpaman, ang mga pamamaraan sa itaas ay nagbibigay-daan sa iyo upang malutas ang maraming mahahalagang equation ng kaugalian na madalas na nakatagpo sa iba't ibang larangan ng agham.
• Hindi tulad ng pagkita ng kaibhan, na nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang derivative ng anumang function, ang integral ng maraming mga expression ay hindi maaaring ipahayag sa elementarya function. Samakatuwid, huwag mag-aksaya ng oras sa pagsubok na kalkulahin ang integral kung saan imposible. Tingnan ang talahanayan ng mga integral. Kung ang solusyon ng isang differential equation ay hindi maipahayag sa mga tuntunin ng elementarya na pag-andar, kung minsan ito ay maaaring kinakatawan sa integral form, at sa kasong ito ay hindi mahalaga kung ang integral na ito ay maaaring kalkulahin nang analytical.

Mga babala

• Hitsura Ang differential equation ay maaaring nakaliligaw. Halimbawa, nasa ibaba ang dalawang first-order differential equation. Ang unang equation ay madaling malutas gamit ang mga pamamaraan na inilarawan sa artikulong ito. Sa unang tingin, isang maliit na pagbabago y (\displaystyle y) sa y 2 (\displaystyle y^(2)) sa pangalawang equation ay ginagawa itong non-linear at nagiging napakahirap lutasin.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

Alinman sa nalutas na may kinalaman sa derivative, o maaari silang malutas nang may kinalaman sa derivative .

Pangkalahatang solusyon ng mga differential equation ng uri sa pagitan X, na ibinigay, ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagkuha ng integral ng magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na ito.

Kunin .

Kung titingnan natin ang mga katangian ng hindi tiyak na integral, makikita natin ang nais na pangkalahatang solusyon:

y = F(x) + C,

saan F(x)- isa sa mga antiderivatives ng function f(x) sa gitna X, a Sa ay isang arbitrary na pare-pareho.

Pakitandaan na sa karamihan ng mga gawain ang pagitan X huwag magpahiwatig. Nangangahulugan ito na ang isang solusyon ay dapat mahanap para sa lahat. x, para sa kung saan at ang nais na function y, at ang orihinal na equation ay may katuturan.

Kung kailangan mong kalkulahin ang isang partikular na solusyon ng isang differential equation na nakakatugon sa paunang kondisyon y(x0) = y0, pagkatapos ay pagkatapos kalkulahin ang pangkalahatang integral y = F(x) + C, kailangan pa ring matukoy ang halaga ng pare-pareho C=C0 gamit ang paunang kondisyon. Iyon ay, isang pare-pareho C=C0 tinutukoy mula sa equation F(x 0) + C = y 0, at ang nais na partikular na solusyon ng differential equation ay kukuha ng anyo:

y = F(x) + C0.

Isaalang-alang ang isang halimbawa:

Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng differential equation , suriin ang kawastuhan ng resulta. Maghanap tayo ng partikular na solusyon ng equation na ito na makakatugon sa paunang kondisyon .

Desisyon:

Pagkatapos naming isama ang ibinigay na differential equation, nakukuha namin ang:

.

Kinukuha namin ang integral na ito sa pamamagitan ng paraan ng pagsasama ng mga bahagi:

yun., ay isang pangkalahatang solusyon ng differential equation.

Suriin natin upang matiyak na tama ang resulta. Upang gawin ito, pinapalitan namin ang solusyon na nakita namin sa ibinigay na equation:

.

Ibig sabihin, sa ang orihinal na equation ay nagiging isang pagkakakilanlan:

samakatuwid, ang pangkalahatang solusyon ng differential equation ay natukoy nang tama.

Ang solusyon na aming nahanap ay ang pangkalahatang solusyon ng differential equation para sa bawat tunay na halaga ng argumento x.

Ito ay nananatiling kalkulahin ang isang partikular na solusyon ng ODE na makakatugon sa paunang kondisyon. Sa madaling salita, kinakailangan upang kalkulahin ang halaga ng pare-pareho Sa, kung saan magiging totoo ang pagkakapantay-pantay:

.

.

Pagkatapos, pagpapalit C = 2 sa pangkalahatang solusyon ng ODE, nakakakuha tayo ng partikular na solusyon ng differential equation na nakakatugon sa paunang kondisyon:

.

Ordinaryong differential equation maaaring malutas na may kinalaman sa derivative sa pamamagitan ng paghahati sa 2 bahagi ng equation sa pamamagitan ng f(x). Ang pagbabagong ito ay magiging katumbas kung f(x) ay hindi napupunta sa zero para sa alinman x mula sa pagitan ng pagsasama ng differential equation X.

Ang mga sitwasyon ay malamang kapag, para sa ilang mga halaga ng argumento x ∈ X mga function f(x) at g(x) sabay-sabay na maging zero. Para sa mga katulad na halaga x ang pangkalahatang solusyon ng differential equation ay anumang function y, na tinukoy sa kanila, dahil .

Kung para sa ilang mga halaga ng argumento x ∈ X ang kondisyon ay nasiyahan, na nangangahulugan na sa kasong ito ang ODE ay walang mga solusyon.

Para sa lahat ng iba pa x mula sa pagitan X ang pangkalahatang solusyon ng differential equation ay tinutukoy mula sa transformed equation.

Tingnan natin ang mga halimbawa:

Halimbawa 1

Hanapin natin ang pangkalahatang solusyon ng ODE: .

Desisyon.

Mula sa mga katangian ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya, malinaw na ang natural na logarithm function ay tinukoy para sa mga di-negatibong halaga ng argumento, samakatuwid, ang domain ng expression log(x+3) may pagitan x > -3 . Samakatuwid, ang ibinigay na differential equation ay may katuturan para sa x > -3 . Sa mga halagang ito ng argumento, ang expression x + 3 ay hindi naglalaho, kaya malulutas ng isa ang ODE na may paggalang sa hinalaw sa pamamagitan ng paghahati ng 2 bahagi sa pamamagitan ng x + 3.

Nakukuha namin .

Susunod, isinasama namin ang nagresultang differential equation, na nalutas nang may paggalang sa derivative: . Upang kunin ang integral na ito, ginagamit namin ang paraan ng subsuming sa ilalim ng tanda ng kaugalian.

Apendise

Paglutas ng mga differential equation online sa site para pagsama-samahin ng mga mag-aaral ang materyal na kanilang pinag-aralan. At sanayin ang iyong mga praktikal na kasanayan. Differential equation online. Difuras online, online na solusyon sa matematika. Hakbang sa hakbang na solusyon ng mga problema sa matematika online. Ang pagkakasunud-sunod, o antas, ng isang differential equation ay ang pinakamataas na pagkakasunud-sunod ng mga derivatives na kasama dito. Differential equation online. Ang proseso ng paglutas ng differential equation ay tinatawag na integration. Ang problema sa pagsasama ng isang differential equation ay itinuturing na lutasin kung ang paghahanap ng hindi kilalang function ay maaaring dalhin sa quadrature, hindi alintana kung ang resultang integral ay ipinahayag sa huling anyo sa mga tuntunin ng mga kilalang function o hindi. Hakbang sa hakbang na solusyon ng mga differential equation online. Ang lahat ng mga differential equation ay maaaring hatiin sa ordinaryong differential equation (ODE), na kinabibilangan lamang ng mga function (at ang kanilang mga derivatives) ng isang argumento, at partial differential equation (PDE), kung saan ang input function ay nakadepende sa maraming variable. Differential equation online. Mayroon ding mga stochastic differential equation (SDEs) na kinasasangkutan ng mga random na proseso. Hakbang sa hakbang na solusyon ng mga differential equation online. Depende sa mga kumbinasyon ng mga derivatives, function, independent variable, ang mga differential equation ay nahahati sa linear at non-linear, na may pare-pareho o variable coefficients, homogenous o non-homogeneous. Dahil sa kahalagahan ng mga aplikasyon, ang quasilinear (linear na may kinalaman sa mas mataas na mga derivatives) na mga partial differential equation ay ibinubukod sa isang hiwalay na klase. Ang mga solusyon ng differential equation ay nahahati sa pangkalahatan at partikular na mga solusyon. Differential equation online. Kasama sa mga pangkalahatang solusyon ang mga hindi natukoy na constant, at para sa mga partial differential equation, mga arbitrary na function ng mga independent variable na maaaring pinuhin mula sa karagdagang mga kondisyon ng integration (mga paunang kundisyon para sa mga ordinaryong differential equation, inisyal at boundary na kondisyon para sa partial differential equation). Hakbang sa hakbang na solusyon ng mga differential equation online. Matapos matukoy ang anyo ng mga pare-pareho at hindi tiyak na pag-andar, ang mga solusyon ay nagiging partikular. Ang paghahanap para sa mga solusyon sa mga ordinaryong differential equation ay humantong sa pagtatatag ng isang klase ng mga espesyal na function - mga function na madalas na nakatagpo sa mga application na hindi ipinahayag sa mga tuntunin ng mga kilalang elementarya function. Differential equation online. Ang kanilang mga pag-aari ay pinag-aralan nang detalyado, ang mga talahanayan ng mga halaga ay pinagsama-sama, natukoy ang mga pagkakaugnay, atbp. . Ang hanay ng mga enumerated na numero ay maaaring tuklasin. Ang pinakamahusay na sagot sa ibinigay na problema. Paano mahahanap sa unang pagtatantya ang papalabas na vector sa rehiyon ng convergence tungkol sa Differential equation nang hindi nililinaw ang natagpuang itaas na limitasyon. Ang pagpipilian ay halata para sa pagtaas ng mga pag-andar ng matematika. Mayroong progresibong pamamaraan sa itaas ng antas ng pananaliksik. Upang iayon sa paunang kondisyon ng problema, ang solusyon ng pagkakaiba ay makakatulong upang makahanap ng isang pinahahalagahan na napiling halaga. Maaaring matukoy niya kaagad ang hindi alam. Tulad ng sa nakaraang halimbawa ng pagpapakita ng solusyon sa isang problemang matematikal, ang mga linear differential equation ay ang sagot sa isang partikular na problema sa isang tinukoy na time frame. Ang pagpapanatili ng pamamaraan ng pag-aaral ay hindi lokal na tinukoy. Ito ay upang magkaroon ng isang halimbawa para sa bawat mag-aaral at ang solusyon ng mga differential equation ay matutukoy ng taong itinalaga sa responsableng tagapagpatupad mula sa hindi bababa sa dalawang halaga. Kumuha ng function na may pangkalahatang halaga sa isang partikular na segment at bigyan ng babala kung aling axis ang magkakaroon ng gap. Ang pagkakaroon ng pag-aaral ng mga differential equation online, posible na malinaw na ipakita kung gaano kahalaga ang resulta, kung ang isa ay ibinigay mula sa mga unang kundisyon. Ang pagputol ng isang rehiyon sa isang kahulugan ng function ay imposible, dahil walang lokal na kahulugan ng gawain. Dahil natagpuan mula sa isang sistema ng mga equation, ang sagot ay naglalaman ng isang variable na maaaring kalkulahin sa pangkalahatang kahulugan, ngunit natural na magiging posible na malutas ang isang differential equation online nang walang aksyon na ito upang matukoy ang nasabing kundisyon. Malapit sa pagitan ng segment, makikita kung paano nagagawa ng solusyon ng differential equation online na isulong ang resulta ng pananaliksik sa positibong direksyon sa oras ng cutoff ng kaalaman ng mga mag-aaral. Ang pinakamahusay ay hindi palaging nakukuha ng pangkalahatang tinatanggap na diskarte sa negosyo. Sa antas ng 2x, maaaring makita ng isa ang lahat ng kinakailangang natural na linear differential equation, ngunit ang kakayahang magkalkula ng numerical na halaga ay hahantong sa pagtaas ng kaalaman. Ayon sa anumang pamamaraan sa matematika, may mga differential equation na ipinakita sa mahalagang magkakaibang mga expression, tulad ng homogenous o complex. Ang pagkakaroon ng isang pangkalahatang pagsusuri ng pag-aaral ng function, magiging malinaw na ang solusyon ng kaugalian bilang isang hanay ng mga posibilidad ay kumakatawan sa isang malinaw na error sa mga halaga. Ang katotohanan dito ay namamalagi sa espasyo sa itaas ng mga linya ng abscissa. Sa isang lugar sa domain ng isang kumplikadong function, sa ilang punto sa kahulugan nito, ang mga linear differential equation ay maaaring kumatawan sa sagot sa isang analytical form. iyon ay, sa pangkalahatang mga termino, bilang ang kakanyahan. Walang magbabago kapag binago ang variable. Gayunpaman, kinakailangang tingnan ang sagot nang may espesyal na interes. Sa katunayan, binabago ng calculator ang ratio sa dulo, iyon ay, kung paano ang solusyon ng mga differential equation ay proporsyonal sa pandaigdigang halaga ay ipinahiwatig sa loob ng nais na solusyon. Sa ilang mga kaso, hindi maiiwasan ang isang babala ng mass error. Ang mga differential equation online ay nagpapatupad ng pangkalahatang ideya ng problema, ngunit sa huli, kailangan mong magbigay ng mga positibong aspeto ng cross product sa lalong madaling panahon. Sa matematika, ang mga kaso ng pagkakamali sa teorya ng numero ay hindi karaniwan. Talagang kailangang suriin. Naturally, mas mabuting ibigay ang karapatang ito sa mga propesyonal sa kanilang larangan at sila ang tutulong upang malutas ang differential equation online, dahil napakalaki at positibo ang kanilang karanasan. Ang pagkakaiba sa ibabaw ng mga figure at ang lugar ay tulad na ito ay hindi ang solusyon ng mga differential equation online na magbibigay-daan sa iyo upang makita, ngunit ang hanay ng mga hindi intersected na bagay ay tulad na ang linya ay parallel sa axis. Bilang resulta, maaari kang makakuha ng doble sa dami ng mga halaga. Ang pagiging implicit, ang aming ideya ng kawastuhan ng pormal na notasyon ay nagbibigay para sa mga linear na equation ng kaugalian kapwa sa lugar ng pagtingin at may kaugnayan sa sadyang labis na pagtatantya ng kalidad ng resulta. Ang isang talakayan sa isang paksa na kawili-wili sa lahat ng mga mag-aaral ay nai-publish nang ilang beses sa pagsusuri. Sa buong pag-aaral ng buong kurso ng mga lektura, itutuon natin ang ating atensyon sa mga differential equation at mga kaugnay na larangan ng pag-aaral ng agham, kung hindi ito sumasalungat sa katotohanan. Maraming mga yugto ang maaaring iwasan sa simula ng paglalakbay. Kung ang solusyon sa pagkakaiba-iba ay panimula pa ring isang bagay na bago para sa mga mag-aaral, kung gayon ang luma ay hindi nakalimutan sa lahat, ngunit umuusad sa hinaharap sa isang mataas na rate ng pag-unlad. Sa una, ang mga kondisyon para sa isang problema sa matematika ay magkakaiba, ngunit ito ay ipinahiwatig sa talata sa kanan. Matapos ang pag-expire ng oras na tinukoy ng kahulugan, ang posibilidad ng isang proporsyonal na umaasa na kinalabasan sa iba't ibang mga eroplano ng paggalaw ng vector ay hindi pinasiyahan. Ang ganitong simpleng kaso ay naitama sa parehong paraan tulad ng linear differential equation ay inilarawan sa isang calculator sa isang pangkalahatang anyo, kaya ito ay magiging mas mabilis at ang offset ng mga kalkulasyon ay hindi hahantong sa isang maling opinyon. Limang kaso lamang na pinangalanan ayon sa teorya ang maaaring itulak ang mga hangganan ng kung ano ang nangyayari. Ang aming solusyon ng mga differential equation ay makakatulong upang manu-manong kalkulahin ang halaga sa mga numero na nasa mga unang yugto ng agnas ng functional space. Sa mga tamang lugar, kinakailangang ipakita ang punto ng pakikipag-ugnay ng apat na linya sa pangkalahatang kahulugan. Ngunit kung kailangan mong pilitin ang gawain, kung gayon ito ay magiging madaling katumbas ng pagiging kumplikado. Ang paunang data ay sapat na upang idisenyo ang katabing binti at ang mga online na differential equation ay tumingin sa kaliwa at ang isang panig na ibabaw ay nakadirekta patungo sa vector rotor. Sa itaas ng itaas na limitasyon, ang mga numerong halaga ay posible na lampas sa ipinahiwatig na kondisyon. Posibleng isaalang-alang ang mathematical formula at lutasin ang differential equation online dahil sa tatlong hindi alam sa pangkalahatang halaga ng proporsyon. Ang lokal na paraan ng pagkalkula ay kinikilala bilang wasto. Ang sistema ng coordinate ay hugis-parihaba sa relatibong paggalaw ng eroplano. Ginagawang posible ng pangkalahatang online na solusyon ng mga differential equation na malinaw na makagawa ng konklusyon na pabor sa isang computational sweep sa mga kahulugan ng matrix sa buong tuwid na linya na matatagpuan sa itaas ng graph ng isang tahasang ibinigay na function. Ang solusyon ay makikita sa pamamagitan ng kung ilalapat mo ang motion vector sa punto ng contact ng tatlong hemispheres. Ang silindro ay nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng parihaba sa paligid ng gilid at ang mga linear differential equation ay maaaring magpakita ng direksyon ng paggalaw ng punto ayon sa ibinigay na mga expression ng batas ng paggalaw nito. Ang paunang data ay tama at ang problema sa matematika ay maaaring palitan sa ilalim ng isang simpleng kondisyon. Gayunpaman, dahil sa mga pangyayari, dahil sa pagiging kumplikado ng subproblem ng setting, pinapasimple ng mga differential equation ang proseso ng mga kalkuladong numerical space sa antas ng three-dimensional na espasyo. Madaling patunayan kung hindi man, ngunit posible na maiwasan ito, tulad ng sa halimbawa sa itaas. Sa mas mataas na matematika, ang mga sumusunod na punto ay ibinigay: kapag ang isang problema ay nabawasan sa isang pinasimpleng anyo, ang pinakamalaking posibleng pagsisikap sa bahagi ng mga mag-aaral ay dapat na palawigin dito. Ang mga linyang nakapatong sa isa't isa ay nahuhulog sa offset. Ipinagpapatuloy pa rin ng Pro differential solution ang bentahe ng nasabing pamamaraan sa isang hubog na linya. Kung nakilala mo sa una hindi kung ano ang kailangan mo, pagkatapos ay ang mathematical formula ay gagawa ng isang bagong halaga ng expression. Ang layunin ay ang pinakamainam na diskarte sa paglutas ng mga gawaing itinakda ng propesor. Hindi mo dapat ipagpalagay na ang mga linear differential equation sa isang pinasimpleng anyo ay lalampas sa inaasahang resulta. Naglalagay kami ng tatlong vectors sa isang finitely composed surface. orthogonal sa isa't isa. Kalkulahin natin ang produkto. Isagawa natin ang pagdaragdag ng mas malaking bilang ng mga simbolo at isulat ang lahat ng mga variable ng function mula sa resultang expression. May proporsyon. Maraming mga aksyon bago ang pagtatapos ng pagkalkula ay hindi magbibigay ng isang hindi malabo na sagot sa solusyon ng mga differential equation kaagad, ngunit pagkatapos lamang na lumipas ang inilaang oras kasama ang ordinate axis. Sa kaliwa ng discontinuity point, implicitly na ibinigay mula sa function, gumuhit kami ng axis orthogonal sa pinakamahusay na pagtaas ng vector at inilalagay ang mga online na differential equation kasama ang pinakamaliit na boundary value ng lower bound ng mathematical object. Magdagdag tayo ng karagdagang argumento sa break area ng function. Sa kanan ng mga punto ng curved line, ang mga formula na isinulat namin para sa pagbabawas sa isang karaniwang denominator ay makakatulong upang malutas ang differential equation online. Ang tanging tamang diskarte ay ang magbibigay ng liwanag sa hindi nalutas na mga problema mula sa teorya hanggang sa pagsasanay, sa pangkalahatang kaso nang walang pag-aalinlangan. Ang mga linya sa direksyon ng mga coordinate ng mga ibinigay na punto ay hindi kailanman isinara ang matinding posisyon ng parisukat, gayunpaman, ang solusyon ng mga differential equation online ay makakatulong sa parehong mga mag-aaral at sa amin, at mga baguhan lamang sa larangang ito, upang pag-aralan ang matematika. Pinag-uusapan natin ang posibilidad na palitan ang value argument sa lahat ng makabuluhang subline ng isang field. Sa prinsipyo, tulad ng inaasahan ng isa, ang aming mga linear differential equation ay isang bagay na nakahiwalay sa isang konsepto ng pinababang kahulugan. Upang matulungan ang mga mag-aaral, ang isa sa mga pinakamahusay sa mga katulad na serbisyo ay isang calculator. Pumunta sa lahat ng mga kurso at piliin ang pinakamahusay para sa iyo.

=

Ordinaryong differential equation tinatawag na isang equation na nag-uugnay sa isang independent variable, isang hindi kilalang function ng variable na ito at ang mga derivatives nito (o differentials) ng iba't ibang order.

Ang pagkakasunud-sunod ng differential equation ay ang pagkakasunod-sunod ng pinakamataas na derivative na nakapaloob dito.

Bilang karagdagan sa mga ordinaryong, ang mga partial differential equation ay pinag-aralan din. Ito ay mga equation na nauugnay sa mga independiyenteng variable, isang hindi kilalang function ng mga variable na ito at ang mga partial derivatives nito na may kinalaman sa parehong mga variable. Ngunit isasaalang-alang lamang natin ordinaryong differential equation at samakatuwid ay aalisin natin ang salitang "karaniwan" para sa maikli.

Mga halimbawa ng differential equation:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Ang equation (1) ay nasa ikaapat na pagkakasunud-sunod, ang equation (2) ay nasa ikatlong pagkakasunud-sunod, ang mga equation (3) at (4) ay nasa pangalawang pagkakasunud-sunod, ang equation (5) ay nasa unang pagkakasunud-sunod.

Differential equation n ang order ay hindi kailangang tahasang naglalaman ng isang function, ang lahat ng mga derivatives nito mula una hanggang n ika-order at isang malayang baryabol. Maaaring hindi ito tahasang naglalaman ng mga derivatives ng ilang order, isang function, isang independent variable.

Halimbawa, sa equation (1) ay malinaw na walang mga derivatives ng ikatlo at pangalawang order, pati na rin ang mga function; sa equation (2) - second-order derivative at function; sa equation (4) - independent variable; sa equation (5) - mga function. Ang equation (3) lamang ang tahasang naglalaman ng lahat ng derivatives, ang function, at ang independent variable.

Sa pamamagitan ng paglutas ng differential equation anumang function ay tinatawag y = f(x), pinapalitan ang alin sa equation, ito ay nagiging isang pagkakakilanlan.

Ang proseso ng paghahanap ng solusyon sa isang differential equation ay tinatawag na nito pagsasama.

Halimbawa 1 Maghanap ng solusyon sa differential equation.

Desisyon. Isinulat namin ang equation na ito sa form . Ang solusyon ay upang mahanap ang function sa pamamagitan ng derivative nito. Ang orihinal na function, gaya ng nalalaman mula sa integral calculus, ay ang antiderivative para sa, i.e.

Iyon na iyon solusyon ng ibinigay na differential equation . pagbabago sa loob nito C, makakakuha tayo ng iba't ibang solusyon. Nalaman namin na mayroong walang katapusang bilang ng mga solusyon sa isang first-order differential equation.

Pangkalahatang solusyon ng differential equation n Ang ika-utos ay ang solusyon nito na tahasang ipinahayag patungkol sa hindi kilalang function at naglalaman n independiyenteng arbitrary na mga pare-pareho, ibig sabihin.

Ang solusyon ng differential equation sa halimbawa 1 ay pangkalahatan.

Bahagyang solusyon ng differential equation ang solusyon nito ay tinatawag, kung saan ang mga tiyak na halaga ng numero ay itinalaga sa mga di-makatwirang constants.

Halimbawa 2 Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng differential equation at isang partikular na solusyon para sa .

Desisyon. Isinasama namin ang parehong bahagi ng equation nang ilang beses na ang pagkakasunud-sunod ng differential equation ay pantay.

,

.

Bilang resulta, nakuha namin ang pangkalahatang solusyon -

ibinigay na third-order differential equation.

Ngayon maghanap tayo ng isang partikular na solusyon sa ilalim ng mga tinukoy na kondisyon. Upang gawin ito, pinapalitan namin ang kanilang mga halaga sa halip na mga di-makatwirang coefficient at makuha

.

Kung, bilang karagdagan sa differential equation, ang paunang kondisyon ay ibinibigay sa form , kung gayon ang naturang problema ay tinatawag na Cauchy na problema . Ang mga halaga at pinapalitan sa pangkalahatang solusyon ng equation at ang halaga ng isang di-makatwirang pare-pareho ay matatagpuan C, at pagkatapos ay isang partikular na solusyon ng equation para sa nahanap na halaga C. Ito ang solusyon sa problemang Cauchy.

Halimbawa 3 Lutasin ang problemang Cauchy para sa differential equation mula sa Halimbawa 1 sa ilalim ng kundisyon .

Desisyon. Pinapalitan namin sa pangkalahatang solusyon ang mga halaga mula sa paunang kondisyon y = 3, x= 1. Nakukuha namin

Isinulat namin ang solusyon ng problemang Cauchy para sa ibinigay na equation ng kaugalian ng unang pagkakasunud-sunod:

Ang paglutas ng mga differential equation, kahit na ang pinakasimpleng mga equation, ay nangangailangan ng mahusay na mga kasanayan sa pagsasama at pagkuha ng mga derivatives, kabilang ang mga kumplikadong function. Ito ay makikita sa sumusunod na halimbawa.

Halimbawa 4 Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng differential equation.

Desisyon. Ang equation ay nakasulat sa isang form na ang magkabilang panig ay maaaring isama kaagad.

.

Inilapat namin ang paraan ng pagsasama sa pamamagitan ng pagbabago ng variable (pagpapalit). Hayaan mo, kung gayon.

Kinakailangang kunin dx at ngayon - pansin - ginagawa namin ito ayon sa mga patakaran ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong pag-andar, dahil x at mayroong isang kumplikadong function ("mansanas" - pag-extract ng square root o, na pareho - pagtaas sa kapangyarihan "isang segundo", at "minced meat" - ang expression mismo sa ilalim ng ugat):

Natagpuan namin ang integral:

Pagbabalik sa variable x, nakukuha natin:

.

Ito ang pangkalahatang solusyon ng differential equation na ito ng unang degree.

Hindi lamang mga kasanayan mula sa mga nakaraang seksyon ng mas mataas na matematika ang kakailanganin sa paglutas ng mga differential equation, kundi pati na rin ang mga kasanayan mula sa elementarya, iyon ay, matematika ng paaralan. Tulad ng nabanggit na, sa isang differential equation ng anumang pagkakasunud-sunod ay maaaring walang isang malayang variable, iyon ay, isang variable x. Ang kaalaman tungkol sa mga proporsyon na hindi nakalimutan (gayunpaman, kahit sino ay tulad nito) mula sa bangko ng paaralan ay makakatulong upang malutas ang problemang ito. Ito ang susunod na halimbawa.

Alalahanin ang problemang kinaharap natin nang maghanap ng mga tiyak na integral:

o dy = f(x)dx. Ang kanyang solusyon:

at ito ay bumababa sa pagkalkula ng isang hindi tiyak na integral. Sa pagsasagawa, ang isang mas mahirap na gawain ay mas karaniwan: upang makahanap ng isang function y, kung ito ay kilala na ito ay nakakatugon sa isang kaugnayan ng anyo

Ang kaugnayang ito ay nag-uugnay sa malayang baryabol x, hindi kilalang function y at ang mga derivative nito hanggang sa pagkakasunud-sunod n inclusive, ay tinatawag .

Kasama sa isang differential equation ang isang function sa ilalim ng sign ng mga derivatives (o differentials) ng isang order o iba pa. Ang ayos ng pinakamataas ay tinatawag na ayos (9.1) .

Mga Differential Equation:

- unang order

pangalawang utos,

- ikalimang order, atbp.

Ang isang function na nakakatugon sa isang ibinigay na differential equation ay tinatawag na solusyon nito , o integral . Upang malutas ito ay nangangahulugang hanapin ang lahat ng mga solusyon nito. Kung para sa nais na function y nagtagumpay sa pagkuha ng isang formula na nagbibigay ng lahat ng mga solusyon, pagkatapos ay sasabihin namin na natagpuan namin ang pangkalahatang solusyon nito , o pangkalahatang integral .

Karaniwang desisyon naglalaman ng n di-makatwirang mga pare-pareho at mukhang

Kung ang isang relasyon ay nakuha na nauugnay x, y at n arbitrary constants, sa isang form na hindi pinahihintulutan na may paggalang sa y -

kung gayon ang gayong relasyon ay tinatawag na pangkalahatang integral ng equation (9.1).

Cauchy na problema

Ang bawat tiyak na solusyon, ibig sabihin, ang bawat tiyak na function na nakakatugon sa isang naibigay na differential equation at hindi nakadepende sa mga arbitrary constants, ay tinatawag na isang partikular na solusyon. , o pribadong integral. Upang makakuha ng mga partikular na solusyon (integral) mula sa mga pangkalahatan, kinakailangan na ilakip ang mga tiyak na halaga ng numero sa mga constant.

Ang graph ng isang partikular na solusyon ay tinatawag na integral curve. Ang pangkalahatang solusyon, na naglalaman ng lahat ng partikular na solusyon, ay isang pamilya ng mga integral na kurba. Para sa isang first-order equation, ang pamilyang ito ay nakasalalay sa isang arbitrary constant; para sa equation n ika-utos - mula sa n di-makatwirang mga pare-pareho.

Ang problema ng Cauchy ay ang paghahanap ng partikular na solusyon sa equation n ika-utos, kasiya-siya n paunang kondisyon:

na tumutukoy sa n constants с 1 , с 2 ,..., c n.

1st order differential equation

Para sa isang hindi nalutas na may kinalaman sa derivative, ang differential equation ng 1st order ay may anyo

o para sa pinahihintulutan medyo

Halimbawa 3.46. Maghanap ng isang pangkalahatang solusyon sa equation

Desisyon. Pagsasama, nakukuha namin

kung saan ang C ay isang arbitrary na pare-pareho. Kung magbibigay kami ng mga tiyak na halagang numero ng C, pagkatapos ay makakakuha kami ng mga partikular na solusyon, halimbawa,

Halimbawa 3.47. Isaalang-alang ang pagtaas ng halaga ng pera na idineposito sa bangko, napapailalim sa accrual na 100 r tambalang interes kada taon. Hayaan ang Yo ang paunang halaga ng pera, at Yx pagkatapos ng expiration x taon. Kapag kinakalkula ang interes isang beses sa isang taon, nakukuha namin

kung saan ang x = 0, 1, 2, 3,.... Kapag kinakalkula ang interes dalawang beses sa isang taon, nakukuha natin

kung saan ang x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Kapag kinakalkula ang interes n minsan sa isang taon at kung x sunud-sunod na kumukuha ng mga halaga 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., pagkatapos

Ipahiwatig ang 1/n = h , kung gayon ang dating pagkakapantay-pantay ay magiging ganito:

Na may walang limitasyong pagpapalaki n(sa ) sa limitasyon na dumarating tayo sa proseso ng pagtaas ng halaga ng pera na may tuluy-tuloy na pag-iipon ng interes:

Kaya, makikita na sa patuloy na pagbabago x ang batas ng pagbabago sa supply ng pera ay ipinahayag ng isang differential equation ng 1st order. Kung saan ang Y x ay isang hindi kilalang function, x- malayang variable, r- pare-pareho. Nalulutas namin ang equation na ito, para dito ay muling isinulat namin ito bilang mga sumusunod:

saan , o , kung saan ang P ay nangangahulugang e C .

Mula sa mga unang kundisyon Y(0) = Yo , makikita natin ang P: Yo = Pe o , kung saan, Yo = P. Samakatuwid, ang solusyon ay mukhang:

Isaalang-alang ang pangalawang problema sa ekonomiya. Ang mga macroeconomic na modelo ay inilalarawan din ng mga linear differential equation ng 1st order, na naglalarawan sa pagbabago sa kita o output Y bilang isang function ng oras.

Halimbawa 3.48. Hayaang tumaas ang pambansang kita Y sa isang rate na proporsyonal sa laki nito:

at hayaan, ang depisit sa paggasta ng pamahalaan ay direktang proporsyonal sa kita Y na may koepisyent ng proporsyonalidad q. Ang depisit sa paggasta ay humahantong sa pagtaas ng pambansang utang D:

Paunang kondisyon Y = Yo at D = Gawin sa t = 0. Mula sa unang equation Y= Yoe kt . Ang pagpapalit sa Y ay nakukuha natin dD/dt = qYoe kt . Ang pangkalahatang solusyon ay may anyo
D = (q/ k) Yoe kt +С, kung saan С = const, na tinutukoy mula sa mga paunang kondisyon. Ang pagpapalit sa mga paunang kundisyon, nakuha namin ang Do = (q/k)Yo + C. Kaya, sa wakas,

D = Gawin +(q/k)Yo (e kt -1),

ito ay nagpapakita na ang pambansang utang ay tumataas sa parehong relatibong rate k, na siyang pambansang kita.

Isaalang-alang ang pinakasimpleng differential equation n order, ito ay mga equation ng form

Ang pangkalahatang solusyon nito ay maaaring makuha gamit ang n mga oras ng pagsasama.

Halimbawa 3.49. Isaalang-alang ang halimbawa y """ = cos x.

Desisyon. Pagsasama, nahanap namin

Ang pangkalahatang solusyon ay may anyo

Mga linear differential equation

Sa ekonomiya, ang mga ito ay may mahusay na paggamit, isaalang-alang ang solusyon ng naturang mga equation. Kung ang (9.1) ay may anyo:

pagkatapos ito ay tinatawag na linear, kung saan ang po(x), p1(x),..., pn(x), f(x) ay binibigyan ng mga function. Kung f(x) = 0, kung gayon ang (9.2) ay tinatawag na homogenous, kung hindi, ito ay tinatawag na non-homogeneous. Ang pangkalahatang solusyon ng equation (9.2) ay katumbas ng kabuuan ng alinman sa mga partikular na solusyon nito y(x) at ang pangkalahatang solusyon ng homogenous na equation na naaayon dito:

Kung ang mga coefficient na p o (x), p 1 (x),..., p n (x) ay mga pare-pareho, kung gayon (9.2)

(9.4) ay tinatawag na linear differential equation na may pare-parehong coefficients of order n .

Para sa (9.4) mayroon itong anyo:

Maaari naming itakda nang walang pagkawala ng pangkalahatan p o = 1 at isulat ang (9.5) sa form

Maghahanap tayo ng solusyon (9.6) sa anyong y = e kx , kung saan ang k ay isang pare-pareho. Meron kami: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . I-substitute ang nakuhang expression sa (9.6), magkakaroon tayo ng:

Ang (9.7) ay isang algebraic equation, ang hindi alam ay k, ito ay tinatawag na katangian. Ang katangian equation ay may degree n at n mga ugat, kung saan maaaring mayroong maramihan at kumplikado. Hayaan ang k 1 , k 2 ,..., k n maging totoo at naiiba, kung gayon ay mga partikular na solusyon (9.7), habang ang pangkalahatan

Isaalang-alang ang isang linear homogeneous differential equation ng pangalawang order na may pare-parehong coefficient:

Ang katangiang equation nito ay may anyo

(9.9)

ang discriminant nito D = p 2 - 4q, depende sa tanda ng D, tatlong kaso ang posible.

1. Kung D>0, kung gayon ang mga ugat k 1 at k 2 (9.9) ay totoo at naiiba, at ang pangkalahatang solusyon ay may anyo:

Desisyon. Equation ng katangian: k 2 + 9 = 0, kung saan ang k = ± 3i, a = 0, b = 3, ang pangkalahatang solusyon ay:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Ang mga second-order linear differential equation ay ginagamit upang pag-aralan ang isang tulad-web na modelong pang-ekonomiya na may mga stock ng mga kalakal, kung saan ang rate ng pagbabago ng presyo P ay depende sa laki ng stock (tingnan ang talata 10). Kung ang supply at demand ay mga linear function ng presyo, ibig sabihin,

a - ay isang pare-pareho na tumutukoy sa rate ng reaksyon, pagkatapos ang proseso ng pagbabago ng presyo ay inilalarawan ng isang differential equation:

Para sa isang partikular na solusyon, maaari kang kumuha ng pare-pareho

na may kahulugan ng presyong ekwilibriyo. paglihis natutugunan ang homogenous na equation

(9.10)

Ang katangiang equation ay ang mga sumusunod:

Kung sakali, positibo ang termino. Magpakilala . Ang mga ugat ng katangiang equation k 1,2 = ± i w, kaya ang pangkalahatang solusyon (9.10) ay may anyo:

kung saan ang C at arbitrary constants, ang mga ito ay tinutukoy mula sa mga paunang kondisyon. Nakuha namin ang batas ng pagbabago ng presyo sa oras:

Ilagay ang iyong differential equation, ang apostrophe """ ay ginagamit para ipasok ang derivative, pindutin ang submit at makuha ang solusyon