Pahina 1 ng 2

Tanong 1. Patunayan na ang dalawang linya na kahanay ng pangatlo ay magkatulad.
Sagot. Teorama 4.1. Dalawang linya parallel sa isang third ay parallel.
Patunay. Hayaang magkapantay ang mga linya a at b sa linya c. Ipagpalagay na ang a at b ay hindi magkatulad (Larawan 69). Pagkatapos ay hindi sila nag-intersect sa isang punto C. Kaya, dalawang linya ang dumadaan sa punto C at parallel sa linya c. Ngunit ito ay imposible, dahil sa pamamagitan ng isang punto na hindi nakahiga sa isang naibigay na linya, hindi hihigit sa isang linya na kahanay sa ibinigay na linya ay maaaring iguguhit. Napatunayan na ang theorem.

Tanong 2. Ipaliwanag kung anong mga anggulo ang tinatawag na panloob na isang panig. Anong mga anggulo ang tinatawag na internal cross lying?
Sagot. Ang mga pares ng mga anggulo na nabuo kapag ang mga linyang AB at CD ay nagsalubong sa AC ay may mga espesyal na pangalan.
Kung ang mga puntos na B at D ay nasa parehong kalahating eroplano na nauugnay sa tuwid na linya ng AC, kung gayon ang mga anggulo na BAC at DCA ay tinatawag na panloob na isang panig (Larawan 71, a).
Kung ang mga puntos na B at D ay nasa magkakaibang kalahating eroplano na nauugnay sa linya ng AC, kung gayon ang mga anggulo na BAC at DCA ay tinatawag na panloob na crosswise lying (Larawan 71, b).

kanin. 71

Tanong 3. Patunayan na kung ang mga panloob na cross-lying na anggulo ng isang pares ay pantay, kung gayon ang panloob na cross-lying na mga anggulo ng isa pang pares ay pantay din, at ang kabuuan ng panloob na isang panig na anggulo ng bawat pares ay 180°.
Sagot. Ang secant AC ay bumubuo ng mga linyang AB at CD ng dalawang pares ng panloob na isang panig at dalawang pares ng panloob na cross-lying na mga anggulo. Ang mga panloob na cross-lying na sulok ng isang pares, halimbawa, anggulo 1 at anggulo 2, ay katabi ng panloob na cross-lying na mga anggulo ng isa pang pares: anggulo 3 at anggulo 4 (Fig. 72).

kanin. 72

Samakatuwid, kung ang mga panloob na cross-lying na anggulo ng isang pares ay pantay, kung gayon ang panloob na cross-lying na mga anggulo ng isa pang pares ay pantay din.
Ang isang pares ng panloob na cross-lying na sulok, tulad ng anggulo 1 at anggulo 2, at ang isang pares ng panloob na isang panig na sulok, tulad ng anggulo 2 at anggulo 3, ay may isang karaniwang anggulo, anggulo 2, at dalawang iba pang magkatabing anggulo, anggulo 1 at anggulo 3.
Samakatuwid, kung ang panloob na cross-lying na mga anggulo ay pantay, kung gayon ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ay 180°. At kabaliktaran: kung ang kabuuan ng panloob na cross-lying na mga anggulo ay katumbas ng 180°, kung gayon ang panloob na cross-lying na mga anggulo ay pantay. Q.E.D.

Tanong 4. Patunayan ang criterion para sa mga parallel na linya.
Sagot. Theorem 4.2 (pagsubok para sa mga parallel na linya). Kung ang mga panloob na cross-lying na anggulo ay pantay o ang kabuuan ng panloob na isang panig na anggulo ay 180°, kung gayon ang mga linya ay magkatulad.
Patunay. Hayaang ang mga linya a at b ay bumuo ng pantay na panloob na crosswise lying na mga anggulo na may secant AB (Fig. 73, a). Ipagpalagay na ang mga linya a at b ay hindi magkatulad, na nangangahulugan na sila ay nagsalubong sa isang punto C (Larawan 73, b).

kanin. 73

Hinahati ng secant AB ang eroplano sa dalawang kalahating eroplano. Nasa isa sa mga ito ang punto C. Bumuo tayo ng tatsulok BAC 1 , katumbas ng tatsulok na ABC, na may vertex C 1 sa kabilang kalahating eroplano. Sa pamamagitan ng kundisyon, ang mga panloob na cross-lying na anggulo para sa parallel a, b at secant AB ay pantay. Dahil ang mga kaukulang anggulo ng mga tatsulok na ABC at BAC 1 na may mga vertice A at B ay pantay, nag-tutugma sila sa panloob na mga cross-lying na anggulo. Kaya naman, ang linyang AC 1 ay tumutugma sa linya a, at ang linyang BC 1 ay tumutugma sa linya b. Lumalabas na dalawang magkaibang linya a at b ang dumadaan sa mga puntong C at C 1. At ito ay imposible. Kaya ang mga linya a at b ay magkatulad.
Kung ang mga linya a at b at secant AB ay may kabuuan ng panloob na isang panig na anggulo na katumbas ng 180°, kung gayon, tulad ng alam natin, ang panloob na cross-lying na mga anggulo ay pantay. Kaya, sa pamamagitan ng kung ano ang napatunayan sa itaas, ang mga linya a at b ay parallel. Napatunayan na ang theorem.

Tanong 5. Ipaliwanag kung anong mga anggulo ang tinatawag na katumbas. Patunayan na kung ang mga panloob na cross-lying na mga anggulo ay pantay, ang katumbas na mga anggulo ay pantay din, at kabaliktaran.

Sagot. Kung ang isang pares ng panloob na cross-lying na mga anggulo ay may isang anggulo na pinalitan ng isang patayo, pagkatapos ay isang pares ng mga anggulo ang makukuha, na tinatawag na kaukulang mga anggulo ng mga ibinigay na linya na may isang secant. Alin ang kailangang ipaliwanag.
Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga panloob na cross-lying na mga anggulo ay sumusunod sa pagkakapantay-pantay ng kaukulang mga anggulo, at vice versa. Sabihin nating mayroon tayong dalawang parallel na linya (dahil sa kondisyon ang panloob na cross-lying na mga anggulo ay pantay) at isang secant, na bumubuo ng mga anggulo 1, 2, 3. Ang mga anggulo 1 at 2 ay katumbas ng panloob na cross-lying. At ang mga anggulo 2 at 3 ay katumbas ng patayo. Nakukuha namin ang: \(\angle\)1 = \(\angle\)2 at \(\angle\)2 = \(\angle\)3. Sa pamamagitan ng pag-aari ng transitivity ng equal sign, ito ay sumusunod na \(\angle\)1 = \(\angle\)3. Ang converse assertion ay pinatunayan din.
Nagreresulta ito sa isang senyales ng mga parallel na linya sa kaukulang mga anggulo. Namely, ang mga linya ay parallel kung ang mga kaukulang anggulo ay pantay. Q.E.D.

Tanong 6. Patunayan na sa pamamagitan ng isang punto na hindi nakahiga sa isang naibigay na linya, posible na gumuhit ng isang linya parallel dito. Gaano karaming mga linya na kahanay sa isang naibigay na linya ang maaaring iguhit sa isang punto na wala sa linyang ito?

Sagot. Problema (8). Ibinigay ang isang linya AB at isang punto C na hindi nakahiga sa linyang ito. Patunayan na sa pamamagitan ng punto C ay posible na gumuhit ng isang linya parallel sa linya AB.
Desisyon. Ang tuwid na linyang AC ay naghahati sa eroplano sa dalawang kalahating eroplano (Larawan 75). Ang Point B ay nasa isa sa kanila. Mula sa kalahating linya ng CA, i-plot natin ang anggulong ACD na katumbas ng anggulong CAB sa kabilang kalahating eroplano. Pagkatapos ay ang mga linyang AB at CD ay magiging parallel. Sa katunayan, para sa mga linyang ito at ang secant AC, ang mga anggulo ng BAC at DCA ay panloob na crosswise. At dahil pantay-pantay ang mga ito, magkatulad ang mga linyang AB at CD. Q.E.D.
Ang paghahambing ng pahayag ng problema 8 at axiom IX (ang pangunahing pag-aari ng mga parallel na linya), nakarating tayo sa isang mahalagang konklusyon: sa pamamagitan ng isang punto na hindi namamalagi sa isang naibigay na linya, ang isa ay maaaring gumuhit ng isang linya na kahanay dito, at isa lamang.

Tanong 7. Patunayan na kung ang dalawang linya ay nagsalubong sa isang ikatlong linya, kung gayon ang panloob na mga cross-lying na anggulo ay pantay, at ang kabuuan ng panloob na isang panig na anggulo ay 180°.

Sagot. Teorama 4.3(makipag-usap sa Theorem 4.2). Kung ang dalawang magkatulad na linya ay nagsalubong sa isang ikatlong linya, kung gayon ang panloob na mga cross-lying na anggulo ay pantay, at ang kabuuan ng panloob na isang panig na anggulo ay 180°.
Patunay. Hayaang ang a at b ay magkatulad na mga linya at ang c ay ang linyang nagsasalubong sa kanila sa mga puntong A at B. Gumuhit tayo ng isang linyang a 1 hanggang sa punto A upang ang panloob na mga anggulong tumatawid na nabuo ng secant c na may mga linyang a 1 at b ay pantay (Larawan 76).
Sa pamamagitan ng criterion ng parallelism ng mga linya, ang mga linya a 1 at b ay parallel. At dahil isang linya lamang ang dumadaan sa puntong A, kahanay ng linya b, kung gayon ang linyang a ay tumutugma sa linyang a 1 .
Nangangahulugan ito na ang panloob na cross-lying na mga anggulo na nabuo ng secant na may
magkapareho ang mga linyang a at b. Napatunayan na ang theorem.

Tanong 8. Patunayan na ang dalawang linya na patayo sa pangatlo ay parallel. Kung ang isang linya ay patayo sa isa sa dalawang magkatulad na linya, kung gayon ito ay patayo din sa isa.
Sagot. Ito ay sumusunod mula sa Theorem 4.2 na ang dalawang linya na patayo sa isang ikatlo ay parallel.
Ipagpalagay na ang alinmang dalawang linya ay patayo sa ikatlong linya. Samakatuwid, ang mga linyang ito ay bumalandra sa ikatlong linya sa isang anggulo na katumbas ng 90°.
Mula sa pag-aari ng mga anggulo na nabuo sa intersection ng mga parallel na linya ng isang secant, sumusunod na kung ang isang linya ay patayo sa isa sa mga parallel na linya, kung gayon ito ay patayo din sa isa pa.

Tanong 9. Patunayan na ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay 180°.

Sagot. Teorama 4.4. Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay 180°.
Patunay. Hayaan ang ABC ang ibinigay na tatsulok. Gumuhit ng linya sa vertex B parallel sa linya AC. Markahan ang punto D dito upang ang mga punto A at D ay nasa magkabilang panig ng linyang BC (Larawan 78).
Ang mga anggulo ng DBC at ACB ay katumbas ng panloob na crosswise, na nabuo ng secant BC na may parallel na linyang AC at BD. Samakatuwid, ang kabuuan ng mga anggulo ng tatsulok sa mga vertices B at C ay katumbas ng anggulong ABD.
At ang kabuuan ng lahat ng tatlong anggulo ng isang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga anggulo ABD at BAC. Dahil ang mga anggulong ito ay panloob na isang panig para sa magkatulad na AC at BD at secant AB, ang kanilang kabuuan ay 180°. Napatunayan na ang theorem.

Tanong 10. Patunayan na ang anumang tatsulok ay may hindi bababa sa dalawang talamak na anggulo.
Sagot. Sa katunayan, ipagpalagay na ang isang tatsulok ay mayroon lamang isang matinding anggulo o walang mga talamak na anggulo. Pagkatapos ang tatsulok na ito ay may dalawang anggulo, ang bawat isa ay hindi bababa sa 90°. Ang kabuuan ng dalawang anggulong ito ay hindi bababa sa 180°. Ngunit ito ay imposible, dahil ang kabuuan ng lahat ng mga anggulo ng isang tatsulok ay 180°. Q.E.D.

Mga palatandaan ng paralelismo ng dalawang linya

Theorem 1. Kung sa intersection ng dalawang linya ng isang secant:

ang mga pahilis na nakahiga ang mga anggulo ay pantay, o

katumbas ang mga anggulo, o

ang kabuuan ng isang panig na anggulo ay 180°, kung gayon

magkatulad ang mga linya(Larawan 1).

Patunay. Nililimitahan namin ang aming sarili sa patunay ng kaso 1.

Ipagpalagay na sa intersection ng mga linya a at b ng isang secant AB sa mga nakahigang anggulo ay pantay. Halimbawa, ∠ 4 = ∠ 6. Patunayan natin na ang isang || b.

Ipagpalagay na ang mga linya a at b ay hindi magkatulad. Pagkatapos ay bumalandra sila sa isang punto M at, dahil dito, ang isa sa mga anggulo 4 o 6 ay ang panlabas na anggulo ng tatsulok na ABM. Hayaan, para sa katiyakan, ∠ 4 ang panlabas na sulok ng tatsulok na ABM, at ∠ 6 ang panloob. Ito ay sumusunod mula sa theorem sa panlabas na anggulo ng isang tatsulok na ang ∠ 4 ay mas malaki kaysa sa ∠ 6, at ito ay sumasalungat sa kundisyon, na nangangahulugan na ang mga linya a at 6 ay hindi maaaring magsalubong, samakatuwid sila ay parallel.

Bunga 1. Dalawang magkaibang linya sa isang eroplanong patayo sa parehong linya ay magkatulad(Larawan 2).

Magkomento. Ang paraan na pinatunayan lang natin ang kaso 1 ng Theorem 1 ay tinatawag na paraan ng patunay sa pamamagitan ng kontradiksyon o pagbabawas sa katarantaduhan. Nakuha ng pamamaraang ito ang unang pangalan dahil sa simula ng pangangatwiran, ang isang pagpapalagay ay ginawa na kabaligtaran (salungat) sa kung ano ang kinakailangan upang mapatunayan. Ito ay tinatawag na pagbawas sa kahangalan dahil sa katotohanan na, ang pagtatalo batay sa ginawang pagpapalagay, tayo ay dumating sa isang walang katotohanan na konklusyon (kawalang-saysay). Ang pagtanggap ng gayong konklusyon ay pinipilit tayong tanggihan ang palagay na ginawa sa simula at tanggapin ang isa na kinakailangang patunayan.

Gawain 1. Bumuo ng isang linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto M at parallel sa isang ibinigay na linya a, hindi dumadaan sa punto M.

Desisyon. Gumuhit kami ng isang linya p sa pamamagitan ng punto M patayo sa linya a (Larawan 3).

Pagkatapos ay gumuhit kami ng isang linya b sa pamamagitan ng puntong M patayo sa linya p. Ang linya b ay parallel sa linya a ayon sa corollary ng Theorem 1.

Isang mahalagang konklusyon ang sumusunod mula sa isinasaalang-alang na problema:
Sa pamamagitan ng isang punto na wala sa isang naibigay na linya, ang isa ay palaging maaaring gumuhit ng isang linya parallel sa ibinigay na linya..

Ang pangunahing pag-aari ng mga parallel na linya ay ang mga sumusunod.

Axiom ng parallel lines. Sa pamamagitan ng isang ibinigay na punto hindi sa isang ibinigay na linya, mayroon lamang isang linya na kahanay sa ibinigay na linya.

Isaalang-alang ang ilang mga katangian ng mga parallel na linya na sumusunod mula sa axiom na ito.

1) Kung ang isang linya ay nag-intersect sa isa sa dalawang parallel na linya, pagkatapos ito ay intersects ang isa (Fig. 4).

2) Kung ang dalawang magkaibang linya ay parallel sa ikatlong linya, kung gayon sila ay parallel (Fig. 5).

Ang sumusunod na teorama ay totoo rin.

Theorem 2. Kung ang dalawang parallel na linya ay tinawid ng isang secant, kung gayon:

ang mga nakahiga na anggulo ay pantay;

ang mga katumbas na anggulo ay pantay;

ang kabuuan ng isang panig na anggulo ay 180°.

Bunga 2. Kung ang isang linya ay patayo sa isa sa dalawang magkatulad na linya, kung gayon ito ay patayo din sa isa.(tingnan ang Fig.2).

Magkomento. Ang Theorem 2 ay tinatawag na kabaligtaran ng Theorem 1. Ang konklusyon ng Theorem 1 ay ang kondisyon ng Theorem 2. At ang kondisyon ng Theorem 1 ay ang pagtatapos ng Theorem 2. Hindi lahat ng theorem ay may kabaligtaran, ibig sabihin, kung ang isang ibinigay na theorem ay totoo, kung gayon ang inverse theorem ay maaaring mali.

Ipaliwanag natin ito sa halimbawa ng theorem sa mga patayong anggulo. Ang teorama na ito ay maaaring mabalangkas tulad ng sumusunod: kung ang dalawang anggulo ay patayo, kung gayon sila ay pantay. Ang kabaligtaran na teorama ay ito: kung ang dalawang anggulo ay pantay, kung gayon sila ay patayo. At ito, siyempre, ay hindi totoo. Ang dalawang pantay na anggulo ay hindi kailangang patayo.

Halimbawa 1 Dalawang magkatulad na linya ang tinatawid ng isang pangatlo. Ito ay kilala na ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang panloob na isang panig na anggulo ay 30°. Hanapin ang mga anggulo.

Desisyon. Hayaang matugunan ng figure 6 ang kundisyon.

Hindi sila nagsasalubong, gaano man sila katagal. Ang paralelismo ng mga linya sa pagsulat ay ipinahiwatig tulad ng sumusunod: AB|| SaE

Ang posibilidad ng pagkakaroon ng gayong mga linya ay pinatunayan ng isang teorama.

Teorama.

Sa pamamagitan ng anumang punto na kinuha sa labas ng isang naibigay na linya, ang isa ay maaaring gumuhit ng parallel sa linyang ito..

Hayaan AB linyang ito at Sa ilang puntong kinuha sa labas nito. Ito ay kinakailangan upang patunayan iyon Sa maaari kang gumuhit ng isang tuwid na linya parallelAB. Tara na AB mula sa isang punto Sa patayoSaD at pagkatapos ay gagawin namin SaE^ SaD, kung ano ang posible. Diretso CE parallel AB.

Para sa patunay, ipinapalagay namin ang kabaligtaran, ibig sabihin, iyon CE nagsalubong AB sa isang punto M. Pagkatapos mula sa punto M sa isang tuwid na linya SaD magkakaroon tayo ng dalawang magkaibang perpendicular MD at MS, na imposible. Ibig sabihin, CE hindi maaaring bumalandra sa AB, ibig sabihin. SaE parallel AB.

Bunga.

Dalawang patayo (CEatD.B.) sa isang tuwid na linya (CD) ay parallel.

Axiom ng parallel lines.

Sa pamamagitan ng parehong punto imposibleng gumuhit ng dalawang magkaibang linya parallel sa parehong linya.

Kaya kung isang tuwid na linya SaD, iginuhit sa pamamagitan ng punto Sa parallel sa isang tuwid na linya AB, pagkatapos ay anumang iba pang linya SaE sa pamamagitan ng parehong punto Sa, hindi maaaring magkatulad AB, ibig sabihin. patuloy niya bumalandra kasama AB.

Ang patunay ng hindi masyadong halatang katotohanang ito ay naging imposible. Ito ay tinatanggap nang walang patunay bilang isang kinakailangang palagay (postulatum).

Mga kahihinatnan.

1. Kung tuwid(SaE) bumabagtas sa isa sa parallel(SW), pagkatapos ay bumalandra ito sa isa pa ( AB), dahil kung hindi sa pamamagitan ng parehong punto Sa dalawang magkaibang tuwid na linya, parallel AB, na imposible.

2. Kung ang bawat isa sa dalawa direkta (AatB) ay parallel sa parehong ikatlong linya ( Sa) , tapos sila ay parallel sa pagitan nila.

Sa katunayan, kung ipagpalagay natin iyon A at B bumalandra sa isang punto M, pagkatapos ay dadaan sa puntong ito ang dalawang magkaibang tuwid na linya, na parallel sa isa't isa. Sa, na imposible.

Teorama.

Kung ang ang tuwid na linya ay patayo sa isa sa mga parallel na linya, pagkatapos ay patayo ito sa isa pa parallel.

Hayaan AB || SaD at EF ^ AB.Kailangang patunayan iyon EF ^ SaD.

PerpendikularEF, interseksyon sa AB, ay tiyak na magsalubong at SaD. Hayaan ang punto ng intersection H.

Kumbaga ngayon na SaD hindi patayo sa EH. Pagkatapos ng ilang ibang linya, halimbawa HK, ay magiging patayo sa EH at samakatuwid ay sa pamamagitan ng parehong punto H dalawa tuwid na parallel AB: isa SaD, ayon sa kondisyon, at ang iba pa HK tulad ng napatunayan dati. Dahil imposible ito, hindi ito maaaring ipagpalagay na SW ay hindi patayo sa EH.

klase: 2

Layunin ng aralin:

• bumuo ng konsepto ng parallelism ng 2 linya, isaalang-alang ang unang tanda ng parallel na linya;
• bumuo ng kakayahang ilapat ang tanda sa paglutas ng mga problema.

Mga gawain:

1. Pang-edukasyon: pag-uulit at pagsasama-sama ng pinag-aralan na materyal, ang pagbuo ng konsepto ng parallelism ng 2 linya, patunay ng 1st sign ng parallelism ng 2 linya.
2. Pang-edukasyon: upang linangin ang kakayahang tumpak na magtago ng mga tala sa isang kuwaderno at sundin ang mga patakaran para sa paggawa ng mga guhit.
3. Mga gawain sa pag-unlad: pagbuo ng lohikal na pag-iisip, memorya, atensyon.

Mga kagamitan sa aralin:

• multimedia projector;
• screen, mga presentasyon;
• mga kasangkapan sa pagguhit.

Sa panahon ng mga klase

I. Pansamahang sandali.

Pagbati, pagsuri sa kahandaan para sa aralin.

II. Paghahanda para sa aktibong UPD.

Stage 1.

Sa unang aralin ng geometry, isinasaalang-alang namin ang kamag-anak na posisyon ng 2 linya sa eroplano.

Tanong. Ilang karaniwang puntos ang maaaring magkaroon ng dalawang linya?
Sagot. Ang dalawang linya ay maaaring magkaroon ng isang karaniwang punto, o walang higit sa isang karaniwang punto.

Tanong. Paano matatagpuan ang 2 linya na may kaugnayan sa isa't isa kung mayroon silang isang karaniwang punto?
Sagot. Kung ang mga linya ay may isang karaniwang punto, pagkatapos ay magsalubong ang mga ito

Tanong. Paano matatagpuan ang 2 linya na may kaugnayan sa isa't isa kung wala silang mga karaniwang puntos?
Sagot. Sa kasong ito, ang mga linya ay hindi nagsalubong.

Stage 2.

Sa huling aralin, binigyan ka ng gawaing gumawa ng isang pagtatanghal kung saan tayo ay nakakatugon sa mga di-nagsalubong na linya sa ating buhay at sa kalikasan. Ngayon ay titingnan natin ang mga pagtatanghal na ito at pipiliin ang pinakamahusay sa kanila. (Kabilang sa hurado ang mga mag-aaral na, dahil sa mababang katalinuhan, ay nahihirapang gumawa ng sarili nilang mga presentasyon.)

Pagtingin sa mga presentasyong ginawa ng mga mag-aaral: "Parallelism of lines in nature and life", at pagpili ng pinakamahusay sa kanila.

III. Aktibong UPD (paliwanag ng bagong materyal).

Stage 1.

Larawan 1

Kahulugan. Ang dalawang linya sa isang eroplano na hindi nagsalubong ay tinatawag na parallel.

Ipinapakita ng talahanayang ito ang iba't ibang mga kaso ng pag-aayos ng 2 parallel na linya sa isang eroplano.

Isaalang-alang kung aling mga segment ang magiging parallel.

Figure 2

1) Kung ang linya a ay parallel sa b, ang mga segment na AB at CD ay parallel din.

2) Ang isang segment ng linya ay maaaring maging parallel sa isang tuwid na linya. Kaya ang segment na MN ay parallel sa linya a.

Larawan 3

3) Ang Segment AB ay parallel sa ray h. Ray h ay parallel sa beam k.

4) Kung ang linya a ay patayo sa linya c, at ang linya b ay patayo sa linya c, kung gayon ang mga linya a at b ay parallel.

Stage 2.

Ang mga anggulo na nabuo sa pamamagitan ng dalawang parallel na linya at isang transversal.

Larawan 4

Dalawang magkatulad na linya ang nagsalubong sa ikatlong linya sa dalawang punto. Sa kasong ito, ang walong sulok ay nabuo, na ipinahiwatig sa figure sa pamamagitan ng mga numero.

Ang ilang mga pares ng mga anggulong ito ay may mga espesyal na pangalan (tingnan ang Larawan 4).

Umiiral tatlong palatandaan, paralelismo ng dalawang linya nauugnay sa mga anggulong ito. Sa araling ito, titingnan natin unang tanda.

Stage 3.

Ulitin natin ang materyal na kailangan upang patunayan ang tampok na ito.

Larawan 5

Tanong. Ano ang mga pangalan ng mga sulok na ipinapakita sa Figure 5?
Sagot. Ang mga anggulo AOC at COB ay tinatawag na magkatabi.

Tanong. Anong mga anggulo ang tinatawag na magkatabi? Magbigay ng kahulugan.
Sagot. Ang dalawang anggulo ay tinatawag na magkatabi kung mayroon silang isang panig na magkatulad at ang dalawa pa ay mga extension ng bawat isa.

Tanong. Ano ang mga katangian ng mga katabing anggulo?
Sagot. Ang mga katabing anggulo ay nagdaragdag ng hanggang 180 degrees.
AOC + COB = 180°

Tanong. Ano ang tawag sa mga anggulo 1 at 2?
Sagot. Ang mga anggulo 1 at 2 ay tinatawag na patayo.

Tanong. Ano ang mga katangian ng mga patayong anggulo?
Sagot. Ang mga patayong anggulo ay katumbas ng bawat isa.

Stage 4.

Patunay ng unang tanda ng paralelismo.

Teorama. Kung sa intersection ng dalawang linya sa pamamagitan ng isang transversal, ang mga nakahiga na anggulo ay pantay, kung gayon ang mga linya ay parallel.

Larawan 6

Ibinigay: ang a at b ay tuwid
AB - secant
1 = 2
Patunayan: a//b.

1st case.

Larawan 7

Kung ang 1 at 2 ay mga tuwid na linya, kung gayon ang a ay patayo sa AB, at ang b ay patayo sa AB, pagkatapos ay a//b.

ika-2 kaso.

Larawan 8

Isaalang-alang ang kaso kapag ang 1 at 2 ay hindi mga tuwid na linya. Hinahati namin ang segment AB sa kalahati ng punto O.

Tanong. Ano ang magiging haba ng mga segment na AO at OB?
Sagot. Ang mga segment na AO at OB ay pantay ang haba.

1) Mula sa puntong O gumuhit kami ng patayo sa linya a, ang OH ay patayo sa a.

Tanong. Ano ang magiging anggulo 3?
Sagot. Tama ang Corner 3.

2) Mula sa punto A sa tuwid na linya b, isinantabi namin ang segment na AH 1 = BH na may compass.

3) Gumuhit tayo ng isang segment na OH 1.

Tanong. Anong mga tatsulok ang nabuo bilang resulta ng patunay?
Sagot. Triangle ONV at triangle OH 1 A.

Patunayan natin na sila ay pantay-pantay.

Tanong. Anong mga anggulo ang pantay ayon sa hypothesis ng theorem?
Sagot. Ang anggulo 1 ay katumbas ng anggulo 2.

Tanong. Aling mga panig ang pantay sa pagtatayo.
Sagot. AO = OB at AN 1 = VN

Tanong. Sa anong batayan ang mga tatsulok ay magkatugma?
Sagot. Ang mga tatsulok ay pantay sa dalawang panig at ang anggulo sa pagitan nila (ang unang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok).

Tanong. Anong pag-aari ang mayroon ang mga congruent triangles?
Sagot. Ang mga pantay na tatsulok ay may pantay na mga anggulo sa tapat ng magkaparehong panig.

Tanong. Anong mga anggulo ang magiging pantay?
Sagot. 5 = 6, 3 = 4.

Tanong. Ano ang tawag sa 5 at 6?
Sagot. Ang mga anggulong ito ay tinatawag na patayo.

Mula dito sumusunod na ang mga punto: H 1 , O, H ay nasa isang tuwid na linya.
kasi 3 ay tuwid, at 3 = 4, pagkatapos 4 ay tuwid.

Tanong. Paano matatagpuan ang mga linya a at b na may paggalang sa linya HH 1 kung ang mga anggulo 3 at 4 ay tama?
Sagot. Ang mga linya a at b ay patayo sa HH 1 .

Tanong. Ano ang masasabi natin tungkol sa dalawang patayo sa isang tuwid na linya?
Sagot. Dalawang patayo ng isang linya ay magkatulad.

Kaya a//b. Napatunayan na ang theorem.

Ngayon ay uulitin ko ang lahat ng patunay mula sa simula, at makikinig ka sa akin nang mabuti at susubukan mong maunawaan ang lahat ng dapat tandaan.

IV. Pagsasama-sama ng bagong materyal.

Magtrabaho sa mga pangkat na may iba't ibang antas ng katalinuhan, na sinusundan ng isang tseke sa screen at sa board. 3 mag-aaral ang nagtatrabaho sa pisara (isa mula sa bawat pangkat).

№1 (para sa mga mag-aaral na may pinababang antas ng intelektwal na pag-unlad).

Ibinigay: ang a at b ay tuwid
c - secant
1 = 37°
7 = 143°
Patunayan: a//b.

Desisyon.

7 = 6 (vertical) 6 = 143°
1 + 4 = 180° (katabing) 4 =180° – 37° = 143°
4 \u003d 6 \u003d 143 °, at sila ay nakahiga nang crosswise a//b 5 \u003d 48 °, 3 at 5 ay mga cross-lying na anggulo, sila ay katumbas ng a//b.

Larawan 11

V. Buod ng aralin.

Ang resulta ng aralin ay isinasagawa gamit ang mga figure 1-8.

Ang aktibidad ng mga mag-aaral sa aralin ay tinasa (bawat mag-aaral ay tumatanggap ng angkop na emoticon).

Takdang aralin: magturo - pp. 52-53; lutasin ang No. 186 (b, c).

Ang paralelismo ay isang napaka-kapaki-pakinabang na katangian sa geometry. Sa totoong buhay, ang mga magkatulad na panig ay nagbibigay-daan sa iyo na lumikha ng magagandang, simetriko na mga bagay na nakalulugod sa anumang mata, kaya ang geometry ay palaging nangangailangan ng mga paraan upang suriin ang paralelismong ito. Pag-uusapan natin ang tungkol sa mga palatandaan ng magkatulad na linya sa artikulong ito.

Kahulugan para sa paralelismo

Iisa-isa natin ang mga kahulugan na kailangan mong malaman upang patunayan ang mga palatandaan ng paralelismo ng dalawang linya.

Ang mga linya ay tinatawag na parallel kung wala silang mga punto ng intersection. Bilang karagdagan, sa mga solusyon, ang mga parallel na linya ay karaniwang sumasabay sa isang secant na linya.

Ang secant line ay isang linya na nag-intersect sa parehong parallel na linya. Sa kasong ito, ang pagsisinungaling, kaukulang at isang panig na anggulo ay nabuo nang crosswise. Ang mga pares ng mga anggulo 1 at 4 ay makatawid; 2 at 3; 8 at 6; 7 at 5. Ang katumbas ay 7 at 2; 1 at 6; 8 at 4; 3 at 5.

Unilateral 1 at 2; 7 at 6; 8 at 5; 3 at 4.

Kapag maayos na na-format, ito ay nakasulat: "Cross-lying angles na may dalawang parallel na linya a at b at isang secant c," dahil para sa dalawang parallel na linya ay maaaring magkaroon ng walang katapusang bilang ng mga secant, kaya kailangan mong tukuyin kung aling secant ang ibig mong sabihin.

Gayundin, para sa patunay, kailangan natin ang teorama sa panlabas na anggulo ng isang tatsulok, na nagsasaad na ang panlabas na anggulo ng isang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng dalawang anggulo ng isang tatsulok na hindi katabi nito.

palatandaan

Ang lahat ng mga palatandaan ng magkatulad na linya ay nakatali sa kaalaman ng mga katangian ng mga anggulo at ang teorama sa panlabas na anggulo ng isang tatsulok.

Tampok 1

Dalawang linya ay parallel kung ang mga intersecting na anggulo ay pantay.

Isaalang-alang ang dalawang linya a at b na may secant c. Ang mga crosswise lying angle 1 at 4 ay pantay. Ipagpalagay na ang mga linya ay hindi parallel. Nangangahulugan ito na ang mga linya ay nagsalubong at dapat mayroong isang intersection point na M. Pagkatapos ay isang tatsulok na AVM ay nabuo na may panlabas na anggulo na 1. Ang panlabas na anggulo ay dapat na katumbas ng kabuuan ng mga anggulo 4 at AVM bilang hindi katabi nito ayon sa ang theorem sa panlabas na anggulo sa isang tatsulok. Ngunit pagkatapos ay lumalabas na ang anggulo 1 ay mas malaki kaysa sa anggulo 4, at ito ay sumasalungat sa kondisyon ng problema, na nangangahulugan na ang puntong M ay hindi umiiral, ang mga linya ay hindi nagsalubong, iyon ay, sila ay magkatulad.

kanin. 1. Pagguhit para sa patunay.

Tampok 2

Dalawang linya ay parallel kung ang katumbas na secant angle ay pantay.

Isaalang-alang ang dalawang linya a at b na may secant c. Ang mga katumbas na anggulo 7 at 2 ay pantay. Bigyang-pansin natin ang anggulo 3. Ito ay patayo para sa anggulo 7. Samakatuwid, ang mga anggulo 7 at 3 ay pantay. Kaya ang mga anggulo 3 at 2 ay pantay din, dahil<7=<2 и <7=<3. А угол 3 и угол 2 являются накрест лежащими. Следовательно, прямые параллельны, что и требовалось доказать.

kanin. 2. Pagguhit para sa patunay.

Tampok 3

Dalawang linya ay parallel kung ang kabuuan ng isang panig na anggulo ay 180 degrees.

kanin. 3. Pagguhit para sa patunay.

Isaalang-alang ang dalawang linya a at b na may secant c. Ang kabuuan ng isang panig na anggulo 1 at 2 ay 180 degrees. Bigyang-pansin natin ang mga anggulo 1 at 7. Magkatabi sila. I.e:

$$<1+<7=180$$

$$<1+<2=180$$

Ibawas ang pangalawa sa unang expression:

$$(<1+<7)-(<1+<2)=180-180$$

$$(<1+<7)-(<1+<2)=0$$

$$<1+<7-<1-<2=0$$

$$<7-<2=0$$

$<7=<2$ - а они являются соответственными. Значит, прямые параллельны.

Ano ang natutunan natin?

Sinuri namin nang detalyado kung anong mga anggulo ang nakuha kapag pinuputol ang mga parallel na linya na may ikatlong linya, nakilala at inilarawan nang detalyado ang patunay ng tatlong mga palatandaan ng parallelism ng mga linya.

Pagsusulit sa paksa

Rating ng artikulo

Average na rating: 4.1. Kabuuang mga rating na natanggap: 220.