Sa araling ito, titingnan natin ang mga tampok kabaligtaran na mga pag-andar at ulitin kabaligtaran na mga function ng trigonometriko. Hiwalay, isasaalang-alang ang mga katangian ng lahat ng pangunahing inverse trigonometric function: arcsine, arccosine, arctangent at arccotangent.

Tutulungan ka ng araling ito na maghanda para sa isa sa mga uri ng takdang-aralin. SA 7 at C1.

Paghahanda para sa pagsusulit sa matematika

Eksperimento

Aralin 9

Teorya

Buod ng aralin

Alalahanin kapag nakilala natin ang isang konsepto bilang isang inverse function. Halimbawa, isaalang-alang ang squaring function. Ipagpalagay na mayroon kaming isang parisukat na silid na may mga gilid na 2 metro at gusto naming kalkulahin ang lugar nito. Upang gawin ito, ayon sa square sparing formula, nag-square kami ng isang deuce at bilang isang resulta nakakakuha kami ng 4 m 2. Ngayon isipin ang kabaligtaran na problema: alam natin ang lugar ng isang parisukat na silid at nais na hanapin ang mga haba ng mga gilid nito. Kung alam natin na ang lugar ay pareho pa rin ng 4 m 2, pagkatapos ay gagawin natin ang kabaligtaran na aksyon sa pag-squaring - pag-extract ng arithmetic square root, na magbibigay sa atin ng halaga na 2 m.

Kaya, para sa function ng pag-squaring ng isang numero, ang inverse function ay upang kunin ang arithmetic square root.

Sa partikular, sa halimbawang ito, wala kaming problema sa pagkalkula ng gilid ng silid, dahil naiintindihan namin na ito ay isang positibong numero. Gayunpaman, kung humiwalay tayo sa kasong ito at isaalang-alang ang problema sa isang mas pangkalahatang paraan: "Kalkulahin ang isang numero na ang parisukat ay apat", makakatagpo tayo ng problema - mayroong dalawang ganoong numero. Ito ay 2 at -2, dahil ay katumbas din ng apat. Ito ay lumiliko na ang kabaligtaran na problema sa pangkalahatang kaso ay nalutas nang hindi maliwanag, at ang pagkilos ng pagtukoy ng numero, na squared ang nagbigay ng numero na kilala sa amin? ay may dalawang resulta. Maginhawang ipakita ito sa isang graph:

At nangangahulugan ito na hindi natin matatawag ang naturang batas ng pagsusulatan ng mga numero bilang isang function, dahil para sa isang function ang isang halaga ng argument ay tumutugma sa mahigpit na isa halaga ng function.

Upang maipakilala nang eksakto ang inverse function sa squaring, iminungkahi ang konsepto ng isang arithmetic square root, na nagbibigay lamang ng mga hindi negatibong halaga. Yung. para sa isang function, ang inverse function ay itinuturing na .

Katulad nito, may mga function na kabaligtaran sa trigonometriko, ang mga ito ay tinatawag kabaligtaran na mga function ng trigonometriko. Ang bawat isa sa mga pag-andar na aming isinasaalang-alang ay may sariling kabaligtaran, ang mga ito ay tinatawag na: arcsine, arccosine, arctangent at arccotangent.

Ang mga function na ito ay malulutas ang problema ng pagkalkula ng mga anggulo mula sa isang kilalang halaga ng isang trigonometric function. Halimbawa, gamit ang talahanayan ng mga halaga ng mga pangunahing pag-andar ng trigonometriko, maaari mong kalkulahin ang sine kung saan ang anggulo ay katumbas ng. Nahanap namin ang halagang ito sa linya ng mga sine at tinutukoy kung saang anggulo ito tumutugma. Ang unang bagay na nais mong sagutin ay ito ay isang anggulo o, ngunit kung mayroon kang isang talahanayan ng mga halaga, mapapansin mo kaagad ang isa pang kalaban para sa sagot - ito ay isang anggulo o. At kung aalalahanin natin ang panahon ng sine, mauunawaan natin na mayroong isang walang katapusang bilang ng mga anggulo kung saan ang sine ay katumbas. At ang isang hanay ng mga halaga ng anggulo na tumutugma sa isang naibigay na halaga ng trigonometriko function ay masusunod din para sa mga cosine, tangent at cotangent, dahil lahat sila ay may periodicity.

Yung. tumakbo kami sa parehong problema na kailangan naming kalkulahin ang halaga ng argumento mula sa halaga ng function para sa squaring action. At sa kasong ito, para sa kabaligtaran na mga function ng trigonometric, isang limitasyon ang ipinakilala sa hanay ng mga halaga na ibinibigay nila kapag kinakalkula. Ang pag-aari na ito ng mga kabaligtaran na pag-andar ay tinatawag pagpapaliit ng saklaw, at ito ay kinakailangan upang sila ay matawag na mga function.

Para sa bawat isa sa mga inverse trigonometric function, ang hanay ng mga anggulo na ibinabalik nito ay sarili nito, at isasaalang-alang namin ang mga ito nang hiwalay. Halimbawa, ibinabalik ng arcsine ang mga halaga ng anggulo sa hanay mula hanggang .

Ang kakayahang magtrabaho kasama ang mga inverse trigonometric function ay magiging kapaki-pakinabang sa amin kapag nilulutas ang mga trigonometric equation.

Ngayon ay ipahiwatig namin ang mga pangunahing katangian ng bawat isa sa mga kabaligtaran na trigonometric function. Sino ang gustong makilala ang mga ito nang mas detalyado, sumangguni sa kabanata na "Solusyon ng mga trigonometric equation" sa programa ng ika-10 baitang.

Isaalang-alang ang mga katangian ng arcsine function at i-plot ang graph nito.

Kahulugan.Ang arcsine ng isang numerox

Ang mga pangunahing katangian ng arcsine:

1) sa ,

2) sa .

Ang mga pangunahing katangian ng arcsine function:

1) Domain ng kahulugan ;

2) Saklaw ng mga halaga ;

3) Ang function ay kakaiba. Ito ay kanais-nais na tandaan ang formula na ito nang hiwalay, dahil ito ay kapaki-pakinabang para sa mga pagbabago. Tandaan din na ang oddness ay nagpapahiwatig ng simetrya ng graph ng function na may paggalang sa pinagmulan;

Bumuo tayo ng isang graph ng function:

Tandaan na wala sa mga seksyon ng graph ng function ang umuulit, na nangangahulugan na ang arcsine ay hindi isang periodic function, hindi katulad ng sine. Ang parehong ay malalapat sa lahat ng iba pang mga arc function.

Isaalang-alang ang mga katangian ng arccosine function at i-plot ang graph nito.

Kahulugan.Arc cosine ng isang numerox tawagan ang halaga ng anggulong y kung saan . Bukod dito, bilang mga paghihigpit sa mga halaga ng sine, ngunit bilang isang napiling hanay ng mga anggulo.

Ang mga pangunahing katangian ng arc cosine:

1) sa ,

2) sa .

Ang mga pangunahing katangian ng pag-andar ng arccosine:

1) Domain ng kahulugan ;

2) Saklaw ng mga halaga;

3) Ang function ay hindi kahit na o kakaiba, i.e. pangkalahatang pananaw . Ito rin ay kanais-nais na tandaan ang formula na ito, ito ay magiging kapaki-pakinabang sa amin sa ibang pagkakataon;

4) Ang function ay monotonically bumababa.

Bumuo tayo ng isang graph ng function:

Isaalang-alang ang mga katangian ng arctangent function at i-plot ang graph nito.

Kahulugan.Arc tangent ng isang numerox tawagan ang halaga ng anggulong y kung saan . Bukod dito, mula noong walang mga paghihigpit sa mga tangent na halaga, ngunit bilang isang napiling hanay ng mga anggulo.

Ang mga pangunahing katangian ng arc tangent:

1) sa ,

2) sa .

Ang mga pangunahing katangian ng arctangent function:

1) Domain ng kahulugan;

2) Saklaw ng mga halaga ;

3) Ang pag-andar ay kakaiba . Ang formula na ito ay kapaki-pakinabang din, tulad ng mga katulad. Tulad ng sa kaso ng arcsine, ang oddness ay nagpapahiwatig ng simetrya ng graph ng function na may paggalang sa pinagmulan;

4) Ang function ay monotonically pagtaas.

Bumuo tayo ng isang graph ng function:

Inverse trigonometriko function(circular functions, arc functions) - mathematical functions na inverse sa trigonometric functions.

Karaniwang kinabibilangan ang mga ito ng 6 na function:

• arcsine(simbolo: arcsin x; arcsin x ay ang anggulo kasalanan na katumbas ng x),
• arccosine(simbolo: arccos x; arccos x ay ang anggulo na ang cosine ay katumbas ng x atbp),
• arko padaplis(simbolo: arctg x o arctan x),
• arko padaplis(simbolo: arcctg x o arcot x o arccotan x),
• arcsecant(simbolo: arcsec x),
• arcosecant(simbolo: arccosec x o arccsc x).

Arcsine (y = arcsin x) ay ang inverse function sa kasalanan (x = siny . Sa madaling salita, ibinabalik ang anggulo sa pamamagitan ng halaga nito kasalanan.

Arc cosine (y = arccos x) ay ang inverse function sa cos (x = cos y cos.

Arctangent (y = arctan x) ay ang inverse function sa tg (x = tgy), na may domain ng kahulugan at isang hanay ng mga halaga . Sa madaling salita, ibinabalik ang anggulo sa pamamagitan ng halaga nito tg.

Arc padaplis (y = arcctg x) ay ang inverse function sa ctg (x = ctg y), na mayroong isang domain ng kahulugan at isang hanay ng mga halaga. Sa madaling salita, ibinabalik ang anggulo sa pamamagitan ng halaga nito ctg.

arcsec- arcsecant, ibinabalik ang anggulo sa pamamagitan ng halaga ng secant nito.

arccosec- arccosecant, ibinabalik ang anggulo sa pamamagitan ng halaga ng cosecant nito.

Kapag ang inverse trigonometric function ay hindi tinukoy sa tinukoy na punto, ang halaga nito ay hindi lilitaw sa resultang talahanayan. Mga pag-andar arcsec at arccosec ay hindi tinukoy sa segment (-1,1), ngunit arc kasalanan at arccos ay tinukoy lamang sa pagitan [-1,1].

Ang pangalan ng inverse trigonometric function ay nabuo mula sa pangalan ng katumbas na trigonometric function sa pamamagitan ng pagdaragdag ng prefix na "ark-" (mula sa lat. arko sa amin- arko). Ito ay dahil sa ang katunayan na ang geometrically ang halaga ng inverse trigonometric function ay nauugnay sa haba ng arc ng isang unit circle (o ang anggulo na subtends na ito arc), na tumutugma sa isa o ibang segment.

Minsan sa mga dayuhang panitikan, pati na rin sa mga calculator na pang-agham / engineering, gumagamit sila ng mga notasyon tulad ng kasalanan −1, cos -1 para sa arcsine, arccosine at mga katulad nito - ito ay itinuturing na hindi ganap na tumpak, dahil malamang na pagkalito sa pagtataas ng isang function sa isang kapangyarihan −1 (« −1 » (binawasan ang unang kapangyarihan) ay tumutukoy sa function x=f-1(y), ang kabaligtaran ng function y=f(x)).

Mga pangunahing ugnayan ng kabaligtaran na mga function ng trigonometriko.

Dito mahalagang bigyang-pansin ang mga pagitan kung saan wasto ang mga formula.

Mga formula na may kaugnayan sa kabaligtaran na trigonometriko function.

Tukuyin ang alinman sa mga halaga ng inverse trigonometriko function sa pamamagitan ng Arcsin x, Arccos x, Arctan x, Arckot x at panatilihin ang notasyon: arcsin x, arcos x, arctan x, arcot x para sa kanilang mga pangunahing halaga, kung gayon ang relasyon sa pagitan nila ay ipinahayag ng gayong mga relasyon.

Dahil ang trigonometriko function ay panaka-nakang, ang mga function na kabaligtaran sa kanila ay hindi isang halaga. Kaya, ang equation y = kasalanan x, para sa ibinigay na , ay may walang katapusang maraming ugat. Sa katunayan, dahil sa periodicity ng sine, kung ang x ay ganoong ugat, kung gayon x + 2n(kung saan ang n ay isang integer) ay magiging ugat din ng equation. kaya, Ang mga inverse trigonometriko function ay multivalued. Upang gawing mas madali ang pakikipagtulungan sa kanila, ipinakilala ang konsepto ng kanilang mga pangunahing halaga. Isaalang-alang, halimbawa, ang sine: y = kasalanan x. Kung nililimitahan natin ang argument x sa pagitan , pagkatapos ay dito ang function na y = kasalanan x tumataas monotonically. Samakatuwid, mayroon itong single-valued inverse function, na tinatawag na arcsine: x = arcsin y.

Maliban kung iba ang nakasaad, ang inverse trigonometriko function ay nangangahulugan ng kanilang mga pangunahing halaga, na tinutukoy ng mga sumusunod na kahulugan.

Arcsine ( y= arcsin x) ay ang inverse function ng sine ( x= siny
Arc cosine ( y= arccos x) ay ang inverse function ng cosine ( x= dahil y) na mayroong isang domain ng kahulugan at isang hanay ng mga halaga.
Arctangent ( y= arctg x) ay ang inverse function ng tangent ( x= tg y) na mayroong isang domain ng kahulugan at isang hanay ng mga halaga.
Arc padaplis ( y= arcctg x) ay ang kabaligtaran na pag-andar ng cotangent ( x= ctg y) na mayroong isang domain ng kahulugan at isang hanay ng mga halaga.

Mga graph ng inverse trigonometriko function

Ang mga graph ng inverse trigonometriko function ay nakuha mula sa mga graph ng trigonometriko function sa pamamagitan ng mirror reflection na may kinalaman sa tuwid na linya y = x. Tingnan ang mga seksyon Sine, cosine, Tangent, cotangent.

y= arcsin x

y= arccos x

y= arctg x

y= arcctg x

Mga Pangunahing Formula

Dito, dapat bigyan ng espesyal na atensyon ang mga agwat kung saan wasto ang mga formula.

arcsin(sin x) = x sa
kasalanan(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x sa
cos(arccos x) = x

arctg(tg x) = x sa
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x sa
ctg(arctg x) = x

Mga formula na may kaugnayan sa kabaligtaran na trigonometriko function

Tingnan din: Derivation ng mga formula para sa inverse trigonometriko function

Mga formula ng kabuuan at pagkakaiba

sa o

sa at

sa at

sa o

sa at

sa at

sa

sa

sa

sa

sa

sa

sa

sa

sa

sa

Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng Mathematics para sa mga Inhinyero at Mag-aaral ng Mas Mataas na Institusyon ng Edukasyon, Lan, 2009.

Inverse trigonometriko function ay arcsine, arccosine, arctangent at arccotangent.

Bigyan muna natin ng mga kahulugan.

arcsine O, maaari nating sabihin na ito ay isang anggulo na kabilang sa segment na ang sine ay katumbas ng bilang a.

Arc cosine ang numero a ay tinatawag na isang numero tulad na

Arctangent ang numero a ay tinatawag na isang numero tulad na

Arc padaplis ang numero a ay tinatawag na isang numero tulad na

Pag-usapan natin nang detalyado ang tungkol sa apat na bagong function na ito para sa atin - inverse trigonometric.

Tandaan, nagkita na tayo ni .

Halimbawa, ang arithmetic square root ng a ay isang di-negatibong numero na ang parisukat ay a.

Ang logarithm ng numero b hanggang sa base a ay isang numero c tulad na

Kung saan

Naiintindihan namin kung bakit kinailangan ng mga mathematician na "mag-imbento" ng mga bagong function. Halimbawa, ang mga solusyon sa isang equation ay at Hindi namin maisulat ang mga ito nang walang espesyal na arithmetic square root na simbolo.

Ang konsepto ng logarithm ay naging kinakailangan upang magsulat ng mga solusyon, halimbawa, sa naturang equation: Ang solusyon sa equation na ito ay isang hindi makatwirang numero. Ito ang exponent kung saan ang 2 ay dapat na itaas upang makakuha ng 7.

Ito ay pareho sa trigonometric equation. Halimbawa, gusto naming lutasin ang equation

Malinaw na ang mga solusyon nito ay tumutugma sa mga punto sa trigonometriko na bilog, ang ordinate ng kung saan ay katumbas ng At ito ay malinaw na ito ay hindi isang tabular na halaga ng sine. Paano isulat ang mga solusyon?

Dito hindi natin magagawa nang walang bagong function na nagsasaad ng anggulo na ang sine ay katumbas ng isang naibigay na numero a. Oo, nahulaan na ng lahat. Ito ang arcsine.

Ang anggulo na kabilang sa segment na ang sine ay katumbas ay ang arcsine ng ikaapat na bahagi. At kaya, ang serye ng mga solusyon sa aming equation, na tumutugma sa tamang punto sa trigonometric circle, ay

At ang pangalawang serye ng mga solusyon sa aming equation ay

Higit pa tungkol sa paglutas ng mga trigonometric equation -.

Ito ay nananatiling linawin - bakit ipinahiwatig sa kahulugan ng arcsine na ito ay isang anggulo na kabilang sa segment?

Ang katotohanan ay mayroong walang katapusang maraming anggulo na ang sine ay, halimbawa, . Kailangan nating pumili ng isa sa kanila. Pinipili namin ang namamalagi sa segment.

Tingnan ang trigonometriko na bilog. Makikita mo na sa segment, ang bawat sulok ay tumutugma sa isang tiyak na halaga ng sine, at isa lamang. At vice versa, ang anumang halaga ng sine mula sa segment ay tumutugma sa isang solong halaga ng anggulo sa segment. Nangangahulugan ito na sa segment maaari mong tukuyin ang isang function na kumukuha ng mga halaga mula sa

Ulitin natin muli ang kahulugan:

Ang arcsine ng a ay ang numero , ganyan

Pagtatalaga: Ang lugar ng kahulugan ng arcsine ay isang segment. Ang hanay ng mga halaga ay isang segment.

Maaalala mo ang pariralang "arxins nakatira sa kanan." Hindi lang namin nakakalimutan na hindi lang sa kanan, kundi pati na rin sa segment .

Handa na kaming i-graph ang function

Gaya ng dati, minarkahan namin ang mga x-values ​​​​sa pahalang na axis at ang mga y-values ​​sa vertical axis.

Dahil , samakatuwid, ang x ay nasa pagitan ng -1 at 1.

Kaya, ang domain ng function na y = arcsin x ay ang segment

Sinabi namin na ang y ay kabilang sa segment. Nangangahulugan ito na ang saklaw ng function na y = arcsin x ay ang segment .

Tandaan na ang graph ng function na y=arcsinx ay inilalagay lahat sa lugar na nililimitahan ng mga linya at

Gaya ng dati kapag nagpaplano ng isang hindi pamilyar na function, magsimula tayo sa isang talahanayan.

Sa pamamagitan ng kahulugan, ang arcsine ng zero ay isang numero mula sa segment na ang sine ay zero. Ano ang numerong ito? - Ito ay malinaw na ito ay zero.

Katulad nito, ang arcsine ng isa ay ang numero mula sa segment na ang sine ay katumbas ng isa. Malinaw na ito

Nagpapatuloy kami: - ito ay isang numero mula sa segment, ang sine kung saan ay katumbas ng. Oo ito

			0
			0

Bumubuo kami ng isang function graph

Mga Katangian ng Function

1. Domain ng kahulugan

2. Saklaw ng mga halaga

3. , ibig sabihin, kakaiba ang function na ito. Ang graph nito ay simetriko na may kinalaman sa pinagmulan.

4. Ang function ay monotonically pagtaas. Ang pinakamaliit na halaga nito, katumbas ng - , ay nakakamit sa , at ang pinakamalaking halaga nito, katumbas ng , sa

5. Ano ang pagkakatulad ng mga graph ng mga function? Hindi mo ba iniisip na ang mga ito ay "ginawa ayon sa parehong pattern" - tulad ng tamang sangay ng function at ang graph ng function, o tulad ng mga graph ng exponential at logarithmic function?

Isipin na pinutol namin ang isang maliit na fragment mula sa hanggang mula sa isang ordinaryong sine wave, at pagkatapos ay i-on ito patayo - at makuha namin ang arcsine graph.

Ang katotohanan na para sa function sa pagitan na ito ay ang mga halaga ng argumento, pagkatapos ay para sa arcsine magkakaroon ng mga halaga ng function. Ganyan dapat! Pagkatapos ng lahat, ang sine at arcsine ay magkabaligtaran na mga function. Ang iba pang mga halimbawa ng mga pares ng magkabaligtaran na function ay para sa at , at ang exponential at logarithmic function.

Alalahanin na ang mga graph ng magkabilang kabaligtaran na mga function ay simetriko na may paggalang sa tuwid na linya

Sa katulad na paraan, tinukoy namin ang function. Tanging ang segment na kailangan namin ay isa kung saan ang bawat halaga ng anggulo ay tumutugma sa sarili nitong halaga ng cosine, at sa pag-alam sa cosine, maaari naming natatanging mahanap ang anggulo. Kailangan natin ng hiwa

Ang arc cosine ng a ay ang numero , ganyan

Madaling tandaan: "ang mga arc cosine ay nakatira mula sa itaas", at hindi lamang mula sa itaas, ngunit sa isang segment

Pagtatalaga: Lugar ng kahulugan ng arc cosine - segment Saklaw ng mga halaga - segment

Malinaw, ang segment ay pinili dahil dito ang bawat cosine value ay kinukuha nang isang beses lamang. Sa madaling salita, ang bawat halaga ng cosine, mula -1 hanggang 1, ay tumutugma sa isang solong halaga ng anggulo mula sa pagitan

Ang arccosine ay hindi isang kahit na o isang kakaibang function. Sa halip, maaari nating gamitin ang sumusunod na malinaw na kaugnayan:

I-plot natin ang function

Kailangan namin ng isang bahagi ng function kung saan ito ay monotonic, iyon ay, ito ay tumatagal ng bawat isa sa mga halaga nito nang eksaktong isang beses.

Pumili tayo ng isang segment. Sa segment na ito, ang function na monotonically bumababa, iyon ay, ang pagsusulatan sa pagitan ng mga set at ay isa-sa-isa. Ang bawat x value ay may sariling y value. Sa segment na ito, mayroong isang function na kabaligtaran sa cosine, iyon ay, ang function na y \u003d arccosx.

Punan ang talahanayan gamit ang kahulugan ng arc cosine.

Ang arccosine ng numerong x na kabilang sa pagitan ay magiging isang numerong y na kabilang sa pagitan na

Kaya, dahil ;

Bilang ;

Bilang ,

Bilang ,

			0
					0

Narito ang balangkas ng arccosine:

Mga Katangian ng Function

1. Domain ng kahulugan

2. Saklaw ng mga halaga

Ito ay isang generic na function - ito ay hindi kahit na o kakaiba.

4. Ang function ay mahigpit na bumababa. Ang function na y \u003d arccosx ay tumatagal ng pinakamalaking halaga, katumbas ng , sa , at ang pinakamaliit na halaga, katumbas ng zero, ay tumatagal sa

5. Ang mga function at ay magkabaligtaran.

Ang mga susunod ay arc tangent at arc tangent.

Ang arc tangent ng a ay ang numero , ganyan

Pagtatalaga: . Ang lugar ng kahulugan ng arc tangent ay ang agwat. Ang hanay ng mga halaga ay ang agwat.

Bakit ang mga dulo ng pagitan - mga puntos ay hindi kasama sa kahulugan ng arc tangent? Siyempre, dahil ang padaplis sa mga puntong ito ay hindi tinukoy. Walang numerong katumbas ng tangent ng alinman sa mga anggulong ito.

I-plot natin ang arc tangent. Ayon sa kahulugan, ang arc tangent ng isang numerong x ay isang numerong y na kabilang sa pagitan, na

Malinaw na kung paano gumawa ng graph. Dahil ang arctangent ay ang kabaligtaran na pag-andar ng tangent, nagpapatuloy kami bilang mga sumusunod:

Pinipili namin ang ganoong seksyon ng function graph, kung saan ang pagsusulatan sa pagitan ng x at y ay isa-sa-isa. Ito ang interval C. Sa seksyong ito, ang function ay kumukuha ng mga halaga mula sa

Pagkatapos ang kabaligtaran na pag-andar, iyon ay, ang pag-andar , ang domain ng kahulugan ay ang buong linya ng numero, mula hanggang at ang hanay ng mga halaga ay ang agwat.

Ibig sabihin,

Ibig sabihin,

Ibig sabihin,

Ngunit ano ang mangyayari kung ang x ay walang katapusan na malaki? Sa madaling salita, paano kumikilos ang function na ito habang ang x ay may posibilidad na plus infinity?

Maaari nating itanong sa ating sarili ang tanong: para sa aling numero sa pagitan ang halaga ng tangent ay may posibilidad na infinity? - Malinaw, ito

Kaya, para sa walang katapusang malalaking halaga ng x, ang plot ng arc tangent ay lumalapit sa pahalang na asymptote

Katulad nito, habang ang x ay may posibilidad na minus infinity, ang plot ng arc tangent ay lumalapit sa horizontal asymptote

Sa figure - isang graph ng function

Mga Katangian ng Function

1. Domain ng kahulugan

2. Saklaw ng mga halaga

3. Ang function ay kakaiba.

4. Ang pag-andar ay mahigpit na tumataas.

6. Ang mga function at ay magkabaligtaran - siyempre, kapag ang function ay isinasaalang-alang sa pagitan

Katulad nito, tinutukoy namin ang pag-andar ng arc cotangent at i-plot ang graph nito.

Ang arc tangent ng a ay ang numero , ganyan

Function Graph:

Mga Katangian ng Function

1. Domain ng kahulugan

2. Saklaw ng mga halaga

3. Ang function ay isang pangkalahatang anyo, iyon ay, hindi kahit na o kakaiba.

4. Ang function ay mahigpit na bumababa.

5. Direkta at - pahalang na mga asymptotes ng ibinigay na function.

6. Gumagana at magkabaligtaran kung isasaalang-alang sa pagitan

Ang mga gawaing nauugnay sa kabaligtaran na mga function ng trigonometriko ay kadalasang inaalok sa mga huling pagsusulit ng paaralan at sa mga pagsusulit sa pasukan sa ilang unibersidad. Ang isang detalyadong pag-aaral ng paksang ito ay maaari lamang makamit sa mga ekstrakurikular na klase o sa mga elektibong kurso. Ang iminungkahing kurso ay idinisenyo upang paunlarin ang mga kakayahan ng bawat mag-aaral nang ganap hangga't maaari, upang mapabuti ang kanyang pagsasanay sa matematika.

Ang kurso ay dinisenyo para sa 10 oras:

1. Mga function ng arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 na oras).

2. Mga operasyon sa kabaligtaran na trigonometric function (4 na oras).

3. Baliktad na trigonometriko na mga operasyon sa trigonometriko function (2 oras).

Aralin 1 (2 oras) Paksa: Mga Function y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.

Layunin: buong saklaw ng isyung ito.

1. Function y \u003d arcsin x.

a) Para sa function na y \u003d sin x sa segment, mayroong isang inverse (single-valued) function, na napagkasunduan naming tawagan ang arcsine at tukuyin ang mga sumusunod: y \u003d arcsin x. Ang graph ng inverse function ay simetriko sa graph ng pangunahing function na may paggalang sa bisector ng I - III coordinate angles.

Mga katangian ng function y = arcsin x .

1) Saklaw ng kahulugan: segment [-1; isa];

2) Lugar ng pagbabago: gupitin;

3) Function y = arcsin x odd: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) Ang function na y = arcsin x ay monotonically tumataas;

5) Ang graph ay tumatawid sa Ox, Oy axes sa pinanggalingan.

Halimbawa 1. Hanapin ang a = arcsin . Ang halimbawang ito ay maaaring bumalangkas nang detalyado tulad ng sumusunod: hanapin ang gayong argumento a , na namamalagi sa hanay mula hanggang , na ang sine ay katumbas ng .

Desisyon. Mayroong hindi mabilang na mga argumento na ang sine ay , halimbawa: atbp. Ngunit kami ay interesado lamang sa argumento na nasa pagitan. Ang argumentong ito ay magiging . Kaya, .

Halimbawa 2. Hanapin .Desisyon. Ang pagtatalo sa parehong paraan tulad ng sa Halimbawa 1, nakukuha namin .

b) mga pagsasanay sa bibig. Hanapin: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin 0 Halimbawang sagot: , kasi . May katuturan ba ang mga ekspresyon: ; arcsin 1.5; ?

c) Ayusin sa pataas na pagkakasunud-sunod: arcsin, arcsin (-0.3), arcsin 0.9.

II. Mga function y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (katulad nito).

Aralin 2 (2 oras) Paksa: Inverse trigonometric functions, ang kanilang mga graph.

Layunin: sa araling ito kinakailangan na magsagawa ng mga kasanayan sa pagtukoy ng mga halaga ng mga pag-andar ng trigonometriko, sa pag-plot ng kabaligtaran na mga function ng trigonometriko gamit ang D (y), E (y) at mga kinakailangang pagbabago.

Sa araling ito, magsagawa ng mga pagsasanay na kinabibilangan ng paghahanap ng domain ng kahulugan, ang saklaw ng mga function ng uri: y = arcsin , y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos .

Kinakailangang bumuo ng mga graph ng mga function: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 arcsin 2x; c) y \u003d arcsin;

d) y \u003d arcsin; e) y = arcsin; f) y = arcsin; g) y = | arcsin | .

Halimbawa. I-plot natin ang y = arccos

Maaari mong isama ang mga sumusunod na pagsasanay sa iyong araling-bahay: bumuo ng mga graph ng mga function: y = arccos , y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

Mga graph ng inverse function

Aralin #3 (2 oras) Paksa:

Mga operasyon sa kabaligtaran na mga function ng trigonometriko.

Layunin: upang palawakin ang kaalaman sa matematika (mahalaga ito para sa mga aplikante sa mga espesyalidad na may mas mataas na mga kinakailangan para sa paghahanda sa matematika) sa pamamagitan ng pagpapakilala ng mga pangunahing ugnayan para sa kabaligtaran na mga function ng trigonometriko.

Materyal ng aralin.

Ilang simpleng trigonometriko na operasyon sa kabaligtaran na trigonometriko function: kasalanan (arcsin x) \u003d x, i xi? isa; cos (arсcos x) = x, i xi? isa; tg (arctg x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x , x I R.

Mga ehersisyo.

a) tg (1.5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctgx) = ; tg (arctg x) = .

b) cos (+ arcsin 0.6) = - cos (arcsin 0.6). Hayaan ang arcsin 0.6 \u003d a, magkasala ng \u003d 0.6;

cos(arcsin x) = ; kasalanan (arccos x) = .

Tandaan: kinukuha namin ang sign na "+" sa harap ng ugat dahil ang a = arcsin x ay nakakatugon sa .

c) kasalanan (1.5 + arcsin) Sagot:;

d) ctg ( + arctg 3) Sagot: ;

e) tg (- arcctg 4) Sagot: .

f) cos (0.5 + arccos) . Sagot: .

Kalkulahin:

a) kasalanan (2 arctan 5) .

Hayaan ang arctg 5 = a, pagkatapos ay sin 2 a = o kasalanan(2 arctan 5) = ;

b) cos (+ 2 arcsin 0.8) Sagot: 0.28.

c) arctg + arctg.

Hayaan ang a = arctg , b = arctg ,

pagkatapos ay tan(a + b) = .

d) kasalanan (arcsin + arcsin).

e) Patunayan na para sa lahat ng x I [-1; 1] true arcsin x + arccos x = .

Patunay:

arcsin x = - arccos x

kasalanan (arcsin x) = kasalanan (- arccos x)

x = cos (arccos x)

Para sa isang nakapag-iisang solusyon: kasalanan (arccos ), cos (arcsin ) , cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos ), ctg (arccos ).

Para sa isang solusyon sa bahay: 1) kasalanan (arcsin 0.6 + arctg 0); 2) arcsin + arcsin; 3) ctg ( - arccos 0.6); 4) cos (2 arcctg 5); 5) kasalanan (1.5 - arcsin 0.8); 6) arctg 0.5 - arctg 3.

Aralin Blg. 4 (2 oras) Paksa: Mga operasyon sa inverse trigonometric functions.

Layunin: sa araling ito upang ipakita ang paggamit ng mga ratios sa pagbabago ng mas kumplikadong mga expression.

Materyal ng aralin.

BALITANG:

a) kasalanan (arccos 0.6), cos (arcsin 0.8);

b) tg (arctg 5), ctg (arctg 5);

c) kasalanan (arctg -3), cos (arctg ());

d) tg (arccos), ctg (arccos()).

NAKASULAT:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctg 5 - arccos 0.8) = cos (arctg 5) cos (arctg 0.8) + sin (arctg 5) sin (arctg 0.8) =

3) tg (- arcsin 0.6) = - tg (arcsin 0.6) =

4)

Ang independiyenteng trabaho ay makakatulong upang matukoy ang antas ng asimilasyon ng materyal

1) tg ( arctg 2 - arctg ) 2) cos(- arctg2) 3) arcsin + arccos	1) cos (arcsin + arcsin) 2) kasalanan (1.5 - arctg 3) 3) arcctg3 - arctg 2

Para sa takdang-aralin, maaari kang mag-alok ng:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) kasalanan 2 (arctg 2 - arcctg ()); 3) kasalanan (2 arctg + tg ( arcsin )); 4) kasalanan (2 arctan); 5) tg ( (arcsin ))

Aralin Blg. 5 (2h) Paksa: Baliktad na trigonometric na operasyon sa trigonometriko function.

Layunin: upang mabuo ang pag-unawa ng mga mag-aaral sa kabaligtaran na mga operasyong trigonometriko sa mga function na trigonometriko, tumuon sa pagpapataas ng kahalagahan ng teoryang pinag-aaralan.

Kapag pinag-aaralan ang paksang ito, ipinapalagay na limitado ang dami ng teoretikal na materyal na isaulo.

Kagamitan para sa aralin:

Maaari mong simulan ang pag-aaral ng bagong materyal sa pamamagitan ng pagsusuri sa function na y = arcsin (sin x) at pag-plot nito.

3. Ang bawat x I R ay nauugnay sa y I , ibig sabihin.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. Ang function ay kakaiba: sin (-x) \u003d - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).

6. Graph y = arcsin (sin x) sa:

a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

kasalanan y \u003d kasalanan ( - x) \u003d sinx, 0<= - x <= .

Kaya,

Ang pagkakaroon ng binuo y = arcsin (sin x) sa , nagpapatuloy kami sa simetriko tungkol sa pinagmulan sa [- ; 0], na isinasaalang-alang ang kakaiba ng function na ito. Gamit ang periodicity, nagpapatuloy kami sa buong numerical axis.

Pagkatapos ay isulat ang ilang mga ratios: arcsin (kasalanan a) = a kung<= a <= ; arccos (cos a ) = a kung 0<= a <= ; arctg (tg a) = a kung< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

At gawin ang mga sumusunod na pagsasanay: a) arccos (kasalanan 2) Sagot: 2 - ; b) arcsin (cos 0.6) Sagot: - 0.1; c) arctg (tg 2) Sagot: 2 -;

d) arcctg (tg 0.6) Sagot: 0.9; e) arccos (cos ( - 2)) Sagot: 2 -; f) arcsin (kasalanan (- 0.6)). Sagot: - 0.6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Sagot: 2 - ; h) arcctg (tg 0.6). Sagot: - 0.6; - arctanx; e) arccos + arccos