Ang isa sa mga pinakasimpleng paraan upang malutas ang isang sistema ng mga linear equation ay isang trick batay sa pagkalkula ng mga determinant ( Ang panuntunan ni Cramer). Ang kalamangan nito ay pinapayagan ka nitong agad na i-record ang solusyon, lalo na itong maginhawa sa mga kaso kung saan ang mga coefficient ng system ay hindi mga numero, ngunit ilang mga parameter. Ang kawalan nito ay ang pagiging kumplikado ng mga kalkulasyon sa kaso ng isang malaking bilang ng mga equation, bukod pa rito, ang panuntunan ng Cramer ay hindi direktang naaangkop sa mga sistema kung saan ang bilang ng mga equation ay hindi nag-tutugma sa bilang ng mga hindi alam. Sa ganitong mga kaso, ito ay karaniwang ginagamit Pamamaraan ng Gauss.

Ang mga sistema ng mga linear na equation na may parehong hanay ng mga solusyon ay tinatawag katumbas. Malinaw, ang hanay ng mga solusyon ng isang linear system ay hindi magbabago kung ang anumang mga equation ay ipinagpapalit, o kung ang isa sa mga equation ay i-multiply sa ilang di-zero na numero, o kung ang isang equation ay idinagdag sa isa pa.

Pamamaraan ng Gauss (paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam) ay nakasalalay sa katotohanan na, sa tulong ng mga elementarya na pagbabago, ang sistema ay nabawasan sa isang katumbas na stepwise na sistema. Una, sa tulong ng 1st equation, x 1 ng lahat ng kasunod na equation ng system. Pagkatapos, gamit ang 2nd equation, inaalis namin x 2 ng ika-3 at lahat ng kasunod na equation. Ang prosesong ito, tinatawag direktang pamamaraan ng Gauss, nagpapatuloy hanggang sa isang hindi kilalang natitira na lang sa kaliwang bahagi ng huling equation x n. Pagkatapos nito, ito ay ginawa Gaussian reverse– paglutas ng huling equation, nakita namin x n; pagkatapos nito, gamit ang halagang ito, mula sa penultimate equation ay kinakalkula namin x n-1 atbp. Huling nahanap namin x 1 mula sa unang equation.

Ang mga pagbabagong Gaussian ay maginhawang isinasagawa sa pamamagitan ng pagsasagawa ng mga pagbabagong hindi sa mga equation mismo, ngunit sa mga matrice ng kanilang mga coefficient. Isaalang-alang ang matrix:

tinawag pinahabang sistema ng matrix, dahil bilang karagdagan sa pangunahing matrix ng system, kabilang dito ang isang hanay ng mga libreng miyembro. Ang paraan ng Gauss ay batay sa pagdadala ng pangunahing matrix ng system sa isang triangular na anyo (o trapezoidal form sa kaso ng mga non-square system) gamit ang elementary row transformations (!) ng extended matrix ng system.

Halimbawa 5.1. Lutasin ang system gamit ang Gauss method:

Desisyon. Isulat natin ang augmented matrix ng system at, gamit ang unang hilera, pagkatapos nito ay itatakda natin ang natitirang mga elemento sa zero:

nakakakuha tayo ng mga zero sa 2nd, 3rd at 4th row ng unang column:

Ngayon kailangan namin ang lahat ng mga elemento sa ikalawang hanay sa ibaba ng ika-2 hilera upang maging katumbas ng zero. Upang gawin ito, maaari mong i-multiply ang pangalawang linya sa -4/7 at idagdag sa ika-3 linya. Gayunpaman, upang hindi makitungo sa mga fraction, gagawa kami ng isang yunit sa ika-2 hilera ng pangalawang hanay at tanging

Ngayon, upang makakuha ng isang tatsulok na matrix, kailangan mong i-zero ang elemento ng ikaapat na hanay ng ika-3 haligi, para dito maaari mong i-multiply ang ikatlong hilera sa 8/54 at idagdag ito sa ikaapat. Gayunpaman, upang hindi makitungo sa mga fraction, ipapalit namin ang ika-3 at ika-4 na hanay at ang ika-3 at ika-4 na hanay, at pagkatapos lamang nito ay i-reset namin ang tinukoy na elemento. Tandaan na kapag ang mga column ay muling inayos, ang mga kaukulang variable ay pinapalitan, at ito ay dapat tandaan; ang iba pang mga pagbabagong elementarya na may mga column (pagdaragdag at pagpaparami sa isang numero) ay hindi maaaring gawin!

Ang huling pinasimple na matrix ay tumutugma sa isang sistema ng mga equation na katumbas ng orihinal:

Mula dito, gamit ang reverse course ng Gauss method, makikita natin mula sa ikaapat na equation x 3 = -1; mula sa ikatlo x 4 = -2, mula sa pangalawa x 2 = 2 at mula sa unang equation x 1 = 1. Sa anyong matrix, ang sagot ay isinusulat bilang

Isinaalang-alang namin ang kaso kapag ang sistema ay tiyak, i.e. kapag iisa lang ang solusyon. Tingnan natin kung ano ang mangyayari kung ang sistema ay hindi pare-pareho o hindi tiyak.

Halimbawa 5.2. I-explore ang system gamit ang Gaussian method:

Desisyon. Sinusulat namin at binabago ang augmented matrix ng system

Sumulat kami ng isang pinasimple na sistema ng mga equation:

Dito, sa huling equation, lumabas na 0=4, i.e. kontradiksyon. Samakatuwid, ang sistema ay walang solusyon, i.e. siya ay hindi magkatugma. à

Halimbawa 5.3. I-explore at lutasin ang system gamit ang Gaussian method:

Desisyon. Sinusulat namin at binago ang pinahabang matrix ng system:

Bilang resulta ng mga pagbabago, mga zero lamang ang nakuha sa huling linya. Nangangahulugan ito na ang bilang ng mga equation ay nabawasan ng isa:

Kaya, pagkatapos ng mga pagpapasimple, dalawang equation ang nananatili, at apat na hindi alam, i.e. dalawang hindi kilalang "dagdag". Hayaan ang "labis", o, gaya ng sinasabi nila, mga libreng variable, kalooban x 3 at x 4 . Pagkatapos

Ipagpalagay x 3 = 2a at x 4 = b, nakukuha namin x 2 = 1–a at x 1 = 2b–a; o sa anyo ng matrix

Ang isang solusyon na nakasulat sa ganitong paraan ay tinatawag pangkalahatan, dahil, sa pamamagitan ng pagbibigay ng mga parameter a at b iba't ibang mga halaga, posibleng ilarawan ang lahat ng posibleng solusyon ng system. a

Pamamaraan ng Gauss mahusay para sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation (SLAE). Ito ay may ilang mga pakinabang sa iba pang mga pamamaraan:

• una, hindi na kailangang paunang imbestigahan ang sistema ng mga equation para sa pagiging tugma;
• pangalawa, ang Gauss method ay maaaring gamitin upang lutasin hindi lamang ang mga SLAE kung saan ang bilang ng mga equation ay tumutugma sa bilang ng mga hindi kilalang variable at ang pangunahing matrix ng system ay hindi nakakabuo, kundi pati na rin ang mga sistema ng mga equation kung saan ang bilang ng mga equation ay hindi nagtutugma. na may bilang ng mga hindi kilalang variable o ang determinant ng pangunahing matrix ay katumbas ng zero;
• pangatlo, ang pamamaraang Gauss ay humahantong sa isang resulta na may medyo maliit na bilang ng mga pagpapatakbo ng computational.

Maikling pagsusuri ng artikulo.

Una, binibigyan namin ang mga kinakailangang kahulugan at ipinakilala ang ilang notasyon.

Susunod, inilalarawan namin ang algorithm ng pamamaraang Gauss para sa pinakasimpleng kaso, iyon ay, para sa mga sistema ng linear algebraic equation, ang bilang ng mga equation kung saan tumutugma sa bilang ng mga hindi kilalang variable at ang determinant ng pangunahing matrix ng system ay hindi katumbas ng zero. Kapag nilulutas ang mga naturang sistema ng mga equation, ang kakanyahan ng pamamaraang Gauss ay malinaw na nakikita, na binubuo sa sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi kilalang variable. Samakatuwid, ang pamamaraang Gaussian ay tinatawag ding paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam. Ipakita natin ang mga detalyadong solusyon ng ilang halimbawa.

Sa konklusyon, isinasaalang-alang namin ang Gaussian na solusyon ng mga sistema ng linear algebraic equation, ang pangunahing matrix kung saan ay alinman sa hugis-parihaba o degenerate. Ang solusyon ng naturang mga sistema ay may ilang mga tampok, na susuriin namin nang detalyado gamit ang mga halimbawa.

Pag-navigate sa pahina.

Mga pangunahing kahulugan at notasyon.

Isaalang-alang ang isang sistema ng p linear equation na may n hindi alam (p ay maaaring katumbas ng n ):

Kung saan ang mga hindi kilalang variable, ang mga numero (totoo o kumplikado), ay mga libreng miyembro.

Kung ang , pagkatapos ay tinatawag ang sistema ng mga linear algebraic equation homogenous, kung hindi - magkakaiba.

Ang hanay ng mga halaga ng hindi kilalang mga variable, kung saan ang lahat ng mga equation ng system ay nagiging mga pagkakakilanlan, ay tinatawag desisyon ng SLAU.

Kung mayroong hindi bababa sa isang solusyon sa isang sistema ng mga linear algebraic equation, kung gayon ito ay tinatawag magkadugtong, kung hindi - hindi magkatugma.

Kung ang isang SLAE ay may natatanging solusyon, kung gayon ito ay tinatawag tiyak. Kung mayroong higit sa isang solusyon, kung gayon ang sistema ay tinatawag hindi sigurado.

Ang sistema ay sinasabing nakasulat sa coordinate form kung mayroon itong anyo
.

Ang sistemang ito sa anyo ng matrix Ang mga talaan ay may form na , kung saan - ang pangunahing matrix ng SLAE, - ang matrix ng column ng hindi kilalang mga variable, - ang matrix ng mga libreng miyembro.

Kung idaragdag natin sa matrix A bilang (n + 1)-th column ang matrix-column ng mga libreng termino, pagkatapos ay makukuha natin ang tinatawag na pinalawak na matris sistema ng mga linear na equation. Karaniwan, ang augmented matrix ay tinutukoy ng letrang T, at ang haligi ng mga libreng miyembro ay pinaghihiwalay ng isang patayong linya mula sa natitirang mga haligi, iyon ay,

Ang square matrix A ay tinatawag mabulok kung ang determinant nito ay zero. Kung , kung gayon ang matrix A ay tinatawag hindi nabubulok.

Dapat pansinin ang sumusunod na punto.

Kung ang mga sumusunod na aksyon ay ginawa gamit ang isang sistema ng mga linear algebraic equation

• magpalit ng dalawang equation,
• i-multiply ang magkabilang panig ng anumang equation sa isang arbitrary at non-zero real (o complex) na numero k,
• sa parehong bahagi ng anumang equation idagdag ang mga kaukulang bahagi ng isa pang equation, na pinarami ng isang arbitrary na numero k,

pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang katumbas na sistema na may parehong mga solusyon (o, tulad ng orihinal, walang mga solusyon).

Para sa isang pinahabang matrix ng isang sistema ng mga linear algebraic equation, ang mga pagkilos na ito ay mangangahulugan ng mga elementarya na pagbabagong may mga row:

• pagpapalit ng dalawang string
• pagpaparami ng lahat ng elemento ng anumang hilera ng matrix T sa isang hindi zero na numero k ,
• pagdaragdag sa mga elemento ng anumang hilera ng matrix ng mga kaukulang elemento ng isa pang hilera, na pinarami ng isang arbitrary na numero k .

Ngayon ay maaari tayong magpatuloy sa paglalarawan ng pamamaraang Gauss.

Paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation, kung saan ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam at ang pangunahing matrix ng system ay hindi nabubulok, sa pamamagitan ng Gauss method.

Ano ang gagawin natin sa paaralan kung bibigyan tayo ng gawaing maghanap ng solusyon sa isang sistema ng mga equation .

Gagawin ito ng ilan.

Tandaan na sa pamamagitan ng pagdaragdag ng kaliwang bahagi ng unang equation sa kaliwang bahagi ng pangalawang equation, at ang kanang bahagi sa kanang bahagi, maaari mong alisin ang hindi kilalang mga variable na x 2 at x 3 at agad na mahanap ang x 1:

Pinapalitan namin ang nahanap na halaga x 1 \u003d 1 sa una at pangatlong equation ng system:

Kung i-multiply natin ang parehong bahagi ng ikatlong equation ng system sa -1 at idagdag ang mga ito sa mga kaukulang bahagi ng unang equation, pagkatapos ay aalisin natin ang hindi kilalang variable x 3 at mahahanap natin ang x 2:

Pinapalitan namin ang nakuha na halaga x 2 \u003d 2 sa ikatlong equation at hanapin ang natitirang hindi kilalang variable x 3:

Ang iba ay ginawa kung hindi man.

Lutasin natin ang unang equation ng system na may paggalang sa hindi kilalang variable x 1 at palitan ang resultang expression sa pangalawa at pangatlong equation ng system upang maibukod ang variable na ito mula sa kanila:

Ngayon lutasin natin ang pangalawang equation ng system na may paggalang sa x 2 at palitan ang resulta sa ikatlong equation upang ibukod ang hindi kilalang variable x 2 mula dito:

Makikita mula sa ikatlong equation ng system na x 3 =3. Mula sa pangalawang equation nakita namin , at mula sa unang equation makuha namin .

Mga pamilyar na solusyon, tama ba?

Ang pinaka-kagiliw-giliw na bagay dito ay ang pangalawang paraan ng solusyon ay mahalagang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam, iyon ay, ang paraan ng Gauss. Kapag nagpahayag kami ng mga hindi kilalang variable (una x 1 , susunod x 2 ) at pinalitan ang mga ito sa iba pang mga equation ng system, sa gayon ay hindi namin sila kasama. Isinagawa namin ang pagbubukod hanggang sa sandaling ang huling equation ay nag-iwan lamang ng isang hindi kilalang variable. Ang proseso ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam ay tinatawag direktang pamamaraan ng Gauss. Matapos makumpleto ang pasulong na paglipat, mayroon kaming pagkakataon na kalkulahin ang hindi kilalang variable sa huling equation. Sa tulong nito, mula sa penultimate equation, nakita namin ang susunod na hindi kilalang variable, at iba pa. Ang proseso ng sunud-sunod na paghahanap ng mga hindi kilalang variable habang lumilipat mula sa huling equation hanggang sa una ay tinatawag baligtarin ang pamamaraang Gauss.

Dapat tandaan na kapag ipinahayag natin ang x 1 sa mga tuntunin ng x 2 at x 3 sa unang equation, at pagkatapos ay palitan ang resultang expression sa pangalawa at pangatlong equation, ang mga sumusunod na aksyon ay humahantong sa parehong resulta:

Sa katunayan, ang ganitong pamamaraan ay nagpapahintulot din sa amin na ibukod ang hindi kilalang variable x 1 mula sa pangalawa at pangatlong equation ng system:

Ang mga nuances na may pag-aalis ng hindi kilalang mga variable sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss ay lumitaw kapag ang mga equation ng system ay hindi naglalaman ng ilang mga variable.

Halimbawa, sa SLAU sa unang equation, walang hindi kilalang variable x 1 (sa madaling salita, ang coefficient sa harap nito ay zero). Samakatuwid, hindi natin malulutas ang unang equation ng system na may paggalang sa x 1 upang ibukod ang hindi kilalang variable na ito mula sa iba pang mga equation. Ang paraan sa labas ng sitwasyong ito ay ang pagpapalit ng mga equation ng system. Dahil isinasaalang-alang namin ang mga sistema ng mga linear equation na ang mga determinant ng pangunahing matrice ay naiiba sa zero, palaging mayroong isang equation kung saan ang variable na kailangan namin ay naroroon, at maaari naming muling ayusin ang equation na ito sa posisyon na kailangan namin. Para sa aming halimbawa, sapat na upang ipagpalit ang una at pangalawang equation ng system , pagkatapos ay maaari mong lutasin ang unang equation para sa x 1 at ibukod ito mula sa iba pang mga equation ng system (bagaman ang x 1 ay wala na sa pangalawang equation).

Umaasa kaming nakuha mo ang diwa.

Ilarawan natin Gauss method algorithm.

Kailangan nating lutasin ang isang sistema ng n linear algebraic equation na may n hindi kilalang mga variable ng form , at hayaang nonzero ang determinant ng pangunahing matrix nito.

Ipagpalagay natin na , dahil palagi nating makakamit ito sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga equation ng system. Ibinubukod namin ang hindi kilalang variable x 1 mula sa lahat ng equation ng system, simula sa pangalawa. Upang gawin ito, idagdag ang unang equation na pinarami ng sa pangalawang equation ng system, idagdag ang unang multiply sa ikatlong equation, at iba pa, idagdag ang unang multiply sa sa nth equation. Ang sistema ng mga equation pagkatapos ng gayong mga pagbabago ay kukuha ng anyo

saan, a .

Darating tayo sa parehong resulta kung ipinahayag natin ang x 1 sa mga tuntunin ng iba pang hindi kilalang mga variable sa unang equation ng system at pinalitan ang resultang expression sa lahat ng iba pang mga equation. Kaya, ang variable na x 1 ay hindi kasama sa lahat ng mga equation, simula sa pangalawa.

Susunod, kumilos kami nang katulad, ngunit sa isang bahagi lamang ng nagresultang sistema, na minarkahan sa figure

Upang gawin ito, idagdag ang pangalawang equation na pinarami ng sa ikatlong equation ng system, idagdag ang pangalawang multiply sa ikaapat na equation, at iba pa, idagdag ang pangalawang multiply sa nth equation. Ang sistema ng mga equation pagkatapos ng gayong mga pagbabago ay kukuha ng anyo

saan, a . Kaya, ang variable na x 2 ay hindi kasama sa lahat ng equation, simula sa ikatlo.

Susunod, nagpapatuloy kami sa pag-aalis ng hindi kilalang x 3, habang kumikilos nang katulad sa bahagi ng system na minarkahan sa figure

Kaya't ipinagpatuloy namin ang direktang kurso ng pamamaraang Gauss hanggang sa makuha ng system ang form

Mula sa sandaling ito, sinisimulan natin ang reverse course ng Gauss method: kinakalkula natin ang x n mula sa huling equation bilang , gamit ang nakuhang halaga ng x n nahanap natin ang x n-1 mula sa penultimate equation, at iba pa, hinahanap natin ang x 1 mula sa unang equation.

Suriin natin ang algorithm na may isang halimbawa.

Halimbawa.

Gaussian na pamamaraan.

Desisyon.

Ang koepisyent a 11 ay iba sa zero, kaya't magpatuloy tayo sa direktang kurso ng Gauss method, iyon ay, sa pag-aalis ng hindi kilalang variable x 1 mula sa lahat ng equation ng system, maliban sa una. Upang gawin ito, sa kaliwa at kanang bahagi ng pangalawa, pangatlo at ikaapat na equation, idagdag ang kaliwa at kanang bahagi ng unang equation, na pinarami ng , ayon sa pagkakabanggit, at:

Ang hindi kilalang variable na x 1 ay naalis na, lumipat tayo sa pagbubukod x 2 . Sa kaliwa at kanang bahagi ng ikatlo at ikaapat na equation ng system, idinaragdag namin ang kaliwa at kanang bahagi ng pangalawang equation, na pinarami ng at :

Upang makumpleto ang pasulong na kurso ng pamamaraang Gauss, kailangan nating ibukod ang hindi kilalang variable x 3 mula sa huling equation ng system. Idagdag sa kaliwa at kanang bahagi ng ikaapat na equation, ayon sa pagkakabanggit, ang kaliwa at kanang bahagi ng ikatlong equation, na pinarami ng :

Maaari mong simulan ang reverse course ng Gauss method.

Mula sa huling equation na mayroon tayo ,
mula sa ikatlong equation na nakukuha natin,
mula sa pangalawa
mula sa una.

Upang suriin, maaari mong palitan ang nakuha na mga halaga ng hindi kilalang mga variable sa orihinal na sistema ng mga equation. Ang lahat ng mga equation ay nagiging mga pagkakakilanlan, na nangangahulugan na ang solusyon sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss ay natagpuan nang tama.

Sagot:

At ngayon ay ibibigay namin ang solusyon ng parehong halimbawa sa pamamagitan ng paraan ng Gauss sa matrix form.

Halimbawa.

Maghanap ng solusyon sa sistema ng mga equation Gaussian na pamamaraan.

Desisyon.

Ang pinahabang matrix ng system ay may anyo . Sa itaas ng bawat column, ang mga hindi kilalang variable ay nakasulat, na tumutugma sa mga elemento ng matrix.

Ang direktang kurso ng pamamaraang Gauss dito ay nagsasangkot ng pagdadala ng pinahabang matrix ng system sa isang trapezoidal na anyo gamit ang elementarya na pagbabago. Ang prosesong ito ay katulad ng pagbubukod ng mga hindi kilalang variable na ginawa namin sa system sa coordinate form. Ngayon ay makukumbinsi ka nito.

Ibahin natin ang matrix upang ang lahat ng elemento sa unang column, simula sa pangalawa, ay maging zero. Upang gawin ito, sa mga elemento ng ikalawa, ikatlo at ikaapat na hanay, idagdag ang mga kaukulang elemento ng unang hilera na pinarami ng , at ayon sa pagkakabanggit:

Susunod, binabago namin ang nagresultang matrix upang sa pangalawang haligi, ang lahat ng mga elemento, simula sa pangatlo, ay naging zero. Ito ay tumutugma sa pagbubukod ng hindi kilalang variable x 2 . Upang gawin ito, idagdag sa mga elemento ng ikatlo at ikaapat na hanay ang mga kaukulang elemento ng unang hilera ng matrix, na pinarami ng at :

Nananatili itong ibukod ang hindi kilalang variable x 3 mula sa huling equation ng system. Upang gawin ito, sa mga elemento ng huling hilera ng nagresultang matrix, idinagdag namin ang kaukulang mga elemento ng penultimate row, na pinarami ng :

Dapat tandaan na ang matrix na ito ay tumutugma sa sistema ng mga linear equation

na nakuha nang mas maaga pagkatapos ng direktang paglipat.

Oras na para bumalik. Sa matrix form ng notation, ang reverse course ng Gauss method ay nagsasangkot ng ganitong pagbabago ng resultang matrix upang ang matrix ay minarkahan sa figure.

naging dayagonal, iyon ay, kinuha ang anyo

kung saan ang ilang mga numero.

Ang mga pagbabagong ito ay katulad ng sa pamamaraang Gauss, ngunit ginagawa hindi mula sa unang linya hanggang sa huli, ngunit mula sa huli hanggang sa una.

Idagdag sa mga elemento ng ikatlo, ikalawa at unang mga hilera ang mga kaukulang elemento ng huling hilera, na pinarami ng , nang walang tigil ayon sa pagkakabanggit:

Ngayon, idagdag natin sa mga elemento ng pangalawa at unang hilera ang mga kaukulang elemento ng ikatlong hilera, na pinarami ng at ng, ayon sa pagkakabanggit:

Sa huling hakbang ng reverse motion ng Gauss method, sa mga elemento ng unang hilera, idinaragdag namin ang mga kaukulang elemento ng pangalawang hilera, na pinarami ng :

Ang resultang matrix ay tumutugma sa sistema ng mga equation , kung saan makikita natin ang hindi kilalang mga variable.

Sagot:

TANDAAN.

Kapag ginagamit ang paraan ng Gauss upang malutas ang mga sistema ng mga linear algebraic equation, dapat na iwasan ang mga tinatayang kalkulasyon, dahil ito ay maaaring humantong sa ganap na hindi tamang mga resulta. Inirerekomenda namin na huwag mong bilugan ang mga decimal. Mas mainam na lumipat mula sa mga decimal fraction patungo sa mga ordinaryong fraction.

Halimbawa.

Lutasin ang Sistema ng Tatlong Equation sa Pamamaraang Gaussian .

Desisyon.

Tandaan na sa halimbawang ito, ang mga hindi kilalang variable ay may ibang pagtatalaga (hindi x 1 , x 2 , x 3 , ngunit x, y, z ). Lumipat tayo sa mga ordinaryong fraction:

Tanggalin ang hindi kilalang x mula sa pangalawa at pangatlong equation ng system:

Sa resultang sistema, walang hindi kilalang variable na y sa pangalawang equation, at y ay naroroon sa ikatlong equation, samakatuwid, pinapalitan namin ang pangalawa at pangatlong equation:

Sa puntong ito, tapos na ang direktang kurso ng pamamaraang Gauss (hindi mo kailangang ibukod ang y mula sa ikatlong equation, dahil wala na ang hindi kilalang variable na ito).

Balik tayo.

Mula sa huling equation nakita namin ,
mula sa penultimate


mula sa unang equation na mayroon tayo

Sagot:

X=10, y=5, z=-20.

Ang solusyon ng mga sistema ng linear algebraic equation, kung saan ang bilang ng mga equation ay hindi nag-tutugma sa bilang ng mga hindi alam o ang pangunahing matrix ng system ay degenerate, sa pamamagitan ng Gauss method.

Ang mga sistema ng mga equation na ang pangunahing matrix ay hugis-parihaba o square degenerate ay maaaring walang mga solusyon, maaaring magkaroon ng isang solong solusyon, o maaaring magkaroon ng walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Ngayon ay mauunawaan natin kung paano pinahihintulutan tayo ng pamamaraang Gauss na itatag ang pagkakatugma o hindi pagkakapare-pareho ng isang sistema ng mga linear na equation, at sa kaso ng pagiging tugma nito, tukuyin ang lahat ng mga solusyon (o isang solong solusyon).

Sa prinsipyo, ang proseso ng pag-aalis ng mga hindi kilalang variable sa kaso ng mga naturang SLAE ay nananatiling pareho. Gayunpaman, ito ay nagkakahalaga ng paninirahan nang detalyado sa ilang mga sitwasyon na maaaring lumitaw.

Lumipat tayo sa pinakamahalagang hakbang.

Kaya, ipagpalagay natin na ang sistema ng mga linear algebraic equation pagkatapos ng pagkumpleto ng forward run ng Gauss method ay nasa anyo. at wala sa mga equation ang nabawasan sa (sa kasong ito, ipapasiya namin na ang sistema ay hindi naaayon). Isang lohikal na tanong ang lumitaw: "Ano ang susunod na gagawin"?

Isinulat namin ang hindi kilalang mga variable na nasa unang lugar ng lahat ng mga equation ng nagresultang sistema:

Sa aming halimbawa, ito ay x 1 , x 4 at x 5 . Sa kaliwang bahagi ng mga equation ng system, iniiwan lamang namin ang mga termino na naglalaman ng mga nakasulat na hindi kilalang mga variable x 1, x 4 at x 5, inililipat namin ang natitirang mga termino sa kanang bahagi ng mga equation na may kabaligtaran na tanda:

Magtalaga tayo ng mga arbitrary na halaga sa hindi kilalang mga variable na nasa kanang bahagi ng mga equation, kung saan - di-makatwirang mga numero:

Pagkatapos nito, ang mga numero ay matatagpuan sa mga tamang bahagi ng lahat ng mga equation ng ating SLAE at maaari tayong magpatuloy sa reverse course ng Gauss method.

Mula sa huling equation ng system na mayroon tayo , mula sa penultimate equation na nakita natin , mula sa unang equation na nakuha natin

Ang solusyon ng sistema ng mga equation ay ang hanay ng mga halaga ng hindi kilalang mga variable

Pagbibigay ng mga numero iba't ibang mga halaga, makakakuha tayo ng iba't ibang mga solusyon sa sistema ng mga equation. Ibig sabihin, ang ating sistema ng mga equation ay may walang katapusang maraming solusyon.

Sagot:

saan - di-makatwirang mga numero.

Upang pagsama-samahin ang materyal, susuriin namin nang detalyado ang mga solusyon ng ilang higit pang mga halimbawa.

Halimbawa.

Lutasin ang Homogeneous System ng Linear Algebraic Equation Gaussian na pamamaraan.

Desisyon.

Ibukod natin ang hindi kilalang variable na x mula sa pangalawa at pangatlong equation ng system. Upang gawin ito, idagdag ang kaliwa at kanang bahagi ng unang equation, ayon sa pagkakabanggit, sa kaliwa at kanang bahagi ng pangalawang equation, pinarami ng , at sa kaliwa at kanang bahagi ng ikatlong equation, ang kaliwa at kanang bahagi ng unang equation, pinarami ng :

Ngayon ay hindi namin isasama ang y mula sa ikatlong equation ng nagresultang sistema ng mga equation:

Ang resultang SLAE ay katumbas ng system .

Iniiwan lamang namin ang mga terminong naglalaman ng hindi kilalang variable na x at y sa kaliwang bahagi ng mga equation ng system, at ilipat ang mga termino na may hindi kilalang variable na z sa kanang bahagi:

Ngayon ay haharapin natin ang pamamaraang Gauss para sa paglutas ng mga sistema ng mga linear algebraic equation. Maaari mong basahin ang tungkol sa kung ano ang mga sistemang ito sa nakaraang artikulo na nakatuon sa paglutas ng parehong SLAE sa pamamagitan ng paraan ng Cramer. Ang pamamaraang Gauss ay hindi nangangailangan ng anumang partikular na kaalaman, tanging pagkaasikaso at pagkakapare-pareho ang kailangan. Sa kabila ng katotohanan na mula sa punto ng view ng matematika, ang paghahanda sa paaralan ay sapat na para sa aplikasyon nito, ang pag-master ng pamamaraang ito ay kadalasang nagiging sanhi ng mga paghihirap para sa mga mag-aaral. Sa artikulong ito, susubukan naming bawasan ang mga ito sa wala!

Pamamaraan ng Gauss

M Pamamaraan ng Gauss ay ang pinaka-unibersal na paraan para sa paglutas ng SLAE (maliban sa napakalaking sistema). Hindi tulad ng tinalakay kanina, ito ay angkop hindi lamang para sa mga system na may natatanging solusyon, kundi pati na rin para sa mga system na may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Mayroong tatlong mga pagpipilian dito.

1. Ang sistema ay may natatanging solusyon (ang determinant ng pangunahing matrix ng system ay hindi katumbas ng zero);
2. Ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon;
3. Walang solusyon, hindi tugma ang sistema.

Kaya, mayroon tayong sistema (hayaan itong magkaroon ng isang solusyon), at lulutasin natin ito gamit ang Gaussian method. Paano ito gumagana?

Ang pamamaraang Gaussian ay binubuo ng dalawang yugto - direkta at kabaligtaran.

Direktang Gauss na pamamaraan

Una, isinulat namin ang augmented matrix ng system. Para magawa ito, nagdaragdag kami ng column ng mga libreng miyembro sa pangunahing matrix.

Ang buong diwa ng pamamaraang Gaussian ay upang dalhin ang ibinigay na matrix sa isang stepped (o, gaya ng sinasabi nila, tatsulok) na anyo sa pamamagitan ng elementarya na pagbabago. Sa form na ito, dapat mayroong mga zero lamang sa ilalim (o sa itaas) ng pangunahing dayagonal ng matrix.

Ano ang maaaring gawin:

1. Maaari mong muling ayusin ang mga hilera ng matrix;
2. Kung mayroong magkapareho (o proporsyonal) na mga hilera sa matrix, maaari mong tanggalin ang lahat maliban sa isa sa mga ito;
3. Maaari mong i-multiply o hatiin ang isang string sa anumang numero (maliban sa zero);
4. Ang mga zero na linya ay tinanggal;
5. Maaari kang magdagdag ng string na pinarami ng hindi zero na numero sa isang string.

Baliktarin ang pamamaraan ng Gauss

Pagkatapos naming ibahin ang anyo ng system sa ganitong paraan, hindi alam ang isa xn nagiging kilala, at posibleng mahanap ang lahat ng natitirang hindi alam sa reverse order, na pinapalitan ang mga kilala nang x sa mga equation ng system, hanggang sa una.

Kapag ang Internet ay laging nasa kamay, maaari mong lutasin ang sistema ng mga equation gamit ang Gauss method online. Ang kailangan mo lang gawin ay ilagay ang mga logro sa online na calculator. Ngunit dapat mong aminin, ito ay mas kaaya-aya upang mapagtanto na ang halimbawa ay nalutas hindi sa pamamagitan ng isang computer program, ngunit sa pamamagitan ng iyong sariling utak.

Isang halimbawa ng paglutas ng isang sistema ng mga equation gamit ang Gauss method

At ngayon - isang halimbawa, upang ang lahat ay maging malinaw at nauunawaan. Hayaang magbigay ng isang sistema ng mga linear na equation, at ito ay kinakailangan upang malutas ito sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss:

Una, isulat natin ang augmented matrix:

Ngayon tingnan natin ang mga pagbabago. Tandaan na kailangan nating makamit ang isang tatsulok na anyo ng matrix. I-multiply ang 1st row sa (3). I-multiply ang 2nd row sa (-1). Idagdag natin ang 2nd row sa 1st at makuha natin:

Pagkatapos ay i-multiply ang 3rd row sa (-1). Idagdag natin ang ika-3 linya sa ika-2:

I-multiply ang 1st row sa (6). I-multiply ang 2nd row sa (13). Idagdag natin ang 2nd line sa 1st:

Voila - ang sistema ay dinadala sa naaangkop na anyo. Ito ay nananatiling hanapin ang mga hindi alam:

Ang sistema sa halimbawang ito ay may natatanging solusyon. Isasaalang-alang namin ang solusyon ng mga system na may walang katapusang hanay ng mga solusyon sa isang hiwalay na artikulo. Marahil sa una ay hindi mo alam kung saan magsisimula sa mga pagbabagong matrix, ngunit pagkatapos ng naaangkop na pagsasanay ay makukuha mo ang iyong mga kamay dito at i-click ang Gaussian SLAE na parang mga mani. At kung bigla kang makatagpo ng isang SLAU, na lumalabas na napakahirap para ma-crack, makipag-ugnayan sa aming mga may-akda! magagawa mo sa pamamagitan ng pag-iwan ng aplikasyon sa Correspondence. Sama-sama nating lutasin ang anumang problema!

Hayaang magbigay ng isang sistema ng mga linear algebraic equation, na dapat lutasin (hanapin ang mga naturang halaga ng mga hindi alam na хi na nagiging equation ng system sa isang pagkakapantay-pantay).

Alam namin na ang isang sistema ng mga linear algebraic equation ay maaaring:

1) Walang mga solusyon (maging hindi magkatugma).
2) Magkaroon ng walang katapusang maraming solusyon.
3) Magkaroon ng natatanging solusyon.

Tulad ng natatandaan natin, ang panuntunan ng Cramer at ang pamamaraan ng matrix ay hindi angkop sa mga kaso kung saan ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon o hindi pare-pareho. Pamamaraan ng Gauss – ang pinakamakapangyarihan at maraming nalalaman na tool para sa paghahanap ng mga solusyon sa anumang sistema ng mga linear equation, na sa bawat kaso humantong kami sa sagot! Ang algorithm ng pamamaraan sa lahat ng tatlong mga kaso ay gumagana sa parehong paraan. Kung ang mga pamamaraan ng Cramer at matrix ay nangangailangan ng kaalaman sa mga determinant, kung gayon ang aplikasyon ng pamamaraang Gauss ay nangangailangan ng kaalaman lamang sa mga operasyong aritmetika, na ginagawa itong naa-access kahit na sa mga mag-aaral sa elementarya.

Pinahabang pagbabago ng matrix ( ito ang matrix ng system - isang matrix na binubuo lamang ng mga coefficient ng mga hindi alam, kasama ang isang column ng mga libreng termino) mga sistema ng linear algebraic equation sa Gauss method:

1) kasama troky matrice pwede muling ayusin mga lugar.

2) kung mayroong (o may) proporsyonal (bilang isang espesyal na kaso - magkapareho) na mga hilera sa matrix, pagkatapos ay sumusunod ito tanggalin mula sa matrix, lahat ng mga row na ito maliban sa isa.

3) kung ang isang zero na hilera ay lumitaw sa matrix sa panahon ng mga pagbabagong-anyo, pagkatapos ay sumusunod din ito tanggalin.

4) ang hilera ng matrix ay maaaring multiply (divide) sa anumang numero maliban sa zero.

5) sa hilera ng matrix, maaari mong magdagdag ng isa pang string na pinarami ng isang numero, iba sa zero.

Sa pamamaraang Gauss, ang mga pagbabagong elementarya ay hindi nagbabago sa solusyon ng sistema ng mga equation.

Ang pamamaraang Gauss ay binubuo ng dalawang yugto:

1. "Direct move" - ​​​​gamit ang elementary transformations, dalhin ang extended matrix ng system ng linear algebraic equation sa isang "triangular" stepped form: ang mga elemento ng extended matrix na matatagpuan sa ibaba ng pangunahing diagonal ay katumbas ng zero (top-down na paglipat ). Halimbawa, sa ganitong uri:

Upang gawin ito, gawin ang mga sumusunod na hakbang:

1) Isaalang-alang natin ang unang equation ng isang sistema ng linear algebraic equation at ang coefficient sa x 1 ay katumbas ng K. Ang pangalawa, pangatlo, atbp. binabago namin ang mga equation bilang mga sumusunod: hinahati namin ang bawat equation (coefficients para sa mga hindi alam, kabilang ang mga libreng termino) sa pamamagitan ng coefficient para sa hindi kilalang x 1, na nasa bawat equation, at i-multiply sa K. Pagkatapos nito, ibawas ang una mula sa pangalawang equation ( coefficients para sa mga hindi alam at libreng termino). Nakukuha natin sa x 1 sa pangalawang equation ang coefficient 0. Mula sa ikatlong transformed equation ay ibawas natin ang unang equation, kaya hanggang sa lahat ng equation, maliban sa una, na may hindi kilalang x 1 ay hindi magkakaroon ng coefficient 0.

2) Lumipat sa susunod na equation. Hayaang ito ang pangalawang equation at ang coefficient sa x 2 ay katumbas ng M. Sa lahat ng "subordinate" na equation, magpapatuloy tayo gaya ng inilarawan sa itaas. Kaya, "sa ilalim" ng hindi kilalang x 2 sa lahat ng mga equation ay magiging mga zero.

3) Dumaan kami sa susunod na equation at iba pa hanggang sa mananatili ang isang huling hindi alam at binagong libreng termino.

1. Ang "reverse move" ng Gauss method ay upang makakuha ng solusyon sa isang sistema ng linear algebraic equation (ang "bottom-up" na paglipat). Mula sa huling "mas mababang" equation makakakuha tayo ng isang unang solusyon - ang hindi kilalang x n. Upang gawin ito, lutasin namin ang elementarya equation A * x n \u003d B. Sa halimbawa sa itaas, x 3 \u003d 4. Pinapalitan namin ang nahanap na halaga sa "itaas" na susunod na equation at lutasin ito na may paggalang sa susunod na hindi alam. Halimbawa, x 2 - 4 \u003d 1, i.e. x 2 \u003d 5. At iba pa hanggang sa mahanap namin ang lahat ng hindi alam.

Halimbawa.

Niresolba namin ang sistema ng mga linear na equation gamit ang Gauss method, gaya ng ipinapayo ng ilang may-akda:

Isulat natin ang pinahabang matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa isang stepped form:

Tinitingnan namin ang itaas na kaliwang "hakbang". Doon tayo dapat magkaroon ng unit. Ang problema ay walang sinuman sa unang hanay, kaya walang malulutas sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga hilera. Sa ganitong mga kaso, dapat ayusin ang yunit gamit ang elementarya na pagbabago. Ito ay karaniwang maaaring gawin sa maraming paraan. Gawin natin ito ng ganito:
1 hakbang . Sa unang linya idinagdag namin ang pangalawang linya, na pinarami ng -1. Iyon ay, pinarami namin sa isip ang pangalawang linya sa -1 at isinagawa ang pagdaragdag ng una at pangalawang linya, habang ang pangalawang linya ay hindi nagbago.

Ngayon sa itaas na kaliwang "minus one", na ganap na nababagay sa amin. Kung sino ang gustong makakuha ng +1 ay maaaring magsagawa ng karagdagang pagkilos: i-multiply ang unang linya sa -1 (palitan ang sign nito).

2 hakbang . Ang unang linya na pinarami ng 5 ay idinagdag sa pangalawang linya. Ang unang linya na pinarami ng 3 ay idinagdag sa ikatlong linya.

3 hakbang . Ang unang linya ay pinarami ng -1, sa prinsipyo, ito ay para sa kagandahan. Ang tanda ng ikatlong linya ay binago din at inilipat sa pangalawang lugar, kaya, sa pangalawang "hakbang, mayroon kaming nais na yunit.

4 na hakbang . Sa ikatlong linya, idagdag ang pangalawang linya, na pinarami ng 2.

5 hakbang . Ang ikatlong linya ay nahahati sa 3.

Ang isang palatandaan na nagpapahiwatig ng isang error sa mga kalkulasyon (mas madalas na isang typo) ay isang "masamang" ilalim na linya. Iyon ay, kung nakakuha tayo ng isang bagay na tulad ng (0 0 11 | 23) sa ibaba, at, nang naaayon, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, kung gayon na may mataas na antas ng posibilidad ay masasabi nating nagkamali noong elementarya. mga pagbabagong-anyo.

Ginagawa namin ang reverse move, sa disenyo ng mga halimbawa, ang system mismo ay madalas na hindi muling isinulat, at ang mga equation ay "direktang kinuha mula sa ibinigay na matrix". Ang reverse move, ipinaalala ko sa iyo, ay gumagana "mula sa ibaba pataas." Sa halimbawang ito, lumabas ang regalo:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, samakatuwid x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Sagot:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Lutasin natin ang parehong sistema gamit ang iminungkahing algorithm. Nakukuha namin

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Hatiin ang pangalawang equation sa pamamagitan ng 5 at ang pangatlo sa pamamagitan ng 3. Nakukuha namin ang:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

I-multiply ang pangalawa at pangatlong equation sa pamamagitan ng 4, nakukuha natin ang:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Ibinabawas namin ang unang equation mula sa pangalawa at pangatlong equation, mayroon kaming:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Hatiin ang ikatlong equation sa pamamagitan ng 0.64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

I-multiply ang ikatlong equation sa pamamagitan ng 0.4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Ibinabawas namin ang pangalawang equation mula sa ikatlong equation, nakuha namin ang "stepped" augmented matrix:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Kaya, dahil ang isang error ay naipon sa proseso ng mga kalkulasyon, nakakakuha kami ng x 3 \u003d 0.96, o humigit-kumulang 1.

x 2 \u003d 3 at x 1 \u003d -1.

Ang paglutas sa ganitong paraan, hindi ka malito sa mga kalkulasyon at, sa kabila ng mga pagkakamali sa pagkalkula, makukuha mo ang resulta.

Ang pamamaraang ito ng paglutas ng isang sistema ng mga linear algebraic equation ay madaling ma-program at hindi isinasaalang-alang ang mga partikular na tampok ng mga coefficient para sa mga hindi alam, dahil sa pagsasanay (sa pang-ekonomiya at teknikal na mga kalkulasyon) ang isang tao ay kailangang harapin ang mga non-integer coefficients.

Sana swertehin ka! Sa muling pagkikita sa klase! Tutor.

blog.site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kailangan ng link sa pinagmulan.

Hayaang ibigay ang sistema, ∆≠0. (isa)
Pamamaraan ng Gauss ay isang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam.

Ang kakanyahan ng pamamaraang Gauss ay ang pagbabagong-anyo (1) sa isang sistema na may isang tatsulok na matrix , kung saan ang mga halaga ng lahat ng hindi alam ay pagkatapos ay sunod-sunod na (reversely) nakuha. Isaalang-alang natin ang isa sa mga computational scheme. Ang circuit na ito ay tinatawag na single division circuit. Kaya tingnan natin ang diagram na ito. Hayaan ang isang 11 ≠0 (nangungunang elemento) na hatiin sa isang 11 ang unang equation. Kunin
(2)
Gamit ang equation (2), madaling ibukod ang mga hindi alam na x 1 mula sa natitirang mga equation ng system (para dito, sapat na upang ibawas ang equation (2) mula sa bawat equation na preliminarily na pinarami ng kaukulang coefficient sa x 1), na ay, sa unang hakbang na nakuha natin
.
Sa madaling salita, sa hakbang 1, ang bawat elemento ng kasunod na mga hilera, simula sa pangalawa, ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng orihinal na elemento at ang produkto ng "projection" nito sa unang hanay at ang unang (nabagong) hilera.
Pagkatapos nito, iiwan ang unang equation na nag-iisa, sa iba pang mga equation ng system na nakuha sa unang hakbang, magsasagawa kami ng isang katulad na pagbabagong-anyo: pumili kami mula sa kanila ng isang equation na may isang nangungunang elemento at ginagamit ito upang ibukod ang x 2 mula sa ang natitirang mga equation (hakbang 2).
Pagkatapos ng n hakbang, sa halip na (1) makakakuha tayo ng katumbas na sistema
(3)
Kaya, sa unang yugto, makakakuha tayo ng isang triangular na sistema (3). Ang hakbang na ito ay tinatawag na pasulong.
Sa ikalawang yugto (reverse move) ay sunud-sunod nating hinahanap mula sa (3) ang mga halaga x n , x n -1 , …, x 1 .
Tukuyin natin ang nakuhang solusyon bilang x 0 . Pagkatapos ang pagkakaiba ε=b-A x 0 ay tinatawag na tira.
Kung ε=0, kung gayon ang nahanap na solusyon x 0 ay tama.

Ang mga kalkulasyon sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss ay isinasagawa sa dalawang yugto:

1. Ang unang yugto ay tinatawag na direktang kurso ng pamamaraan. Sa unang yugto, ang orihinal na sistema ay na-convert sa isang tatsulok na anyo.
2. Ang pangalawang yugto ay tinatawag na reverse. Sa ikalawang yugto, isang tatsulok na sistema na katumbas ng orihinal ay malulutas.

Ang mga coefficient a 11 , a 22 , ..., ay tinatawag na mga nangungunang elemento.
Sa bawat hakbang, ipinapalagay na ang nangungunang elemento ay iba sa zero. Kung hindi ito ang kaso, kung gayon ang anumang iba pang elemento ay maaaring gamitin bilang isang pinuno, na parang muling pagsasaayos ng mga equation ng system.

Layunin ng pamamaraang Gauss

Ang pamamaraang Gauss ay inilaan para sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation. Tumutukoy sa mga direktang paraan ng solusyon.

Mga uri ng pamamaraang Gauss

1. Klasikong Gauss na pamamaraan;
2. Mga pagbabago sa pamamaraang Gauss. Ang isa sa mga pagbabago ng pamamaraang Gaussian ay ang circuit na may pagpili ng pangunahing elemento. Ang isang tampok ng pamamaraang Gauss na may pagpili ng pangunahing elemento ay tulad ng isang permutasyon ng mga equation upang sa k-th step ang nangungunang elemento ay ang pinakamalaking elemento sa k-th column.
3. Paraan ng Jordan-Gauss;

Ang pagkakaiba sa pagitan ng pamamaraang Jordan-Gauss at ang klasikal Pamamaraan ng Gauss ay binubuo sa paglalapat ng parihaba na panuntunan kapag ang direksyon ng paghahanap para sa isang solusyon ay kasama ng pangunahing dayagonal (pagbabago sa identity matrix). Sa pamamaraang Gauss, ang direksyon ng paghahanap para sa isang solusyon ay nangyayari sa mga hanay (pagbabago sa isang sistema na may isang tatsulok na matrix).
Ilarawan ang pagkakaiba Paraan ng Jordan-Gauss mula sa pamamaraang Gauss sa mga halimbawa.

Halimbawa ng solusyon sa Gauss
Lutasin natin ang sistema:

Para sa kaginhawaan ng mga kalkulasyon, pinapalitan namin ang mga linya:

I-multiply ang 2nd row sa (2). Idagdag ang 3rd line sa 2nd

I-multiply ang 2nd row sa (-1). Idagdag ang 2nd row sa 1st

Mula sa unang linya ipinapahayag namin ang x 3:
Mula sa ika-2 linya ipinapahayag namin ang x 2:
Mula sa ika-3 linya ipinapahayag namin ang x 1:

Isang halimbawa ng solusyon sa pamamaraang Jordan-Gauss
Lutasin natin ang parehong SLAE gamit ang pamamaraang Jordano-Gauss.

Sunud-sunod naming pipiliin ang elemento ng paglutas ng RE, na nasa pangunahing dayagonal ng matrix.
Ang elementong nagpapagana ay katumbas ng (1).



NE \u003d SE - (A * B) / RE
RE - elemento ng pagpapagana (1), A at B - mga elemento ng matrix na bumubuo ng isang parihaba na may mga elemento ng STE at RE.
Ipakita natin ang pagkalkula ng bawat elemento sa anyo ng isang talahanayan:

x 1	x2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

Ang elementong nagpapagana ay katumbas ng (3).
Sa lugar ng elemento ng paglutas, nakakakuha kami ng 1, at sa column mismo nagsusulat kami ng mga zero.
Ang lahat ng iba pang elemento ng matrix, kabilang ang mga elemento ng column B, ay tinutukoy ng parihaba na panuntunan.
Upang gawin ito, pumili ng apat na numero na matatagpuan sa vertices ng rectangle at palaging isama ang nagpapagana na elemento ng RE.

x 1	x2	x 3	B
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

Ang nagpapagana na elemento ay (-4).
Sa lugar ng elemento ng paglutas, nakakakuha kami ng 1, at sa column mismo nagsusulat kami ng mga zero.
Ang lahat ng iba pang elemento ng matrix, kabilang ang mga elemento ng column B, ay tinutukoy ng parihaba na panuntunan.
Upang gawin ito, pumili ng apat na numero na matatagpuan sa vertices ng rectangle at palaging isama ang nagpapagana na elemento ng RE.
Ipakita natin ang pagkalkula ng bawat elemento sa anyo ng isang talahanayan:

x 1	x2	x 3	B
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Sagot: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Pagpapatupad ng pamamaraang Gauss

Ang Gauss method ay ipinapatupad sa maraming programming language, sa partikular: Pascal, C ++, php, Delphi, at mayroon ding online na pagpapatupad ng Gauss method.

Gamit ang pamamaraang Gauss

Application ng Gauss method sa game theory

Sa teorya ng laro, kapag hinahanap ang pinakamainam na diskarte ng isang manlalaro, ang isang sistema ng mga equation ay pinagsama-sama, na nalutas sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss.

Application ng Gauss method sa paglutas ng differential equation

Upang maghanap para sa isang partikular na solusyon sa isang differential equation, hanapin muna ang mga derivatives ng kaukulang degree para sa nakasulat na partikular na solusyon (y=f(A,B,C,D)), na pinapalitan sa orihinal na equation. Dagdag pa, upang mahanap ang mga variable na A, B, C, D, isang sistema ng mga equation ang pinagsama-sama, na nalulutas ng pamamaraang Gauss.

Application ng Jordano-Gauss method sa linear programming

Sa linear programming, sa partikular, sa simplex na paraan, upang ibahin ang anyo ng simplex na talahanayan sa bawat pag-ulit, ginagamit ang parihaba na panuntunan, na gumagamit ng pamamaraang Jordan-Gauss.