Ang artikulong ito ay naglalaman ng pangunahing impormasyon tungkol sa tunay na mga numero. Una, ang kahulugan ng tunay na mga numero ay ibinigay at ang mga halimbawa ay ibinigay. Ang posisyon ng mga tunay na numero sa linya ng coordinate ay ipinapakita sa susunod. At sa konklusyon, sinusuri kung paano ibinibigay ang mga tunay na numero sa anyo ng mga numerical expression.

Pag-navigate sa pahina.

Kahulugan at mga halimbawa ng tunay na mga numero

Mga totoong numero bilang mga expression

Mula sa kahulugan ng mga tunay na numero, malinaw na ang mga tunay na numero ay:

• anumang natural na numero;
• anumang integer ;
• anumang ordinaryong fraction (parehong positibo at negatibo);
• anumang halo-halong numero;
• anumang decimal fraction (positibo, negatibo, finite, infinite periodic, infinite non-periodic).

Ngunit napakadalas ang mga tunay na numero ay makikita sa anyo, atbp. Bukod dito, ang kabuuan, pagkakaiba, produkto, at quotient ng mga tunay na numero ay mga tunay na numero din (tingnan mga operasyon na may totoong mga numero). Halimbawa, ito ay mga tunay na numero.

At kung lalayo ka pa, pagkatapos ay mula sa mga tunay na numero gamit ang mga arithmetic sign, root sign, degree, logarithmic, trigonometric function, atbp. maaari kang bumuo ng lahat ng uri ng mga numerical na expression, ang mga halaga nito ay magiging tunay na mga numero. Halimbawa, ang mga halaga ng expression at ay tunay na mga numero.

Sa pagtatapos ng artikulong ito, tandaan namin na ang susunod na hakbang sa pagpapalawak ng konsepto ng numero ay ang paglipat mula sa mga tunay na numero sa kumplikadong mga numero.

Bibliograpiya.

• Vilenkin N.Ya. atbp. Matematika. Baitang 6: aklat-aralin para sa mga institusyong pang-edukasyon.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: aklat-aralin para sa 8 mga cell. institusyong pang-edukasyon.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematics (isang manwal para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan).

Copyright ng matatalinong estudyante

Lahat ng karapatan ay nakalaan.
Pinoprotektahan ng batas sa copyright. Walang bahagi ng site, kabilang ang mga panloob na materyales at panlabas na disenyo, ang maaaring kopyahin sa anumang anyo o gamitin nang walang paunang nakasulat na pahintulot ng may-ari ng copyright.

Ang mga natural na numero ay tinukoy bilang positive integer. Ang mga natural na numero ay ginagamit upang mabilang ang mga bagay at para sa marami pang ibang layunin. Narito ang mga numero:

Ito ay isang natural na serye ng mga numero.
Ang zero ay isang natural na numero? Hindi, ang zero ay hindi natural na numero.
Ilang natural na numero ang mayroon? Mayroong walang katapusang hanay ng mga natural na numero.
Ano ang pinakamaliit na natural na numero? Ang isa ay ang pinakamaliit na natural na numero.
Ano ang pinakamalaking natural na bilang? Hindi ito matukoy, dahil mayroong isang walang katapusang hanay ng mga natural na numero.

Ang kabuuan ng mga natural na numero ay isang natural na numero. Kaya, ang pagdaragdag ng mga natural na numero a at b:

Ang produkto ng mga natural na numero ay isang natural na numero. Kaya, ang produkto ng mga natural na numero a at b:

c ay palaging isang natural na numero.

Pagkakaiba ng mga natural na numero Hindi palaging isang natural na numero. Kung ang minuend ay mas malaki kaysa sa subtrahend, kung gayon ang pagkakaiba ng mga natural na numero ay isang natural na numero, kung hindi, ito ay hindi.

Ang quotient ng mga natural na numero Hindi palaging isang natural na numero. Kung para sa mga natural na bilang a at b

kung saan ang c ay isang natural na numero, nangangahulugan ito na ang a ay pantay na nahahati ng b. Sa halimbawang ito, ang a ay ang dibidendo, ang b ay ang divisor, ang c ay ang quotient.

Ang divisor ng isang natural na numero ay ang natural na numero kung saan ang unang numero ay pantay na nahahati.

Ang bawat natural na numero ay nahahati sa 1 at sa sarili nito.

Ang mga simpleng natural na numero ay nahahati lamang ng 1 at ng kanilang mga sarili. Narito ang ibig sabihin namin ay ganap na hinati. Halimbawa, mga numero 2; 3; 5; Ang 7 ay nahahati lamang ng 1 at mismo. Ito ay mga simpleng natural na numero.

Ang isa ay hindi itinuturing na isang pangunahing numero.

Ang mga numerong mas malaki sa isa at hindi prime ay tinatawag na composite numbers. Mga halimbawa ng pinagsama-samang numero:

Ang isa ay hindi itinuturing na isang pinagsama-samang numero.

Ang set ng mga natural na numero ay binubuo ng isa, prime number at composite numbers.

Ang hanay ng mga natural na numero ay tinutukoy ng Latin na titik N.

Mga katangian ng pagdaragdag at pagpaparami ng mga natural na numero:

commutative property ng karagdagan

nag-uugnay na pag-aari ng karagdagan

(a + b) + c = a + (b + c);

commutative property ng multiplication

nag-uugnay na pag-aari ng multiplikasyon

(ab)c = a(bc);

distributive property ng multiplikasyon

a (b + c) = ab + ac;

Buong mga numero

Ang mga integer ay natural na mga numero, zero at ang kabaligtaran ng mga natural na numero.

Ang mga numerong kabaligtaran ng mga natural na numero ay mga negatibong integer, halimbawa:

1; -2; -3; -4;…

Ang hanay ng mga integer ay tinutukoy ng Latin na titik Z.

Mga rational na numero

Ang mga rational na numero ay mga buong numero at fraction.

Ang anumang rational na numero ay maaaring katawanin bilang periodic fraction. Mga halimbawa:

1,(0); 3,(6); 0,(0);…

Makikita mula sa mga halimbawa na ang anumang integer ay isang periodic fraction na may period na zero.

Ang anumang rational na numero ay maaaring katawanin bilang isang fraction m/n, kung saan ang m ay isang integer at n ay isang natural na numero. Katawanin natin ang numero 3,(6) mula sa nakaraang halimbawa bilang isang fraction:

Isa pang halimbawa: ang rational number 9 ay maaaring katawanin bilang isang simpleng fraction bilang 18/2 o bilang 36/4.

Isa pang halimbawa: ang rational na numero -9 ay maaaring katawanin bilang isang simpleng fraction bilang -18/2 o bilang -72/8.

Ang artikulong ito ay nakatuon sa pag-aaral ng paksang "Mga rational na numero". Ang mga sumusunod ay mga kahulugan ng mga rational na numero, mga halimbawa ay ibinigay, at kung paano matukoy kung ang isang numero ay makatwiran o hindi.

Mga rational na numero. Mga Kahulugan

Bago magbigay ng kahulugan ng mga rational na numero, tandaan natin kung ano ang iba pang set ng mga numero at kung paano ito nauugnay sa isa't isa.

Ang mga natural na numero, kasama ang kanilang mga kabaligtaran at ang numerong zero, ay bumubuo ng isang hanay ng mga integer. Sa turn, ang hanay ng mga integer fractional na numero ay bumubuo sa hanay ng mga rational na numero.

Kahulugan 1. Mga rational na numero

Ang mga rational na numero ay mga numero na maaaring katawanin bilang positibong karaniwang fraction a b , negatibong karaniwang fraction a b o ang numerong zero.

Kaya, maaari tayong mag-iwan ng isang bilang ng mga katangian ng mga rational na numero:

1. Ang anumang natural na numero ay isang rational na numero. Malinaw, ang bawat natural na numero n ay maaaring katawanin bilang isang fraction 1 n .
2. Anumang integer, kasama ang numero 0 , ay isang rational na numero. Sa katunayan, ang anumang positibong integer at negatibong integer ay madaling kinakatawan bilang positibo o negatibong karaniwang fraction, ayon sa pagkakabanggit. Halimbawa, 15 = 15 1 , - 352 = - 352 1 .
3. Anumang positibo o negatibong karaniwang fraction a b ay isang rational na numero. Ito ay sumusunod nang direkta mula sa kahulugan sa itaas.
4. Ang anumang magkahalong numero ay makatwiran. Sa katunayan, pagkatapos ng lahat, ang isang halo-halong numero ay maaaring katawanin bilang isang ordinaryong hindi wastong bahagi.
5. Ang anumang may hangganan o periodic decimal fraction ay maaaring katawanin bilang isang common fraction. Samakatuwid, ang bawat periodic o final decimal ay isang rational number.
6. Ang mga infinite at hindi umuulit na decimal ay hindi mga rational na numero. Hindi sila maaaring katawanin sa anyo ng mga ordinaryong fraction.

Magbigay tayo ng mga halimbawa ng mga rational na numero. Ang mga numerong 5 , 105 , 358 , 1100055 ay natural, positibo at integer. Pagkatapos ng lahat, ito ay mga rational na numero. Ang mga numero - 2 , - 358 , - 936 ay mga negatibong integer, at ang mga ito ay makatwiran din ayon sa kahulugan. Ang mga karaniwang praksiyon 3 5 , 8 7 , - 35 8 ay mga halimbawa rin ng mga rational na numero.

Ang kahulugan sa itaas ng mga rational na numero ay maaaring mabalangkas nang mas maigsi. Muli nating sagutin ang tanong, ano ang rational number.

Kahulugan 2. Mga rational na numero

Ang mga rational na numero ay ang mga numerong maaaring katawanin bilang isang fraction ± z n, kung saan ang z ay isang integer, n ay isang natural na numero.

Maipapakita na ang kahulugang ito ay katumbas ng naunang kahulugan ng mga rational na numero. Upang gawin ito, tandaan na ang bar ng isang fraction ay kapareho ng division sign. Isinasaalang-alang ang mga patakaran at katangian ng dibisyon ng mga integer, maaari naming isulat ang mga sumusunod na patas na hindi pagkakapantay-pantay:

0 n = 0 ÷ n = 0 ; - m n = (- m) ÷ n = - m n .

Kaya, ang isa ay maaaring sumulat:

z n = z n , p p at z > 0 0 , p p at z = 0 - z n , p p at z< 0

Sa totoo lang, ang rekord na ito ay patunay. Nagbibigay kami ng mga halimbawa ng mga rational na numero batay sa pangalawang kahulugan. Isaalang-alang ang mga numero - 3 , 0 , 5 , - 7 55 , 0 , 0125 at - 1 3 5 . Ang lahat ng mga numerong ito ay makatwiran, dahil maaari silang isulat bilang isang fraction na may integer numerator at isang natural na denominator: - 3 1 , 0 1 , - 7 55 , 125 10000 , 8 5 .

Nagpapakita kami ng isa pang katumbas na anyo ng kahulugan ng mga rational na numero.

Kahulugan 3. Mga rational na numero

Ang rational na numero ay isang numero na maaaring isulat bilang isang finite o infinite periodic decimal fraction.

Direktang sumusunod ang kahulugang ito mula sa pinakaunang kahulugan ng talatang ito.

Upang buod at bumuo ng buod sa item na ito:

1. Positibo at negatibong fractional at integer na mga numero ang bumubuo sa hanay ng mga rational na numero.
2. Ang bawat rational na numero ay maaaring katawanin bilang isang fraction, ang numerator nito ay isang integer at ang denominator ay isang natural na numero.
3. Ang bawat rational na numero ay maaari ding katawanin bilang isang decimal fraction: finite o infinite periodic.

Aling numero ang makatwiran?

Tulad ng nalaman na natin, ang anumang natural na numero, integer, regular at hindi wastong ordinaryong fraction, periodic at final decimal fraction ay mga rational na numero. Gamit ang kaalamang ito, madali mong matukoy kung ang isang numero ay makatwiran.

Gayunpaman, sa pagsasagawa, ang isang tao ay madalas na humarap hindi sa mga numero, ngunit sa mga numerical na expression na naglalaman ng mga ugat, kapangyarihan, at logarithms. Sa ilang mga kaso, ang sagot sa tanong na "Rational ba ang isang numero?" ay malayo sa halata. Tingnan natin kung paano sasagutin ang tanong na ito.

Kung ang isang numero ay ibinibigay bilang isang expression na naglalaman lamang ng mga rational na numero at arithmetic operations sa pagitan ng mga ito, kung gayon ang resulta ng expression ay isang rational na numero.

Halimbawa, ang halaga ng expression na 2 · 3 1 8 - 0 , 25 0 , (3) ay isang rational na numero at katumbas ng 18 .

Kaya, ang pagpapasimple ng isang kumplikadong numerical expression ay nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy kung ang numero na ibinigay nito ay makatwiran.

Ngayon ay haharapin natin ang tanda ng ugat.

Lumalabas na ang bilang na m n na ibinigay bilang ugat ng antas n ng bilang na m ay makatwiran lamang kapag ang m ay ang ika-n na kapangyarihan ng ilang natural na numero.

Tingnan natin ang isang halimbawa. Ang numero 2 ay hindi makatwiran. Samantalang ang 9, 81 ay mga rational na numero. Ang 9 at 81 ay ang perpektong mga parisukat ng mga numero 3 at 9, ayon sa pagkakabanggit. Ang mga numerong 199 , 28 , 15 1 ay hindi mga rational na numero, dahil ang mga numero sa ilalim ng root sign ay hindi perpektong mga parisukat ng anumang natural na mga numero.

Ngayon ay kunin natin ang isang mas kumplikadong kaso. Makatwiran ba ang bilang na 243 5? Kung itataas mo ang 3 sa ikalimang kapangyarihan, makakakuha ka ng 243 , kaya ang orihinal na expression ay maaaring muling isulat nang ganito: 243 5 = 3 5 5 = 3 . Samakatuwid, ang bilang na ito ay makatuwiran. Ngayon kunin natin ang numerong 121 5 . Ang bilang na ito ay hindi makatwiran, dahil walang natural na numero na ang pagtaas sa ikalimang kapangyarihan ay magbibigay ng 121.

Upang malaman kung ang logarithm ng ilang numero a hanggang sa base b ay isang rational na numero, kinakailangan na ilapat ang paraan ng kontradiksyon. Halimbawa, alamin natin kung ang bilang na log 2 5 ay makatwiran. Ipagpalagay natin na ang numerong ito ay makatwiran. Kung gayon, maaari itong isulat bilang isang ordinaryong fraction log 2 5 \u003d m n. Sa pamamagitan ng mga katangian ng logarithm at mga katangian ng degree, ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo:

5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

Malinaw, ang huling pagkakapantay-pantay ay imposible, dahil ang kaliwa at kanang bahagi ay naglalaman ng mga kakaiba at kahit na mga numero, ayon sa pagkakabanggit. Samakatuwid, mali ang ginawang pagpapalagay, at ang numerong log 2 5 ay hindi isang makatwirang numero.

Kapansin-pansin na kapag tinutukoy ang pagiging makatwiran at hindi makatwiran ng mga numero, hindi dapat gumawa ng mga biglaang pagpapasya. Halimbawa, ang resulta ng isang produkto ng mga hindi makatwirang numero ay hindi palaging isang hindi makatwirang numero. Isang mapaglarawang halimbawa: 2 · 2 = 2 .

Mayroon ding mga hindi makatwirang numero na ang pagtaas sa isang hindi makatwirang kapangyarihan ay nagbibigay ng isang makatwirang numero. Sa isang kapangyarihan ng form 2 log 2 3, ang base at exponent ay hindi makatwiran na mga numero. Gayunpaman, ang bilang mismo ay makatuwiran: 2 log 2 3 = 3 .

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Ang konsepto ng isang tunay na numero: totoong numero- (tunay na numero), anumang hindi negatibo o negatibong numero o zero. Sa tulong ng mga tunay na numero ay nagpapahayag ng mga sukat ng bawat pisikal na dami.

totoo, o totoong numero bumangon mula sa pangangailangang sukatin ang mga geometriko at pisikal na dami ng mundo. Bilang karagdagan, para sa pagsasagawa ng mga operasyon ng pagkuha ng ugat, pagkalkula ng logarithm, paglutas ng mga algebraic equation, atbp.

Ang mga natural na numero ay nabuo sa pagbuo ng pagbibilang, at mga rational na numero na may pangangailangan na pamahalaan ang mga bahagi ng kabuuan, pagkatapos ay ang mga tunay na numero (real) ay ginagamit upang sukatin ang tuluy-tuloy na dami. Kaya, ang pagpapalawak ng stock ng mga numero na isinasaalang-alang ay humantong sa hanay ng mga tunay na numero, na, bilang karagdagan sa mga rational na numero, ay binubuo ng iba pang mga elemento na tinatawag na hindi nakapangangatwiran numero.

Ang hanay ng mga tunay na numero(tinutukoy R) ay ang mga set ng rational at irrational na mga numero na pinagsama-sama.

Ang mga tunay na numero ay hinati ngmakatwiran at hindi makatwiran.

Ang hanay ng mga tunay na numero ay tinutukoy at madalas na tinatawag totoo o linya ng numero. Ang mga tunay na numero ay binubuo ng mga simpleng bagay: buo at mga rational na numero.

Isang numero na maaaring isulat bilang isang ratio, kung saanm ay isang integer, at nay isang natural na numeromakatwirang numero.

Ang anumang rational na numero ay madaling kinakatawan bilang isang finite fraction o isang infinite periodic decimal fraction.

Halimbawa,

Walang katapusang decimal, ay isang decimal fraction na may walang katapusang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point.

Mga numero na hindi maaaring katawanin bilang ay hindi nakapangangatwiran numero.

Halimbawa:

Ang anumang hindi makatwirang numero ay madaling katawanin bilang isang walang katapusang non-periodic decimal fraction.

Halimbawa,

Lumilikha ang mga rational at irrational na mga numero hanay ng mga tunay na numero. Ang lahat ng tunay na numero ay tumutugma sa isang punto sa linya ng coordinate, na tinatawag linya ng numero.

Para sa mga numerical set, ang sumusunod na notasyon ay ginagamit:

• N- hanay ng mga natural na numero;
• Z- hanay ng mga integer;
• Q- hanay ng mga makatwirang numero;
• R ay ang hanay ng mga tunay na numero.

Teorya ng walang katapusang decimal fraction.

Ang isang tunay na numero ay tinukoy bilang walang katapusang decimal, ibig sabihin.:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n …

kung saan ang ± ay isa sa mga simbolo + o −, ang tanda ng isang numero,

a 0 ay isang positibong integer,

a 1 ,a 2 ,…a n ,… ay isang pagkakasunod-sunod ng mga decimal na lugar, i.e. mga elemento ng isang numerical set {0,1,…9}.

Ang isang infinite decimal fraction ay maaaring ipaliwanag bilang isang numero na nasa linya ng numero sa pagitan ng mga rational na puntos tulad ng:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n at ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n) para sa lahat n=0,1,2,…

Paghahambing ng mga tunay na numero bilang walang katapusang decimal fraction ay nangyayari nang paunti-unti. Halimbawa, ipagpalagay na 2 positibong numero ang ibinigay:

α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n …

β =+b 0 ,b 1 b 2 …b n …

Kung ang isang 0 0, pagkatapos α<β ; kung a0 >b0 pagkatapos α>β . Kailan a 0 = b 0 Lumipat tayo sa susunod na antas ng paghahambing. atbp. Kailan α≠β , kaya pagkatapos ng isang tiyak na bilang ng mga hakbang ay makikita ang unang digit n, ganyan a n ≠ b n. Kung ang isang n n, pagkatapos α<β ; kung a n > b n pagkatapos α>β .

Ngunit sa parehong oras, ito ay nakakapagod upang bigyang-pansin ang katotohanan na ang numero a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n . Samakatuwid, kung ang talaan ng isa sa mga inihambing na numero, simula sa isang tiyak na digit, ay isang periodic decimal fraction, na mayroong 9 sa period, dapat itong mapalitan ng katumbas na record, na may zero sa period.

Ang mga operasyong aritmetika na may mga walang katapusang decimal fraction ay isang tuluy-tuloy na pagpapatuloy ng mga katumbas na operasyon na may mga rational na numero. Halimbawa, ang kabuuan ng mga tunay na numero α at β ay isang tunay na numero α+β , na nakakatugon sa mga sumusunod na kondisyon:

∀ a′,a′′,b′,b′′∈ Q(a′⩽ α ⩽ a′)∧ (b'⩽ β ⩽ b′′)⇒ (a′+b′⩽ α + β ⩽ a′+b′′)

Katulad nito ay tumutukoy sa pagpapatakbo ng pagpaparami ng walang katapusang decimal fraction.