Ang parisukat ng isang numero ay ang resulta ng isang mathematical na operasyon na nagpapataas ng numerong iyon sa pangalawang kapangyarihan, iyon ay, pinarami nito ang numerong iyon nang isang beses. Nakaugalian na italaga ang naturang operasyon tulad ng sumusunod: Z2, kung saan Z ang ating numero, 2 ang antas ng "parisukat". Sasabihin sa iyo ng aming artikulo kung paano kalkulahin ang parisukat ng isang numero.
Kalkulahin ang parisukat
Kung ang bilang ay simple at maliit, kung gayon madali itong gawin sa isip, o gamit ang talahanayan ng pagpaparami, na kilala nating lahat. Halimbawa:
42 = 4x4 = 16; 72 = 7x7 = 49; 92 = 9x9 = 81.
Kung ang numero ay malaki o "malaki", maaari mong gamitin ang alinman sa talahanayan ng mga parisukat na natutunan ng lahat sa paaralan, o isang calculator. Halimbawa:
122 = 12x12 = 144; 172 = 17x17 = 289; 1392 = 139x139 = 19321.
Gayundin, upang makuha ang nais na resulta para sa dalawang halimbawa sa itaas, maaari mong i-multiply ang mga numerong ito sa isang column.
Upang makuha ang parisukat ng anumang fraction, kailangan mong:
- I-convert ang isang fraction (kung ang fraction ay may integer na bahagi o kung ito ay isang decimal) sa isang hindi tamang fraction. Kung tama ang fraction, walang kailangang isalin.
- I-multiply ang denominator sa denominator at ang numerator sa numerator ng fraction.
Halimbawa:
(3/2)2 = (3/2)x(3/2) = (3x3)/(2x2) = 9/4; (5/7)2 = (5/7)x(5/7) = (5x5)/(7x7) = 25/49; (14/17) 2 \u003d (14x14) / (17x17) \u003d 196/289.
Sa alinman sa mga opsyong ito, ang pinakamadaling paraan ay ang paggamit ng calculator. Para dito kailangan mo:
- Mag-type ng numero sa keyboard
- Mag-click sa button na may multiplication sign
- Pindutin ang button na may "equal" sign
Maaari mo ring palaging gumamit ng mga search engine sa Internet, tulad ng, halimbawa, Google. Upang gawin ito, kailangan mo lamang ipasok ang naaangkop na query sa field ng search engine at makakuha ng isang handa na resulta.
Halimbawa: upang kalkulahin ang parisukat ng numerong 9.17, kailangan mong mag-type sa search engine na 9.17 * 9.17, o 9.17 ^ 2, o "9.17 squared." Sa alinman sa mga opsyong ito, ibibigay sa iyo ng search engine ang tamang resulta - 84.0889.
Ngayon alam mo na kung paano kalkulahin ang parisukat ng anumang numero na interesado ka, maging ito ay isang integer o isang fraction, malaki o maliit!
Ngayon ay matututunan natin kung paano mabilis na i-square ang malalaking expression nang walang calculator. Ang ibig kong sabihin ay mga numero sa pagitan ng sampu at isang daan. Ang mga malalaking expression ay napakabihirang sa mga tunay na problema, at alam mo na kung paano magbilang ng mga halaga na pinagpapala kaysa sa sampu, dahil ito ay isang regular na talahanayan ng pagpaparami. Ang materyal ng aralin ngayon ay magiging kapaki-pakinabang para sa mga medyo may karanasan na mga mag-aaral, dahil ang mga baguhan na mag-aaral ay hindi lamang pahalagahan ang bilis at pagiging epektibo ng pamamaraang ito.
Upang magsimula, unawain natin sa pangkalahatan kung ano ang pinag-uusapan natin. Halimbawa, iminumungkahi kong gawin ang pagbuo ng isang di-makatwirang numeric na expression, gaya ng karaniwan naming ginagawa. Sabihin nating 34. Itinataas natin ito sa pamamagitan ng pagpaparami sa sarili nito gamit ang isang hanay:
\[((34)^(2))=\beses \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156))))\]
Ang 1156 ay ang parisukat na 34.
Ang problema ng pamamaraang ito ay maaaring inilarawan sa dalawang punto:
1) nangangailangan ito ng nakasulat na pagpaparehistro;
2) napakadaling magkamali sa proseso ng pagkalkula.
Ngayon ay matututunan natin kung paano mabilis na dumami nang walang calculator, sa salita at praktikal na walang mga error.
Kaya simulan na natin. Upang gumana, kailangan namin ang formula para sa parisukat ng kabuuan at pagkakaiba. Isulat natin ang mga ito:
\[(((a+b))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))\]
\[(((a-b))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))\]
Ano ang ibinibigay nito sa atin? Ang katotohanan ay ang anumang halaga sa pagitan ng 10 at 100 ay maaaring katawanin bilang isang numerong $a$, na nahahati ng 10, at isang numerong $b$, na siyang natitirang bahagi ng dibisyon ng 10.
Halimbawa, ang 28 ay maaaring katawanin tulad ng sumusunod:
\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\end(align)\]
Katulad nito, ipinakita namin ang natitirang mga halimbawa:
\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\end(align)\]
Ano ang nagbibigay sa atin ng gayong ideya? Ang katotohanan ay sa kabuuan o pagkakaiba, maaari nating ilapat ang mga kalkulasyon sa itaas. Siyempre, upang paikliin ang mga kalkulasyon, para sa bawat isa sa mga elemento ay dapat pumili ng isang expression na may pinakamaliit na pangalawang termino. Halimbawa, mula sa $20+8$ at $30-2$ na opsyon, dapat mong piliin ang $30-2$ na opsyon.
Katulad nito, pipili kami ng mga opsyon para sa iba pang mga halimbawa:
\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\end(align)\]
Bakit dapat magsikap na bawasan ang pangalawang termino sa mabilis na pagpaparami? Ang lahat ay tungkol sa mga unang kalkulasyon ng parisukat ng kabuuan at pagkakaiba. Ang katotohanan ay ang summand na $2ab$ na may plus o minus ay ang pinakamahirap na kalkulahin kapag nilulutas ang mga tunay na problema. At kung ang salik na $a$, isang multiple ng 10, ay palaging madaling ma-multiply, kung gayon sa salik na $b$, na isang numero sa hanay mula isa hanggang sampu, maraming estudyante ang regular na nahihirapan.
\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]
\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]
\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]
\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]
\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]
\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]
\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]
\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]
Kaya sa loob ng tatlong minuto ginawa namin ang pagpaparami ng walong mga halimbawa. Ito ay mas mababa sa 25 segundo bawat expression. Sa katotohanan, pagkatapos ng kaunting pagsasanay, mas mabilis kang magbibilang. Aabutin ka ng hindi hihigit sa lima o anim na segundo upang kalkulahin ang anumang dalawang-digit na expression.
Ngunit hindi lang iyon. Para sa mga hindi nag-iisip na ang pamamaraan na ipinakita ay sapat na mabilis at hindi sapat na cool, nag-aalok ako ng mas mabilis na paraan ng pagpaparami, na, gayunpaman, ay hindi gumagana para sa lahat ng mga gawain, ngunit para lamang sa mga naiiba ng isa mula sa multiple ng 10. Mayroong apat na ganoong halaga sa ating aralin: 51, 21, 81 at 39.
Mukhang mas mabilis ito, literal na binibilang namin ang mga ito sa ilang linya. Ngunit, sa katunayan, posible na mapabilis, at ito ay ginagawa bilang mga sumusunod. Isinulat namin ang halaga, isang maramihang ng sampu, na pinakamalapit sa nais. Halimbawa, kunin natin ang 51. Samakatuwid, sa simula, magtataas tayo ng limampu:
\[{{50}^{2}}=2500\]
Ang mga value na multiple ng sampu ay mas madaling i-square. At ngayon ay nagdaragdag lang kami ng limampu at 51 sa orihinal na expression. Magiging pareho ang sagot:
\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]
At gayon din sa lahat ng mga numero na naiiba ng isa.
Kung ang halaga na hinahanap namin ay mas malaki kaysa sa iniisip namin, pagkatapos ay nagdaragdag kami ng mga numero sa resultang parisukat. Kung ang nais na numero ay mas mababa, tulad ng sa kaso ng 39, pagkatapos ay kapag nagsasagawa ng aksyon, ang halaga ay dapat ibawas mula sa parisukat. Magsanay tayo nang hindi gumagamit ng calculator:
\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]
\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]
\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]
Tulad ng nakikita mo, sa lahat ng kaso ang mga sagot ay pareho. Bukod dito, ang pamamaraan na ito ay naaangkop sa anumang mga katabing halaga. Halimbawa:
\[\begin(align)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\end(align)\]
Kasabay nito, hindi natin kailangang tandaan ang mga kalkulasyon ng mga parisukat ng kabuuan at pagkakaiba at gumamit ng calculator. Ang bilis ng trabaho ay higit sa papuri. Samakatuwid, tandaan, pagsasanay at gamitin sa pagsasanay.
Pangunahing puntos
Gamit ang diskarteng ito, maaari mong madaling i-multiply ang anumang natural na mga numero mula 10 hanggang 100. Bukod dito, ang lahat ng mga kalkulasyon ay isinasagawa sa salita, nang walang calculator at kahit na walang papel!
Una, tandaan ang mga parisukat ng mga halaga na mga multiple ng 10:
\[\begin(align)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ at ((80)^(2))=6400,((90)^(2))=8100. \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156; \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729. \\\end(align)\]
Paano mas mabilis magbilang
Ngunit hindi lang iyon! Gamit ang mga expression na ito, maaari mong agad na gawin ang pag-squaring ng mga numero na "katabi" sa mga sanggunian. Halimbawa, alam natin ang 152 (ang reference na halaga), ngunit kailangan nating hanapin ang 142 (isang katabing numero na mas mababa ng isa kaysa sa reference). Sumulat tayo:
\[\begin(align)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\\end(align)\]
Mangyaring tandaan: walang mistisismo! Ang mga parisukat ng mga numero na nag-iiba ng 1 ay talagang nakukuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga reference number sa kanilang sarili sa pamamagitan ng pagbabawas o pagdaragdag ng dalawang halaga:
\[\begin(align)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961. \\\end(align)\]
Bakit ito nangyayari? Isulat natin ang formula para sa parisukat ng kabuuan (at pagkakaiba). Hayaan ang $n$ ang aming reference na halaga. Pagkatapos ay binibilang nila ang ganito:
\[\begin(align)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1 )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\end(align)\]
- ito ang formula.
\[\begin(align)& (((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\end(align)\]
- isang katulad na formula para sa mga numerong higit sa 1.
Umaasa ako na ang pamamaraan na ito ay makatipid sa iyo ng oras sa lahat ng mahahalagang pagsusulit at pagsusulit sa matematika. At iyon lang para sa akin. See you!
Mga pinaikling pormula ng pagpaparami.
Pag-aaral ng mga formula para sa pinaikling multiplikasyon: ang parisukat ng kabuuan at ang parisukat ng pagkakaiba ng dalawang expression; pagkakaiba ng mga parisukat ng dalawang expression; ang kubo ng kabuuan at ang kubo ng pagkakaiba ng dalawang expression; mga kabuuan at pagkakaiba ng mga cube ng dalawang expression.
Paglalapat ng mga pinaikling pormula ng multiplikasyon sa paglutas ng mga halimbawa.
Upang pasimplehin ang mga expression, i-factor ang mga polynomial, at bawasan ang mga polynomial sa isang karaniwang anyo, ginagamit ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon. Mga pinaikling formula ng multiplikasyon na kailangan mong malaman sa puso.
Hayaan ang a, b R. Pagkatapos:
1. Ang parisukat ng kabuuan ng dalawang expression ay ang parisukat ng unang expression kasama ang dalawang beses ang produkto ng unang expression at ang pangalawa kasama ang parisukat ng pangalawang expression.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Ang parisukat ng pagkakaiba ng dalawang expression ay ang parisukat ng unang expression na binawasan ng dalawang beses ang produkto ng unang expression at ang pangalawa kasama ang parisukat ng pangalawang expression.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Pagkakaiba ng mga parisukat dalawang expression ay katumbas ng produkto ng pagkakaiba ng mga expression na ito at ang kanilang kabuuan.
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
4. sum cube ng dalawang expression ay katumbas ng kubo ng unang expression plus tatlong beses ang parisukat ng unang expression na beses ang pangalawa at tatlong beses ang produkto ng unang expression na beses ang square ng pangalawa kasama ang cube ng pangalawang expression.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. pagkakaiba cube ng dalawang expression ay katumbas ng kubo ng unang expression na binawasan ng tatlong beses ang produkto ng parisukat ng unang expression at ang pangalawa plus tatlong beses ang produkto ng unang expression at ang parisukat ng pangalawang minus ang cube ng pangalawang expression.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Kabuuan ng mga cube dalawang expression ay katumbas ng produkto ng kabuuan ng una at pangalawang expression ng hindi kumpletong parisukat ng pagkakaiba ng mga expression na ito.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Pagkakaiba ng mga cube ng dalawang expression ay katumbas ng produkto ng pagkakaiba ng una at pangalawang expression ng hindi kumpletong parisukat ng kabuuan ng mga expression na ito.
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Paglalapat ng mga pinaikling pormula ng multiplikasyon sa paglutas ng mga halimbawa.
Halimbawa 1
Kalkulahin
a) Gamit ang formula para sa parisukat ng kabuuan ng dalawang expression, mayroon tayo
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Gamit ang formula para sa squared difference ng dalawang expression, nakuha namin
98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604
Halimbawa 2
Kalkulahin
Gamit ang formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat ng dalawang expression, nakuha namin
Halimbawa 3
Pasimplehin ang Expression
(x - y) 2 + (x + y) 2
Ginagamit namin ang mga formula para sa parisukat ng kabuuan at parisukat ng pagkakaiba ng dalawang expression
(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
Mga pinaikling pormula ng pagpaparami sa isang talahanayan:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
