1.21. NABUBULOK, PINILIT NA OSCILLATIONS

Ang differential equation ng damped oscillations at ang solusyon nito. Attenuation coefficient. logarithmic decpamamasa banda.Q kadahilanansistema ng katawan.aperiodic na proseso. Ang differential equation ng forced oscillations at ang solusyon nito.Amplitude at yugto ng sapilitang mga oscillations. Ang proseso ng pagtatatag ng mga oscillation. Kaso ng resonance.Self-oscillations.

Ang pamamasa ng mga oscillations ay ang unti-unting pagbaba sa amplitude ng mga oscillations sa paglipas ng panahon, dahil sa pagkawala ng enerhiya ng oscillatory system.

Ang mga natural na vibrations na walang pamamasa ay isang idealization. Ang mga dahilan para sa pagkupas ay maaaring magkakaiba. Sa isang mekanikal na sistema, ang mga vibrations ay damped sa pamamagitan ng pagkakaroon ng friction. Kapag ang lahat ng enerhiya na nakaimbak sa oscillating system ay naubos na, ang mga oscillations ay titigil. Samakatuwid, ang amplitude damped oscillations bumababa hanggang maging zero.

Ang mga damped oscillations, pati na rin ang mga natural, sa mga system na naiiba sa kalikasan, ay maaaring isaalang-alang mula sa isang punto ng view - mga karaniwang tampok. Gayunpaman, ang mga katangian tulad ng amplitude at panahon ay nangangailangan ng muling pagtukoy, habang ang iba ay nangangailangan ng mga karagdagan at paglilinaw kumpara sa parehong mga katangian para sa natural na undamped oscillations. Ang mga pangkalahatang palatandaan at konsepto ng damped oscillations ay ang mga sumusunod:

Dapat makuha ang differential equation na isinasaalang-alang ang pagbaba ng vibrational energy sa proseso ng mga oscillations.

Ang oscillation equation ay ang solusyon ng isang differential equation.

Ang amplitude ng damped oscillations ay depende sa oras.

Ang dalas at panahon ay nakasalalay sa antas ng pamamasa ng mga oscillations.

Ang phase at initial phase ay may parehong kahulugan tulad ng para sa mga undamped oscillations.

Mga mekanikal na damped oscillations.

mekanikal na sistema : spring pendulum napapailalim sa friction forces.

Mga puwersang kumikilos sa pendulum :

Nababanat na puwersa., kung saan ang k ay ang spring stiffness coefficient, ang х ay ang displacement ng pendulum mula sa posisyon ng equilibrium.

Puwersa ng paglaban. Isaalang-alang ang puwersa ng paglaban na proporsyonal sa bilis v ng paggalaw (ang gayong pag-asa ay tipikal para sa isang malaking klase ng mga puwersa ng paglaban): . Ang minus sign ay nagpapakita na ang direksyon ng puwersa ng paglaban ay kabaligtaran sa direksyon ng bilis ng katawan. Ang drag coefficient r ay numerong katumbas ng drag force na nangyayari sa isang yunit ng bilis ng katawan:

Batas ng paggalaw spring pendulum ay ang pangalawang batas ni Newton:

m a = F ex. + F lumaban.

Isinasaalang-alang na at , isinulat namin ang pangalawang batas ni Newton sa anyo:

. (21.1)

Ang paghati sa lahat ng mga tuntunin ng equation sa pamamagitan ng m, paglipat ng lahat sa kanang bahagi, nakukuha natin differential equation damped oscillations:

Tukuyin natin, kung saan β – pamamasa kadahilanan , , saan ω 0 ay ang dalas ng undamped free oscillations sa kawalan ng energy loss sa oscillatory system.

Sa bagong notasyon, ang differential equation ng damped oscillations ay may anyo:

. (21.2)

Ito ay isang pangalawang order na linear differential equation.

Ang linear differential equation na ito ay nalulutas sa pamamagitan ng pagbabago ng mga variable. Kinakatawan namin ang function na x, depende sa oras t, sa anyo:

.

Hanapin natin ang una at pangalawang beses na derivatives ng function na ito, dahil ang function na z ay function din ng oras:

, .

Palitan ang mga expression sa differential equation:

Nagdadala kami ng mga katulad na termino sa equation at binabawasan ang bawat termino ng , nakukuha namin ang equation:

.

Tukuyin natin ang dami .

Solusyon sa equation ay ang mga function , .

Pagbabalik sa variable x, nakukuha natin ang mga formula para sa mga equation ng damped oscillations:

Sa gayon , equation ng damped oscillations ay isang solusyon ng differential equation (21.2):

Damped oscillation frequency :

(ang tunay na ugat lamang ang may pisikal na kahulugan, samakatuwid).

Panahon ng damped oscillations :

(21.5)

Ang kahulugan na inilagay sa konsepto ng isang panahon para sa mga undamped oscillations ay hindi angkop para sa damped oscillations, dahil ang oscillatory system ay hindi na bumalik sa orihinal nitong estado dahil sa pagkawala ng oscillatory energy. Sa pagkakaroon ng friction, ang mga oscillation ay mas mabagal: .

Ang panahon ng damped oscillations tinatawag na pinakamababang agwat ng oras kung saan ang sistema ay pumasa nang dalawang beses sa posisyon ng ekwilibriyo sa parehong direksyon.

Para sa mekanikal na sistema ng spring pendulum mayroon kami:

, .

Amplitude ng damped oscillations :

Para sa spring pendulum.

Ang amplitude ng damped oscillations ay hindi isang pare-parehong halaga, ngunit nagbabago sa paglipas ng panahon nang mas mabilis, mas malaki ang koepisyent β. Samakatuwid, ang kahulugan para sa amplitude, na ibinigay nang mas maaga para sa mga undamped free oscillations, ay dapat baguhin para sa damped oscillations.

Para sa maliit na pagpapalambing amplitude ng damped oscillations tinatawag na pinakamalaking paglihis mula sa posisyon ng ekwilibriyo para sa panahon.

Mga graph ang offset kumpara sa oras at amplitude kumpara sa mga kurba ng oras ay ipinapakita sa Mga Figure 21.1 at 21.2.

Figure 21.1 - Ang dependence ng displacement sa oras para sa damped oscillations.

Figure 21.2 - Dependences ng amplitude sa oras para sa damped oscillations

Mga katangian ng damped oscillations.

1. Salik ng pagpapalambing β .

Ang pagbabago sa amplitude ng damped oscillations ay nangyayari ayon sa exponential law:

Hayaang bumaba ang oscillation amplitude ng “e” na beses sa paglipas ng panahon τ (“e” ang base ng natural na logarithm, e ≈ 2.718). Pagkatapos, sa isang banda, , at sa kabilang banda, na pininturahan ang mga amplitude At zat. (t) at A sa. (t+τ), mayroon kami . Ang mga ugnayang ito ay nagpapahiwatig ng βτ = 1, samakatuwid .

agwat ng oras τ , kung saan ang amplitude ay bumababa ng "e" na mga beses, ay tinatawag na oras ng pagpapahinga.

Salik ng pagpapalambing β ay isang halaga na inversely proportional sa oras ng pagpapahinga.

2. Pagbaba ng logarithmic damping δ - isang pisikal na dami ayon sa numerong katumbas ng natural na logarithm ng ratio ng dalawang magkasunod na amplitude na pinaghihiwalay sa oras ng isang tuldok.

Kung ang pagpapalambing ay maliit, i.e. ang halaga ng β ay maliit, pagkatapos ay bahagyang nagbabago ang amplitude sa paglipas ng panahon, at ang logarithmic decrement ay maaaring tukuyin tulad ng sumusunod:

,

kung saan si A. (t) at A sa. (t + NT) - oscillation amplitudes sa oras e at pagkatapos ng N tuldok, ibig sabihin, sa oras (t + NT).

3. Salik ng kalidad Q oscillatory system ay isang walang sukat na pisikal na dami na katumbas ng produkto ng halaga (2π) νа ang ratio ng enerhiya W(t) ng system sa isang arbitrary na sandali ng oras sa pagkawala ng enerhiya sa isang panahon ng damped oscillations:

.

Dahil ang enerhiya ay proporsyonal sa parisukat ng amplitude, kung gayon

Para sa maliliit na halaga ng logarithmic decrement δ, ang quality factor ng oscillatory system ay katumbas ng

,

kung saan ang N e ay ang bilang ng mga oscillations, kung saan ang amplitude ay bumababa ng "e" na beses.

Kaya, ang quality factor ng spring pendulum ay -. Kung mas malaki ang quality factor ng isang oscillatory system, mas mababa ang attenuation, mas matagal ang periodic na proseso sa naturang sistema. Salik ng kalidad ng oscillatory system - walang sukat na dami na nagpapakilala sa pagwawaldas ng enerhiya sa oras.

4. Sa pagtaas ng koepisyent β, bumababa ang dalas ng mga damped oscillations, at tumataas ang panahon. Sa ω 0 = β, ang dalas ng damped oscillations ay magiging katumbas ng zero ω zat. = 0, at T zat. = ∞. Sa kasong ito, ang mga oscillation ay nawawala ang kanilang periodic character at tinatawag aperiodic.

Sa ω 0 = β, ang mga parameter ng system na responsable para sa pagbaba ng vibrational energy ay kumukuha ng mga halaga na tinatawag mapanganib . Para sa isang spring pendulum, ang kundisyon ω 0 = β ay isusulat bilang:, mula sa kung saan natin makikita ang halaga kritikal na drag coefficient:

.

kanin. 21.3. Ang dependence ng amplitude ng aperiodic oscillations sa oras

Sapilitang panginginig ng boses.

Ang lahat ng mga tunay na oscillations ay damped. Upang maganap ang mga tunay na oscillations sa loob ng sapat na mahabang panahon, kinakailangan na pana-panahong lagyang muli ang enerhiya ng oscillatory system sa pamamagitan ng pagkilos dito na may panlabas na pana-panahong pagbabago ng puwersa.

Isaalang-alang ang phenomenon ng oscillations kung ang panlabas (pagpipilitan) nag-iiba ang puwersa sa paglipas ng panahon ayon sa harmonic law. Sa kasong ito, ang mga oscillation ay lilitaw sa mga system, ang likas na katangian nito, sa isang antas o iba pa, ay uulitin ang likas na katangian ng puwersang nagmamaneho. Ang ganitong mga pagbabago ay tinatawag pilit .

Pangkalahatang mga palatandaan ng sapilitang mekanikal na panginginig ng boses.

1. Isaalang-alang natin ang sapilitang mechanical oscillations ng isang spring pendulum, na ginagampanan ng isang panlabas na (mapilit ) panaka-nakang puwersa . Ang mga puwersa na kumikilos sa isang pendulum, kapag naalis na sa ekwilibriyo, ay bubuo sa mismong oscillatory system. Ito ang elastic force at ang drag force.

Batas ng paggalaw (Ikalawang batas ni Newton) ay nakasulat tulad ng sumusunod:

(21.6)

Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa m, isaalang-alang iyon , at makuha differential equation sapilitang vibrations:

Ipahiwatig ( β – pamamasa kadahilanan ), (Ang ω 0 ay ang dalas ng mga walang basang libreng oscillations), ang puwersang kumikilos sa bawat yunit ng masa. Sa mga notasyong ito differential equation Ang sapilitang mga oscillation ay magkakaroon ng anyo:

(21.7)

Ito ay isang second-order differential equation na may di-zero na kanang bahagi. Ang solusyon ng naturang equation ay ang kabuuan ng dalawang solusyon

.

ay ang pangkalahatang solusyon ng isang homogenous na differential equation, i.e. differential equation na walang kanang bahagi kapag ito ay katumbas ng zero. Alam namin ang gayong solusyon - ito ang equation ng damped oscillations, nakasulat hanggang sa isang pare-pareho, ang halaga nito ay tinutukoy ng mga paunang kondisyon ng oscillatory system:

saan .

Napag-usapan namin kanina na ang solusyon ay maaaring isulat sa mga tuntunin ng mga function ng sine.

Kung isasaalang-alang natin ang proseso ng mga oscillations ng pendulum pagkatapos ng sapat na mahabang panahon Δt pagkatapos na i-on ang puwersa sa pagmamaneho (Figure 21.2), kung gayon ang mga damped oscillations sa system ay halos titigil. At pagkatapos ay ang solusyon ng differential equation na may kanang bahagi ang magiging solusyon.

Ang isang solusyon ay isang partikular na solusyon ng isang inhomogeneous differential equation, i.e. mga equation sa kanang bahagi. Ito ay kilala mula sa teorya ng differential equation na sa pagbabago ng kanang bahagi ayon sa harmonic law, ang solusyon ay magiging isang harmonic function (sin o cos) na may dalas ng pagbabago na tumutugma sa dalas ng pagbabago Ω ng kanang bahagi:

kung saan ang A ampl. – amplitude ng sapilitang oscillations, φ 0 – pagbabago ng bahagi , mga. pagkakaiba ng bahagi sa pagitan ng yugto ng puwersang nagtutulak at yugto ng sapilitang mga oscillations. At amplitude A ampl. , at ang phase shift φ 0 ay nakasalalay sa mga parameter ng system (β, ω 0) at sa dalas ng driving force Ω.

Sapilitang panahon ng oscillation katumbas (21.9)

Iskedyul ng sapilitang mga oscillation sa Figure 4.1.

Fig.21.3. Iskedyul ng sapilitang mga oscillation

Ang steady forced oscillations ay harmonic din.

Dependences ng amplitude ng sapilitang oscillations at phase shift sa dalas ng panlabas na pagkilos. Resonance.

1. Bumalik tayo sa mekanikal na sistema ng isang spring pendulum, na apektado ng panlabas na puwersa na nagbabago ayon sa isang harmonic na batas. Para sa naturang sistema, ang differential equation at ang solusyon nito, ayon sa pagkakabanggit, ay may anyo:

, .

Suriin natin ang pag-asa ng oscillation amplitude at phase shift sa dalas ng panlabas na puwersa sa pagmamaneho, para dito makikita natin ang una at pangalawang derivatives ng x at pinapalitan ang mga ito sa differential equation.

Gamitin natin ang paraan ng vector diagram. Makikita mula sa equation na ang kabuuan ng tatlong swing sa kaliwang bahagi ng equation (Figure 4.1) ay dapat na katumbas ng swing sa kanang bahagi. Ang vector diagram ay ginawa para sa isang arbitrary na oras t. Maaari itong matukoy mula dito.

Larawan 21.4.

, (21.10)

. (21.11)

Isinasaalang-alang ang halaga , ,, nakakakuha tayo ng mga formula para sa φ 0 at A ampl. mekanikal na sistema:

,

.

2. Sinisiyasat namin ang pag-asa ng amplitude ng sapilitang mga oscillations sa dalas ng puwersang nagtutulak at ang magnitude ng puwersa ng paglaban sa isang oscillating mechanical system, gamit ang mga data na ito ay bumubuo kami ng isang graph . Ang mga resulta ng pag-aaral ay ipinapakita sa Figure 21.5, ipinapakita nila na sa isang tiyak na dalas ng puwersang nagtutulak ang amplitude ng mga oscillations ay tumataas nang husto. At ang pagtaas na ito ay mas malaki, mas mababa ang attenuation coefficient β. Sa , ang oscillation amplitude ay nagiging walang katapusan na malaki.

Ang kababalaghan ng isang matalim na pagtaas sa amplitude sapilitang mga oscillations sa dalas ng puwersang nagtutulak na katumbas ng ay tinatawag na resonance.

(21.12)

Ang mga kurba sa Figure 21.5 ay sumasalamin sa relasyon at tinatawag amplitude resonance curves .

Figure 21.5 - Mga graph ng dependence ng amplitude ng sapilitang mga oscillations sa dalas ng puwersang nagtutulak.

Ang amplitude ng resonant oscillations ay kukuha ng anyo:

Ang sapilitang vibrations ay walang basa pagbabagu-bago. Ang hindi maiiwasang pagkawala ng enerhiya dahil sa alitan ay binabayaran ng supply ng enerhiya mula sa panlabas na pinagmumulan ng isang pana-panahong kumikilos na puwersa. May mga sistema kung saan ang mga undamped oscillations ay lumitaw hindi dahil sa panaka-nakang panlabas na impluwensya, ngunit bilang isang resulta ng kakayahan ng mga naturang sistema na i-regulate ang daloy ng enerhiya mula sa isang palaging pinagmumulan. Ang mga ganitong sistema ay tinatawag self-oscillating, at ang proseso ng undamped oscillations sa naturang mga sistema ay self-oscillations.

Sa isang self-oscillatory system, tatlong katangian na elemento ang maaaring makilala - isang oscillatory system, isang mapagkukunan ng enerhiya at isang feedback device sa pagitan ng oscillatory system at ang pinagmulan. Bilang isang oscillatory system, anumang mekanikal na sistema na may kakayahang magsagawa ng sarili nitong damped oscillations (halimbawa, isang pendulum ng isang wall clock) ay maaaring gamitin.

Ang pinagmumulan ng enerhiya ay maaaring ang deformation energy ng spring o ang potensyal na enerhiya ng load sa gravitational field. Ang feedback device ay isang mekanismo kung saan kinokontrol ng self-oscillating system ang daloy ng enerhiya mula sa pinagmulan. Sa fig. Ang 21.6 ay nagpapakita ng diagram ng interaksyon ng iba't ibang elemento ng isang self-oscillating system.

Ang isang halimbawa ng isang mekanikal na self-oscillating system ay isang clockwork na may anchor ilipat (Larawan 21.7.). Ang isang tumatakbong gulong na may mga pahilig na ngipin ay mahigpit na nakakabit sa isang may ngipin na drum, kung saan ang isang kadena na may bigat ay itinapon. Sa itaas na dulo ng pendulum, ang isang anchor (angkla) ay naayos na may dalawang plato ng matigas na materyal na nakabaluktot sa isang arko ng isang bilog na nakasentro sa axis ng pendulum. Sa isang wristwatch, ang bigat ay pinalitan ng isang spring, at ang pendulum ay pinalitan ng isang balancer - isang handwheel na nakakabit sa isang spiral spring.

Larawan 21.7. Mekanismo ng orasan na may pendulum.

Ang balancer ay nagsasagawa ng torsional vibrations sa paligid ng axis nito. Ang oscillatory system sa orasan ay isang pendulum o balancer. Ang pinagmumulan ng enerhiya ay isang bigat na itinaas o isang bukal ng sugat. Ang feedback device ay isang anchor na nagpapahintulot sa tumatakbong gulong na paikutin ang isang ngipin sa isang kalahating ikot.

Ang feedback ay ibinibigay ng pakikipag-ugnayan ng anchor sa tumatakbong gulong. Sa bawat pag-oscillation ng pendulum, itinutulak ng ngipin ng travel wheel ang anchor fork sa direksyon ng paggalaw ng pendulum, na naglilipat dito ng isang tiyak na bahagi ng enerhiya, na nagbabayad para sa mga pagkawala ng enerhiya dahil sa alitan. Kaya, ang potensyal na enerhiya ng timbang (o baluktot na tagsibol) ay unti-unti, sa magkahiwalay na mga bahagi, inilipat sa pendulum.

Ang mga mekanikal na self-oscillatory system ay laganap sa buhay sa paligid natin at sa teknolohiya. Ang mga self-oscillations ay ginawa ng mga steam engine, internal combustion engine, electric bell, mga string ng yumuko na mga instrumentong pangmusika, mga haligi ng hangin sa mga tubo ng mga instrumento ng hangin, mga vocal cord kapag nagsasalita o kumakanta, atbp.

Sa mga tunay na sistema ng oscillatory, bilang karagdagan sa mga quasi-elastic na pwersa, mayroong mga puwersa ng paglaban ng daluyan. Ang pagkakaroon ng mga puwersa ng friction ay humahantong sa pagwawaldas (dissipation) ng enerhiya at pagbaba sa amplitude ng oscillation. Sa pamamagitan ng pagbagal ng paggalaw, ang mga puwersa ng friction ay nagpapataas ng panahon, i.e. binabawasan ang dalas ng oscillation. Ang ganitong mga oscillation ay hindi magiging harmonic.

Ang mga oscillations na may amplitude na patuloy na bumababa sa oras dahil sa pagwawaldas ng enerhiya ay tinatawag kumukupas . Sa sapat na mababang bilis, ang puwersa ng friction ay proporsyonal sa bilis ng katawan at nakadirekta laban sa paggalaw.

kung saan ang r ay ang koepisyent ng friction, na nakasalalay sa mga katangian ng daluyan, ang hugis at sukat ng gumagalaw na katawan. Ang differential equation ng damped oscillations sa pagkakaroon ng friction forces ay magkakaroon ng anyo:

o
(21)

saan
- koepisyent ng pagpapalambing,

- natural na pabilog na dalas ng mga libreng oscillations sa kawalan ng mga puwersa ng friction.

Ang pangkalahatang solusyon ng Eq. (21) sa kaso ng mababang pamamasa (
) ay isang:

Naiiba ito sa harmonic (8) dahil ang oscillation amplitude:

(23)

ay isang bumababa na function ng oras, at ang circular frequency nauugnay sa natural na dalas at pamamasa kadahilanan ratio:

. (24)

Ang panahon ng damped oscillations ay katumbas ng:

. (25)

Ang dependence ng displacement X sa t damped oscillations ay ipinapakita sa Fig.4.

C ang antas ng pagbaba sa amplitude ay tinutukoy ng koepisyent ng pagpapalambing .

Sa panahon ng
ang amplitude (23) ay bumababa ng isang salik na e ≈ 2.72. Sa pagkakataong ito tinatawag na natural na pagkabulok oras ng pagpapahinga. Samakatuwid, ang damping factor ay ang kapalit ng oras ng pagpapahinga:

.(26)

Ang rate ng pagbaba sa amplitude ng mga oscillations ay nailalarawan sa pamamagitan ng pagbabawas ng logarithmic damping. Hayaang ang A(t) at A(t+T) ay ang mga amplitude ng dalawang magkasunod na oscillations na tumutugma sa mga time point na naiiba sa isang period. Pagkatapos ang kaugnayan:

(27)

tinawag pagbabawas ng pamamasa, na nagpapakita kung gaano karaming beses na bumababa ang amplitude ng mga oscillation sa isang oras na katumbas ng panahon. Ang natural na logarithm ng ratio na ito ay:

(28)

ay tinatawag na logarithmic damping factor. Dito, ang N e ay ang bilang ng mga oscillations na ginanap sa panahon kung kailan bumababa ang amplitude ng isang factor ng e, i.e. sa panahon ng pagpapahinga.

Kaya, ang logarithmic damping decrement ay ang reciprocal ng bilang ng mga oscillations, pagkatapos kung saan ang oscillation amplitude ay bumababa ng isang factor ng e.

Ang rate ng pagbaba sa enerhiya ng oscillatory system ay nailalarawan sa pamamagitan ng quality factor Q. Quality factor ng oscillatory system- isang halaga na proporsyonal sa ratio ng kabuuang enerhiya E(t) ng oscillatory system sa enerhiya (- E) nawala sa panahon ng T:

(29)

Ang kabuuang enerhiya ng oscillatory system sa isang arbitrary na sandali ng oras at para sa anumang halaga ng X ay may anyo:

(30)

Dahil ang enerhiya ay proporsyonal sa parisukat ng amplitude, ang enerhiya ng damped oscillations ay bumababa sa proporsyon sa halaga.
, maaari kang sumulat:

. (31)

Pagkatapos, ayon sa kahulugan, ang expression para sa kadahilanan ng kalidad ng oscillatory system ay magiging ganito:

Dito ay isinasaalang-alang na sa mababang attenuation (1): 1st -2   ​​​​2.

Samakatuwid, ang kadahilanan ng kalidad ay proporsyonal sa bilang ng mga oscillation N e na ginawa ng system sa oras ng pagpapahinga.

Ang factor ng kalidad ng mga oscillatory system ay maaaring mag-iba nang malaki, halimbawa, ang quality factor ng isang physical pendulum ay Q~ 10 2 , habang ang quality factor ng isang atom, na isa ring oscillatory system, ay umaabot sa Q~ 10 8 .

Sa konklusyon, tandaan namin na kapag ang koepisyent ng pamamasa β=ω 0, ang panahon ay nagiging walang hanggan T =∞ (kritikal na pamamasa). Sa karagdagang pagtaas sa β, ang panahon ng T ay nagiging haka-haka, at ang pagpapahina ng paggalaw ay nangyayari nang walang mga oscillations, gaya ng sinasabi nila, nang paminsan-minsan. Ang kaso ng paggalaw na ito ay ipinapakita sa Fig.5. Ang kritikal na pamamasa (calming) ay nangyayari sa pinakamababang oras at mahalaga sa mga instrumento sa pagsukat, halimbawa, sa mga ballistic galvanometer. .

AT PINILIT VASCULATION AT RESONANCE

Kung ang isang elastic force F y \u003d -kX ay kumikilos sa isang katawan na may mass m, ang friction force
at panlabas na pana-panahong puwersa
, pagkatapos ay nagsasagawa ito ng sapilitang mga oscillations. Sa kasong ito, ang differential equation ng paggalaw ay may anyo:

saan
,
- koepisyent ng pagpapalambing,
- natural na dalas ng libreng undamped vibrations ng katawan, F 0 - amplitude, ω - frequency ng periodic force.

Sa paunang sandali ng oras, ang gawain ng panlabas na puwersa ay lumampas sa enerhiya na ginugol sa alitan (Larawan 6). Ang enerhiya at amplitude ng mga oscillations ng katawan ay tataas hanggang ang lahat ng enerhiya na ipinadala ng panlabas na puwersa ay ganap na ginugol sa pagtagumpayan ng alitan, na proporsyonal sa bilis. Samakatuwid, ang isang equilibrium ay itinatag kung saan ang kabuuan ng kinetic at potensyal na enerhiya ay pare-pareho. Ang kundisyong ito ay nagpapakilala sa nakatigil na estado ng system.

Sa ganitong estado, ang paggalaw ng katawan ay magiging harmonic na may dalas na katumbas ng dalas ng panlabas na paggulo, ngunit dahil sa pagkawalang-galaw ng katawan, ang mga oscillations nito ay ililipat sa yugto na may paggalang sa agarang halaga ng panlabas na periodic. puwersa:

X = ACos(ωt + φ). (34)

Hindi tulad ng mga libreng oscillations, ang amplitude A at ang phase  ng sapilitang mga oscillations ay hindi nakadepende sa mga paunang kondisyon ng paggalaw, ngunit matutukoy lamang ng mga katangian ng oscillating system, ang amplitude at frequency ng driving force:

, (35)

. (36)

Makikita na ang amplitude at phase shift ay nakasalalay sa dalas ng puwersang nagmamaneho (Larawan 7, 8).

Ang isang tampok na katangian ng sapilitang mga oscillations ay ang pagkakaroon ng resonance. Kababalaghan isang matalim na pagtaas sa amplitude ng sapilitang mga oscillations kapag ang dalas ng puwersa sa pagmamaneho ay lumalapit sa natural na dalas ng libreng undamped oscillations ng katawan ω 0 ay tinatawag mekanikal na resonance . Vibration amplitude ng katawan sa resonant frequency
umabot sa pinakamataas na halaga:

(37)

Tungkol sa resonance curves (tingnan ang Fig. 7), gawin natin ang mga sumusunod na pangungusap. Kung ω → 0, ang lahat ng mga kurba (tingnan din ang (35)) ay darating sa parehong nonzero na halaga ng limitasyon
, ang tinatawag na istatistikal na paglihis. Kung ω→ ∞, ang lahat ng mga kurba ay asymptotically sa zero.

Sa ilalim ng kondisyon ng mababang pamamasa (β 2 ‹‹ω 0 2), ang resonant amplitude (tingnan ang (37))

(37a)

Sa ilalim ng kundisyong ito, kinukuha namin ang ratio ng resonant displacement sa static deviation:

mula sa kung saan makikita na ang kamag-anak na pagtaas sa amplitude ng mga oscillations sa resonance ay tinutukoy ng kalidad na kadahilanan ng oscillatory system. Dito, ang kadahilanan ng kalidad ay, sa katunayan, ang pakinabang ng tugon
system at sa mababang attenuation ay maaaring maabot ang malalaking halaga.

Tinutukoy ng sitwasyong ito ang malaking kahalagahan ng phenomenon ng resonance sa pisika at teknolohiya. Ginagamit ito kung nais nilang palakasin ang mga vibrations, halimbawa, sa acoustics - upang mapahusay ang tunog ng mga instrumentong pangmusika, sa engineering ng radyo - upang ihiwalay ang nais na signal mula sa marami pang iba na naiiba sa dalas. Kung ang resonance ay maaaring humantong sa isang hindi kanais-nais na pagtaas sa mga oscillations, isang sistema na may mababang kalidad na kadahilanan ay ginagamit.

MGA KAUGNAY NA VIBRATION

Ang pangalawang oscillatory system, na elastikong konektado sa una, ay maaaring magsilbi bilang isang mapagkukunan ng panlabas na pana-panahong puwersa. Ang parehong mga oscillatory system ay maaaring kumilos sa isa't isa. Kaya, halimbawa, ang kaso ng dalawang pinagsamang pendulum (Larawan 9).

Ang system ay maaaring magsagawa ng parehong in-phase (Fig. 9b) at anti-phase (Fig. 9c) oscillations. Ang ganitong mga oscillation ay tinatawag na normal na uri o normal na mode ng oscillation at nailalarawan sa pamamagitan ng kanilang sariling normal na dalas. Sa mga in-phase oscillations, ang pag-aalis ng mga pendulum sa lahat ng oras X 1 \u003d X 2, at ang dalas ω 1 ay eksaktong kapareho ng dalas ng isang solong pendulum
. Ito ay dahil ang light spring ay nasa isang libreng estado at walang anumang epekto sa paggalaw. Sa mga antiphase oscillations sa lahat ng oras - X 1 \u003d X 2. Ang dalas ng naturang mga oscillation ay mas malaki kaysa at katumbas ng
, dahil ang tagsibol, na may katigasan k at nagdadala ng koneksyon, ay palaging nasa isang nakaunat, pagkatapos ay nasa isang naka-compress na estado.

L
Anumang estado ng aming pinagsamang sistema, kabilang ang paunang displacement X (Fig. 9a), ay maaaring katawanin bilang isang superposisyon ng dalawang normal na mode:

Kung itatakda natin ang sistema sa paggalaw mula sa inisyal na estado X 1 = 0,
, X 2 \u003d 2A,
,

pagkatapos ay ang mga displacement ng mga pendulum ay ilalarawan ng mga expression:

Sa fig. 10 ay nagpapakita ng pagbabago sa displacement ng mga indibidwal na pendulum sa paglipas ng panahon.

Ang dalas ng oscillation ng mga pendulum ay katumbas ng average na dalas ng dalawang normal na mode:

, (39)

at ang kanilang amplitude ay nagbabago ayon sa batas ng sine o cone na may mas mababang dalas na katumbas ng kalahati ng pagkakaiba ng dalas ng mga normal na mode:

. (40)

Ang isang mabagal na pagbabago sa amplitude na may dalas na katumbas ng kalahati ng pagkakaiba sa pagitan ng mga frequency ng mga normal na mode ay tinatawag “ beats ” dalawang vibrations na may halos parehong frequency. Ang dalas ng "beats" ay katumbas ng pagkakaiba ω 1 - ω 2 frequency, (at hindi kalahati ng pagkakaibang ito), dahil ang maximum amplitude 2A ay naabot ng dalawang beses sa isang panahon na tumutugma sa dalas

Samakatuwid, ang beat period ay katumbas ng:

(41)

Kapag tumibok ang mga pendulum, nagpapalitan ng enerhiya. Gayunpaman, ang isang kumpletong pagpapalitan ng enerhiya ay posible lamang kapag ang parehong masa ay pareho at ang ratio (ω 1 + ω 2 / ω 1 -ω 2) ay katumbas ng isang integer. Ang isang mahalagang punto na dapat tandaan ay na kahit na ang mga indibidwal na pendulum ay maaaring makipagpalitan ng enerhiya, walang pagpapalitan ng enerhiya sa pagitan ng mga normal na mode.

Ang pagkakaroon ng mga naturang oscillating system na nakikipag-ugnayan sa isa't isa at nagagawang ilipat ang kanilang enerhiya sa isa't isa, ay bumubuo ng batayan ng paggalaw ng alon.

Ang isang oscillating na materyal na katawan na inilagay sa isang nababanat na daluyan ay pumapasok at nagtatakda sa oscillatory motion ng mga particle ng medium na katabi nito. Dahil sa pagkakaroon ng nababanat na mga bono sa pagitan ng mga particle, ang mga vibrations ay nagpapalaganap sa isang bilis na katangian ng isang naibigay na medium sa buong medium.

Ang proseso ng pagpapalaganap ng vibration sa isang elastic medium ay tinatawag kumaway .

Mayroong dalawang pangunahing uri ng mga alon: longitudinal at transverse. Sa mga longitudinal waves ang mga particle ng daluyan ay nag-o-oscillate sa direksyon ng pagpapalaganap ng alon, at sa nakahalang ay patayo sa direksyon ng pagpapalaganap ng alon. Hindi lahat ng nababanat na daluyan ay maaaring magpalaganap ng isang nakahalang alon. Ang isang transverse elastic wave ay posible lamang sa naturang media kung saan nagaganap ang elastic shear deformation. Halimbawa, ang mga longitudinal elastic wave (tunog) lamang ang nagpapalaganap sa mga gas at likido.

Ang locus ng mga punto ng daluyan, kung saan ang oscillation ay umabot sa isang naibigay na punto sa oras, ay tinatawag kaway sa harap . Ang harap ng alon ay naghihiwalay sa bahagi ng espasyo na kasangkot na sa proseso ng alon mula sa lugar kung saan ang mga oscillation ay hindi pa lumitaw. Depende sa hugis ng harap, ang mga alon ay eroplano, spherical, cylindrical, atbp.

Ang equation para sa isang plane wave na nagpapalaganap nang walang pagkawala sa isang homogenous medium ay:
, (42)

kung saan ang ξ(X,t) ay ang displacement ng mga particle ng medium na may coordinate X mula sa posisyon ng equilibrium sa oras t, A ay ang amplitude,
- yugto ng alon,
- pabilog na dalas ng oscillation ng mga particle ng daluyan, v - bilis ng pagpapalaganap ng alon.

Haba ng daluyong λ ang distansya sa pagitan ng mga puntong nag-o-oscillating na may pagkakaiba sa phase na 2π ay tinatawag, sa madaling salita, ang wavelength ay ang landas na dinaanan ng anumang yugto ng wave sa isang panahon ng oscillation:

bilis ng phase, i.e. bilis ng pagpapalaganap ng yugtong ito:

λ / T (44)

numero ng alon ay ang bilang ng mga wavelength na magkasya sa haba ng 2π units:

k = ω / v = 2π / λ. (45)

Ang pagpapalit ng mga notasyong ito sa (42), equation na naglalakbay ng eroplanong monochromatic wave ay maaaring katawanin bilang:

(46)

Tandaan na ang wave equation (46) ay nagpapakita ng dobleng periodicity sa coordinate at oras. Sa katunayan, ang mga yugto ng mga oscillations ay nag-tutugma kapag ang coordinate ay nagbabago ng λ at kapag ang oras ay nagbabago ng isang yugto T. Samakatuwid, imposibleng graphical na ilarawan ang isang alon sa isang eroplano. Ang oras na t ay madalas na naayos at ang pag-asa ng displacement ξ sa X coordinate ay ipinakita sa graph, i.e. agarang pamamahagi ng mga displacement ng mga particle ng medium kasama ang direksyon ng pagpapalaganap ng alon (Larawan 11). Ang pagkakaiba sa phase Δφ ng mga oscillations ng mga punto ng daluyan ay nakasalalay sa distansya ΔX \u003d X 2 - X 1 sa pagitan ng mga puntong ito:

(47)

Kung ang alon ay lumalaganap sa tapat ng direksyon ng X, ang pabalik na wave equation ay isusulat bilang:

ξ (X,t) = ACos(ωt + kX). (48)

STANDING WAVES ay ang resulta ng isang espesyal na uri ng wave interference. Nabubuo ang mga ito kapag ang dalawang naglalakbay na alon ay kumakalat patungo sa isa't isa na may parehong mga frequency at amplitude.

Ang mga equation ng dalawang plane wave na nagpapalaganap sa X axis sa magkasalungat na direksyon ay:

ξ 1 \u003d ACos (ωt - kX)

ξ 2 = ACos(ωt + kX). (49)

Ang pagdaragdag ng mga equation na ito ayon sa formula ng kabuuan ng mga cosine at isinasaalang-alang na k = 2π / λ, nakuha namin ang standing wave equation:

. (50)

Ipinapakita ng Cos ωt multiplier na ang mga oscillations ng parehong frequency ω ay nangyayari sa mga punto ng medium na may amplitude
, depende sa X-coordinate ng itinuturing na punto. Sa mga punto sa kapaligiran kung saan:
, (51)

ang oscillation amplitude ay umabot sa pinakamataas na halaga ng 2A. Ang mga puntong ito ay tinatawag antinodes.

Mula sa expression (51) mahahanap ng isa ang mga coordinate ng antinode:
(52)

Sa mga punto kung saan
(53) ang oscillation amplitude ay naglalaho. Ang mga puntong ito ay tinatawag buhol.

Mga coordinate ng node:
. (54)

R ang mga distansya sa pagitan ng mga kalapit na antinode at kalapit na mga node ay pareho at katumbas ng λ/2. Ang distansya sa pagitan ng node at ng kalapit na antinode ay katumbas ng λ / 4. Kapag dumadaan sa node, ang multiplier
nagbabago ang tanda, kaya ang mga yugto ng mga oscillations sa magkabilang panig ng node ay naiiba sa pamamagitan ng π, i.e. Ang mga puntong nakahiga sa magkabilang panig ng node ay nag-o-oscillate sa antiphase. Ang mga puntos na nakapaloob sa pagitan ng dalawang magkatabing node ay nag-o-oscillate na may magkakaibang amplitude, ngunit may parehong mga yugto.

Ang distribusyon ng mga node at antinode sa isang standing wave ay depende sa mga kondisyon na nagaganap sa interface sa pagitan ng dalawang media, kung saan nangyayari ang pagmuni-muni. Kung ang alon ay makikita mula sa isang mas siksik na daluyan, kung gayon ang yugto ng mga oscillations sa lugar kung saan ang alon ay makikita ay nagbabago sa kabaligtaran, o, gaya ng sinasabi nila, ang kalahati ng alon ay nawala. Samakatuwid, bilang isang resulta ng pagdaragdag ng mga oscillations ng magkasalungat na direksyon, ang displacement sa hangganan ay zero, i.e. mayroong isang node (Larawan 12). Kapag ang isang alon ay sumasalamin mula sa hangganan ng isang hindi gaanong siksik na daluyan, ang yugto ng mga oscillations sa lugar ng pagmuni-muni ay nananatiling hindi nagbabago at ang mga oscillations na may parehong mga phase ay idinagdag malapit sa hangganan - isang antinode ay nakuha.

Sa isang standing wave, walang phase movement, walang wave propagation, walang energy transfer, na siyang dahilan ng pangalan ng ganitong uri ng wave.

Ang pagbaba sa enerhiya ng oscillatory system ay humahantong sa isang unti-unting pagbaba sa amplitude ng mga oscillations, dahil

Sa kasong ito, sinasabi nila iyon ang mga pagbabago ay damped .

Ang isang katulad na sitwasyon ay bubuo sa oscillatory circuit. Ang tunay na coil, na bahagi ng circuit, ay palaging may aktibong resistensya. Kapag ang kasalukuyang dumadaloy sa aktibong resistensya ng coil, ang init ng Joule ay ilalabas. Sa kasong ito, ang enerhiya ng circuit ay bababa, na hahantong sa isang pagbawas sa amplitude ng singil, boltahe at kasalukuyang mga oscillations.

Ang aming gawain- upang malaman sa pamamagitan ng kung anong batas ang pagbaba ng amplitude ng mga oscillations ay nangyayari, sa pamamagitan ng anong batas ang oscillating value mismo ay nagbabago, kung anong dalas ng damped oscillations ang nangyayari, kung gaano katagal ang mga oscillations "fade out".

§1 Pamamasa ng mga vibrations sa mga system na may malapot na friction

Isaalang-alang ang isang oscillatory system kung saan kumikilos ang puwersa ng viscous friction. Ang isang halimbawa ng naturang oscillatory system ay isang mathematical pendulum na umuusad sa hangin.

Sa kasong ito, kapag ang sistema ay inalis sa ekwilibriyo ng

ang pendulum ay aaksyunan ng dalawang pwersa: isang quasi-elastic force at isang resistance force (viscous friction force).

Ang pangalawang batas ni Newton ay nakasulat tulad ng sumusunod:

(1)

Alam namin na sa mababang bilis, ang viscous friction force ay proporsyonal sa bilis ng paggalaw:

Isinasaalang-alang namin na ang velocity projection ay ang unang derivative ng body coordinate, at ang acceleration projection ay ang pangalawang derivative ng coordinate:

Pagkatapos ang equation (2) ay kukuha ng anyo:

nakukuha natin ang equation ng paggalaw sa sumusunod na anyo:

(3)

kung saan ang d ay ang damping coefficient, depende ito sa friction coefficient r,

w 0 - cyclic frequency ng ideal oscillations (sa kawalan ng friction).

Bago lutasin ang equation (3), isaalang-alang ang oscillatory circuit. Ang aktibong paglaban ng coil ay konektado sa serye na may kapasidad C at inductance L.

Isulat natin ang pangalawang batas ni Kirchhoff

Isaalang-alang natin na, , .

Pagkatapos ang pangalawang batas ni Kirchhoff ay kinuha ang anyo:

Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng:

Ipakilala natin ang notasyon

Sa wakas nakuha namin

Bigyang-pansin ang mathematical identity ng mga differential equation (3) at (3'). Walang nakakagulat. Naipakita na namin ang ganap na mathematical na pagkakakilanlan ng proseso ng oscillation ng pendulum at electromagnetic oscillations sa circuit. Malinaw, ang mga proseso ng damping oscillations sa circuit at sa mga system na may malapot na friction ay nangyayari din sa parehong paraan.

Sa pamamagitan ng paglutas ng equation (3), makakakuha tayo ng mga sagot sa lahat ng tanong sa itaas.

Alam namin ang solusyon sa equation na ito

Pagkatapos para sa nais na equation (3) makuha namin ang huling resulta

Madaling makita na ang singil ng isang kapasitor sa isang tunay na oscillatory circuit ay magbabago ayon sa batas

Pagsusuri ng resulta:

1 Bilang resulta ng magkasanib na pagkilos ng quasi-elastic na puwersa at ang puwersa ng paglaban, ang sistema siguro gumawa ng oscillating motion. Para dito, dapat matugunan ang kondisyon w 0 2 - d 2 > 0. Sa madaling salita, dapat maliit ang friction sa system.

2 Ang dalas ng damped oscillations w ay hindi tumutugma sa oscillation frequency ng system sa kawalan ng friction w 2 = w 0 2 - d 2< w 0 2 . Sa paglipas ng panahon, ang dalas ng damped oscillations ay nananatiling hindi nagbabago.

Kung ang damping coefficient d ay maliit, kung gayon ang dalas ng damped oscillations ay malapit sa natural na frequency w 0 .

Ang pagbaba sa amplitude na ito ay nangyayari nang husto.

4 Kung w 0 2 - d 2< 0, то есть трение в системе велико, то уравнение (3) имеет решение вида

(4)

saan .

Sa pamamagitan ng direktang pagpapalit, madaling i-verify na ang function (4) ay talagang isang solusyon sa equation (3). Malinaw, ang kabuuan ng dalawang exponential function ay hindi isang periodic function. Mula sa pisikal na pananaw, nangangahulugan ito na walang mga oscillations sa system. Matapos alisin ang system mula sa posisyon ng balanse, dahan-dahan itong babalik dito. Ang ganitong proseso ay tinatawag aperiodic .

§2 Gaano kabilis nabubulok ang mga oscillation sa mga system na may malapot na friction?

Pagbawas ng pamamasa

halaga ng dami. Makikita na ang halaga ng d ay nagpapakilala sa rate ng pamamasa ng mga oscillations. Para sa kadahilanang ito, ang d ay tinatawag na damping factor.

Para sa mga electrical oscillations sa circuit, ang attenuation coefficient ay depende sa mga parameter ng coil: mas malaki ang active resistance ng coil, mas mabilis ang amplitude ng charge sa capacitor, boltahe, at kasalukuyang pagbaba.

Ang function ay ang produkto ng isang nagpapababang exponential function at isang harmonic function, kaya hindi harmonic ang function. Ngunit mayroon itong isang tiyak na antas ng "repeatability", na binubuo sa katotohanan na ang maxima, minima, mga zero ng function ay nangyayari sa mga regular na pagitan. Ang graph ng function ay isang sinusoid na nililigiran ng dalawang exponent.

Hanapin natin ang ratio ng dalawang sunud-sunod na amplitude na pinaghihiwalay ng agwat ng oras ng isang yugto. Ang relasyong ito ay tinatawag pagbabawas ng pamamasa

Pakitandaan na ang resulta ay hindi nakadepende sa kung isasaalang-alang mo ang dalawang magkasunod na panahon - sa simula ng oscillatory movement o pagkalipas ng ilang oras. Para sa bawat panahon, nagbabago ang amplitude ng mga oscillation hindi pareho ang laki, ngunit ang parehong bilang ng beses !!

Madaling makita iyon para sa anumang magkakaibang mga agwat ng oras, ang amplitude ng damped oscillations ay bumababa ng parehong bilang ng beses.

Oras ng pagpapahinga

Ang oras ng pagpapahinga ay tinatawag ang oras kung saan ang amplitude ng damped oscillations ay bumababa ng e beses:

Pagkatapos .

Mula dito hindi mahirap itatag ang pisikal na kahulugan ng attenuation coefficient:

Kaya, ang damping factor ay ang kapalit ng oras ng pagpapahinga. Hayaan, halimbawa, sa oscillatory circuit, ang damping coefficient ay katumbas ng . Nangangahulugan ito na pagkatapos ng isang oras s ang oscillation amplitude ay bababa ng e minsan.

Pagbaba ng logarithmic damping

Kadalasan, ang damping rate ng oscillations ay nailalarawan sa pamamagitan ng logarithmic damping decrement. Upang gawin ito, kunin ang natural na logarithm ng ratio ng mga amplitude na pinaghihiwalay ng isang tagal ng panahon.

Alamin natin ang pisikal na kahulugan ng logarithmic damping decrement.

Hayaang ang N ang bilang ng mga oscillations na ginagawa ng system sa panahon ng relaxation, iyon ay, ang bilang ng mga oscillations kung saan bumababa ang oscillation amplitude sa e minsan. Malinaw, .

Makikita na ang logarithmic damping decrement ay ang kapalit ng bilang ng mga oscillations, pagkatapos nito ay bumababa ang amplitude sa e minsan.

Ipagpalagay, , Nangangahulugan ito na pagkatapos ng 100 oscillations, ang amplitude ay bababa ng e minsan.

Quality factor ng oscillatory system

Bilang karagdagan sa pagbabawas ng logarithmic damping at oras ng pagpapahinga, ang damping rate ng mga oscillations ay maaaring mailalarawan sa pamamagitan ng isang halaga bilang kalidad na kadahilanan ng oscillating system . Sa ilalim ng kadahilanan ng kalidad

Maaari itong ipakita na para sa mahinang damped oscillations

Ang enerhiya ng oscillatory system sa isang arbitrary na punto ng oras ay katumbas ng . Ang pagkawala ng enerhiya sa isang panahon ay makikita bilang ang pagkakaiba sa pagitan ng enerhiya sa isang punto ng oras at ng enerhiya pagkatapos ng isang oras na katumbas ng panahon:

Pagkatapos

Ang exponential function ay maaaring palawakin sa isang serye sa<< 1. после подстановки получаем .

Kapag nag-withdraw, nagpataw kami ng paghihigpit<< 1, что верно только для слабо затухающих колебаний. Следовательно, область применения выражения для добротности ограничена только слабо затухающими колебаниями. Тогда как выражение применимо к любой колебательной системе.

Ang mga formula na nakuha namin para sa kadahilanan ng kalidad ng system ay wala pang sinasabi. Sabihin nating ang mga kalkulasyon ay nagbibigay ng halaga ng salik ng kalidad Q = 10. Ano ang ibig sabihin nito? Gaano kabilis nabubulok ang mga vibrations? Ito ba ay mabuti o masama?

Karaniwang itinuturing na may kondisyon na ang mga oscillation ay halos tumigil kung ang kanilang enerhiya ay bumaba ng 100 beses (amplitude - ng 10). Alamin natin kung gaano karaming mga oscillations ang nagawa ng system sa sandaling ito:

Masasagot natin ang tanong na iniharap kanina: N = 8.

Aling sistema ng oscillatory ang mas mahusay - na may malaki o maliit na kadahilanan ng kalidad? Ang sagot sa tanong na ito ay depende sa kung ano ang gusto mong makuha mula sa oscillating system.

Kung gusto mong gumawa ang system ng maraming oscillations hangga't maaari bago huminto, dapat pataasin ang quality factor ng system. paano? Dahil ang kadahilanan ng kalidad ay tinutukoy ng mga parameter ng oscillatory system mismo, kinakailangang piliin ang mga parameter na ito nang tama.

Halimbawa, ang pendulum ni Foucault, na naka-install sa St. Isaac's Cathedral, ay dapat na magsagawa ng mahinang damped oscillations. Pagkatapos

Ang pinakamadaling paraan upang mapataas ang quality factor ng isang pendulum ay gawin itong mas mabigat.

Sa pagsasagawa, madalas na lumitaw ang mga kabaligtaran na problema: kinakailangan upang patayin ang mga oscillations na lumitaw sa lalong madaling panahon (halimbawa, ang panginginig ng boses ng arrow ng isang instrumento sa pagsukat, mga vibrations ng katawan ng kotse, mga vibrations ng barko, atbp.) Ang mga device na nagbibigay-daan sa pagtaas ng attenuation sa system ay tinatawag na mga damper (o shock absorbers). Halimbawa, ang isang car shock absorber sa unang pagtatantya ay isang silindro na puno ng langis (malapot na likido), kung saan ang isang piston na may isang bilang ng mga maliliit na butas ay maaaring ilipat. Ang piston rod ay konektado sa katawan, at ang silindro ay konektado sa wheel axle. Ang mga panginginig ng boses ng katawan na lumitaw ay mabilis na nawawala, dahil ang gumagalaw na piston ay nakatagpo ng maraming paglaban sa daan mula sa malapot na likido na pumupuno sa silindro.

§ 3 Ang pamamasa ng mga vibrations sa mga system na may tuyong alitan

Ang pamamasa ng mga oscillation ay nangyayari sa panimula na naiiba kung ang sliding friction force ay kumikilos sa system. Siya ang dahilan ng paghinto ng spring pendulum, na umuusad sa anumang ibabaw.

Ipagpalagay na ang isang spring pendulum na matatagpuan sa isang pahalang na ibabaw ay dinala sa oscillatory motion sa pamamagitan ng pag-compress sa spring at pagpapakawala ng load, iyon ay, mula sa matinding posisyon. Sa proseso ng paglipat ng isang load mula sa isang matinding posisyon patungo sa isa pa, ito ay apektado ng puwersa ng grabidad at ang puwersa ng reaksyon ng suporta (patayo), ang puwersa ng pagkalastiko at ang puwersa ng sliding friction (sa ibabaw).

Tandaan na sa proseso ng paglipat mula kaliwa hanggang kanan, ang friction force ay hindi nagbabago sa direksyon at modulus.

Ito ay nagpapahintulot sa amin na igiit na sa unang kalahati ng panahon ang spring pendulum ay nasa isang pare-parehong field ng puwersa.

Ang displacement ng equilibrium position ay maaaring kalkulahin mula sa kondisyon na ang resulta ay katumbas ng zero sa equilibrium position:
Mahalaga na sa unang kalahati ng panahon ng oscillation ng pendulum maharmonya !

Kapag gumagalaw sa kabaligtaran na direksyon - mula kanan pakaliwa - ang puwersa ng friction ay magbabago ng direksyon, ngunit sa buong paglipat ay mananatili itong pare-pareho sa magnitude at direksyon. Ang sitwasyong ito ay muling tumutugma sa mga oscillations ng isang pendulum sa isang pare-parehong field ng puwersa. Ngayon lang naiba ang field na ito! Nagpalit ito ng direksyon. Dahil dito, nagbago din ang posisyon ng ekwilibriyo kapag lumilipat mula kanan papuntang kaliwa. Ngayon ay lumipat ito sa kanan ng halagang D l 0 .

Ilarawan natin ang pag-asa ng coordinate ng katawan sa oras. Dahil para sa bawat kalahati ng panahon ang kilusan ay isang harmonic oscillation, ang graph ay magiging mga kalahati ng sinusoid, na ang bawat isa ay binuo na may kaugnayan sa posisyon ng ekwilibriyo nito. Gagawin namin ang pagpapatakbo ng "mga solusyon sa pananahi".

Ipakita natin kung paano ito ginagawa sa isang partikular na halimbawa.

Hayaang ang masa ng load na nakakabit sa spring ay 200 g, ang spring stiffness ay 20 N/m, at ang koepisyent ng friction sa pagitan ng load at ng table surface ay 0.1. Ang pendulum ay dinala sa oscillatory motion sa pamamagitan ng pag-unat ng spring sa pamamagitan ng

6.5 cm.

Sa kaibahan sa mga oscillatory system na may malapot na friction, sa mga system na may dry friction, ang amplitude ng mga oscillations ay bumababa sa oras ayon sa isang linear na batas - para sa bawat panahon ay bumababa ito ng dalawang lapad ng stagnation zone.

Ang isa pang natatanging tampok ay ang mga oscillation sa mga system na may dry friction, kahit na ayon sa teorya, ay hindi maaaring mangyari nang walang katiyakan. Huminto sila sa sandaling huminto ang katawan sa "stagnation zone".

§4 Mga halimbawa ng paglutas ng problema

Problema 1 Ang katangian ng pagbabago sa amplitude ng damped oscillations sa mga system na may malapot na friction

Ang amplitude ng damped oscillations ng pendulum sa panahong t 1 = 5 min ay nabawasan ng 2 beses. Sa anong oras t 2 bababa ang oscillation amplitude ng 8 beses? Pagkatapos ng anong oras t 3 maaari nating isaalang-alang na ang mga oscillations ng pendulum ay tumigil?

Desisyon:

Ang amplitude ng mga oscillations sa mga system na may malapot na friction sa paglipas ng panahon

exponentially bumababa , kung saan ang oscillation amplitude sa unang sandali ng oras, ay ang damping factor.

1 Isulat natin ang batas ng pagbabago ng amplitude ng dalawang beses

2 Sama-sama nating nilulutas ang mga equation. Ang pagkuha ng logarithm ng bawat equation, nakukuha natin

Hinahati namin ang pangalawang equation hindi ang una at hanapin ang oras t 2

4

Pagkatapos ng mga pagbabago, nakukuha namin

Hatiin ang huling equation sa equation (*)

Gawain 2 Panahon ng damped oscillations sa mga system na may malapot na friction

Tukuyin ang panahon ng damped oscillations ng system T, kung ang panahon ng natural na oscillations T 0 \u003d 1 s, at ang logarithmic damping decrement. Ilang oscillations ang gagawin ng system na ito bago ito tuluyang huminto?

Desisyon:

1 Ang panahon ng damped oscillations sa isang system na may viscous friction ay mas malaki kaysa sa panahon ng natural na oscillations (sa kawalan ng friction sa system). Ang dalas ng damped oscillations, sa kabaligtaran, ay mas mababa kaysa sa natural na dalas at katumbas ng , nasaan ang attenuation coefficient.

2 Ipahayag ang cyclic frequency sa pamamagitan ng period. at isaalang-alang na ang logarithmic damping decrement ay katumbas ng:

3 Pagkatapos ng mga pagbabago, nakukuha natin .

Ang enerhiya ng system ay katumbas ng maximum na potensyal na enerhiya ng pendulum

Pagkatapos ng mga pagbabago, nakukuha namin

5 Ipinapahayag namin ang koepisyent ng pagpapalambing sa mga tuntunin ng pagbabawas ng logarithmic, nakukuha namin

Ang bilang ng mga oscillation na gagawin ng system bago huminto ay katumbas ng

Problema 3 Ang bilang ng mga oscillations na ginawa ng pendulum hanggang sa mahati ang amplitude

Ang logarithmic damping decrement ng pendulum ay katumbas ng q = 3×10 -3 . Tukuyin ang bilang ng mga kumpletong oscillations na dapat gawin ng pendulum upang ang amplitude ng mga oscillations nito ay bumaba ng 2 beses.

Desisyon:

3 Ito ay madaling makita na ang logarithmic damping decrement. Nakukuha namin

Paghahanap ng bilang ng mga vibrations

Gawain 4 Quality factor ng oscillatory system

Tukuyin ang kadahilanan ng kalidad ng pendulum, kung sa panahon kung saan ginawa ang 10 oscillations, ang amplitude ay nabawasan ng 2 beses. Gaano katagal bago huminto ang pendulum?

Desisyon:

1 Ang amplitude ng mga oscillations sa mga system na may viscous friction ay bumababa nang malaki sa oras, kung saan ang amplitude ng mga oscillations sa unang sandali ng oras, ay ang damping coefficient.

Dahil ang amplitude ng oscillation ay bumababa ng 2 beses, nakuha namin

2 Ang oras ng oscillation ay maaaring katawanin bilang produkto ng panahon ng mga oscillation sa pamamagitan ng kanilang numero:

Palitan ang resultang halaga ng oras sa expression (*)

3 Ito ay madaling makita na ang logarithmic damping decrement. Nakukuha namin ang logarithmic damping decrement na katumbas ng

4 Quality factor ng oscillatory system

Ang enerhiya ng system ay katumbas ng maximum na potensyal na enerhiya ng pendulum

Pagkatapos ng mga pagbabago, nakukuha namin

Hanapin ang oras kung kailan titigil ang mga oscillations .

Gawain 5 Vibrations ng magnet

Si Vasya Lisichkin, isang kilalang eksperimento sa buong paaralan, ay nagpasya na gawing pang-vibrate ang magnetic figurine ng kanyang paboritong bayaning pampanitikan na si Kolobok sa dingding ng refrigerator. Ikinabit niya ang pigurin sa isang bukal na may katigasan k = 10 N/m, iniunat ito ng 10 cm, at hinayaan ito. Gaano karaming mga vibrations ang gagawin ng Gingerbread Man kung ang masa ng pigurin ay m = 10 g, ang koepisyent ng friction sa pagitan ng pigurin at pader ay μ ​​= 0.4, at maaari itong mapunit sa dingding sa pamamagitan ng puwersa F = 0.5 N.

Desisyon:

1 Kapag gumagalaw mula sa matinding ibaba hanggang sa matinding itaas na posisyon, kapag ang bilis ng pagkarga ay nakadirekta paitaas, ang sliding friction force ay nakadirekta pababa at ayon sa numero ay katumbas ng . Kaya, ang spring pendulum ay nasa isang pare-parehong field ng puwersa na nilikha ng mga puwersa ng gravity at friction. Sa isang pare-parehong patlang ng puwersa, inililipat ng pendulum ang posisyon ng ekwilibriyo nito:

nasaan ang kahabaan ng spring sa bagong "equilibrium position".

2 Kapag gumagalaw mula sa matinding itaas hanggang sa matinding ibabang posisyon, kapag ang bilis ng pagkarga ay nakadirekta pababa, ang sliding friction force ay nakadirekta paitaas at ayon sa numero ay katumbas ng . Kaya, ang spring pendulum ay muli sa isang pare-parehong field ng puwersa na nilikha ng mga puwersa ng gravity at friction. Sa isang pare-parehong patlang ng puwersa, inililipat ng pendulum ang posisyon ng ekwilibriyo nito:

kung saan ang pagpapapangit ng spring sa bagong "equilibrium position", ang "-" sign ay nagsasabi na sa posisyon na ito ang spring ay naka-compress.

3 Ang stagnation zone ay limitado sa pamamagitan ng spring deformations mula sa - 1 cm hanggang 3 cm at 4 cm Ang gitna ng stagnation zone, kung saan ang spring deformation ay 1 cm, ay tumutugma sa posisyon ng load kung saan walang friction. puwersa. Sa stagnation zone, ang elastic force ng spring ay mas mababa sa modulus kaysa sa resulta maximum na static friction force at gravity. Kung huminto ang pendulum sa stagnation zone, hihinto ang mga oscillations.

4 Para sa bawat panahon, ang pagpapapangit ng spring ay nabawasan ng dalawang lapad ng stagnation zone, i.e. sa pamamagitan ng 8 cm. Pagkatapos ng isang oscillation, ang deformation ng spring ay magiging katumbas ng 10 cm - 8 cm = 2 cm. Nangangahulugan ito na pagkatapos ng isang oscillation, ang Kolobok figure ay nahuhulog sa stagnation zone at huminto ang mga oscillations nito.

§5 Mga gawain para sa independiyenteng solusyon

Subukan ang "Damped vibrations"

1 Ang pamamasa ng mga vibrations ay nauunawaan bilang ...

A) pagbaba sa dalas ng mga oscillation; B) pagbaba sa panahon ng mga oscillation;

C) pagbaba sa amplitude ng mga oscillations; D) pagbaba sa yugto ng mga oscillation.

2 Ang dahilan ng pamamasa ng mga libreng vibrations ay

A) ang epekto sa sistema ng mga random na kadahilanan na pumipigil sa mga oscillations;

B) ang pagkilos ng pana-panahong pagbabago ng panlabas na puwersa;

C) ang pagkakaroon ng puwersa ng friction sa system;

D) isang unti-unting pagbaba sa quasi-elastic na puwersa, na may posibilidad na ibalik ang pendulum sa posisyon ng balanse.

?

A) 5 cm; B) 4 cm; C) 3 cm;

D) Hindi posibleng magbigay ng sagot, dahil hindi alam ang oras.

6 Dalawang magkaparehong pendulum, na nasa magkaibang malapot na media, ay nag-o-oscillate. Ang amplitude ng mga oscillations na ito ay nagbabago sa paglipas ng panahon tulad ng ipinapakita sa figure. Aling medium ang may higit na friction?

7 Dalawang pendulum, na nasa parehong kapaligiran, ay nag-oocillate. Ang amplitude ng mga oscillations na ito ay nagbabago sa paglipas ng panahon tulad ng ipinapakita sa figure. Aling pendulum ang may pinakamalaking masa?

C) Imposibleng magbigay ng sagot, dahil ang sukat ay hindi nakatakda sa mga coordinate axes at imposibleng magsagawa ng mga kalkulasyon.

8 Aling figure ang wastong nagpapakita ng dependence ng coordinate ng damped oscillations sa isang system na may viscous friction sa oras?

A) 1; B) 2; SA 3; D) Lahat ng mga graph ay tama.

9 Magtatag ng isang pagsusulatan sa pagitan ng mga pisikal na dami na nagpapakilala sa pamamasa ng mga oscillations sa mga system na may malapot na friction, at ang kanilang kahulugan at pisikal na kahulugan. Punan ang talahanayan

A) Ito ang ratio ng mga amplitudes ng mga oscillation pagkatapos ng isang oras na katumbas ng panahon;

B) Ito ang natural na logarithm ng ratio ng mga amplitude ng oscillation pagkatapos ng isang oras na katumbas ng panahon;

C) Ito ang panahon kung saan bumababa ang amplitude ng mga oscillations e minsan;

G) D) E)

G) Ang halagang ito ay ang kapalit ng bilang ng mga oscillations, kung saan ang amplitude ng mga oscillations ay bumababa sa e minsan;

H) Ipinapakita ng halagang ito kung gaano karaming beses na bumababa ang amplitude ng mga oscillations sa isang oras na katumbas ng panahon ng mga oscillations.

10 Gumawa ng tamang pahayag.

Ang ibig sabihin ng kabutihan ay...

A) ang ratio ng kabuuang enerhiya ng system E ay nadagdagan ng isang salik na 2p sa enerhiyang W na nawala sa loob ng isang panahon;

B) ang ratio ng amplitudes pagkatapos ng isang tagal ng panahon na katumbas ng panahon;

C) ang bilang ng mga oscillations na ginagawa ng system sa sandaling bumababa ang amplitude ng e beses.

Ang kadahilanan ng kalidad ay kinakalkula ayon sa formula ...

PERO) B) C)

Ang kadahilanan ng kalidad ng isang oscillatory system ay nakasalalay sa...

A) ang enerhiya ng system;

B) pagkawala ng enerhiya para sa panahon;

C) mga parameter ng oscillatory system at friction sa loob nito.

Ang mas malaki ang kalidad na kadahilanan ng oscillatory system, ang ...

A) ang mga oscillation ay nabubulok nang mas mabagal;

B) ang mga pagbabago ay mas mabilis na nabubulok.

11 Ang mathematical pendulum ay itinatakda sa oscillatory motion, na lumilihis sa suspensyon mula sa equilibrium na posisyon sa unang kaso ng 15°, sa pangalawa - ng 10°. Sa anong kaso gagawa ng mas maraming oscillations ang pendulum bago huminto?

A) Kapag ang hanger ay pinalihis ng 15°;

B) Kapag ang hanger ay pinalihis ng 10°;

C) Sa parehong mga kaso, ang pendulum ay gagawa ng parehong bilang ng mga oscillations.

12 Ang mga bola ng parehong radius ay nakakabit sa dalawang thread ng parehong haba - aluminyo at tanso. Ang mga pendulum ay naka-set sa oscillatory motion, pinalihis ang mga ito sa parehong mga anggulo. Alin sa mga pendulum ang gagawa ng pinakamaraming bilang ng mga oscillation bago huminto?

A) aluminyo; B) tanso;

C) Ang parehong mga pendulum ay gagawa ng parehong bilang ng mga oscillation.

13 Ang isang spring pendulum, na matatagpuan sa isang pahalang na ibabaw, ay dinala sa oscillation sa pamamagitan ng pag-unat ng spring ng 9 cm. Pagkatapos gumawa ng tatlong kumpletong oscillations, ang pendulum ay nasa layo na 6 cm mula sa posisyon ng undeformed spring. Gaano kalayo mula sa posisyon ng undeformed spring ang pendulum pagkatapos ng susunod na tatlong oscillations?

A) 5 cm; B) 4 cm; C) 3 cm.

damped vibrations

Damped oscillations ng isang spring pendulum

damped vibrations- pagbabagu-bago, ang enerhiya na bumababa sa paglipas ng panahon. Ang isang walang katapusang patuloy na proseso ng mga species ay imposible sa kalikasan. Ang mga libreng oscillations ng anumang oscillator maaga o huli ay kumukupas at huminto. Samakatuwid, sa pagsasagawa, ang isa ay karaniwang tumatalakay sa mga damped oscillations. Ang mga ito ay nailalarawan sa pamamagitan ng ang katunayan na ang amplitude ng mga oscillations A ay isang nagpapababang function. Karaniwan, ang pamamasa ay nangyayari sa ilalim ng pagkilos ng mga puwersa ng paglaban ng daluyan, kadalasang ipinahayag bilang isang linear na pag-asa sa bilis ng mga oscillation o parisukat nito.

Sa acoustics: attenuation - pagbabawas ng antas ng signal upang makumpleto ang hindi marinig.

Damped oscillations ng isang spring pendulum

Hayaang magkaroon ng isang sistema na binubuo ng isang bukal (pagsunod sa batas ni Hooke), ang isang dulo nito ay mahigpit na naayos, at sa kabilang banda ay may isang katawan ng masa. m. Ang mga oscillation ay nangyayari sa isang daluyan kung saan ang puwersa ng paglaban ay proporsyonal sa bilis na may isang koepisyent c(tingnan ang malapot na friction).

Ang mga ugat nito ay kinakalkula ng sumusunod na formula

Mga solusyon

Depende sa halaga ng attenuation coefficient, ang solusyon ay nahahati sa tatlong posibleng opsyon.

• aperiodicity

Kung , kung gayon mayroong dalawang tunay na ugat, at ang solusyon ng differential equation ay kumukuha ng anyo:

Sa kasong ito, ang mga oscillation ay nabubulok nang husto mula pa sa simula.

• Hangganan ng aperiodicity

Kung , ang dalawang tunay na ugat ay pareho, at ang solusyon sa equation ay:

Sa kasong ito, maaaring may pansamantalang pagtaas, ngunit pagkatapos ay isang exponential decay.

• Mahinang attenuation

Kung , kung gayon ang solusyon ng katangiang equation ay dalawang kumplikadong conjugate na ugat

Kung gayon ang solusyon sa orihinal na differential equation ay

Nasaan ang natural na dalas ng damped oscillations.

Ang mga constant at sa bawat isa sa mga kaso ay tinutukoy mula sa mga paunang kondisyon:

Tingnan din

• Pagbawas ng pamamasa

Panitikan

Lit.: Saveliev I. V., Kurso ng Pangkalahatang Physics: Mechanics, 2001.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Tingnan kung ano ang "Damped Oscillations" sa iba pang mga diksyunaryo:

damped vibrations- Damped vibrations. DAMING OSCILLATIONS, vibrations na ang amplitude A ay bumababa sa paglipas ng panahon dahil sa pagkawala ng enerhiya: ang conversion ng vibration energy sa init bilang resulta ng friction sa mga mechanical system (halimbawa, sa isang suspension point ... ... Illustrated Encyclopedic Dictionary

Natural oscillations, ang amplitude A na bumababa sa oras t ayon sa exponential law А(t) = Аоexp (?t) (? damping index dahil sa energy dissipation dahil sa viscous friction forces para sa mechanical damped oscillations at ohmic ... . .. Malaking Encyclopedic Dictionary

Mga pagbabagu-bago, halimbawa, ang amplitude na unti-unting bumababa. mga oscillations ng isang pendulum na nakakaranas ng air resistance at friction sa suspension. Ang lahat ng libreng vibrations na nangyayari sa kalikasan ay, sa mas malaki o mas maliit na lawak, Z. K. Electric Z. K. ... ... Marine Dictionary

damped oscillations- Mga mekanikal na oscillations na may mga halaga ng saklaw ng pangkalahatang coordinate o ang derivative ng oras nito na bumababa sa oras. [Koleksyon ng mga inirerekomendang termino. Isyu 106. Mechanical vibrations. USSR Academy of Sciences. Komiteng Pang-agham at Teknikal ... ... Handbook ng Teknikal na Tagasalin

damped vibrations- (VIBRATION) mga pagbabago-bago (vibration) na may bumababa na peak-to-peak na mga value... Russian encyclopedia ng proteksyon sa paggawa

Mga natural na oscillations ng system, ang amplitude A na bumababa sa oras t ayon sa exponential law A(t) = A0exp(?α t) (α damping index) dahil sa energy dissipation dahil sa viscous friction forces para sa mechanical damped oscillations at ohmic...... encyclopedic Dictionary

damped vibrations- 31. Damped oscillations Mga oscillations na may bumababang amplitude values ​​Source ... Dictionary-reference na aklat ng mga tuntunin ng normatibo at teknikal na dokumentasyon

Natural na mga oscillations ng system, ang amplitude A k ryh ay bumababa sa oras t ayon sa exponential law A (t) = Aoeexp (at) (isang damping index) dahil sa energy dissipation dahil sa viscous friction forces para sa mechanical. 3. sa. at ohmic na pagtutol para sa el ... Likas na agham. encyclopedic Dictionary

damped oscillations- silpstantieji virpesiai statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. damped oscillation vok. gedämpfte Schwingung, f rus. damped oscillations, n pranc. oscillations amoties, f; oscillations décroissantes, f … Automatikos terminų žodynas

damped oscillations- slopinamieji virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. damped oscillations; damped vibrations; namamatay na mga oscillations vok. abklingende Schwingungen, f; gedämpfte Schwingungen, f rus. damped oscillations, n pranc. oscillations amorties, f … Fizikos terminų žodynas