Natutunan na natin kung paano lutasin ang mga quadratic equation. Palawakin natin ngayon ang mga pinag-aralan na pamamaraan sa mga rational equation.

Ano ang isang makatwirang pagpapahayag? Na-encounter na natin ang konseptong ito. Mga makatwirang ekspresyon tinatawag na mga expression na binubuo ng mga numero, mga variable, ang kanilang mga degree at mga palatandaan ng matematikal na operasyon.

Alinsunod dito, ang mga rational equation ay mga equation ng anyong: , kung saan - mga makatwirang ekspresyon.

Noong nakaraan, isinasaalang-alang lamang namin ang mga makatwirang equation na bumababa sa mga linear. Ngayon isaalang-alang natin ang mga makatwirang equation na maaaring bawasan sa mga quadratic.

Halimbawa 1

Lutasin ang equation: .

Desisyon:

Ang fraction ay 0 kung at kung ang numerator nito ay 0 at ang denominator nito ay hindi 0.

Nakukuha namin ang sumusunod na sistema:

Ang unang equation ng system ay isang quadratic equation. Bago ito lutasin, hinahati namin ang lahat ng mga coefficient nito sa 3. Nakukuha namin ang:

Nakukuha namin ang dalawang ugat: ; .

Dahil ang 2 ay hindi kailanman katumbas ng 0, dalawang kundisyon ang dapat matugunan: . Dahil wala sa mga ugat ng equation na nakuha sa itaas ang tumutugma sa mga di-wastong halaga ng variable na nakuha kapag nilulutas ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay, pareho silang mga solusyon sa equation na ito.

Sagot:.

Kaya, bumalangkas tayo ng isang algorithm para sa paglutas ng mga rational equation:

1. Ilipat ang lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi upang ang 0 ay makuha sa kanang bahagi.

2. Ibahin ang anyo at pasimplehin ang kaliwang bahagi, dalhin ang lahat ng mga fraction sa isang karaniwang denominator.

3. I-equate ang resultang fraction sa 0, ayon sa sumusunod na algorithm: .

4. Isulat ang mga ugat na nakuha sa unang equation at bigyang-kasiyahan ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay bilang tugon.

Tingnan natin ang isa pang halimbawa.

Halimbawa 2

Lutasin ang equation: .

Desisyon

Sa umpisa pa lang, inililipat namin ang lahat ng termino sa kaliwang bahagi upang manatili ang 0 sa kanan. Nakukuha namin ang:

Ngayon dinadala namin ang kaliwang bahagi ng equation sa isang karaniwang denominator:

Ang equation na ito ay katumbas ng system:

Ang unang equation ng system ay isang quadratic equation.

Ang mga coefficient ng equation na ito: . Kinakalkula namin ang discriminant:

Nakukuha namin ang dalawang ugat: ; .

Ngayon ay malulutas namin ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay: ang produkto ng mga kadahilanan ay hindi katumbas ng 0 kung at kung wala sa mga kadahilanan ay katumbas ng 0.

Dalawang kundisyon ang dapat matugunan: . Nakukuha namin iyon sa dalawang ugat ng unang equation, isa lamang ang angkop - 3.

Sagot:.

Sa araling ito, naalala natin kung ano ang isang rational expression, at natutunan din kung paano lutasin ang mga rational equation, na binabawasan sa mga quadratic equation.

Sa susunod na aralin, isasaalang-alang natin ang mga rational equation bilang mga modelo ng totoong sitwasyon, at isasaalang-alang din natin ang mga problema sa paggalaw.

Bibliograpiya

1. Bashmakov M.I. Algebra, ika-8 baitang. - M.: Enlightenment, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al. Algebra, 8. 5th ed. - M.: Edukasyon, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, ika-8 baitang. Textbook para sa mga institusyong pang-edukasyon. - M.: Edukasyon, 2006.

1. Festival ng mga ideyang pedagogical "Open Lesson" ().
2. School.xvatit.com().
3. Rudocs.exdat.com().

Takdang aralin

Ang "mga rational equation na may polynomial" ay isa sa mga pinaka-madalas na nakakaharap na paksa sa mga pagsusulit sa USE sa matematika. Para sa kadahilanang ito, ang kanilang pag-uulit ay dapat bigyan ng espesyal na pansin. Maraming mga estudyante ang nahaharap sa problema ng paghahanap ng discriminant, paglilipat ng mga indicator mula sa kanang bahagi patungo sa kaliwang bahagi at pagdadala ng equation sa isang karaniwang denominator, na nagpapahirap sa pagkumpleto ng mga naturang gawain. Ang paglutas ng mga makatwirang equation bilang paghahanda para sa pagsusulit sa aming website ay makakatulong sa iyong mabilis na makayanan ang mga gawain ng anumang kumplikado at ganap na makapasa sa pagsusulit.

Piliin ang portal na pang-edukasyon na "Shkolkovo" para sa matagumpay na paghahanda para sa pinag-isang pagsusulit sa matematika!

Upang malaman ang mga patakaran para sa pagkalkula ng mga hindi alam at madaling makuha ang mga tamang resulta, gamitin ang aming online na serbisyo. Ang portal ng Shkolkovo ay isang one-of-a-kind na platform kung saan kinokolekta ang mga materyales na kailangan para sa paghahanda para sa pagsusulit. Ang aming mga guro ay nag-systematize at ipinakita sa isang maliwanag na anyo ang lahat ng mga tuntunin sa matematika. Bilang karagdagan, inaanyayahan namin ang mga mag-aaral na subukan ang kanilang kamay sa paglutas ng mga tipikal na rational equation, na ang base ay patuloy na ina-update at dinadagdagan.

Para sa mas epektibong paghahanda para sa pagsubok, inirerekumenda namin na sundin mo ang aming espesyal na pamamaraan at magsimula sa pamamagitan ng pag-uulit ng mga patakaran at paglutas ng mga simpleng problema, unti-unting lumipat sa mas kumplikadong mga problema. Kaya, ang nagtapos ay magagawang i-highlight ang pinakamahirap na paksa para sa kanyang sarili at tumuon sa kanilang pag-aaral.

Simulan ang paghahanda para sa panghuling pagsubok sa Shkolkovo ngayon, at ang resulta ay hindi maghihintay sa iyo! Piliin ang pinakamadaling halimbawa mula sa mga ibinigay. Kung mabilis mong pinagkadalubhasaan ang expression, magpatuloy sa isang mas mahirap na gawain. Upang mapagbuti mo ang iyong kaalaman hanggang sa paglutas ng mga gawain sa PAGGAMIT sa matematika sa antas ng profile.

Ang edukasyon ay magagamit hindi lamang sa mga nagtapos mula sa Moscow, kundi pati na rin sa mga mag-aaral mula sa ibang mga lungsod. Gumugol ng ilang oras sa isang araw sa pag-aaral sa aming portal, halimbawa, at sa lalong madaling panahon magagawa mong makayanan ang mga equation ng anumang kumplikado!

Sa ngayon, nalutas lamang namin ang mga integer equation na may kinalaman sa hindi alam, iyon ay, mga equation kung saan ang mga denominator (kung mayroon man) ay hindi naglalaman ng hindi alam.

Kadalasan kailangan mong lutasin ang mga equation na naglalaman ng hindi alam sa mga denominator: ang mga naturang equation ay tinatawag na fractional.

Upang malutas ang equation na ito, pinaparami natin ang magkabilang panig nito sa pamamagitan ng isang polynomial na naglalaman ng hindi alam. Magiging katumbas ba ang bagong equation sa ibinigay? Upang masagot ang tanong, lutasin natin ang equation na ito.

Ang pagpaparami ng magkabilang panig nito sa pamamagitan ng , nakukuha natin ang:

Ang paglutas ng equation na ito ng unang degree, nakita namin:

Kaya, ang equation (2) ay may isang ugat

Ang pagpapalit nito sa equation (1), nakukuha natin:

Samakatuwid, ito rin ang ugat ng equation (1).

Ang equation (1) ay walang ibang mga ugat. Sa aming halimbawa, makikita ito, halimbawa, mula sa katotohanan na sa equation (1)

Paano ang hindi kilalang divisor ay dapat na katumbas ng dibidendo 1 na hinati ng quotient 2, i.e.

Kaya, ang mga equation (1) at (2) ay may iisang ugat. Kaya, ang mga ito ay katumbas.

2. Lutasin natin ngayon ang sumusunod na equation:

Ang pinakasimpleng common denominator: ; i-multiply ang lahat ng mga tuntunin ng equation dito:

Pagkatapos ng pagbawas ay nakukuha natin:

Palawakin natin ang mga bracket:

Nagdadala ng mga katulad na termino, mayroon kaming:

Ang paglutas ng equation na ito, makikita natin:

Ang pagpapalit sa equation (1), nakukuha natin:

Sa kaliwang bahagi, nakatanggap kami ng mga expression na hindi makatuwiran.

Samakatuwid, ang ugat ng equation (1) ay hindi. Ito ay nagpapahiwatig na ang mga equation (1) at hindi katumbas.

Sa kasong ito, sinasabi namin na ang equation (1) ay nakakuha ng extraneous root.

Ihambing natin ang solusyon ng equation (1) sa solusyon ng mga equation na ating isinasaalang-alang kanina (tingnan ang § 51). Sa paglutas ng equation na ito, kailangan naming magsagawa ng dalawang ganoong operasyon na hindi pa nakikita noon: una, pinarami namin ang magkabilang panig ng equation sa isang expression na naglalaman ng hindi alam (common denominator), at, pangalawa, binawasan namin ang mga algebraic fraction sa pamamagitan ng mga salik na naglalaman ng ang hindi kilala.

Ang paghahambing ng Equation (1) sa Equation (2), nakita natin na hindi lahat ng x values ​​​​valid para sa Equation (2) ay valid para sa Equation (1).

Ito ay ang mga numero 1 at 3 na hindi tinatanggap na mga halaga ng hindi alam para sa equation (1), at bilang isang resulta ng pagbabagong-anyo sila ay naging katanggap-tanggap para sa equation (2). Ang isa sa mga numerong ito ay naging solusyon sa equation (2), ngunit, siyempre, hindi ito maaaring maging solusyon sa equation (1). Ang equation (1) ay walang mga solusyon.

Ipinapakita ng halimbawang ito na kapag pina-multiply ang parehong bahagi ng equation sa isang salik na naglalaman ng hindi alam, at kapag binabawasan ang mga algebraic fraction, maaaring makuha ang isang equation na hindi katumbas ng ibinigay, ibig sabihin: maaaring lumitaw ang mga extraneous na ugat.

Kaya't iginuhit namin ang sumusunod na konklusyon. Kapag nilulutas ang isang equation na naglalaman ng hindi alam sa denominator, ang mga resultang ugat ay dapat suriin sa pamamagitan ng pagpapalit sa orihinal na equation. Ang mga ekstrang ugat ay dapat itapon.

Ang mga equation na may mga fraction mismo ay hindi mahirap at napaka-interesante. Isaalang-alang ang mga uri ng fractional equation at mga paraan upang malutas ang mga ito.

Paano lutasin ang mga equation na may mga fraction - x sa numerator

Kung ang isang fractional equation ay ibinigay, kung saan ang hindi alam ay nasa numerator, ang solusyon ay hindi nangangailangan ng karagdagang mga kondisyon at nalutas nang walang hindi kinakailangang abala. Ang pangkalahatang anyo ng naturang equation ay x/a + b = c, kung saan ang x ay hindi kilala, a, b at c ay mga ordinaryong numero.

Hanapin ang x: x/5 + 10 = 70.

Upang malutas ang equation, kailangan mong alisin ang mga fraction. I-multiply ang bawat termino ng equation sa pamamagitan ng 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. Ang 5x at 5 ay nabawasan, ang 10 at 70 ay pinarami ng 5 at nakukuha natin ang: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Hanapin ang x: x/5 + x/10 = 90.

Ang halimbawang ito ay medyo mas kumplikadong bersyon ng una. Mayroong dalawang solusyon dito.

• Pagpipilian 1: Alisin ang mga fraction sa pamamagitan ng pag-multiply ng lahat ng termino ng equation sa mas malaking denominator, ibig sabihin, sa pamamagitan ng 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x=300.
• Opsyon 2: Idagdag ang kaliwang bahagi ng equation. x/5 + x/10 = 90. Ang common denominator ay 10. Divide 10 by 5, multiply by x, we get 2x. 10 na hinati sa 10, pinarami ng x, nakukuha natin ang x: 2x+x/10 = 90. Kaya 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Kadalasan mayroong mga fractional equation kung saan ang mga x ay nasa magkabilang panig ng equal sign. Sa ganoong sitwasyon, kinakailangang ilipat ang lahat ng mga praksyon na may x sa isang direksyon, at ang mga numero sa isa pa.

• Hanapin ang x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• Ilipat ang 2x/5 sa kanan na may kabaligtaran na palatandaan: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Binabawasan namin ang 5x/5 at makuha ang: x = 130.

Paano lutasin ang isang equation na may mga fraction - x sa denominator

Ang ganitong uri ng fractional equation ay nangangailangan ng pagsulat ng mga karagdagang kundisyon. Ang indikasyon ng mga kundisyong ito ay isang sapilitan at mahalagang bahagi ng tamang desisyon. Sa pamamagitan ng hindi pag-attribute sa mga ito, nasa panganib ka, dahil ang sagot (kahit na ito ay tama) ay maaaring hindi mabibilang.

Ang pangkalahatang anyo ng mga fractional equation, kung saan ang x ay nasa denominator, ay: a/x + b = c, kung saan ang x ay isang hindi alam, a, b, c ay mga ordinaryong numero. Tandaan na ang x ay maaaring hindi anumang numero. Halimbawa, ang x ay hindi maaaring maging zero, dahil hindi mo maaaring hatiin sa 0. Ito mismo ang karagdagang kundisyon na dapat nating tukuyin. Ito ay tinatawag na hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga, dinaglat - ODZ.

Hanapin ang x: 15/x + 18 = 21.

Agad naming isinulat ang ODZ para sa x: x ≠ 0. Ngayon na ang ODZ ay ipinahiwatig, lutasin namin ang equation ayon sa karaniwang pamamaraan, inaalis ang mga praksyon. I-multiply namin ang lahat ng termino ng equation sa x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Kadalasan mayroong mga equation kung saan ang denominator ay naglalaman ng hindi lamang x, kundi pati na rin ang ilang iba pang operasyon kasama nito, halimbawa, pagdaragdag o pagbabawas.

Hanapin ang x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Alam na natin na ang denominator ay hindi maaaring katumbas ng zero, na nangangahulugang x-3 ≠ 0. Inilipat namin ang -3 sa kanang bahagi, habang binabago ang "-" sign sa "+" at nakuha namin na x ≠ 3. Ang ODZ ay ipinahiwatig.

Lutasin ang equation, i-multiply ang lahat sa x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Ilipat ang mga x sa kanan, ang mga numero sa kaliwa: 24 = 3x => x = 8.

Kilalanin natin ang mga rational at fractional rational equation, ibigay ang kanilang kahulugan, magbigay ng mga halimbawa, at suriin din ang mga pinakakaraniwang uri ng mga problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Rational Equation: Kahulugan at Mga Halimbawa

Ang kakilala sa mga makatwirang ekspresyon ay nagsisimula sa ika-8 baitang ng paaralan. Sa oras na ito, sa mga aralin sa algebra, ang mga mag-aaral ay lalong nagsisimulang matugunan ang mga gawain na may mga equation na naglalaman ng mga makatwirang ekspresyon sa kanilang mga tala. I-refresh natin ang ating memorya kung ano ito.

Kahulugan 1

rational equation ay isang equation kung saan ang magkabilang panig ay naglalaman ng mga rational expression.

Sa iba't ibang mga manwal, makakahanap ka ng isa pang salita.

Kahulugan 2

rational equation- ito ay isang equation, ang talaan ng kaliwang bahagi nito ay naglalaman ng isang rational expression, at ang kanan ay naglalaman ng zero.

Ang mga kahulugan na ibinigay namin para sa mga rational equation ay katumbas, dahil pareho ang ibig sabihin ng mga ito. Ang kawastuhan ng aming mga salita ay nakumpirma sa pamamagitan ng ang katunayan na para sa anumang mga makatwirang expression P at Q mga equation P=Q at P − Q = 0 magiging katumbas na mga ekspresyon.

Ngayon ay buksan natin ang mga halimbawa.

Halimbawa 1

Rational equation:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Ang mga rational equation, tulad ng mga equation ng iba pang uri, ay maaaring maglaman ng anumang bilang ng mga variable mula 1 hanggang ilang. Upang magsimula, titingnan natin ang mga simpleng halimbawa kung saan ang mga equation ay maglalaman lamang ng isang variable. At pagkatapos ay nagsisimula kaming unti-unting kumplikado ang gawain.

Ang mga rational equation ay nahahati sa dalawang malalaking grupo: integer at fractional. Tingnan natin kung aling mga equation ang ilalapat sa bawat isa sa mga pangkat.

Kahulugan 3

Ang rational equation ay magiging integer kung ang talaan ng kaliwa at kanang bahagi nito ay naglalaman ng buong rational expression.

Kahulugan 4

Ang rational equation ay magiging fractional kung ang isa o pareho sa mga bahagi nito ay naglalaman ng isang fraction.

Ang mga fractionally rational equation ay kinakailangang naglalaman ng dibisyon sa pamamagitan ng isang variable, o ang variable ay nasa denominator. Walang ganoong dibisyon sa pagsulat ng mga integer equation.

Halimbawa 2

3 x + 2 = 0 at (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5 ay buong rational equation. Dito ang parehong bahagi ng equation ay kinakatawan ng mga integer na expression.

1 x - 1 = x 3 at x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 ay fractionally rational equation.

Kasama sa buong rational equation ang mga linear at quadratic na equation.

Paglutas ng buong equation

Ang solusyon ng naturang mga equation ay karaniwang bumababa sa kanilang pagbabago sa katumbas na algebraic equation. Ito ay maaaring makamit sa pamamagitan ng pagsasagawa ng mga katumbas na pagbabagong-anyo ng mga equation alinsunod sa sumusunod na algorithm:

• una nating makuha ang zero sa kanang bahagi ng equation, para dito kinakailangan na ilipat ang expression na nasa kanang bahagi ng equation sa kaliwang bahagi nito at baguhin ang sign;
• pagkatapos ay binabago namin ang expression sa kaliwang bahagi ng equation sa isang karaniwang form na polynomial.

Kailangan nating kumuha ng algebraic equation. Ang equation na ito ay magiging katumbas sa orihinal na equation. Ang mga madaling kaso ay nagbibigay-daan sa amin upang malutas ang problema sa pamamagitan ng pagbabawas ng buong equation sa isang linear o quadratic. Sa pangkalahatang kaso, nilulutas namin ang isang algebraic equation ng degree n.

Halimbawa 3

Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga ugat ng buong equation 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

Desisyon

Ibahin natin ang orihinal na expression upang makakuha ng algebraic equation na katumbas nito. Upang gawin ito, ililipat namin ang expression na nakapaloob sa kanang bahagi ng equation sa kaliwang bahagi at baguhin ang sign sa kabaligtaran. Bilang resulta, nakukuha namin ang: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Ngayon ay babaguhin natin ang expression sa kaliwang bahagi sa isang polynomial ng karaniwang anyo at isagawa ang mga kinakailangang aksyon sa polynomial na ito:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Nagawa naming bawasan ang solusyon ng orihinal na equation sa solusyon ng isang quadratic equation ng form x 2 − 5 x − 6 = 0. Ang discriminant ng equation na ito ay positibo: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . Nangangahulugan ito na magkakaroon ng dalawang tunay na ugat. Hanapin natin ang mga ito gamit ang formula ng mga ugat ng quadratic equation:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 o x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 o x 2 = - 1

Suriin natin ang kawastuhan ng mga ugat ng equation na nakita natin sa kurso ng solusyon. Para sa numerong ito, na aming natanggap, pinapalitan namin ang orihinal na equation: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 at 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. Sa unang kaso 63 = 63 , sa pangalawa 0 = 0 . Mga ugat x=6 at x = − 1 ay talagang mga ugat ng equation na ibinigay sa halimbawang kondisyon.

Sagot: 6 , − 1 .

Tingnan natin kung ano ang ibig sabihin ng "kapangyarihan ng buong equation". Madalas nating makikita ang terminong ito sa mga pagkakataong kailangan nating kumatawan sa isang buong equation sa anyo ng isang algebraic. Tukuyin natin ang konsepto.

Kahulugan 5

Degree ng isang integer equation ay ang antas ng isang algebraic equation na katumbas ng orihinal na buong equation.

Kung titingnan mo ang mga equation mula sa halimbawa sa itaas, maaari mong itatag: ang antas ng buong equation na ito ay ang pangalawa.

Kung ang aming kurso ay limitado sa paglutas ng mga equation ng ikalawang antas, kung gayon ang pagsasaalang-alang ng paksa ay maaaring makumpleto dito. Ngunit ang lahat ay hindi gaanong simple. Ang paglutas ng mga equation ng ikatlong antas ay puno ng mga paghihirap. At para sa mga equation sa itaas ng ikaapat na antas, walang mga pangkalahatang formula para sa mga ugat sa lahat. Sa pagsasaalang-alang na ito, ang solusyon ng buong equation ng ikatlo, ikaapat at iba pang mga degree ay nangangailangan sa amin na gumamit ng ilang iba pang mga diskarte at pamamaraan.

Ang pinakakaraniwang ginagamit na diskarte sa paglutas ng buong rational equation ay batay sa paraan ng factorization. Ang algorithm ng mga aksyon sa kasong ito ay ang mga sumusunod:

• inililipat namin ang expression mula sa kanang bahagi patungo sa kaliwang bahagi upang ang zero ay mananatili sa kanang bahagi ng talaan;
• kinakatawan namin ang expression sa kaliwang bahagi bilang isang produkto ng mga kadahilanan, at pagkatapos ay lumipat kami sa isang hanay ng ilang mas simpleng mga equation.

Halimbawa 4

Hanapin ang solusyon sa equation (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .

Desisyon

Inilipat namin ang expression mula sa kanang bahagi ng tala sa kaliwang bahagi na may kabaligtaran na tanda: (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. Ang pag-convert sa kaliwang bahagi sa isang polynomial ng karaniwang anyo ay hindi praktikal dahil sa katotohanan na ito ay magbibigay sa amin ng algebraic equation ng ika-apat na degree: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Ang kadalian ng pagbabago ay hindi nagbibigay-katwiran sa lahat ng mga paghihirap sa paglutas ng naturang equation.

Mas madaling pumunta sa ibang paraan: tinatanggal namin ang karaniwang kadahilanan x 2 − 10 x + 13 . Kaya dumating tayo sa isang equation ng form (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Ngayon ay pinapalitan namin ang nagresultang equation ng isang set ng dalawang quadratic equation x 2 − 10 x + 13 = 0 at x 2 − 2 x − 1 = 0 at hanapin ang kanilang mga ugat sa pamamagitan ng discriminant: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Sagot: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Katulad nito, maaari nating gamitin ang paraan ng pagpapakilala ng bagong variable. Ang pamamaraang ito ay nagpapahintulot sa amin na pumasa sa mga katumbas na equation na may mga kapangyarihan na mas mababa kaysa sa mga nasa orihinal na buong equation.

Halimbawa 5

May mga ugat ba ang equation? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Desisyon

Kung susubukan natin ngayon na bawasan ang isang buong rational equation sa isang algebraic, makakakuha tayo ng equation ng degree 4, na walang rational roots. Samakatuwid, magiging mas madali para sa atin na pumunta sa ibang paraan: magpakilala ng bagong variable na y, na papalitan ang expression sa equation x 2 + 3 x.

Ngayon ay gagana tayo sa buong equation (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). Inilipat namin ang kanang bahagi ng equation sa kaliwang bahagi na may kabaligtaran na pag-sign at isinasagawa ang mga kinakailangang pagbabago. Nakukuha namin: y 2 + 4 y + 3 = 0. Hanapin natin ang mga ugat ng quadratic equation: y = − 1 at y = − 3.

Ngayon gawin natin ang reverse substitution. Kumuha kami ng dalawang equation x 2 + 3 x = − 1 at x 2 + 3 x = - 3 . Isulat muli natin ang mga ito bilang x 2 + 3 x + 1 = 0 at x 2 + 3 x + 3 = 0. Ginagamit namin ang formula ng mga ugat ng quadratic equation upang mahanap ang mga ugat ng unang equation na nakuha: - 3 ± 5 2 . Ang discriminant ng pangalawang equation ay negatibo. Nangangahulugan ito na ang pangalawang equation ay walang tunay na ugat.

Sagot:- 3 ± 5 2

Ang mga integer equation na may mataas na degree ay madalas na nahaharap sa mga problema. Hindi na kailangang matakot sa kanila. Kailangan mong maging handa na maglapat ng isang hindi karaniwang paraan ng paglutas sa mga ito, kabilang ang isang bilang ng mga artipisyal na pagbabago.

Solusyon ng mga fractionally rational equation

Sinisimulan namin ang aming pagsasaalang-alang sa subtopic na ito sa isang algorithm para sa paglutas ng mga fractionally rational equation ng form na p (x) q (x) = 0 , kung saan p(x) at q(x) ay integer rational expression. Ang solusyon ng iba pang fractionally rational equation ay maaaring palaging bawasan sa solusyon ng mga equation ng ipinahiwatig na anyo.

Ang pinakakaraniwang ginagamit na paraan para sa paglutas ng mga equation na p (x) q (x) = 0 ay batay sa sumusunod na pahayag: numerical fraction ikaw v, saan v ay isang numero na iba sa zero, katumbas ng zero lamang sa mga kaso kung saan ang numerator ng fraction ay katumbas ng zero. Kasunod ng lohika ng pahayag sa itaas, maaari nating igiit na ang solusyon ng equation na p (x) q (x) = 0 ay maaaring bawasan sa katuparan ng dalawang kundisyon: p(x)=0 at q(x) ≠ 0. Dito, isang algorithm para sa paglutas ng mga fractional rational equation ng form na p (x) q (x) = 0 ay binuo:

• mahanap natin ang solusyon ng buong rational equation p(x)=0;
• sinusuri namin kung ang kondisyon ay nasiyahan para sa mga ugat na natagpuan sa panahon ng solusyon q(x) ≠ 0.

Kung ang kundisyong ito ay natugunan, kung gayon ang natagpuang ugat. Kung hindi, kung gayon ang ugat ay hindi solusyon sa problema.

Halimbawa 6

Hanapin ang mga ugat ng equation 3 · x - 2 5 · x 2-2 = 0 .

Desisyon

Nakikitungo tayo sa isang fractional rational equation ng anyong p (x) q (x) = 0 , kung saan ang p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Simulan natin ang paglutas ng linear equation 3 x - 2 = 0. Ang magiging ugat ng equation na ito x = 2 3.

Suriin natin ang nahanap na ugat, kung ito ba ay nakakatugon sa kondisyon 5 x 2 - 2 ≠ 0. Upang gawin ito, palitan ang isang numeric na halaga sa expression. Nakukuha namin ang: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

Ang kundisyon ay natutugunan. Ibig sabihin nito ay x = 2 3 ay ang ugat ng orihinal na equation.

Sagot: 2 3 .

May isa pang opsyon para sa paglutas ng mga fractional rational equation p (x) q (x) = 0 . Alalahanin na ang equation na ito ay katumbas ng buong equation p(x)=0 sa hanay ng mga tinatanggap na halaga ng variable x ng orihinal na equation. Ito ay nagpapahintulot sa amin na gamitin ang sumusunod na algorithm sa paglutas ng mga equation na p(x) q(x) = 0:

• lutasin ang equation p(x)=0;
• hanapin ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga para sa variable x;
• kinukuha namin ang mga ugat na nasa rehiyon ng mga tinatanggap na halaga ng variable x bilang ang nais na mga ugat ng orihinal na fractional rational equation.

Halimbawa 7

Lutasin ang equation x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

Desisyon

Una, lutasin natin ang quadratic equation x 2 − 2 x − 11 = 0. Upang kalkulahin ang mga ugat nito, ginagamit namin ang root formula para sa kahit na pangalawang koepisyent. Nakukuha namin D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12, at x = 1 ± 2 3 .

Ngayon ay mahahanap natin ang ODV ng x para sa orihinal na equation. Ito ang lahat ng mga numero kung saan x 2 + 3 x ≠ 0. Ito ay katulad ng x (x + 3) ≠ 0, kung saan ang x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

Ngayon suriin natin kung ang mga ugat x = 1 ± 2 3 na nakuha sa unang yugto ng solusyon ay nasa loob ng hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng variable x . Nakikita natin kung ano ang pumapasok. Nangangahulugan ito na ang orihinal na fractional rational equation ay may dalawang ugat x = 1 ± 2 3 .

Sagot: x = 1 ± 2 3

Ang pangalawang paraan ng solusyon na inilarawan ay mas simple kaysa sa una sa mga kaso kung saan ang lugar ng mga tinatanggap na halaga ng variable x ay madaling mahanap, at ang mga ugat ng equation p(x)=0 hindi makatwiran. Halimbawa, 7 ± 4 26 9 . Ang mga ugat ay maaaring makatwiran, ngunit may malaking numerator o denominator. Halimbawa, 127 1101 at − 31 59 . Makakatipid ito ng oras para suriin ang kondisyon. q(x) ≠ 0: mas madaling ibukod ang mga ugat na hindi magkasya, ayon sa ODZ.

Kapag ang mga ugat ng equation p(x)=0 ay mga integer, mas kapaki-pakinabang na gamitin ang una sa mga inilarawang algorithm para sa paglutas ng mga equation ng form na p (x) q (x) = 0 . Mas mabilis na mahanap ang mga ugat ng isang buong equation p(x)=0, at pagkatapos ay suriin kung ang kundisyon ay natutugunan para sa kanila q(x) ≠ 0, at hindi mahanap ang ODZ, at pagkatapos ay lutasin ang equation p(x)=0 sa ODZ na ito. Ito ay dahil sa ang katunayan na sa mga ganitong kaso kadalasan ay mas madaling gumawa ng tseke kaysa sa hanapin ang ODZ.

Halimbawa 8

Hanapin ang mga ugat ng equation (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0 .

Desisyon

Magsisimula kami sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa buong equation (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 at paghahanap ng mga ugat nito. Upang gawin ito, inilalapat namin ang paraan ng paglutas ng mga equation sa pamamagitan ng factorization. Lumalabas na ang orihinal na equation ay katumbas ng isang set ng apat na equation 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, kung saan ang tatlo ay linear at ang isa ay parisukat. Natagpuan namin ang mga ugat: mula sa unang equation x = 1 2, mula sa pangalawa x=6, mula sa pangatlo - x \u003d 7, x \u003d - 2, mula sa pang-apat - x = − 1.

Suriin natin ang nakuhang mga ugat. Mahirap para sa amin na matukoy ang ODZ sa kasong ito, dahil para dito kailangan nating lutasin ang isang algebraic equation ng ikalimang degree. Mas madaling suriin ang kundisyon ayon sa kung saan ang denominator ng fraction, na nasa kaliwang bahagi ng equation, ay hindi dapat maglaho.

Sa turn, palitan ang mga ugat sa lugar ng variable x sa expression x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 at kalkulahin ang halaga nito:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠;

6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

Ang pag-verify na isinagawa ay nagbibigay-daan sa amin na itatag na ang mga ugat ng orihinal na fractional rational equation ay 1 2 , 6 at − 2 .

Sagot: 1 2 , 6 , - 2

Halimbawa 9

Hanapin ang mga ugat ng fractional rational equation 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .

Desisyon

Magsimula tayo sa equation (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Hanapin natin ang mga ugat nito. Mas madali para sa amin na katawanin ang equation na ito bilang kumbinasyon ng quadratic at linear equation 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 at x − 2 = 0.

Ginagamit namin ang formula ng mga ugat ng isang quadratic equation upang mahanap ang mga ugat. Nakukuha natin ang dalawang ugat x = 7 ± 69 10 mula sa unang equation, at mula sa pangalawa x=2.

Ang pagpapalit ng halaga ng mga ugat sa orihinal na equation upang suriin ang mga kondisyon ay magiging mahirap para sa amin. Mas madaling matukoy ang LPV ng variable x . Sa kasong ito, ang DPV ng variable na x ay lahat ng mga numero, maliban sa mga kung saan nasiyahan ang kundisyon x 2 + 5 x − 14 = 0. Nakukuha namin ang: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Ngayon suriin natin kung ang mga ugat na nakita namin ay nabibilang sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga para sa x variable.

Ang mga ugat x = 7 ± 69 10 - nabibilang, samakatuwid, sila ang mga ugat ng orihinal na equation, at x=2- ay hindi nabibilang, samakatuwid, ito ay isang extraneous na ugat.

Sagot: x = 7 ± 69 10 .

Suriin natin nang hiwalay ang mga kaso kapag ang numerator ng isang fractional rational equation ng form na p (x) q (x) = 0 ay naglalaman ng isang numero. Sa ganitong mga kaso, kung ang numerator ay naglalaman ng isang numero maliban sa zero, kung gayon ang equation ay hindi magkakaroon ng mga ugat. Kung ang numerong ito ay katumbas ng zero, ang ugat ng equation ay magiging anumang numero mula sa ODZ.

Halimbawa 10

Lutasin ang fractional rational equation - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Desisyon

Ang equation na ito ay hindi magkakaroon ng mga ugat, dahil ang numerator ng fraction mula sa kaliwang bahagi ng equation ay naglalaman ng isang non-zero na numero. Nangangahulugan ito na para sa anumang mga halaga ng x ang halaga ng fraction na ibinigay sa kondisyon ng problema ay hindi magiging katumbas ng zero.

Sagot: walang ugat.

Halimbawa 11

Lutasin ang equation na 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Desisyon

Dahil ang numerator ng fraction ay zero, ang solusyon sa equation ay magiging anumang halaga ng x mula sa ODZ variable x.

Ngayon, tukuyin natin ang ODZ. Isasama nito ang lahat ng x value kung saan x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Mga solusyon sa equation x 4 + 5 x 3 = 0 ay 0 at − 5 , dahil ang equation na ito ay katumbas ng equation x 3 (x + 5) = 0, at ito naman, ay katumbas ng set ng dalawang equation x 3 = 0 at x + 5 = 0 kung saan makikita ang mga ugat na ito. Dumating kami sa konklusyon na ang nais na hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ay anumang x , maliban x=0 at x = -5.

Lumalabas na ang fractional rational equation na 0 x 4 + 5 x 3 = 0 ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon, na anumang mga numero maliban sa zero at - 5.

Sagot: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Ngayon pag-usapan natin ang tungkol sa mga fractional rational equation ng isang arbitrary na anyo at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito. Maaari silang isulat bilang r(x) = s(x), saan r(x) at s(x) ay mga rational expression, at kahit isa sa mga ito ay fractional. Ang solusyon ng naturang mga equation ay nabawasan sa solusyon ng mga equation ng anyong p (x) q (x) = 0 .

Alam na natin na makakakuha tayo ng katumbas na equation sa pamamagitan ng paglilipat ng expression mula sa kanang bahagi ng equation sa kaliwang bahagi na may kabaligtaran na tanda. Nangangahulugan ito na ang equation r(x) = s(x) ay katumbas ng equation r (x) − s (x) = 0. Napag-usapan na rin natin kung paano i-convert ang rational expression sa rational fraction. Dahil dito, madali nating mababago ang equation r (x) − s (x) = 0 sa magkatulad nitong rational fraction ng form na p (x) q (x) .

Kaya lumipat kami mula sa orihinal na fractional rational equation r(x) = s(x) sa isang equation ng anyong p (x) q (x) = 0 , na natutunan na natin kung paano lutasin.

Dapat tandaan na kapag gumagawa ng mga paglipat mula sa r (x) − s (x) = 0 sa p (x) q (x) = 0 at pagkatapos ay sa p(x)=0 hindi namin maaaring isaalang-alang ang pagpapalawak ng hanay ng mga wastong halaga ng variable x.

Ito ay medyo makatotohanang ang orihinal na equation r(x) = s(x) at equation p(x)=0 bilang resulta ng mga pagbabago, sila ay titigil na maging katumbas. Pagkatapos ang solusyon ng equation p(x)=0 makapagbibigay sa atin ng mga ugat na magiging dayuhan r(x) = s(x). Sa pagsasaalang-alang na ito, sa bawat kaso kinakailangan na magsagawa ng tseke sa pamamagitan ng alinman sa mga pamamaraan na inilarawan sa itaas.

Upang gawing mas madali para sa iyo na pag-aralan ang paksa, ginawa naming pangkalahatan ang lahat ng impormasyon sa isang algorithm para sa paglutas ng isang fractional rational equation ng form. r(x) = s(x):

• inilipat namin ang expression mula sa kanang bahagi na may kabaligtaran na pag-sign at makakuha ng zero sa kanan;
• binabago natin ang orihinal na expression sa isang rational fraction p (x) q (x) sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagsasagawa ng mga aksyon na may mga fraction at polynomial;
• lutasin ang equation p(x)=0;
• ibinubunyag namin ang mga extraneous na ugat sa pamamagitan ng pagsuri sa kanilang pag-aari sa ODZ o sa pamamagitan ng pagpapalit sa orihinal na equation.

Biswal, ang hanay ng mga aksyon ay magiging ganito:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → dropout r o n d e r o o n s

Halimbawa 12

Lutasin ang fractional rational equation x x + 1 = 1 x + 1 .

Desisyon

Lumipat tayo sa equation x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Ibahin natin ang fractional rational expression sa kaliwang bahagi ng equation sa anyo na p (x) q (x) .

Upang gawin ito, kailangan nating bawasan ang mga rational fraction sa isang common denominator at pasimplehin ang expression:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

Upang mahanap ang mga ugat ng equation - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, kailangan nating lutasin ang equation − 2 x − 1 = 0. Kumuha kami ng isang ugat x = - 1 2.

Ito ay nananatiling para sa amin upang isagawa ang pagsusuri sa pamamagitan ng alinman sa mga pamamaraan. Isaalang-alang natin silang dalawa.

Palitan ang nagresultang halaga sa orihinal na equation. Nakukuha natin - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Nakarating na tayo sa tamang pagkakapantay-pantay ng numero − 1 = − 1 . Ibig sabihin nito ay x = − 1 2 ay ang ugat ng orihinal na equation.

Ngayon ay susuriin natin ang ODZ. Tukuyin natin ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga para sa variable x . Ito ang magiging buong hanay ng mga numero, maliban sa − 1 at 0 (kapag x = − 1 at x = 0, ang mga denominator ng mga fraction ay mawawala). Ang ugat na nakuha natin x = − 1 2 nabibilang sa ODZ. Nangangahulugan ito na ito ang ugat ng orihinal na equation.

Sagot: − 1 2 .

Halimbawa 13

Hanapin ang mga ugat ng equation x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .

Desisyon

Nakikitungo kami sa isang fractional rational equation. Samakatuwid, kikilos tayo ayon sa algorithm.

Ilipat natin ang expression mula sa kanang bahagi patungo sa kaliwang bahagi na may kabaligtaran na palatandaan: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Isagawa natin ang mga kinakailangang pagbabagong-anyo: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

Dumating tayo sa equation x=0. Ang ugat ng equation na ito ay zero.

Suriin natin kung ang ugat na ito ay banyaga para sa orihinal na equation. Palitan ang halaga sa orihinal na equation: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Tulad ng nakikita mo, ang resultang equation ay hindi makatwiran. Nangangahulugan ito na ang 0 ay isang extraneous na ugat, at ang orihinal na fractional rational equation ay walang mga ugat.

Sagot: walang ugat.

Kung hindi namin isinama ang iba pang katumbas na pagbabago sa algorithm, hindi ito nangangahulugan na hindi sila magagamit. Ang algorithm ay pangkalahatan, ngunit ito ay idinisenyo upang makatulong, hindi limitahan.

Halimbawa 14

Lutasin ang equation 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Desisyon

Ang pinakamadaling paraan ay upang malutas ang ibinigay na fractional rational equation ayon sa algorithm. Ngunit may isa pang paraan. Isaalang-alang natin ito.

Ibawas mula sa kanan at kaliwang bahagi 7, nakukuha natin: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

Mula dito maaari nating tapusin na ang expression sa denominator ng kaliwang bahagi ay dapat na katumbas ng bilang na katumbas ng numero mula sa kanang bahagi, iyon ay, 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Ibawas sa parehong bahagi ang 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Sa pamamagitan ng pagkakatulad 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, mula sa kung saan 1 5 - x 2 \u003d 1 3, at higit pa 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

Suriin natin upang matukoy kung ang mga natagpuang ugat ay mga ugat ng orihinal na equation.

Sagot: x = ± 2

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter