Tinukoy namin ang karagdagan, pagpaparami, pagbabawas at paghahati ng mga integer. Ang mga pagkilos na ito (mga operasyon) ay may ilang mga katangiang resulta, na tinatawag na mga katangian. Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang mga pangunahing katangian ng pagdaragdag at pagpaparami ng mga integer, kung saan sinusunod ang lahat ng iba pang katangian ng mga operasyong ito, pati na rin ang mga katangian ng pagbabawas at paghahati ng mga integer.

Pag-navigate sa pahina.

Ang pagdaragdag ng integer ay may ilang iba pang napakahalagang katangian.

Ang isa sa mga ito ay nauugnay sa pagkakaroon ng zero. Ang pag-aari na ito ng pagdaragdag ng integer ay nagsasaad na Ang pagdaragdag ng zero sa anumang buong numero ay hindi nagbabago sa numerong iyon. Isulat natin ang property na ito ng karagdagan gamit ang mga letrang: a+0=a at 0+a=a (ang pagkakapantay-pantay na ito ay wasto dahil sa commutative property ng karagdagan), a ay anumang integer. Maaari mong marinig na ang integer zero ay tinatawag na neutral na elemento bilang karagdagan. Magbigay tayo ng ilang halimbawa. Ang kabuuan ng isang integer −78 at zero ay −78 ; kung magdaragdag tayo ng positive integer 999 sa zero, makukuha natin ang numerong 999 bilang resulta.

Bubuo na kami ngayon ng isa pang katangian ng pagdaragdag ng integer, na nauugnay sa pagkakaroon ng isang kabaligtaran na numero para sa anumang integer. Ang kabuuan ng anumang buong numero na may kabaligtaran na numero ay zero. Narito ang literal na anyo ng property na ito: a+(−a)=0 , kung saan ang a at −a ay magkasalungat na integer. Halimbawa, ang kabuuan 901+(−901) ay zero; pareho, ang kabuuan ng magkasalungat na integer −97 at 97 ay zero.

Mga pangunahing katangian ng pagpaparami ng mga integer

Ang multiplikasyon ng mga integer ay may lahat ng mga katangian ng pagpaparami ng mga natural na numero. Inililista namin ang pangunahing mga katangiang ito.

Kung paanong ang zero ay isang neutral na integer na may paggalang sa karagdagan, ang isa ay isang neutral na integer na may paggalang sa multiplikasyon ng mga integer. I.e, ang pagpaparami ng anumang buong bilang sa isa ay hindi nagbabago sa bilang na pinaparami. Kaya 1·a=a , kung saan ang a ay anumang integer. Ang huling pagkakapantay-pantay ay maaaring muling isulat bilang isang 1=a , ito ay nagbibigay-daan sa amin na gawin ang commutative property ng multiplication. Magbigay tayo ng dalawang halimbawa. Ang produkto ng integer 556 by 1 ay 556; ang produkto ng isa at isang negatibong integer −78 ay −78 .

Ang susunod na katangian ng integer multiplication ay nauugnay sa multiplikasyon ng zero. Ang resulta ng pagpaparami ng anumang integer a sa zero ay zero, ibig sabihin, a 0=0 . Ang pagkakapantay-pantay na 0·a=0 ay totoo rin dahil sa commutative property ng multiplication ng integers. Sa isang partikular na kaso, kapag a=0, ang produkto ng zero at zero ay katumbas ng zero.

Para sa pagpaparami ng mga integer, ang property na kabaligtaran ng nauna ay totoo din. Inaangkin nito iyon ang produkto ng dalawang integer ay katumbas ng zero kung hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero. Sa literal na anyo, maaaring isulat ang property na ito tulad ng sumusunod: a·b=0 , kung alinman sa a=0 , o b=0 , o pareho ang a at b ay katumbas ng zero sa parehong oras.

Distributive na ari-arian ng multiplikasyon ng mga integer na may paggalang sa karagdagan

Ang sabay-sabay na pagdaragdag at pagpaparami ng mga integer ay nagpapahintulot sa amin na isaalang-alang ang distributive property ng multiplication na may kinalaman sa karagdagan, na nag-uugnay sa dalawang ipinahiwatig na mga aksyon. Ang paggamit ng pagdaragdag at pagpaparami nang magkakasama ay nagbubukas ng mga karagdagang posibilidad na mawawala sa atin kung isasaalang-alang natin ang pagdaragdag nang hiwalay sa pagpaparami.

Kaya, ang distributive property ng multiplication na may kinalaman sa karagdagan ay nagsasabi na ang produkto ng isang integer a at ang kabuuan ng dalawang integer a at b ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng a b at a c , iyon ay, a (b+c)=a b+a c. Ang parehong pag-aari ay maaaring isulat sa ibang anyo: (a+b) c=a c+b c .

Ang distributive property ng multiplication ng integers na may kinalaman sa karagdagan, kasama ang associative property ng karagdagan, ay ginagawang posible upang matukoy ang multiplication ng integer sa kabuuan ng tatlo o higit pang integer, at pagkatapos ay ang multiplication ng kabuuan ng integers sa pamamagitan ng sum.

Tandaan din na ang lahat ng iba pang mga katangian ng pagdaragdag at pagpaparami ng mga integer ay maaaring makuha mula sa mga katangian na aming ipinahiwatig, iyon ay, ang mga ito ay mga kahihinatnan ng mga katangian sa itaas.

Mga katangian ng pagbabawas ng integer

Mula sa nakuhang pagkakapantay-pantay, pati na rin mula sa mga katangian ng pagdaragdag at pagpaparami ng mga integer, ang mga sumusunod na katangian ng pagbabawas ng mga integer ay sumusunod (a, b at c ay mga di-makatwirang integer):

• Ang integer subtraction sa pangkalahatan ay WALANG commutative property: a−b≠b−a .
• Ang pagkakaiba ng pantay na integer ay katumbas ng zero: a−a=0 .
• Ang pag-aari ng pagbabawas ng kabuuan ng dalawang integer mula sa isang ibinigay na integer: a−(b+c)=(a−b)−c .
• Ang pag-aari ng pagbabawas ng isang integer mula sa kabuuan ng dalawang integer: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
• Ang distributive property ng multiplication na may kinalaman sa pagbabawas: a (b−c)=a b−a c at (a−b) c=a c−b c.
• At lahat ng iba pang katangian ng integer subtraction.

Mga katangian ng integer division

Sa pagtatalo tungkol sa kahulugan ng paghahati ng mga integer, nalaman namin na ang paghahati ng mga integer ay ang kabaligtaran ng multiplikasyon. Ibinigay namin ang sumusunod na kahulugan: ang paghahati ng mga integer ay ang paghahanap ng hindi kilalang kadahilanan sa pamamagitan ng isang kilalang produkto at isang kilalang kadahilanan. Ibig sabihin, tinatawag natin ang integer c ang quotient ng integer a na hinati ng integer b kapag ang produkto c·b ay katumbas ng a .

Ang kahulugan na ito, pati na rin ang lahat ng mga katangian ng mga pagpapatakbo sa mga integer na isinasaalang-alang sa itaas, ay nagbibigay-daan sa amin upang maitaguyod ang bisa ng mga sumusunod na katangian ng paghahati ng mga integer:

• Walang integer ang maaaring hatiin ng zero.
• Ang pag-aari ng paghahati ng zero sa isang arbitrary na non-zero integer a : 0:a=0 .
• Property ng paghahati ng pantay na integer: a:a=1 , kung saan ang a ay anumang non-zero integer.
• Ang pag-aari ng paghahati ng arbitrary integer a sa isa: a:1=a .
• Sa pangkalahatan, WALANG commutative property ang dibisyon ng mga integer: a:b≠b:a .
• Ang mga katangian ng paghahati ng kabuuan at pagkakaiba ng dalawang integer sa isang integer ay: (a+b):c=a:c+b:c at (a−b):c=a:c−b:c , kung saan a , b , at c ay mga integer na ang parehong a at b ay nahahati sa c , at ang c ay nonzero.
• Ang pag-aari ng paghahati ng produkto ng dalawang integer a at b sa isang hindi-zero integer c : (a b):c=(a:c) b kung ang a ay nahahati sa c ; (a b):c=a (b:c) kung ang b ay nahahati sa c ; (a b):c=(a:c) b=a (b:c) kung ang parehong a at b ay nahahati sa c .
• Ang pag-aari ng paghahati ng integer a sa produkto ng dalawang integer b at c (mga numero a , b at c na posible ang paghahati ng a sa b c): a:(b c)=(a:b) c=(a :c ) b .
• Anumang iba pang pag-aari ng integer division.

Ang pagdaragdag ng isang numero sa isa pa ay medyo madali. Isaalang-alang ang isang halimbawa, 4+3=7. Ang expression na ito ay nangangahulugan na ang tatlong mga yunit ay idinagdag sa apat na mga yunit, at bilang isang resulta, pitong mga yunit ay nakuha.
Ang mga numero 3 at 4 na pinagsama-sama natin ay tinatawag mga tuntunin. At ang resulta ng pagdaragdag ng numero 7 ay tinatawag sum.

Sum ay ang pagdaragdag ng mga numero. Plus sign "+".
Sa literal na anyo, ang halimbawang ito ay magiging ganito:

a+b=c

Mga bahagi ng karagdagan:
a- termino, b- mga tuntunin, c- kabuuan.
Kung magdaragdag kami ng 4 na yunit sa 3 yunit, pagkatapos bilang resulta ng karagdagan ay makakakuha tayo ng parehong resulta, ito ay magiging katumbas ng 7.

Mula sa halimbawang ito, napagpasyahan namin na kahit paano namin ipagpalit ang mga termino, ang sagot ay nananatiling hindi nagbabago:

Ang pag-aari na ito ng mga termino ay tinatawag commutative batas ng karagdagan.

Commutative batas ng karagdagan.

Ang kabuuan ay hindi nagbabago mula sa pagbabago ng mga lugar ng mga termino.

Sa literal na notasyon, ganito ang hitsura ng commutative law:

a+b=b+a

Kung isasaalang-alang namin ang tatlong termino, halimbawa, kunin ang mga numero 1, 2 at 4. At ginagawa namin ang pagdaragdag sa pagkakasunud-sunod na ito, una naming idagdag ang 1 + 2, at pagkatapos ay idagdag namin sa nagresultang kabuuan ng 4, nakukuha namin ang expression:

(1+2)+4=7

Maaari nating gawin ang kabaligtaran, unang magdagdag ng 2 + 4, at pagkatapos ay magdagdag ng 1 sa resultang halaga. Magiging ganito ang ating halimbawa:

1+(2+4)=7

Ang sagot ay nananatiling pareho. Para sa parehong uri ng pagdaragdag ng parehong halimbawa, ang sagot ay pareho. Nagtatapos kami:

(1+2)+4=1+(2+4)

Ang karagdagan na katangiang ito ay tinatawag nag-uugnay na batas ng karagdagan.

Gumagana ang commutative at associative na batas ng karagdagan para sa lahat ng hindi negatibong numero.

Kaugnay na batas ng karagdagan.

Upang magdagdag ng ikatlong numero sa kabuuan ng dalawang numero, maaari mong idagdag ang kabuuan ng pangalawa at pangatlong numero sa unang numero.

(a+b)+c=a+(b+c)

Gumagana ang associative law para sa anumang bilang ng mga termino. Ginagamit namin ang batas na ito kapag kailangan naming magdagdag ng mga numero sa isang maginhawang pagkakasunud-sunod. Halimbawa, magdagdag tayo ng tatlong numero 12, 6, 8 at 4. Mas maginhawang idagdag muna ang 12 at 8, at pagkatapos ay idagdag ang kabuuan ng dalawang numero 6 at 4 sa resultang kabuuan.
(12+8)+(6+4)=30

Pagdaragdag ng ari-arian na may zero.

Kapag nagdagdag ka ng isang numero sa zero, ang resulta ay ang parehong numero.

3+0=3
0+3=3
3+0=0+3

Sa literal na expression, ang karagdagan na may zero ay magiging ganito:

a+0=a
0+ a=a

Mga tanong tungkol sa pagdaragdag ng mga natural na numero:
Pagdaragdag ng talahanayan, i-compile at tingnan kung paano gumagana ang pag-aari ng commutative law?
Maaaring ganito ang hitsura ng isang karagdagan na talahanayan mula 1 hanggang 10:

Ang pangalawang bersyon ng talahanayan ng karagdagan.

Kung titingnan natin ang mga talahanayan ng karagdagan, makikita natin kung paano gumagana ang commutative law.

Sa expression na a + b \u003d c, ano ang magiging kabuuan?
Sagot: Ang kabuuan ay ang kabuuan ng mga termino. a+b at c.

Sa expression na a + b \u003d c terms, ano ang magiging?
Sagot: a at b. Ang mga termino ay ang mga numero na idinagdag namin.

Ano ang mangyayari sa isang numero kung magdagdag ka ng 0 dito?
Sagot: wala, hindi magbabago ang numero. Kapag idinagdag sa zero, mananatiling pareho ang numero dahil ang zero ay ang kawalan ng mga isa.

Ilang termino ang dapat nasa halimbawa upang mailapat ang kaakibat na batas ng karagdagan?
Sagot: mula sa tatlong termino at higit pa.

Isulat ang commutative law sa literal na termino?
Sagot: a+b=b+a

Mga halimbawa para sa mga gawain.
Halimbawa #1:
Isulat ang sagot para sa mga inilahad na pahayag: a) 15+7 b) 7+15
Sagot: a) 22 b) 22

Halimbawa #2:
Ilapat ang batas ng kumbinasyon sa mga tuntunin: 1+3+5+2+9
1+3+5+2+9=(1+9)+(5+2)+3=10+7+3=10+(7+3)=10+10=20
Sagot: 20.

Halimbawa #3:
Lutasin ang expression:
a) 5921+0 b) 0+5921
Desisyon:
a) 5921+0 =5921
b) 0+5921=5921

Kaya, sa pangkalahatan, WALANG commutative property ang pagbabawas ng mga natural na numero. Isulat natin ang pahayag na ito sa mga titik. Kung ang a at b ay hindi pantay na natural na mga numero, kung gayon a−b≠b−a. Halimbawa, 45−21≠21−45 .

Ang pag-aari ng pagbabawas ng kabuuan ng dalawang numero mula sa isang natural na numero.

Ang susunod na katangian ay nauugnay sa pagbabawas ng kabuuan ng dalawang numero mula sa isang natural na numero. Tingnan natin ang isang halimbawa na magbibigay sa atin ng pang-unawa sa ari-arian na ito.

Isipin na mayroon tayong 7 barya sa ating mga kamay. Nagpasya muna kaming magtago ng 2 coin, ngunit sa pag-aakalang hindi ito magiging sapat, nagpasya kaming mag-ipon ng isa pang barya. Batay sa kahulugan ng pagdaragdag ng mga natural na numero, maaari itong mapagtatalunan na sa kasong ito ay nagpasya kaming i-save ang bilang ng mga barya, na tinutukoy ng kabuuan 2 + 1. Kaya, kumuha kami ng dalawang barya, magdagdag ng isa pang barya sa kanila at ilagay ang mga ito sa isang alkansya. Sa kasong ito, ang bilang ng mga barya na natitira sa ating mga kamay ay tinutukoy ng pagkakaiba 7−(2+1) .

Ngayon isipin natin na mayroon tayong 7 barya, at naglalagay tayo ng 2 barya sa alkansya, at pagkatapos nito - isa pang barya. Sa matematika, ang prosesong ito ay inilalarawan ng sumusunod na numerical expression: (7−2)−1 .

Kung binibilang namin ang mga barya na nananatili sa mga kamay, pagkatapos ay sa una at pangalawang kaso mayroon kaming 4 na barya. Ibig sabihin, 7−(2+1)=4 at (7−2)−1=4 , kaya 7−(2+1)=(7−2)−1 .

Ang itinuturing na halimbawa ay nagpapahintulot sa amin na bumalangkas ng pag-aari ng pagbabawas ng kabuuan ng dalawang numero mula sa isang ibinigay na natural na numero. Upang ibawas mula sa isang ibinigay na natural na numero ang isang ibinigay na kabuuan ng dalawang natural na mga numero ay kapareho ng pagbabawas ng unang termino ng kabuuan na ito mula sa isang ibinigay na natural na numero, at pagkatapos ay pagbabawas ng pangalawang termino mula sa nagresultang pagkakaiba.

Alalahanin na binigyan namin ng kahulugan ang pagbabawas ng mga natural na numero para lamang sa kaso kung ang minuend ay mas malaki kaysa sa subtrahend, o katumbas nito. Samakatuwid, maaari lamang nating ibawas ang isang naibigay na kabuuan mula sa isang ibinigay na natural na numero kung ang kabuuan na ito ay hindi mas malaki kaysa sa natural na bilang na binabawasan. Tandaan na sa ilalim ng kundisyong ito, ang bawat isa sa mga termino ay hindi lalampas sa natural na bilang kung saan ibinabawas ang kabuuan.

Gamit ang mga titik, ang pag-aari ng pagbabawas ng kabuuan ng dalawang numero mula sa isang ibinigay na natural na numero ay nakasulat bilang isang pagkakapantay-pantay a−(b+c)=(a−b)−c, kung saan ang a , b at c ay ilang natural na numero, at ang mga kundisyon a>b+c o a=b+c ay natutugunan.

Ang itinuturing na pag-aari, pati na rin ang nauugnay na pag-aari ng pagdaragdag ng mga natural na numero, ay nagbibigay-daan sa iyo na ibawas ang kabuuan ng tatlo o higit pang mga numero mula sa isang ibinigay na natural na numero.

Ang pag-aari ng pagbabawas ng isang natural na numero mula sa kabuuan ng dalawang numero.

Dumaan kami sa susunod na pag-aari, na nauugnay sa pagbabawas ng isang ibinigay na natural na numero mula sa isang ibinigay na kabuuan ng dalawang natural na numero. Isaalang-alang ang mga halimbawa na makakatulong sa amin na "makita" ang katangiang ito ng pagbabawas ng natural na numero mula sa kabuuan ng dalawang numero.

Ipagpalagay na mayroon tayong 3 kendi sa unang bulsa, at 5 kendi sa pangalawa, at kailangan nating magbigay ng 2 kendi. Magagawa natin ito sa iba't ibang paraan. Sabay-sabay nating kunin sila.

Una, maaari nating ilagay ang lahat ng mga kendi sa isang bulsa, pagkatapos ay kumuha ng 2 kendi mula doon at ibigay ang mga ito. Ilarawan natin ang mga pagkilos na ito sa matematika. Pagkatapos naming ilagay ang mga kendi sa isang bulsa, ang kanilang numero ay matutukoy sa pamamagitan ng kabuuan ng 3 + 5. Ngayon, sa kabuuang bilang ng mga kendi, mamimigay kami ng 2 kendi, habang ang natitirang bilang ng mga kendi na mayroon kami ay matutukoy ng sumusunod na pagkakaiba (3+5)−2 .

Pangalawa, maaari tayong mamigay ng 2 kendi sa pamamagitan ng pagkuha nito sa unang bulsa. Sa kasong ito, tinutukoy ng pagkakaiba 3−2 ang natitirang bilang ng mga kendi sa unang bulsa, at ang kabuuang bilang ng mga kendi na natitira namin ay matutukoy ng kabuuan (3−2)+5 .

Pangatlo, maaari tayong mamigay ng 2 kendi mula sa pangalawang bulsa. Pagkatapos ang pagkakaiba 5−2 ay tumutugma sa bilang ng natitirang mga kendi sa pangalawang bulsa, at ang kabuuang natitirang bilang ng mga kendi ay matutukoy ng kabuuan na 3+(5−2) .

Ito ay malinaw na sa lahat ng mga kaso magkakaroon tayo ng parehong bilang ng mga matamis. Samakatuwid, ang mga pagkakapantay-pantay (3+5)−2=(3−2)+5=3+(5−2) ay totoo.

Kung kailangan nating magbigay ng hindi 2, ngunit 4 na kendi, kung gayon magagawa natin ito sa dalawang paraan. Una, mamigay ng 4 na kendi, na nailagay na lahat sa isang bulsa. Sa kasong ito, ang natitirang bilang ng mga matamis ay tinutukoy ng isang expression tulad ng (3+5)−4 . Pangalawa, maaari tayong mamigay ng 4 na kendi mula sa pangalawang bulsa. Sa kasong ito, ang kabuuang bilang ng mga kendi ay nagbibigay ng sumusunod na kabuuan 3+(5−4) . Malinaw na sa una at pangalawang kaso magkakaroon tayo ng parehong bilang ng mga matamis, samakatuwid, ang pagkakapantay-pantay (3+5)−4=3+(5−4) ay totoo.

Pagkatapos pag-aralan ang mga resulta na nakuha sa paglutas ng mga nakaraang halimbawa, maaari naming bumalangkas ng pag-aari ng pagbabawas ng isang ibinigay na natural na numero mula sa isang ibinigay na kabuuan ng dalawang numero. Ang pagbabawas ng isang ibinigay na natural na numero mula sa isang ibinigay na kabuuan ng dalawang numero ay kapareho ng pagbabawas ng isang ibinigay na numero mula sa isa sa mga termino, at pagkatapos ay idagdag ang nagresultang pagkakaiba at isa pang termino. Dapat tandaan na HINDI dapat mas malaki ang ibinawas na numero kaysa sa termino kung saan ibinabawas ang numerong ito.

Isulat natin ang katangian ng pagbabawas ng natural na numero mula sa kabuuan gamit ang mga titik. Hayaang ang a , b at c ay ilang natural na numero. Pagkatapos, sa kondisyon na ang a ay mas malaki kaysa o katumbas ng c, pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay (a+b)−c=(a−c)+b, at sa ilalim ng kondisyon na ang b ay mas malaki sa o katumbas ng c , ang pagkakapantay-pantay (a+b)−c=a+(b−c). Kung ang parehong a at b ay mas malaki kaysa sa o katumbas ng c , ang parehong huling pagkakapantay-pantay ay totoo, at maaari silang isulat tulad ng sumusunod: (a+b)−c=(a−c)+b= a+(b−c) .

Sa pamamagitan ng pagkakatulad, ang isa ay maaaring bumalangkas ng pag-aari ng pagbabawas ng isang natural na numero mula sa kabuuan ng tatlo o higit pang mga numero. Sa kasong ito, ang natural na numerong ito ay maaaring ibawas mula sa anumang termino (siyempre, kung ito ay mas malaki kaysa o katumbas ng bilang na ibinabawas), at ang natitirang mga termino ay maaaring idagdag sa resultang pagkakaiba.

Upang mailarawan ang tininigan na ari-arian, maaari nating isipin na marami tayong bulsa, at naglalaman ang mga ito ng mga matatamis. Ipagpalagay na kailangan nating magbigay ng 1 kendi. Malinaw na maaari tayong magbigay ng 1 kendi mula sa anumang bulsa. Kasabay nito, hindi mahalaga kung aling bulsa ang ibibigay namin, dahil hindi ito nakakaapekto sa bilang ng mga matamis na natitira namin.

Kumuha tayo ng isang halimbawa. Hayaang ang a , b , c at d ay ilang natural na numero. Kung a>d o a=d , kung gayon ang pagkakaiba (a+b+c)−d ay katumbas ng kabuuan ng (a−d)+b+c . Kung b>d o b=d , kung gayon (a+b+c)−d=a+(b−d)+c . Kung c>d o c=d , kung gayon ang pagkakapantay-pantay (a+b+c)−d=a+b+(c−d) ay totoo.

Dapat pansinin na ang pag-aari ng pagbabawas ng isang natural na numero mula sa kabuuan ng tatlo o higit pang mga numero ay hindi isang bagong pag-aari, dahil ito ay sumusunod sa mga katangian ng pagdaragdag ng mga natural na numero at ang pag-aari ng pagbabawas ng isang numero mula sa kabuuan ng dalawang numero.

Bibliograpiya.

• Mathematics. Anumang mga aklat-aralin para sa mga baitang 1, 2, 3, 4 ng mga institusyong pang-edukasyon.
• Mathematics. Anumang mga aklat-aralin para sa 5 klase ng mga institusyong pang-edukasyon.

Mga integer

Ang mga numerong ginamit sa pagbibilang ay tinatawag natural na mga numero Numero sero hindi nalalapat sa mga natural na numero.

hindi malabo mga numero: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 Dobleng digit: 24.56, atbp. Tatlong digit: 348,569 atbp. polysemantic: 23,562,456789 atbp.

Ang paghahati ng isang numero sa mga pangkat ng 3 digit, simula sa kanan, ay tinatawag mga klase: ang unang tatlong digit ay ang klase ng mga yunit, ang susunod na tatlong digit ay ang klase ng libo-libo, pagkatapos ay milyon-milyon, atbp.

segment tawagan ang linyang iginuhit mula sa punto A hanggang sa punto B. Tumawag sa AB o BA A B Ang haba ng segment na AB ay tinatawag distansya sa pagitan ng mga puntos A at B.

Mga yunit ng haba:

1) 10 cm = 1 dm

2) 100 cm = 1 m

3) 1cm=10mm

4) 1 km = 1000 m

Eroplano ay isang ibabaw na walang mga gilid, na umaabot nang walang katapusan sa lahat ng direksyon. Diretso walang simula at walang katapusan. Dalawang linya na may isang karaniwang punto bumalandra. Ray- ito ay bahagi ng isang tuwid na linya na may simula at walang katapusan (OA at OB). Ang mga sinag kung saan nahahati ng isang punto ang isang linya ay tinatawag karagdagang isa't isa.

Coordinate beam:

0 1 2 3 4 5 6 O E A B X O(0), E(1), A(2), B(3) – mga coordinate ng punto. Sa dalawang natural na numero, ang tinatawag na mas maaga kapag nagbibilang ay mas maliit at ang isa na tinatawag na mamaya kapag nagbibilang ay mas malaki. Ang isa ay ang pinakamaliit na natural na numero. Ang resulta ng paghahambing ng dalawang numero ay isinulat bilang hindi pagkakapantay-pantay: 5< 8, 5670 >368. Ang bilang na 8 na mas mababa sa 28 at higit sa 5 ay maaaring isulat bilang dobleng hindi pagkakapantay-pantay: 5< 8 < 28

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga natural na numero

Dagdag

Ang mga numerong nagdaragdag ay tinatawag na mga termino. Ang resulta ng karagdagan ay tinatawag na kabuuan.

Mga katangian ng karagdagan:

1. Displacement property: Ang kabuuan ng mga numero ay hindi nagbabago kapag ang mga tuntunin ay muling inayos: a + b = b + a(a at b ay anumang natural na numero at 0) 2. Kaakibat na ari-arian: Upang idagdag ang kabuuan ng dalawang numero sa isang numero, maaari mo munang idagdag ang unang termino, at pagkatapos ay ang pangalawang termino sa resultang kabuuan: a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c(a, b at c ay anumang natural na mga numero at 0).

3. Pagdaragdag na may zero: Ang pagdaragdag ng zero ay hindi nagbabago ng numero:

a + 0 = 0 + a = a(a ay anumang natural na numero).

Ang kabuuan ng mga haba ng mga gilid ng isang polygon ay tinatawag ang perimeter ng polygon na ito.

Pagbabawas

Ang aksyon kung saan ang kabuuan at isa sa mga termino ay nakahanap ng isa pang termino ay tinatawag pagbabawas.

Ang bilang na ibawas ay tinatawag nabawasan, ang bilang na ibinabawas ay tinatawag mababawas, ang resulta ng pagbabawas ay tinatawag pagkakaiba. Ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang numero ay nagpapakita kung magkano una numero higit pa pangalawa o magkano pangalawa numero mas maliit una.

Mga katangian ng pagbabawas:

1. Ang pag-aari ng pagbabawas ng kabuuan mula sa isang numero: Upang ibawas ang kabuuan mula sa isang numero, maaari mo munang ibawas ang unang termino mula sa numerong ito, at pagkatapos ay ibawas ang pangalawang termino mula sa resultang pagkakaiba:

a - (b + c) = (a - b) -kasama= a – b –kasama(b + c > a o b + c = a).

2. Ang pag-aari ng pagbabawas ng isang numero mula sa isang kabuuan: Upang ibawas ang isang numero mula sa kabuuan, maaari mo itong ibawas sa isang termino, at magdagdag ng isa pang termino sa resultang pagkakaiba

(a + b) - c \u003d a + (b - c), kung kasama< b или с = b

(a + b) - c \u003d (a - c) + b, kung kasama< a или с = a.

3. Zero subtraction property: Kung ibawas mo ang zero sa isang numero, hindi ito magbabago:

a - 0 = a(a ay anumang natural na numero)

4. Ang pag-aari ng pagbabawas mula sa isang numero ng parehong numero: Kung ibawas mo ang numerong ito sa isang numero, makakakuha ka ng zero:

a - a = 0(a ay anumang natural na numero).

Numeric at alphabetic na expression

Ang mga talaan ng pagkilos ay tinatawag na mga numeric na expression. Ang bilang na nakuha bilang resulta ng pagsasagawa ng lahat ng mga pagkilos na ito ay tinatawag na halaga ng expression.

Pagpaparami at paghahati ng mga natural na numero

Pagpaparami ng mga natural na numero at mga katangian nito

Ang pagpaparami ng numerong m sa natural na bilang n ay nangangahulugan ng paghahanap ng kabuuan ng n termino, na ang bawat isa ay katumbas ng m.

Ang expression na m · n at ang halaga ng expression na ito ay tinatawag na produkto ng mga numerong m at n. Ang mga numerong m at n ay tinatawag na mga kadahilanan.

Mga Katangian ng Multiplikasyon:

1. Commutative property ng multiplication: Ang produkto ng dalawang numero ay hindi nagbabago kapag ang mga salik ay muling inayos:

a b = b a

2. Kaakibat na katangian ng pagpaparami: Upang i-multiply ang isang numero sa produkto ng dalawang numero, maaari mo muna itong i-multiply sa unang salik, at pagkatapos ay i-multiply ang resultang produkto sa pangalawang salik:

a (b c) = (a b) c.

3. Katangian ng multiplikasyon sa isa: Ang kabuuan ng n termino, na ang bawat isa ay katumbas ng 1, ay katumbas ng n:

1 n = n

4. Property ng multiplication sa zero: Ang kabuuan ng n terms, na ang bawat isa ay katumbas ng zero, ay katumbas ng zero:

0 n = 0

Maaaring tanggalin ang multiplication sign: 8 x = 8x,

o a b = ab,

o a (b + c) = a(b + c)

Dibisyon

Ang aksyon kung saan ang produkto at isa sa mga salik ay nakahanap ng isa pang salik ay tinatawag na dibisyon.

Ang bilang na hinahati ay tinatawag mahahati; ang bilang kung saan ito hinati ay tinatawag divider, ang resulta ng paghahati ay tinatawag pribado.

Ang quotient ay nagpapakita kung gaano karaming beses ang dibidendo ay mas malaki kaysa sa divisor.

Hindi mo maaaring hatiin sa zero!

Mga katangian ng dibisyon:

1. Kapag hinahati ang anumang numero sa 1, ang parehong numero ay nakuha:

a: 1 = a.

2. Kapag hinahati ang isang numero sa parehong numero, ang isang yunit ay nakuha:

a: a = 1.

3. Kapag hinati mo ang zero sa isang numero, makakakuha ka ng zero:

0: a = 0.

Upang mahanap ang hindi kilalang kadahilanan, kailangan mong hatiin ang produkto sa isa pang kadahilanan. 5x = 45 x = 45: 5 x = 9

Upang mahanap ang hindi kilalang dibidendo, kailangan mong i-multiply ang quotient sa divisor. x: 15 = 3 x = 3 15 x = 45

Upang mahanap ang hindi kilalang divisor, hatiin ang dibidendo sa quotient. 48: x = 4 x = 48: 4 x = 12

Dibisyon na may natitira

Ang natitira ay palaging mas mababa kaysa sa divisor.

Kung ang natitira ay zero, pagkatapos ay sinasabi namin na ang dibidendo ay mahahati ng divisor nang walang natitira o, kung hindi man, ganap. Upang mahanap ang dibidendo a kapag hinahati sa isang natitira, ito ay kinakailangan upang i-multiply ang hindi kumpletong quotient c sa divisor b at idagdag ang natitirang d sa resultang produkto.

a = c b + d

Pagpapasimple ng pagpapahayag

Mga katangian ng pagpaparami:

1. Distributive property ng multiplication na may kinalaman sa karagdagan: Upang i-multiply ang sum sa isang numero, maaari mong i-multiply ang bawat term sa numerong ito at idagdag ang mga resultang produkto:

(a + b)c = ac + bc.

2. Distributive property ng multiplication na may kinalaman sa subtraction: Upang i-multiply ang pagkakaiba sa isang numero, maaari mong i-multiply ang minuend at subtrahend sa numerong ito at ibawas ang pangalawa sa unang produkto:

(a - b)c \u003d ac - bc.

3a + 7a = (3 + 7)a = 10a

Pagkakasunud-sunod ng mga aksyon

Ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga numero ay tinatawag na mga aksyon ng unang hakbang, at ang pagpaparami at paghahati ng mga numero ay ang mga aksyon ng ikalawang hakbang.

Mga panuntunan para sa pagkakasunud-sunod ng mga aksyon:

1. Kung walang mga bracket sa expression at naglalaman ito ng mga aksyon ng isang yugto lamang, pagkatapos ay isagawa ang mga ito sa pagkakasunud-sunod mula kaliwa hanggang kanan.

2. Kung ang expression ay naglalaman ng mga aksyon ng una at pangalawang hakbang at walang mga bracket sa loob nito, kung gayon ang mga aksyon ng pangalawang hakbang ay unang gagawin, pagkatapos ay ang mga aksyon ng unang hakbang.

3. Kung ang expression ay naglalaman ng mga bracket, pagkatapos ay gawin muna ang mga aksyon sa mga bracket (isinasaalang-alang ang mga panuntunan 1 at 2)

Tinutukoy ng bawat expression ang programa ng pagkalkula nito. Ito ay binubuo ng mga utos.

Degree ng. Mga numerong parisukat at kubo

Ang isang produkto kung saan ang lahat ng mga kadahilanan ay pantay sa bawat isa ay nakasulat na mas maikli: a · a · a · a · a · a = a6 Basahin: a hanggang sa ikaanim na kapangyarihan. Ang numero a ay tinatawag na base ng degree, ang numero 6 ay ang exponent, at ang expression na a6 ay tinatawag na degree.

Ang produkto ng n at n ay tinatawag na parisukat ng n at ipinapahiwatig ng n2 (en squared):

n2 = n n

Ang produkto n n n ay tinatawag na cube ng numero n at ipinapahiwatig ng n3 (en cubed): n3 = n n n

Ang unang kapangyarihan ng isang numero ay katumbas ng numero mismo. Kung ang numerical expression ay may kasamang mga kapangyarihan ng mga numero, ang kanilang mga halaga ay kinakalkula bago magsagawa ng iba pang mga aksyon.

Mga lugar at volume

Ang pagsulat ng tuntunin gamit ang mga titik ay tinatawag na pormula. Formula ng landas:

s = vt, kung saan ang s ay ang landas, v ay ang bilis, t ay ang oras.

v=s:t

t=s:v

parisukat. Ang formula para sa lugar ng isang parihaba.

Upang mahanap ang lugar ng isang parihaba, i-multiply ang haba nito sa lapad nito. S=ab, kung saan ang S ay ang lugar, ang a ay ang haba, ang b ay ang lapad

Ang dalawang figure ay tinatawag na pantay-pantay kung ang isa sa mga ito ay maipapatong sa pangalawa upang ang mga figure na ito ay magkasabay. Ang mga lugar ng pantay na mga numero ay pantay. Ang mga perimeter ng magkaparehong mga numero ay pantay.

Ang lugar ng buong figure ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga bahagi nito. Ang lugar ng bawat tatsulok ay kalahati ng lugar ng buong parihaba.

parisukat ay isang parihaba na may pantay na panig.

Ang lugar ng isang parisukat ay katumbas ng parisukat ng gilid nito:

Mga yunit ng lugar

Square millimeter - mm2

Square centimeter - cm2

Square decimeter - dm2

metro kuwadrado -m2

kilometro kuwadrado - km2

Ang mga patlang ay sinusukat sa ektarya (ha). Ang isang ektarya ay ang lugar ng isang parisukat na may gilid na 100 m.

Ang mga lugar ng maliliit na kapirasong lupa ay sinusukat sa ares (a).

Ar (paghahabi) - ang lugar ng isang parisukat na may gilid na 10 m.

1 ha = 10,000 m2

1 dm2 = 100 cm2

1 m2 = 100 dm2 = 10,000 cm2

Kung ang haba at lapad ng rektanggulo ay sinusukat sa iba't ibang mga yunit, dapat silang ipahayag sa parehong mga yunit upang makalkula ang lugar.

kuboid

Ang ibabaw ng isang cuboid ay binubuo ng 6 na parihaba, na ang bawat isa ay tinatawag na mukha.

Ang magkasalungat na mukha ng isang kuboid ay pantay.

Ang mga gilid ng mga mukha ay tinatawag parallelepiped na mga gilid, at ang mga taluktok ng mga mukha ang mga vertex ng parallelepiped.

Ang isang cuboid ay may 12 gilid at 8 vertices.

Ang isang cuboid ay may tatlong sukat na haba, lapad at taas

Cube ay isang parihabang parallelepiped na may parehong sukat. Ang ibabaw ng isang kubo ay binubuo ng 6 na pantay na parisukat.

Dami ng isang cuboid: Upang mahanap ang volume ng isang cuboid, i-multiply ang haba nito sa lapad nito sa taas nito.

V=abc, V - dami, isang haba, b - lapad, c - taas

Dami ng kubo:

Mga unit ng volume:

Kubiko milimetro - mm3

Kubiko sentimetro - cm3

Cubic decimeter - dm3

Kubiko metro - mm3

Kubiko kilometro - km3

1 m3 = 1000 dm3 = 1000 l

1 l = 1 dm3 = 1000 cm3

1 cm3 = 1000 mm3 1 km3 = 1,000,000,000 m3

Bilog at bilog

Ang isang saradong linya na nasa parehong distansya mula sa isang naibigay na punto ay tinatawag na isang bilog.

Ang bahagi ng eroplano na nasa loob ng bilog ay tinatawag na bilog.

Ang puntong ito ay tinatawag na sentro ng parehong bilog at bilog.

Ang isang segment ng linya na nag-uugnay sa gitna ng bilog sa anumang punto sa bilog ay tinatawag radius ng bilog.

Ang isang segment ng linya na nagsasama ng dalawang punto sa isang bilog at dumadaan sa gitna nito ay tinatawag diameter ng bilog.

Ang diameter ay katumbas ng dalawang radii.

Ang ilang mga resulta na likas sa pagkilos na ito ay maaaring mapansin. Ang mga resultang ito ay tinatawag mga katangian ng pagdaragdag ng mga natural na numero. Sa artikulong ito, susuriin namin nang detalyado ang mga katangian ng pagdaragdag ng mga natural na numero, isulat ang mga ito gamit ang mga titik at magbigay ng mga paliwanag na halimbawa.

Pag-navigate sa pahina.

Kaugnay na pag-aari ng pagdaragdag ng mga natural na numero.

Ngayon ay nagbibigay kami ng isang halimbawa na naglalarawan ng nauugnay na pag-aari ng pagdaragdag ng mga natural na numero.

Isipin ang isang sitwasyon: 1 mansanas ang nahulog mula sa unang puno ng mansanas, at 2 mansanas at 4 pang mansanas ang nahulog mula sa pangalawang puno ng mansanas. At ngayon isaalang-alang ang sumusunod na sitwasyon: 1 mansanas at 2 pang mansanas ang nahulog mula sa unang puno ng mansanas, at 4 na mansanas ang nahulog mula sa pangalawang puno ng mansanas. Malinaw na ang parehong bilang ng mga mansanas ay nasa lupa sa una at pangalawang mga kaso (na maaaring ma-verify sa pamamagitan ng muling pagkalkula). Iyon ay, ang resulta ng pagdaragdag ng numero 1 sa kabuuan ng mga numero 2 at 4 ay katumbas ng resulta ng pagdaragdag ng kabuuan ng mga numero 1 at 2 sa numero 4.

Ang isinasaalang-alang na halimbawa ay nagbibigay-daan sa amin na bumalangkas ng nauugnay na pag-aari ng pagdaragdag ng mga natural na numero: upang magdagdag ng isang naibigay na kabuuan ng dalawang numero sa isang ibinigay na numero, maaari mong idagdag ang unang termino ng kabuuan na ito sa numerong ito at idagdag ang pangalawang termino ng ang kabuuan na ito sa resultang nakuha. Maaaring isulat ang property na ito gamit ang mga letrang tulad nito: a+(b+c)=(a+b)+c, kung saan ang a , b at c ay mga arbitrary na natural na numero.

Pakitandaan na sa pagkakapantay-pantay na a+(b+c)=(a+b)+c ay may mga panaklong "(" at ")". Ang mga panaklong ay ginagamit sa mga expression upang ipahiwatig ang pagkakasunud-sunod kung saan isinasagawa ang mga aksyon - ang mga aksyon sa mga bracket ay unang ginanap (higit pa tungkol dito sa seksyon). Sa madaling salita, ang mga bracket ay naglalagay ng mga expression na ang mga halaga ay unang sinusuri.

Sa pagtatapos ng talatang ito, tandaan namin na ang nag-uugnay na pag-aari ng karagdagan ay nagbibigay-daan sa amin na natatanging matukoy ang pagdaragdag ng tatlo, apat at higit pang mga natural na numero.

Ang pag-aari ng pagdaragdag ng zero at isang natural na numero, ang pag-aari ng pagdaragdag ng zero sa zero.

Alam namin na ang zero ay HINDI isang natural na numero. Kaya bakit kami nagpasya na isaalang-alang ang pagdaragdag ng pag-aari ng zero at isang natural na numero sa artikulong ito? May tatlong dahilan para dito. Una: ginagamit ang property na ito kapag nagdaragdag ng mga natural na numero sa isang column. Pangalawa: ginagamit ang property na ito kapag binabawasan ang mga natural na numero. Ikatlo: kung isasaalang-alang natin na ang zero ay nangangahulugan ng kawalan ng isang bagay, kung gayon ang kahulugan ng pagdaragdag ng zero at isang natural na numero ay tumutugma sa kahulugan ng pagdaragdag ng dalawang natural na numero.

Isagawa natin ang pangangatwiran na tutulong sa atin na bumalangkas ng pagdaragdag ng katangian ng zero at isang natural na numero. Isipin na walang mga item sa kahon (sa madaling salita, mayroong 0 item sa kahon), at isang item ang inilalagay dito, kung saan ang a ay anumang natural na numero. Iyon ay, nagdagdag ng 0 at isang item. Ito ay malinaw na pagkatapos ng pagkilos na ito ay may mga item sa kahon. Samakatuwid, ang pagkakapantay-pantay na 0+a=a ay totoo.

Katulad nito, kung ang isang kahon ay naglalaman ng mga item at 0 mga item ang idinagdag dito (iyon ay, walang mga item na idinagdag), pagkatapos ng pagkilos na ito, isang item ang malalagay sa kahon. Kaya a+0=a .

Ngayon ay maaari nating sabihin ang pag-aari ng pagdaragdag ng zero at isang natural na numero: ang kabuuan ng dalawang numero, ang isa ay zero, ay katumbas ng pangalawang numero. Sa matematika, ang katangiang ito ay maaaring isulat bilang sumusunod na pagkakapantay-pantay: 0+a=a o a+0=a, kung saan ang a ay isang arbitrary na natural na numero.

Hiwalay, binibigyang-pansin namin ang katotohanan na kapag nagdaragdag ng natural na numero at zero, ang commutative property ng karagdagan ay nananatiling totoo, iyon ay, a+0=0+a .

Sa wakas, bumalangkas tayo ng zero-zero na pag-aari ng karagdagan (ito ay medyo halata at hindi nangangailangan ng mga karagdagang komento): ang kabuuan ng dalawang numero na ang bawat zero ay zero. I.e, 0+0=0 .

Ngayon ay oras na upang malaman kung paano ginaganap ang pagdaragdag ng mga natural na numero.

Bibliograpiya.

• Mathematics. Anumang mga aklat-aralin para sa mga baitang 1, 2, 3, 4 ng mga institusyong pang-edukasyon.
• Mathematics. Anumang mga aklat-aralin para sa 5 klase ng mga institusyong pang-edukasyon.