Ang pinakadakilang common divisor at ang least common multiple ay ang mga pangunahing konsepto ng arithmetic na nagbibigay-daan sa iyong madaling gumana sa mga ordinaryong fraction. LCM at kadalasang ginagamit upang mahanap ang karaniwang denominator ng ilang fraction.
Pangunahing konsepto
Ang divisor ng isang integer X ay isa pang integer Y kung saan ang X ay nahahati nang walang natitira. Halimbawa, ang divisor ng 4 ay 2, at ang 36 ay 4, 6, 9. Ang multiple ng integer X ay isang numerong Y na nahahati sa X na walang natitira. Halimbawa, ang 3 ay isang multiple ng 15, at ang 6 ay isang multiple ng 12.
Para sa anumang pares ng mga numero, mahahanap natin ang kanilang mga karaniwang divisors at multiple. Halimbawa, para sa 6 at 9, ang common multiple ay 18, at ang common divisor ay 3. Malinaw, ang mga pares ay maaaring magkaroon ng ilang divisor at multiple, kaya ang pinakamalaking divisor ng GCD at ang pinakamaliit na multiple ng LCM ay ginagamit sa mga kalkulasyon .
Ang pinakamaliit na divisor ay hindi makatwiran, dahil para sa anumang numero ito ay palaging isa. Ang pinakamalaking maramihan ay wala ring kahulugan, dahil ang pagkakasunud-sunod ng mga maramihan ay may posibilidad na walang katapusan.
Paghahanap ng GCD
Mayroong maraming mga paraan para sa paghahanap ng pinakadakilang karaniwang divisor, ang pinakasikat sa mga ito ay:
- sunud-sunod na enumeration ng mga divisors, pagpili ng mga karaniwan para sa isang pares at hanapin ang pinakamalaki sa kanila;
- agnas ng mga numero sa hindi mahahati na mga kadahilanan;
- Euclid's algorithm;
- binary algorithm.
Ngayon, sa mga institusyong pang-edukasyon, ang pinakasikat na paraan ng agnas sa mga pangunahing kadahilanan at ang Euclidean algorithm. Ang huli, sa turn, ay ginagamit sa paglutas ng mga equation ng Diophantine: ang paghahanap para sa GCD ay kinakailangan upang suriin ang equation para sa posibilidad na malutas ito sa mga integer.
Paghahanap ng NOC
Ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ay eksaktong tinutukoy din ng umuulit na enumeration o factorization sa hindi mahahati na mga salik. Bilang karagdagan, madaling mahanap ang LCM kung ang pinakamalaking divisor ay natukoy na. Para sa mga numerong X at Y, ang LCM at GCD ay nauugnay sa sumusunod na relasyon:
LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).
Halimbawa, kung ang gcd(15,18) = 3, kung gayon ang LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Ang pinaka-halatang paggamit ng LCM ay upang mahanap ang common denominator, na siyang pinakamaliit na common multiple ng binigay na mga fraction.
Mga numero ng koprime
Kung ang isang pares ng mga numero ay walang karaniwang divisors, kung gayon ang naturang pares ay tinatawag na coprime. Ang GCM para sa mga naturang pares ay palaging katumbas ng isa, at batay sa koneksyon ng mga divisors at multiple, ang GCM para sa coprime ay katumbas ng kanilang produkto. Halimbawa, ang mga numerong 25 at 28 ay coprime, dahil wala silang karaniwang divisors, at LCM(25, 28) = 700, na tumutugma sa kanilang produkto. Anumang dalawang hindi mahahati na numero ay palaging magiging coprime.
Karaniwang Divisor at Maramihang Calculator
Sa aming calculator maaari mong kalkulahin ang GCD at LCM para sa anumang bilang ng mga numerong mapagpipilian. Ang mga gawain para sa pagkalkula ng mga karaniwang divisors at multiple ay matatagpuan sa aritmetika ng mga baitang 5 at 6, gayunpaman, ang GCD at LCM ay ang mga pangunahing konsepto ng matematika at ginagamit sa teorya ng numero, planimetry at communicative algebra.
Mga halimbawa sa totoong buhay
Common denominator ng mga fraction
Ginagamit ang least common multiple kapag hinahanap ang common denominator ng ilang fraction. Ipaalam sa isang problema sa aritmetika na kinakailangan na magsama ng 5 fraction:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Upang magdagdag ng mga fraction, ang expression ay dapat na bawasan sa isang karaniwang denominator, na binabawasan ang problema sa paghahanap ng LCM. Upang gawin ito, pumili ng 5 numero sa calculator at ipasok ang mga halaga ng denominator sa naaangkop na mga cell. Kakalkulahin ng programa ang LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Ngayon ay kailangan mong kalkulahin ang mga karagdagang salik para sa bawat fraction, na tinukoy bilang ratio ng LCM sa denominator. Kaya ang mga dagdag na multiplier ay magiging ganito:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Pagkatapos nito, i-multiply namin ang lahat ng mga fraction sa pamamagitan ng kaukulang karagdagang kadahilanan at makakuha ng:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Madali tayong magdagdag ng mga fraction at makuha ang resulta sa anyo ng 159/360. Binabawasan namin ang fraction ng 3 at makita ang huling sagot - 53/120.
Solusyon ng mga linear diophantine equation
Ang mga linear na Diophantine equation ay mga expression ng anyong ax + by = d. Kung ang ratio d / gcd(a, b) ay isang integer, kung gayon ang equation ay malulutas sa mga integer. Suriin natin ang ilang mga equation para sa posibilidad ng isang integer na solusyon. Una, suriin ang equation na 150x + 8y = 37. Gamit ang calculator, makikita natin ang gcd (150.8) = 2. Hatiin ang 37/2 = 18.5. Ang numero ay hindi isang integer, samakatuwid, ang equation ay walang mga integer na ugat.
Suriin natin ang equation na 1320x + 1760y = 10120. Gumamit ng calculator para mahanap ang gcd(1320, 1760) = 440. Hatiin ang 10120/440 = 23. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng integer, samakatuwid, ang Diophantine cosolveble infficient in ay .
Konklusyon
Ang GCD at LCM ay may mahalagang papel sa teorya ng numero, at ang mga konsepto mismo ay malawakang ginagamit sa iba't ibang larangan ng matematika. Gamitin ang aming calculator upang kalkulahin ang pinakamalaking divisors at pinakamaliit na multiple ng anumang bilang ng mga numero.
Kahulugan. Ang pinakamalaking natural na bilang kung saan ang mga numerong a at b ay nahahati nang walang natitira ay tinatawag pinakamalaking karaniwang divisor (gcd) ang mga numerong ito.
Hanapin natin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong 24 at 35.
Ang mga divisors ng 24 ay ang mga numerong 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, at ang mga divisors ng 35 ay ang mga numerong 1, 5, 7, 35.
Nakikita natin na ang mga numerong 24 at 35 ay mayroon lamang isang karaniwang divisor - ang numero 1. Ang mga naturang numero ay tinatawag coprime.
Kahulugan. Ang mga natural na numero ay tinatawag coprime kung ang kanilang pinakamalaking karaniwang divisor (gcd) ay 1.
Greatest Common Divisor (GCD) ay matatagpuan nang hindi isinusulat ang lahat ng mga divisors ng mga ibinigay na numero.
Ang pag-factor ng mga numero 48 at 36, nakukuha natin:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Mula sa mga salik na kasama sa pagpapalawak ng una sa mga numerong ito, tinatanggal namin ang mga hindi kasama sa pagpapalawak ng pangalawang numero (ibig sabihin, dalawang deuces).
Ang mga salik na 2 * 2 * 3 ay nananatili. Ang kanilang produkto ay 12. Ang numerong ito ay ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero 48 at 36. Ang pinakamalaking karaniwang divisor ng tatlo o higit pang mga numero ay matatagpuan din.
Hanapin pinakamalaking karaniwang divisor
2) mula sa mga kadahilanan na kasama sa pagpapalawak ng isa sa mga numerong ito, i-cross out ang mga hindi kasama sa pagpapalawak ng iba pang mga numero;
3) hanapin ang produkto ng natitirang mga kadahilanan.
Kung ang lahat ng ibinigay na numero ay nahahati sa isa sa kanila, ang numerong ito ay pinakamalaking karaniwang divisor binigay na mga numero.
Halimbawa, ang pinakamalaking karaniwang divisor ng 15, 45, 75, at 180 ay 15, dahil hinahati nito ang lahat ng iba pang numero: 45, 75, at 180.
Least common multiple (LCM)
Kahulugan. Least common multiple (LCM) Ang mga natural na numerong a at b ay ang pinakamaliit na natural na numero na isang multiple ng parehong a at b. Ang least common multiple (LCM) ng mga numerong 75 at 60 ay makikita nang hindi isinusulat ang mga multiple ng mga numerong ito nang sunud-sunod. Upang gawin ito, nabubulok namin ang 75 at 60 sa mga simpleng kadahilanan: 75 \u003d 3 * 5 * 5, at 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Isulat natin ang mga salik na kasama sa pagpapalawak ng una sa mga numerong ito, at idagdag sa kanila ang nawawalang mga salik 2 at 2 mula sa pagpapalawak ng pangalawang numero (iyon ay, pinagsama natin ang mga salik).
Nakukuha namin ang limang salik 2 * 2 * 3 * 5 * 5, ang produkto nito ay 300. Ang numerong ito ay ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong 75 at 60.
Hanapin din ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero.
Upang hanapin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ilang natural na numero, kailangan mo:
1) mabulok ang mga ito sa pangunahing mga kadahilanan;
2) isulat ang mga salik na kasama sa pagpapalawak ng isa sa mga numero;
3) idagdag sa kanila ang mga nawawalang salik mula sa pagpapalawak ng natitirang mga numero;
4) hanapin ang produkto ng mga nagresultang salik.
Tandaan na kung ang isa sa mga numerong ito ay nahahati sa lahat ng iba pang mga numero, ang numerong ito ay ang pinakamaliit na karaniwang multiple ng mga numerong ito.
Halimbawa, ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng 12, 15, 20, at 60 ay magiging 60, dahil nahahati ito sa lahat ng ibinigay na numero.
Pinag-aralan ni Pythagoras (VI siglo BC) at ng kanyang mga estudyante ang isyu ng divisibility of numbers. Isang numero na katumbas ng kabuuan ng lahat ng mga divisors nito (nang walang numero mismo), tinawag nila ang perpektong numero. Halimbawa, ang mga numero 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) ay perpekto. Ang susunod na perpektong numero ay 496, 8128, 33,550,336. Alam lamang ng mga Pythagorean ang unang tatlong perpektong numero. Ang ikaapat - 8128 - ay nakilala noong ika-1 siglo. n. e. Ang ikalima - 33 550 336 - ay natagpuan noong ika-15 siglo. Sa pamamagitan ng 1983, 27 perpektong numero ay kilala na. Ngunit hanggang ngayon, hindi alam ng mga siyentipiko kung mayroong kakaibang perpektong numero, kung mayroong pinakamalaking perpektong numero.
Ang interes ng mga sinaunang mathematician sa mga prime number ay dahil sa ang katunayan na ang anumang numero ay alinman sa prime o maaaring kinakatawan bilang isang produkto ng mga prime number, iyon ay, ang mga prime number ay tulad ng mga brick kung saan ang natitirang mga natural na numero ay binuo.
Marahil ay napansin mo na ang mga pangunahing numero sa serye ng mga natural na numero ay nangyayari nang hindi pantay - sa ilang bahagi ng serye ay mas marami sa kanila, sa iba - mas kaunti. Ngunit habang patuloy tayong gumagalaw sa serye ng numero, mas bihira ang mga pangunahing numero. Ang tanong ay lumitaw: mayroon ba ang huling (pinakamalaking) prime number? Ang sinaunang Griyegong matematiko na si Euclid (ika-3 siglo BC), sa kanyang aklat na "Mga Simula", na sa loob ng dalawang libong taon ay ang pangunahing aklat-aralin ng matematika, ay nagpatunay na mayroong walang hanggan na maraming prime number, iyon ay, sa likod ng bawat prime number ay mayroong isang even mas malaking prime number.
Upang makahanap ng mga prime number, isa pang Greek mathematician noong panahong iyon, si Eratosthenes, ang gumawa ng gayong pamamaraan. Isinulat niya ang lahat ng mga numero mula 1 hanggang sa ilang numero, at pagkatapos ay i-cross out ang unit, na hindi prime o composite na numero, pagkatapos ay i-cross out sa isa ang lahat ng mga numero pagkatapos ng 2 (mga numero na multiple ng 2, i.e. 4, 6, 8, atbp.). Ang unang natitirang numero pagkatapos ng 2 ay 3. Pagkatapos, pagkatapos ng dalawa, ang lahat ng mga numero pagkatapos ng 3 ay na-cross out (mga numero na multiple ng 3, i.e. 6, 9, 12, atbp.). sa huli, tanging ang mga prime number lang ang nananatiling uncross out.
Ang mga expression at gawain sa matematika ay nangangailangan ng maraming karagdagang kaalaman. Ang NOC ay isa sa mga pangunahing, lalo na madalas na ginagamit sa paksa. Ang paksa ay pinag-aaralan sa mataas na paaralan, habang ito ay hindi partikular na mahirap unawain ang materyal, hindi ito magiging mahirap para sa isang taong pamilyar sa mga kapangyarihan at ang multiplication table na pumili ang mga kinakailangang numero at hanapin ang resulta.
Kahulugan
Ang common multiple ay isang numero na maaaring ganap na hatiin sa dalawang numero sa parehong oras (a at b). Kadalasan, ang numerong ito ay nakukuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng orihinal na mga numerong a at b. Ang numero ay dapat na mahahati ng parehong mga numero nang sabay-sabay, nang walang mga paglihis.
Ang NOC ay isang maikling pangalan, na kinuha mula sa mga unang titik.
Mga paraan para makakuha ng numero
Upang mahanap ang LCM, ang paraan ng pagpaparami ng mga numero ay hindi palaging angkop, ito ay mas angkop para sa simpleng isang-digit o dalawang-digit na mga numero. Ito ay kaugalian na hatiin sa mga kadahilanan, kung mas malaki ang bilang, mas maraming mga kadahilanan ang magkakaroon.
Halimbawa #1
Para sa pinakasimpleng halimbawa, ang mga paaralan ay karaniwang kumukuha ng simple, isang-digit o dalawang-digit na mga numero. Halimbawa, kailangan mong lutasin ang sumusunod na gawain, hanapin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numero 7 at 3, ang solusyon ay medyo simple, i-multiply lamang ang mga ito. Bilang isang resulta, mayroong numero 21, walang mas maliit na numero.
Halimbawa #2
Ang pangalawang pagpipilian ay mas mahirap. Ang mga numerong 300 at 1260 ay ibinigay, ang paghahanap ng LCM ay sapilitan. Upang malutas ang gawain, ang mga sumusunod na aksyon ay ipinapalagay:
Decomposition ng una at pangalawang numero sa pinakasimpleng mga kadahilanan. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Nakumpleto na ang unang yugto.
Ang ikalawang yugto ay nagsasangkot ng pagtatrabaho sa nakuha na data. Ang bawat isa sa mga natanggap na numero ay dapat lumahok sa pagkalkula ng huling resulta. Para sa bawat salik, ang pinakamalaking bilang ng mga paglitaw ay kinuha mula sa mga orihinal na numero. Ang LCM ay isang karaniwang numero, kaya ang mga salik mula sa mga numero ay dapat na ulitin dito hanggang sa huli, kahit na ang mga naroroon sa isang pagkakataon. Ang parehong mga paunang numero ay nasa kanilang komposisyon ang mga numero 2, 3 at 5, sa magkaibang antas, 7 ay nasa isang kaso lamang.
Upang kalkulahin ang huling resulta, kailangan mong kunin ang bawat numero sa pinakamalaki sa kanilang kinakatawan na kapangyarihan, sa equation. Ito ay nananatiling lamang upang dumami at makuha ang sagot, na may tamang pagpuno, ang gawain ay umaangkop sa dalawang hakbang nang walang paliwanag:
1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.
2) NOK = 6300.
Iyon ang buong gawain, kung susubukan mong kalkulahin ang nais na numero sa pamamagitan ng pagpaparami, kung gayon ang sagot ay tiyak na hindi tama, dahil 300 * 1260 = 378,000.
Pagsusuri:
6300 / 300 = 21 - totoo;
6300 / 1260 = 5 ang tama.
Ang katumpakan ng resulta ay tinutukoy sa pamamagitan ng pagsuri - paghahati sa LCM sa parehong orihinal na mga numero, kung ang numero ay isang integer sa parehong mga kaso, kung gayon ang sagot ay tama.
Ano ang ibig sabihin ng NOC sa matematika
Tulad ng alam mo, walang isang walang silbi na pag-andar sa matematika, ang isang ito ay walang pagbubukod. Ang pinakakaraniwang layunin ng numerong ito ay magdala ng mga fraction sa isang common denominator. Ano ang karaniwang pinag-aaralan sa grade 5-6 ng high school. Ito rin ay isang pangkaraniwang divisor para sa lahat ng multiple, kung ang mga ganitong kundisyon ay nasa problema. Ang ganitong expression ay makakahanap ng maramihang hindi lamang ng dalawang numero, kundi pati na rin ng mas malaking numero - tatlo, lima, at iba pa. Ang mas maraming mga numero - mas maraming mga aksyon sa gawain, ngunit ang pagiging kumplikado nito ay hindi tumataas.
Halimbawa, ibinigay ang mga numerong 250, 600 at 1500, kailangan mong hanapin ang kanilang kabuuang LCM:
1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - ang halimbawang ito ay naglalarawan ng factorization nang detalyado, nang walang pagbabawas.
2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;
3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;
Upang makabuo ng isang expression, kinakailangang banggitin ang lahat ng mga kadahilanan, sa kasong ito 2, 5, 3 ay ibinigay - para sa lahat ng mga numerong ito ay kinakailangan upang matukoy ang pinakamataas na antas.
Pansin: ang lahat ng multiplier ay dapat dalhin sa ganap na pagpapasimple, kung maaari, nabubulok sa antas ng mga solong digit.
Pagsusuri:
1) 3000 / 250 = 12 - totoo;
2) 3000 / 600 = 5 - totoo;
3) 3000 / 1500 = 2 ang tama.
Ang pamamaraang ito ay hindi nangangailangan ng anumang mga trick o kakayahan sa antas ng henyo, lahat ay simple at malinaw.
Ibang paraan
Sa matematika, maraming konektado, marami ang maaaring malutas sa dalawa o higit pang mga paraan, ganoon din ang paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang, LCM. Ang sumusunod na paraan ay maaaring gamitin sa kaso ng simpleng dalawang-digit at solong-digit na mga numero. Ang isang talahanayan ay pinagsama-sama kung saan ang multiplier ay ipinasok patayo, ang multiplier nang pahalang, at ang produkto ay ipinahiwatig sa intersecting na mga cell ng column. Maaari mong ipakita ang talahanayan sa pamamagitan ng isang linya, ang isang numero ay kinuha at ang mga resulta ng pagpaparami ng numerong ito sa pamamagitan ng mga integer ay nakasulat sa isang hilera, mula 1 hanggang infinity, minsan 3-5 puntos ay sapat, ang pangalawa at kasunod na mga numero ay sumasailalim. sa parehong proseso ng computational. Nangyayari ang lahat hanggang sa matagpuan ang isang common multiple.
Dahil sa mga numerong 30, 35, 42, kailangan mong hanapin ang LCM na nag-uugnay sa lahat ng numero:
1) Multiple ng 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, atbp.
2) Multiple ng 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, atbp.
3) Multiple ng 42: 84, 126, 168, 210, 252, atbp.
Kapansin-pansin na ang lahat ng mga numero ay medyo naiiba, ang karaniwang bilang lamang sa kanila ay 210, kaya ito ang magiging LCM. Kabilang sa mga proseso na nauugnay sa pagkalkula na ito, mayroon ding pinakadakilang karaniwang divisor, na kinakalkula ayon sa magkatulad na mga prinsipyo at madalas na nakatagpo sa mga kalapit na problema. Ang pagkakaiba ay maliit, ngunit sapat na makabuluhan, ang LCM ay nagsasangkot ng pagkalkula ng isang numero na nahahati sa lahat ng ibinigay na mga paunang halaga, at ipinapalagay ng GCD ang pagkalkula ng pinakamalaking halaga kung saan hinahati ang mga unang numero.
Pinakamahusay na Common Divisor
Kahulugan 2
Kung ang isang natural na numerong a ay nahahati sa natural na bilang na $b$, kung gayon ang $b$ ay tinatawag na divisor ng $a$, at ang bilang na $a$ ay tinatawag na multiple ng $b$.
Hayaang maging natural na mga numero ang $a$ at $b$. Ang numerong $c$ ay tinatawag na karaniwang divisor para sa parehong $a$ at $b$.
Ang hanay ng mga karaniwang divisors ng mga numerong $a$ at $b$ ay may hangganan, dahil wala sa mga divisors na ito ang maaaring mas malaki sa $a$. Nangangahulugan ito na sa mga divisor na ito ay mayroong pinakamalaki, na tinatawag na pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong $a$ at $b$, at ang notasyon ay ginagamit upang tukuyin ito:
$gcd \ (a;b) \ o \ D \ (a;b)$
Upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numero:
- Hanapin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na pinakamalaking karaniwang divisor.
Halimbawa 1
Hanapin ang gcd ng mga numerong $121$ at $132.$
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Piliin ang mga numerong kasama sa pagpapalawak ng mga numerong ito
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Hanapin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na pinakamalaking karaniwang divisor.
$gcd=2\cdot 11=22$
Halimbawa 2
Hanapin ang GCD ng mga monomial na $63$ at $81$.
Mahahanap namin ayon sa ipinakita na algorithm. Para dito:
I-decompose natin ang mga numero sa prime factors
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Pinipili namin ang mga numero na kasama sa pagpapalawak ng mga numerong ito
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Hanapin natin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang gustong pinakamalaking karaniwang divisor.
$gcd=3\cdot 3=9$
Mahahanap mo ang GCD ng dalawang numero sa ibang paraan, gamit ang hanay ng mga divisors ng mga numero.
Halimbawa 3
Hanapin ang gcd ng mga numerong $48$ at $60$.
Desisyon:
Hanapin ang hanay ng mga divisors na $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Ngayon hanapin natin ang hanay ng mga divisors na $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$
Hanapin natin ang intersection ng mga set na ito: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - tutukuyin ng set na ito ang set ng mga common divisors ng mga numero $48$ at $60 $. Ang pinakamalaking elemento sa set na ito ay ang bilang na $12$. Kaya ang pinakamalaking karaniwang divisor ng $48$ at $60$ ay $12$.
Kahulugan ng NOC
Kahulugan 3
karaniwang maramihan ng mga natural na numero Ang $a$ at $b$ ay isang natural na numero na isang multiple ng parehong $a$ at $b$.
Ang mga karaniwang multiple ng mga numero ay mga numero na nahahati sa orihinal na walang nalalabi. Halimbawa, para sa mga numerong $25$ at $50$, ang mga karaniwang multiple ay ang mga numerong $50,100,150,200$, atbp.
Ang least common multiple ay tatawagin na least common multiple at tinutukoy ng LCM$(a;b)$ o K$(a;b).$
Upang mahanap ang LCM ng dalawang numero, kailangan mo:
- I-decompose ang mga numero sa prime factor
- Isulat ang mga salik na bahagi ng unang numero at idagdag sa kanila ang mga salik na bahagi ng pangalawa at huwag pumunta sa una
Halimbawa 4
Hanapin ang LCM ng mga numerong $99$ at $77$.
Mahahanap namin ayon sa ipinakita na algorithm. Para dito
I-decompose ang mga numero sa prime factor
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Isulat ang mga salik na kasama sa una
idagdag sa kanila ang mga salik na bahagi ng pangalawa at huwag pumunta sa una
Hanapin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na hindi bababa sa karaniwang maramihang
$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Ang pag-compile ng mga listahan ng mga divisors ng mga numero ay kadalasang napakatagal. Mayroong isang paraan upang mahanap ang GCD na tinatawag na Euclid's algorithm.
Mga pahayag kung saan nakabatay ang algorithm ni Euclid:
Kung ang $a$ at $b$ ay mga natural na numero, at $a\vdots b$, kung gayon ang $D(a;b)=b$
Kung ang $a$ at $b$ ay mga natural na numero tulad ng $b
Gamit ang $D(a;b)= D(a-b;b)$, maaari naming sunud-sunod na bawasan ang mga numerong isinasaalang-alang hanggang sa maabot namin ang isang pares ng mga numero upang ang isa sa mga ito ay mahahati ng isa. Kung gayon ang mas maliit sa mga numerong ito ay ang nais na pinakamalaking karaniwang divisor para sa mga numerong $a$ at $b$.
Mga katangian ng GCD at LCM
- Anumang common multiple ng $a$ at $b$ ay nahahati ng K$(a;b)$
- Kung $a\vdots b$ , kung gayon K$(a;b)=a$
Kung K$(a;b)=k$ at $m$-natural na numero, kung gayon ang K$(am;bm)=km$
Kung ang $d$ ay karaniwang divisor para sa $a$ at $b$, kung gayon ang K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
Kung ang $a\vdots c$ at $b\vdots c$ , ang $\frac(ab)(c)$ ay isang common multiple ng $a$ at $b$
Para sa anumang natural na bilang na $a$ at $b$ ang pagkakapantay-pantay
$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$
Anumang karaniwang divisor ng $a$ at $b$ ay isang divisor ng $D(a;b)$
Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang numero ay direktang nauugnay sa pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong iyon. Ito link sa pagitan ng GCD at NOC ay tinukoy ng sumusunod na teorama.
Teorama.
Ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng dalawang positibong integer a at b ay katumbas ng produkto ng mga numerong a at b na hinati ng pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong a at b , iyon ay, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b).
Patunay.
Hayaan Ang M ay ilang multiple ng mga numerong a at b. Ibig sabihin, ang M ay nahahati ng a, at sa pamamagitan ng kahulugan ng divisibility, mayroong ilang integer k na ang pagkakapantay-pantay na M=a·k ay totoo. Ngunit ang M ay nahahati din ng b, pagkatapos ang isang k ay nahahati ng b.
Tukuyin ang gcd(a, b) bilang d . Pagkatapos ay maaari nating isulat ang mga pagkakapantay-pantay na a=a 1 ·d at b=b 1 ·d, at ang a 1 =a:d at b 1 =b:d ay magiging coprime na mga numero. Samakatuwid, ang kundisyong nakuha sa nakaraang talata na ang a k ay nahahati ng b ay maaaring reformulated tulad ng sumusunod: a 1 d k ay nahahati ng b 1 d , at ito, dahil sa mga katangian ng divisibility, ay katumbas ng kondisyon na a 1 k ay nahahati sa b isa .
Kailangan din nating isulat ang dalawang mahalagang corollaries mula sa itinuturing na teorama.
Ang mga karaniwang multiple ng dalawang numero ay kapareho ng mga multiple ng kanilang hindi bababa sa karaniwang maramihang.
Totoo ito, dahil ang anumang karaniwang multiple ng M na numero a at b ay tinutukoy ng pagkakapantay-pantay na M=LCM(a, b) t para sa ilang integer value t .
Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng coprime positive na mga numerong a at b ay katumbas ng kanilang produkto.
Ang katwiran para sa katotohanang ito ay medyo halata. Dahil ang a at b ay coprime, kung gayon gcd(a, b)=1 , samakatuwid, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.
Hindi bababa sa karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero
Ang paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero ay maaaring bawasan sa sunud-sunod na paghahanap ng LCM ng dalawang numero. Kung paano ito ginagawa ay ipinahiwatig sa sumusunod na teorama: a 1 , a 2 , …, a k coincide with common multiples of numbers m k-1 at a k , samakatuwid, coincide with multiples of m k . At dahil ang hindi bababa sa positibong multiple ng numerong m k ay ang numerong m k mismo, kung gayon ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong a 1 , a 2 , …, a k ay m k .
Bibliograpiya.
- Vilenkin N.Ya. atbp. Matematika. Baitang 6: aklat-aralin para sa mga institusyong pang-edukasyon.
- Vinogradov I.M. Mga Batayan ng teorya ng numero.
- Mikhelovich Sh.Kh. Teorya ng numero.
- Kulikov L.Ya. at iba pa.Koleksyon ng mga suliranin sa algebra at teorya ng numero: Teksbuk para sa mga mag-aaral ng fiz.-mat. mga espesyalidad ng mga institusyong pedagogical.
