Mga linya ng pangalawang order.
Ellipse at ang canonical equation nito. Bilog

Pagkatapos ng masusing pag-aaral tuwid na linya sa eroplano patuloy nating pinag-aaralan ang geometry ng two-dimensional na mundo. Dinoble ang mga pusta at inaanyayahan ko kayong bisitahin ang nakamamanghang gallery ng mga ellipse, hyperbola, parabola, na karaniwang mga kinatawan ng pangalawang linya ng order. Nagsimula na ang paglilibot, at una, isang maikling impormasyon tungkol sa buong eksibisyon sa iba't ibang palapag ng museo:

Ang konsepto ng isang algebraic na linya at ang pagkakasunud-sunod nito

Ang isang linya sa isang eroplano ay tinatawag algebraic, kung nasa affine coordinate system ang equation nito ay may form , kung saan ay isang polynomial na binubuo ng mga termino ng form ( ay isang tunay na numero, ay mga hindi negatibong integer).

Gaya ng nakikita mo, ang equation ng isang algebraic na linya ay hindi naglalaman ng mga sine, cosine, logarithms, at iba pang functional beau monde. Tanging "x" at "y" sa integer na hindi negatibo degrees.

Pagkakasunod-sunod ng linya ay katumbas ng pinakamataas na halaga ng mga terminong kasama dito.

Ayon sa kaukulang teorama, ang konsepto ng isang algebraic na linya, pati na rin ang pagkakasunud-sunod nito, ay hindi nakasalalay sa pagpili. affine coordinate system, samakatuwid, para sa kadalian ng pagiging, isinasaalang-alang namin na ang lahat ng kasunod na mga kalkulasyon ay nagaganap sa Mga coordinate ng Cartesian.

Pangkalahatang Equation ang pangalawang-order na linya ay may form , kung saan ay mga di-makatwirang tunay na numero (kaugalian na magsulat gamit ang isang multiplier - "dalawa"), at ang mga coefficient ay hindi sabay na katumbas ng zero.

Kung , kung gayon ang equation ay pinapasimple sa , at kung ang mga coefficient ay hindi sabay-sabay na katumbas ng zero, kung gayon ito ay eksakto pangkalahatang equation ng isang "flat" na tuwid na linya, na kumakatawan sa unang linya ng order.

Marami ang naunawaan ang kahulugan ng mga bagong termino, ngunit, gayunpaman, upang 100% ma-assimilate ang materyal, idikit namin ang aming mga daliri sa socket. Upang matukoy ang pagkakasunud-sunod ng linya, ulitin lahat ng terms ang mga equation nito at para sa bawat isa sa kanila mahanap kabuuan ng mga kapangyarihan mga papasok na variable.

Halimbawa:

ang termino ay naglalaman ng "x" hanggang sa 1st degree;
ang termino ay naglalaman ng "Y" hanggang sa 1st degree;
walang mga variable sa termino, kaya ang kabuuan ng kanilang mga kapangyarihan ay zero.

Ngayon, alamin natin kung bakit itinatakda ng equation ang linya pangalawa order:

ang termino ay naglalaman ng "x" sa 2nd degree;
ang termino ay may kabuuan ng mga antas ng mga variable: 1 + 1 = 2;
ang termino ay naglalaman ng "y" sa 2nd degree;
lahat ng iba pang termino - mas mababa degree.

Pinakamataas na halaga: 2

Kung idaragdag natin sa ating equation, sabihin nating, , kung gayon matutukoy na nito ikatlong order line. Malinaw na ang pangkalahatang anyo ng 3rd order line equation ay naglalaman ng isang "kumpletong hanay" ng mga termino, ang kabuuan ng mga antas ng mga variable kung saan ay katumbas ng tatlo:
, kung saan ang mga coefficient ay hindi sabay na katumbas ng zero.

Sa kaganapan na ang isa o higit pang angkop na mga termino ay idinagdag na naglalaman ng , tapos pag-uusapan natin Ika-4 na linya ng order, atbp.

Kakailanganin nating harapin ang mga algebraic na linya ng ika-3, ika-4 at mas mataas na mga order nang higit sa isang beses, lalo na, kapag nakikilala ang polar coordinate system.

Gayunpaman, bumalik tayo sa pangkalahatang equation at alalahanin ang pinakasimpleng mga pagkakaiba-iba ng paaralan. Ang mga halimbawa ay ang parabola, na ang equation ay madaling mabawasan sa isang pangkalahatang anyo, at ang hyperbola na may katumbas na equation. Gayunpaman, hindi lahat ay napakakinis ....

Ang isang makabuluhang disbentaha ng pangkalahatang equation ay halos palaging hindi malinaw kung aling linya ang tinutukoy nito. Kahit na sa pinakasimpleng kaso, hindi mo agad malalaman na ito ay hyperbole. Ang ganitong mga layout ay mabuti lamang sa isang pagbabalatkayo, samakatuwid, sa kurso ng analytical geometry, ang isang karaniwang problema ay isinasaalang-alang pagbabawas ng 2nd order line equation sa canonical form.

Ano ang canonical form ng isang equation?

Ito ang karaniwang tinatanggap na karaniwang anyo ng equation, kapag sa loob ng ilang segundo ay naging malinaw kung anong geometric na bagay ang tinutukoy nito. Bilang karagdagan, ang canonical form ay napaka-maginhawa para sa paglutas ng maraming mga praktikal na problema. Kaya, halimbawa, ayon sa canonical equation "flat" tuwid, una, agad na malinaw na ito ay isang tuwid na linya, at pangalawa, ang puntong kabilang dito at ang vector ng direksyon ay nakikita lamang.

Malinaw, kahit ano 1st order line kumakatawan sa isang tuwid na linya. Sa ikalawang palapag, wala nang janitor na naghihintay sa amin, ngunit isang mas magkakaibang kumpanya ng siyam na estatwa:

Pag-uuri ng mga linya ng pangalawang order

Sa tulong ng isang espesyal na hanay ng mga aksyon, ang anumang second-order line equation ay binabawasan sa isa sa mga sumusunod na uri:

(at mga positibong tunay na numero)

1) ay ang canonical equation ng ellipse;

2) ay ang canonical equation ng hyperbola;

3) ay ang canonical equation ng parabola;

4) – haka-haka ellipse;

5) - isang pares ng mga intersecting na linya;

6) - mag-asawa haka-haka mga linyang intersecting (na may tanging tunay na punto ng intersection sa pinanggalingan);

7) - isang pares ng mga parallel na linya;

8) - mag-asawa haka-haka parallel na linya;

9) ay isang pares ng magkatulad na linya.

Ang ilang mga mambabasa ay maaaring makakuha ng impresyon na ang listahan ay hindi kumpleto. Halimbawa, sa talata bilang 7, itinatakda ng equation ang pares direkta, parallel sa axis, at ang tanong ay lumitaw: nasaan ang equation na tumutukoy sa mga linya na parallel sa y-axis? Sagot: ito hindi itinuturing na canon. Ang mga tuwid na linya ay kumakatawan sa parehong karaniwang kaso na pinaikot ng 90 degrees, at isang karagdagang entry sa pag-uuri ay kalabisan, dahil hindi ito nagdadala ng anumang panimula na bago.

Kaya, mayroong siyam at siyam lamang ang iba't ibang uri ng mga linya ng 2nd order, ngunit sa pagsasanay ang pinakakaraniwan ay ellipse, hyperbola at parabola.

Tingnan muna natin ang ellipse. Gaya ng dati, nakatuon ako sa mga puntong iyon na may malaking kahalagahan para sa paglutas ng mga problema, at kung kailangan mo ng detalyadong derivation ng mga formula, mga patunay ng theorems, mangyaring sumangguni, halimbawa, sa aklat-aralin ni Bazylev / Atanasyan o Aleksandrov.

Ellipse at ang canonical equation nito

Spelling ... mangyaring huwag ulitin ang mga pagkakamali ng ilang user ng Yandex na interesado sa "kung paano bumuo ng isang ellipse", "ang pagkakaiba sa pagitan ng isang ellipse at isang hugis-itlog" at "elebs eccentricity".

Ang canonical equation ng isang ellipse ay may anyo , kung saan ang mga positibong tunay na numero, at . Bubuo ako ng kahulugan ng isang ellipse sa ibang pagkakataon, ngunit sa ngayon ay oras na upang magpahinga mula sa pakikipag-usap at lutasin ang isang karaniwang problema:

Paano bumuo ng isang ellipse?

Oo, kunin mo at iguhit mo lang. Ang takdang-aralin ay karaniwan, at isang mahalagang bahagi ng mga mag-aaral ay hindi lubos na nakakayanan ang pagguhit:

Halimbawa 1

Bumuo ng isang ellipse na ibinigay ng equation

Desisyon: una naming dinadala ang equation sa canonical form:

Bakit nagdadala? Ang isa sa mga bentahe ng canonical equation ay pinapayagan ka nitong agad na matukoy ellipse vertex, na nasa mga punto . Madaling makita na ang mga coordinate ng bawat isa sa mga puntong ito ay nakakatugon sa equation.

Sa kasong ito:


Segment ng linya tinawag pangunahing axis ellipse;
segment ng linya – menor de edad axis;
numero tinawag semi-major axis ellipse;
numero – semi-minor na axis.
sa ating halimbawa: .

Upang mabilis na isipin kung ano ang hitsura nito o ang ellipse na iyon, tingnan lamang ang mga halaga ng "a" at "be" ng canonical equation nito.

Ang lahat ay maayos, maayos at maganda, ngunit mayroong isang caveat: Nakumpleto ko ang pagguhit gamit ang programa. At maaari kang gumuhit sa anumang application. Gayunpaman, sa malupit na katotohanan, isang checkered na piraso ng papel ang nakahiga sa mesa, at ang mga daga ay sumasayaw sa paligid ng aming mga kamay. Ang mga taong may talento sa sining, siyempre, ay maaaring makipagtalo, ngunit mayroon ka ring mga daga (kahit na mas maliit). Ito ay hindi walang kabuluhan na ang sangkatauhan ay nag-imbento ng isang pinuno, isang kumpas, isang protractor at iba pang mga simpleng aparato para sa pagguhit.

Para sa kadahilanang ito, malamang na hindi namin magagawang tumpak na gumuhit ng isang ellipse, alam lamang ang mga vertices. Okay pa rin, kung maliit ang ellipse, halimbawa, may mga semiax. Bilang kahalili, maaari mong bawasan ang sukat at, nang naaayon, ang mga sukat ng pagguhit. Ngunit sa pangkalahatang kaso ito ay lubos na kanais-nais na makahanap ng mga karagdagang puntos.

Mayroong dalawang diskarte sa pagbuo ng isang ellipse - geometric at algebraic. Hindi ko gusto ang pagbuo na may compass at ruler dahil sa maikling algorithm at ang makabuluhang kalat ng pagguhit. Sa kaso ng emerhensiya, mangyaring sumangguni sa aklat-aralin, ngunit sa katotohanan ay mas makatwiran ang paggamit ng mga tool ng algebra. Mula sa ellipse equation sa draft, mabilis naming ipinapahayag ang:

Ang equation ay nahahati sa dalawang function:
– tumutukoy sa itaas na arko ng ellipse;
– tumutukoy sa ibabang arko ng ellipse.

Ang ellipse na ibinigay ng canonical equation ay simetriko na may paggalang sa mga coordinate axes, pati na rin tungkol sa pinagmulan. At iyan ay mahusay - ang simetrya ay halos palaging isang tagapagbalita ng isang freebie. Malinaw, ito ay sapat na upang harapin ang 1st coordinate quarter, kaya kailangan namin ng isang function . Iminumungkahi nito ang paghahanap ng mga karagdagang puntos na may abscissas . Pinindot namin ang tatlong SMS sa calculator:

Siyempre, kaaya-aya din na kung ang isang malubhang pagkakamali ay ginawa sa mga kalkulasyon, pagkatapos ay agad itong magiging malinaw sa panahon ng pagtatayo.

Markahan ang mga puntos sa pagguhit (pula), simetriko na mga punto sa iba pang mga arko (asul) at maingat na ikonekta ang buong kumpanya sa isang linya:


Mas mainam na iguhit ang paunang sketch nang manipis at manipis, at pagkatapos ay ilapat ang presyon sa lapis. Ang resulta ay dapat na medyo disenteng ellipse. By the way, gusto mo bang malaman kung ano ang curve na ito?

Kahulugan ng isang ellipse. Ellipse foci at ellipse eccentricity

Ang isang ellipse ay isang espesyal na kaso ng isang hugis-itlog. Ang salitang "oval" ay hindi dapat unawain sa philistine sense ("ang bata ay gumuhit ng isang oval", atbp.). Ito ay isang mathematical term na may detalyadong formulation. Ang layunin ng araling ito ay hindi isaalang-alang ang teorya ng mga oval at ang iba't ibang uri nito, na halos hindi binibigyang pansin sa karaniwang kurso ng analytic geometry. At, alinsunod sa mas kasalukuyang mga pangangailangan, agad kaming pumunta sa mahigpit na kahulugan ng isang ellipse:

Ellipse- ito ang hanay ng lahat ng mga punto ng eroplano, ang kabuuan ng mga distansya sa bawat isa kung saan mula sa dalawang ibinigay na mga punto, na tinatawag na mga trick ellipse, ay isang pare-parehong halaga, ayon sa bilang na katumbas ng haba ng pangunahing axis ng ellipse na ito: .
Sa kasong ito, ang distansya sa pagitan ng foci ay mas mababa sa halagang ito: .

Ngayon ay magiging mas malinaw:

Isipin na ang asul na tuldok ay "nakasakay" sa isang ellipse. Kaya, kahit anong punto ng ellipse ang kunin natin, ang kabuuan ng mga haba ng mga segment ay palaging magiging pareho:

Siguraduhin natin na sa ating halimbawa ang halaga ng kabuuan ay talagang katumbas ng walo. Ilagay sa isip ang puntong "em" sa kanang tuktok ng ellipse, pagkatapos ay: , na kinakailangang suriin.

Ang isa pang paraan upang gumuhit ng isang ellipse ay batay sa kahulugan ng isang ellipse. Ang mas mataas na matematika, kung minsan, ay ang sanhi ng tensyon at stress, kaya oras na upang magkaroon ng isa pang sesyon ng pagbabawas. Mangyaring kumuha ng isang piraso ng papel o isang malaking sheet ng karton at i-pin ito sa mesa gamit ang dalawang pako. Ito ay magiging mga trick. Itali ang isang berdeng sinulid sa nakausli na mga ulo ng kuko at hilahin ito hanggang sa dulo gamit ang isang lapis. Ang leeg ng lapis ay nasa isang punto, na kabilang sa ellipse. Ngayon simulan upang gabayan ang lapis sa kabuuan ng sheet ng papel, pinapanatili ang berdeng sinulid masyadong mahigpit. Ipagpatuloy ang proseso hanggang sa bumalik ka sa panimulang punto ... mahusay ... ang pagguhit ay maaaring isumite para sa pag-verify ng doktor sa guro =)

Paano mahahanap ang pokus ng isang ellipse?

Sa halimbawa sa itaas, inilarawan ko ang "handa" na mga punto ng pokus, at ngayon ay matututunan natin kung paano kunin ang mga ito mula sa kailaliman ng geometry.

Kung ang ellipse ay ibinigay ng canonical equation , kung gayon ang foci nito ay may mga coordinate , saan iyon distansya mula sa bawat foci hanggang sa sentro ng simetrya ng ellipse.

Ang mga pagkalkula ay mas madali kaysa sa steamed turnips:

! Sa kahulugan na "ce" imposibleng makilala ang mga tiyak na coordinate ng mga trick! Uulitin ko, ito DISTANCE mula sa bawat pagtutok sa gitna(na sa pangkalahatang kaso ay hindi kailangang matatagpuan nang eksakto sa pinanggalingan).
At, samakatuwid, ang distansya sa pagitan ng foci ay hindi maaaring itali sa canonical na posisyon ng ellipse. Sa madaling salita, ang ellipse ay maaaring ilipat sa ibang lugar at ang halaga ay mananatiling hindi nagbabago, habang ang mga trick, siyempre, ay magbabago sa kanilang mga coordinate. Mangyaring tandaan ito habang ginalugad mo pa ang paksa.

Ang eccentricity ng isang ellipse at ang geometric na kahulugan nito

Ang eccentricity ng isang ellipse ay isang ratio na maaaring kumuha ng mga halaga sa loob ng .

Sa kaso natin:

Alamin natin kung paano nakadepende ang hugis ng isang ellipse sa eccentricity nito. Para dito ayusin ang kaliwa at kanang vertex ng ellipse na isinasaalang-alang, iyon ay, ang halaga ng semi-major axis ay mananatiling pare-pareho. Pagkatapos ang formula ng eccentricity ay kukuha ng anyo: .

Simulan nating tantiyahin ang halaga ng eccentricity sa pagkakaisa. Ito ay posible lamang kung . Ano ang ibig sabihin nito? ... pag-alala ng mga trick . Nangangahulugan ito na ang foci ng ellipse ay "magkakalat" kasama ang abscissa axis hanggang sa mga gilid ng gilid. At, dahil "ang berdeng mga segment ay hindi goma", ang ellipse ay tiyak na magsisimulang mag-flatten, na magiging mas payat at mas manipis na sausage na nakasabit sa axis.

kaya, mas malapit ang eccentricity ng ellipse sa isa, mas pahaba ang ellipse.

Ngayon, gayahin natin ang kabaligtaran na proseso: ang foci ng ellipse pumunta sa isa't isa, papalapit sa gitna. Nangangahulugan ito na ang halaga ng "ce" ay lumiliit at, nang naaayon, ang eccentricity ay may posibilidad na zero: .
Sa kasong ito, ang "berdeng mga segment", sa kabaligtaran, ay "magiging masikip" at magsisimula silang "itulak" ang linya ng ellipse pataas at pababa.

kaya, mas malapit ang eccentricity value sa zero, mas mukhang ellipse... tingnan ang nililimitahan na kaso, kapag ang foci ay matagumpay na muling pinagsama sa pinanggalingan:

Ang bilog ay isang espesyal na kaso ng isang ellipse

Sa katunayan, sa kaso ng pagkakapantay-pantay ng mga semiax, ang canonical equation ng ellipse ay kumukuha ng anyo, na reflexively transforms sa kilalang circle equation mula sa paaralan na may sentro sa pinagmulan ng radius "a".

Sa pagsasagawa, ang notasyon na may "pagsasalita" na titik "er" ay mas madalas na ginagamit:. Ang radius ay tinatawag na haba ng segment, habang ang bawat punto ng bilog ay inalis mula sa gitna sa pamamagitan ng distansya ng radius.

Tandaan na ang kahulugan ng isang ellipse ay nananatiling ganap na tama: ang foci ay tumugma, at ang kabuuan ng mga haba ng mga katugmang mga segment para sa bawat punto sa bilog ay isang pare-parehong halaga. Dahil ang distansya sa pagitan ng foci ay ang eccentricity ng anumang bilog ay zero.

Ang isang bilog ay binuo nang madali at mabilis, ito ay sapat na upang braso ang iyong sarili sa isang compass. Gayunpaman, kung minsan ay kinakailangan upang malaman ang mga coordinate ng ilan sa mga punto nito, sa kasong ito pumunta kami sa pamilyar na paraan - dinadala namin ang equation sa isang masayang anyo ng Matan:

ay ang function ng itaas na kalahating bilog;
ay ang function ng lower semicircle.

Pagkatapos ay nakita namin ang nais na mga halaga, naiba-iba, pagsamahin at gumawa ng iba pang magagandang bagay.

Ang artikulo, siyempre, ay para sa sanggunian lamang, ngunit paano mabubuhay ang isang tao nang walang pag-ibig sa mundo? Malikhaing gawain para sa independiyenteng solusyon

Halimbawa 2

Buuin ang canonical equation ng isang ellipse kung ang isa sa foci nito at ang semi-minor axis ay kilala (ang sentro ay nasa pinanggalingan). Maghanap ng mga vertex, karagdagang mga punto at gumuhit ng isang linya sa pagguhit. Kalkulahin ang eccentricity.

Solusyon at pagguhit sa pagtatapos ng aralin

Magdagdag tayo ng aksyon:

I-rotate at isalin ang isang ellipse

Bumalik tayo sa canonical equation ng ellipse, ibig sabihin, sa kondisyon, na ang bugtong nito ay nagpapahirap sa mga matanong na isipan mula noong unang pagbanggit ng kurba na ito. Dito ay isinasaalang-alang namin ang isang ellipse , ngunit sa pagsasanay ay hindi maaaring ang equation ? Pagkatapos ng lahat, dito, gayunpaman, ito ay parang isang ellipse din!

Ang ganitong equation ay bihira, ngunit ito ay dumating sa kabuuan. At ito ay tumutukoy sa isang ellipse. Iwaksi natin ang mistiko:

Bilang resulta ng pagtatayo, ang aming katutubong ellipse ay nakuha, pinaikot ng 90 degrees. I.e, - Ito non-canonical entry ellipse . Record!- ang equation ay hindi tumutukoy ng anumang iba pang ellipse, dahil walang mga punto (foci) sa axis na makakatugon sa kahulugan ng isang ellipse.

Magtatag tayo ng isang rectangular coordinate system sa eroplano at isaalang-alang ang pangkalahatang equation ng pangalawang degree

kung saan
.

Ang hanay ng lahat ng mga punto sa eroplano na ang mga coordinate ay nakakatugon sa equation (8.4.1) ay tinatawag baluktot (linya) pangalawang utos.

Para sa anumang curve ng pangalawang order, mayroong isang rectangular coordinate system, na tinatawag na canonical, kung saan ang equation ng curve na ito ay may isa sa mga sumusunod na anyo:

1)
(ellipse);

2)
(imaginary ellipse);

3)
(isang pares ng mga haka-haka na intersecting na linya);

4)
(hyperbola);

5)
(isang pares ng mga intersecting na linya);

6)
(parabola);

7)
(pares ng parallel na linya);

8)
(isang pares ng mga haka-haka na parallel na linya);

9)
(isang pares ng magkasabay na linya).

Ang mga equation 1)–9) ay tinatawag canonical equation ng mga curve ng pangalawang order.

Ang solusyon sa problema ng pagbabawas ng equation ng isang curve ng pangalawang order sa canonical form ay kinabibilangan ng paghahanap ng canonical equation ng curve at ang canonical coordinate system. Ang pagbawas sa canonical form ay nagpapahintulot sa iyo na kalkulahin ang mga parameter ng curve at matukoy ang lokasyon nito na nauugnay sa orihinal na sistema ng coordinate. Transition mula sa orihinal na rectangular coordinate system
sa canonical
ay isinasagawa sa pamamagitan ng pag-ikot ng mga axes ng orihinal na sistema ng coordinate sa paligid ng punto O sa isang tiyak na anggulo  at kasunod na parallel transfer ng coordinate system.

Curve invariants ng pangalawang order(8.4.1) ay tinatawag na mga naturang function ng mga coefficient ng equation nito, ang mga halaga nito ay hindi nagbabago kapag lumilipat mula sa isang rectangular coordinate system patungo sa isa pa ng parehong system.

Para sa isang kurba ng pangalawang pagkakasunud-sunod (8.4.1), ang kabuuan ng mga coefficient sa mga parisukat na coordinate

,

determinant na binubuo ng mga coefficient ng mga nangungunang termino

at third order determinant

ay mga invariant.

Ang halaga ng mga invariant na s, ,  ay maaaring gamitin upang matukoy ang uri at mabuo ang canonical equation ng isang second-order curve (Talahanayan 8.1).

Talahanayan 8.1

Pag-uuri ng mga second-order curve batay sa mga invariant

Tingnan natin ang ellipse, hyperbola, at parabola.

Ellipse(Larawan 8.1) ay ang locus ng mga punto sa eroplano kung saan ang kabuuan ng mga distansya sa dalawang nakapirming puntos
ang eroplanong ito, tinawag ellipse tricks, ay isang pare-parehong halaga (mas malaki kaysa sa distansya sa pagitan ng foci). Hindi nito ibinubukod ang pagkakataon ng foci ng ellipse. Kung ang foci ay pareho, kung gayon ang ellipse ay isang bilog.

Ang kalahating kabuuan ng mga distansya mula sa isang punto ng isang ellipse hanggang sa foci nito ay tinutukoy ng a, kalahati ng distansya sa pagitan ng foci - kasama. Kung ang rectangular coordinate system sa eroplano ay pinili upang ang ellipse ay tumutok sa axis Ox simetriko tungkol sa pinagmulan, pagkatapos ay sa coordinate system na ito ang ellipse ay ibinibigay ng equation

, (8.4.2)

tinawag ang canonical equation ng ellipse, saan
.

kanin. 8.1

Gamit ang tinukoy na pagpipilian ng isang rectangular coordinate system, ang ellipse ay simetriko tungkol sa mga coordinate axes at ang pinagmulan. Tinatawag ito ng mga axes ng symmetry ng isang ellipse mga palakol, at ang sentro ng simetrya ay ang gitna ng ellipse. Kasabay nito, ang mga numero 2 ay madalas na tinatawag na mga axes ng ellipse. a at 2 b, at ang mga numero a at b – malaki at semi-minor na axis ayon sa pagkakabanggit.

Ang mga punto ng intersection ng isang ellipse na may mga palakol nito ay tinatawag ang mga vertex ng ellipse. Ang mga vertice ng ellipse ay may mga coordinate ( a, 0), (–a, 0), (0, b), (0, –b).

Ellipse eccentricity tinawag ang isang numero

. (8.4.3)

Dahil 0  c < a, ellipse eccentricity 0  < 1, причем у окружности  = 0. Перепишем равенство (8.4.3) в виде

.

Ito ay nagpapakita na ang eccentricity ay nagpapakilala sa hugis ng ellipse: mas malapit sa  sa zero, mas mukhang bilog ang ellipse; habang tumataas ang , lalong humahaba ang ellipse.

Hayaan
ay isang arbitrary na punto ng ellipse,
at
- distansya mula sa punto M bago ang mga trick F 1 at F 2 ayon sa pagkakabanggit. Numero r 1 at r 2 ang tinatawag point focal radii M ellipse at kinakalkula ng mga formula

Mga punong-guro maliban sa bilog ellipse sa canonical equation (8.4.2) dalawang linya ang tinatawag

.

Ang mga directrix ng ellipse ay matatagpuan sa labas ng ellipse (Larawan 8.1).

Focal radius ratio puntosMellipse sa distansya  ng ellipse na ito (tinuturing na tumutugma ang focus at directrix kung matatagpuan ang mga ito sa parehong bahagi ng gitna ng ellipse).

Hyperbole(Fig. 8.2) ay ang locus ng mga punto ng eroplano kung saan ang modulus ng pagkakaiba sa mga distansya sa dalawang nakapirming puntos at ang eroplanong ito, tinawag foci ng hyperbole, ay isang pare-parehong halaga (hindi katumbas ng zero at mas mababa sa distansya sa pagitan ng foci).

Hayaang maging 2 ang distansya sa pagitan ng foci kasama, at ang tinukoy na modulus ng pagkakaiba ng distansya ay 2 a. Pinipili namin ang isang rectangular coordinate system sa parehong paraan tulad ng para sa isang ellipse. Sa coordinate system na ito, ang hyperbola ay ibinibigay ng equation

, (8.4.4)

tinawag ang canonical equation ng hyperbola, saan
.

kanin. 8.2

Sa ganitong pagpili ng isang rectangular coordinate system, ang mga coordinate axes ay ang mga axes ng symmetry ng hyperbola, at ang pinagmulan ng mga coordinate ay ang sentro ng symmetry nito. Ang mga axes ng symmetry ng isang hyperbola ay tinatawag mga palakol, at ang sentro ng simetrya ay ang sentro ng hyperbola. Parihaba na may 2 gilid a at 2 b, na matatagpuan tulad ng ipinapakita sa Fig. 8.2, tinatawag ang pangunahing parihaba ng isang hyperbola. Mga Numero 2 a at 2 b ay ang mga palakol ng hyperbola, at ang mga numero a at b- kanya mga axle shaft. Ang mga tuwid na linya, na isang pagpapatuloy ng mga diagonal ng pangunahing parihaba, ay nabuo hyperbola asymptotes

.

Mga punto ng intersection ng hyperbola na may axis baka tinawag vertex ng hyperbola. Ang mga vertex ng hyperbola ay may mga coordinate ( a, 0), (–a, 0).

Ang eccentricity ng isang hyperbola tinawag ang isang numero

. (8.4.5)

Sa abot ng kasama > a, ang eccentricity ng hyperbola  > 1. Isulat muli natin ang pagkakapantay-pantay (8.4.5) bilang

.

Ito ay nagpapakita na ang eccentricity ay nagpapakilala sa hugis ng pangunahing parihaba at, dahil dito, ang hugis ng hyperbola mismo: ang mas maliit , mas ang pangunahing parihaba ay pinalawak, at pagkatapos nito ang hyperbola mismo sa kahabaan ng axis baka.

Hayaan
ay isang arbitrary na punto ng hyperbola,
at
- distansya mula sa punto M bago ang mga trick F 1 at F 2 ayon sa pagkakabanggit. Numero r 1 at r 2 ang tinatawag point focal radii M hyperbole at kinakalkula ng mga formula

Mga punong-guro hyperbole na may canonical equation (8.4.4) dalawang linya ang tinatawag

.

Ang mga directrix ng hyperbola ay nagsalubong sa pangunahing rektanggulo at pumasa sa pagitan ng gitna at ng kaukulang vertex ng hyperbola (Larawan 8.2).

O ratio ng focal radius puntosM hyperbolas sa distansya mula sa puntong ito hanggang sa kaukulang pokus ang directrix ay katumbas ng eccentricity ang hyperbola na ito (tinuturing na tumutugma ang focus at directrix kung matatagpuan ang mga ito sa parehong bahagi ng gitna ng hyperbola).

parabola(Fig. 8.3) ay ang locus ng mga punto sa eroplano kung saan ang distansya sa ilang nakapirming punto F (pokus ng parabola) ng eroplanong ito ay katumbas ng distansya sa ilang nakapirming linya ( parabola directix), na matatagpuan din sa itinuturing na eroplano.

Piliin natin ang simula O rectangular coordinate system sa gitna ng segment [ FD], na isang patayo na bumaba mula sa focus F sa directrix (pinapalagay na ang focus ay hindi kabilang sa directrix), at ang mga axes baka at Oy direkta tulad ng ipinapakita sa Fig. 8.3. Hayaan ang haba ng segment [ FD] ay katumbas ng p. Pagkatapos ay sa napiling coordinate system
at canonical parabola equation may porma

. (8.4.6)

Halaga p tinawag parameter ng parabola.

Ang isang parabola ay may axis ng symmetry na tinatawag parabola axis. Ang punto ng intersection ng isang parabola na may axis nito ay tinatawag tuktok ng parabola. Kung ang parabola ay ibinigay ng canonical equation nito (8.4.6), kung gayon ang axis ng parabola ay ang axis baka. Malinaw, ang vertex ng parabola ay ang pinagmulan.

Halimbawa 1 Dot PERO= (2, –1) ay kabilang sa ellipse, ang punto F= (1, 0) ang pokus nito, katumbas ng F ang directrix ay ibinibigay ng equation
. Sumulat ng equation para sa ellipse na ito.

Desisyon. Ipagpalagay namin na ang sistema ng coordinate ay hugis-parihaba. Tapos ang layo mula sa punto PERO sa punong guro
alinsunod sa kaugnayan (8.1.8), kung saan


, katumbas

.

Distansya mula sa punto PERO upang ituon F katumbas

,

na nagpapahintulot sa iyo na matukoy ang eccentricity ng ellipse

.

Hayaan M = (x, y) ay isang arbitrary na punto ng ellipse. Tapos ang layo
mula sa punto M sa punong guro
ayon sa formula (8.1.8) ay katumbas ng

at ang layo mula sa punto M upang ituon F katumbas

.

Dahil para sa anumang punto ng tambilugan ang kaugnayan ay isang pare-parehong halaga na katumbas ng eccentricity ng ellipse, kaya mayroon tayo

,

Halimbawa 2 Ang curve ay ibinibigay ng equation

sa isang rectangular coordinate system. Hanapin ang canonical coordinate system at ang canonical equation ng curve na ito. Tukuyin ang uri ng kurba.

Desisyon. parisukat na anyo
may matrix

.

Ang katangiang polynomial nito

ay may mga ugat  1 = 4 at  2 = 9. Samakatuwid, sa isang orthonormal na batayan ng matrix eigenvectors PERO ang itinuturing na parisukat na anyo ay may kanonikal na anyo

.

Magpatuloy tayo sa pagbuo ng matrix ng orthogonal transformation ng mga variable, na binabawasan ang itinuturing na quadratic form sa tinukoy na canonical form. Upang gawin ito, gagawa kami ng mga pangunahing sistema ng mga solusyon ng mga homogenous na sistema ng mga equation
at i-orthonormalize ang mga ito.

Sa
ganito ang sistemang ito

Ang pangkalahatang solusyon nito ay
. Mayroong isang libreng variable dito. Samakatuwid, ang pangunahing sistema ng mga solusyon ay binubuo ng isang vector, halimbawa, ang vector
. Ang pag-normalize nito, nakukuha namin ang vector

.

Sa
gagawa din tayo ng vector

.

Mga vector at ay orthogonal na, dahil tumutukoy sila sa iba't ibang mga eigenvalues ​​ng simetriko matrix PERO. Binubuo nila ang canonical orthonormal na batayan ng ibinigay na quadratic form. Mula sa mga haligi ng kanilang mga coordinate, ang nais na orthogonal matrix (rotation matrix) ay binuo

.

Suriin ang kawastuhan ng paghahanap ng matrix R ayon sa pormula
, saan
ay isang matrix ng parisukat na anyo sa batayan
:

Matrix R natagpuan ng tama.

Gawin natin ang pagbabago ng mga variable

at isulat ang equation ng curve na ito sa bagong rectangular coordinate system na may lumang center at direction vectors
:

saan
.

Nakuha namin ang canonical equation ng ellipse

.

Dahil sa ang katunayan na ang nagresultang pagbabagong-anyo ng mga hugis-parihaba na coordinate ay tinutukoy ng mga formula

,

,

canonical coordinate system
may simula
at mga vector ng direksyon
.

Halimbawa 3 Gamit ang invariant theory, tukuyin ang uri at isulat ang canonical equation ng curve

Desisyon. Sa abot ng

,

alinsunod sa talahanayan. 8.1 napagpasyahan namin na ito ay isang hyperbole.

Dahil s = 0, ang katangiang polynomial ng matrix ng quadratic form

mga ugat nito
at
payagan kaming isulat ang canonical equation ng curve

saan Sa ay matatagpuan mula sa kondisyon

,

.

Ang nais na canonical equation ng curve

.

Sa mga problema ng seksyong ito, ang mga coordinatex, yipinapalagay na hugis-parihaba.

8.4.1. Para sa mga ellipse
at
hanapin:

a) kalahating baras;

b) mga trick;

c) eccentricity;

d) mga direktang equation.

8.4.2. Isulat ang mga equation ng isang ellipse, alam ang pokus nito
naaayon sa directrix x= 8 at eccentricity . Hanapin ang pangalawang focus at pangalawang directrix ng ellipse.

8.4.3. Sumulat ng equation para sa isang ellipse na ang foci ay (1, 0) at (0, 1) at ang pangunahing axis ay dalawa.

8.4.4. Ang hyperbole ni Dana
. Hanapin:

a) mga ehe a at b;

b) mga trick;

c) eccentricity;

d) asymptote equation;

e) mga equation ng directrix.

8.4.5. Ang hyperbole ni Dana
. Hanapin:

a) mga ehe a at b;

b) mga trick;

c) eccentricity;

d) asymptote equation;

e) mga equation ng directrix.

8.4.6. Dot
nabibilang sa isang hyperbola na ang pokus ay
, at ang kaukulang directrix ay ibinibigay ng equation
. Sumulat ng equation para sa hyperbola na ito.

8.4.7. Sumulat ng isang equation para sa isang parabola dahil sa pokus nito
at punong guro
.

8.4.8. Dahil sa vertex ng isang parabola
at ang directrix equation
. Sumulat ng isang equation para sa parabola na ito.

8.4.9. Sumulat ng isang equation para sa isang parabola na ang pokus ay nasa isang punto

at ang directrix ay ibinibigay ng equation
.

8.4.10. Sumulat ng equation para sa second-order curve, alam ang eccentricity nito
, focus
at ang kaukulang direktor
.

8.4.11. Tukuyin ang uri ng second-order curve, isulat ang canonical equation nito at hanapin ang canonical coordinate system:

G)
;

8.4.12.

ay isang ellipse. Hanapin ang mga haba ng semi-axes at ang eccentricity ng ellipse na ito, ang mga coordinate ng center at foci, isulat ang mga equation ng axes at directrixes.

8.4.13. Patunayan na ang second-order curve na ibinigay ng equation

ay isang hyperbole. Hanapin ang mga haba ng semi-axes at ang eccentricity ng hyperbola na ito, ang mga coordinate ng center at foci, isulat ang mga equation para sa mga axes, directrixes at asymptotes.

8.4.14. Patunayan na ang second-order curve na ibinigay ng equation

,

ay isang parabola. Hanapin ang parameter ng parabola na ito, ang mga coordinate ng vertices at focus, isulat ang mga equation para sa axis at directrix.

8.4.15. Dalhin ang bawat isa sa mga sumusunod na equation sa canonical form. Iguhit sa drawing ang kaukulang second-order curve na may kinalaman sa orihinal na rectangular coordinate system:

8.4.16. Gamit ang invariant theory, tukuyin ang uri at isulat ang canonical equation ng curve.

11.1. Pangunahing konsepto

Isaalang-alang ang mga linya na tinukoy ng mga equation ng pangalawang degree na may paggalang sa kasalukuyang mga coordinate

Ang mga coefficient ng equation ay mga tunay na numero, ngunit hindi bababa sa isa sa mga numerong A, B, o C ay hindi zero. Ang ganitong mga linya ay tinatawag na mga linya (curves) ng pangalawang order. Itatatag sa ibaba na ang equation (11.1) ay tumutukoy sa isang bilog, ellipse, hyperbola, o parabola sa eroplano. Bago magpatuloy sa assertion na ito, pag-aralan natin ang mga katangian ng enumerated curves.

11.2. Bilog

Ang pinakasimpleng curve ng pangalawang order ay isang bilog. Alalahanin na ang isang bilog ng radius R na nakasentro sa isang punto ay ang set ng lahat ng mga punto Μ ng eroplano na nakakatugon sa kondisyon. Hayaan ang isang punto sa isang hugis-parihaba na coordinate system ay may mga coordinate x 0, y 0 a - isang arbitrary na punto ng bilog (tingnan ang Fig. 48).

Pagkatapos ay mula sa kundisyon makuha namin ang equation

(11.2)

Ang equation (11.2) ay nasiyahan sa pamamagitan ng mga coordinate ng anumang punto sa ibinigay na bilog at hindi nasiyahan sa pamamagitan ng mga coordinate ng anumang punto na hindi nakahiga sa bilog.

Ang equation (11.2) ay tinatawag ang canonical equation ng bilog

Sa partikular, sa pag-aakalang at , nakukuha natin ang equation ng isang bilog na nakasentro sa pinanggalingan .

Ang bilog na equation (11.2) pagkatapos ng mga simpleng pagbabago ay kukuha ng anyong . Kapag inihambing ang equation na ito sa pangkalahatang equation (11.1) ng isang second-order curve, madaling makita na ang dalawang kundisyon ay nasiyahan para sa equation ng isang bilog:

1) ang mga coefficient sa x 2 at y 2 ay katumbas ng bawat isa;

2) walang miyembro na naglalaman ng xy product ng kasalukuyang coordinate.

Isaalang-alang natin ang kabaligtaran na problema. Ang paglalagay sa equation (11.1) ng mga halaga at , nakukuha namin

Ibahin natin ang equation na ito:

(11.4)

Kasunod nito na ang equation (11.3) ay tumutukoy sa isang bilog sa ilalim ng kundisyon . Ang sentro nito ay nasa punto , at ang radius

.

Kung , pagkatapos ay ang equation (11.3) ay may anyo

.

Ito ay nasiyahan sa pamamagitan ng mga coordinate ng isang solong punto . Sa kasong ito, sinasabi nila: "ang bilog ay bumagsak sa isang punto" (may zero radius).

Kung ang , pagkatapos ay ang equation (11.4), at samakatuwid ang katumbas na equation (11.3), ay hindi tutukoy ng anumang linya, dahil ang kanang bahagi ng equation (11.4) ay negatibo, at ang kaliwang bahagi ay hindi negatibo (sabihin: "imaginary circle").

11.3. Ellipse

Canonical equation ng isang ellipse

Ellipse ay ang hanay ng lahat ng mga punto ng eroplano, ang kabuuan ng mga distansya mula sa bawat isa sa kanila hanggang sa dalawang ibinigay na mga punto ng eroplanong ito, na tinatawag na mga trick , ay isang pare-parehong halaga na mas malaki kaysa sa distansya sa pagitan ng foci.

Tukuyin ang foci sa pamamagitan ng F1 at F2, ang distansya sa pagitan nila sa 2 c, at ang kabuuan ng mga distansya mula sa isang arbitrary na punto ng ellipse hanggang sa foci - hanggang 2 a(tingnan ang fig. 49). Sa pamamagitan ng kahulugan 2 a > 2c, ibig sabihin. a > c.

Upang makuha ang equation ng isang ellipse, pumili kami ng isang coordinate system upang ang foci F1 at F2 nakahiga sa axis , at ang pinagmulan ay tumutugma sa gitnang punto ng segment F 1 F 2. Pagkatapos ang foci ay magkakaroon ng mga sumusunod na coordinate: at .

Hayaan ay isang di-makatwirang punto ng ellipse. Pagkatapos, ayon sa kahulugan ng isang ellipse, i.e.

Ito, sa katunayan, ay ang equation ng isang ellipse.

Binabago namin ang equation (11.5) sa isang mas simpleng anyo gaya ng sumusunod:

Bilang a>kasama, pagkatapos . Ilagay natin

(11.6)

Pagkatapos ang huling equation ay tumatagal sa anyo o

(11.7)

Mapapatunayan na ang equation (11.7) ay katumbas ng orihinal na equation. Ang tawag dito ang canonical equation ng ellipse .

Ang Ellipse ay isang curve ng pangalawang order.

Pag-aaral ng hugis ng isang ellipse ayon sa equation nito

Itatag natin ang hugis ng ellipse gamit ang canonical equation nito.

1. Ang equation (11.7) ay naglalaman lamang ng x at y sa magkapantay na kapangyarihan, kaya kung ang isang punto ay kabilang sa isang ellipse, kung gayon ang mga puntos ,, ay kabilang din dito. Kasunod nito na ang ellipse ay simetriko na may paggalang sa mga axes at , pati na rin sa paggalang sa punto , na tinatawag na sentro ng ellipse.

2. Hanapin ang mga punto ng intersection ng ellipse na may mga coordinate axes. Sa paglalagay ng , nakita namin ang dalawang puntos at , kung saan ang axis ay nagsalubong sa ellipse (tingnan ang Fig. 50). Sa paglalagay ng equation (11.7), nakita natin ang mga punto ng intersection ng ellipse na may axis: at . puntos A 1 , A2 , B1, B2 tinawag ang mga vertex ng ellipse. Mga segment A 1 A2 at B1 B2, pati na rin ang kanilang mga haba 2 a at 2 b ay tinatawag ayon sa pagkakabanggit major at minor axes ellipse. Numero a at b ay tinatawag na malaki at maliit, ayon sa pagkakabanggit. mga axle shaft ellipse.

3. Ito ay sumusunod mula sa equation (11.7) na ang bawat termino sa kaliwang bahagi ay hindi lalampas sa isa, i.e. may mga hindi pagkakapantay-pantay at o at . Samakatuwid, ang lahat ng mga punto ng ellipse ay nasa loob ng parihaba na nabuo ng mga tuwid na linya.

4. Sa equation (11.7), ang kabuuan ng mga di-negatibong termino at katumbas ng isa. Dahil dito, habang tumataas ang isang termino, bababa ang isa, ibig sabihin, kung tataas ito, bababa ito at kabaliktaran.

Mula sa sinabi, sumusunod na ang ellipse ay may hugis na ipinapakita sa Fig. 50 (oval closed curve).

Higit pa tungkol sa ellipse

Ang hugis ng ellipse ay depende sa ratio. Kapag ang ellipse ay naging bilog, ang ellipse equation (11.7) ay nasa anyo . Bilang isang katangian ng hugis ng isang ellipse, ang ratio ay mas madalas na ginagamit. Ang ratio ng kalahati ng distansya sa pagitan ng foci hanggang sa semi-major axis ng ellipse ay tinatawag na eccentricity ng ellipse at ang o6o ay tinutukoy ng letrang ε ("epsilon"):

may 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Ito ay nagpapakita na ang mas maliit ang eccentricity ng ellipse, ang mas oblate ang ellipse ay magiging; kung ilalagay natin ang ε = 0, ang ellipse ay magiging bilog.

Hayaang ang M(x; y) ay isang arbitrary na punto ng ellipse na may foci F 1 at F 2 (tingnan ang Fig. 51). Ang mga haba ng mga segment F 1 M=r 1 at F 2 M = r 2 ay tinatawag na focal radii ng point M. Obviously,

May mga formula

Ang mga tuwid na linya ay tinatawag

Teorama 11.1. Kung ang distansya mula sa isang di-makatwirang punto ng ellipse hanggang sa ilang focus, ang d ay ang distansya mula sa parehong punto hanggang sa directrix na naaayon sa focus na ito, kung gayon ang ratio ay isang pare-parehong halaga na katumbas ng eccentricity ng ellipse:

Ito ay sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay (11.6) na . Kung , kung gayon ang equation (11.7) ay tumutukoy sa isang ellipse, ang pangunahing axis nito ay nasa Oy axis, at ang minor axis ay nasa Ox axis (tingnan ang Fig. 52). Ang foci ng naturang ellipse ay nasa mga punto at , kung saan .

11.4. Hyperbola

Canonical equation ng hyperbola

Hyperbole ang hanay ng lahat ng mga punto ng eroplano ay tinatawag, ang modulus ng pagkakaiba sa mga distansya mula sa bawat isa sa dalawang ibinigay na mga punto ng eroplanong ito, na tinatawag na mga trick , ay isang pare-parehong halaga, mas maliit kaysa sa distansya sa pagitan ng foci.

Tukuyin ang foci sa pamamagitan ng F1 at F2 ang distansya sa pagitan nila 2s, at ang modulus ng pagkakaiba sa mga distansya mula sa bawat punto ng hyperbola hanggang sa foci through 2a. A-prioryo 2a < 2s, ibig sabihin. a < c.

Upang makuha ang hyperbola equation, pumili kami ng isang coordinate system upang ang foci F1 at F2 nakahiga sa axis , at ang pinagmulan ay nag-tutugma sa gitnang punto ng segment F 1 F 2(tingnan ang fig. 53). Pagkatapos ang foci ay magkakaroon ng mga coordinate at

Hayaan ang isang arbitrary na punto ng hyperbola. Pagkatapos ay ayon sa kahulugan ng isang hyperbola o , i.e. Pagkatapos ng mga pagpapasimple, gaya ng ginawa kapag nagmula sa ellipse equation, nakukuha natin canonical equation ng isang hyperbola

(11.9)

(11.10)

Ang hyperbola ay isang linya ng pangalawang order.

Pagsisiyasat sa anyo ng hyperbola ayon sa equation nito

Itatag natin ang hugis ng hyperbola gamit ang caconic equation nito.

1. Ang equation (11.9) ay naglalaman lamang ng x at y sa magkapantay na kapangyarihan. Samakatuwid, ang hyperbola ay simetriko na may paggalang sa mga palakol at , pati na rin sa paggalang sa punto , na tinatawag na ang sentro ng hyperbola.

2. Hanapin ang mga intersection point ng hyperbola na may mga coordinate axes. Sa paglalagay sa equation (11.9), nakita namin ang dalawang punto ng intersection ng hyperbola na may axis : at . Sa paglalagay ng (11.9), nakukuha natin ang , na hindi maaaring. Samakatuwid, ang hyperbola ay hindi sumasalubong sa y-axis.

Ang mga puntos at tinatawag mga taluktok hyperbolas, at ang segment

totoong axis , segment ng linya - tunay na semiaxis hyperbole.

Ang segment ng linya na nagkokonekta sa mga punto ay tinatawag imaginary axis , numero b - imaginary axis . Parihaba na may mga gilid 2a at 2b tinawag ang pangunahing parihaba ng isang hyperbola .

3. Ito ay sumusunod mula sa equation (11.9) na ang minuend ay hindi bababa sa isa, ibig sabihin, iyon o . Nangangahulugan ito na ang mga punto ng hyperbola ay matatagpuan sa kanan ng linya (ang kanang sangay ng hyperbola) at sa kaliwa ng linya (ang kaliwang sangay ng hyperbola).

4. Mula sa equation (11.9) ng hyperbola, makikita na kapag tumaas ito, tumataas din ito. Ito ay sumusunod mula sa katotohanan na ang pagkakaiba ay nagpapanatili ng isang pare-parehong halaga na katumbas ng isa.

Ito ay sumusunod sa kung ano ang sinabi na ang hyperbola ay may hugis na ipinapakita sa Figure 54 (isang kurba na binubuo ng dalawang walang hangganang sanga).

Asymptotes ng hyperbola

Ang linyang L ay tinatawag na asymptote ng isang walang hangganang kurba K kung ang distansya d mula sa puntong M ng kurba K hanggang sa linyang ito ay nagiging sero habang ang puntong M ay gumagalaw sa kurba K nang walang katiyakan mula sa pinanggalingan. Ang Figure 55 ay naglalarawan ng konsepto ng isang asymptote: ang linyang L ay isang asymptote para sa curve K.

Ipakita natin na ang hyperbola ay may dalawang asymptotes:

(11.11)

Dahil ang mga linya (11.11) at ang hyperbola (11.9) ay simetriko na may kinalaman sa mga coordinate axes, sapat na upang isaalang-alang lamang ang mga punto ng ipinahiwatig na mga linya na matatagpuan sa unang kuwadrante.

Dumaan sa isang tuwid na linya ang isang punto N na may parehong abscissa x bilang isang punto sa isang hyperbola (tingnan ang Fig. 56), at hanapin ang pagkakaiba ΜN sa pagitan ng mga ordinate ng tuwid na linya at ng sangay ng hyperbola:

Tulad ng makikita mo, habang ang x ay tumataas, ang denominator ng fraction ay tumataas; Ang numerator ay isang pare-parehong halaga. Samakatuwid, ang haba ng segment Ang ΜN ay nagiging zero. Dahil ang ΜN ay mas malaki kaysa sa distansya d mula sa puntong Μ hanggang sa linya, kung gayon ang d ay higit pa kaya ay may posibilidad na zero. Kaya, ang mga linya ay asymptotes ng hyperbola (11.9).

Kapag gumagawa ng hyperbola (11.9), ipinapayong gawin muna ang pangunahing parihaba ng hyperbola (tingnan ang Fig. 57), gumuhit ng mga linya na dumadaan sa magkasalungat na vertices ng rectangle na ito - ang mga asymptotes ng hyperbola at markahan ang vertices at , hyperbola .

Ang equation ng isang equilateral hyperbola.

na ang mga asymptotes ay ang mga coordinate axes

Ang hyperbola (11.9) ay tinatawag na equilateral kung ang mga semiax nito ay pantay (). Ang canonical equation nito

(11.12)

Ang mga asymptotes ng isang equilateral hyperbola ay may mga equation at samakatuwid ay mga bisector ng mga coordinate na anggulo.

Isaalang-alang ang equation ng hyperbola na ito sa isang bagong sistema ng coordinate (tingnan ang Fig. 58), na nakuha mula sa luma sa pamamagitan ng pag-ikot ng mga coordinate axes sa pamamagitan ng isang anggulo. Ginagamit namin ang mga formula para sa pag-ikot ng mga coordinate axes:

Pinapalitan namin ang mga halaga ng x at y sa equation (11.12):

Ang equation ng isang equilateral hyperbola, kung saan ang mga axes na Ox at Oy ay mga asymptotes, ay magkakaroon ng anyo .

Higit pa tungkol sa hyperbole

eccentricity Ang hyperbola (11.9) ay ang ratio ng distansya sa pagitan ng foci sa halaga ng totoong axis ng hyperbola, na tinutukoy ng ε:

Dahil para sa isang hyperbola , ang eccentricity ng hyperbola ay mas malaki kaysa sa isa: . Ang eccentricity ay nagpapakilala sa hugis ng isang hyperbola. Sa katunayan, ito ay sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay (11.10) na i.e. at .

Ipinapakita nito na mas maliit ang eccentricity ng hyperbola, mas maliit ang ratio - ng mga semi-axes nito, na nangangahulugan na mas pinalawak ang pangunahing parihaba nito.

Ang eccentricity ng isang equilateral hyperbola ay . Talaga,

Focal radii at para sa mga punto ng kanang sangay ng hyperbola ay may anyo at , at para sa kaliwa - at .

Ang mga tuwid na linya ay tinatawag na mga directrix ng isang hyperbola. Dahil para sa hyperbola ε > 1, kung gayon . Nangangahulugan ito na ang kanang directrix ay matatagpuan sa pagitan ng gitna at kanang vertex ng hyperbola, ang kaliwang directrix ay nasa pagitan ng gitna at kaliwang vertex.

Ang mga directrix ng isang hyperbola ay may parehong pag-aari ng mga directrix ng isang ellipse.

Ang curve na tinukoy ng equation ay isa ring hyperbola, ang tunay na axis 2b na kung saan ay matatagpuan sa Oy axis, at ang haka-haka na axis 2 a- sa axis ng Ox. Sa Figure 59, ito ay ipinapakita bilang isang tuldok na linya.

Malinaw, ang mga hyperbola at may mga karaniwang asymptotes. Ang ganitong mga hyperbola ay tinatawag na conjugate.

11.5. Parabola

Canonical parabola equation

Ang parabola ay ang hanay ng lahat ng mga punto sa isang eroplano, na ang bawat isa ay pantay na malayo sa isang partikular na punto, na tinatawag na focus, at isang partikular na linya, na tinatawag na directrix. Ang distansya mula sa focus F hanggang sa directrix ay tinatawag na parameter ng parabola at tinutukoy ng p (p > 0).

Upang makuha ang parabola equation, pipiliin namin ang Oxy coordinate system upang ang Oxy axis ay dumaan sa focus F patayo sa directrix sa direksyon mula sa directrix hanggang F, at ang origin O ay matatagpuan sa gitna sa pagitan ng focus at directrix. (tingnan ang Fig. 60). Sa napiling system, ang focus F ay may mga coordinate , at ang directrix equation ay may form na , o .

1. Sa equation (11.13), ang variable na y ay kasama sa pantay na degree, na nangangahulugan na ang parabola ay simetriko tungkol sa Ox axis; ang x-axis ay ang axis ng symmetry ng parabola.

2. Dahil ρ > 0, ito ay sumusunod mula sa (11.13) na . Samakatuwid, ang parabola ay matatagpuan sa kanan ng y-axis.

3. Kapag mayroon tayong y \u003d 0. Samakatuwid, ang parabola ay dumadaan sa pinanggalingan.

4. Sa walang limitasyong pagtaas sa x, ang module y ay tumataas din nang walang katiyakan. Ang parabola ay may anyo (hugis) na ipinapakita sa Figure 61. Ang punto O (0; 0) ay tinatawag na vertex ng parabola, ang segment na FM \u003d r ay tinatawag na focal radius ng puntong M.

Mga equation , , ( p>0) ay tumutukoy din sa mga parabola, ipinapakita ang mga ito sa Figure 62

Madaling ipakita na ang graph ng isang square trinomial, kung saan , B at C ay anumang tunay na numero, ay isang parabola sa kahulugan ng kahulugan nito sa itaas.

11.6. Pangkalahatang equation ng second order lines

Mga equation ng mga curve ng pangalawang pagkakasunud-sunod na may mga ax ng symmetry na kahanay sa mga coordinate axes

Hanapin muna natin ang equation ng isang ellipse na nakasentro sa isang punto na ang symmetry axes ay parallel sa coordinate axes na Ox at Oy at ang mga semiax ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng a at b. Ilagay natin sa gitna ng ellipse O 1 ang pinagmulan ng bagong coordinate system , na ang mga axes at semi-axes a at b(tingnan ang fig. 64):

At sa wakas, ang mga parabola na ipinapakita sa Figure 65 ay may kaukulang mga equation.

Ang equation

Ang mga equation ng isang ellipse, hyperbola, parabola at ang equation ng isang bilog pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo (bukas na mga bracket, ilipat ang lahat ng mga termino ng equation sa isang direksyon, magdala ng mga katulad na termino, ipakilala ang bagong notasyon para sa mga coefficient) ay maaaring isulat gamit ang isang solong equation ng ang anyo

kung saan ang mga coefficient A at C ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras.

Ang tanong ay lumitaw: ang anumang equation ng form (11.14) ay tumutukoy sa isa sa mga kurba (bilog, ellipse, hyperbola, parabola) ng pangalawang pagkakasunud-sunod? Ang sagot ay ibinigay ng sumusunod na teorama.

Teorama 11.2. Ang equation (11.14) ay palaging tumutukoy: alinman sa isang bilog (para sa A = C), o isang ellipse (para sa A C > 0), o isang hyperbola (para sa A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Pangkalahatang equation ng pangalawang order

Isaalang-alang ngayon ang pangkalahatang equation ng pangalawang antas na may dalawang hindi alam:

Naiiba ito sa equation (11.14) sa pagkakaroon ng term na may produkto ng mga coordinate (B¹ 0). Posible, sa pamamagitan ng pag-ikot ng mga coordinate axes sa isang anggulo a, na baguhin ang equation na ito upang ang termino na may produkto ng mga coordinate ay wala dito.

Paggamit ng mga formula para sa pagliko ng mga palakol

Ipahayag natin ang mga lumang coordinate sa mga tuntunin ng mga bago:

Pinipili namin ang anggulo a upang ang koepisyent sa x "y" ay mawala, ibig sabihin, upang ang pagkakapantay-pantay

Kaya, kapag ang mga axes ay pinaikot sa isang anggulo a na nakakatugon sa kondisyon (11.17), ang equation (11.15) ay bumababa sa equation (11.14).

Konklusyon: ang pangkalahatang equation ng pangalawang order (11.15) ay tumutukoy sa eroplano (maliban sa mga kaso ng pagkabulok at pagkabulok) ang mga sumusunod na kurba: bilog, ellipse, hyperbola, parabola.

Tandaan: Kung A = C, mawawalan ng kahulugan ang equation (11.17). Sa kasong ito cos2α = 0 (tingnan ang (11.16)), pagkatapos ay 2α = 90°, ibig sabihin, α = 45°. Kaya, sa A = C, ang sistema ng coordinate ay dapat na paikutin ng 45 °.

1. Mga linya ng pangalawang order sa Euclidean plane.

2. Mga invariant ng mga equation ng mga linya ng pangalawang order.

3. Pagtukoy sa uri ng second-order lines mula sa mga invariant ng equation nito.

4. Mga linya ng pangalawang order sa affine plane. Teorama ng natatangi.

5. Mga sentro ng mga linya ng pangalawang pagkakasunud-sunod.

6. Asymptotes at diameter ng mga second-order na linya.

7. Pagbawas ng mga equation ng mga linya ng pangalawang pagkakasunud-sunod sa pinakasimpleng.

8. Mga pangunahing direksyon at diameter ng mga linya ng pangalawang pagkakasunud-sunod.

BIBLIOGRAPIYA

1. Mga linya ng pangalawang order sa Euclidean plane.

Kahulugan:

Euclidean na eroplano ay isang espasyo ng dimensyon 2,

(two-dimensional na tunay na espasyo).

Ang mga linya ng pangalawang pagkakasunud-sunod ay mga linya ng intersection ng isang pabilog na kono na may mga eroplano na hindi dumadaan sa tuktok nito.

Ang mga linyang ito ay madalas na matatagpuan sa iba't ibang mga katanungan ng natural na agham. Halimbawa, ang paggalaw ng isang materyal na punto sa ilalim ng impluwensya ng gitnang gravity field ay nangyayari sa isa sa mga linyang ito.

Kung ang cutting plane ay nag-intersect sa lahat ng rectilinear generatrixes ng isang cavity ng cone, pagkatapos ay sa seksyon ng isang linya ay makukuha, na tinatawag na ellipse(Larawan 1.1, a). Kung ang cutting plane ay bumalandra sa mga generator ng parehong mga cavity ng kono, pagkatapos ay sa seksyon ng isang linya ay makukuha, na tinatawag na hyperbole(Larawan 1.1.6). At sa wakas, kung ang secant plane ay parallel sa isa sa mga generator ng cone (sa pamamagitan ng 1.1, sa- ito ang generator AB), pagkatapos ay sa seksyon ay makakakuha ka ng isang linya na tinatawag parabola. kanin. 1.1 ay nagbibigay ng visual na representasyon ng hugis ng mga linyang isinasaalang-alang.

Larawan 1.1

Ang pangkalahatang equation ng second order line ay may sumusunod na anyo:

(1)

(1*)

Ellipse ay ang hanay ng mga punto sa eroplano kung saan ang kabuuan ng mga distansya sa dalawa nakapirming puntos F 1 at F 2 ang eroplanong ito, na tinatawag na foci, ay isang pare-parehong halaga.

Hindi nito ibinubukod ang pagkakataon ng foci ng ellipse. Obvious naman kung ang foci ay pareho, kung gayon ang ellipse ay isang bilog.

Upang makuha ang canonical equation ng ellipse, pipiliin namin ang pinagmulan O ng Cartesian coordinate system sa gitna ng segment F 1 F 2 , mga palakol Oh at OU direkta tulad ng ipinapakita sa Fig. 1.2 (kung ang mga trick F 1 at F 2 coincide, tapos O coincides with F 1 at F 2, at para sa axis Oh maaaring kunin ng isa ang anumang axis na dumaraan O).

Hayaan ang haba ng segment F 1 F 2 F 1 at F 2 ayon sa pagkakabanggit ay may mga coordinate (-c, 0) at (c, 0). Tukuyin ng 2a ang pare-parehong tinutukoy sa kahulugan ng isang ellipse. Malinaw, 2a > 2c, i.e. a > c ( Kung ang M- punto ng ellipse (tingnan ang Fig. 1.2), pagkatapos | MF ] |+ | MF 2 | = 2 a , at dahil ang kabuuan ng dalawang panig MF 1 at MF 2 tatsulok MF 1 F 2 higit sa isang third party F 1 F 2 = 2c, pagkatapos ay 2a > 2c. Natural na ibukod ang case 2a = 2c, mula noon ang punto M matatagpuan sa segment F 1 F 2 at ang ellipse ay nagiging isang segment. ).

Hayaan M- punto ng eroplano na may mga coordinate (x, y)(Larawan 1.2). Tukuyin sa pamamagitan ng r 1 at r 2 ang mga distansya mula sa punto M sa mga puntos F 1 at F 2 ayon sa pagkakabanggit. Ayon sa kahulugan ng isang ellipse pagkakapantay-pantay

r 1 + r 2 = 2a (1.1)

ay isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa lokasyon ng puntong M(x, y) sa ibinigay na ellipse.

Gamit ang formula para sa distansya sa pagitan ng dalawang puntos, nakukuha namin

(1.2)

Mula sa (1.1) at (1.2) sinusundan iyon ratio

(1.3)

ay kumakatawan sa isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa lokasyon ng isang punto M na may mga coordinate x at y sa isang naibigay na ellipse. Samakatuwid, ang kaugnayan (1.3) ay maaaring ituring bilang ellipse equation. Gamit ang karaniwang paraan ng "pagkasira ng mga radikal", ang equation na ito ay nabawasan sa anyo

(1.4) (1.5)

Dahil ang equation (1.4) ay algebraic na kahihinatnan ellipse equation (1.3), pagkatapos ay ang mga coordinate x at y anumang punto M ang ellipse ay makakatugon din sa equation (1.4). Dahil maaaring lumitaw ang "mga karagdagang ugat" sa panahon ng mga pagbabagong algebraic na nauugnay sa pag-alis ng mga radikal, dapat nating tiyakin na anumang punto M, na ang mga coordinate ay nakakatugon sa equation (1.4) ay matatagpuan sa ibinigay na ellipse. Para dito, malinaw na sapat na upang patunayan na ang mga dami r 1 at r 2 para sa bawat punto satisfy relation (1.1). Kaya hayaan ang mga coordinate X at sa puntos M satisfy equation (1.4). Pagpapalit ng halaga sa 2 mula sa (1.4) hanggang sa kanang bahagi ng expression (1.2) para sa r 1 pagkatapos ng mga simpleng pagbabagong nalaman namin na

, pagkatapos .

Sa eksaktong parehong paraan, nakita namin iyon

. Kaya, para sa isinasaalang-alang na punto M , (1.6)

i.e. r 1 + r 2 = 2a, at samakatuwid ang punto M ay matatagpuan sa isang ellipse. Ang equation (1.4) ay tinatawag ang canonical equation ng ellipse. Dami a at b ay tinatawag ayon sa pagkakabanggit major at minor semiaxes ng isang ellipse(Ang pangalan na "malaki" at "maliit" ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na a > b).

Magkomento. Kung ang mga semiax ng ellipse a at b ay pantay, kung gayon ang ellipse ay isang bilog na ang radius ay katumbas ng R = a = b, at ang sentro ay tumutugma sa pinanggalingan.

Hyperbole ay ang hanay ng mga punto sa eroplano kung saan ang ganap na halaga ng pagkakaiba sa mga distansya sa dalawang nakapirming puntos, F 1 at F 2 ang eroplanong ito, na tinatawag na foci, ay isang pare-parehong halaga ( Nakatuon F 1 at F 2 natural na isaalang-alang ang mga hyperbola na naiiba, dahil kung ang pare-pareho na ipinahiwatig sa kahulugan ng isang hyperbola ay hindi katumbas ng zero, kung gayon walang isang punto ng eroplano kapag F 1 at F 2 , na makakatugon sa mga kinakailangan ng kahulugan ng hyperbola. Kung ang pare-parehong ito ay zero at F 1 sumasabay sa F 2 , pagkatapos ang anumang punto ng eroplano ay nakakatugon sa mga kinakailangan ng kahulugan ng isang hyperbola. ).

Upang makuha ang canonical equation ng hyperbola, pipiliin namin ang pinagmulan ng mga coordinate sa gitna ng segment F 1 F 2 , mga palakol Oh at OU direkta tulad ng ipinapakita sa Fig. 1.2. Hayaan ang haba ng segment F 1 F 2 ay katumbas ng 2s. Pagkatapos ay sa napiling coordinate system ang mga puntos F 1 at F 2 ayon sa pagkakabanggit ay may mga coordinate (-с, 0) at (с, 0) Denote by 2 a ang pare-parehong tinutukoy sa kahulugan ng isang hyperbola. Malinaw na 2a< 2с, т. е. a < с. Dapat nating tiyakin na ang equation (1.9), na nakuha ng algebraic transformations ng equation (1.8), ay hindi nakakuha ng mga bagong ugat. Upang gawin ito, sapat na upang patunayan iyon para sa bawat punto M, mga coordinate X at sa na nagbibigay-kasiyahan sa equation (1.9), ang mga dami ng r 1 at r 2 ay nagbibigay-kasiyahan sa kaugnayan (1.7). Sa pagsasagawa ng mga argumento na katulad ng ginawa noong nagmula sa mga formula (1.6), makikita natin ang mga sumusunod na expression para sa mga dami ng r 1 at r 2 na interesado sa amin:

(1.11)

Kaya, para sa isinasaalang-alang na punto M meron kami

, at samakatuwid ito ay matatagpuan sa isang hyperbola.

Ang equation (1.9) ay tinatawag canonical equation ng isang hyperbola. Dami a at b ay tinatawag na totoo at haka-haka, ayon sa pagkakabanggit. semiaxes ng hyperbola.

parabola ay ang hanay ng mga punto sa eroplano kung saan ang distansya sa ilang nakapirming punto F ang eroplanong ito ay katumbas ng distansya sa ilang nakapirming linya, na matatagpuan din sa itinuturing na eroplano.

Mga equation sagana ang mga kurba kapag nagbabasa ng literaturang ekonomiko.Ituro natin ang ilan sa mga kurbadang ito.

kurba ng kawalang-interes - isang kurba na nagpapakita ng iba't ibang kumbinasyon ng dalawang produkto na may parehong halaga ng consumer, o utility, para sa consumer.

Consumer Budget Curve ay isang kurba na nagpapakita ng magkaibang kumbinasyon ng mga dami ng dalawang kalakal na mabibili ng isang mamimili sa isang partikular na antas ng kanyang kita sa pera.

Curve ng Posibilidad ng Produksyon - isang kurba na nagpapakita ng iba't ibang kumbinasyon ng dalawang produkto o serbisyo na maaaring gawin sa ilalim ng mga kondisyon ng buong trabaho at buong produksyon sa isang ekonomiya na may patuloy na stock ng mga mapagkukunan at hindi nagbabagong teknolohiya.

Curve ng demand sa pamumuhunan - isang kurba na nagpapakita ng dynamics ng rate ng interes at ang dami ng mga pamumuhunan sa iba't ibang mga rate ng interes.

kurba ng Phillips- isang kurba na nagpapakita ng pagkakaroon ng isang matatag na ugnayan sa pagitan ng rate ng kawalan ng trabaho at rate ng inflation.

Laffer curve- isang kurba na nagpapakita ng kaugnayan sa pagitan ng mga rate ng buwis at mga kita sa buwis, na nagpapakita ng naturang rate ng buwis kung saan ang mga kita sa buwis ay umabot sa maximum.

Ang isang simpleng enumeration ng mga termino ay nagpapakita kung gaano kahalaga para sa mga ekonomista na makabuo ng mga graph at masuri ang mga equation ng mga curve, na mga tuwid na linya at second-order curves - isang bilog, isang ellipse, isang hyperbola, isang parabola. Bilang karagdagan, kapag nilulutas ang isang malaking klase ng mga problema, kinakailangan na pumili ng isang lugar sa eroplano na nalilimitahan ng ilang mga kurba na ang mga equation ay ibinigay. Ang pagtatalaga ng mga mapagkukunan ay karaniwang nasa anyo ng mga hindi pagkakapantay-pantay, ang mga equation na kung saan ay ibinibigay. Samakatuwid, kailangan mong hanapin ang pinakamalaki o pinakamaliit na halaga na kinuha ng ilang function sa rehiyon na tinukoy ng mga equation ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay.

Sa analytic geometry linya sa eroplano ay tinukoy bilang ang hanay ng mga puntos na ang mga coordinate ay nakakatugon sa equation F(x,y)=0. Sa kasong ito, ang mga paghihigpit ay dapat ipataw sa function F upang, sa isang banda, ang equation na ito ay may isang walang katapusang hanay ng mga solusyon at, sa kabilang banda, upang ang hanay ng mga solusyon na ito ay hindi punan ang isang "piraso ng eroplano. ”. Ang isang mahalagang klase ng mga linya ay ang mga kung saan ang function na F(x,y) ay isang polynomial sa dalawang variable, kung saan ang linya na tinukoy ng equation na F(x,y)=0 ay tinatawag algebraic. Ang mga linyang algebraic na ibinigay ng equation ng unang degree ay mga tuwid na linya. Ang isang equation ng pangalawang degree, na may walang katapusang bilang ng mga solusyon, ay tumutukoy sa isang ellipse, hyperbola, parabola, o isang linya na nahahati sa dalawang tuwid na linya.

Hayaang magbigay ng rectangular Cartesian coordinate system sa eroplano. Ang isang tuwid na linya sa isang eroplano ay maaaring ibigay ng isa sa mga equation:

sampu . Pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya

Ax + By + C = 0. (2.1)

Vector n Ang (А,В) ay orthogonal sa isang tuwid na linya, ang mga numerong A at B ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras.

20 . Line Equation na may Slope

y - y o = k (x - x o), (2.2)

kung saan ang k ay ang slope ng tuwid na linya, ibig sabihin, k = tg a , saan a - ang halaga ng anggulo na nabuo ng tuwid na linya na may axis Оx, M (x o , y o) - ilang punto na kabilang sa tuwid na linya.

Ang equation (2.2) ay nasa anyong y = kx + b kung ang M (0, b) ay ang punto ng intersection ng linya na may Oy axis.

tatlumpu. Equation ng isang tuwid na linya sa mga segment

x/a + y/b = 1, (2.3)

kung saan ang a at b ay ang mga halaga ng mga segment na pinutol ng isang tuwid na linya sa mga coordinate axes.

40 . Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos ay A(x 1 , y 1) at B(x 2 , y 2):

. (2.4)

limampu . Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto A(x 1 , y 1) parallel sa isang ibinigay na vector a(m, n)

. (2.5)

60 . Normal na equation ng isang tuwid na linya

rn o - p = 0, (2.6)

saan r ay ang radius ng isang arbitrary na punto M(x, y) ng linyang ito, n o ay isang unit vector orthogonal sa linyang ito at nakadirekta mula sa pinanggalingan hanggang sa linya; p ay ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa tuwid na linya.

Ang normal sa coordinate form ay may anyo:

x cos a + y sin a - p \u003d 0,

saan a - ang halaga ng anggulo na nabuo ng isang tuwid na linya na may x-axis.

Ang equation ng isang lapis ng mga linya na nakasentro sa punto A (x 1, y 1) ay may anyo:

y-y 1 = l (x-x 1),

kung saan l ay ang beam parameter. Kung ang sinag ay ibinibigay ng dalawang intersecting na linya A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, kung gayon ang equation nito ay may anyo:

l (A 1 x + B 1 y + C 1) + m (A 2 x + B 2 y + C 2)=0,

kung saan l at m ay ang mga parameter ng beam na hindi nagiging 0 sa parehong oras.

Ang anggulo sa pagitan ng mga linyang y \u003d kx + b at y \u003d k 1 x + b 1 ay ibinibigay ng formula:

tg j = .

Ang pagkakapantay-pantay na 1 + k 1 k = 0 ay isang kinakailangan at sapat na kondisyon para ang mga linya ay patayo.

Upang gumawa ng dalawang equation

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, (2.7)

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (2.8)

itakda ang parehong tuwid na linya, ito ay kinakailangan at sapat na ang kanilang mga coefficient ay proporsyonal:

A 1 / A 2 = B 1 / B 2 = C 1 / C 2.

Tinutukoy ng mga equation (2.7), (2.8) ang dalawang magkaibang magkatulad na linya kung A 1 /A 2 = B 1 /B 2 at B 1 /B 2¹ C 1 /C 2; magsalubong ang mga linya kung A 1 /A 2¹B1/B2.

Ang distansya d mula sa puntong M o (x o, y o) hanggang sa tuwid na linya ay ang haba ng patayo na iginuhit mula sa puntong M o hanggang sa tuwid na linya. Kung ang linya ay ibinigay ng isang normal na equation, kung gayon d =ê r tungkol sa n o - r ê , saan r o ay ang radius vector ng point M o o, sa coordinate form, d =ê x o cos a + y o sin a - r ê .

Ang pangkalahatang equation ng second-order curve ay may anyo

a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 1 x +2a 2 y + a = 0.

Ipinapalagay na kabilang sa mga coefficient ng equation a 11 , a 12 , a 22 ay mayroong iba sa zero.

Ang equation ng isang bilog na nakasentro sa punto C(a, b) at may radius na katumbas ng R:

(x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 . (2.9)

Ellipseang locus ng mga puntos ay tinatawag, ang kabuuan ng mga distansya kung saan mula sa dalawang ibinigay na mga punto F 1 at F 2 (foci) ay isang pare-parehong halaga na katumbas ng 2a.

Canonical (pinakasimpleng) equation ng isang ellipse

x 2 /a 2 + y 2 /a 2 = 1. (2.10)

Ang ellipse na ibinigay ng equation (2.10) ay simetriko na may paggalang sa mga coordinate axes. Mga pagpipilian a at b tinawag mga axle shaft ellipse.

Hayaan ang a>b, pagkatapos ay ang foci F 1 at F 2 ay nasa Ox axis sa layo
c= mula sa pinanggalingan. Ratio c/a = e < 1 называется eccentricity ellipse. Ang mga distansya mula sa puntong M(x, y) ng ellipse hanggang sa foci nito (focal radius vectors) ay tinutukoy ng mga formula:

r 1 \u003d a - e x, r 2 \u003d a + e x.

Kung ang< b, то фокусы находятся на оси Оy, c= , e = c/b,
r 1 \u003d b + e x, r 2 \u003d b - e x.

Kung a = b, kung gayon ang ellipse ay isang bilog na nakasentro sa pinanggalingan ng radius a.

Hyperboleang locus ng mga puntos ay tinatawag, ang pagkakaiba ng mga distansya kung saan mula sa dalawang ibinigay na mga punto F 1 at F 2 (foci) ay katumbas ng ganap na halaga sa ibinigay na numero 2a.

Canonical equation ng hyperbola

x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. (2.11)

Ang hyperbola na ibinigay ng equation (2.11) ay simetriko na may paggalang sa mga coordinate axes. Nag-intersect ito sa axis ng Ox sa mga puntong A (a,0) at A (-a,0) - ang mga vertices ng hyperbola at hindi bumabagtas sa Oy axis. Parameter a tinawag tunay na semiaxis, b -imaginary axis. Ang parameter c= ay ang distansya mula sa focus hanggang sa pinanggalingan. Ratio c/a = e >1 ang tinatawag eccentricity hyperbole. Mga tuwid na linya na ang mga equation ay y =± b/a x ay tinatawag asymptotes hyperbole. Ang mga distansya mula sa puntong M(x,y) ng hyperbola hanggang sa foci nito (focal radius vectors) ay tinutukoy ng mga formula:

r 1 = ê e x - a ê , r 2 = ê e x + a ê .

Tinatawag ang hyperbola na may a = b equilateral, ang equation nito x 2 - y 2 \u003d a 2, at ang equation ng asymptotes y \u003d± x. Hyperbolas x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 at
y 2 /b 2 - x 2 /a 2 = 1 ay tinatawag conjugated.

parabolaay ang locus ng mga puntos na katumbas ng layo mula sa isang ibinigay na punto (focus) at isang ibinigay na linya (directrix).

Ang canonical equation ng isang parabola ay may dalawang anyo:

1) y 2 \u003d 2px - ang parabola ay simetriko tungkol sa axis ng Ox.

2) x 2 \u003d 2py - ang parabola ay simetriko tungkol sa Oy axis.

Sa parehong mga kaso, ang p>0 at ang vertex ng parabola, iyon ay, ang puntong nakahiga sa axis ng symmetry, ay matatagpuan sa pinanggalingan.

Isang parabola na ang equation na y 2 = 2рx ay may focus F(р/2,0) at directrix x = - р/2, focal radius-vector ng point M(x, y) dito r = x+ р/2.

Ang parabola na ang equation na x 2 =2py ay may focus F(0, p/2) at directrix y = - p/2; ang focal radius vector ng point M(x, y) ng parabola ay r = y + p/2.

Ang equation na F(x, y) = 0 ay tumutukoy sa isang linya na naghahati sa eroplano sa dalawa o higit pang bahagi. Sa isa sa mga bahaging ito, ang hindi pagkakapantay-pantay F(x, y)<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. Sa madaling salita, ang linya
Ang F(x, y)=0 ay naghihiwalay sa bahagi ng eroplano kung saan ang F(x, y)>0 mula sa bahagi ng eroplano kung saan ang F(x, y)<0.

Ang tuwid na linya, na ang equation ay Ax+By+C = 0, ay naghahati sa eroplano sa dalawang kalahating eroplano. Sa pagsasagawa, upang malaman kung saang kalahating eroplano mayroon tayo Ax + By + C<0, а в какой Ax+By+C>0, ilapat ang paraan ng breakpoint. Upang gawin ito, kumuha ng isang control point (siyempre, hindi nakahiga sa isang tuwid na linya, ang equation na kung saan ay Ax + By + C = 0) at suriin kung anong sign ang expression ng Ax + By + C sa puntong ito. Ang parehong tanda ay may ipinahiwatig na expression sa buong kalahating eroplano kung saan namamalagi ang control point. Sa ikalawang kalahating eroplanong Ax+By+C ay may kabaligtaran na tanda.

Ang mga di-linear na hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang hindi alam ay nalulutas sa parehong paraan.

Halimbawa, lutasin natin ang hindi pagkakapantay-pantay x 2 -4x+y 2 +6y-12 > 0. Maaari itong muling isulat bilang (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 > 0.

Ang equation (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 = 0 ay tumutukoy sa isang bilog na may sentro sa punto C(2,-3) at isang radius na 5. Hinahati ng bilog ang eroplano sa dalawang bahagi - panloob at panlabas. Upang malaman kung alin sa kanila ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay nagaganap, kumuha kami ng control point sa panloob na rehiyon, halimbawa, ang sentro C(2,-3) ng aming bilog. Ang pagpapalit ng mga coordinate ng point C sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay, makakakuha tayo ng negatibong numero -25. Samakatuwid, sa lahat ng mga punto na nakahiga sa loob ng bilog, ang hindi pagkakapantay-pantay
x 2 -4x+y 2 +6y-12< 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

Halimbawa 1.5.Buuin ang mga equation ng mga linyang dumadaan sa puntong A(3,1) at inclined sa linyang 2x+3y-1 = 0 sa isang anggulo na 45 o .

Desisyon.Maghahanap tayo sa anyong y=kx+b. Dahil ang linya ay dumadaan sa punto A, ang mga coordinate nito ay nakakatugon sa equation ng linya, i.e. 1=3k+b,Þ b=1-3k. Anggulo sa pagitan ng mga linya
y= k 1 x+b 1 at y= kx+b ay tinukoy ng formula tg j = . Dahil ang slope k 1 ng orihinal na linya 2x+3y-1=0 ay - 2/3, at ang anggulo j = 45 o , pagkatapos ay mayroon kaming isang equation para sa pagtukoy ng k:

(2/3 + k)/(1 - 2/3k) = 1 o (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = -1.

Mayroon kaming dalawang halaga ng k: k 1 = 1/5, k 2 = -5. Sa paghahanap ng kaukulang mga halaga ng b sa pamamagitan ng formula b=1-3k, nakakakuha kami ng dalawang nais na linya, ang mga equation na kung saan ay: x - 5y + 2 = 0 at
5x + y - 16 = 0.

Halimbawa 1.6. Sa anong halaga ng parameter t mga linya na ang mga equation na 3tx-8y+1 = 0 at (1+t)x-2ty = 0 ay parallel?

Desisyon.Ang mga tuwid na linya na ibinigay ng mga pangkalahatang equation ay parallel kung ang mga coefficient sa x at y proporsyonal, i.e. 3t/(1+t) = -8/(-2t). Ang paglutas ng nagresultang equation, nakita namin t: t 1 \u003d 2, t 2 \u003d -2/3.

Halimbawa 1.7. Hanapin ang equation ng karaniwang chord ng dalawang bilog:
x 2 +y 2 =10 at x 2 +y 2 -10x-10y+30=0.

Desisyon.Hanapin ang mga intersection point ng mga bilog, para dito malulutas namin ang sistema ng mga equation:

Ang paglutas ng unang equation, nakita namin ang mga halaga x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 1. Mula sa pangalawang equation - ang kaukulang mga halaga y: y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 3. Ngayon nakuha namin ang equation ng isang karaniwang chord, alam ang dalawang puntos na A (3,1) at B (1,3) na kabilang sa linyang ito: (y-1) / (3-1) \u003d (x-3)/(1-3), o y+ x - 4 = 0.

Halimbawa 1.8. Paano matatagpuan ang mga punto sa eroplano, ang mga coordinate na kung saan ay nakakatugon sa mga kondisyon (x-3) 2 + (y-3) 2< 8, x >y?

Desisyon.Ang unang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema ay tumutukoy sa loob ng bilog, hindi kasama ang hangganan, i.e. bilog na may sentro sa punto (3,3) at radius . Ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa isang kalahating eroplano na tinukoy ng isang tuwid na linya na ang equation ay x = y, at, dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit, ang mga punto ng tuwid na linya mismo ay hindi kabilang sa kalahating eroplano, at lahat ng mga punto sa ibaba ng tuwid na ito. ang linya ay kabilang sa kalahating eroplano. Dahil naghahanap kami ng mga puntos na nakakatugon sa parehong hindi pagkakapantay-pantay, kung gayon ang nais na lugar ay ang loob ng kalahating bilog.

Halimbawa 1.9.Kalkulahin ang haba ng gilid ng isang parisukat na nakasulat sa isang ellipse na ang equation ay x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1.

Desisyon.Hayaan M(s, s)- ang tuktok ng parisukat, na nakahiga sa unang quarter. Pagkatapos ang gilid ng parisukat ay magiging 2 kasama. kasi tuldok M nabibilang sa ellipse, ang mga coordinate nito ay nakakatugon sa equation ng ellipse c 2 /a 2 + c 2 /b 2 = 1, kung saan
c = ab/ ; kaya ang gilid ng parisukat ay 2ab/ .

Halimbawa 1.10.Pag-alam sa equation ng asymptotes ng hyperbola y =± 0.5 x at isa sa mga puntos nito na M (12, 3), iguhit ang equation ng hyperbola.

Desisyon.Isinulat namin ang canonical equation ng hyperbola: x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. Ang mga asymptotes ng hyperbola ay ibinibigay ng mga equation na y =± 0.5 x, kaya b/a = 1/2, kaya a=2b. Sa abot ng M- punto ng hyperbola, pagkatapos ang mga coordinate nito ay nakakatugon sa equation ng hyperbola, i.e. 144/a 2 - 27/b 2 = 1. Dahil sa a = 2b, makikita natin ang b: b 2 =9Þ b=3 at a=6. Kung gayon ang equation ng hyperbola ay x 2/36 - y 2/9 = 1.

Halimbawa 1.11.Kalkulahin ang haba ng gilid ng isang regular na tatsulok na ABC na nakasulat sa isang parabola na may parameter R, kung ipagpalagay na ang puntong A ay tumutugma sa tuktok ng parabola.

Desisyon.Ang canonical equation ng isang parabola na may parameter R ay may anyong y 2 = 2рx, ang vertex nito ay tumutugma sa pinanggalingan, at ang parabola ay simetriko tungkol sa x-axis. Dahil ang linyang AB ay bumubuo ng isang anggulo na 30 o sa axis na Ox, ang equation ng linya ay: y = x. maraming chart

Samakatuwid, mahahanap natin ang mga coordinate ng point B sa pamamagitan ng paglutas ng sistema ng mga equation na y 2 =2px, y = x, kung saan ang x = 6p, y = 2p. Kaya, ang distansya sa pagitan ng mga puntos na A(0,0) at B(6p,2p) ay 4p.