Ngayon ay haharapin natin ang pamamaraang Gauss para sa paglutas ng mga sistema ng mga linear algebraic equation. Maaari mong basahin ang tungkol sa kung ano ang mga sistemang ito sa nakaraang artikulo na nakatuon sa paglutas ng parehong SLAE sa pamamagitan ng paraan ng Cramer. Ang pamamaraang Gauss ay hindi nangangailangan ng anumang partikular na kaalaman, tanging pangangalaga at pagkakapare-pareho ang kailangan. Sa kabila ng katotohanan na mula sa punto ng view ng matematika, ang paghahanda sa paaralan ay sapat na para sa aplikasyon nito, ang pag-master ng pamamaraang ito ay kadalasang nagiging sanhi ng mga paghihirap para sa mga mag-aaral. Sa artikulong ito, susubukan naming bawasan ang mga ito sa wala!

Pamamaraan ng Gauss

M Pamamaraan ng Gauss ay ang pinaka-unibersal na paraan para sa paglutas ng SLAE (maliban sa napakalaking sistema). Hindi tulad ng tinalakay kanina, ito ay angkop hindi lamang para sa mga system na may natatanging solusyon, kundi pati na rin para sa mga system na may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Mayroong tatlong mga pagpipilian dito.

1. Ang sistema ay may natatanging solusyon (ang determinant ng pangunahing matrix ng system ay hindi katumbas ng zero);
2. Ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon;
3. Walang solusyon, hindi tugma ang sistema.

Kaya, mayroon tayong sistema (hayaan itong magkaroon ng isang solusyon), at lulutasin natin ito gamit ang Gaussian method. Paano ito gumagana?

Ang pamamaraang Gaussian ay binubuo ng dalawang yugto - direkta at kabaligtaran.

Direktang Gauss na pamamaraan

Una, isinulat namin ang augmented matrix ng system. Para magawa ito, nagdaragdag kami ng column ng mga libreng miyembro sa pangunahing matrix.

Ang buong diwa ng pamamaraang Gaussian ay upang bawasan ang matrix na ito sa isang stepped (o, gaya ng sinasabi nila, triangular) na anyo sa pamamagitan ng mga elementarya na pagbabago. Sa form na ito, dapat mayroong mga zero lamang sa ilalim (o sa itaas) ng pangunahing dayagonal ng matrix.

Ano ang maaaring gawin:

1. Maaari mong muling ayusin ang mga hilera ng matrix;
2. Kung mayroong magkapareho (o proporsyonal) na mga hilera sa matrix, maaari mong tanggalin ang lahat maliban sa isa sa mga ito;
3. Maaari mong i-multiply o hatiin ang isang string sa anumang numero (maliban sa zero);
4. Ang mga zero na linya ay tinanggal;
5. Maaari kang magdagdag ng string na pinarami ng hindi zero na numero sa isang string.

Baliktarin ang pamamaraan ng Gauss

Pagkatapos naming ibahin ang anyo ng system sa ganitong paraan, hindi alam ang isa xn nagiging kilala, at posibleng mahanap ang lahat ng natitirang hindi alam sa reverse order, na pinapalitan ang mga kilala nang x sa mga equation ng system, hanggang sa una.

Kapag ang Internet ay laging nasa kamay, maaari mong lutasin ang sistema ng mga equation gamit ang Gauss method online. Ang kailangan mo lang gawin ay ilagay ang mga logro sa online na calculator. Ngunit dapat mong aminin, ito ay mas kaaya-aya upang mapagtanto na ang halimbawa ay nalutas hindi sa pamamagitan ng isang computer program, ngunit sa pamamagitan ng iyong sariling utak.

Isang halimbawa ng paglutas ng isang sistema ng mga equation gamit ang Gauss method

At ngayon - isang halimbawa, upang ang lahat ay maging malinaw at nauunawaan. Hayaang magbigay ng isang sistema ng mga linear na equation, at ito ay kinakailangan upang malutas ito sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss:

Una, isulat natin ang augmented matrix:

Ngayon tingnan natin ang mga pagbabago. Tandaan na kailangan nating makamit ang isang tatsulok na anyo ng matrix. I-multiply ang 1st row sa (3). I-multiply ang 2nd row sa (-1). Idagdag natin ang 2nd row sa 1st at makuha natin:

Pagkatapos ay i-multiply ang 3rd row sa (-1). Idagdag natin ang ika-3 linya sa ika-2:

I-multiply ang 1st row sa (6). I-multiply ang 2nd row sa (13). Idagdag natin ang 2nd line sa 1st:

Voila - ang sistema ay dinadala sa naaangkop na anyo. Ito ay nananatiling hanapin ang mga hindi alam:

Ang sistema sa halimbawang ito ay may natatanging solusyon. Isasaalang-alang namin ang solusyon ng mga system na may walang katapusang hanay ng mga solusyon sa isang hiwalay na artikulo. Marahil sa una ay hindi mo alam kung saan magsisimula sa mga pagbabagong matrix, ngunit pagkatapos ng naaangkop na pagsasanay ay makukuha mo ang iyong mga kamay dito at i-click ang Gaussian SLAE na parang mga mani. At kung bigla kang makatagpo ng isang SLAU, na lumalabas na napakahirap para ma-crack, makipag-ugnayan sa aming mga may-akda! magagawa mo sa pamamagitan ng pag-iwan ng aplikasyon sa Correspondence. Sama-sama nating lutasin ang anumang problema!

Pamamaraan ng Gauss mahusay para sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation (SLAE). Ito ay may ilang mga pakinabang sa iba pang mga pamamaraan:

• una, hindi na kailangang paunang imbestigahan ang sistema ng mga equation para sa pagiging tugma;
• pangalawa, ang Gauss method ay maaaring gamitin upang lutasin hindi lamang ang mga SLAE kung saan ang bilang ng mga equation ay tumutugma sa bilang ng mga hindi kilalang variable at ang pangunahing matrix ng system ay hindi nakakabuo, kundi pati na rin ang mga sistema ng mga equation kung saan ang bilang ng mga equation ay hindi nagtutugma. na may bilang ng mga hindi kilalang variable o ang determinant ng pangunahing matrix ay katumbas ng zero;
• pangatlo, ang pamamaraang Gauss ay humahantong sa isang resulta na may medyo maliit na bilang ng mga pagpapatakbo ng computational.

Maikling pagsusuri ng artikulo.

Una, binibigyan namin ang mga kinakailangang kahulugan at ipinakilala ang ilang notasyon.

Susunod, inilalarawan namin ang algorithm ng pamamaraang Gauss para sa pinakasimpleng kaso, iyon ay, para sa mga sistema ng linear algebraic equation, ang bilang ng mga equation kung saan tumutugma sa bilang ng mga hindi kilalang variable at ang determinant ng pangunahing matrix ng system ay hindi katumbas ng zero. Kapag nilulutas ang mga naturang sistema ng mga equation, ang kakanyahan ng pamamaraang Gauss ay pinakamalinaw na nakikita, na binubuo sa sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi kilalang variable. Samakatuwid, ang pamamaraang Gaussian ay tinatawag ding paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam. Ipakita natin ang mga detalyadong solusyon ng ilang halimbawa.

Sa konklusyon, isinasaalang-alang namin ang Gaussian na solusyon ng mga sistema ng linear algebraic equation na ang pangunahing matrix ay alinman sa hugis-parihaba o degenerate. Ang solusyon ng naturang mga sistema ay may ilang mga tampok, na susuriin namin nang detalyado gamit ang mga halimbawa.

Pag-navigate sa pahina.

Mga pangunahing kahulugan at notasyon.

Isaalang-alang ang isang sistema ng p linear equation na may n hindi alam (p ay maaaring katumbas ng n ):

Kung saan ang mga hindi kilalang variable, ang mga numero (totoo o kumplikado), ay mga libreng miyembro.

Kung ang , pagkatapos ay tinatawag ang sistema ng mga linear algebraic equation homogenous, kung hindi - magkakaiba.

Ang hanay ng mga halaga ng hindi kilalang mga variable, kung saan ang lahat ng mga equation ng system ay nagiging mga pagkakakilanlan, ay tinatawag desisyon ng SLAU.

Kung mayroong hindi bababa sa isang solusyon sa isang sistema ng mga linear algebraic equation, kung gayon ito ay tinatawag magkadugtong, kung hindi - hindi magkatugma.

Kung ang isang SLAE ay may natatanging solusyon, kung gayon ito ay tinatawag tiyak. Kung mayroong higit sa isang solusyon, kung gayon ang sistema ay tinatawag hindi sigurado.

Ang sistema ay sinasabing nakasulat sa coordinate form kung mayroon itong anyo
.

Ang sistemang ito sa anyo ng matrix Ang mga talaan ay may form na , kung saan - ang pangunahing matrix ng SLAE, - ang matrix ng column ng hindi kilalang mga variable, - ang matrix ng mga libreng miyembro.

Kung idaragdag natin sa matrix A bilang (n + 1)-th column ang matrix-column ng mga libreng termino, pagkatapos ay makukuha natin ang tinatawag na pinalawak na matris sistema ng mga linear na equation. Karaniwan, ang augmented matrix ay tinutukoy ng letrang T, at ang haligi ng mga libreng miyembro ay pinaghihiwalay ng isang patayong linya mula sa natitirang mga haligi, iyon ay,

Ang square matrix A ay tinatawag mabulok kung ang determinant nito ay zero. Kung , kung gayon ang matrix A ay tinatawag hindi nabubulok.

Dapat pansinin ang sumusunod na punto.

Kung ang mga sumusunod na aksyon ay ginawa gamit ang isang sistema ng mga linear algebraic equation

• magpalit ng dalawang equation,
• i-multiply ang magkabilang panig ng anumang equation sa isang arbitrary at non-zero real (o complex) na numero k,
• sa parehong bahagi ng anumang equation idagdag ang mga kaukulang bahagi ng isa pang equation, na pinarami ng isang arbitrary na numero k,

pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang katumbas na sistema na may parehong mga solusyon (o, tulad ng orihinal, walang mga solusyon).

Para sa isang pinahabang matrix ng isang sistema ng mga linear algebraic equation, ang mga pagkilos na ito ay mangangahulugan ng mga elementarya na pagbabagong may mga row:

• pagpapalit ng dalawang string
• pagpaparami ng lahat ng elemento ng anumang hilera ng matrix T sa isang hindi zero na numero k ,
• pagdaragdag sa mga elemento ng anumang hilera ng matrix ng mga kaukulang elemento ng isa pang hilera, na pinarami ng isang arbitrary na numero k .

Ngayon ay maaari tayong magpatuloy sa paglalarawan ng pamamaraang Gauss.

Paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation, kung saan ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam at ang pangunahing matrix ng system ay hindi degenerate, sa pamamagitan ng Gauss method.

Ano ang gagawin natin sa paaralan kung bibigyan tayo ng gawaing maghanap ng solusyon sa isang sistema ng mga equation .

Ang ilan ay gagawin ito.

Tandaan na sa pamamagitan ng pagdaragdag ng kaliwang bahagi ng unang equation sa kaliwang bahagi ng pangalawang equation, at ang kanang bahagi sa kanang bahagi, maaari mong alisin ang hindi kilalang mga variable na x 2 at x 3 at agad na mahanap ang x 1:

Pinapalitan namin ang nahanap na halaga x 1 \u003d 1 sa una at pangatlong equation ng system:

Kung i-multiply natin ang parehong bahagi ng ikatlong equation ng system sa -1 at idagdag ang mga ito sa mga kaukulang bahagi ng unang equation, pagkatapos ay aalisin natin ang hindi kilalang variable x 3 at mahahanap natin ang x 2:

Pinapalitan namin ang nakuha na halaga x 2 \u003d 2 sa ikatlong equation at hanapin ang natitirang hindi kilalang variable x 3:

Ang iba ay ginawa kung hindi man.

Lutasin natin ang unang equation ng system na may paggalang sa hindi kilalang variable x 1 at palitan ang resultang expression sa pangalawa at pangatlong equation ng system upang maibukod ang variable na ito mula sa kanila:

Ngayon lutasin natin ang pangalawang equation ng system na may paggalang sa x 2 at palitan ang resulta na nakuha sa ikatlong equation upang ibukod ang hindi kilalang variable x 2 mula dito:

Makikita mula sa ikatlong equation ng system na x 3 =3. Mula sa pangalawang equation nakita namin , at mula sa unang equation makuha namin .

Mga pamilyar na solusyon, tama ba?

Ang pinaka-kagiliw-giliw na bagay dito ay ang pangalawang paraan ng solusyon ay mahalagang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam, iyon ay, ang paraan ng Gauss. Kapag nagpahayag kami ng mga hindi kilalang variable (una x 1 , susunod x 2 ) at pinalitan ang mga ito sa iba pang mga equation ng system, sa gayon ay hindi namin sila kasama. Isinagawa namin ang pagbubukod hanggang sa sandaling ang huling equation ay nag-iwan lamang ng isang hindi kilalang variable. Ang proseso ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam ay tinatawag direktang pamamaraan ng Gauss. Matapos makumpleto ang pasulong na paglipat, mayroon kaming pagkakataon na kalkulahin ang hindi kilalang variable sa huling equation. Sa tulong nito, mula sa penultimate equation, nakita namin ang susunod na hindi kilalang variable, at iba pa. Ang proseso ng sunud-sunod na paghahanap ng mga hindi kilalang variable habang lumilipat mula sa huling equation patungo sa una ay tinatawag baligtarin ang pamamaraang Gauss.

Dapat tandaan na kapag ipinahayag natin ang x 1 sa mga tuntunin ng x 2 at x 3 sa unang equation, at pagkatapos ay palitan ang resultang expression sa pangalawa at pangatlong equation, ang mga sumusunod na aksyon ay humahantong sa parehong resulta:

Sa katunayan, ang gayong pamamaraan ay nagpapahintulot din sa amin na ibukod ang hindi kilalang variable x 1 mula sa pangalawa at pangatlong equation ng system:

Ang mga nuances na may pag-aalis ng hindi kilalang mga variable sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss ay lumitaw kapag ang mga equation ng system ay hindi naglalaman ng ilang mga variable.

Halimbawa, sa SLAU sa unang equation, walang hindi kilalang variable x 1 (sa madaling salita, ang coefficient sa harap nito ay zero). Samakatuwid, hindi natin malulutas ang unang equation ng system na may paggalang sa x 1 upang ibukod ang hindi kilalang variable na ito mula sa iba pang mga equation. Ang paraan sa labas ng sitwasyong ito ay ang pagpapalit ng mga equation ng system. Dahil isinasaalang-alang namin ang mga sistema ng mga linear equation na ang mga determinant ng pangunahing matrice ay naiiba sa zero, palaging mayroong isang equation kung saan ang variable na kailangan namin ay naroroon, at maaari naming muling ayusin ang equation na ito sa posisyon na kailangan namin. Para sa aming halimbawa, sapat na upang ipagpalit ang una at pangalawang equation ng system , pagkatapos ay maaari mong lutasin ang unang equation para sa x 1 at ibukod ito mula sa iba pang mga equation ng system (bagaman ang x 1 ay wala na sa pangalawang equation).

Umaasa kaming nakuha mo ang diwa.

Ilarawan natin Gauss method algorithm.

Kailangan nating lutasin ang isang sistema ng n linear algebraic equation na may n hindi kilalang mga variable ng form , at hayaang nonzero ang determinant ng pangunahing matrix nito.

Ipagpalagay natin na , dahil palagi nating makakamit ito sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga equation ng system. Ibinubukod namin ang hindi kilalang variable x 1 mula sa lahat ng equation ng system, simula sa pangalawa. Upang gawin ito, idagdag ang unang equation na pinarami ng sa pangalawang equation ng system, idagdag ang unang multiply sa ikatlong equation, at iba pa, idagdag ang unang multiply sa sa nth equation. Ang sistema ng mga equation pagkatapos ng gayong mga pagbabago ay kukuha ng anyo

saan, a .

Darating tayo sa parehong resulta kung ipinahayag natin ang x 1 sa mga tuntunin ng iba pang hindi kilalang mga variable sa unang equation ng system at pinalitan ang resultang expression sa lahat ng iba pang mga equation. Kaya, ang variable na x 1 ay hindi kasama sa lahat ng mga equation, simula sa pangalawa.

Susunod, kumilos kami nang katulad, ngunit sa isang bahagi lamang ng nagresultang sistema, na minarkahan sa figure

Upang gawin ito, idagdag ang pangalawang equation na pinarami ng sa ikatlong equation ng system, idagdag ang pangalawang multiply sa ikaapat na equation, at iba pa, idagdag ang pangalawang multiply sa nth equation. Ang sistema ng mga equation pagkatapos ng gayong mga pagbabago ay kukuha ng anyo

saan, a . Kaya, ang variable na x 2 ay hindi kasama sa lahat ng equation, simula sa ikatlo.

Susunod, nagpapatuloy kami sa pag-aalis ng hindi kilalang x 3, habang kumikilos nang katulad sa bahagi ng system na minarkahan sa figure

Kaya't ipinagpatuloy namin ang direktang kurso ng pamamaraang Gauss hanggang sa makuha ng system ang form

Mula sa sandaling ito, sinisimulan natin ang reverse course ng Gauss method: kinakalkula natin ang x n mula sa huling equation bilang , gamit ang nakuhang halaga ng x n nahanap natin ang x n-1 mula sa penultimate equation, at iba pa, hinahanap natin ang x 1 mula sa unang equation.

Suriin natin ang algorithm na may isang halimbawa.

Halimbawa.

Gaussian na pamamaraan.

Desisyon.

Ang koepisyent a 11 ay iba sa zero, kaya't magpatuloy tayo sa direktang kurso ng Gauss method, iyon ay, sa pag-aalis ng hindi kilalang variable x 1 mula sa lahat ng equation ng system, maliban sa una. Upang gawin ito, sa kaliwa at kanang bahagi ng pangalawa, pangatlo at ikaapat na equation, idagdag ang kaliwa at kanang bahagi ng unang equation, na pinarami ng , ayon sa pagkakabanggit, at:

Ang hindi kilalang variable na x 1 ay inalis na, lumipat tayo sa pagbubukod x 2 . Sa kaliwa at kanang bahagi ng ikatlo at ikaapat na equation ng system, idinaragdag namin ang kaliwa at kanang bahagi ng pangalawang equation, na pinarami ng at :

Upang makumpleto ang forward course ng Gauss method, kailangan nating ibukod ang hindi kilalang variable x 3 mula sa huling equation ng system. Idagdag sa kaliwa at kanang bahagi ng ikaapat na equation, ayon sa pagkakabanggit, ang kaliwa at kanang bahagi ng ikatlong equation, na pinarami ng :

Maaari mong simulan ang reverse course ng Gauss method.

Mula sa huling equation na mayroon tayo ,
mula sa ikatlong equation na nakukuha natin,
mula sa pangalawa
mula sa una.

Upang suriin, maaari mong palitan ang nakuha na mga halaga ng hindi kilalang mga variable sa orihinal na sistema ng mga equation. Ang lahat ng mga equation ay nagiging mga pagkakakilanlan, na nangangahulugan na ang solusyon sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss ay natagpuan nang tama.

Sagot:

At ngayon ay ibibigay namin ang solusyon ng parehong halimbawa sa pamamagitan ng paraan ng Gauss sa matrix form.

Halimbawa.

Maghanap ng solusyon sa sistema ng mga equation Gaussian na pamamaraan.

Desisyon.

Ang pinahabang matrix ng system ay may anyo . Sa itaas ng bawat column, ang mga hindi kilalang variable ay nakasulat, na tumutugma sa mga elemento ng matrix.

Ang direktang kurso ng pamamaraang Gauss dito ay nagsasangkot ng pagdadala ng pinahabang matrix ng system sa isang trapezoidal na anyo gamit ang mga pagbabagong elementarya. Ang prosesong ito ay katulad ng pagbubukod ng mga hindi kilalang variable na ginawa namin sa system sa coordinate form. Ngayon ay makukumbinsi ka nito.

Ibahin natin ang matrix upang ang lahat ng elemento sa unang column, simula sa pangalawa, ay maging zero. Upang gawin ito, sa mga elemento ng ikalawa, ikatlo at ikaapat na hanay, idagdag ang mga kaukulang elemento ng unang hilera na pinarami ng , at ayon sa pagkakabanggit:

Susunod, binabago namin ang nagresultang matrix upang sa pangalawang haligi, ang lahat ng mga elemento, simula sa pangatlo, ay naging zero. Ito ay tumutugma sa pagbubukod ng hindi kilalang variable x 2 . Upang gawin ito, idagdag sa mga elemento ng ikatlo at ikaapat na hanay ang mga kaukulang elemento ng unang hilera ng matrix, na pinarami ng at :

Nananatili itong ibukod ang hindi kilalang variable x 3 mula sa huling equation ng system. Upang gawin ito, sa mga elemento ng huling hilera ng nagresultang matrix, idinagdag namin ang kaukulang mga elemento ng penultimate row, na pinarami ng :

Dapat tandaan na ang matrix na ito ay tumutugma sa sistema ng mga linear equation

na nakuha nang mas maaga pagkatapos ng direktang paglipat.

Oras na para bumalik. Sa matrix form ng notation, ang reverse course ng Gauss method ay nagsasangkot ng ganitong pagbabago ng resultang matrix upang ang matrix na minarkahan sa figure

naging dayagonal, iyon ay, kinuha ang anyo

kung saan ang ilang mga numero.

Ang mga pagbabagong ito ay katulad ng sa pamamaraang Gauss, ngunit ginagawa hindi mula sa unang linya hanggang sa huli, ngunit mula sa huli hanggang sa una.

Idagdag sa mga elemento ng ikatlo, ikalawa at unang mga hilera ang mga kaukulang elemento ng huling hilera, na pinarami ng , nang walang tigil ayon sa pagkakabanggit:

Ngayon, idagdag natin sa mga elemento ng pangalawa at unang hilera ang mga kaukulang elemento ng ikatlong hilera, na pinarami ng at ng, ayon sa pagkakabanggit:

Sa huling hakbang ng reverse motion ng Gaussian method, idinaragdag namin ang mga kaukulang elemento ng pangalawang row, na pinarami ng , sa mga elemento ng unang row:

Ang resultang matrix ay tumutugma sa sistema ng mga equation , kung saan makikita natin ang hindi kilalang mga variable.

Sagot:

TANDAAN.

Kapag ginagamit ang paraan ng Gauss upang malutas ang mga sistema ng mga linear algebraic equation, dapat na iwasan ang mga tinatayang kalkulasyon, dahil ito ay maaaring humantong sa ganap na hindi tamang mga resulta. Inirerekomenda namin na huwag mong bilugan ang mga decimal. Mas mainam na lumipat mula sa mga decimal fraction patungo sa mga ordinaryong fraction.

Halimbawa.

Lutasin ang Sistema ng Tatlong Equation sa Pamamaraang Gaussian .

Desisyon.

Tandaan na sa halimbawang ito, ang mga hindi kilalang variable ay may ibang pagtatalaga (hindi x 1 , x 2 , x 3 , ngunit x, y, z ). Lumipat tayo sa mga ordinaryong fraction:

Tanggalin ang hindi kilalang x mula sa pangalawa at pangatlong equation ng system:

Sa resultang sistema, walang hindi kilalang variable na y sa pangalawang equation, at y ay naroroon sa ikatlong equation, samakatuwid, pinapalitan namin ang pangalawa at pangatlong equation:

Sa puntong ito, tapos na ang direktang kurso ng Gauss method (hindi mo kailangang ibukod ang y mula sa ikatlong equation, dahil wala na itong hindi kilalang variable na ito).

Balik tayo.

Mula sa huling equation nakita namin ,
mula sa penultimate


mula sa unang equation na mayroon tayo

Sagot:

X=10, y=5, z=-20.

Ang solusyon ng mga sistema ng linear algebraic equation, kung saan ang bilang ng mga equation ay hindi nag-tutugma sa bilang ng mga hindi alam, o ang pangunahing matrix ng system ay degenerate, sa pamamagitan ng Gauss method.

Ang mga sistema ng mga equation na ang pangunahing matrix ay hugis-parihaba o square degenerate ay maaaring walang mga solusyon, maaaring may isang solong solusyon, o maaaring magkaroon ng walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Ngayon ay mauunawaan natin kung paano pinahihintulutan tayo ng pamamaraang Gauss na itatag ang pagkakatugma o hindi pagkakapare-pareho ng isang sistema ng mga linear na equation, at sa kaso ng pagiging tugma nito, tukuyin ang lahat ng mga solusyon (o isang solong solusyon).

Sa prinsipyo, ang proseso ng pag-aalis ng mga hindi kilalang variable sa kaso ng naturang mga SLAE ay nananatiling pareho. Gayunpaman, ito ay nagkakahalaga ng paninirahan nang detalyado sa ilang mga sitwasyon na maaaring lumitaw.

Lumipat tayo sa pinakamahalagang hakbang.

Kaya, ipagpalagay natin na ang sistema ng mga linear algebraic equation pagkatapos ng pagkumpleto ng forward run ng Gauss method ay nasa anyo. at wala sa mga equation ang nabawasan sa (sa kasong ito, ipapasiya namin na ang sistema ay hindi naaayon). Isang lohikal na tanong ang lumitaw: "Ano ang susunod na gagawin"?

Isinulat namin ang hindi kilalang mga variable na nasa unang lugar ng lahat ng mga equation ng nagresultang sistema:

Sa aming halimbawa, ito ay x 1 , x 4 at x 5 . Sa kaliwang bahagi ng mga equation ng system, iniiwan lamang namin ang mga termino na naglalaman ng mga nakasulat na hindi kilalang mga variable x 1, x 4 at x 5, inililipat namin ang natitirang mga termino sa kanang bahagi ng mga equation na may kabaligtaran na tanda:

Magtalaga tayo ng mga di-makatwirang halaga sa hindi kilalang mga variable na nasa kanang bahagi ng mga equation, kung saan - di-makatwirang mga numero:

Pagkatapos nito, ang mga numero ay matatagpuan sa mga tamang bahagi ng lahat ng mga equation ng ating SLAE at maaari tayong magpatuloy sa reverse course ng Gauss method.

Mula sa huling equation ng system na mayroon tayo , mula sa penultimate equation na nakita natin , mula sa unang equation na nakuha natin

Ang solusyon ng sistema ng mga equation ay ang hanay ng mga halaga ng hindi kilalang mga variable

Pagbibigay ng mga numero iba't ibang mga halaga, makakakuha tayo ng iba't ibang mga solusyon sa sistema ng mga equation. Ibig sabihin, ang ating sistema ng mga equation ay may walang katapusang maraming solusyon.

Sagot:

saan - di-makatwirang mga numero.

Upang pagsama-samahin ang materyal, susuriin namin nang detalyado ang mga solusyon ng ilang higit pang mga halimbawa.

Halimbawa.

Lutasin ang Homogeneous System ng Linear Algebraic Equation Gaussian na pamamaraan.

Desisyon.

Ibukod natin ang hindi kilalang variable na x mula sa pangalawa at pangatlong equation ng system. Upang gawin ito, idagdag ang kaliwa at kanang bahagi ng unang equation, ayon sa pagkakabanggit, sa kaliwa at kanang bahagi ng pangalawang equation, pinarami ng , at sa kaliwa at kanang bahagi ng ikatlong equation, ang kaliwa at kanang bahagi ng unang equation, pinarami ng :

Ngayon ay hindi namin isasama ang y mula sa ikatlong equation ng nagresultang sistema ng mga equation:

Ang resultang SLAE ay katumbas ng system .

Iniiwan lamang namin ang mga terminong naglalaman ng hindi kilalang variable na x at y sa kaliwang bahagi ng mga equation ng system, at ilipat ang mga termino na may hindi kilalang variable na z sa kanang bahagi:

Patuloy naming isinasaalang-alang ang mga sistema ng mga linear na equation. Ang araling ito ay ang pangatlo sa paksa. Kung mayroon kang isang hindi malinaw na ideya kung ano ang isang sistema ng mga linear na equation sa pangkalahatan, sa tingin mo ay tulad ng isang tsarera, pagkatapos ay inirerekumenda ko na magsimula sa mga pangunahing kaalaman sa Susunod na pahina, kapaki-pakinabang na pag-aralan ang aralin.

Gauss method ay madali! Bakit? Ang sikat na Aleman na matematiko na si Johann Carl Friedrich Gauss, noong nabubuhay pa siya, ay tumanggap ng pagkilala bilang pinakadakilang matematiko sa lahat ng panahon, isang henyo, at maging ang palayaw na "Hari ng Matematika". At lahat ng mapanlikha, tulad ng alam mo, ay simple! Sa pamamagitan ng paraan, hindi lamang mga suckers, kundi pati na rin ang mga henyo ay nakakakuha ng pera - ang larawan ng Gauss na ipinagmamalaki sa isang kuwenta ng 10 Deutschmarks (bago ang pagpapakilala ng euro), at si Gauss ay misteryosong ngumiti pa rin sa mga Aleman mula sa mga ordinaryong selyo ng selyo.

Ang pamamaraang Gauss ay simple dahil SAPAT NA ANG KAALAMAN NG ISANG IKALIMANG BAITANG NA MAG-AARAL upang makabisado ito. Dapat marunong magdagdag at magparami! Ito ay hindi nagkataon na ang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam ay madalas na isinasaalang-alang ng mga guro sa mga elective sa matematika ng paaralan. Ito ay isang kabalintunaan, ngunit ang pamamaraang Gauss ay nagdudulot ng pinakamalaking paghihirap para sa mga mag-aaral. Walang nakakagulat - lahat ito ay tungkol sa pamamaraan, at susubukan kong sabihin sa isang naa-access na form tungkol sa algorithm ng pamamaraan.

Una, i-systematize namin ang kaalaman tungkol sa mga sistema ng linear equation nang kaunti. Ang isang sistema ng mga linear na equation ay maaaring:

1) Magkaroon ng natatanging solusyon. 2) Magkaroon ng walang katapusang maraming solusyon. 3) Walang mga solusyon (maging hindi magkatugma).

Ang Gauss method ay ang pinakamakapangyarihan at versatile na tool para sa paghahanap ng solusyon anuman sistema ng mga linear na equation. Sa pagkakaalala natin Ang panuntunan at pamamaraan ng matrix ng Cramer ay hindi angkop sa mga kaso kung saan ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon o hindi pare-pareho. Isang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam sabagay humantong kami sa sagot! Sa araling ito, muli nating isasaalang-alang ang pamamaraang Gauss para sa kaso No. 1 (ang tanging solusyon sa sistema), ang isang artikulo ay nakalaan para sa mga sitwasyon ng mga puntos No. 2-3. Tandaan ko na ang paraan ng algorithm mismo ay gumagana sa parehong paraan sa lahat ng tatlong mga kaso.

Bumalik tayo sa pinakasimpleng sistema mula sa aralin Paano malutas ang isang sistema ng mga linear equation? at lutasin ito gamit ang Gaussian method.

Ang unang hakbang ay magsulat pinahabang sistema ng matrix: . Sa pamamagitan ng kung anong prinsipyo ang mga coefficient ay naitala, sa palagay ko ay makikita ng lahat. Ang patayong linya sa loob ng matrix ay hindi nagdadala ng anumang mathematical na kahulugan - ito ay isang strikethrough lamang para sa kadalian ng disenyo.

Sanggunian : Inirerekomenda kong tandaan mga tuntunin linear algebra. System Matrix ay isang matrix na binubuo lamang ng mga coefficient para sa mga hindi alam, sa halimbawang ito, ang matrix ng system: . Pinalawak na System Matrix ay ang parehong matrix ng system kasama ang isang column ng mga libreng miyembro, sa kasong ito: . Anuman sa mga matrice ay maaaring tawaging simpleng matrix para sa kaiklian.

Matapos isulat ang pinahabang matrix ng system, kinakailangan na magsagawa ng ilang mga aksyon kasama nito, na tinatawag din mga pagbabagong elementarya.

Mayroong mga sumusunod na pagbabagong elementarya:

1) Mga string matrice pwede muling ayusin mga lugar. Halimbawa, sa matrix na isinasaalang-alang, maaari mong ligtas na muling ayusin ang una at pangalawang hilera:

2) Kung mayroong (o lumitaw) na proporsyonal (bilang isang espesyal na kaso - magkapareho) na mga hilera sa matrix, pagkatapos ay sumusunod ito tanggalin mula sa matrix, lahat ng mga row na ito maliban sa isa. Isaalang-alang, halimbawa, ang matrix . Sa matrix na ito, ang huling tatlong hanay ay proporsyonal, kaya sapat na mag-iwan lamang ng isa sa mga ito: .

3) Kung ang isang zero na hilera ay lumitaw sa matrix sa panahon ng mga pagbabagong-anyo, pagkatapos ay sumusunod din ito tanggalin. Hindi ako gumuhit, siyempre, ang zero line ay ang linya kung saan mga zero lang.

4) Ang hilera ng matrix ay maaaring multiply (divide) para sa anumang numero hindi zero. Isaalang-alang, halimbawa, ang matrix . Dito ipinapayong hatiin ang unang linya ng -3, at i-multiply ang pangalawang linya ng 2: . Ang aksyon na ito ay lubhang kapaki-pakinabang, dahil pinapasimple nito ang mga karagdagang pagbabago ng matrix.

5) Ang pagbabagong ito ay nagdudulot ng pinakamaraming kahirapan, ngunit sa katunayan ay wala ring kumplikado. Sa hilera ng matrix, magagawa mo magdagdag ng isa pang string na pinarami ng isang numero, iba sa zero. Isaalang-alang ang aming matrix mula sa isang praktikal na halimbawa: . Una, ilalarawan ko nang detalyado ang pagbabago. I-multiply ang unang hilera sa -2: , at sa pangalawang linya idinagdag namin ang unang linya na pinarami ng -2: . Ngayon ang unang linya ay maaaring hatiin "pabalik" ng -2: . Tulad ng nakikita mo, ang linya na ADDED LI – hindi nagbago. Laging ang linya ay binago, KUNG SAAN DAGDAG UT.

Sa pagsasagawa, siyempre, hindi sila nagpinta sa ganoong detalye, ngunit sumulat ng mas maikli: Muli: sa pangalawang linya idinagdag ang unang hilera na pinarami ng -2. Ang linya ay kadalasang pinararami nang pasalita o sa isang draft, habang ang mental na kurso ng mga kalkulasyon ay katulad nito:

"Isinulat ko muli ang matrix at muling isinulat ang unang hilera: »

Unang column muna. Sa ibaba kailangan kong makakuha ng zero. Samakatuwid, pinarami ko ang yunit sa itaas ng -2:, at idinagdag ang una sa pangalawang linya: 2 + (-2) = 0. Isinulat ko ang resulta sa pangalawang linya: »

“Ngayon ang pangalawang column. Sa itaas -1 beses -2: . Idinaragdag ko ang una sa pangalawang linya: 1 + 2 = 3. Isinulat ko ang resulta sa pangalawang linya: »

“At ang ikatlong column. Sa itaas -5 beses -2: . Idinagdag ko ang unang linya sa pangalawang linya: -7 + 10 = 3. Isinulat ko ang resulta sa pangalawang linya: »

Mangyaring pag-isipang mabuti ang halimbawang ito at unawain ang sunud-sunod na algorithm ng pagkalkula, kung naiintindihan mo ito, kung gayon ang paraan ng Gauss ay halos "nasa iyong bulsa". Ngunit, siyempre, ginagawa pa rin namin ang pagbabagong ito.

Ang mga pagbabago sa elementarya ay hindi nagbabago sa solusyon ng sistema ng mga equation

! PANSIN: itinuturing na mga manipulasyon hindi maaaring gamitin, kung ikaw ay inaalok ng isang gawain kung saan ang mga matrice ay ibinigay "sa pamamagitan ng kanilang mga sarili". Halimbawa, na may "classic" matrice sa anumang kaso dapat mong muling ayusin ang isang bagay sa loob ng matrices! Balik tayo sa ating sistema. Halos pira-piraso na siya.

Isulat natin ang augmented matrix ng system at, gamit ang elementary transformations, bawasan ito sa stepped view:

(1) Ang unang hilera ay idinagdag sa pangalawang hilera, na pinarami ng -2. At muli: bakit natin pinarami ang unang hilera sa -2? Upang makakuha ng zero sa ibaba, na nangangahulugan ng pag-alis ng isang variable sa pangalawang linya.

(2) Hatiin ang pangalawang hanay ng 3.

Ang layunin ng mga pagbabagong elementarya – i-convert ang matrix sa step form: . Sa disenyo ng gawain, direktang inilabas nila ang "hagdan" gamit ang isang simpleng lapis, at bilugan din ang mga numero na matatagpuan sa "mga hakbang". Ang terminong "stepped view" mismo ay hindi ganap na teoretikal; sa siyentipiko at pang-edukasyon na panitikan, madalas itong tinatawag trapezoidal view o tatsulok na view.

Bilang resulta ng mga pagbabagong elementarya, nakuha namin katumbas orihinal na sistema ng mga equation:

Ngayon ang system ay kailangang "untwisted" sa kabaligtaran na direksyon - mula sa ibaba pataas, ang prosesong ito ay tinatawag baligtarin ang pamamaraang Gauss.

Sa mas mababang equation, mayroon na tayong natapos na resulta: .

Isaalang-alang ang unang equation ng system at palitan ang kilalang halaga ng "y" dito:

Isaalang-alang natin ang pinakakaraniwang sitwasyon, kapag ang Gaussian na pamamaraan ay kinakailangan upang malutas ang isang sistema ng tatlong linear equation na may tatlong hindi alam.

Halimbawa 1

Lutasin ang sistema ng mga equation gamit ang Gauss method:

Isulat natin ang augmented matrix ng system:

Ngayon ay agad kong iguguhit ang resulta na darating sa kurso ng solusyon: At inuulit ko, ang layunin namin ay dalhin ang matrix sa isang stepped form gamit ang elementary transformations. Saan magsisimulang kumilos?

Una, tingnan ang kaliwang itaas na numero: Dapat halos laging nandito yunit. Sa pangkalahatan, ang -1 (at kung minsan ay iba pang mga numero) ay babagay din, ngunit sa paanuman ay tradisyonal na nangyari na ang isang yunit ay karaniwang nakalagay doon. Paano ayusin ang isang yunit? Tinitingnan namin ang unang column - mayroon kaming tapos na unit! Transformation one: palitan ang una at ikatlong linya:

Ngayon ang unang linya ay mananatiling hindi nagbabago hanggang sa katapusan ng solusyon. Ngayon ayos na.

Nakaayos ang unit sa kaliwang itaas. Ngayon ay kailangan mong makakuha ng mga zero sa mga lugar na ito:

Ang mga zero ay nakuha lamang sa tulong ng isang "mahirap" na pagbabago. Una, haharapin natin ang pangalawang linya (2, -1, 3, 13). Ano ang kailangang gawin upang makakuha ng zero sa unang posisyon? Kailangan sa pangalawang linya idagdag ang unang linya na pinarami ng -2. Sa isip o sa isang draft, i-multiply natin ang unang linya sa -2: (-2, -4, 2, -18). At palagi kaming nagsasagawa (muli sa isip o sa isang draft) karagdagan, sa pangalawang linya idinagdag namin ang unang linya, na pinarami na ng -2:

Ang resulta ay nakasulat sa pangalawang linya:

Katulad nito, haharapin natin ang ikatlong linya (3, 2, -5, -1). Upang makakuha ng zero sa unang posisyon, kailangan mo sa ikatlong linya idagdag ang unang linya na pinarami ng -3. Sa isip o sa isang draft, i-multiply natin ang unang linya sa -3: (-3, -6, 3, -27). At sa ikatlong linya idinaragdag namin ang unang linya na pinarami ng -3:

Ang resulta ay nakasulat sa ikatlong linya:

Sa pagsasagawa, ang mga pagkilos na ito ay karaniwang ginagawa sa salita at nakasulat sa isang hakbang:

Hindi na kailangang bilangin ang lahat nang sabay-sabay. Ang pagkakasunud-sunod ng mga kalkulasyon at "insertion" ng mga resulta pare-pareho at kadalasang ganito: una nating isusulat muli ang unang linya, at tahimik na pumuputok - KONSISTENTO at MAPANSIN:
At naisip ko na ang mental na kurso ng mga kalkulasyon mismo sa itaas.

Sa halimbawang ito, ito ay madaling gawin, hinahati namin ang pangalawang linya sa -5 (dahil ang lahat ng mga numero ay nahahati sa 5 nang walang natitira). Kasabay nito, hinahati namin ang ikatlong linya sa pamamagitan ng -2, dahil mas maliit ang numero, mas simple ang solusyon:

Sa huling yugto ng elementarya na pagbabago, isa pang zero ang dapat makuha dito:

Para dito sa ikatlong linya idinagdag namin ang pangalawang linya, na pinarami ng -2:
Subukang i-parse ang pagkilos na ito sa iyong sarili - mentally multiply ang pangalawang linya sa pamamagitan ng -2 at isagawa ang karagdagan.

Ang huling aksyon na ginawa ay ang hairstyle ng resulta, hatiin ang ikatlong linya ng 3.

Bilang resulta ng mga pagbabagong elementarya, nakuha ang isang katumbas na paunang sistema ng mga linear na equation: Malamig.

Ngayon ang baligtad na kurso ng pamamaraang Gaussian ay naglalaro. Ang mga equation ay "unwind" mula sa ibaba pataas.

Sa ikatlong equation, mayroon na tayong natapos na resulta:

Tingnan natin ang pangalawang equation: . Ang kahulugan ng "z" ay kilala na, kaya:

At sa wakas, ang unang equation: . Ang "Y" at "Z" ay kilala, ang bagay ay maliit:

Sagot:

Tulad ng paulit-ulit na nabanggit, para sa anumang sistema ng mga equation, posible at kinakailangan upang suriin ang nahanap na solusyon, sa kabutihang palad, hindi ito mahirap at mabilis.

Halimbawa 2

Ito ay isang halimbawa para sa paglutas sa sarili, isang halimbawa ng pagtatapos at isang sagot sa pagtatapos ng aralin.

Dapat tandaan na ang iyong kurso ng aksyon Maaaring hindi sumasabay sa aking kilos, at ito ay isang tampok ng pamamaraang Gauss. Ngunit ang mga sagot ay dapat na pareho!

Halimbawa 3

Lutasin ang isang sistema ng mga linear equation gamit ang Gauss method

Tinitingnan namin ang itaas na kaliwang "hakbang". Doon tayo dapat magkaroon ng unit. Ang problema ay walang sinuman sa unang hanay, kaya walang malulutas sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga hilera. Sa ganitong mga kaso, dapat ayusin ang yunit gamit ang elementarya na pagbabago. Ito ay karaniwang maaaring gawin sa maraming paraan. Ginawa ko ito: (1) Sa unang linya idinagdag namin ang pangalawang linya, na pinarami ng -1. Iyon ay, pinarami namin sa isip ang pangalawang linya sa -1 at isinagawa ang pagdaragdag ng una at pangalawang linya, habang ang pangalawang linya ay hindi nagbago.

Ngayon sa itaas na kaliwang "minus one", na ganap na nababagay sa amin. Kung sino ang gustong makakuha ng +1 ay maaaring magsagawa ng karagdagang galaw: i-multiply ang unang linya sa -1 (palitan ang sign nito).

(2) Ang unang hilera na pinarami ng 5 ay idinagdag sa ikalawang hanay. Ang unang hilera na pinarami ng 3 ay idinagdag sa ikatlong hanay.

(3) Ang unang linya ay pinarami ng -1, sa prinsipyo, ito ay para sa kagandahan. Ang tanda ng ikatlong linya ay binago din at inilipat sa pangalawang lugar, kaya, sa pangalawang "hakbang, mayroon kaming nais na yunit.

(4) Ang pangalawang linya na pinarami ng 2 ay idinagdag sa ikatlong linya.

(5) Ang ikatlong hanay ay hinati ng 3.

Ang isang masamang senyales na nagpapahiwatig ng isang error sa pagkalkula (mas madalas na isang typo) ay isang "masamang" bottom line. Iyon ay, kung nakakuha tayo ng isang bagay tulad ng nasa ibaba, at, nang naaayon, , pagkatapos ay may mataas na antas ng posibilidad na mapagtatalunan na ang isang pagkakamali ay ginawa sa kurso ng mga pagbabagong elementarya.

Sinisingil namin ang reverse move, sa disenyo ng mga halimbawa, ang system mismo ay madalas na hindi muling isinulat, at ang mga equation ay "direktang kinuha mula sa ibinigay na matrix". Ang reverse move, ipinaalala ko sa iyo, ay gumagana mula sa ibaba pataas. Oo, narito ang isang regalo:

Sagot: .

Halimbawa 4

Lutasin ang isang sistema ng mga linear equation gamit ang Gauss method

Ito ay isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon, ito ay medyo mas kumplikado. Okay lang kung may nalilito. Buong solusyon at sample ng disenyo sa pagtatapos ng aralin. Maaaring iba ang iyong solusyon sa akin.

Sa huling bahagi, isinasaalang-alang namin ang ilang mga tampok ng algorithm ng Gauss. Ang unang tampok ay kung minsan ang ilang mga variable ay nawawala sa mga equation ng system, halimbawa: Paano isulat nang tama ang augmented matrix ng system? Napag-usapan ko na ang sandaling ito sa aralin. Ang panuntunan ni Cramer. Paraan ng matrix. Sa pinalawak na matrix ng system, inilalagay namin ang mga zero sa lugar ng mga nawawalang variable: Sa pamamagitan ng paraan, ito ay isang medyo madaling halimbawa, dahil mayroon nang isang zero sa unang hanay, at may mas kaunting mga pagbabagong elementarya na dapat gawin.

Ang pangalawang tampok ay ito. Sa lahat ng mga halimbawang isinasaalang-alang, inilagay namin ang alinman sa -1 o +1 sa "mga hakbang". Maaaring may iba pang mga numero? Sa ilang mga kaso kaya nila. Isaalang-alang ang sistema: .

Dito sa itaas na kaliwang "hakbang" mayroon kaming isang deuce. Ngunit napansin namin ang katotohanan na ang lahat ng mga numero sa unang hanay ay nahahati sa 2 nang walang natitira - at isa pang dalawa at anim. At ang deuce sa kaliwang tuktok ay babagay sa atin! Sa unang hakbang, kailangan mong gawin ang mga sumusunod na pagbabago: idagdag ang unang linya na pinarami ng -1 sa pangalawang linya; sa ikatlong linya idagdag ang unang linya na pinarami ng -3. Kaya, makukuha natin ang ninanais na mga zero sa unang hanay.

O isa pang hypothetical na halimbawa: . Dito, ang triple sa pangalawang "rung" ay nababagay din sa atin, dahil ang 12 (ang lugar kung saan kailangan nating makakuha ng zero) ay nahahati sa 3 nang walang natitira. Kinakailangan na isagawa ang sumusunod na pagbabagong-anyo: sa ikatlong linya, idagdag ang pangalawang linya, na pinarami ng -4, bilang isang resulta kung saan ang zero na kailangan natin ay makukuha.

Ang paraan ng Gauss ay pangkalahatan, ngunit mayroong isang kakaiba. Maaari mong kumpiyansa na matutunan kung paano lutasin ang mga system sa pamamagitan ng iba pang mga pamamaraan (paraan ng Cramer, pamamaraan ng matrix) nang literal mula sa unang pagkakataon - mayroong isang napakahigpit na algorithm. Ngunit upang makaramdam ng tiwala sa pamamaraang Gauss, dapat mong "punan ang iyong kamay" at lutasin ang hindi bababa sa 5-10 sampung sistema. Samakatuwid, sa una ay maaaring may pagkalito, mga pagkakamali sa mga kalkulasyon, at walang kakaiba o trahedya dito.

Maulan na panahon ng taglagas sa labas ng bintana .... Samakatuwid, para sa lahat, isang mas kumplikadong halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:

Halimbawa 5

Lutasin ang isang sistema ng 4 na linear equation na may apat na hindi alam gamit ang Gauss method.

Ang ganitong gawain sa pagsasanay ay hindi gaanong bihira. Sa palagay ko kahit na ang isang teapot na nag-aral ng pahinang ito nang detalyado ay nauunawaan ang algorithm para sa paglutas ng naturang sistema nang intuitively. Karaniwang pareho - mas maraming aksyon.

Isinasaalang-alang sa aralin ang mga kaso kung kailan ang sistema ay walang mga solusyon (hindi naaayon) o may walang katapusang maraming solusyon. Mga hindi tugmang system at system na may karaniwang solusyon. Doon maaari mong ayusin ang isinasaalang-alang na algorithm ng pamamaraang Gauss.

Sana swertehin ka!

Mga solusyon at sagot:

Halimbawa 2: Desisyon : Isulat natin ang pinahabang matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa isang stepped form.
Nagsagawa ng mga pagbabagong elementarya: (1) Ang unang hilera ay idinagdag sa pangalawang hilera, na pinarami ng -2. Ang unang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng -1. Pansin! Dito ay maaaring maging kaakit-akit na ibawas ang una mula sa ikatlong linya, hindi ko inirerekumenda ang pagbabawas - ang panganib ng error ay lubhang tumataas. Tupi na lang tayo! (2) Ang tanda ng pangalawang linya ay binago (multiplied sa -1). Ang pangalawa at pangatlong linya ay napalitan na. tala na sa "mga hakbang" ay nasisiyahan tayo hindi lamang sa isa, kundi pati na rin sa -1, na mas maginhawa. (3) Sa ikatlong linya, idagdag ang pangalawang linya, na pinarami ng 5. (4) Ang tanda ng pangalawang linya ay binago (multiplied sa -1). Ang ikatlong linya ay hinati ng 14.

Baliktad na galaw:

Sagot : .

Halimbawa 4: Desisyon : Isulat natin ang pinahabang matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa isang stepped form:

Ginawa ang mga conversion: (1) Ang pangalawang linya ay idinagdag sa unang linya. Kaya, ang nais na yunit ay nakaayos sa itaas na kaliwang "hakbang". (2) Ang unang hilera na pinarami ng 7 ay idinagdag sa ikalawang hanay. Ang unang hilera na pinarami ng 6 ay idinagdag sa ikatlong hanay.

Sa pangalawang "hakbang" ang lahat ay mas masahol pa , ang "mga kandidato" para dito ay ang mga numero 17 at 23, at kailangan namin ng alinman sa isa o -1. Ang mga pagbabagong-anyo (3) at (4) ay naglalayong makuha ang ninanais na yunit (3) Ang pangalawang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng -1. (4) Ang ikatlong linya, na pinarami ng -3, ay idinagdag sa pangalawang linya. Ang kinakailangang bagay sa ikalawang hakbang ay natanggap . (5) Sa ikatlong linya ay idinagdag ang pangalawa, na pinarami ng 6. (6) Ang ikalawang hanay ay pinarami ng -1, ang ikatlong hanay ay hinati sa -83.

Baliktad na galaw:

Sagot :

Halimbawa 5: Desisyon : Isulat natin ang matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa sunud-sunod na anyo:

Ginawa ang mga conversion: (1) Napalitan na ang una at pangalawang linya. (2) Ang unang hilera ay idinagdag sa pangalawang hilera, na pinarami ng -2. Ang unang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng -2. Ang unang linya ay idinagdag sa ikaapat na linya, na pinarami ng -3. (3) Ang pangalawang linya na pinarami ng 4 ay idinagdag sa ikatlong linya. Ang pangalawang linya na pinarami ng -1 ay idinagdag sa ikaapat na linya. (4) Ang tanda ng ikalawang linya ay binago. Ang ikaapat na linya ay hinati ng 3 at inilagay sa halip na ang ikatlong linya. (5) Ang ikatlong linya ay idinagdag sa ikaapat na linya, na pinarami ng -5.

Baliktad na galaw:

Sagot :

Hayaang magbigay ng isang sistema ng mga linear algebraic equation, na dapat lutasin (hanapin ang mga naturang halaga ng mga hindi alam na хi na nagiging equation ng system sa isang pagkakapantay-pantay).

Alam namin na ang isang sistema ng mga linear algebraic equation ay maaaring:

1) Walang mga solusyon (maging hindi magkatugma).
2) Magkaroon ng walang katapusang maraming solusyon.
3) Magkaroon ng natatanging solusyon.

Tulad ng natatandaan natin, ang panuntunan ng Cramer at ang pamamaraan ng matrix ay hindi angkop sa mga kaso kung saan ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon o hindi pare-pareho. Pamamaraan ng Gauss – ang pinakamakapangyarihan at maraming nalalaman na tool para sa paghahanap ng mga solusyon sa anumang sistema ng mga linear equation, na sa bawat kaso humantong kami sa sagot! Ang algorithm ng pamamaraan sa lahat ng tatlong mga kaso ay gumagana sa parehong paraan. Kung ang mga pamamaraan ng Cramer at matrix ay nangangailangan ng kaalaman sa mga determinant, kung gayon ang aplikasyon ng pamamaraang Gauss ay nangangailangan lamang ng kaalaman sa mga pagpapatakbo ng aritmetika, na ginagawa itong naa-access kahit na sa mga mag-aaral sa elementarya.

Pinahabang pagbabago ng matrix ( ito ang matrix ng system - isang matrix na binubuo lamang ng mga coefficient ng mga hindi alam, kasama ang isang column ng mga libreng termino) mga sistema ng linear algebraic equation sa Gauss method:

1) kasama troky matrice pwede muling ayusin mga lugar.

2) kung mayroong (o may) proporsyonal (bilang isang espesyal na kaso - magkapareho) na mga hilera sa matrix, pagkatapos ay sumusunod ito tanggalin mula sa matrix, lahat ng mga row na ito maliban sa isa.

3) kung ang isang zero na hilera ay lumitaw sa matrix sa panahon ng mga pagbabagong-anyo, pagkatapos ay sumusunod din ito tanggalin.

4) ang hilera ng matrix ay maaaring multiply (divide) sa anumang numero maliban sa zero.

5) sa hilera ng matrix, maaari mong magdagdag ng isa pang string na pinarami ng isang numero, iba sa zero.

Sa pamamaraang Gauss, hindi binabago ng mga elementarya na pagbabago ang solusyon ng sistema ng mga equation.

Ang pamamaraang Gauss ay binubuo ng dalawang yugto:

1. "Direct move" - ​​​​gamit ang elementary transformations, dalhin ang extended matrix ng system ng linear algebraic equation sa isang "triangular" stepped form: ang mga elemento ng extended matrix na matatagpuan sa ibaba ng pangunahing diagonal ay katumbas ng zero (top-down na paglipat ). Halimbawa, sa ganitong uri:

Upang gawin ito, gawin ang mga sumusunod na hakbang:

1) Isaalang-alang natin ang unang equation ng isang sistema ng linear algebraic equation at ang coefficient sa x 1 ay katumbas ng K. Ang pangalawa, pangatlo, atbp. binabago namin ang mga equation bilang mga sumusunod: hinahati namin ang bawat equation (coefficients para sa mga hindi alam, kabilang ang mga libreng termino) sa pamamagitan ng coefficient para sa hindi kilalang x 1, na nasa bawat equation, at i-multiply sa K. Pagkatapos nito, ibawas ang una mula sa pangalawang equation ( coefficients para sa mga hindi alam at libreng termino). Nakukuha natin sa x 1 sa pangalawang equation ang coefficient 0. Mula sa ikatlong transformed equation ay ibawas natin ang unang equation, kaya hanggang sa lahat ng equation, maliban sa una, na may hindi kilalang x 1 ay hindi magkakaroon ng coefficient 0.

2) Lumipat sa susunod na equation. Hayaang ito ang pangalawang equation at ang coefficient sa x 2 ay katumbas ng M. Sa lahat ng "subordinate" na equation, magpapatuloy tayo gaya ng inilarawan sa itaas. Kaya, "sa ilalim" ng hindi kilalang x 2 sa lahat ng mga equation ay magiging mga zero.

3) Dumaan kami sa susunod na equation at iba pa hanggang sa mananatili ang isang huling hindi alam at binagong libreng termino.

1. Ang "reverse move" ng Gauss method ay upang makakuha ng solusyon sa isang sistema ng linear algebraic equation (ang "bottom-up" move). Mula sa huling "mas mababang" equation makakakuha tayo ng isang unang solusyon - ang hindi kilalang x n. Upang gawin ito, lutasin namin ang elementarya equation A * x n \u003d B. Sa halimbawa sa itaas, x 3 \u003d 4. Pinapalitan namin ang nahanap na halaga sa "itaas" na susunod na equation at lutasin ito na may paggalang sa susunod na hindi alam. Halimbawa, x 2 - 4 \u003d 1, i.e. x 2 \u003d 5. At iba pa hanggang sa mahanap namin ang lahat ng hindi alam.

Halimbawa.

Niresolba namin ang sistema ng mga linear na equation gamit ang Gauss method, gaya ng ipinapayo ng ilang may-akda:

Isulat natin ang pinahabang matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa isang stepped form:

Tinitingnan namin ang itaas na kaliwang "hakbang". Doon tayo dapat magkaroon ng unit. Ang problema ay walang sinuman sa unang hanay, kaya walang malulutas sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga hilera. Sa ganitong mga kaso, dapat ayusin ang yunit gamit ang elementarya na pagbabago. Ito ay karaniwang maaaring gawin sa maraming paraan. Gawin natin ito ng ganito:
1 hakbang . Sa unang linya idinagdag namin ang pangalawang linya, na pinarami ng -1. Iyon ay, pinarami namin sa isip ang pangalawang linya sa -1 at isinagawa ang pagdaragdag ng una at pangalawang linya, habang ang pangalawang linya ay hindi nagbago.

Ngayon sa itaas na kaliwang "minus one", na ganap na nababagay sa amin. Sino ang gustong makakuha ng +1 ay maaaring magsagawa ng karagdagang pagkilos: i-multiply ang unang linya sa -1 (palitan ang sign nito).

2 hakbang . Ang unang linya na pinarami ng 5 ay idinagdag sa pangalawang linya. Ang unang linya na pinarami ng 3 ay idinagdag sa ikatlong linya.

3 hakbang . Ang unang linya ay pinarami ng -1, sa prinsipyo, ito ay para sa kagandahan. Ang tanda ng ikatlong linya ay binago din at inilipat sa pangalawang lugar, kaya, sa pangalawang "hakbang, mayroon kaming nais na yunit.

4 na hakbang . Sa ikatlong linya, idagdag ang pangalawang linya, na pinarami ng 2.

5 hakbang . Ang ikatlong linya ay nahahati sa 3.

Ang isang palatandaan na nagpapahiwatig ng isang error sa mga kalkulasyon (mas madalas na isang typo) ay isang "masamang" ilalim na linya. Iyon ay, kung nakakuha tayo ng isang bagay na tulad ng (0 0 11 | 23) sa ibaba, at, nang naaayon, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, kung gayon na may mataas na antas ng posibilidad ay masasabi nating nagkamali noong elementarya. mga pagbabagong-anyo.

Ginagawa namin ang reverse move, sa disenyo ng mga halimbawa, ang system mismo ay madalas na hindi muling isinulat, at ang mga equation ay "direktang kinuha mula sa ibinigay na matrix". Ang reverse move, ipinaalala ko sa iyo, ay gumagana "mula sa ibaba pataas." Sa halimbawang ito, lumabas ang regalo:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, samakatuwid x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Sagot:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Lutasin natin ang parehong sistema gamit ang iminungkahing algorithm. Nakukuha namin

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Hatiin ang pangalawang equation sa pamamagitan ng 5 at ang pangatlo sa pamamagitan ng 3. Nakukuha namin ang:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

I-multiply ang pangalawa at pangatlong equation sa pamamagitan ng 4, nakukuha natin ang:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Ibawas ang unang equation mula sa pangalawa at pangatlong equation, mayroon tayong:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Hatiin ang ikatlong equation sa pamamagitan ng 0.64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

I-multiply ang ikatlong equation sa pamamagitan ng 0.4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Ibinabawas namin ang pangalawang equation mula sa ikatlong equation, nakuha namin ang "stepped" augmented matrix:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Kaya, dahil ang isang error ay naipon sa proseso ng mga kalkulasyon, nakakakuha kami ng x 3 \u003d 0.96, o humigit-kumulang 1.

x 2 \u003d 3 at x 1 \u003d -1.

Ang paglutas sa ganitong paraan, hindi ka malito sa mga kalkulasyon at, sa kabila ng mga pagkakamali sa pagkalkula, makukuha mo ang resulta.

Ang pamamaraang ito ng paglutas ng isang sistema ng mga linear algebraic equation ay madaling ma-program at hindi isinasaalang-alang ang mga partikular na tampok ng mga coefficient para sa mga hindi alam, dahil sa pagsasanay (sa pang-ekonomiya at teknikal na mga kalkulasyon) ang isang tao ay kailangang harapin ang mga non-integer coefficients.

Sana swertehin ka! Sa muling pagkikita sa klase! Tutor.

blog.site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kailangan ng link sa pinagmulan.

Mula pa noong simula ng ika-16-18 na siglo, sinimulan ng mga mathematician na masinsinang pag-aralan ang mga function, salamat sa kung saan napakaraming nagbago sa ating buhay. Ang teknolohiya ng kompyuter kung wala ang kaalamang ito ay hindi iiral. Upang malutas ang mga kumplikadong problema, mga linear na equation at function, ang iba't ibang mga konsepto, theorems at mga diskarte sa solusyon ay nilikha. Isa sa mga unibersal at makatwirang pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng mga linear na equation at ang kanilang mga sistema ay ang Gauss method. Mga matrice, ang kanilang ranggo, determinant - lahat ay maaaring kalkulahin nang hindi gumagamit ng mga kumplikadong operasyon.

Ano ang SLAU

Sa matematika, mayroong konsepto ng SLAE - isang sistema ng mga linear algebraic equation. Ano ang kinakatawan niya? Ito ay isang hanay ng mga m equation na may mga kinakailangang n hindi alam, karaniwang tinutukoy bilang x, y, z, o x 1 , x 2 ... x n, o iba pang mga simbolo. Upang malutas ang sistemang ito sa pamamagitan ng pamamaraang Gaussian ay nangangahulugang hanapin ang lahat ng hindi kilalang di-kilala. Kung ang isang sistema ay may parehong bilang ng mga hindi alam at mga equation, kung gayon ito ay tinatawag na isang n-th order system.

Ang pinakasikat na paraan para sa paglutas ng SLAE

Sa mga institusyong pang-edukasyon ng sekundaryong edukasyon, pinag-aaralan ang iba't ibang paraan ng paglutas ng mga naturang sistema. Kadalasan, ito ay mga simpleng equation na binubuo ng dalawang hindi alam, kaya ang anumang umiiral na paraan para sa paghahanap ng sagot sa mga ito ay hindi magtatagal ng maraming oras. Maaari itong maging tulad ng isang paraan ng pagpapalit, kapag ang isa pang equation ay hinango mula sa isang equation at pinalitan sa orihinal. O kataga ayon sa terminong pagbabawas at karagdagan. Ngunit ang paraan ng Gauss ay itinuturing na pinakamadali at pinaka-unibersal. Ginagawa nitong posible na malutas ang mga equation sa anumang bilang ng mga hindi alam. Bakit itinuturing na makatwiran ang pamamaraang ito? Simple lang ang lahat. Ang pamamaraan ng matrix ay mabuti dahil hindi ito nangangailangan ng maraming beses upang muling isulat ang mga hindi kinakailangang mga character sa anyo ng mga hindi alam, sapat na upang gawin ang mga operasyon ng aritmetika sa mga coefficient - at makakakuha ka ng isang maaasahang resulta.

Saan ginagamit ang mga SLAE sa pagsasanay?

Ang solusyon ng SLAE ay ang mga punto ng intersection ng mga linya sa mga graph ng mga function. Sa ating high-tech na panahon ng computer, ang mga taong malapit na kasangkot sa pagbuo ng mga laro at iba pang mga programa ay kailangang malaman kung paano lutasin ang mga naturang sistema, kung ano ang kanilang kinakatawan at kung paano suriin ang kawastuhan ng resultang resulta. Kadalasan, ang mga programmer ay bumuo ng mga espesyal na linear algebra calculators, kabilang dito ang isang sistema ng mga linear equation. Ang paraan ng Gauss ay nagpapahintulot sa iyo na kalkulahin ang lahat ng umiiral na mga solusyon. Ginagamit din ang iba pang pinasimpleng formula at teknik.

SLAE compatibility criterion

Ang ganitong sistema ay malulutas lamang kung ito ay magkatugma. Para sa kalinawan, ipinakita namin ang SLAE sa form na Ax=b. Ito ay may solusyon kung ang rang(A) ay katumbas ng rang(A,b). Sa kasong ito, ang (A,b) ay isang pinahabang form na matrix na maaaring makuha mula sa matrix A sa pamamagitan ng muling pagsusulat nito gamit ang mga libreng termino. Lumalabas na ang paglutas ng mga linear equation gamit ang Gaussian method ay medyo madali.

Marahil ang ilang notasyon ay hindi lubos na malinaw, kaya't kinakailangang isaalang-alang ang lahat ng may isang halimbawa. Sabihin nating mayroong isang sistema: x+y=1; 2x-3y=6. Binubuo lamang ito ng dalawang equation kung saan mayroong 2 hindi alam. Ang sistema ay magkakaroon lamang ng solusyon kung ang ranggo ng matrix nito ay katumbas ng ranggo ng augmented matrix. Ano ang isang ranggo? Ito ang bilang ng mga independiyenteng linya ng system. Sa aming kaso, ang ranggo ng matrix ay 2. Ang Matrix A ay bubuo ng mga coefficient na matatagpuan malapit sa mga hindi alam, at ang mga coefficient sa likod ng sign na "=" ay magkakasya din sa pinalawak na matrix.

Bakit maaaring katawanin ang SLAE sa anyong matrix

Batay sa compatibility criterion ayon sa napatunayang Kronecker-Capelli theorem, ang sistema ng linear algebraic equation ay maaaring katawanin sa matrix form. Gamit ang Gaussian cascade method, maaari mong lutasin ang matrix at makuha ang tanging maaasahang sagot para sa buong system. Kung ang ranggo ng isang ordinaryong matrix ay katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix nito, ngunit mas mababa sa bilang ng mga hindi alam, kung gayon ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga sagot.

Mga pagbabago sa matrix

Bago lumipat sa paglutas ng mga matrice, kinakailangang malaman kung anong mga aksyon ang maaaring gawin sa kanilang mga elemento. Mayroong ilang mga pangunahing pagbabago:

• Sa pamamagitan ng muling pagsulat ng system sa isang matrix form at pagsasakatuparan ng solusyon nito, posibleng i-multiply ang lahat ng elemento ng serye sa parehong koepisyent.
• Upang ma-convert ang isang matrix sa canonical form, dalawang parallel row ang maaaring palitan. Ang canonical form ay nagpapahiwatig na ang lahat ng mga elemento ng matrix na matatagpuan sa kahabaan ng pangunahing dayagonal ay nagiging isa, at ang mga natitira ay nagiging mga zero.
• Ang mga kaukulang elemento ng parallel row ng matrix ay maaaring idagdag ng isa sa isa.

Paraan ng Jordan-Gauss

Ang kakanyahan ng paglutas ng mga sistema ng linear homogenous at inhomogeneous equation sa pamamagitan ng Gauss method ay ang unti-unting pagtanggal ng mga hindi alam. Sabihin nating mayroon tayong sistema ng dalawang equation kung saan mayroong dalawang hindi alam. Upang mahanap ang mga ito, kailangan mong suriin ang system para sa pagiging tugma. Ang Gaussian equation ay nalutas nang napakasimple. Kinakailangang isulat ang mga coefficient na matatagpuan malapit sa bawat hindi alam sa isang matrix form. Upang malutas ang system, kailangan mong isulat ang augmented matrix. Kung ang isa sa mga equation ay naglalaman ng mas maliit na bilang ng mga hindi alam, dapat ilagay ang "0" sa lugar ng nawawalang elemento. Ang lahat ng kilalang paraan ng pagbabago ay inilalapat sa matrix: multiplikasyon, paghahati sa isang numero, pagdaragdag ng mga kaukulang elemento ng mga hilera sa bawat isa, at iba pa. Ito ay lumalabas na sa bawat hilera kinakailangan na mag-iwan ng isang variable na may halagang "1", ang natitira ay dapat bawasan sa zero. Para sa isang mas tumpak na pag-unawa, kinakailangang isaalang-alang ang pamamaraang Gauss na may mga halimbawa.

Isang simpleng halimbawa ng paglutas ng 2x2 system

Upang magsimula, kunin natin ang isang simpleng sistema ng mga algebraic equation, kung saan magkakaroon ng 2 hindi alam.

Isulat muli natin ito sa isang augmented matrix.

Upang malutas ang sistemang ito ng mga linear na equation, dalawang operasyon lamang ang kinakailangan. Kailangan nating dalhin ang matrix sa canonical form upang mayroong mga unit kasama ang pangunahing dayagonal. Kaya, ang pagsasalin mula sa matrix form pabalik sa system, nakuha namin ang mga equation: 1x+0y=b1 at 0x+1y=b2, kung saan ang b1 at b2 ay ang mga sagot na nakuha sa proseso ng paglutas.

1. Ang unang hakbang sa paglutas ng augmented matrix ay ang mga sumusunod: ang unang hilera ay dapat na i-multiply sa -7 at ang mga kaukulang elemento ay idinagdag sa pangalawang hilera, ayon sa pagkakabanggit, upang maalis ang isang hindi kilala sa pangalawang equation.
2. Dahil ang solusyon ng mga equation sa pamamagitan ng Gauss method ay nagpapahiwatig ng pagdadala ng matrix sa canonical form, kung gayon kinakailangan na gawin ang parehong mga operasyon sa unang equation at alisin ang pangalawang variable. Upang gawin ito, ibawas namin ang pangalawang linya mula sa una at makuha ang kinakailangang sagot - ang solusyon ng SLAE. O, tulad ng ipinapakita sa figure, pinarami namin ang pangalawang hilera sa pamamagitan ng isang kadahilanan ng -1 at idagdag ang mga elemento ng pangalawang hilera sa unang hilera. Ito ay pareho.

Tulad ng nakikita mo, ang aming system ay nalutas sa pamamagitan ng pamamaraang Jordan-Gauss. Muli naming isinusulat ito sa kinakailangang anyo: x=-5, y=7.

Isang halimbawa ng paglutas ng SLAE 3x3

Ipagpalagay na mayroon tayong mas kumplikadong sistema ng mga linear na equation. Ginagawang posible ng pamamaraang Gauss na kalkulahin ang sagot kahit na para sa pinaka tila nakakalito na sistema. Samakatuwid, upang mas malalim ang pag-aaral sa pamamaraan ng pagkalkula, maaari tayong magpatuloy sa isang mas kumplikadong halimbawa na may tatlong hindi alam.

Tulad ng sa nakaraang halimbawa, muling isinulat namin ang system sa anyo ng isang pinalawak na matrix at sinimulan itong dalhin sa canonical form.

Upang malutas ang sistemang ito, kakailanganin mong magsagawa ng higit pang mga aksyon kaysa sa nakaraang halimbawa.

1. Una kailangan mong gumawa sa unang hanay ng isang solong elemento at ang natitirang mga zero. Upang gawin ito, i-multiply ang unang equation sa -1 at idagdag ang pangalawang equation dito. Mahalagang tandaan na muling isinulat namin ang unang linya sa orihinal nitong anyo, at ang pangalawa - nasa binagong anyo na.
2. Susunod, aalisin namin ang parehong unang hindi alam mula sa ikatlong equation. Upang gawin ito, pinarami namin ang mga elemento ng unang hilera sa pamamagitan ng -2 at idagdag ang mga ito sa ikatlong hilera. Ngayon ang una at pangalawang linya ay muling isinulat sa kanilang orihinal na anyo, at ang pangatlo - mayroon nang mga pagbabago. Tulad ng nakikita mo mula sa resulta, nakuha namin ang una sa simula ng pangunahing dayagonal ng matrix at ang natitira ay mga zero. Ang ilang higit pang mga aksyon, at ang sistema ng mga equation sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss ay mapagkakatiwalaan na malulutas.
3. Ngayon ay kailangan mong gawin ang mga operasyon sa iba pang mga elemento ng mga hilera. Ang ikatlo at ikaapat na hakbang ay maaaring pagsamahin sa isa. Kailangan nating hatiin ang pangalawa at pangatlong linya sa -1 upang maalis ang mga negatibo sa dayagonal. Dinala na namin ang ikatlong linya sa kinakailangang form.
4. Susunod, i-canonicalize namin ang pangalawang linya. Upang gawin ito, pinarami namin ang mga elemento ng ikatlong hilera sa pamamagitan ng -3 at idagdag ang mga ito sa pangalawang linya ng matrix. Makikita mula sa resulta na ang pangalawang linya ay nabawasan din sa form na kailangan natin. Ito ay nananatiling gumawa ng ilang higit pang mga operasyon at alisin ang mga coefficient ng mga hindi alam mula sa unang hilera.
5. Upang makagawa ng 0 mula sa pangalawang elemento ng row, kailangan mong i-multiply ang ikatlong row sa -3 at idagdag ito sa unang row.
6. Ang susunod na mapagpasyang hakbang ay ang pagdaragdag ng mga kinakailangang elemento ng pangalawang hilera sa unang hilera. Kaya nakuha namin ang canonical form ng matrix, at, nang naaayon, ang sagot.

Tulad ng makikita mo, ang solusyon ng mga equation sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss ay medyo simple.

Isang halimbawa ng paglutas ng isang 4x4 na sistema ng mga equation

Ang ilang mas kumplikadong sistema ng mga equation ay maaaring malutas sa pamamagitan ng Gaussian method gamit ang mga computer program. Kinakailangan na magmaneho ng mga coefficient para sa mga hindi alam sa mga umiiral nang walang laman na mga cell, at kakalkulahin ng programa ang kinakailangang resulta nang hakbang-hakbang, na naglalarawan sa bawat aksyon nang detalyado.

Ang sunud-sunod na mga tagubilin para sa paglutas ng naturang halimbawa ay inilarawan sa ibaba.

Sa unang hakbang, ang mga libreng coefficient at numero para sa mga hindi alam ay ipinasok sa mga walang laman na cell. Kaya, nakukuha namin ang parehong augmented matrix na isinusulat namin sa pamamagitan ng kamay.

At ang lahat ng kinakailangang operasyon ng aritmetika ay isinasagawa upang dalhin ang pinalawig na matrix sa canonical form. Dapat itong maunawaan na ang sagot sa isang sistema ng mga equation ay hindi palaging integer. Minsan ang solusyon ay maaaring mula sa mga fractional na numero.

Sinusuri ang kawastuhan ng solusyon

Ang pamamaraan ng Jordan-Gauss ay nagbibigay para sa pagsuri sa kawastuhan ng resulta. Upang malaman kung ang mga coefficient ay kinakalkula nang tama, kailangan mo lamang na palitan ang resulta sa orihinal na sistema ng mga equation. Ang kaliwang bahagi ng equation ay dapat tumugma sa kanang bahagi, na nasa likod ng equals sign. Kung hindi tumugma ang mga sagot, kailangan mong kalkulahin muli ang system o subukang maglapat ng ibang paraan ng paglutas ng SLAE na alam mo, tulad ng pagpapalit o term-by-term na pagbabawas at karagdagan. Pagkatapos ng lahat, ang matematika ay isang agham na may malaking bilang ng iba't ibang paraan ng paglutas. Ngunit tandaan: ang resulta ay dapat palaging pareho, anuman ang paraan ng solusyon na iyong ginamit.

Gauss method: ang pinakakaraniwang error sa paglutas ng SLAE

Sa panahon ng solusyon ng mga linear na sistema ng mga equation, ang mga error ay kadalasang nangyayari, tulad ng hindi tamang paglipat ng mga coefficient sa isang matrix form. May mga sistema kung saan ang ilang mga hindi alam ay nawawala sa isa sa mga equation, pagkatapos, ang paglilipat ng data sa pinalawak na matrix, maaari silang mawala. Bilang isang resulta, kapag nilulutas ang sistemang ito, ang resulta ay maaaring hindi tumutugma sa tunay.

Ang isa pa sa mga pangunahing pagkakamali ay maaaring maling pagsulat ng huling resulta. Dapat itong malinaw na maunawaan na ang unang koepisyent ay tumutugma sa unang hindi alam mula sa system, ang pangalawa - sa pangalawa, at iba pa.

Ang pamamaraang Gauss ay inilalarawan nang detalyado ang solusyon ng mga linear na equation. Salamat sa kanya, madaling gawin ang mga kinakailangang operasyon at hanapin ang tamang resulta. Bilang karagdagan, ito ay isang unibersal na tool para sa paghahanap ng isang maaasahang sagot sa mga equation ng anumang kumplikado. Marahil iyon ang dahilan kung bakit madalas itong ginagamit sa paglutas ng SLAE.