Hayaan ang function y=f(X) tuloy-tuloy sa segment [ a, b]. Tulad ng nalalaman, ang naturang function ay umabot sa pinakamataas at pinakamababang halaga nito sa segment na ito. Maaaring kunin ng function ang mga halagang ito alinman sa isang panloob na punto ng segment [ a, b], o sa hangganan ng segment.

Upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa segment [ a, b] kailangan:

1) hanapin ang mga kritikal na punto ng function sa pagitan ( a, b);

2) kalkulahin ang mga halaga ng pag-andar sa nahanap na mga kritikal na punto;

3) kalkulahin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng segment, iyon ay, para sa x=a at x = b;

4) mula sa lahat ng mga kinakalkula na halaga ng function, piliin ang pinakamalaki at pinakamaliit.

Halimbawa. Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function

sa segment.

Paghahanap ng mga kritikal na punto:

Ang mga puntong ito ay nasa loob ng segment; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

sa punto x= 3 at sa punto x= 0.

Pagsisiyasat ng isang function para sa convexity at isang inflection point.

Function y = f (x) tinawag matambok sa gitna (a, b) , kung ang graph nito ay nasa ilalim ng tangent na iginuhit sa anumang punto ng pagitan na ito, at tinatawag matambok pababa (malukong) kung ang graph nito ay nasa itaas ng tangent.

Ang punto sa paglipat kung saan ang convexity ay pinalitan ng concavity o vice versa ay tinatawag inflection point.

Algorithm para sa pag-aaral para sa convexity at inflection point:

1. Hanapin ang mga kritikal na punto ng pangalawang uri, iyon ay, ang mga punto kung saan ang pangalawang derivative ay katumbas ng zero o wala.

2. Ilagay ang mga kritikal na punto sa linya ng numero, paghiwa-hiwalayin ito sa mga pagitan. Hanapin ang tanda ng pangalawang derivative sa bawat pagitan; kung , kung gayon ang function ay matambok pataas, kung, kung gayon ang function ay matambok pababa.

3. Kung, kapag dumadaan sa isang kritikal na punto ng pangalawang uri, nagbabago ito ng tanda at sa puntong ito ang pangalawang hinalaw ay katumbas ng zero, kung gayon ang puntong ito ay ang abscissa ng inflection point. Hanapin ang ordinate nito.

Asymptotes ng graph ng isang function. Pagsisiyasat ng isang function sa mga asymptotes.

Kahulugan. Ang asymptote ng graph ng isang function ay tinatawag tuwid, na may katangian na ang distansya mula sa anumang punto ng graph hanggang sa linyang ito ay may posibilidad na maging zero na may walang limitasyong pag-alis ng graph point mula sa pinanggalingan.

May tatlong uri ng asymptotes: patayo, pahalang at hilig.

Kahulugan. Direktang tumawag patayong asymptote function graph y = f(x), kung kahit isa sa mga one-sided na limitasyon ng function sa puntong ito ay katumbas ng infinity, iyon ay

kung saan ang discontinuity point ng function, iyon ay, hindi ito kabilang sa domain ng kahulugan.

Halimbawa.

D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - breaking point.

Kahulugan. Diretso y=A tinawag pahalang na asymptote function graph y = f(x) sa , kung

Halimbawa.

x
y

Kahulugan. Diretso y=kx +b (k≠ 0) ay tinatawag pahilig na asymptote function graph y = f(x) saan

Pangkalahatang pamamaraan para sa pag-aaral ng mga pag-andar at paglalagay.

Algoritmo ng pananaliksik sa pag-andary = f(x) :

1. Hanapin ang domain ng function D (y).

2. Hanapin (kung maaari) ang mga punto ng intersection ng graph na may mga coordinate axes (na may x= 0 at sa y = 0).

3. Magsiyasat para sa pantay at kakaibang mga function ( y (‒ x) = y (x) ‒ pagkakapantay-pantay; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ kakaiba).

4. Hanapin ang mga asymptotes ng graph ng function.

5. Maghanap ng mga pagitan ng monotonicity ng function.

6. Hanapin ang extrema ng function.

7. Hanapin ang mga pagitan ng convexity (concavity) at inflection point ng graph ng function.

8. Batay sa isinagawang pananaliksik, bumuo ng graph ng function.

Halimbawa. Siyasatin ang function at i-plot ang graph nito.

1) D (y) =

x= 4 - breaking point.

2) Kailan x = 0,

(0; – 5) – punto ng intersection sa oy.

Sa y = 0,

3) y(‒ x)= pangkalahatang pag-andar (ni kahit na o kakaiba).

4) Nag-iimbestiga kami para sa mga asymptotes.

a) patayo

b) pahalang

c) maghanap ng mga pahilig na asymptotes kung saan

‒oblique asymptote equation

5) Sa equation na ito, hindi kinakailangang maghanap ng mga pagitan ng monotonicity ng function.

6)

Ang mga kritikal na puntong ito ay naghahati sa buong domain ng function sa pagitan (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) at (10; +∞). Ito ay maginhawa upang ipakita ang nakuha na mga resulta sa anyo ng sumusunod na talahanayan.

Ang proseso ng paghahanap ng pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa isang segment ay nagpapaalala sa isang kamangha-manghang paglipad sa paligid ng isang bagay (isang graph ng isang function) sa isang helicopter na may pagpapaputok mula sa isang long-range na kanyon sa ilang mga punto at pagpili mula sa ang mga puntong ito ay napakaespesyal na mga punto para sa mga control shot. Pinipili ang mga puntos sa isang tiyak na paraan at ayon sa ilang mga patakaran. Sa pamamagitan ng anong mga tuntunin? Pag-uusapan pa natin ito.

Kung ang function y = f(x) tuloy-tuloy sa segment [ a, b] , pagkatapos ay umabot ito sa segment na ito hindi bababa sa at pinakamataas na halaga . Maaaring mangyari ito sa matinding puntos o sa dulo ng segment. Samakatuwid, upang mahanap hindi bababa sa at ang pinakamalaking halaga ng function , tuloy-tuloy sa segment [ a, b] , kailangan mong kalkulahin ang mga halaga nito sa lahat kritikal na mga punto at sa mga dulo ng segment, at pagkatapos ay piliin ang pinakamaliit at pinakamalaki sa kanila.

Hayaan, halimbawa, kinakailangan upang matukoy ang maximum na halaga ng function f(x) sa segment [ a, b] . Upang gawin ito, hanapin ang lahat ng mga kritikal na punto nito na nasa [ a, b] .

kritikal na punto ay tinatawag na punto kung saan tinukoy ang function, at siya derivative ay alinman sa zero o wala. Pagkatapos ay dapat mong kalkulahin ang mga halaga ng pag-andar sa mga kritikal na punto. At, sa wakas, dapat ihambing ng isa ang mga halaga ng function sa mga kritikal na punto at sa mga dulo ng segment ( f(a) at f(b) ). Ang pinakamalaki sa mga bilang na ito ay magiging ang pinakamalaking halaga ng function sa segment [a, b] .

Ang problema sa paghahanap ang pinakamaliit na halaga ng function .

Hinahanap namin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng function nang magkasama

Halimbawa 1. Hanapin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa segment [-1, 2] .

Desisyon. Nahanap namin ang derivative ng function na ito. I-equate ang derivative sa zero () at makakuha ng dalawang kritikal na puntos: at . Upang mahanap ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa isang partikular na segment, sapat na upang kalkulahin ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment at sa punto , dahil ang punto ay hindi kabilang sa segment [-1, 2] . Ang mga value ng function na ito ay ang mga sumusunod: , , . Sinusundan nito iyon pinakamaliit na halaga ng function(minarkahan ng pula sa graph sa ibaba), katumbas ng -7, ay naabot sa kanang dulo ng segment - sa punto , at pinakadakila(pula din sa graph), ay katumbas ng 9, - sa kritikal na punto .

Kung ang function ay tuloy-tuloy sa isang tiyak na agwat at ang agwat na ito ay hindi isang segment (ngunit, halimbawa, isang agwat; ang pagkakaiba sa pagitan ng isang agwat at isang segment: ang mga hangganan na punto ng agwat ay hindi kasama sa agwat, ngunit ang Ang mga hangganan ng mga punto ng segment ay kasama sa segment), pagkatapos ay kabilang sa mga halaga ng pag-andar ay maaaring walang pinakamaliit at pinakamalaki. Kaya, halimbawa, ang function na inilalarawan sa figure sa ibaba ay tuloy-tuloy sa ]-∞, +∞[ at walang pinakamalaking halaga.

Gayunpaman, para sa anumang agwat (sarado, bukas, o walang katapusan), ang sumusunod na katangian ng tuluy-tuloy na pag-andar ay nananatili.

Halimbawa 4. Hanapin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa segment [-1, 3] .

Desisyon. Nakita namin ang derivative ng function na ito bilang derivative ng quotient:

.

Tinutumbas namin ang derivative sa zero, na nagbibigay sa amin ng isang kritikal na punto: . Ito ay kabilang sa pagitan [-1, 3] . Upang mahanap ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa isang partikular na segment, makikita namin ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment at sa natagpuang kritikal na punto:

Ihambing natin ang mga halagang ito. Konklusyon: katumbas ng -5/13, sa punto at ang pinakamalaking halaga katumbas ng 1 sa punto .

Patuloy kaming naghahanap ng pinakamaliit at pinakamalaking value ng function nang magkasama

Mayroong mga guro na, sa paksa ng paghahanap ng pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function, ay hindi nagbibigay sa mga mag-aaral ng mga halimbawa na mas kumplikado kaysa sa mga isinasaalang-alang lamang, iyon ay, ang mga kung saan ang function ay isang polynomial o isang fraction, ang numerator. at denominator nito ay mga polynomial. Ngunit hindi namin lilimitahan ang ating sarili sa gayong mga halimbawa, dahil sa mga guro ay may mga mahilig sa pag-iisip ng mga mag-aaral nang buo (talahanayan ng mga derivatives). Samakatuwid, ang logarithm at ang trigonometric function ay gagamitin.

Halimbawa 6. Hanapin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa segment .

Desisyon. Nakikita namin ang derivative ng function na ito bilang derivative ng produkto :

Tinutumbas namin ang derivative sa zero, na nagbibigay ng isang kritikal na punto: . Ito ay kabilang sa segment. Upang mahanap ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa isang partikular na segment, makikita namin ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment at sa natagpuang kritikal na punto:

Ang resulta ng lahat ng mga aksyon: ang function ay umabot sa pinakamababang halaga nito, katumbas ng 0, sa isang punto at sa isang punto at ang pinakamalaking halaga katumbas ng e² , sa punto .

Halimbawa 7. Hanapin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa segment .

Desisyon. Nahanap namin ang derivative ng function na ito:

I-equate ang derivative sa zero:

Ang tanging kritikal na punto ay nabibilang sa segment . Upang mahanap ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa isang partikular na segment, makikita namin ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment at sa natagpuang kritikal na punto:

Konklusyon: ang function ay umabot sa pinakamababang halaga nito, katumbas ng , sa punto at ang pinakamalaking halaga, katumbas ng , sa punto .

Sa mga inilapat na matinding problema, ang paghahanap ng pinakamaliit (pinakamalaking) mga halaga ng function, bilang panuntunan, ay binabawasan sa paghahanap ng pinakamababa (maximum). Ngunit hindi ang minima o maxima mismo ang mas praktikal na interes, ngunit ang mga halaga ng argumento kung saan nakamit ang mga ito. Kapag nilulutas ang mga inilapat na problema, lumitaw ang isang karagdagang kahirapan - ang pagsasama-sama ng mga pag-andar na naglalarawan sa kababalaghan o proseso na isinasaalang-alang.

Halimbawa 8 Ang isang tangke na may kapasidad na 4, na may hugis ng parallelepiped na may parisukat na base at bukas sa itaas, ay dapat na tinned. Ano ang dapat na mga sukat ng tangke upang masakop ito ng hindi bababa sa dami ng materyal?

Desisyon. Hayaan x- gilid ng base h- taas ng tangke, S- ang ibabaw nito na walang takip, V- ang dami nito. Ang ibabaw na lugar ng tangke ay ipinahayag ng formula, i.e. ay isang function ng dalawang variable. Upang ipahayag S bilang isang function ng isang variable, ginagamit namin ang katotohanan na , kung saan . Pagpapalit sa nahanap na expression h sa pormula para sa S:

Suriin natin ang function na ito para sa isang extremum. Ito ay tinukoy at naiba sa lahat ng dako sa ]0, +∞[ , at

.

Itinutumbas namin ang derivative sa zero () at hanapin ang kritikal na punto. Bilang karagdagan, sa , ang derivative ay hindi umiiral, ngunit ang halagang ito ay hindi kasama sa domain ng kahulugan at samakatuwid ay hindi maaaring maging isang extremum point. Kaya, - ang tanging kritikal na punto. Suriin natin ito para sa pagkakaroon ng extremum gamit ang pangalawang sapat na tanda. Hanapin natin ang pangalawang derivative. Kapag ang pangalawang derivative ay mas malaki sa zero (). Nangangahulugan ito na kapag ang function ay umabot sa isang minimum . Dahil ito minimum - ang tanging extremum ng function na ito, ito ang pinakamaliit na halaga nito. Kaya, ang gilid ng base ng tangke ay dapat na katumbas ng 2 m, at ang taas nito.

Halimbawa 9 Mula sa talata A, na matatagpuan sa linya ng tren, hanggang sa punto Sa, sa malayo mula dito l, kailangang dalhin ang mga kalakal. Ang halaga ng pagbibiyahe ng isang yunit ng timbang sa bawat yunit ng distansya sa pamamagitan ng tren ay katumbas ng , at sa pamamagitan ng highway ito ay katumbas ng . Hanggang saang punto M ang linya ng riles ay dapat na gaganapin sa highway upang maghatid ng mga kargamento mula sa PERO sa Sa ay ang pinaka matipid AB ang riles ay ipinapalagay na tuwid)?

Sa artikulong ito ay pag-uusapan ko algorithm para sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga function, minimum at maximum na mga puntos.

Mula sa teorya, tiyak na kakailanganin natin derivative table at mga panuntunan sa pagkakaiba-iba. Lahat ng ito ay nasa board na ito:

Algorithm para sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga.

Mas madali kong ipaliwanag nang may konkretong halimbawa. Isaalang-alang:

Halimbawa: Hanapin ang pinakamalaking halaga ng function na y=x^5+20x^3–65x sa segment [–4;0].

Hakbang 1. Kinukuha namin ang derivative.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Hakbang 2 Paghahanap ng mga extremum point.

matinding punto pinangalanan namin ang mga naturang punto kung saan naabot ng function ang maximum o minimum na halaga nito.

Upang mahanap ang mga extremum point, kinakailangan na ipantay ang derivative ng function sa zero (y "= 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Ngayon ay nilulutas namin ang biquadratic equation na ito at ang nahanap na mga ugat ay ang aming mga extremum point.

Nilulutas ko ang mga naturang equation sa pamamagitan ng pagpapalit ng t = x^2, pagkatapos ay 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Bawasan ang equation ng 5, makuha natin ang: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Ginagawa namin ang reverse substitution x^2 = t:

X_(1 at 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 at 4) = ±sqrt(-13) (ibinubukod namin, hindi maaaring magkaroon ng mga negatibong numero sa ilalim ng ugat, maliban kung siyempre pinag-uusapan natin ang mga kumplikadong numero)

Kabuuan: x_(1) = 1 at x_(2) = -1 - ito ang aming mga extremum point.

Hakbang 3 Tukuyin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga.

Pamamaraan ng pagpapalit.

Sa kondisyon, binigyan kami ng segment [b][–4;0]. Ang puntong x=1 ay hindi kasama sa segment na ito. Kaya hindi namin ito isinasaalang-alang. Ngunit bilang karagdagan sa puntong x=-1, kailangan din nating isaalang-alang ang kaliwa at kanang mga hangganan ng ating segment, iyon ay, ang mga puntos -4 at 0. Upang gawin ito, pinapalitan natin ang lahat ng tatlong puntong ito sa orihinal na pag-andar. Pansinin na ang orihinal ay ang ibinigay sa kundisyon (y=x^5+20x^3–65x), ang ilan ay nagsisimulang palitan sa derivative...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Nangangahulugan ito na ang pinakamataas na halaga ng function ay [b]44 at naabot ito sa mga puntong [b]-1, na tinatawag na pinakamataas na punto ng function sa segment [-4; 0].

Nagpasya kami at nakakuha ng sagot, mahusay kami, maaari kang magpahinga. Ngunit huminto! Hindi mo ba iniisip na ang pagbibilang ng y(-4) ay masyadong kumplikado? Sa mga kondisyon ng limitadong oras, mas mahusay na gumamit ng isa pang pamamaraan, tinawag ko itong ganito:

Sa pamamagitan ng mga pagitan ng katatagan.

Ang mga gaps na ito ay matatagpuan para sa derivative ng function, iyon ay, para sa aming biquadratic equation.

Ginagawa ko ito sa sumusunod na paraan. Gumuhit ako ng direksyong linya. Itinakda ko ang mga puntos: -4, -1, 0, 1. Sa kabila ng katotohanan na ang 1 ay hindi kasama sa ibinigay na segment, dapat pa rin itong tandaan upang matukoy nang tama ang mga pagitan ng katatagan. Kunin natin ang ilang numero nang maraming beses na mas malaki kaysa sa 1, sabihin nating 100, palitan ito ng isip sa ating biquadratic equation 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Kahit na walang pagbibilang ng kahit ano, nagiging malinaw na sa puntong 100 ang function ay may plus sign. Nangangahulugan ito na para sa mga pagitan mula 1 hanggang 100 mayroon itong plus sign. Kapag dumadaan sa 1 (pumupunta kami mula kanan pakaliwa), ang function ay magbabago ng sign sa minus. Kapag dumadaan sa punto 0, ang function ay mananatili sa kanyang tanda, dahil ito lamang ang hangganan ng segment, at hindi ang ugat ng equation. Kapag dumadaan sa -1, muling babaguhin ng function ang sign sa plus.

Mula sa teorya, alam natin kung nasaan ang derivative ng function (at iginuhit namin ito para dito) nagbabago ng sign mula plus hanggang minus (punto -1 sa aming kaso) umabot ang function lokal na maximum nito (y(-1)=44 gaya ng kinakalkula kanina) sa segment na ito (ito ay lohikal na napakalinaw, ang pag-andar ay tumigil sa pagtaas, dahil naabot nito ang pinakamataas at nagsimulang bumaba).

Alinsunod dito, kung saan ang derivative ng function nagbabago ng sign mula minus hanggang plus, nakamit lokal na minimum ng isang function. Oo, oo, nakita rin namin ang lokal na pinakamababang punto, na 1, at ang y(1) ay ang pinakamababang halaga ng function sa segment, sabihin nating mula -1 hanggang +∞. Pakitandaan na isa lang itong LOCAL MINIMUM, ibig sabihin, minimum sa isang partikular na segment. Dahil ang aktwal na (global) na minimum na function ay maaabot sa isang lugar doon, sa -∞.

Sa palagay ko, ang unang pamamaraan ay mas simple sa teorya, at ang pangalawa ay mas simple sa mga tuntunin ng mga operasyon ng aritmetika, ngunit mas mahirap sa mga tuntunin ng teorya. Pagkatapos ng lahat, kung minsan may mga kaso kapag ang pag-andar ay hindi nagbabago ng sign kapag dumadaan sa ugat ng equation, at sa katunayan maaari kang malito sa mga lokal, pandaigdigang maxima at minima, kahit na kailangan mong makabisado ito nang mabuti kung nagpaplano ka. upang makapasok sa isang teknikal na unibersidad (at para sa kung bakit pa kumuha ng pagsusulit sa profile at lutasin ang gawaing ito). Ngunit ang pagsasanay at pagsasanay lamang ang magtuturo sa iyo kung paano lutasin ang gayong mga problema minsan at para sa lahat. At maaari kang magsanay sa aming website. Dito .

Kung mayroon kang anumang mga katanungan, o isang bagay na hindi malinaw, siguraduhing magtanong. Ikalulugod kong sagutin ka, at gumawa ng mga pagbabago, mga karagdagan sa artikulo. Tandaan na sama-sama nating ginagawa ang site na ito!

Paano mahahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment?

Para dito sinusunod namin ang kilalang algorithm:

1 . Nakikita namin ang mga function ng ODZ.

2 . Paghahanap ng derivative ng isang function

3 . I-equate ang derivative sa zero

4 . Nahanap namin ang mga agwat kung saan pinapanatili ng derivative ang tanda nito, at mula sa kanila ay tinutukoy namin ang mga agwat ng pagtaas at pagbaba ng function:

Kung sa pagitan ko ang derivative ng function na 0" title="(!LANG:f^(prime)(x)>0">, то функция !} tumataas sa pagitan na ito.

Kung sa pagitan ko ang derivative ng function , pagkatapos ay ang function bumababa sa pagitan na ito.

5 . Nahanap namin maximum at minimum na puntos ng function.

AT ang function na maximum point, ang derivative ay nagbabago ng sign mula "+" hanggang "-".

AT pinakamababang punto ng functionmga derivative na pagbabago sign mula "-" hanggang "+".

6 . Nahanap namin ang halaga ng function sa mga dulo ng segment,

• pagkatapos ay inihambing namin ang halaga ng function sa mga dulo ng segment at sa pinakamataas na puntos, at piliin ang pinakamalaki sa kanila kung kailangan mong hanapin ang pinakamalaking halaga ng function
• o inihahambing namin ang halaga ng function sa mga dulo ng segment at sa pinakamababang puntos, at piliin ang pinakamaliit sa mga ito kung kailangan mong hanapin ang pinakamaliit na halaga ng function

Gayunpaman, depende sa kung paano kumikilos ang function sa pagitan, ang algorithm na ito ay maaaring makabuluhang bawasan.

Isaalang-alang ang function . Ang graph ng function na ito ay ganito ang hitsura:

Isaalang-alang natin ang ilang halimbawa ng paglutas ng mga problema mula sa Open Task Bank para sa

isa. Gawain B15 (#26695)

Sa hiwa.

1. Ang function ay tinukoy para sa lahat ng tunay na halaga ng x

Malinaw, ang equation na ito ay walang mga solusyon, at ang derivative ay positibo para sa lahat ng mga halaga ng x. Samakatuwid, ang function ay tumataas at tumatagal ng pinakamalaking halaga sa kanang dulo ng pagitan, iyon ay, sa x=0.

Sagot: 5.

2 . Gawain B15 (No. 26702)

Hanapin ang pinakamalaking halaga ng isang function sa segment.

1.ODZ function title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Ang derivative ay zero sa , gayunpaman, sa mga puntong ito ay hindi ito nagbabago ng sign:

Samakatuwid, title="(!LANG:3/(cos^2(x)))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} tumataas at kumukuha ng pinakamalaking halaga sa kanang dulo ng pagitan, sa .

Upang gawing malinaw kung bakit ang derivative ay hindi nagbabago ng sign, binabago namin ang expression para sa derivative bilang mga sumusunod:

Title="(!LANG:y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Sagot: 5.

3 . Gawain B15 (#26708)

Hanapin ang pinakamaliit na halaga ng function sa pagitan.

1. ODZ functions: title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Ilagay natin ang mga ugat ng equation na ito sa isang trigonometriko na bilog.

Ang pagitan ay naglalaman ng dalawang numero: at

Ilagay natin ang mga karatula. Upang gawin ito, tinutukoy namin ang tanda ng derivative sa puntong x=0: . Kapag dumadaan sa mga puntos at ang derivative na pagbabago sign.

Ilarawan natin ang pagbabago ng mga palatandaan ng derivative ng function sa linya ng coordinate:

Malinaw, ang punto ay isang minimum na punto (kung saan ang derivative ay nagbabago ng sign mula "-" hanggang "+"), at upang mahanap ang pinakamaliit na halaga ng function sa segment, kailangan mong ihambing ang mga halaga ng function sa pinakamababang punto at sa kaliwang dulo ng segment, .

Mula sa praktikal na pananaw, ang pinakakawili-wili ay ang paggamit ng derivative upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function. Ano ang konektado nito? Pag-maximize ng kita, pagliit ng mga gastos, pagtukoy sa pinakamainam na pagkarga ng kagamitan... Sa madaling salita, sa maraming lugar ng buhay, kailangang lutasin ng isa ang problema ng pag-optimize ng ilang mga parameter. At ito ang problema sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function.

Dapat tandaan na ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function ay karaniwang hinahanap sa ilang interval X , na alinman sa buong domain ng function o bahagi ng domain. Ang interval X mismo ay maaaring isang line segment, isang open interval , isang walang katapusang pagitan.

Sa artikulong ito, pag-uusapan natin ang tungkol sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang tahasang ibinigay na function ng isang variable y=f(x) .

Pag-navigate sa pahina.

Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function - mga kahulugan, mga guhit.

Isaalang-alang natin sa madaling sabi ang mga pangunahing kahulugan.

Ang pinakamalaking halaga ng function , na para sa alinman ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo.

Ang pinakamaliit na halaga ng function y=f(x) sa pagitan ng X ay tinatawag na ganoong halaga , na para sa alinman ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo.

Ang mga kahulugang ito ay madaling maunawaan: ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng isang function ay ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga na tinatanggap sa pagitan na isinasaalang-alang sa abscissa.

Mga nakatigil na puntos ay ang mga halaga ng argumento kung saan nawawala ang derivative ng function.

Bakit kailangan natin ng mga nakatigil na puntos kapag naghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga? Ang sagot sa tanong na ito ay ibinigay ng Fermat's theorem. Ito ay sumusunod mula sa theorem na ito na kung ang isang differentiable function ay may extremum (lokal na minimum o lokal na maximum) sa isang punto, kung gayon ang puntong ito ay nakatigil. Kaya, madalas na kinukuha ng function ang maximum (pinakamaliit) na halaga nito sa interval X sa isa sa mga nakatigil na punto mula sa interval na ito.

Gayundin, ang isang function ay kadalasang maaaring kumuha ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga sa mga punto kung saan ang unang derivative ng function na ito ay hindi umiiral, at ang function mismo ay tinukoy.

Agad nating sagutin ang isa sa mga pinakakaraniwang tanong sa paksang ito: "Palaging posible bang matukoy ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng isang function"? Hindi hindi palagi. Minsan ang mga hangganan ng interval X ay nag-tutugma sa mga hangganan ng domain ng function, o ang interval X ay walang katapusan. At ang ilang mga function sa infinity at sa mga hangganan ng domain ng kahulugan ay maaaring tumagal ng parehong walang hanggan malaki at walang hanggan maliit na halaga. Sa mga kasong ito, walang masasabi tungkol sa pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function.

Para sa kalinawan, nagbibigay kami ng isang graphic na paglalarawan. Tingnan ang mga larawan - at marami ang magiging malinaw.

Sa segment

Sa unang figure, kinukuha ng function ang pinakamalaking (max y ) at pinakamaliit (min y ) values ​​sa mga nakatigil na punto sa loob ng segment [-6;6] .

Isaalang-alang ang kaso na ipinakita sa pangalawang figure. Baguhin ang segment sa . Sa halimbawang ito, ang pinakamaliit na halaga ng function ay nakamit sa isang nakatigil na punto, at ang pinakamalaking - sa isang punto na may abscissa na tumutugma sa tamang hangganan ng pagitan.

Sa figure No. 3, ang mga boundary point ng segment [-3; 2] ay ang abscissas ng mga puntos na tumutugma sa pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function.

Sa bukas na hanay

Sa ika-apat na figure, ang function ay tumatagal ng pinakamalaking (max y ) at pinakamaliit (min y ) na mga halaga sa mga nakatigil na punto sa loob ng bukas na pagitan (-6;6).

Sa agwat , walang mga konklusyon ang maaaring makuha tungkol sa pinakamalaking halaga.

Sa infinity

Sa halimbawang ipinakita sa ikapitong figure, ang function ay tumatagal ng pinakamalaking halaga (max y ) sa isang nakatigil na punto na may abscissa x=1 , at ang pinakamaliit na halaga (min y ) ay naabot sa kanang hangganan ng pagitan. Sa minus infinity, ang mga halaga ng function ay asymptotically lumalapit sa y=3 .

Sa pagitan, hindi naaabot ng function ang alinman sa pinakamaliit o pinakamalaking halaga. Dahil ang x=2 ay nasa kanan, ang mga value ng function ay may posibilidad na minus infinity (ang tuwid na linya na x=2 ay isang vertical asymptote), at dahil ang abscissa ay may posibilidad na plus infinity, ang mga value ng function ay asymptotically lumalapit sa y=3 . Ang isang graphic na paglalarawan ng halimbawang ito ay ipinapakita sa Figure 8.

Algorithm para sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng tuluy-tuloy na function sa segment.

Nagsusulat kami ng algorithm na nagbibigay-daan sa amin na mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment.

1. Hinahanap namin ang domain ng function at suriin kung naglalaman ito ng buong segment.
2. Nahanap namin ang lahat ng mga punto kung saan ang unang derivative ay hindi umiiral at kung saan ay nakapaloob sa segment (kadalasan ang mga naturang punto ay nangyayari sa mga function na may argumento sa ilalim ng module sign at sa mga power function na may fractional-rational exponent). Kung walang ganoong mga punto, pagkatapos ay pumunta sa susunod na punto.
3. Tinutukoy namin ang lahat ng mga nakatigil na punto na nahuhulog sa segment. Upang gawin ito, itinutumbas namin ito sa zero, lutasin ang nagresultang equation at piliin ang naaangkop na mga ugat. Kung walang nakatigil na mga punto o wala sa mga ito ang nahuhulog sa segment, pagkatapos ay pumunta sa susunod na hakbang.
4. Kinakalkula namin ang mga halaga ng function sa mga napiling nakatigil na mga punto (kung mayroon man), sa mga punto kung saan ang unang hinalaw ay hindi umiiral (kung mayroon man), at gayundin sa x=a at x=b .
5. Mula sa nakuha na mga halaga ng function, pipiliin namin ang pinakamalaki at pinakamaliit - sila ang nais na maximum at pinakamaliit na halaga ng function, ayon sa pagkakabanggit.

Suriin natin ang algorithm kapag nilulutas ang isang halimbawa para sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment.

Halimbawa.

Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function

• sa segment;
• sa pagitan [-4;-1] .

Desisyon.

Ang domain ng function ay ang buong hanay ng mga tunay na numero, maliban sa zero, iyon ay, . Ang parehong mga segment ay nasa loob ng domain ng kahulugan.

Nahanap namin ang derivative ng function na may paggalang sa:

Malinaw, ang derivative ng function ay umiiral sa lahat ng mga punto ng mga segment at [-4;-1] .

Ang mga nakatigil na puntos ay tinutukoy mula sa equation. Ang tanging tunay na ugat ay x=2 . Ang nakatigil na puntong ito ay nahuhulog sa unang bahagi.

Para sa unang kaso, kinakalkula namin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng segment at sa isang nakatigil na punto, iyon ay, para sa x=1 , x=2 at x=4 :

Samakatuwid, ang pinakamalaking halaga ng function ay naabot sa x=1 , at ang pinakamaliit na halaga – sa x=2 .

Para sa pangalawang kaso, kinakalkula namin ang mga halaga ng function lamang sa mga dulo ng segment [-4;-1] (dahil hindi ito naglalaman ng isang nakatigil na punto):