Ministri ng Edukasyon ng Republika ng Belarus

institusyong pang-edukasyon

Gomel State University na pinangalanan F. Scaryna"

Faculty of Mathematics

Kagawaran ng MPM

Magkaparehong pagbabago ng mga ekspresyon at pamamaraan ng pagtuturo sa mga mag-aaral kung paano isasagawa ang mga ito

Tagapagpatupad:

Estudyante Starodubova A.Yu.

Superbisor:

Cand. pisika at matematika Sciences, Associate Professor Lebedeva M.T.

Gomel 2007

Panimula

1 Ang mga pangunahing uri ng pagbabago at yugto ng kanilang pag-aaral. Mga yugto ng mastering ang aplikasyon ng mga pagbabagong-anyo

Konklusyon

Panitikan

Panimula

Ang pinakasimpleng pagbabago ng mga expression at formula, batay sa mga katangian ng mga operasyong aritmetika, ay ginagawa sa elementarya at sa mga baitang 5 at 6. Ang pagbuo ng mga kasanayan at kakayahan upang magsagawa ng mga pagbabago ay nagaganap sa kurso ng algebra. Ito ay konektado kapwa sa isang matalim na pagtaas sa bilang at iba't ibang mga pagbabagong ginawa, at sa mga komplikasyon ng mga aktibidad upang patunayan ang mga ito at linawin ang mga kondisyon ng applicability, kasama ang pagkilala at pag-aaral ng mga pangkalahatang konsepto ng pagkakakilanlan, magkaparehong pagbabagong-anyo, katumbas na pagbabagong-anyo.

1. Mga pangunahing uri ng pagbabago at yugto ng kanilang pag-aaral. Mga yugto ng mastering ang aplikasyon ng mga pagbabagong-anyo

1. Simula ng algebra

Ang isang hindi nahahati na sistema ng mga pagbabago ay ginagamit, na kinakatawan ng mga patakaran para sa pagsasagawa ng mga aksyon sa isa o parehong bahagi ng formula. Ang layunin ay upang makamit ang katatasan sa pagsasagawa ng mga gawain para sa paglutas ng pinakasimpleng mga equation, pagpapasimple ng mga formula na tumutukoy sa mga function, sa makatwirang pagsasagawa ng mga kalkulasyon batay sa mga katangian ng mga aksyon.

Mga karaniwang halimbawa:

Lutasin ang mga Equation:

a) ; b); sa) .

Pagbabago ng pagkakakilanlan (a); katumbas at magkapareho (b).

2. Pagbubuo ng mga kasanayan para sa paglalapat ng mga partikular na uri ng pagbabago

Mga konklusyon: pinaikling mga formula ng pagpaparami; mga pagbabagong nauugnay sa exponentiation; mga pagbabagong nauugnay sa iba't ibang klase ng elementarya.

Organisasyon ng isang holistic na sistema ng mga pagbabago (synthesis)

Ang layunin ay ang pagbuo ng isang nababaluktot at makapangyarihang kagamitan na angkop para sa paggamit sa paglutas ng iba't ibang mga gawaing pang-edukasyon.. Ang paglipat sa yugtong ito ay isinasagawa sa pangwakas na pag-uulit ng kurso sa kurso ng pag-unawa sa kilalang materyal na natutunan sa mga bahagi, para sa ilang mga uri ng mga pagbabagong-anyo, ang mga pagbabagong-anyo ng mga trigonometriko na expression ay idinagdag sa mga naunang pinag-aralan na mga uri. Ang lahat ng mga pagbabagong ito ay maaaring tawaging "algebraic" at "analytical" na mga pagbabagong kasama ang mga batay sa mga patakaran ng pagkita ng kaibahan at pagsasama at pagbabago ng mga expression na naglalaman ng mga paglilipat ng limitasyon. Ang pagkakaiba ng ganitong uri ay nasa likas na katangian ng set na dinadaanan ng mga variable sa mga pagkakakilanlan (ilang set ng mga function).

Ang mga pagkakakilanlan na pinag-aaralan ay nahahati sa dalawang klase:

Ako ay pinaikling multiplication identity na wasto sa isang commutative ring at mga pagkakakilanlan

patas sa bukid.

II - mga pagkakakilanlan na nag-uugnay sa mga operasyon ng aritmetika at mga pangunahing pag-andar ng elementarya.

2 Mga tampok ng samahan ng sistema ng gawain sa pag-aaral ng magkaparehong pagbabago

Ang pangunahing prinsipyo ng pag-aayos ng isang sistema ng mga gawain ay upang ipakita ang mga ito mula sa simple hanggang sa kumplikado.

Ikot ng ehersisyo- ang kumbinasyon sa pagkakasunud-sunod ng mga pagsasanay ng ilang mga aspeto ng pag-aaral at mga pamamaraan ng pag-aayos ng materyal. Kapag nag-aaral ng magkatulad na pagbabago, ang cycle ng mga pagsasanay ay konektado sa pag-aaral ng isang pagkakakilanlan, sa paligid kung saan ang iba pang mga pagkakakilanlan ay pinagsama-sama, na nasa isang natural na koneksyon dito. Ang komposisyon ng cycle, kasama ang mga executive na gawain, ay kinabibilangan ng mga gawain, nangangailangan ng pagkilala sa pagiging angkop ng itinuturing na pagkakakilanlan. Ang pagkakakilanlan sa ilalim ng pag-aaral ay ginagamit upang magsagawa ng mga kalkulasyon sa iba't ibang mga numerical na domain. Ang mga gawain sa bawat cycle ay nahahati sa dalawang pangkat. Upang una isama ang mga gawaing isinagawa noong unang pagkakakilala sa pagkakakilanlan. Sila ay nagsisilbing materyal sa pagtuturo para sa ilang magkakasunod na mga aralin, na pinag-isa ng isang paksa.

Pangalawang pangkat Iniuugnay ng ehersisyo ang pagkakakilanlan sa ilalim ng pag-aaral sa iba't ibang aplikasyon. Ang pangkat na ito ay hindi bumubuo ng pagkakaisa ng komposisyon - ang mga pagsasanay dito ay nakakalat sa iba't ibang mga paksa.

Ang inilarawan na mga istruktura ng cycle ay tumutukoy sa yugto ng pagbuo ng mga kasanayan para sa paglalapat ng mga tiyak na pagbabago.

Sa yugto ng synthesis, nagbabago ang mga cycle, pinagsama ang mga pangkat ng mga gawain tungo sa komplikasyon at pinagsama ang mga siklo na nauugnay sa iba't ibang pagkakakilanlan, na nagpapataas ng papel ng mga aksyon upang makilala ang pagiging angkop ng isa o ibang pagkakakilanlan.

Halimbawa.

Siklo ng gawain ng pagkakakilanlan:

I pangkat ng mga gawain:

a) naroroon sa anyo ng isang produkto:

b) Suriin ang kawastuhan ng pagkakapantay-pantay:

c) Palawakin ang mga bracket sa expression:

.

d) Kalkulahin:

e) I-factorize:

e) pasimplehin ang expression:

.

Kakakilala pa lang ng mga mag-aaral sa pagbabalangkas ng pagkakakilanlan, pagtatala nito sa anyo ng pagkakakilanlan, at ang patunay.

Ang gawain a) ay konektado sa pag-aayos ng istraktura ng pagkakakilanlan na pinag-aaralan, sa pagtatatag ng isang koneksyon sa mga numerical set (paghahambing ng mga istruktura ng tanda ng pagkakakilanlan at ang expression na binago; pagpapalit ng isang titik ng isang numero sa pagkakakilanlan). Sa huling halimbawa, kailangan pa itong bawasan sa form na pinag-aaralan. Sa mga sumusunod na halimbawa (e at g), mayroong isang komplikasyon na dulot ng inilapat na papel ng pagkakakilanlan at ang komplikasyon ng istraktura ng tanda.

Ang mga gawain ng uri b) ay naglalayong bumuo ng mga kasanayan sa pagpapalit sa . Ang tungkulin ng gawain c) ay magkatulad.

Mga halimbawa ng uri d), kung saan kinakailangan na pumili ng isa sa mga direksyon ng pagbabago, nakumpleto ang pagbuo ng ideyang ito.

Ang mga gawain ng pangkat I ay nakatuon sa pag-master ng istraktura ng pagkakakilanlan, ang pagpapatakbo ng pagpapalit sa pinakasimpleng, pangunahing pinakamahalagang mga kaso, at ang ideya ng pagbabalik-tanaw ng mga pagbabagong isinagawa ng pagkakakilanlan. Ang pagpapayaman ng wika ay nangangahulugan ng pagpapakita ng iba't ibang aspeto ng pagkakakilanlan ay napakahalaga din. Ang isang ideya tungkol sa mga aspetong ito ay ibinibigay ng mga teksto ng mga gawain.

II pangkat ng mga gawain.

g) Gamit ang pagkakakilanlan para sa , i-factor ang polynomial .

h) Tanggalin ang irrationality sa denominator ng fraction.

i) Patunayan na kung ay isang kakaibang numero, kung gayon ito ay mahahati ng 4.

j) Ang function ay ibinibigay ng analytical expression

.

Alisin ang modulo sign sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa dalawang kaso: , .

l) Lutasin ang equation .

Ang mga gawaing ito ay naglalayong sa ganap na posibleng paggamit at pagsasaalang-alang ng mga detalye ng partikular na pagkakakilanlan na ito, iminumungkahi ang pagbuo ng mga kasanayan sa paggamit ng pagkakakilanlan na pinag-aaralan para sa pagkakaiba ng mga parisukat. Ang layunin ay palalimin ang pag-unawa sa pagkakakilanlan sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa iba't ibang aplikasyon nito sa iba't ibang sitwasyon, kasama ang paggamit ng materyal na nauugnay sa iba pang mga paksa ng kursong matematika.

o .

Mga tampok ng mga siklo ng trabaho na nauugnay sa mga pagkakakilanlan para sa mga elementarya na function:

1) pinag-aaralan sila batay sa functional na materyal;

2) ang mga pagkakakilanlan ng unang pangkat ay lilitaw sa ibang pagkakataon at pinag-aaralan gamit ang nabuo nang mga kasanayan para sa pagsasagawa ng magkatulad na pagbabago.

Ang unang pangkat ng mga gawain ng cycle ay dapat magsama ng mga gawain upang magtatag ng isang koneksyon sa pagitan ng mga bagong numerical na lugar at ang orihinal na lugar ng mga rational na numero.

Halimbawa.

Kalkulahin:

;

.

Ang layunin ng naturang mga gawain ay upang makabisado ang mga tampok ng mga tala, kabilang ang mga simbolo ng mga bagong operasyon at pag-andar, at upang bumuo ng mga kasanayan sa pagsasalita sa matematika.

Ang isang makabuluhang bahagi ng paggamit ng mga pagbabago sa pagkakakilanlan na nauugnay sa elementarya na mga pag-andar ay nahuhulog sa solusyon ng hindi makatwiran at transendental na mga equation. Pagkakasunod-sunod ng mga hakbang:

a) maghanap ng function φ kung saan ang ibinigay na equation f(x)=0 ay maaaring katawanin bilang:

b) gumawa ng pagpapalit y=φ(x) at lutasin ang equation

c) lutasin ang bawat isa sa mga equation φ(x)=y k , kung saan ang y k ay ang hanay ng mga ugat ng equation na F(y)=0.

Kapag ginagamit ang inilarawang paraan, ang hakbang b) ay kadalasang ginagawa nang hindi malinaw, nang hindi nagpapakilala ng notasyon para sa φ(x). Bilang karagdagan, ang mga mag-aaral ay madalas na pumili mula sa iba't ibang mga landas na humahantong sa paghahanap ng sagot, upang piliin ang isa na humahantong sa algebraic equation nang mas mabilis at mas madali.

Halimbawa. Lutasin ang equation na 4 x -3*2=0.

2)(2 2) x -3*2 x =0 (hakbang a)

(2 x) 2 -3*2 x =0; 2x(2x-3)=0; 2 x -3=0. (hakbang b)

Halimbawa. Lutasin ang equation:

a) 2 2x -3*2 x +2=0;

b) 2 2x -3*2 x -4=0;

c) 2 2x -3*2 x +1=0.

(Magmungkahi para sa pagpapasya sa sarili.)

Pag-uuri ng mga gawain sa mga siklo na nauugnay sa solusyon ng mga transendental na equation, kabilang ang isang exponential function:

1) mga equation na bumababa sa mga equation ng form a x \u003d y 0 at may isang simple, pangkalahatang sagot sa form:

2) mga equation na bumababa sa mga equation ng anyong a x = a k , kung saan ang k ay isang integer, o a x = b, kung saan b≤0.

3) mga equation na bumababa sa mga equation ng anyong a x =y 0 at nangangailangan ng tahasang pagsusuri sa anyo kung saan ang bilang na y 0 ay tahasang nakasulat.

Malaking pakinabang ang mga gawain kung saan ginagamit ang magkakatulad na pagbabagong-anyo upang magplano ng mga graph habang pinapasimple ang mga formula na tumutukoy sa mga function.

a) I-plot ang function na y=;

b) Lutasin ang equation lgx+lg(x-3)=1

c) sa anong set ang formula lg(x-5)+ lg(x+5)= lg(x 2 -25) isang pagkakakilanlan?

Ang paggamit ng magkatulad na pagbabago sa mga kalkulasyon.(J. Mathematics at School, No. 4, 1983, p. 45)

Gawain bilang 1. Ang function ay ibinibigay ng formula y=0.3x 2 +4.64x-6. Hanapin ang mga halaga ng function sa x=1.2

y(1.2)=0.3*1.2 2 +4.64*1.2-6=1.2(0.3*1.2+4.64)-6=1.2(0 ,36+4.64)-6=1.2*5-6=0.

Gawain bilang 2. Kalkulahin ang haba ng binti ng isang right triangle kung ang haba ng hypotenuse nito ay 3.6 cm, at ang kabilang binti ay 2.16 cm.

Gawain bilang 3. Ano ang lugar ng isang parihabang plot na may mga sukat a) 0.64m at 6.25m; b) 99.8m at 2.6m?

a) 0.64 * 6.25 \u003d 0.8 2 * 2.5 2 \u003d (0.8 * 2.5) 2;

b) 99.8*2.6=(100-0.2)2.6=100*2.6-0.2*2.6=260-0.52.

Ginagawang posible ng mga halimbawang ito na ipakita ang praktikal na aplikasyon ng magkaparehong pagbabago. Dapat maging pamilyar ang mag-aaral sa mga kondisyon para sa pagiging posible ng pagbabago.(Tingnan ang mga diagram).

-

larawan ng isang polynomial, kung saan ang anumang polynomial ay umaangkop sa mga bilog na contour. (Scheme 1)

-

ang kundisyon para sa pagiging posible ng pag-convert ng produkto ng isang monomial at isang expression ay ibinigay na nagbibigay-daan sa conversion sa pagkakaiba ng mga parisukat. (scheme 2)

-

dito, ang pagpisa ay nangangahulugan ng pantay na mga monomial at binigay ang isang expression na maaaring ma-convert sa isang pagkakaiba ng mga parisukat. (Scheme 3)

-

isang expression na nagpapahintulot sa pag-alis ng isang karaniwang kadahilanan.

Upang mabuo ang mga kasanayan ng mga mag-aaral sa pagtukoy ng mga kondisyon, maaari mong gamitin ang mga sumusunod na halimbawa:

Alin sa mga sumusunod na expression ang maaaring mabago sa pamamagitan ng pag-alis ng karaniwang salik sa mga bracket:

2)

3) 0.7a 2 +0.2b 2;

5) 6,3*0,4+3,4*6,3;

6) 2x2 +3x2 +5y2;

7) 0,21+0,22+0,23.

Karamihan sa mga kalkulasyon sa pagsasanay ay hindi nakakatugon sa mga kondisyon ng pagiging posible, kaya ang mga mag-aaral ay nangangailangan ng mga kasanayan upang dalhin sila sa isang form na nagpapahintulot sa pagkalkula ng mga pagbabago. Sa kasong ito, ang mga sumusunod na gawain ay angkop:

kapag pinag-aaralan ang pag-alis ng isang karaniwang salik sa mga bracket:

ang expression na ito, kung maaari, ay mag-transform sa isang expression, na inilalarawan ng scheme 4:

4) 2a * a 2 * a 2;

5) 2n 4 +3n 6 +n 9 ;

8) 15ab 2 +5a 2 b;

10) 12,4*-1,24*0,7;

11) 4,9*3,5+1,7*10,5;

12) 10,8 2 -108;

13)

14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;

15) 2*3 4 -3*2 4 +6;

18) 3,2/0,7-1,8*

Kapag bumubuo ng konsepto ng "magkaparehong pagbabagong-anyo", dapat itong alalahanin na nangangahulugan ito hindi lamang na ang ibinigay at ang nagresultang pagpapahayag bilang resulta ng pagbabago ay tumatagal ng pantay na halaga para sa anumang mga halaga ng mga titik na kasama dito, ngunit gayundin na sa panahon ng magkatulad na pagbabagong-anyo ay pumasa tayo mula sa expression na tumutukoy sa isang paraan ng pagsusuri, sa isang expression na tumutukoy sa isa pang paraan ng pagsusuri ng parehong halaga.

Posibleng ilarawan ang scheme 5 (ang panuntunan para sa pagbabago ng produkto ng isang monomial at isang polynomial) na may mga halimbawa

0.5a(b+c) o 3.8(0.7+).

Mga pagsasanay para sa pag-aaral na gawing panaklong ang karaniwang kadahilanan:

Kalkulahin ang halaga ng expression:

a) 4.59*0.25+1.27*0.25+2.3-0.25;

b) a+bc sa a=0.96; b=4.8; c=9.8.

c) a(a+c)-c(a+b) na may a=1.4; b=2.8; c=5.2.

Ilarawan natin sa mga halimbawa ang pagbuo ng mga kasanayan at kakayahan sa mga kalkulasyon at magkaparehong pagbabago.(J. Mathematics at School, No. 5, 1984, p. 30)

1) ang mga kasanayan at kakayahan ay mas mabilis na nakukuha at napapanatili nang mas matagal kung ang kanilang pagbuo ay nangyayari sa isang malay na batayan (ang didactic na prinsipyo ng kamalayan).

1) Maaari mong bumalangkas ng panuntunan para sa pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator, o una, gamit ang mga partikular na halimbawa, isaalang-alang ang kakanyahan ng pagdaragdag ng mga pantay na bahagi.

2) Kapag nagfa-factor sa pamamagitan ng pag-alis ng common factor sa mga bracket, mahalagang makita itong common factor at pagkatapos ay ilapat ang batas sa pamamahagi. Kapag nagsasagawa ng mga unang pagsasanay, kapaki-pakinabang na isulat ang bawat termino ng polynomial bilang isang produkto, isa sa mga salik na karaniwan sa lahat ng termino:

3a 3 -15a 2 b+5ab 2 = a3a 2 -a15ab+a5b 2 .

Ito ay lalong kapaki-pakinabang na gawin ito kapag ang isa sa mga monomial ng polynomial ay inalis sa mga bracket:

II. Unang yugto pagbuo ng kasanayan - pag-master ng kasanayan (ginagawa ang mga pagsasanay na may mga detalyadong paliwanag at tala)

(Ang tanong ng tanda ay nalutas muna)

Pangalawang yugto- ang yugto ng pag-automate ng kasanayan sa pamamagitan ng pag-aalis ng ilang intermediate na operasyon

III. Ang lakas ng mga kasanayan ay nakakamit sa pamamagitan ng paglutas ng mga halimbawa na magkakaibang kapwa sa nilalaman at sa anyo.

Paksa: “Bracketing the common factor”.

1. Isulat ang nawawalang multiplier sa halip na ang polynomial:

2. I-factorize upang bago ang mga bracket ay mayroong monomial na may negatibong koepisyent:

3. I-factorize upang ang polynomial sa mga bracket ay may integer coefficients:

4. Lutasin ang equation:

IV. Ang pagbuo ng mga kasanayan ay pinaka-epektibo sa kaso ng oral na pagganap ng ilang intermediate na kalkulasyon o pagbabago.

(pasalita);

V. Ang mga nabuong kasanayan at kakayahan ay dapat isama sa dati nang nabuong sistema ng kaalaman, kasanayan at kakayahan ng mga mag-aaral.

Halimbawa, kapag natututong i-factorize ang mga polynomial gamit ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon, ang mga sumusunod na pagsasanay ay inaalok:

Multiply:

VI. Ang pangangailangan para sa makatwirang pagganap ng mga kalkulasyon at pagbabago.

sa) pasimplehin ang expression:

Ang katwiran ay namamalagi sa pagbubukas ng mga bracket, dahil

VII. Pag-convert ng mga expression na naglalaman ng isang degree.

№1011 (Alg.9) Pasimplehin ang expression:

№1012 (Alg.9) Alisin ang factor mula sa ilalim ng root sign:

№1013 (Alg.9) Maglagay ng factor sa ilalim ng root sign:

№1014 (Alg.9) Pasimplehin ang expression:

Sa lahat ng mga halimbawa, paunang magsagawa ng alinman sa factorization, o pagkuha ng isang karaniwang kadahilanan, o "tingnan" ang kaukulang formula ng pagbawas.

№1015 (Alg.9) Bawasan ang fraction:

Maraming mga estudyante ang nakakaranas ng ilang kahirapan sa pagbabago ng mga expression na naglalaman ng mga ugat, lalo na kapag sinisiyasat ang pagkakapantay-pantay:

Samakatuwid, alinman sa ilarawan nang detalyado ang mga expression ng form o o pumunta sa isang degree na may rational exponent.

№1018 (Alg.9) Hanapin ang halaga ng expression:

№1019 (Alg.9) Pasimplehin ang expression:

2.285 (Scanavi) Pasimplehin ang expression

at pagkatapos ay i-graph ang function y para sa

No. 2.299 (Skanavi) Suriin ang bisa ng pagkakapantay-pantay:

Ang pagbabagong-anyo ng mga expression na naglalaman ng isang degree ay isang generalization ng nakuha na mga kasanayan at kakayahan sa pag-aaral ng magkaparehong pagbabago ng polynomials.

2.320 (Skanavi) Pasimplehin ang expression:

Sa kursong Algebra 7, ang mga sumusunod na kahulugan ay ibinigay.

Def. Dalawang expression na ang katumbas na mga halaga ay pantay para sa mga halaga ng mga variable ay sinasabing magkaparehong pantay.

Def. Pagkakapantay-pantay, totoo para sa anumang mga halaga ng tinatawag na mga variable. pagkakakilanlan.

№94(Alg.7) Ang pagkakakilanlan ba ay pagkakapantay-pantay:

a)

c)

d)

Depinisyon ng paglalarawan: Ang pagpapalit ng isang expression ng isa pa, na kapareho nito, ay tinatawag na magkaparehong pagbabago o simpleng pagbabago ng isang expression. Ang mga magkatulad na pagbabagong-anyo ng mga expression na may mga variable ay ginagawa batay sa mga katangian ng mga operasyon sa mga numero.

№ (Alg.7) Sa mga expression

hanapin ang mga kapareho ng .

Paksa: "Magkaparehong pagbabago ng mga ekspresyon" (teknikong pagtatanong)

Ang unang paksa ng "Algebra-7" - "Mga expression at ang kanilang mga pagbabago" ay tumutulong upang pagsamahin ang mga kasanayan sa pagkalkula na nakuha sa mga baitang 5-6, upang i-systematize at gawing pangkalahatan ang impormasyon tungkol sa mga pagbabagong-anyo ng mga expression at mga solusyon sa mga equation.

Ang paghahanap ng mga halaga ng mga numerical at alphabetic na expression ay ginagawang posible na ulitin sa mga mag-aaral ang mga patakaran ng pagkilos na may mga rational na numero. Ang kakayahang magsagawa ng mga operasyong aritmetika na may mga rational na numero ay ang batayan para sa buong kurso ng algebra.

Kapag pormal na isinasaalang-alang ang mga pagbabago sa mga expression, ang mga kasanayan sa pagpapatakbo ay nananatili sa parehong antas na nakamit sa mga baitang 5-6.

Gayunpaman, dito tumaas ang mga mag-aaral sa isang bagong antas sa pag-master ng teorya. Ang mga konsepto ng "magkaparehong pantay na mga expression", "pagkakakilanlan", "magkaparehong pagbabago ng mga expression" ay ipinakilala, ang nilalaman nito ay patuloy na ibubunyag at lalalim kapag pinag-aaralan ang mga pagbabagong-anyo ng iba't ibang mga algebraic na expression. Binibigyang-diin na ang batayan ng magkatulad na pagbabago ay ang mga katangian ng mga aksyon sa mga numero.

Kapag pinag-aaralan ang paksang "Polynomials", nabuo ang mga kasanayan sa pormal na pagpapatakbo ng magkaparehong pagbabago ng mga algebraic na expression. Ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon ay nag-aambag sa karagdagang proseso ng pagbuo ng mga kasanayan upang maisagawa ang magkatulad na pagbabagong-anyo ng mga integer na expression, ang kakayahang mag-apply ng mga formula kapwa para sa pinaikling multiplikasyon at para sa factoring polynomial ay ginagamit hindi lamang sa pagbabago ng mga integer na expression, kundi pati na rin sa mga operasyon na may mga fraction, ugat, kapangyarihan na may makatwirang exponent .

Sa ika-8 baitang, ang mga nakuhang kasanayan ng magkatulad na pagbabago ay ginagawa sa mga aksyon na may mga algebraic fraction, square root at mga expression na naglalaman ng mga degree na may integer exponent.

Sa hinaharap, ang mga pamamaraan ng magkatulad na pagbabago ay makikita sa mga expression na naglalaman ng isang degree na may rational exponent.

Ang isang espesyal na pangkat ng magkaparehong pagbabago ay ang mga trigonometrikong ekspresyon at mga ekspresyong logarithmic.

Ang ipinag-uutos na mga resulta ng pag-aaral para sa kursong algebra sa mga baitang 7-9 ay kinabibilangan ng:

1) magkaparehong pagbabago ng mga integer na expression

a) pagbubukas at bracketing ng bracket;

b) pagbabawas ng mga katulad na termino;

c) karagdagan, pagbabawas at pagpaparami ng mga polynomial;

d) factorization ng polynomials sa pamamagitan ng pagkuha ng common factor sa mga bracket at abbreviated multiplication formula;

e) factorization ng isang square trinomial.

"Matematika sa paaralan" (B.U.M.) p.110

2) magkatulad na mga pagbabagong-anyo ng mga makatwirang ekspresyon: karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati ng mga praksyon, pati na rin ilapat ang mga nakalistang kasanayan kapag nagsasagawa ng mga simpleng pinagsamang pagbabagong-anyo [p. 111]

3) ang mga mag-aaral ay dapat na makapagsagawa ng mga pagbabago sa mga simpleng expression na naglalaman ng mga degree at ugat. (pp. 111-112)

Ang mga pangunahing uri ng mga gawain ay isinasaalang-alang, ang kakayahang malutas na nagpapahintulot sa mag-aaral na makakuha ng isang positibong pagtatasa.

Ang isa sa pinakamahalagang aspeto ng pamamaraan para sa pag-aaral ng magkatulad na mga pagbabago ay ang pag-unlad ng mga mag-aaral ng mga layunin ng pagsasagawa ng magkatulad na mga pagbabago.

1) - pagpapasimple ng numerical value ng expression

2) alin sa mga pagbabago ang dapat gawin: (1) o (2) Ang pagsusuri sa mga opsyong ito ay isang pagganyak (mas mabuti (1), dahil sa (2) ang lugar ng kahulugan ay pinaliit)

3) Lutasin ang equation:

Factorization sa paglutas ng mga equation.

4) Kalkulahin:

Ilapat natin ang pinaikling formula ng multiplikasyon:

(101-1) (101+1)=100102=102000

5) Hanapin ang halaga ng expression:

Upang mahanap ang halaga, i-multiply ang bawat fraction sa conjugate:

6) I-plot ang function graph:

Piliin natin ang buong bahagi: .

Ang pag-iwas sa error kapag nagsasagawa ng magkatulad na mga pagbabago ay maaaring makuha sa pamamagitan ng iba't ibang mga halimbawa ng kanilang pagpapatupad. Sa kasong ito, ang "maliit" na mga diskarte ay ginawa, na, bilang mga bahagi, ay kasama sa isang mas malaking proseso ng pagbabagong-anyo.

Halimbawa:

Depende sa mga direksyon ng equation, maraming mga problema ang maaaring isaalang-alang: mula kanan hanggang kaliwa multiplikasyon ng polynomials; mula kaliwa hanggang kanan - factorization. Ang kaliwang bahagi ay isang multiple ng isa sa mga salik sa kanang bahagi, at iba pa.

Bilang karagdagan sa pag-iiba-iba ng mga halimbawa, maaari mong gamitin ang paghingi ng tawad sa pagitan ng mga pagkakakilanlan at pagkakapantay-pantay ng numero.

Ang susunod na lansihin ay ipaliwanag ang mga pagkakakilanlan.

Upang madagdagan ang interes ng mga mag-aaral, maaaring iugnay ang paghahanap ng iba't ibang paraan upang malutas ang mga problema.

Ang mga aralin sa pag-aaral ng magkatulad na pagbabago ay magiging mas kawili-wili kung sila ay nakatuon sa paghahanap ng solusyon sa isang problema .

Halimbawa: 1) bawasan ang fraction:

3) patunayan ang "komplikadong radikal" na formula

Isaalang-alang:

Ibahin natin ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay:

-

kabuuan ng conjugate expression. Maaari silang paramihin at hatiin ng conjugate, ngunit ang ganitong operasyon ay magdadala sa atin sa isang fraction na ang denominator ay ang pagkakaiba ng mga radical.

Tandaan na ang unang termino sa unang bahagi ng pagkakakilanlan ay isang numerong mas malaki kaysa sa pangalawa, kaya maaari mong i-square ang parehong bahagi:

Praktikal na aralin bilang 3.

Paksa: Magkaparehong pagbabago ng mga ekspresyon (teknikong pagtatanong).

Panitikan: "Workshop sa MPM", pp. 87-93.

Ang isang tanda ng isang mataas na kultura ng mga kalkulasyon at magkaparehong pagbabago sa mga mag-aaral ay isang matatag na kaalaman sa mga katangian at algorithm ng mga operasyon sa eksaktong at tinatayang mga halaga at ang kanilang mahusay na aplikasyon; makatwirang paraan ng mga kalkulasyon at pagbabagong-anyo at ang kanilang pagpapatunay; ang kakayahang patunayan ang aplikasyon ng mga pamamaraan at panuntunan ng mga kalkulasyon at pagbabago, ang pagiging awtomatiko ng mga kasanayan ng walang error na pagpapatupad ng mga pagpapatakbo ng computational.

Mula sa anong baitang dapat magsimula ang mga mag-aaral sa pagbuo ng mga kasanayang ito?

Ang linya ng magkaparehong pagbabagong-anyo ng mga expression ay nagsisimula sa paggamit ng mga pamamaraan ng makatwirang pagkalkula at nagsisimula sa paggamit ng mga pamamaraan ng makatwirang pagkalkula ng mga halaga ng mga numerical na expression. (grade 5)

Kapag nag-aaral ng mga ganitong paksa sa isang kurso sa matematika ng paaralan, dapat bigyan sila ng espesyal na atensyon!

Ang malay-tao na pagganap ng magkatulad na pagbabago ng mga mag-aaral ay pinadali ng pag-unawa sa katotohanan na ang mga algebraic na expression ay hindi umiiral sa kanilang sarili, ngunit inextricably na nauugnay sa ilang mga numerical set, ang mga ito ay mga pangkalahatang talaan ng mga numerical na expression. Ang mga pagkakatulad sa pagitan ng algebraic at numerical na mga expression (at ang kanilang mga pagbabago) ay lohikal na lehitimo, ang kanilang paggamit sa pagtuturo ay nakakatulong upang maiwasan ang mga mag-aaral na magkamali.

Ang mga pagbabago sa pagkakakilanlan ay hindi isang hiwalay na paksa ng kurso sa matematika ng paaralan, pinag-aaralan ang mga ito sa buong kurso ng algebra at simula ng pagsusuri sa matematika.

Ang programa sa matematika para sa mga baitang 1-5 ay isang propaedeutic na materyal para sa pag-aaral ng magkaparehong pagbabago ng mga expression na may variable.

Sa kurso ng algebra 7 mga cell. ipinakilala ang mga kahulugan ng pagkakakilanlan at pagbabago ng pagkakakilanlan.

Def. Dalawang expression na ang katumbas na mga halaga ay pantay para sa anumang mga halaga ng mga variable, na tinatawag. magkaparehong pantay.

ODA. Ang pagkakapantay-pantay na totoo para sa anumang mga halaga ng mga variable ay tinatawag na pagkakakilanlan.

Ang halaga ng pagkakakilanlan ay nakasalalay sa katotohanan na pinapayagan nito ang isang naibigay na expression na mapalitan ng isa pang kaparehong katumbas nito.

Def. Ang pagpapalit ng isang ekspresyon ng isa pa, na magkaparehong katumbas nito, ay tinatawag pagbabago ng pagkakakilanlan o simple lang pagbabago mga ekspresyon.

Ang mga magkatulad na pagbabagong-anyo ng mga expression na may mga variable ay ginagawa batay sa mga katangian ng mga operasyon sa mga numero.

Ang mga katumbas na pagbabagong-anyo ay maaaring ituring bilang batayan ng magkatulad na pagbabagong-anyo.

ODA. Dalawang pangungusap, na ang bawat isa ay isang lohikal na kahihinatnan ng isa pa, na tinatawag na. katumbas.

ODA. Pangungusap na may mga baryabol A na tinatawag. kahihinatnan ng pangungusap na may mga baryabol B kung ang truth region B ay isang subset ng truth region A.

Ang isa pang kahulugan ng katumbas na mga pangungusap ay maaaring ibigay: dalawang pangungusap na may mga variable ay katumbas kung ang kanilang mga rehiyon ng katotohanan ay pareho.

a) B: x-1=0 sa R; A: (x-1) 2 over R => A~B kasi ang mga rehiyon ng katotohanan (mga solusyon) ay nag-tutugma (x=1)

b) A: x=2 sa R; B: x 2 \u003d 4 over R => truth area A: x \u003d 2; rehiyon ng katotohanan B: x=-2, x=2; kasi ang katotohanang rehiyon A ay nakapaloob sa B, kung gayon: x 2 =4 ay bunga ng pangungusap na x=2.

Ang batayan ng magkatulad na pagbabago ay ang posibilidad na kumatawan sa parehong numero sa iba't ibang anyo. Halimbawa,

-

makatutulong ang ganitong representasyon sa pag-aaral ng paksang “basic properties of a fraction”.

Ang mga kasanayan sa pagsasagawa ng magkatulad na pagbabago ay nagsisimulang mabuo kapag nilulutas ang mga halimbawang katulad ng sumusunod: "Hanapin ang numerical value ng expression na 2a 3 + 3ab + b 2 na may a = 0.5, b = 2/3", na inaalok sa mga mag-aaral sa baitang 5 at payagan ang propaedeutics na konsepto ng function.

Kapag pinag-aaralan ang mga formula ng pinaikling multiplikasyon, dapat bigyang pansin ang kanilang malalim na pag-unawa at malakas na asimilasyon. Upang gawin ito, maaari mong gamitin ang sumusunod na graphic na paglalarawan:

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)

Tanong: Paano ipaliwanag sa mga mag-aaral ang kakanyahan ng mga formula sa itaas ayon sa mga guhit na ito?

Ang isang karaniwang pagkakamali ay ang lituhin ang mga expression na "squared sum" at "sum of squares". Ang indikasyon ng guro na ang mga expression na ito ay naiiba sa pagkakasunud-sunod ng pagkilos ay tila hindi makabuluhan, dahil ang mga mag-aaral ay naniniwala na ang mga pagkilos na ito ay ginagawa sa parehong mga numero at samakatuwid ang resulta ay hindi nagbabago mula sa pagbabago ng pagkakasunud-sunod ng mga aksyon.

Gawain: Bumuo ng mga oral exercises upang malinang ang mga kasanayan ng mga mag-aaral sa tumpak na paggamit ng mga formula sa itaas. Paano ipaliwanag kung paano magkatulad ang dalawang expression na ito at kung paano sila naiiba sa isa't isa?

Ang isang malawak na pagkakaiba-iba ng magkatulad na pagbabago ay nagpapahirap sa mga mag-aaral na i-orient ang kanilang mga sarili sa layunin kung saan sila ginaganap. Ang malabong kaalaman sa layunin ng pagsasagawa ng mga pagbabagong-anyo (sa bawat partikular na kaso) ay negatibong nakakaapekto sa kanilang kamalayan, nagsisilbing mapagkukunan ng napakalaking pagkakamali ng mag-aaral. Iminumungkahi nito na ang pagpapaliwanag sa mga mag-aaral sa mga layunin ng pagsasagawa ng iba't ibang magkakaparehong pagbabago ay isang mahalagang bahagi ng pamamaraan para sa pag-aaral ng mga ito.

Mga halimbawa ng motibasyon para sa magkatulad na pagbabago:

1. pagpapasimple ng paghahanap ng numerical value ng expression;

2. pagpili ng pagbabago ng equation na hindi humahantong sa pagkawala ng ugat;

3. kapag nagsasagawa ng pagbabago, maaari mong markahan ang lugar ng pagkalkula nito;

4. ang paggamit ng mga pagbabago sa pagkalkula, halimbawa, 99 2 -1=(99-1)(99+1);

Upang pamahalaan ang proseso ng pagpapasya, mahalagang magkaroon ng kakayahan ang guro na magbigay ng tumpak na paglalarawan sa esensya ng pagkakamaling nagawa ng mag-aaral. Ang tumpak na paglalarawan ng pagkakamali ay ang susi sa tamang pagpili ng mga kasunod na aksyon na ginawa ng guro.

Mga halimbawa ng mga pagkakamali ng mag-aaral:

1. pagsasagawa ng multiplikasyon: ang mag-aaral ay nakatanggap ng -54abx 6 (7 cell);

2. pagsasagawa ng exponentiation (3x 2) 3, nakatanggap ang mag-aaral ng 3x 6 (7 cell);

3. transforming (m + n) 2 sa isang polynomial, ang mag-aaral ay nakatanggap ng m 2 + n 2 (7 cell);

4. pagbabawas ng bahaging natanggap ng mag-aaral (8 cell);

5. nagsasagawa ng pagbabawas: , isusulat ng mag-aaral ang (8 cell)

6. Kumakatawan sa isang fraction sa anyo ng mga fraction, natanggap ng mag-aaral ang: (8 mga cell);

7. pagkuha ng arithmetic root, ang mag-aaral ay nakatanggap ng x-1 (9 na mga cell);

8. paglutas ng equation (9 na mga cell);

9. pagbabago ng ekspresyon, ang mag-aaral ay tumatanggap ng: (9 na mga cell).

Konklusyon

Ang pag-aaral ng magkatulad na pagbabagong-anyo ay isinasagawa sa malapit na koneksyon sa mga numerical set na pinag-aralan sa isang klase o iba pa.

Sa una, dapat hilingin sa mag-aaral na ipaliwanag ang bawat hakbang ng pagbabago, upang bumalangkas ng mga alituntunin at batas na naaangkop.

Sa magkatulad na pagbabago ng algebraic expression, dalawang panuntunan ang ginagamit: pagpapalit at pagpapalit ng mga katumbas. Ang pinakakaraniwang ginagamit na pagpapalit, dahil Ang pagbibilang ng formula ay nakabatay dito, i.e. hanapin ang halaga ng expression na a*b na may a=5 at b=-3. Kadalasan, napapabayaan ng mga mag-aaral ang mga panaklong kapag nagsasagawa ng pagpaparami, sa paniniwalang ang tanda ng pagpaparami ay ipinahiwatig. Halimbawa, posible ang naturang record: 5*-3.

Panitikan

1. A.I. Azarov, S.A. Barvenov "Functional at graphical na pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa pagsusuri", Mn.. Aversev, 2004

2. O.N. Piryutko "Mga karaniwang error sa sentralisadong pagsubok", Mn.. Aversev, 2006

3. A.I. Azarov, S.A. Barvenov "Tasks-traps on centralized testing", Mn.. Aversev, 2006

4. A.I. Azarov, S.A. Barvenov "Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa trigonometriko", Mn.. Aversev, 2005

Numeric at algebraic expression. Pagbabagong ekspresyon.

Ano ang isang expression sa matematika? Bakit kailangan ang mga conversion ng expression?

Ang tanong, gaya ng sinasabi nila, ay kawili-wili... Ang katotohanan ay ang mga konseptong ito ang batayan ng lahat ng matematika. Ang lahat ng matematika ay binubuo ng mga expression at ang kanilang mga pagbabago. Hindi masyadong malinaw? Hayaan mo akong magpaliwanag.

Sabihin nating mayroon kang masamang halimbawa. Napakalaki at napakakomplikado. Sabihin na nating magaling ka sa math at hindi ka natatakot sa anuman! Makasagot ka agad?

Kakailanganin mo magpasya halimbawang ito. Sunud-sunod, hakbang-hakbang, ang halimbawang ito pasimplehin. Ayon sa ilang mga patakaran, siyempre. Yung. gumawa conversion ng expression. Gaano ka matagumpay na naisagawa ang mga pagbabagong ito, kaya malakas ka sa matematika. Kung hindi mo alam kung paano gawin ang mga tamang pagbabago, sa matematika ay hindi mo magagawa wala...

Upang maiwasan ang gayong hindi komportable na hinaharap (o kasalukuyan ...), hindi masakit na maunawaan ang paksang ito.)

Upang magsimula, alamin natin ano ang expression sa math. Ano numeric na expression at kung ano ang algebraic expression.

Ano ang isang expression sa matematika?

Pagpapahayag sa matematika ay isang napakalawak na konsepto. Halos lahat ng bagay na pinag-uusapan natin sa matematika ay isang set ng mga mathematical expression. Anumang mga halimbawa, formula, fraction, equation, at iba pa - lahat ng ito ay binubuo ng mga pagpapahayag ng matematika.

Ang 3+2 ay isang mathematical expression. c 2 - d 2 ay isa ring mathematical expression. At isang malusog na fraction, at kahit isang numero - lahat ito ay mga mathematical expression. Ang equation, halimbawa, ay:

5x + 2 = 12

ay binubuo ng dalawang mathematical expression na konektado ng isang equals sign. Ang isang expression ay nasa kaliwa, ang isa ay nasa kanan.

Sa pangkalahatan, ang termino pagpapahayag ng matematika" ay ginagamit, kadalasan, upang hindi umimik. Tatanungin ka nila kung ano ang isang ordinaryong fraction, halimbawa? At paano sasagutin?!

Sagot 1: "Ito ay... m-m-m-m... ganoong bagay ... kung saan ... Maaari ba akong magsulat ng isang fraction ng mas mahusay? Alin ang gusto mo?"

Ang pangalawang pagpipilian sa sagot: "Ang isang ordinaryong bahagi ay (masaya at masaya!) pagpapahayag ng matematika , na binubuo ng numerator at denominator!"

Ang pangalawang opsyon ay kahit papaano ay mas kahanga-hanga, tama?)

Para sa layuning ito, ang pariralang " pagpapahayag ng matematika "Very good. Parehong tama at solid. But for practical application, you need to be well versed in mga tiyak na uri ng pagpapahayag sa matematika .

Ang tiyak na uri ay isa pang bagay. Ito ay ibang bagay! Ang bawat uri ng mathematical expression ay may akin isang hanay ng mga tuntunin at pamamaraan na dapat gamitin sa pagpapasya. Upang gumana sa mga fraction - isang set. Para sa pagtatrabaho sa mga trigonometrikong expression - ang pangalawa. Para sa pagtatrabaho sa logarithms - ang pangatlo. atbp. Sa isang lugar ang mga panuntunang ito ay nag-tutugma, sa isang lugar sila ay naiiba nang husto. Ngunit huwag matakot sa mga kakila-kilabot na salitang ito. Logarithms, trigonometry at iba pang mahiwagang bagay na ating pag-uusapan sa mga nauugnay na seksyon.

Dito namin master (o - ulitin, hangga't gusto mo ...) ng dalawang pangunahing uri ng mga mathematical expression. Mga numeric na expression at algebraic na expression.

Mga numeric na expression.

Ano numeric na expression? Ito ay isang napakasimpleng konsepto. Ang pangalan mismo ay nagpapahiwatig na ito ay isang expression na may mga numero. ganyan yan. Ang isang mathematical expression na binubuo ng mga numero, bracket at mga palatandaan ng mga operasyong arithmetic ay tinatawag na numeric expression.

Ang 7-3 ay isang numeric na expression.

(8+3.2) Ang 5.4 ay isa ring numeric na expression.

At ang halimaw na ito:

isang numeric expression din, oo...

Isang ordinaryong numero, isang fraction, anumang halimbawa ng pagkalkula na walang mga x at iba pang mga titik - lahat ito ay mga numerical na expression.

pangunahing tampok numerical mga ekspresyon sa loob nito walang mga titik. wala. Mga numero at mathematical icon lamang (kung kinakailangan). Simple lang diba?

At ano ang maaaring gawin sa mga numerical expression? Karaniwang mabibilang ang mga numeric na expression. Upang gawin ito, kung minsan kailangan mong buksan ang mga bracket, baguhin ang mga palatandaan, paikliin, palitan ang mga termino - i.e. gumawa mga conversion ng expression. Ngunit higit pa sa ibaba.

Dito ay haharapin natin ang gayong nakakatawang kaso kapag may numerical expression wala kang kailangang gawin. Well, wala naman! Ang magandang operasyon na ito Para walang magawa)- ay naisakatuparan kapag ang expression walang saysay.

Kailan walang saysay ang isang numeric na expression?

Syempre, kung may makikita tayong abracadabra sa harap natin, gaya ng

tapos wala tayong gagawin. Dahil hindi malinaw kung ano ang gagawin dito. Ilang kalokohan. Maliban kung, upang mabilang ang bilang ng mga plus ...

Ngunit may mga panlabas na medyo disenteng mga ekspresyon. Halimbawa ito:

(2+3): (16 - 2 8)

Gayunpaman, ang expression na ito ay din walang saysay! Para sa simpleng dahilan na sa pangalawang bracket - kung bibilangin mo - makakakuha ka ng zero. Hindi mo maaaring hatiin sa zero! Ito ay isang ipinagbabawal na operasyon sa matematika. Samakatuwid, hindi rin kailangang gumawa ng anuman sa ekspresyong ito. Para sa anumang gawain na may ganitong expression, ang sagot ay palaging magiging pareho: "Walang sense yung expression!"

Upang magbigay ng ganoong sagot, siyempre, kailangan kong kalkulahin kung ano ang nasa mga bracket. At kung minsan sa mga bracket tulad ng isang twist ... Well, walang dapat gawin tungkol dito.

Walang napakaraming ipinagbabawal na operasyon sa matematika. Isa lang ang nasa thread na ito. Dibisyon sa pamamagitan ng zero. Ang mga karagdagang pagbabawal na nagmumula sa mga ugat at logarithms ay tinatalakay sa mga nauugnay na paksa.

Kaya, isang ideya kung ano ang numeric na expression- nakuha. konsepto walang saysay ang numeric na expression- napagtanto. Tayo ay pumunta sa karagdagang.

Algebraic expression.

Kung lumilitaw ang mga titik sa isang numerical expression, ang expression na ito ay nagiging... Ang expression ay nagiging... Oo! Ito ay nagiging algebraic expression. Halimbawa:

5a 2 ; 3x-2y; 3(z-2); 3.4m/n; x 2 +4x-4; (a + b) 2; ...

Ang ganitong mga ekspresyon ay tinatawag din literal na mga pagpapahayag. O kaya mga expression na may mga variable. Ito ay halos parehong bagay. Pagpapahayag 5a +c, halimbawa - parehong literal at algebraic, at expression na may mga variable.

konsepto algebraic expression - mas malawak kaysa numerical. Ito kasama ang at lahat ng mga numeric na expression. Yung. ang numeric na expression ay isa ring algebraic expression, kung wala lang ang mga letra. Ang bawat herring ay isang isda, ngunit hindi lahat ng isda ay isang herring...)

Bakit literal- Ito ay malinaw. Well, dahil may mga titik ... Parirala pagpapahayag na may mga variable hindi rin masyadong nakakalito. Kung naiintindihan mo na ang mga numero ay nakatago sa ilalim ng mga titik. Ang lahat ng uri ng mga numero ay maaaring maitago sa ilalim ng mga titik ... At 5, at -18, at kahit anong gusto mo. Ibig sabihin, pwede ang isang sulat palitan para sa iba't ibang numero. Iyon ang dahilan kung bakit ang mga titik ay tinatawag mga variable.

Sa ekspresyon y+5, Halimbawa, sa- variable. O sabihin mo lang" variable", nang walang salitang "halaga". Hindi tulad ng lima, na isang palaging halaga. O kaya lang- pare-pareho.

Termino algebraic expression nangangahulugan na upang gumana sa expression na ito, kailangan mong gamitin ang mga batas at panuntunan algebra. Kung ang aritmetika gumagana sa mga partikular na numero, kung gayon algebra- kasama ang lahat ng mga numero nang sabay-sabay. Isang simpleng halimbawa para sa paglilinaw.

Sa arithmetic, maaring isulat iyon

Ngunit kung sumulat tayo ng katulad na pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng mga algebraic na expression:

a + b = b + a

kami na agad ang magdedesisyon lahat mga tanong. Para sa lahat ng numero stroke. Para sa isang walang katapusang bilang ng mga bagay. Dahil sa ilalim ng mga titik a at b ipinahiwatig lahat numero. At hindi lamang mga numero, ngunit kahit na iba pang mga mathematical expression. Ito ay kung paano gumagana ang algebra.

Kailan walang kahulugan ang isang algebraic expression?

Ang lahat ay malinaw tungkol sa numerical expression. Hindi mo maaaring hatiin sa zero. At sa pamamagitan ng mga titik, posible bang malaman kung ano ang ating hinahati ?!

Kunin natin ang sumusunod na variable na expression bilang isang halimbawa:

2: (a - 5)

May katuturan ba ito? Ngunit sino ang nakakakilala sa kanya? a- kahit anong numero...

Anuman, anuman... Ngunit may isang kahulugan a, kung saan ang expression na ito eksakto walang saysay! At ano ang numerong iyon? Oo! 5 na! Kung ang variable a palitan (sabi nila - "kapalit") ng numero 5, sa panaklong, zero ang lalabas. na hindi maaaring hatiin. Kaya pala yung expression namin walang saysay, kung a = 5. Ngunit para sa iba pang mga halaga a may katuturan ba ito? Maaari mo bang palitan ang iba pang mga numero?

tiyak. Sa ganitong mga kaso, ito ay sinabi lamang na ang expression

2: (a - 5)

may katuturan para sa anumang halaga a, maliban sa a = 5 .

Ang buong hanay ng mga numero pwede pamalit sa ibinigay na expression ay tinatawag na wastong saklaw expression na ito.

Tulad ng nakikita mo, walang nakakalito. Tinitingnan namin ang expression na may mga variable, at iniisip: sa anong halaga ng variable ang ipinagbabawal na operasyon na nakuha (dibisyon sa zero)?

At pagkatapos ay siguraduhing tingnan ang tanong ng takdang-aralin. Ano ba ang tinatanong nila?

walang saysay, ang ating ipinagbabawal na halaga ang magiging sagot.

Kung tatanungin nila kung anong halaga ng variable ang expression may kahulugan(feel the difference!), ang magiging sagot lahat ng iba pang numero maliban sa bawal.

Bakit kailangan natin ang kahulugan ng expression? Nandiyan siya, wala siya... Anong pinagkaiba?! Ang katotohanan ay ang konseptong ito ay nagiging napakahalaga sa mataas na paaralan. Napakahalaga! Ito ang batayan para sa mga solidong konsepto tulad ng saklaw ng mga wastong halaga o saklaw ng isang function. Kung wala ito, hindi mo malulutas ang mga seryosong equation o hindi pagkakapantay-pantay. Ganito.

Pagbabagong ekspresyon. Mga pagbabago sa pagkakakilanlan.

Nakilala namin ang mga numerical at algebraic na expression. Unawain kung ano ang ibig sabihin ng pariralang "ang pagpapahayag ay walang kahulugan." Ngayon kailangan nating malaman kung ano conversion ng expression. Ang sagot ay simple, mapangahas.) Ito ay anumang aksyon na may ekspresyon. At ayun na nga. Ginagawa mo ang mga pagbabagong ito mula pa noong unang klase.

Kunin ang cool na numerical expression na 3+5. Paano ito mababago? Oo, napakadali! Kalkulahin:

Ang pagkalkula na ito ang magiging pagbabago ng expression. Maaari mong isulat ang parehong expression sa ibang paraan:

Wala kaming binilang dito. Isulat lamang ang ekspresyon sa ibang anyo. Ito rin ay magiging pagbabago ng ekspresyon. Maaari itong isulat tulad nito:

At ito rin ay ang pagbabago ng isang ekspresyon. Maaari mong gawin ang marami sa mga pagbabagong ito hangga't gusto mo.

Anuman aksyon sa isang ekspresyon anuman ang pagsulat nito sa ibang anyo ay tinatawag na transpormasyon ng ekspresyon. At lahat ng bagay. Napakasimple ng lahat. Ngunit mayroong isang bagay dito napakahalagang tuntunin. Napakahalaga na maaari itong ligtas na matawag pangunahing tuntunin lahat ng matematika. Paglabag sa panuntunang ito hindi maiiwasan humahantong sa mga pagkakamali. Naiintindihan ba natin?)

Sabihin nating arbitraryong binago natin ang ating ekspresyon, tulad nito:

Pagbabago? tiyak. Isinulat namin ang expression sa ibang anyo, ano ang mali dito?

Hindi naman sa ganun.) The fact is that the transformations "kahit ano" Ang matematika ay hindi interesado sa lahat.) Ang lahat ng matematika ay binuo sa mga pagbabagong kung saan ang hitsura ay nagbabago, ngunit hindi nagbabago ang diwa ng pagpapahayag. Maaaring isulat ang tatlo at lima sa anumang anyo, ngunit dapat itong walo.

mga pagbabago, mga ekspresyong hindi nagbabago sa diwa tinawag magkapareho.

Eksakto magkatulad na pagbabago at payagan kami, hakbang-hakbang, na gawing isang simpleng pagpapahayag ang isang kumplikadong halimbawa, pinapanatili kakanyahan ng halimbawa. Kung magkamali tayo sa chain of transformations, gagawa tayo ng NOT identical transformation, then we will decide isa pa halimbawa. Sa iba pang mga sagot na hindi nauugnay sa mga tama.)

Narito ito ang pangunahing panuntunan para sa paglutas ng anumang mga gawain: pagsunod sa pagkakakilanlan ng mga pagbabagong-anyo.

Nagbigay ako ng isang halimbawa na may numerical expression 3 + 5 para sa kalinawan. Sa mga algebraic expression, ang magkaparehong pagbabago ay ibinibigay ng mga formula at panuntunan. Sabihin nating mayroong isang formula sa algebra:

a(b+c) = ab + ac

Kaya, sa anumang halimbawa, maaari naming sa halip na ang expression a(b+c) huwag mag-atubiling magsulat ng isang expression ab+ac. At vice versa. Ito ay magkatulad na pagbabago. Binibigyan tayo ng matematika ng pagpipilian sa dalawang expression na ito. At kung alin ang isusulat ay depende sa partikular na halimbawa.

Isa pang halimbawa. Ang isa sa pinakamahalaga at kinakailangang pagbabago ay ang pangunahing katangian ng isang fraction. Makakakita ka ng higit pang mga detalye sa link, ngunit narito ko lang pinapaalalahanan ang panuntunan: kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay pinarami (hinati) sa parehong numero, o isang expression na hindi katumbas ng zero, ang fraction ay hindi magbabago. Narito ang isang halimbawa ng magkakaparehong pagbabago para sa property na ito:

Tulad ng malamang na nahulaan mo, ang chain na ito ay maaaring ipagpatuloy nang walang katapusan...) Isang napakahalagang pag-aari. Ito ang nagpapahintulot sa iyo na gawing puti at malambot ang lahat ng uri ng mga halimaw.)

Mayroong maraming mga formula na tumutukoy sa magkatulad na pagbabago. Ngunit ang pinakamahalaga - medyo isang makatwirang halaga. Isa sa mga pangunahing pagbabago ay ang factorization. Ginagamit ito sa lahat ng matematika - mula elementarya hanggang advanced. Magsimula tayo sa kanya. sa susunod na aralin.)

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Mga pangunahing katangian ng pagdaragdag at pagpaparami ng mga numero.

Commutative property ng karagdagan: kapag ang mga termino ay muling inayos, ang halaga ng kabuuan ay hindi nagbabago. Para sa anumang mga numero a at b, ang pagkakapantay-pantay ay totoo

Ang nauugnay na pag-aari ng karagdagan: upang magdagdag ng ikatlong numero sa kabuuan ng dalawang numero, maaari mong idagdag ang kabuuan ng pangalawa at pangatlo sa unang numero. Para sa anumang mga numero a, b at c ang pagkakapantay-pantay ay totoo

Commutative property ng multiplication: hindi binabago ng permutation ng mga salik ang halaga ng produkto. Para sa anumang mga numero a, b at c, ang pagkakapantay-pantay ay totoo

Ang nauugnay na pag-aari ng multiplikasyon: upang i-multiply ang produkto ng dalawang numero sa ikatlong numero, maaari mong i-multiply ang unang numero sa produkto ng pangalawa at pangatlo.

Para sa anumang mga numero a, b at c, ang pagkakapantay-pantay ay totoo

Distributive property: Upang i-multiply ang isang numero sa isang kabuuan, maaari mong i-multiply ang numerong iyon sa bawat termino at idagdag ang mga resulta. Para sa anumang mga numero a, b at c ang pagkakapantay-pantay ay totoo

Ito ay sumusunod mula sa commutative at associative na mga katangian ng karagdagan na sa anumang kabuuan maaari mong muling ayusin ang mga termino ayon sa gusto mo at pagsamahin ang mga ito sa mga pangkat sa isang arbitrary na paraan.

Halimbawa 1 Kalkulahin natin ang kabuuan na 1.23+13.5+4.27.

Upang gawin ito, ito ay maginhawa upang pagsamahin ang unang termino sa pangatlo. Nakukuha namin:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Ito ay sumusunod mula sa commutative at associative properties ng multiplication: sa anumang produkto, maaari mong muling ayusin ang mga salik sa anumang paraan at arbitraryong pagsamahin ang mga ito sa mga grupo.

Halimbawa 2 Hanapin natin ang halaga ng produkto 1.8 0.25 64 0.5.

Ang pagsasama-sama ng unang kadahilanan sa ikaapat, at ang pangalawa sa pangatlo, magkakaroon tayo ng:

1.8 0.25 64 0.5 \u003d (1.8 0.5) (0.25 64) \u003d 0.9 16 \u003d 14.4.

Ang ari-arian ng pamamahagi ay may bisa din kapag ang numero ay pinarami ng kabuuan ng tatlo o higit pang mga termino.

Halimbawa, para sa anumang mga numero a, b, c at d, ang pagkakapantay-pantay ay totoo

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Alam namin na ang pagbabawas ay maaaring palitan ng karagdagan sa pamamagitan ng pagdaragdag sa minuend ng kabaligtaran na numero sa subtrahend:

Nagbibigay-daan ito sa isang numerical expression ng anyong a-b na ituring na kabuuan ng mga numerong a at -b, isang numerical na expression ng anyong a + b-c-d na ituring na kabuuan ng mga numerong a, b, -c, -d, atbp. Ang ang mga itinuturing na katangian ng mga aksyon ay may bisa din para sa mga naturang halaga.

Halimbawa 3 Hanapin natin ang halaga ng expression na 3.27-6.5-2.5+1.73.

Ang expression na ito ay ang kabuuan ng mga numero 3.27, -6.5, -2.5 at 1.73. Ang paglalapat ng mga katangian ng karagdagan, makakakuha tayo ng: 3.27-6.5-2.5+1.73=(3.27+1.73)+(-6.5-2.5)=5+(-9) = -4.

Halimbawa 4 Kalkulahin natin ang produkto 36·().

Ang multiplier ay maaaring isipin bilang kabuuan ng mga numero at -. Gamit ang distributive property ng multiplication, nakukuha natin ang:

36()=36-36=9-10=-1.

Mga pagkakakilanlan

Kahulugan. Dalawang expression na ang katumbas na mga halaga ay pantay para sa anumang mga halaga ng mga variable ay sinasabing magkaparehong pantay.

Kahulugan. Ang pagkakapantay-pantay na totoo para sa anumang mga halaga ng mga variable ay tinatawag na pagkakakilanlan.

Hanapin natin ang mga halaga ng mga expression na 3(x+y) at 3x+3y para sa x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

Nakuha namin ang parehong resulta. Ito ay sumusunod mula sa distributive property na, sa pangkalahatan, para sa anumang mga halaga ng mga variable, ang mga katumbas na halaga ng mga expression na 3(x+y) at 3x+3y ay pantay.

Isaalang-alang ngayon ang mga expression na 2x+y at 2xy. Para sa x=1, y=2 kumuha sila ng pantay na halaga:

Gayunpaman, maaari mong tukuyin ang mga halaga ng x at y na ang mga halaga ng mga expression na ito ay hindi pantay. Halimbawa, kung x=3, y=4, kung gayon

Ang mga expression na 3(x+y) at 3x+3y ay magkapareho, ngunit ang mga expression na 2x+y at 2xy ay hindi magkapareho.

Ang pagkakapantay-pantay na 3(x+y)=x+3y, totoo para sa anumang mga halaga ng x at y, ay isang pagkakakilanlan.

Itinuturing ding mga pagkakakilanlan ang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero.

Kaya, ang mga pagkakakilanlan ay mga pagkakapantay-pantay na nagpapahayag ng mga pangunahing katangian ng mga aksyon sa mga numero:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Ang iba pang mga halimbawa ng pagkakakilanlan ay maaaring ibigay:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Mga pagbabago sa pagkakakilanlan ng mga expression

Ang pagpapalit ng isang ekspresyon ng isa pa, na kapareho nito, ay tinatawag na magkaparehong pagbabago o simpleng pagbabago ng isang ekspresyon.

Ang mga magkatulad na pagbabagong-anyo ng mga expression na may mga variable ay ginagawa batay sa mga katangian ng mga operasyon sa mga numero.

Upang mahanap ang halaga ng expression na xy-xz na ibinigay ng mga halaga x, y, z, kailangan mong magsagawa ng tatlong hakbang. Halimbawa, sa x=2.3, y=0.8, z=0.2 nakukuha natin:

xy-xz=2.3 0.8-2.3 0.2=1.84-0.46=1.38.

Ang resultang ito ay maaaring makuha sa dalawang hakbang lamang, gamit ang expression na x(y-z), na kaparehong katumbas ng expression na xy-xz:

xy-xz=2.3(0.8-0.2)=2.3 0.6=1.38.

Pinasimple namin ang mga kalkulasyon sa pamamagitan ng pagpapalit ng expression na xy-xz ng magkaparehong expression na x(y-z).

Ang mga pagbabago sa pagkakakilanlan ng mga expression ay malawakang ginagamit sa pagkalkula ng mga halaga ng mga expression at paglutas ng iba pang mga problema. Ang ilang magkatulad na pagbabago ay naisagawa na, halimbawa, ang pagbabawas ng mga katulad na termino, ang pagbubukas ng mga bracket. Alalahanin ang mga patakaran para sa pagsasagawa ng mga pagbabagong ito:

upang magdala ng mga katulad na termino, kailangan mong idagdag ang kanilang mga coefficient at i-multiply ang resulta sa karaniwang bahagi ng titik;

kung mayroong plus sign sa harap ng mga bracket, maaaring tanggalin ang mga bracket, na pinapanatili ang sign ng bawat termino na nakapaloob sa mga bracket;

kung mayroong minus sign bago ang mga bracket, maaaring tanggalin ang mga bracket sa pamamagitan ng pagbabago ng sign ng bawat termino na nakapaloob sa mga bracket.

Halimbawa 1 Magdagdag tayo ng mga katulad na termino sa kabuuan na 5x+2x-3x.

Ginagamit namin ang panuntunan para sa pagbabawas ng mga katulad na termino:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Ang pagbabagong ito ay batay sa distributive property ng multiplication.

Halimbawa 2 Palawakin natin ang mga bracket sa expression na 2a+(b-3c).

Paglalapat ng panuntunan para sa pagbubukas ng mga bracket na pinangungunahan ng plus sign:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Ang isinagawang pagbabago ay batay sa nauugnay na pag-aari ng karagdagan.

Halimbawa 3 Palawakin natin ang mga bracket sa expression na a-(4b-c).

Gamitin natin ang panuntunan para sa pagpapalawak ng mga bracket na pinangungunahan ng minus sign:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Ang ginawang pagbabago ay nakabatay sa distributive property ng multiplication at sa associative property ng karagdagan. Ipakita natin. Katawanin natin ang pangalawang termino -(4b-c) sa expression na ito bilang isang produkto (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Ang paglalapat ng mga katangiang ito ng mga aksyon, makakakuha tayo ng:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

Mahalagang tala!
1. Kung sa halip na mga formula ang makikita mo abracadabra, i-clear ang cache. Kung paano ito gawin sa iyong browser ay nakasulat dito:
2. Bago mo simulan ang pagbabasa ng artikulo, bigyang-pansin ang aming navigator para sa pinakakapaki-pakinabang na mapagkukunan para sa

Madalas nating marinig ang hindi kasiya-siyang pariralang ito: "pasimplehin ang expression." Karaniwan, sa kasong ito, mayroon kaming ilang uri ng halimaw na tulad nito:

"Oo, mas madali," sabi namin, ngunit ang gayong sagot ay karaniwang hindi gumagana.

Ngayon ituturo ko sa iyo na huwag matakot sa anumang ganoong mga gawain.

Bukod dito, sa pagtatapos ng aralin, ikaw mismo ang magpapasimple sa halimbawang ito sa isang (lamang!) ordinaryong numero (oo, sa impiyerno gamit ang mga titik na ito).

Ngunit bago mo simulan ang araling ito, kailangan mong kayanin harapin ang mga fraction at i-factorize ang mga polynomial.

Samakatuwid, kung hindi mo pa ito nagawa noon, siguraduhing makabisado ang mga paksang "" at "".

Basahin? Kung oo, handa ka na.

Tara na! (Let's go!)

Mga Pangunahing Operasyon sa Pagpapasimple ng Expression

Ngayon ay susuriin natin ang mga pangunahing pamamaraan na ginagamit upang gawing simple ang mga expression.

Ang pinakasimple sa kanila ay

1. Nagdadala ng katulad

Ano ang mga katulad? Napagdaanan mo ito noong ika-7 baitang, noong unang lumitaw ang mga titik sa matematika sa halip na mga numero.

Katulad ay mga termino (monomial) na may parehong bahagi ng titik.

Halimbawa, sa kabuuan, tulad ng mga termino ay at.

Naalala?

Magdala ng katulad- nangangahulugang magdagdag ng ilang magkakatulad na termino sa isa't isa at makakuha ng isang termino.

Ngunit paano natin pagsasamahin ang mga titik? - tanong mo.

Ito ay napakadaling maunawaan kung akala mo na ang mga titik ay ilang uri ng mga bagay.

Halimbawa, ang liham ay isang upuan. Saka ano ang expression?

Dalawang upuan at tatlong upuan, magkano ito? Tama, upuan: .

Ngayon subukan ang expression na ito:

Upang hindi malito, hayaan ang iba't ibang mga titik na magpahiwatig ng iba't ibang mga bagay.

Halimbawa, - ito ay (gaya ng dati) isang upuan, at - ito ay isang mesa.

upuan tables chair tables chairs chairs tables

Ang mga numero kung saan ang mga titik sa mga naturang termino ay pinarami ay tinatawag coefficients.

Halimbawa, sa monomial ang coefficient ay pantay. At siya ay pantay-pantay.

Kaya, ang panuntunan para sa pagdadala ng katulad:

Mga halimbawa:

Magdala ng katulad:

Mga sagot:

2. (at magkatulad, dahil, samakatuwid, ang mga terminong ito ay may parehong bahagi ng titik).

2. Factorization

Ito ay kadalasan ang pinakamahalagang bahagi sa pagpapasimple ng mga expression.

Pagkatapos mong magbigay ng mga katulad, kadalasan ay kailangan ang resultang expression i-factorize, ibig sabihin, kumakatawan bilang isang produkto.

Lalo na ito mahalaga sa mga fraction: dahil para mabawasan ang fraction, ang numerator at denominator ay dapat ipahayag bilang isang produkto.

Dumaan ka sa mga detalyadong pamamaraan ng pag-factor ng mga expression sa paksang "", kaya dito mo na lang tandaan kung ano ang iyong natutunan.

Upang gawin ito, lutasin ang ilang mga halimbawa (kailangan mong i-factorize)

Mga halimbawa:

Mga solusyon:

3. Pagbabawas ng fraction.

Buweno, ano ang maaaring mas maganda kaysa sa ekis ang bahagi ng numerator at denominator, at itapon ang mga ito sa iyong buhay?

Yan ang kagandahan ng abbreviation.

Ito ay simple:

Kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng parehong mga kadahilanan, maaari silang bawasan, iyon ay, alisin mula sa fraction.

Ang panuntunang ito ay sumusunod mula sa pangunahing katangian ng isang fraction:

Iyon ay, ang kakanyahan ng operasyon ng pagbabawas ay iyon Hinahati namin ang numerator at denominator ng isang fraction sa parehong numero (o sa parehong expression).

Upang bawasan ang isang fraction, kailangan mo:

1) numerator at denominator i-factorize

2) kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng karaniwang mga kadahilanan, maaari silang tanggalin.

Mga halimbawa:

Ang prinsipyo, sa palagay ko, ay malinaw?

Nais kong ituon ang iyong pansin sa isang tipikal na pagkakamali sa pagdadaglat. Kahit na ang paksang ito ay simple, ngunit maraming mga tao ang gumagawa ng lahat ng mali, hindi napagtatanto iyon putulin- ibig sabihin hatiin numerator at denominator sa parehong numero.

Walang mga pagdadaglat kung ang numerator o denominator ay ang kabuuan.

Halimbawa: kailangan mong gawing simple.

Ginagawa ito ng ilan: na talagang mali.

Isa pang halimbawa: bawasan.

Gagawin ito ng "pinakamatalino":

Sabihin mo sa akin kung ano ang mali dito? Mukhang: - ito ay isang multiplier, kaya maaari mong bawasan.

Ngunit hindi: - ito ay isang salik ng isang termino lamang sa numerator, ngunit ang numerator mismo sa kabuuan ay hindi nabubulok sa mga salik.

Narito ang isa pang halimbawa: .

Ang expression na ito ay nabubulok sa mga kadahilanan, na nangangahulugan na maaari mong bawasan, iyon ay, hatiin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng, at pagkatapos ay sa pamamagitan ng:

Maaari mong agad na hatiin sa pamamagitan ng:

Upang maiwasan ang mga ganitong pagkakamali, tandaan ang isang madaling paraan upang matukoy kung ang isang expression ay salik:

Ang aritmetika na operasyon na huling ginawa kapag kinakalkula ang halaga ng expression ay ang "pangunahing".

Iyon ay, kung papalitan mo ang ilang (anumang) numero sa halip na mga titik, at subukang kalkulahin ang halaga ng expression, kung gayon kung ang huling aksyon ay multiplikasyon, pagkatapos ay mayroon kaming isang produkto (ang expression ay nabulok sa mga kadahilanan).

Kung ang huling aksyon ay karagdagan o pagbabawas, nangangahulugan ito na ang expression ay hindi factorized (at samakatuwid ay hindi maaaring bawasan).

Upang ayusin ito sa iyong sarili, ilang mga halimbawa:

Mga halimbawa:

Mga solusyon:

4. Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction. Ang pagdadala ng mga fraction sa isang karaniwang denominator.

Ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga ordinaryong fraction ay isang kilalang operasyon: naghahanap kami ng isang karaniwang denominator, i-multiply ang bawat fraction sa nawawalang kadahilanan at idagdag / ibawas ang mga numerator.

Tandaan natin:

Mga sagot:

1. Ang mga denominator at ay coprime, ibig sabihin, wala silang mga karaniwang kadahilanan. Samakatuwid, ang LCM ng mga numerong ito ay katumbas ng kanilang produkto. Ito ang magiging common denominator:

2. Narito ang karaniwang denominator ay:

3. Dito, una sa lahat, ginagawa namin ang mga halo-halong praksiyon sa mga hindi wasto, at pagkatapos - ayon sa karaniwang pamamaraan:

Ito ay medyo ibang bagay kung ang mga fraction ay naglalaman ng mga titik, halimbawa:

Magsimula tayo sa simple:

a) Ang mga denominator ay hindi naglalaman ng mga titik

Narito ang lahat ay pareho sa mga ordinaryong numerical fraction: nakakahanap kami ng isang karaniwang denominator, i-multiply ang bawat fraction sa nawawalang kadahilanan at idagdag / ibawas ang mga numerator:

ngayon sa numerator maaari kang magdala ng mga katulad, kung mayroon man, at i-factor ang mga ito:

Subukan ito sa iyong sarili:

Mga sagot:

b) Ang mga denominator ay naglalaman ng mga titik

Tandaan natin ang prinsipyo ng paghahanap ng common denominator na walang mga titik:

Una sa lahat, tinutukoy namin ang mga karaniwang kadahilanan;

Pagkatapos ay isinusulat namin ang lahat ng karaniwang mga kadahilanan nang isang beses;

at i-multiply ang mga ito sa lahat ng iba pang salik, hindi sa karaniwan.

Upang matukoy ang mga karaniwang salik ng mga denominador, una naming i-decompose ang mga ito sa mga pangunahing salik:

Binibigyang-diin namin ang mga karaniwang salik:

Ngayon ay isinusulat namin ang mga karaniwang salik nang isang beses at idinaragdag sa kanila ang lahat ng hindi pangkaraniwan (hindi nakasalungguhit) na mga salik:

Ito ang karaniwang denominador.

Bumalik tayo sa mga titik. Ang mga denominador ay ibinibigay sa eksaktong parehong paraan:

Binubulok namin ang mga denominator sa mga salik;

tukuyin ang mga karaniwang (magkaparehong) multiplier;

isulat ang lahat ng karaniwang mga kadahilanan nang isang beses;

Pinaparami namin ang mga ito sa lahat ng iba pang salik, hindi sa karaniwan.

Kaya, sa pagkakasunud-sunod:

1) i-decompose ang mga denominator sa mga salik:

2) tukuyin ang mga karaniwang (magkapareho) na mga kadahilanan:

3) isulat ang lahat ng karaniwang mga kadahilanan nang isang beses at i-multiply ang mga ito sa lahat ng iba pang (hindi nakasalungguhit) na mga kadahilanan:

Kaya ang karaniwang denominator ay narito. Ang unang bahagi ay dapat na i-multiply sa, ang pangalawa - sa:

Sa pamamagitan ng paraan, mayroong isang trick:

Halimbawa: .

Nakikita natin ang parehong mga kadahilanan sa mga denominator, lahat lamang ay may magkakaibang mga tagapagpahiwatig. Ang karaniwang denominator ay:

hanggang sa

hanggang sa

hanggang sa

sa degree.

Gawin nating kumplikado ang gawain:

Paano gumawa ng mga fraction na may parehong denominator?

Tandaan natin ang pangunahing katangian ng isang fraction:

Wala kahit saan na sinasabi na ang parehong numero ay maaaring ibawas (o idagdag) mula sa numerator at denominator ng isang fraction. Dahil hindi ito totoo!

Tingnan para sa iyong sarili: kumuha ng anumang fraction, halimbawa, at magdagdag ng ilang numero sa numerator at denominator, halimbawa, . Ano ang natutunan?

Kaya, isa pang hindi matitinag na tuntunin:

Kapag nagdala ka ng mga fraction sa isang common denominator, gamitin lamang ang multiplication operation!

Ngunit ano ang kailangan mong i-multiply para makakuha?

Dito at paramihin. At i-multiply sa:

Ang mga expression na hindi maaaring i-factor ay tatawaging "elementarya na mga kadahilanan".

Halimbawa, ay isang elementary factor. - masyadong. Ngunit - hindi: ito ay nabubulok sa mga kadahilanan.

Paano naman ang expression? Elementary ba?

Hindi, dahil maaari itong i-factor:

(nabasa mo na ang tungkol sa factorization sa paksang "").

Kaya, ang elementarya na mga kadahilanan kung saan mo nabubulok ang isang expression na may mga titik ay isang analogue ng mga simpleng kadahilanan kung saan mo nabubulok ang mga numero. At ganoon din ang gagawin natin sa kanila.

Nakikita natin na ang parehong denominator ay may salik. Mapupunta ito sa common denominator sa kapangyarihan (tandaan kung bakit?).

Ang multiplier ay elementarya, at hindi nila ito pagkakatulad, na nangangahulugan na ang unang bahagi ay kailangan lang na i-multiply dito:

Isa pang halimbawa:

Desisyon:

Bago i-multiply ang mga denominator na ito sa isang gulat, kailangan mong isipin kung paano i-factor ang mga ito? Pareho silang kumakatawan:

ayos! Pagkatapos:

Isa pang halimbawa:

Desisyon:

Gaya ng dati, pinapa-factor namin ang mga denominator. Sa unang denominator, inilalagay lang natin ito sa mga bracket; sa pangalawa - ang pagkakaiba ng mga parisukat:

Mukhang walang mga karaniwang kadahilanan. Ngunit kung titingnang mabuti, sila ay magkatulad na ... At ang totoo ay:

Kaya't magsulat tayo:

Iyon ay, naging ganito: sa loob ng bracket, ipinagpalit namin ang mga termino, at sa parehong oras, ang tanda sa harap ng fraction ay nagbago sa kabaligtaran. Tandaan, kailangan mong gawin ito nang madalas.

Ngayon dinadala namin sa isang karaniwang denominator:

Nakuha ko? Ngayon suriin natin.

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Mga sagot:

5. Pagpaparami at paghahati ng mga fraction.

Well, ang pinakamahirap na bahagi ay tapos na. At nasa unahan natin ang pinakasimpleng, ngunit sa parehong oras ang pinakamahalaga:

Pamamaraan

Ano ang pamamaraan para sa pagkalkula ng isang numeric na expression? Tandaan, isinasaalang-alang ang halaga ng naturang expression:

Nagbilang ka ba?

Dapat itong gumana.

Kaya, pinaalalahanan kita.

Ang unang hakbang ay upang kalkulahin ang antas.

Ang pangalawa ay multiplication at division. Kung mayroong maraming multiplikasyon at dibisyon sa parehong oras, maaari mong gawin ang mga ito sa anumang pagkakasunud-sunod.

At sa wakas, nagsasagawa kami ng karagdagan at pagbabawas. Muli, sa anumang pagkakasunud-sunod.

Ngunit: ang nakakulong na expression ay sinusuri nang wala sa ayos!

Kung maraming bracket ang pinarami o hinati sa bawat isa, sinusuri muna namin ang expression sa bawat isa sa mga bracket, at pagkatapos ay i-multiply o hatiin ang mga ito.

Paano kung may iba pang panaklong sa loob ng mga bracket? Buweno, isipin natin: ang ilang ekspresyon ay nakasulat sa loob ng mga bracket. Ano ang unang dapat gawin kapag sinusuri ang isang expression? Tama, kalkulahin ang mga bracket. Buweno, naisip namin ito: una naming kalkulahin ang mga panloob na bracket, pagkatapos ang lahat ng iba pa.

Kaya, ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon para sa expression sa itaas ay ang mga sumusunod (ang kasalukuyang aksyon ay naka-highlight sa pula, iyon ay, ang aksyon na ginagawa ko ngayon):

Okay, simple lang lahat.

Ngunit hindi iyon katulad ng isang ekspresyon na may mga titik, hindi ba?

Hindi, pareho lang! Sa halip na mga pagpapatakbo ng aritmetika ay kinakailangan na gawin ang mga pagpapatakbo ng algebraic, iyon ay, ang mga pagpapatakbo na inilarawan sa nakaraang seksyon: nagdadala ng katulad, pagdaragdag ng mga fraction, pagbabawas ng mga fraction, at iba pa. Ang tanging pagkakaiba ay ang pagkilos ng factoring polynomials (madalas nating ginagamit ito kapag nagtatrabaho sa mga fraction). Kadalasan, para sa factorization, kailangan mong gamitin ang i o alisin lang ang common factor sa mga bracket.

Karaniwan ang aming layunin ay upang kumatawan sa isang expression bilang isang produkto o quotient.

Halimbawa:

Pasimplehin natin ang expression.

1) Una, pinasimple namin ang expression sa mga bracket. Doon mayroon tayong pagkakaiba ng mga fraction, at ang layunin natin ay ipakita ito bilang isang produkto o quotient. Kaya, dinadala namin ang mga fraction sa isang karaniwang denominator at idagdag:

Imposibleng pasimplehin ang expression na ito, lahat ng mga kadahilanan dito ay elementarya (naaalala mo pa ba kung ano ang ibig sabihin nito?).

2) Nakukuha namin ang:

Multiplikasyon ng mga fraction: ano ang maaaring maging mas madali.

3) Ngayon ay maaari mong paikliin:

Ayan yun. Walang kumplikado, tama?

Isa pang halimbawa:

Pasimplehin ang expression.

Una, subukang lutasin ito sa iyong sarili, at pagkatapos ay tingnan ang solusyon.

Desisyon:

Una sa lahat, tukuyin natin ang pamamaraan.

Una, idagdag natin ang mga fraction sa mga bracket, sa halip na dalawang fraction, isa ang lalabas.

Pagkatapos ay gagawin natin ang paghahati ng mga fraction. Well, idinagdag namin ang resulta sa huling fraction.

Bibilangin ko nang eskematiko ang mga hakbang:

Sa wakas, bibigyan kita ng dalawang kapaki-pakinabang na tip:

1. Kung may mga katulad, dapat dalhin agad. Sa anumang sandali na mayroon tayong mga katulad, ipinapayong dalhin ang mga ito kaagad.

2. Ganoon din sa pagbabawas ng mga fraction: sa sandaling magkaroon ng pagkakataon na bawasan, dapat itong gamitin. Ang pagbubukod ay mga fraction na iyong idinaragdag o ibinabawas: kung mayroon na silang parehong mga denominator, kung gayon ang pagbawas ay dapat na iwan para sa ibang pagkakataon.

Narito ang ilang mga gawain na dapat mong lutasin nang mag-isa:

At nangako sa simula pa lang:

Mga sagot:

Mga Solusyon (maikli):

Kung nakayanan mo ang hindi bababa sa unang tatlong halimbawa, kung gayon ikaw, isaalang-alang, ay pinagkadalubhasaan ang paksa.

Ngayon sa pag-aaral!

CONVERSION NG PAGPAPAHAYAG. BUOD AT BATAYANG FORMULA

Pangunahing pagpapasimpleng operasyon:

• Nagdadala ng katulad: upang magdagdag (bawasan) tulad ng mga termino, kailangan mong idagdag ang kanilang mga coefficient at italaga ang bahagi ng titik.
• Factorization: inaalis ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket, pag-aaplay, atbp.
• Pagbawas ng fraction: ang numerator at denominator ng isang fraction ay maaaring i-multiply o hatiin sa parehong di-zero na numero, kung saan ang halaga ng fraction ay hindi nagbabago.
  1) numerator at denominator i-factorize
  2) kung may mga karaniwang salik sa numerator at denominator, maaari silang i-cross out.

  MAHALAGA: ang mga multiplier lamang ang maaaring bawasan!

• Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction:
  ;
• Pagpaparami at paghahati ng mga fraction:
  ;

Well, tapos na ang topic. Kung binabasa mo ang mga linyang ito, napaka-cool mo.

Dahil 5% lamang ng mga tao ang nakakabisa ng isang bagay sa kanilang sarili. At kung nabasa mo na hanggang dulo, ikaw ay nasa 5%!

Ngayon ang pinakamahalagang bagay.

Naisip mo na ang teorya sa paksang ito. At, uulitin ko, ito ay ... super lang! Mas mahusay ka na kaysa sa karamihan ng iyong mga kapantay.

Ang problema ay maaaring hindi ito sapat ...

Para saan?

Para sa matagumpay na pagpasa sa pagsusulit, para sa pagpasok sa instituto sa badyet at, PINAKA MAHALAGA, habang buhay.

Hindi kita kukumbinsihin sa anumang bagay, isa lang ang sasabihin ko ...

Ang mga taong nakatanggap ng magandang edukasyon ay kumikita ng higit pa kaysa sa mga hindi nakatanggap nito. Ito ay mga istatistika.

Ngunit hindi ito ang pangunahing bagay.

Ang pangunahing bagay ay MAS MASAYA sila (may mga ganyang pag-aaral). Marahil dahil marami pang pagkakataon ang nagbubukas sa kanila at ang buhay ay nagiging mas maliwanag? hindi ko alam...

Pero isipin mo ang sarili mo...

Ano ang kinakailangan upang makatiyak na maging mas mahusay kaysa sa iba sa pagsusulit at sa huli ay ... mas masaya?

PUNO ANG IYONG KAMAY, PAGLUTAS NG MGA PROBLEMA SA PAKSANG ITO.

Sa pagsusulit, hindi ka tatanungin ng teorya.

Kakailanganin mong lutasin ang mga problema sa oras.

At, kung hindi mo pa nasolusyunan ang mga ito (MARAMING!), tiyak na gagawa ka ng isang hangal na pagkakamali sa isang lugar o hindi mo ito gagawin sa tamang oras.

Parang sa sports - kailangan mong ulitin ng maraming beses para siguradong manalo.

Maghanap ng koleksyon kahit saan mo gusto kinakailangang may mga solusyon, detalyadong pagsusuri at magpasya, magpasya, magpasya!

Maaari mong gamitin ang aming mga gawain (hindi kinakailangan) at tiyak na inirerekomenda namin ang mga ito.

Upang makakuha ng tulong sa tulong ng aming mga gawain, kailangan mong tumulong na palawigin ang buhay ng YouClever textbook na kasalukuyan mong binabasa.

paano? Mayroong dalawang mga pagpipilian:

1. I-unlock ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain sa artikulong ito -
2. I-unlock ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain sa lahat ng 99 na artikulo ng tutorial - Bumili ng isang aklat-aralin - 499 rubles

Oo, mayroon kaming 99 na ganoong mga artikulo sa aklat-aralin at ang pag-access sa lahat ng mga gawain at lahat ng mga nakatagong teksto sa mga ito ay mabubuksan kaagad.

Ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain ay ibinibigay para sa buong buhay ng site.

Sa konklusyon...

Kung hindi mo gusto ang aming mga gawain, maghanap ng iba. Huwag lang tumigil sa teorya.

Ang "Naiintindihan" at "Alam ko kung paano lutasin" ay ganap na magkaibang mga kasanayan. Kailangan mo pareho.

Maghanap ng mga problema at lutasin!

Ang mga numero at expression na bumubuo sa orihinal na expression ay maaaring mapalitan ng mga expression na kapareho ng mga ito. Ang ganitong pagbabago ng orihinal na expression ay humahantong sa isang expression na kapareho nito.

Halimbawa, sa expression na 3+x, ang numero 3 ay maaaring palitan ng sum 1+2 , na nagreresulta sa expression na (1+2)+x , na kaparehong katumbas ng orihinal na expression. Isa pang halimbawa: sa expression na 1+a 5 ang antas ng isang 5 ay maaaring mapalitan ng isang produkto na kapareho nito, halimbawa, ng anyong a·a 4 . Bibigyan tayo nito ng expression na 1+a·a 4 .

Ang pagbabagong ito ay walang alinlangan na artipisyal, at kadalasan ay isang paghahanda para sa ilang karagdagang pagbabago. Halimbawa, sa kabuuan na 4·x 3 +2·x 2 , na isinasaalang-alang ang mga katangian ng degree, ang terminong 4·x 3 ay maaaring katawanin bilang isang produkto 2·x 2 ·2·x . Pagkatapos ng naturang pagbabago, ang orihinal na expression ay magkakaroon ng anyong 2·x 2 ·2·x+2·x 2 . Malinaw, ang mga termino sa resultang kabuuan ay may isang karaniwang kadahilanan na 2 x 2, upang maisagawa namin ang sumusunod na pagbabago - mga panaklong. Pagkatapos nito, pupunta tayo sa expression: 2 x 2 (2 x+1) .

Pagdaragdag at pagbabawas ng parehong numero

Ang isa pang artipisyal na pagbabagong-anyo ng isang expression ay ang pagdaragdag at pagbabawas ng parehong numero o expression sa parehong oras. Ang ganitong pagbabago ay magkapareho, dahil ito ay, sa katunayan, katumbas ng pagdaragdag ng zero, at ang pagdaragdag ng zero ay hindi nagbabago sa halaga.

Isaalang-alang ang isang halimbawa. Kunin natin ang expression na x 2 +2 x . Kung magdagdag ka ng isa dito at ibawas ang isa, kung gayon ito ay magpapahintulot sa iyo na magsagawa ng isa pang magkaparehong pagbabago sa hinaharap - piliin ang parisukat ng binomial: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

Bibliograpiya.

• Algebra: aklat-aralin para sa 7 mga cell. Pangkalahatang edukasyon institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-17 na ed. - M. : Edukasyon, 2008. - 240 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: aklat-aralin para sa 8 mga cell. Pangkalahatang edukasyon institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M. : Edukasyon, 2008. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. ika-7 baitang. Sa 2 pm Bahagi 1. Isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich. - 17th ed., idagdag. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-02432-3.