Ngayon ay titingnan natin kung anong mga dami ang tinatawag na inversely proportional, kung ano ang hitsura ng inverse proportionality graph, at kung paano ang lahat ng ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang sa iyo hindi lamang sa mga aralin sa matematika, kundi pati na rin sa labas ng mga pader ng paaralan.

Iba't ibang sukat

Proporsyonalidad pangalanan ang dalawang dami na nakadepende sa isa't isa.

Ang pag-asa ay maaaring direkta at baligtad. Samakatuwid, ang relasyon sa pagitan ng mga dami ay naglalarawan ng direkta at kabaligtaran na proporsyonalidad.

Direktang proporsyonalidad- ito ay isang relasyon sa pagitan ng dalawang dami, kung saan ang pagtaas o pagbaba sa isa sa mga ito ay humahantong sa pagtaas o pagbaba sa isa pa. Yung. hindi nagbabago ang ugali nila.

Halimbawa, kung mas maraming pagsisikap ang gagawin mo sa paghahanda para sa mga pagsusulit, mas mataas ang iyong mga marka. O kung mas maraming bagay ang dadalhin mo sa paglalakad, mas mahirap dalhin ang iyong backpack. Yung. ang halaga ng pagsisikap na ginugol sa paghahanda para sa mga pagsusulit ay direktang proporsyonal sa mga markang natanggap. At ang bilang ng mga bagay na nakaimpake sa isang backpack ay direktang proporsyonal sa timbang nito.

Inverse proportionality- ito ay isang functional dependence, kung saan ang pagbaba o pagtaas ng ilang beses ng isang independiyenteng halaga (ito ay tinatawag na argumento) ay nagdudulot ng proporsyonal (i.e., sa parehong halaga) na pagtaas o pagbaba sa isang nakadependeng halaga (ito ay tinatawag na a function).

Ilarawan natin sa isang simpleng halimbawa. Gusto mong bumili ng mansanas sa palengke. Ang mga mansanas sa counter at ang halaga ng pera sa iyong wallet ay magkabalikan. Yung. mas maraming mansanas ang binibili mo, mas kaunting pera ang natitira mo.

Function at ang graph nito

Ang inverse proportionality function ay maaaring ilarawan bilang y = k/x. Kung saan x≠ 0 at k≠ 0.

Ang function na ito ay may mga sumusunod na katangian:

1. Ang domain ng kahulugan nito ay ang set ng lahat ng tunay na numero maliban sa x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Ang hanay ay lahat ng tunay na numero maliban y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Wala itong maximum o minimum na mga halaga.
4. Ay kakaiba at ang graph nito ay simetriko tungkol sa pinagmulan.
5. Hindi pana-panahon.
6. Ang graph nito ay hindi tumatawid sa mga coordinate axes.
7. Walang mga zero.
8. Kung ang k> 0 (iyon ay, ang argument ay tumataas), ang function ay bumababa nang proporsyonal sa bawat isa sa mga pagitan nito. Kung ang k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Habang tumataas ang argumento ( k> 0) ang mga negatibong halaga ng function ay nasa pagitan (-∞; 0), at ang mga positibong halaga ay nasa pagitan (0; +∞). Kapag bumababa ang argumento ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Ang graph ng inverse proportionality function ay tinatawag na hyperbola. Inilalarawan tulad ng sumusunod:

Inverse Proportional Problems

Upang gawing mas malinaw, tingnan natin ang ilang mga gawain. Ang mga ito ay hindi masyadong kumplikado, at ang kanilang solusyon ay makakatulong sa iyo na makita kung ano ang kabaligtaran na proporsyon at kung paano maaaring maging kapaki-pakinabang ang kaalamang ito sa iyong pang-araw-araw na buhay.

Gawain bilang 1. Ang sasakyan ay gumagalaw sa bilis na 60 km/h. Inabot siya ng 6 na oras bago makarating sa kanyang destinasyon. Gaano katagal aabutin niya ang parehong distansya kung siya ay gumagalaw sa dobleng bilis?

Maaari tayong magsimula sa pamamagitan ng pagsusulat ng pormula na naglalarawan sa ugnayan ng oras, distansya at bilis: t = S/V. Sumang-ayon, ito ay lubos na nagpapaalala sa amin ng inverse proportionality function. At ito ay nagpapahiwatig na ang oras na ginugugol ng kotse sa kalsada, at ang bilis kung saan ito gumagalaw, ay inversely proportional.

Upang i-verify ito, hanapin natin ang V 2, na, ayon sa kondisyon, ay 2 beses na mas mataas: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 km / h. Pagkatapos ay kinakalkula namin ang distansya gamit ang formula S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Ngayon ay hindi mahirap alamin ang oras t 2 na kinakailangan mula sa amin ayon sa kondisyon ng problema: t 2 = 360/120 = 3 oras.

Tulad ng nakikita mo, ang oras at bilis ng paglalakbay ay talagang inversely proportional: na may bilis na 2 beses na mas mataas kaysa sa orihinal, ang kotse ay gumugugol ng 2 beses na mas kaunting oras sa kalsada.

Ang solusyon sa problemang ito ay maaari ding isulat bilang isang proporsyon. Bakit tayo gumagawa ng diagram na ganito:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Ang mga arrow ay nagpapahiwatig ng kabaligtaran na relasyon. At iminumungkahi din nila na kapag gumuhit ng proporsyon, ang kanang bahagi ng rekord ay dapat i-turn over: 60/120 \u003d x / 6. Saan tayo makakakuha ng x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 oras.

Gawain bilang 2. Ang workshop ay gumagamit ng 6 na manggagawa na nakayanan ang isang naibigay na dami ng trabaho sa loob ng 4 na oras. Kung ang bilang ng mga manggagawa ay hinati, gaano katagal bago makumpleto ng mga natitirang manggagawa ang parehong dami ng trabaho?

Isinulat namin ang mga kondisyon ng problema sa anyo ng isang visual na diagram:

↓ 6 na manggagawa - 4 na oras

↓ 3 manggagawa - x h

Isulat natin ito bilang isang proporsyon: 6/3 = x/4. At nakakakuha kami ng x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 oras. Kung mayroong 2 beses na mas kaunting mga manggagawa, ang natitira ay gugugol ng 2 beses na mas maraming oras upang makumpleto ang lahat ng trabaho.

Gawain bilang 3. Dalawang tubo ang humahantong sa pool. Sa pamamagitan ng isang tubo, ang tubig ay pumapasok sa bilis na 2 l / s at pinupuno ang pool sa loob ng 45 minuto. Sa pamamagitan ng isa pang tubo, ang pool ay mapupuno sa loob ng 75 minuto. Gaano kabilis pumapasok ang tubig sa pool sa pamamagitan ng tubo na ito?

Upang magsimula, dadalhin namin ang lahat ng mga dami na ibinigay sa amin ayon sa kondisyon ng problema sa parehong mga yunit ng pagsukat. Upang gawin ito, ipinahayag namin ang rate ng pagpuno ng pool sa litro bawat minuto: 2 l / s \u003d 2 * 60 \u003d 120 l / min.

Dahil sumusunod ito sa kondisyon na ang pool ay napupuno nang mas mabagal sa pamamagitan ng pangalawang tubo, nangangahulugan ito na ang rate ng pag-agos ng tubig ay mas mababa. Sa mukha ng kabaligtaran na proporsyon. Ipahayag natin ang bilis na hindi natin alam sa mga tuntunin ng x at iguhit ang sumusunod na pamamaraan:

↓ 120 l/min - 45 min

↓ x l/min – 75 min

At pagkatapos ay gagawa kami ng isang proporsyon: 120 / x \u003d 75/45, mula sa kung saan x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 l / min.

Sa problema, ang rate ng pagpuno ng pool ay ipinahayag sa litro bawat segundo, dalhin natin ang ating sagot sa parehong form: 72/60 = 1.2 l/s.

Gawain bilang 4. Ang mga business card ay naka-print sa isang maliit na pribadong printing house. Ang isang empleyado ng bahay-imprenta ay nagtatrabaho sa bilis na 42 business card kada oras at nagtatrabaho ng buong oras - 8 oras. Kung siya ay nagtrabaho nang mas mabilis at nag-print ng 48 business card kada oras, gaano siya kaaga makakauwi?

Pumunta kami sa isang napatunayang paraan at gumuhit ng isang pamamaraan ayon sa kondisyon ng problema, na nagsasaad ng nais na halaga bilang x:

↓ 42 business card/h – 8 h

↓ 48 business card/h – xh

Bago sa amin ay isang inversely proportional na relasyon: kung gaano karaming beses na mas maraming mga business card ang isang empleyado ng isang printing house na nagpi-print bawat oras, ang parehong tagal ng oras na aabutin niya upang makumpleto ang parehong trabaho. Alam ito, maaari naming i-set up ang proporsyon:

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 oras.

Kaya, matapos ang trabaho sa loob ng 7 oras, ang empleyado ng bahay-imprenta ay maaaring umuwi ng isang oras nang mas maaga.

Konklusyon

Sa palagay natin, ang mga problemang ito sa kabaligtaran na proporsyonalidad ay talagang simple. Umaasa kami na ngayon ay isasaalang-alang mo rin sila. At ang pinakamahalaga, ang kaalaman sa inversely proportional dependence ng mga dami ay maaaring maging kapaki-pakinabang sa iyo nang higit sa isang beses.

Hindi lang sa math classes at exams. Ngunit kahit na, kapag ikaw ay pupunta sa isang paglalakbay, mag-shopping, magpasya na kumita ng pera sa panahon ng bakasyon, atbp.

Sabihin sa amin sa mga komento kung anong mga halimbawa ng kabaligtaran at direktang proporsyonalidad ang napansin mo sa paligid mo. Hayaan itong maging isang laro. Makikita mo kung gaano ito kapana-panabik. Huwag kalimutang "ibahagi" ang artikulong ito sa mga social network upang ang iyong mga kaibigan at kaklase ay makapaglaro din.

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Ang dalawang dami ay tinatawag direktang proporsyonal, kung kapag ang isa sa mga ito ay nadagdagan ng maraming beses, ang isa ay nadagdagan ng parehong halaga. Alinsunod dito, kapag ang isa sa mga ito ay bumaba ng ilang beses, ang isa ay bumaba sa parehong halaga.

Ang relasyon sa pagitan ng mga naturang dami ay isang direktang proporsyonal na relasyon. Mga halimbawa ng direktang proporsyonal na relasyon:

1) sa isang palaging bilis, ang distansya na nilakbay ay direktang proporsyonal sa oras;

2) ang perimeter ng isang parisukat at ang gilid nito ay direktang proporsyonal;

3) ang halaga ng isang kalakal na binili sa isang presyo ay direktang proporsyonal sa dami nito.

Upang makilala ang isang direktang proporsyonal na relasyon mula sa isang kabaligtaran, maaari mong gamitin ang salawikain: "Kung mas malayo sa kagubatan, mas maraming kahoy na panggatong."

Ito ay maginhawa upang malutas ang mga problema para sa direktang proporsyonal na dami gamit ang mga proporsyon.

1) Para sa paggawa ng 10 bahagi, 3.5 kg ng metal ang kailangan. Gaano karaming metal ang gagamitin sa paggawa ng 12 ganoong bahagi?

(Nagtatalo kami ng ganito:

1. Sa kumpletong hanay, ilagay ang arrow sa direksyon mula sa pinakamalaking bilang hanggang sa pinakamaliit.

2. Kung mas maraming bahagi, mas maraming metal ang kailangan para gawin ang mga ito. Kaya ito ay isang direktang proporsyonal na relasyon.

Hayaang x kg ng metal ang kailangan upang makagawa ng 12 bahagi. Binubuo namin ang proporsyon (sa direksyon mula sa simula ng arrow hanggang sa dulo nito):

12:10=x:3.5

Upang mahanap ang , kailangan nating hatiin ang produkto ng mga extreme terms sa kilalang middle term:

Nangangahulugan ito na kakailanganin ang 4.2 kg ng metal.

Sagot: 4.2 kg.

2) 1680 rubles ang binayaran para sa 15 metro ng tela. Magkano ang halaga ng 12 metro ng naturang tela?

(1. Sa kumpletong hanay, ilagay ang arrow sa direksyon mula sa pinakamalaking bilang hanggang sa pinakamaliit.

2. Kung kakaunti ang bibilhin mong tela, mas mababa ang babayaran mo para dito. Kaya ito ay isang direktang proporsyonal na relasyon.

3. Samakatuwid, ang pangalawang arrow ay nakadirekta sa parehong direksyon tulad ng una).

Hayaan ang x rubles ay nagkakahalaga ng 12 metro ng tela. Binubuo namin ang proporsyon (mula sa simula ng arrow hanggang sa dulo nito):

15:12=1680:x

Upang mahanap ang hindi kilalang sukdulang miyembro ng proporsyon, hinahati namin ang produkto ng mga gitnang termino sa kilalang sukdulang miyembro ng proporsyon:

Kaya, ang 12 metro ay nagkakahalaga ng 1344 rubles.

Sagot: 1344 rubles.

Nakumpleto ni: Chepkasov Rodion

mag-aaral ng 6 na "B" na klase

MBOU "Secondary School No. 53"

Barnaul

Pinuno: Bulykina O.G.

guro sa matematika

MBOU "Secondary School No. 53"

Barnaul

Panimula. isa

Mga relasyon at proporsyon. 3

Direkta at kabaligtaran na mga sukat. 4

Paglalapat ng direkta at baligtad na proporsyonalidad 6

dependencies sa paglutas ng iba't ibang problema.

Konklusyon. labing-isa

Panitikan. 12

Panimula.

Ang salitang proporsyon ay nagmula sa salitang Latin na proporsyon, ibig sabihin sa pangkalahatang proporsyonalidad, pagkakapantay-pantay ng mga bahagi (isang tiyak na ratio ng mga bahagi sa bawat isa). Noong sinaunang panahon, ang doktrina ng mga sukat ay pinahahalagahan ng mga Pythagorean. Sa mga proporsyon, ikinonekta nila ang mga kaisipan tungkol sa kaayusan at kagandahan sa kalikasan, tungkol sa mga consonant chords sa musika at pagkakaisa sa uniberso. Ilang uri ng proporsyon na tinatawag nilang musikal o maharmonya.

Kahit noong sinaunang panahon, natuklasan ng tao na ang lahat ng mga phenomena sa kalikasan ay konektado sa isa't isa, na ang lahat ay patuloy na gumagalaw, nagbabago, at, kapag ipinahayag sa mga numero, ay nagpapakita ng mga kamangha-manghang pattern.

Ang mga Pythagorean at ang kanilang mga tagasunod ay naghahanap ng isang numerical na expression para sa lahat ng bagay na umiiral sa mundo. Nahanap nila; na ang mga mathematical na proporsyon ay sumasailalim sa musika (ang ratio ng haba ng string sa pitch, ang relasyon sa pagitan ng mga pagitan, ang ratio ng mga tunog sa mga chord na nagbibigay ng harmonic na tunog). Sinubukan ng mga Pythagorean na mathematically na patunayan ang ideya ng pagkakaisa ng mundo, pinagtatalunan nila na ang batayan ng uniberso ay simetriko geometric na mga hugis. Ang mga Pythagorean ay naghahanap ng isang mathematical na katwiran para sa kagandahan.

Kasunod ng mga Pythagorean, tinawag ng medieval scholar na si Augustine ang kagandahan na "numerical equality." Isinulat ng scholastic philosopher na si Bonaventure: "Walang kagandahan at kasiyahan na walang proporsyonalidad, habang ang proporsyonalidad ay pangunahing umiiral sa mga numero. Kinakailangan na ang lahat ay makalkula." Isinulat ni Leonardo da Vinci ang tungkol sa paggamit ng proporsyon sa sining sa kanyang treatise sa pagpipinta: "Ang pintor ay naglalaman sa anyo ng proporsyon ng parehong mga batas na nakatago sa kalikasan na alam ng siyentipiko sa anyo ng isang numerical na batas."

Ang mga proporsyon ay ginamit sa paglutas ng iba't ibang mga problema kapwa noong unang panahon at sa Middle Ages. Ang ilang uri ng mga problema ay madali na at mabilis na nalutas gamit ang mga proporsyon. Ang mga proporsyon at proporsyonalidad ay naging at ginagamit hindi lamang sa matematika, kundi pati na rin sa arkitektura at sining. Ang proporsyonalidad sa arkitektura at sining ay nangangahulugan ng pagsunod sa ilang partikular na ratios sa pagitan ng mga sukat ng iba't ibang bahagi ng isang gusali, pigura, iskultura o iba pang gawa ng sining. Ang proporsyonalidad sa mga ganitong kaso ay isang kondisyon para sa tama at magandang konstruksiyon at imahe

Sa aking trabaho, sinubukan kong isaalang-alang ang paggamit ng direkta at baligtad na proporsyonal na mga relasyon sa iba't ibang lugar ng nakapaligid na buhay, upang masubaybayan ang koneksyon sa mga akademikong paksa sa pamamagitan ng mga gawain.

Mga relasyon at proporsyon.

Ang quotient ng dalawang numero ay tinatawag saloobin ang mga ito numero.

Mga Pagpapakita ng Saloobin, kung gaano karaming beses ang unang numero ay mas malaki kaysa sa pangalawa, o kung anong bahagi ang unang numero ay mula sa pangalawa.

Gawain.

2.4 toneladang peras at 3.6 toneladang mansanas ang dinala sa tindahan. Anong bahagi ng mga imported na prutas ang peras?

Desisyon . Hanapin kung gaano karaming prutas ang dinala sa kabuuan: 2.4 + 3.6 = 6 (t). Upang malaman kung anong bahagi ng mga dinala na prutas ang peras, gagawin namin ang ratio na 2.4:6 =. Ang sagot ay maaari ding isulat bilang isang decimal o bilang isang porsyento: = 0.4 = 40%.

magkabaligtaran tinawag numero, na ang mga produkto ay katumbas ng 1. Samakatuwid ang relasyon ay tinatawag na kabaligtaran na relasyon.

Isaalang-alang ang dalawang pantay na ratio: 4.5:3 at 6:4. Maglagay tayo ng pantay na tanda sa pagitan nila at kunin ang proporsyon: 4.5:3=6:4.

Proporsyon ay ang pagkakapantay-pantay ng dalawang relasyon: a : b =c :d o = , kung nasaan ang a at d matinding tuntunin ng proporsyon, c at b gitnang termino(lahat ng termino ng proporsyon ay hindi zero).

Pangunahing pag-aari ng proporsyon:

sa tamang proporsyon, ang produkto ng mga matinding termino ay katumbas ng produkto ng mga gitnang termino.

Ang paglalapat ng commutative property ng multiplication, nakuha namin na sa tamang proporsyon, maaari mong palitan ang mga extreme terms o ang middle terms. Magiging tama din ang mga resultang proporsyon.

Gamit ang pangunahing pag-aari ng isang proporsyon, mahahanap ng isa ang hindi kilalang miyembro nito kung kilala ang lahat ng iba pang miyembro.

Upang mahanap ang hindi kilalang extreme term ng proporsyon, kinakailangan na i-multiply ang mga middle terms at hatiin sa kilalang extreme term. x : b = c : d , x =

Upang mahanap ang hindi alam na gitnang termino ng proporsyon, dapat isa paramihin ang matinding termino at hatiin sa kilalang gitnang termino. a : b = x : d , x = .

Direkta at kabaligtaran na mga sukat.

Ang mga halaga ng dalawang magkaibang dami ay maaaring magkaparehong nakasalalay sa isa't isa. Kaya, ang lugar ng isang parisukat ay nakasalalay sa haba ng gilid nito, at kabaligtaran - ang haba ng gilid ng isang parisukat ay nakasalalay sa lugar nito.

Dalawang dami ang sinasabing proporsyonal kung, sa pagtaas

(pagbawas) ng isa sa kanila ng ilang beses, ang iba ay tataas (bumababa) ng parehong halaga.

Kung ang dalawang dami ay direktang proporsyonal, kung gayon ang mga ratio ng mga katumbas na halaga ng mga dami na ito ay pantay.

Halimbawa direktang proporsyonal na relasyon .

Sa gasolinahan Ang 2 litro ng gasolina ay tumitimbang ng 1.6 kg. Magkano ang kanilang timbangin 5 litro ng gasolina?

Desisyon:

Ang bigat ng kerosene ay proporsyonal sa dami nito.

2l - 1.6 kg

5l - x kg

2:5=1.6:x,

x \u003d 5 * 1.6 x \u003d 4

Sagot: 4 kg.

Dito nananatiling hindi nagbabago ang ratio ng timbang sa dami.

Ang dalawang dami ay tinatawag na inversely proportional kung, kapag ang isa sa mga ito ay tumaas (bumababa) ng ilang beses, ang iba ay bumababa (tumataas) ng parehong halaga.

Kung ang mga dami ay inversely proportional, kung gayon ang ratio ng mga halaga ng isang dami ay katumbas ng kabaligtaran na ratio ng kaukulang mga halaga ng iba pang dami.

P halimbawainverse proportional na relasyon.

Ang dalawang parihaba ay may parehong lugar. Ang haba ng unang parihaba ay 3.6 m at ang lapad ay 2.4 m. Ang haba ng pangalawang parihaba ay 4.8 m. Hanapin ang lapad ng pangalawang parihaba.

Desisyon:

1 parihaba 3.6 m 2.4 m

2 parihaba 4.8 m x m

3.6 m x m

4.8 m 2.4 m

x \u003d 3.6 * 2.4 \u003d 1.8 m

Sagot: 1.8 m.

Tulad ng nakikita mo, ang mga problema sa mga proporsyonal na dami ay maaaring malutas gamit ang mga sukat.

Hindi lahat ng dalawang dami ay direktang proporsyonal o inversely proportional. Halimbawa, ang taas ng isang bata ay tumataas sa pagtaas ng edad, ngunit ang mga halagang ito ay hindi proporsyonal, dahil kapag ang edad ay nadoble, ang taas ng bata ay hindi doble.

Praktikal na aplikasyon ng direkta at baligtad na proporsyonalidad.

Gawain 1

Ang silid-aklatan ng paaralan ay may 210 mga aklat-aralin sa matematika, na 15% ng buong stock ng aklatan. Ilang libro ang nasa stock ng library?

Desisyon:

Kabuuang mga aklat-aralin - ? - 100%

Mathematician - 210 -15%

15% 210 na account

X \u003d 100 * 210 \u003d 1400 na aklat-aralin

100% x account. labinlima

Sagot: 1400 mga aklat-aralin.

Gawain #2

Ang isang siklista ay naglalakbay ng 75 km sa loob ng 3 oras. Gaano katagal ang siklista upang maglakbay ng 125 km sa parehong bilis?

Desisyon:

3 h – 75 km

H - 125 km

Ang oras at distansya ay direktang proporsyonal, kaya

3: x = 75: 125,

x=
,

x=5.

Sagot: 5 oras.

Gawain #3

8 magkaparehong tubo ang pumupuno sa pool sa loob ng 25 minuto. Ilang minuto ang aabutin ng 10 tulad ng mga tubo upang mapuno ang pool?

Desisyon:

8 tubo - 25 minuto

10 tubo - ? minuto

Ang bilang ng mga tubo ay inversely proportional sa oras, kaya

8:10 = x:25,

x =

x = 20

Sagot: 20 minuto.

Gawain #4

Isang pangkat ng 8 manggagawa ang nakumpleto ang gawain sa loob ng 15 araw. Ilang manggagawa ang makakakumpleto ng gawain sa loob ng 10 araw, nagtatrabaho sa parehong produktibidad?

Desisyon:

8 nagtatrabaho - 15 araw

Nagtatrabaho - 10 araw

Ang bilang ng mga manggagawa ay inversely proportional sa bilang ng mga araw, kaya

x: 8 = 15: 10,

x=
,

x=12.

Sagot: 12 manggagawa.

Gawain bilang 5

Mula sa 5.6 kg ng mga kamatis, 2 litro ng sarsa ang nakuha. Ilang litro ng sarsa ang maaaring makuha mula sa 54 kg ng mga kamatis?

Desisyon:

5.6 kg - 2 l

54 kg - ? l

Ang bilang ng mga kilo ng mga kamatis ay direktang proporsyonal sa dami ng sarsa na nakuha, samakatuwid

5.6: 54 = 2: x,

x =
,

x = 19 .

Sagot: 19 l.

Gawain bilang 6

Para sa pag-init ng gusali ng paaralan, ang karbon ay inani sa loob ng 180 araw sa isang rate ng pagkonsumo

0.6 toneladang karbon kada araw. Ilang araw tatagal ang reserbang ito kung ito ay natupok araw-araw ng 0.5 tonelada?

Desisyon:

Bilang ng mga araw

Rate ng pagkonsumo

Ang bilang ng mga araw ay inversely proportional sa coal consumption rate, kaya

180: x = 0.5: 0.6,

x \u003d 180 * 0.6: 0.5,

x = 216.

Sagot: 216 araw.

Gawain bilang 7

Sa iron ore, 7 bahagi ng bakal ang account para sa 3 bahagi ng impurities. Ilang toneladang impurities ang nasa isang ore na naglalaman ng 73.5 toneladang bakal?

Desisyon:

Bilang ng mga piraso

Timbang

bakal

73,5

mga dumi

Ang bilang ng mga bahagi ay direktang proporsyonal sa masa, kaya

7: 73.5 = 3: x.

x \u003d 73.5 * 3: 7,

x = 31.5.

Sagot: 31.5 tonelada

Gawain bilang 8

Ang kotse ay nagmaneho ng 500 km, na gumastos ng 35 litro ng gasolina. Ilang litro ng gasolina ang kailangan mo para maglakbay ng 420 km?

Desisyon:

Distansya, km

Gasolina, l

Ang distansya ay direktang proporsyonal sa pagkonsumo ng gasolina, kaya

500: 35 = 420: x,

x \u003d 35 * 420: 500,

x = 29.4.

Sagot: 29.4 litro

Gawain bilang 9

Sa loob ng 2 oras nahuli namin ang 12 crucians. Ilang carp ang mahuhuli sa loob ng 3 oras?

Desisyon:

Ang bilang ng mga crucian ay hindi nakasalalay sa oras. Ang mga dami na ito ay hindi direktang proporsyonal o inversely proportional.

Sagot: Walang sagot.

Gawain bilang 10

Ang isang kumpanya ng pagmimina ay kailangang bumili ng 5 bagong makina para sa isang tiyak na halaga ng pera sa isang presyo na 12 libong rubles bawat isa. Ilan sa mga kotseng ito ang mabibili ng kumpanya kung ang presyo para sa isang kotse ay magiging 15,000 rubles?

Desisyon:

Bilang ng mga kotse, mga PC.

Presyo, libong rubles

Ang bilang ng mga kotse ay inversely proportional sa gastos, kaya

5:x=15:12,

x= 5*12:15,

x=4.

Sagot: 4 na sasakyan.

Gawain bilang 11

Sa bayan N, mayroong isang tindahan sa square P, ang may-ari nito ay mahigpit na ibinabawas niya ang 70 rubles mula sa sahod para sa pagiging huli ng 1 pagkahuli bawat araw. Dalawang batang babae na sina Yulia at Natasha ay nagtatrabaho sa isang departamento. Ang kanilang sahod ay nakadepende sa bilang ng mga araw ng trabaho. Nakatanggap si Julia ng 4,100 rubles sa loob ng 20 araw, at dapat na tumanggap si Natasha ng higit pa sa loob ng 21 araw, ngunit nahuli siya nang 3 araw nang sunud-sunod. Ilang rubles ang makukuha ni Natasha?

Desisyon:

Mga araw ng trabaho

Sahod, kuskusin.

Julia

4100

Natasha

Ang suweldo ay direktang proporsyonal sa bilang ng mga araw ng trabaho, samakatuwid

20:21 = 4100: x,

x= 4305.

4305 kuskusin. Dapat meron si Natasha.

4305 - 3 * 70 = 4095 (kuskusin)

Sagot: Tatanggap si Natasha ng 4095 rubles.

Gawain bilang 12

Ang distansya sa pagitan ng dalawang lungsod sa mapa ay 6 cm. Hanapin ang distansya sa pagitan ng mga lungsod na ito sa lupa kung ang sukat ng mapa ay 1: 250000.

Desisyon:

Tukuyin natin ang distansya sa pagitan ng mga lungsod sa lupa sa pamamagitan ng x (sa sentimetro) at hanapin ang ratio ng haba ng segment sa mapa sa distansya sa lupa, na magiging katumbas ng sukat ng mapa: 6: x \ u003d 1: 250000,

x \u003d 6 * 250000,

x = 1500000.

1500000 cm = 15 km

Sagot: 15 km.

Gawain bilang 13

Ang 4000 g ng solusyon ay naglalaman ng 80 g ng asin. Ano ang konsentrasyon ng asin sa solusyon na ito?

Desisyon:

Timbang, g

Konsentrasyon, %

Solusyon

4000

asin

4000: 80 = 100: x,

x =
,

x = 2.

Sagot: Ang konsentrasyon ng asin ay 2%.

Gawain bilang 14

Ang bangko ay nagbibigay ng pautang sa 10% bawat taon. Nakatanggap ka ng pautang na 50,000 rubles. Magkano ang kailangan mong ibalik sa bangko sa isang taon?

Desisyon:

50 000 kuskusin.

100%

x kuskusin.

50000: x = 100: 10,

x= 50000*10:100,

x=5000.

5000 kuskusin. ay 10%.

50,000 + 5000=55,000 (rubles)

Sagot: sa isang taon, 55,000 rubles ang ibabalik sa bangko.

Konklusyon.

Tulad ng makikita natin mula sa mga halimbawa sa itaas, ang direkta at baligtad na proporsyonal na mga relasyon ay naaangkop sa iba't ibang larangan ng buhay:

ekonomiya,

kalakalan,

sa pagmamanupaktura at industriya,

buhay paaralan,

nagluluto,

Konstruksyon at arkitektura.

laro,

pag-aalaga ng hayop,

topograpiya,

mga pisiko,

Chemistry, atbp.

Sa Russian, mayroon ding mga kawikaan at kasabihan na nagtatatag ng direkta at kabaligtaran na mga relasyon:

Habang dumarating, ganoon din ang tutugon nito.

Kung mas mataas ang tuod, mas mataas ang anino.

Ang mas maraming tao, mas kaunting oxygen.

At handa na, oo katangahan.

Ang matematika ay isa sa mga pinakalumang agham; ito ay bumangon batay sa mga pangangailangan at pangangailangan ng sangkatauhan. Ang pagkakaroon ng dumaan sa kasaysayan ng pagbuo mula noong sinaunang Greece, nananatili pa rin itong nauugnay at kinakailangan sa pang-araw-araw na buhay ng sinumang tao. Ang konsepto ng direkta at kabaligtaran na proporsyonalidad ay kilala mula noong sinaunang panahon, dahil ito ay ang mga batas ng proporsyon na gumagalaw sa mga arkitekto sa anumang pagtatayo o paglikha ng anumang iskultura.

Ang kaalaman sa mga proporsyon ay malawakang ginagamit sa lahat ng larangan ng buhay at aktibidad ng tao - hindi magagawa ng isang tao nang wala ang mga ito kapag nagpinta ng mga larawan (mga landscape, still life, portrait, atbp.), Laganap din sila sa mga arkitekto at inhinyero - sa pangkalahatan, mahirap. upang isipin ang paglikha ng anumang bagay nang walang paggamit ng kaalaman tungkol sa mga sukat at kanilang relasyon.

Panitikan.

Mathematics-6, N.Ya. Vilenkin at iba pa.

Algebra -7, G.V. Dorofeev at iba pa.

Mathematics-9, GIA-9, inedit ni F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov

Mathematics-6, didactic na materyales, P.V. Chulkov, A.B. Uedinov

Mga gawain sa matematika para sa mga baitang 4-5, I.V. Baranova et al., M. "Enlightenment" 1988

Koleksyon ng mga gawain at halimbawa sa matematika baitang 5-6, N.A. Tereshin,

T.N. Tereshina, M. "Aquarium" 1997

Kasama ng mga direktang proporsyonal na dami sa aritmetika, isinaalang-alang din ang mga inversely proportional na dami.

Magbigay tayo ng mga halimbawa.

1) Ang mga haba ng base at ang taas ng parihaba na may pare-parehong lugar.

Hayaang kailanganin na maglaan ng isang hugis-parihaba na lugar para sa hardin na may sukat na

"Maaari naming itakda ang arbitraryo, halimbawa, ang haba ng segment. Ngunit pagkatapos ay ang lapad ng seksyon ay depende sa kung anong haba ang napili namin. Ang iba't ibang (posibleng) haba at lapad ay ipinapakita sa talahanayan.

Sa pangkalahatan, kung tinutukoy natin ang haba ng seksyon hanggang sa x, at ang lapad hanggang sa y, kung gayon ang ugnayan sa pagitan ng mga ito ay maaaring ipahayag ng formula:

Ang pagpapahayag ng y sa mga tuntunin ng x, nakukuha natin:

Sa pamamagitan ng pagbibigay ng x arbitrary na mga halaga, makakakuha tayo ng katumbas na mga halaga ng y.

2) Oras at bilis ng pare-parehong paggalaw sa isang tiyak na distansya.

Hayaan ang distansya sa pagitan ng dalawang lungsod ay 200 km. Ang mas mabilis na bilis, mas kaunting oras ang aabutin upang masakop ang isang naibigay na distansya. Ito ay makikita mula sa sumusunod na talahanayan:

Sa pangkalahatan, kung tinutukoy natin ang bilis sa pamamagitan ng x, at ang oras ng paggalaw - sa pamamagitan ng y, kung gayon ang ugnayan sa pagitan nila ay ipapahayag ng formula:

Kahulugan. Ang relasyon sa pagitan ng dalawang dami, na ipinahayag bilang , kung saan ang k ay isang tiyak na numero (hindi katumbas ng zero), ay tinatawag na kabaligtaran na relasyon.

Ang bilang dito ay tinatawag ding coefficient of proportionality.

Tulad ng sa kaso ng direktang proporsyonalidad, sa pagkakapantay-pantay, ang mga halaga ng x at y sa pangkalahatang kaso ay maaaring tumagal ng positibo at negatibong mga halaga.

Ngunit sa lahat ng kaso ng inverse proportionality, wala sa mga dami ang maaaring katumbas ng zero. Sa katunayan, kung hindi bababa sa isa sa mga halaga ng x o y ay katumbas ng zero, kung gayon sa pagkakapantay-pantay ang kaliwang bahagi ay magiging katumbas ng zero

At ang tama - sa isang tiyak na numero na hindi katumbas ng zero (sa pamamagitan ng kahulugan), iyon ay, isang hindi tamang pagkakapantay-pantay ay makukuha.

2. Graph ng kabaligtaran na proporsyon.

Bumuo tayo ng dependency graph

Ang pagpapahayag ng y sa mga tuntunin ng x, nakukuha natin:

Bibigyan namin ng x arbitrary (pinahihintulutan) na mga halaga at kalkulahin ang kaukulang mga halaga ng y. Kumuha tayo ng mesa:

Buuin natin ang mga kaukulang punto (Larawan 28).

Kung kukunin natin ang mga halaga ng x sa mas maliliit na pagitan, kung gayon ang mga punto ay matatagpuan nang mas malapit.

Para sa lahat ng posibleng halaga ng x, ang kaukulang mga punto ay matatagpuan sa dalawang sangay ng graph, simetriko tungkol sa pinagmulan at pagpasa sa I at III quarters ng coordinate plane (Fig. 29).

Kaya, nakikita natin na ang inverse proportionality graph ay isang curved line. Ang linyang ito ay may dalawang sangay.

Ang isang sangay ay makukuha na may positibo, ang isa pa - na may mga negatibong halaga ng x.

Ang isang inversely proportional graph ay tinatawag na hyperbola.

Upang makakuha ng mas tumpak na graph, kailangan mong bumuo ng maraming puntos hangga't maaari.

Sa sapat na mataas na katumpakan, ang isang hyperbola ay maaaring iguhit gamit, halimbawa, mga pattern.

Sa pagguhit 30 naka-plot inversely proporsyonal na relasyon na may negatibong koepisyent. Halimbawa, sa pamamagitan ng paggawa ng isang talahanayan tulad nito:

nakakakuha tayo ng hyperbola, ang mga sanga nito ay matatagpuan sa II at IV quarters.

Mga pangunahing layunin:

• ipakilala ang konsepto ng direkta at kabaligtaran na proporsyonal na pag-asa ng mga dami;
• ituro kung paano lutasin ang mga problema gamit ang mga dependency na ito;
• itaguyod ang pagbuo ng mga kasanayan sa paglutas ng problema;
• pagsamahin ang kasanayan sa paglutas ng mga equation gamit ang mga proporsyon;
• ulitin ang mga aksyon na may ordinaryong at decimal na mga fraction;
• paunlarin ang lohikal na pag-iisip ng mga mag-aaral.

SA PANAHON NG MGA KLASE

ako. Pagpapasya sa sarili sa aktibidad(Oras ng pag-aayos)

- Guys! Ngayon sa aralin ay makikilala natin ang mga problemang nalutas gamit ang mga proporsyon.

II. Pag-update ng kaalaman at pag-aayos ng mga kahirapan sa mga aktibidad

2.1. gawaing pasalita (3 min)

- Hanapin ang kahulugan ng mga expression at alamin ang salitang naka-encrypt sa mga sagot.

14 - s; 0.1 - at; 7 - l; 0.2 - a; 17 - sa; 25 - hanggang

- Ang salita ay lumabas - lakas. Magaling!
- Ang motto ng ating aralin ngayon: Ang kapangyarihan ay nasa kaalaman! Naghahanap ako - kaya nag-aaral ako!
- Gumawa ng isang proporsyon ng mga resultang numero. (14:7=0.2:0.1 atbp.)

2.2. Isaalang-alang ang kaugnayan sa pagitan ng mga kilalang dami (7 min)

- ang landas na nilakbay ng kotse sa isang pare-pareho ang bilis, at ang oras ng paggalaw nito: S = v t ( na may pagtaas sa bilis (oras), tumataas ang landas);
- ang bilis ng kotse at ang oras na ginugol sa kalsada: v=S:t(na may pagtaas sa oras upang maglakbay sa landas, ang bilis ay bumababa);
– ang halaga ng mga kalakal na binili sa isang presyo at ang dami nito: C \u003d a n (na may pagtaas (pagbaba) sa presyo, ang halaga ng pagbili ay tumataas (bumababa);
- ang presyo ng produkto at ang dami nito: a \u003d C: n (na may pagtaas sa dami, bumababa ang presyo)
- ang lugar ng rektanggulo at ang haba nito (lapad): S = a b (na may pagtaas sa haba (lapad), ang lugar ay tumataas;
- ang haba ng parihaba at ang lapad: a = S: b (na may pagtaas sa haba, bumababa ang lapad;
- ang bilang ng mga manggagawa na nagsasagawa ng ilang trabaho na may parehong produktibidad sa paggawa, at ang oras na kinakailangan upang makumpleto ang gawaing ito: t \u003d A: n (na may pagtaas sa bilang ng mga manggagawa, ang oras na ginugol sa paggawa ng trabaho ay bumababa), atbp.

Nakakuha kami ng mga dependence kung saan, na may pagtaas sa isang halaga nang maraming beses, ang isa pa ay agad na tumataas ng parehong halaga (ipinapakita sa mga arrow para sa mga halimbawa) at mga dependence kung saan, sa pagtaas ng isang halaga ng ilang beses, ang pangalawang halaga ay bumababa ng ang parehong bilang ng beses.
Ang ganitong mga relasyon ay tinatawag na direkta at kabaligtaran na mga sukat.
Direktang proporsyonal na pag-asa- isang pag-asa kung saan sa isang pagtaas (pagbaba) sa isang halaga ng ilang beses, ang pangalawang halaga ay tumataas (bumababa) ng parehong halaga.
Baliktad na proporsyonal na relasyon- isang pag-asa kung saan sa isang pagtaas (pagbaba) sa isang halaga ng maraming beses, ang pangalawang halaga ay bumababa (tumataas) ng parehong halaga.

III. Pahayag ng gawain sa pagkatuto

Ano ang problemang kinakaharap natin? (Matutong makilala sa pagitan ng direkta at kabaligtaran na mga relasyon)
- Ito ay - layunin ating aralin. Ngayon magbalangkas paksa aralin. (Direkta at baligtad na proporsyonalidad).
- Magaling! Isulat ang paksa ng aralin sa iyong kuwaderno. (Isusulat ng guro ang paksa sa pisara.)

IV. "Pagtuklas" ng bagong kaalaman(10 minuto)

Suriin natin ang mga problema bilang 199.

1. Ang printer ay nagpi-print ng 27 mga pahina sa loob ng 4.5 minuto. Gaano katagal bago mag-print ng 300 pages?

27 pahina - 4.5 min.
300 pp. - x?

2. Mayroong 48 na pakete ng tsaa sa isang kahon, 250 g bawat isa. Ilang pakete ng 150g ang lalabas sa tsaang ito?

48 pack - 250 g.
X? - 150 g.

3. Ang kotse ay nagmaneho ng 310 km, na gumastos ng 25 litro ng gasolina. Gaano kalayo ang maaaring maglakbay ng isang kotse sa isang buong tangke ng 40 litro?

310 km - 25 l
X? – 40 l

4. Ang isa sa mga clutch gear ay may 32 ngipin, at ang isa ay may 40. Ilang mga rebolusyon ang gagawin ng pangalawang gear habang ang una ay gagawa ng 215 na mga rebolusyon?

32 ngipin - 315 rpm
40 ngipin - x?

Upang gumuhit ng isang proporsyon, kinakailangan ang isang direksyon ng mga arrow; para dito, sa kabaligtaran na proporsyon, ang isang ratio ay pinalitan ng kabaligtaran.

Sa pisara, hinahanap ng mga mag-aaral ang halaga ng mga dami, sa larangan, nilulutas ng mga mag-aaral ang isang problema na kanilang pinili.

– Bumuo ng isang panuntunan para sa paglutas ng mga problema na may direkta at baligtad na proporsyonalidad.

Lumilitaw ang isang talahanayan sa pisara:

V. Pangunahing konsolidasyon sa panlabas na pananalita(10 minuto)

Mga gawain sa mga sheet:

1. Mula sa 21 kg ng cottonseed, nakuha ang 5.1 kg ng langis. Gaano karaming langis ang makukuha mula sa 7 kg ng cottonseed?
2. Para sa pagtatayo ng istadyum, 5 buldoser ang naglinis sa lugar sa loob ng 210 minuto. Gaano katagal aabutin ng 7 bulldozer upang linisin ang lugar na ito?

VI. Independiyenteng trabaho na may self-test ayon sa pamantayan(5 minuto)

Dalawang mag-aaral ang kumukumpleto ng mga takdang-aralin Blg. 225 nang mag-isa sa mga nakatagong board, at ang natitira sa mga notebook. Pagkatapos ay suriin nila ang gawain ayon sa algorithm at ihambing ito sa solusyon sa pisara. Ang mga pagkakamali ay naitama, ang kanilang mga sanhi ay nilinaw. Kung nakumpleto ang gawain, tama, pagkatapos ay sa tabi ng mga mag-aaral ay maglagay ng "+" na senyales para sa kanilang sarili.
Ang mga mag-aaral na nagkakamali sa independiyenteng trabaho ay maaaring gumamit ng mga consultant.

VII. Pagsasama sa sistema ng kaalaman at pag-uulit№ 271, № 270.

Anim na tao ang nagtatrabaho sa pisara. Pagkatapos ng 3-4 minuto, ang mga mag-aaral na nagtrabaho sa pisara ay nagpapakita ng kanilang mga solusyon, at ang iba ay suriin ang mga gawain at lumahok sa kanilang talakayan.

VIII. Pagninilay ng aktibidad (buod ng aralin)

- Ano ang bago mo natutunan sa aralin?
- Ano ang inulit mo?
Ano ang algorithm para sa paglutas ng mga problema sa proporsyon?
Naabot na ba natin ang ating layunin?
- Paano mo nire-rate ang iyong trabaho?