Mga integer

Ang kahulugan ng mga natural na numero ay mga positive integer. Ang mga natural na numero ay ginagamit upang mabilang ang mga bagay at para sa marami pang ibang layunin. Narito ang mga numero:

Ito ay isang natural na serye ng mga numero.
Ang zero ay isang natural na numero? Hindi, ang zero ay hindi natural na numero.
Ilang natural na numero ang mayroon? Mayroong walang katapusang hanay ng mga natural na numero.
Ano ang pinakamaliit na natural na numero? Ang isa ay ang pinakamaliit na natural na numero.
Ano ang pinakamalaking natural na bilang? Hindi ito matukoy, dahil mayroong isang walang katapusang hanay ng mga natural na numero.

Ang kabuuan ng mga natural na numero ay isang natural na numero. Kaya, ang pagdaragdag ng mga natural na numero a at b:

Ang produkto ng mga natural na numero ay isang natural na numero. Kaya, ang produkto ng mga natural na numero a at b:

c ay palaging isang natural na numero.

Pagkakaiba ng mga natural na numero Hindi palaging isang natural na numero. Kung ang minuend ay mas malaki kaysa sa subtrahend, kung gayon ang pagkakaiba ng mga natural na numero ay isang natural na numero, kung hindi, ito ay hindi.

Ang quotient ng mga natural na numero Hindi palaging isang natural na numero. Kung para sa mga natural na bilang a at b

kung saan ang c ay isang natural na numero, nangangahulugan ito na ang a ay pantay na nahahati ng b. Sa halimbawang ito, ang a ay ang dibidendo, ang b ay ang divisor, ang c ay ang quotient.

Ang divisor ng isang natural na numero ay ang natural na numero kung saan ang unang numero ay pantay na nahahati.

Ang bawat natural na numero ay nahahati sa 1 at sa sarili nito.

Ang mga simpleng natural na numero ay nahahati lamang ng 1 at ng kanilang mga sarili. Narito ang ibig sabihin namin ay ganap na hinati. Halimbawa, mga numero 2; 3; 5; Ang 7 ay nahahati lamang ng 1 at mismo. Ito ay mga simpleng natural na numero.

Ang isa ay hindi itinuturing na isang pangunahing numero.

Ang mga numerong mas malaki sa isa at hindi prime ay tinatawag na composite numbers. Mga halimbawa ng pinagsama-samang numero:

Ang isa ay hindi itinuturing na isang pinagsama-samang numero.

Ang set ng mga natural na numero ay binubuo ng isa, prime number at composite numbers.

Ang hanay ng mga natural na numero ay tinutukoy ng Latin na titik N.

Mga katangian ng pagdaragdag at pagpaparami ng mga natural na numero:

commutative property ng karagdagan

nag-uugnay na pag-aari ng karagdagan

(a + b) + c = a + (b + c);

commutative property ng multiplication

nag-uugnay na pag-aari ng multiplikasyon

(ab)c = a(bc);

distributive property ng multiplikasyon

A (b + c) = ab + ac;

Buong mga numero

Ang mga integer ay natural na mga numero, zero at ang kabaligtaran ng mga natural na numero.

Ang mga numerong kabaligtaran ng mga natural na numero ay mga negatibong integer, halimbawa:

1; -2; -3; -4;...

Ang hanay ng mga integer ay tinutukoy ng Latin na titik Z.

Mga rational na numero

Ang mga rational na numero ay mga integer at fraction.

Ang anumang rational na numero ay maaaring katawanin bilang periodic fraction. Mga halimbawa:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Makikita mula sa mga halimbawa na ang anumang integer ay isang periodic fraction na may period na zero.

Ang anumang rational na numero ay maaaring katawanin bilang isang fraction m/n, kung saan ang m ay isang integer at n ay isang natural na numero. Katawanin natin ang bilang 3,(6) mula sa nakaraang halimbawa bilang isang fraction.

Ang paksa ng mga rational na numero ay medyo malawak. Maaari mong pag-usapan ito nang walang hanggan at magsulat ng buong mga gawa, sa bawat oras na mabigla sa pamamagitan ng mga bagong chips.

Upang maiwasan ang mga pagkakamali sa hinaharap, sa araling ito ay susuriin natin nang kaunti ang paksa ng mga makatwirang numero, iguhit ang kinakailangang impormasyon mula dito at magpatuloy.

Nilalaman ng aralin

Ano ang rational number

Ang rational na numero ay isang numero na maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan a- ay ang numerator ng isang fraction b ay ang denominator ng fraction. At b hindi dapat zero, dahil hindi pinapayagan ang paghahati sa zero.

Ang mga rational na numero ay kinabibilangan ng mga sumusunod na kategorya ng mga numero:

• mga integer (halimbawa -2, -1, 0 1, 2, atbp.)

• decimal fractions (halimbawa 0.2 atbp.)

• walang katapusang periodic fraction (halimbawa, 0, (3), atbp.)

Ang bawat numero sa kategoryang ito ay maaaring katawanin bilang isang fraction.

Halimbawa 1 Ang integer 2 ay maaaring katawanin bilang isang fraction. Kaya ang numero 2 ay nalalapat hindi lamang sa mga integer, kundi pati na rin sa mga makatwiran.

Halimbawa 2 Ang isang halo-halong numero ay maaaring katawanin bilang isang fraction. Ang fraction na ito ay nakuha sa pamamagitan ng pag-convert ng mixed number sa isang hindi tamang fraction.

Kaya ang isang mixed number ay isang rational number.

Halimbawa 3 Ang decimal 0.2 ay maaaring katawanin bilang isang fraction. Ang fraction na ito ay nakuha sa pamamagitan ng pag-convert ng decimal fraction 0.2 sa isang ordinaryong fraction. Kung nahihirapan ka sa puntong ito, ulitin ang paksa.

Dahil ang decimal na fraction 0.2 ay maaaring katawanin bilang isang fraction, nangangahulugan ito na nalalapat din ito sa mga rational na numero.

Halimbawa 4 Ang walang katapusang periodic fraction 0, (3) ay maaaring katawanin bilang isang fraction . Ang fraction na ito ay nakukuha sa pamamagitan ng pag-convert ng purong periodic fraction sa ordinaryong fraction. Kung nahihirapan ka sa puntong ito, ulitin ang paksa.

Dahil ang walang katapusang periodic fraction 0, (3) ay maaaring katawanin bilang isang fraction, nangangahulugan ito na kabilang din ito sa mga rational na numero.

Sa hinaharap, lahat ng mga numero na maaaring katawanin bilang isang fraction, tatawagin namin ang isang parirala - mga rational na numero.

Mga rational na numero sa linya ng coordinate

Isinaalang-alang namin ang linya ng coordinate noong nag-aral kami ng mga negatibong numero. Alalahanin na ito ay isang tuwid na linya kung saan maraming mga punto ang namamalagi. Tulad ng sumusunod:

Ang figure na ito ay nagpapakita ng isang maliit na fragment ng coordinate line mula −5 hanggang 5.

Hindi mahirap markahan ang mga integer ng form 2, 0, −3 sa linya ng coordinate.

Ang mga bagay ay higit na kawili-wili sa iba pang mga numero: na may mga ordinaryong fraction, halo-halong numero, decimal fraction, atbp. Ang mga numerong ito ay nasa pagitan ng mga integer at mayroong walang katapusang marami sa mga numerong ito.

Halimbawa, markahan natin ang isang rational na numero sa linya ng coordinate. Ang numerong ito ay eksaktong nasa pagitan ng zero at isa.

Subukan nating unawain kung bakit biglang matatagpuan ang fraction sa pagitan ng zero at isa.

Tulad ng nabanggit sa itaas, sa pagitan ng mga integer ay namamalagi ang iba pang mga numero - mga ordinaryong fraction, decimal fraction, halo-halong numero, atbp. Halimbawa, kung tinaasan mo ang seksyon ng linya ng coordinate mula 0 hanggang 1, makikita mo ang sumusunod na larawan

Makikita na sa pagitan ng mga integer 0 at 1 ay mayroon nang iba pang mga rational na numero, na mga decimal fraction na pamilyar sa atin. Ang aming fraction ay makikita rin dito, na matatagpuan sa parehong lugar ng decimal na fraction 0.5. Ang isang maingat na pagsusuri sa figure na ito ay nagbibigay ng sagot sa tanong kung bakit ang fraction ay eksaktong matatagpuan doon.

Ang isang fraction ay nangangahulugan na hatiin ang 1 sa 2. At kung hatiin natin ang 1 sa 2, makakakuha tayo ng 0.5

Ang decimal na fraction 0.5 ay maaaring itago bilang iba pang mga fraction. Mula sa pangunahing katangian ng isang fraction, alam natin na kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay pinarami o hinati sa parehong numero, kung gayon ang halaga ng fraction ay hindi magbabago.

Kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay i-multiply sa anumang numero, halimbawa sa numero 4, pagkatapos ay makakakuha tayo ng bagong fraction, at ang fraction na ito ay katumbas din ng 0.5

Nangangahulugan ito na sa linya ng coordinate, ang fraction ay maaaring ilagay sa parehong lugar kung saan matatagpuan ang fraction

Halimbawa 2 Subukan nating markahan ang isang rational na numero sa coordinate. Ang numerong ito ay eksaktong matatagpuan sa pagitan ng mga numero 1 at 2

Ang halaga ng fraction ay 1.5

Kung dagdagan natin ang seksyon ng linya ng coordinate mula 1 hanggang 2, makikita natin ang sumusunod na larawan:

Makikita na sa pagitan ng mga integer 1 at 2 ay mayroon nang iba pang mga rational na numero, na mga decimal fraction na pamilyar sa atin. Ang aming fraction ay makikita rin dito, na matatagpuan sa parehong lugar ng decimal fraction 1.5.

Dinagdagan namin ang ilang partikular na segment sa linya ng coordinate para makita ang iba pang numerong nasa segment na ito. Bilang resulta, nakakita kami ng mga decimal fraction na may isang digit pagkatapos ng decimal point.

Ngunit hindi lamang ito ang mga numerong namamalagi sa mga segment na ito. Mayroong walang katapusang maraming mga numero na nakahiga sa linya ng coordinate.

Madaling hulaan na sa pagitan ng mga decimal fraction na may isang digit pagkatapos ng decimal point, mayroon nang iba pang decimal fraction na mayroong dalawang digit pagkatapos ng decimal point. Sa madaling salita, hundredths ng isang segment.

Halimbawa, subukan nating makita ang mga numero na nasa pagitan ng mga decimal fraction na 0.1 at 0.2.

Isa pang halimbawa. Ang mga desimal na may dalawang digit pagkatapos ng decimal point at nasa pagitan ng zero at ang rational number na 0.1 ay ganito ang hitsura:

Halimbawa 3 Minarkahan namin ang isang rational na numero sa linya ng coordinate. Ang makatwirang numerong ito ay magiging napakalapit sa zero.

Ang halaga ng fraction ay 0.02

Kung tataas natin ang segment mula 0 hanggang 0.1, makikita natin kung saan eksaktong matatagpuan ang rational number

Makikita na ang ating rational number ay matatagpuan sa parehong lugar ng decimal fraction na 0.02.

Halimbawa 4 Markahan natin ang isang rational number na 0 sa coordinate line, (3)

Ang rational number na 0, (3) ay isang walang katapusang periodic fraction. Ang fractional na bahagi nito ay hindi nagtatapos, ito ay walang katapusan

At dahil ang numero 0, (3) ay may walang katapusang fractional na bahagi, nangangahulugan ito na hindi natin mahahanap ang eksaktong lugar sa linya ng coordinate kung saan matatagpuan ang numerong ito. Maaari lamang naming ipahiwatig ang lugar na ito nang humigit-kumulang.

Ang rational number na 0.33333… ay magiging napakalapit sa karaniwang decimal na 0.3

Ang figure na ito ay hindi nagpapakita ng eksaktong lokasyon ng numero 0,(3). Isa lamang itong ilustrasyon na nagpapakita kung gaano kalapit ang periodic fraction 0.(3) sa regular na decimal 0.3.

Halimbawa 5 Minarkahan namin ang isang rational na numero sa linya ng coordinate. Ang rational na numerong ito ay matatagpuan sa gitna sa pagitan ng mga numero 2 at 3

Ito ay 2 (dalawang integer) at (isang segundo). Ang isang fraction ay tinatawag ding "kalahati". Samakatuwid, minarkahan namin ang dalawang buong segment at isa pang kalahati ng segment sa linya ng coordinate.

Kung isasalin natin ang isang pinaghalong numero sa isang hindi wastong fraction, makakakuha tayo ng isang ordinaryong fraction. Ang fraction na ito sa coordinate line ay matatagpuan sa parehong lugar ng fraction

Ang halaga ng fraction ay 2.5

Kung dagdagan natin ang seksyon ng linya ng coordinate mula 2 hanggang 3, makikita natin ang sumusunod na larawan:

Makikita na ang ating rational number ay matatagpuan sa parehong lugar ng decimal fraction 2.5

Minus bago ang isang rational na numero

Sa nakaraang aralin, na tinawag, natutunan natin kung paano hatiin ang mga integer. Ang dibidendo at divisor ay maaaring parehong positibo at negatibong mga numero.

Isaalang-alang ang pinakasimpleng expression

(−6) : 2 = −3

Sa expression na ito, ang dibidendo (−6) ay isang negatibong numero.

Ngayon isaalang-alang ang pangalawang expression

6: (−2) = −3

Dito, ang divisor (−2) ay isa nang negatibong numero. Ngunit sa parehong mga kaso nakakakuha kami ng parehong sagot -3.

Dahil ang anumang dibisyon ay maaaring isulat bilang isang fraction, maaari rin nating isulat ang mga halimbawang tinalakay sa itaas bilang isang fraction:

At dahil sa parehong mga kaso ang halaga ng fraction ay pareho, ang minus na nakatayo alinman sa numerator o sa denominator ay maaaring gawing karaniwan sa pamamagitan ng paglalagay nito sa harap ng fraction.

Samakatuwid, sa pagitan ng mga expression at at maaari kang maglagay ng pantay na senyales, dahil nagdadala sila ng parehong halaga

Sa hinaharap, nagtatrabaho sa mga fraction, kung makakatagpo tayo ng minus sa numerator o sa denominator, gagawin nating karaniwan ang minus na ito, ilagay ito sa harap ng fraction.

Kabaligtaran ng mga rational na numero

Tulad ng isang integer, ang isang rational na numero ay may kabaligtaran na numero.

Halimbawa, para sa isang rational na numero, ang kabaligtaran na numero ay . Ito ay matatagpuan sa linya ng coordinate na simetriko sa lokasyong nauugnay sa pinagmulan. Sa madaling salita, ang parehong mga numerong ito ay katumbas ng distansya mula sa pinanggalingan

I-convert ang mga pinaghalong numero sa mga hindi wastong fraction

Alam namin na upang ma-convert ang isang pinaghalong numero sa isang hindi tamang fraction, kailangan mong i-multiply ang integer na bahagi sa denominator ng fractional na bahagi at idagdag sa numerator ng fractional na bahagi. Ang resultang numero ay magiging numerator ng bagong fraction, habang ang denominator ay nananatiling pareho.

Halimbawa, i-convert natin ang isang mixed number sa isang hindi tamang fraction

I-multiply ang integer na bahagi ng denominator ng fractional na bahagi at idagdag ang numerator ng fractional na bahagi:

Kalkulahin natin ang expression na ito:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Ang resultang numero 5 ang magiging numerator ng bagong fraction, at ang denominator ay mananatiling pareho:

Ang buong proseso ay nakasulat tulad ng sumusunod:

Upang ibalik ang orihinal na pinaghalong numero, sapat na upang piliin ang bahagi ng integer sa fraction

Ngunit ang ganitong paraan ng pag-convert ng isang pinaghalong numero sa isang hindi tamang fraction ay naaangkop lamang kung ang pinaghalong numero ay positibo. Para sa negatibong numero, hindi gagana ang paraang ito.

Isaalang-alang natin ang isang fraction. Kunin natin ang integer na bahagi ng fraction na ito. Kunin

Upang ibalik ang orihinal na fraction, kailangan mong i-convert ang mixed number sa isang hindi tamang fraction. Ngunit kung gagamitin natin ang lumang tuntunin, ibig sabihin, pinarami natin ang bahagi ng integer sa denominator ng bahaging praksyonal at idinagdag ang numerator ng bahaging praksyonal sa nagresultang numero, pagkatapos ay makukuha natin ang sumusunod na kontradiksyon:

Nakatanggap kami ng isang fraction, ngunit dapat na nakatanggap kami ng isang fraction.

Napagpasyahan namin na ang pinaghalong numero ay naisalin nang hindi tama sa isang hindi wastong bahagi

Upang maisalin nang tama ang isang negatibong pinaghalong numero sa isang hindi tamang fraction, kailangan mong i-multiply ang integer na bahagi ng denominator ng fractional na bahagi, at mula sa resultang numero. ibawas fractional numerator. Sa kasong ito, ang lahat ay mahuhulog sa lugar

Ang negatibong pinaghalong numero ay ang kabaligtaran ng isang pinaghalong numero. Kung ang positive mixed number ay matatagpuan sa kanang bahagi at ganito ang hitsura

Mga rational na numero

quarters

1. Kaayusan. a at b mayroong isang panuntunan na nagbibigay-daan sa iyong natatanging makilala sa pagitan nila ang isa at isa lamang sa tatlong mga relasyon: "< », « >' o ' = '. Ang tuntuning ito ay tinatawag tuntunin sa pag-order at binabalangkas tulad ng sumusunod: dalawang di-negatibong mga numero at nauugnay sa parehong kaugnayan ng dalawang integer at ; dalawang di-positibong numero a at b ay nauugnay sa parehong kaugnayan ng dalawang di-negatibong numero at ; kung biglaan a hindi negatibo, at b- negatibo, kung gayon a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   pagsusuma ng mga fraction

2. dagdag na operasyon. Para sa anumang mga rational na numero a at b may tinatawag na tuntunin sa pagbubuod c. Gayunpaman, ang numero mismo c tinawag sum numero a at b at ay denoted , at ang proseso ng paghahanap ng naturang numero ay tinatawag pagbubuod. Ang panuntunan sa pagbubuod ay may sumusunod na anyo: .
3. pagpaparami ng operasyon. Para sa anumang mga rational na numero a at b may tinatawag na tuntunin sa pagpaparami, na naglalagay sa kanila sa mga sulat na may ilang rational na numero c. Gayunpaman, ang numero mismo c tinawag trabaho numero a at b at ay denoted , at ang proseso ng paghahanap ng naturang numero ay tinatawag din pagpaparami. Ang panuntunan sa pagpaparami ay ang mga sumusunod: .
4. Transitivity ng ugnayan ng order. Para sa anumang triple ng mga rational na numero a , b at c kung a mas maliit b at b mas maliit c, pagkatapos a mas maliit c, at kung a katumbas b at b katumbas c, pagkatapos a katumbas c. 6435">Commutativity ng karagdagan. Ang kabuuan ay hindi nagbabago mula sa pagbabago ng mga lugar ng mga makatwirang termino.
5. Pagkakaugnay ng karagdagan. Ang pagkakasunud-sunod kung saan idinagdag ang tatlong rational na numero ay hindi nakakaapekto sa resulta.
6. Ang pagkakaroon ng zero. May rational number na 0 na nagpapanatili sa bawat iba pang rational number kapag pinagsama-sama.
7. Ang pagkakaroon ng magkasalungat na numero. Ang anumang rational na numero ay may kabaligtaran na rational number, na, kapag summed, ay nagbibigay ng 0.
8. Commutativity ng multiplikasyon. Sa pamamagitan ng pagbabago ng mga lugar ng mga makatwirang kadahilanan, ang produkto ay hindi nagbabago.
9. Pagkakaugnay ng multiplikasyon. Ang pagkakasunud-sunod kung saan ang tatlong rational na numero ay pinarami ay hindi nakakaapekto sa resulta.
10. Ang pagkakaroon ng isang yunit. Mayroong rational number 1 na nagpapanatili sa bawat iba pang rational number kapag pinarami.
11. Ang pagkakaroon ng mga kapalit. Ang anumang rational number ay may inverse rational number, na, kapag pinarami, ay nagbibigay ng 1.
12. Distributivity ng multiplikasyon na may paggalang sa karagdagan. Ang pagpaparami ng pagpaparami ay pare-pareho sa pagpapatakbo ng karagdagan sa pamamagitan ng batas sa pamamahagi:
13. Koneksyon ng kaugnayan ng pagkakasunud-sunod sa pagpapatakbo ng karagdagan. Ang parehong rational number ay maaaring idagdag sa kaliwa at kanang bahagi ng isang rational inequality. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Axiom ng Archimedes. Anuman ang makatwirang numero a, maaari kang kumuha ng napakaraming unit na lalampas ang kanilang kabuuan a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Mga karagdagang katangian

Ang lahat ng iba pang mga katangian na likas sa mga makatwirang numero ay hindi tinutukoy bilang mga pangunahing, dahil, sa pangkalahatan, hindi na sila direktang nakabatay sa mga katangian ng mga integer, ngunit maaaring patunayan sa batayan ng mga ibinigay na pangunahing katangian o direkta sa pamamagitan ng kahulugan ng ilang bagay sa matematika. Mayroong maraming mga karagdagang pag-aari. Makatuwiran dito na banggitin lamang ang ilan sa mga ito.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Itakda ang countability

Pagbilang ng mga rational na numero

Upang matantya ang bilang ng mga rational na numero, kailangan mong hanapin ang cardinality ng kanilang set. Madaling patunayan na ang hanay ng mga rational na numero ay mabibilang. Upang gawin ito, sapat na ang pagbibigay ng algorithm na nagsasaad ng mga rational na numero, ibig sabihin, nagtatatag ng bijection sa pagitan ng mga hanay ng mga rational at natural na numero.

Ang pinakasimple sa mga algorithm na ito ay ang mga sumusunod. Ang isang walang katapusang talahanayan ng mga ordinaryong fraction ay pinagsama-sama, sa bawat isa i-ika-linya sa bawat isa j ika-kolum na kung saan ay isang fraction. Para sa katiyakan, ipinapalagay na ang mga row at column ng talahanayang ito ay binibilang mula sa isa. Ang mga cell ng talahanayan ay tinutukoy , kung saan i- ang row number ng table kung saan matatagpuan ang cell, at j- numero ng hanay.

Ang resultang talahanayan ay pinamamahalaan ng isang "ahas" ayon sa sumusunod na pormal na algorithm.

Hinahanap ang mga panuntunang ito mula sa itaas hanggang sa ibaba at ang susunod na posisyon ay pipiliin ng unang tugma.

Sa proseso ng naturang bypass, ang bawat bagong rational na numero ay itinalaga sa susunod na natural na numero. Iyon ay, ang mga praksyon 1 / 1 ay itinalaga ang numero 1, mga praksyon 2 / 1 - ang numero 2, atbp. Dapat tandaan na ang mga hindi mababawasan na mga praksiyon lamang ang binibilang. Ang pormal na tanda ng irreducibility ay ang pagkakapantay-pantay sa pagkakaisa ng pinakamalaking karaniwang divisor ng numerator at denominator ng fraction.

Kasunod ng algorithm na ito, maaaring isa-isahin ang lahat ng positibong rational na numero. Nangangahulugan ito na ang hanay ng mga positibong rational na numero ay mabibilang. Madaling magtatag ng bijection sa pagitan ng mga hanay ng positibo at negatibong mga rational na numero, sa pamamagitan lamang ng pagtatalaga sa bawat rational na numero ng kabaligtaran nito. yun. ang hanay ng mga negatibong rational na numero ay mabibilang din. Ang kanilang unyon ay mabibilang din sa pamamagitan ng pag-aari ng mga mabibilang na hanay. Ang hanay ng mga rational na numero ay mabibilang din bilang pagsasama ng isang mabibilang na hanay na may isang may hangganan.

Ang pahayag tungkol sa countability ng hanay ng mga rational na numero ay maaaring magdulot ng ilang pagkalito, dahil sa unang tingin ay magkakaroon ng impresyon na ito ay mas malaki kaysa sa hanay ng mga natural na numero. Sa katunayan, hindi ito ang kaso, at may sapat na natural na mga numero upang mabilang ang lahat ng mga makatwiran.

Kakulangan ng mga makatwirang numero

Ang hypotenuse ng naturang tatsulok ay hindi ipinahayag ng anumang makatwirang numero

Mga rational na numero ng form 1 / n sa kabuuan n arbitraryong maliliit na dami ay maaaring masukat. Ang katotohanang ito ay lumilikha ng isang mapanlinlang na impresyon na ang mga makatwirang numero ay maaaring masukat ang anumang mga geometriko na distansya sa pangkalahatan. Madaling ipakita na hindi ito totoo.

Mga Tala

Panitikan

• I. Kushnir. Handbook ng matematika para sa mga mag-aaral. - Kyiv: ASTARTA, 1998. - 520 p.
• P. S. Alexandrov. Panimula sa set theory at pangkalahatang topology. - M.: ulo. ed. Phys.-Math. naiilawan ed. "Agham", 1977
• I. L. Khmelnitsky. Panimula sa teorya ng algebraic system

Mga link

Wikimedia Foundation. 2010 .

Kahulugan ng mga rational na numero

Ang mga rational na numero ay:

• Mga natural na numero na maaaring katawanin bilang isang fraction. Halimbawa, $7=\frac(7)(1)$.
• Mga integer, kabilang ang numerong zero, na maaaring ipahayag bilang positibo o negatibong mga fraction, o bilang zero. Halimbawa, $19=\frac(19)(1)$, $-23=-\frac(23)(1)$.
• Mga ordinaryong fraction (positibo o negatibo).
• Mga pinaghalong numero na maaaring katawanin bilang isang hindi wastong karaniwang fraction. Halimbawa, $3 \frac(11)(13)=\frac(33)(13)$ at $-2 \frac(4)(5)=-\frac(14)(5)$.
• Isang finite decimal at isang infinite periodic fraction, na maaaring katawanin bilang common fraction. Halimbawa, $-7,73=-\frac(773)(100)$, $7,(3)=-7 \frac(1)(3)=-\frac(22)(3)$.

Puna 1

Tandaan na ang isang infinite non-periodic decimal fraction ay hindi nalalapat sa mga rational na numero, dahil hindi ito maaaring katawanin bilang isang ordinaryong fraction.

Halimbawa 1

Ang mga natural na bilang na $7, 670, 21 \ 456$ ay makatwiran.

Ang mga integer na $76, -76, 0, -555 \ 666$ ay makatwiran.

Ang mga ordinaryong fraction na $\frac(7)(11)$, $\frac(555)(4)$, $-\frac(7)(11)$, $-\frac(100)(234)$ ay mga rational na numero .

Kaya, ang mga rational na numero ay nahahati sa positibo at negatibo. Ang zero ay isang rational na numero, ngunit ito ay hindi isang positibo o negatibong rational na numero.

Bumuo tayo ng mas maikling kahulugan ng mga rational na numero.

Kahulugan 3

Makatuwiran mga numero ng tawag na maaaring katawanin bilang isang may hangganan o walang katapusang periodic decimal fraction.

Ang mga sumusunod na konklusyon ay maaaring makuha:

• ang mga positibo at negatibong integer at mga fractional na numero ay nabibilang sa hanay ng mga rational na numero;
• ang mga rational na numero ay maaaring katawanin bilang isang fraction na mayroong integer numerator at natural na denominator at isang rational na numero;
• Ang mga rational na numero ay maaaring katawanin bilang anumang periodic decimal na isang rational na numero.

Paano matukoy kung ang isang numero ay makatwiran

1. Ang numero ay ibinibigay bilang isang numeric na expression, na binubuo lamang ng mga makatwirang numero at mga palatandaan ng mga pagpapatakbo ng aritmetika. Sa kasong ito, ang halaga ng expression ay magiging isang rational na numero.
2. Ang square root ng isang natural na numero ay isang rational na numero lamang kung ang ugat ay isang numero na ang perpektong parisukat ng ilang natural na numero. Halimbawa, ang $\sqrt(9)$ at $\sqrt(121)$ ay mga rational na numero dahil $9=3^2$ at $121=11^2$.
3. Ang $n$th root ng isang integer ay isang rational number lamang kung ang numero sa ilalim ng root sign ay ang $n$th na kapangyarihan ng ilang integer. Halimbawa, ang $\sqrt(8)$ ay isang rational na numero, dahil $8=2^3$.

Ang mga rational na numero ay siksik saanman sa number axis: sa pagitan ng bawat dalawang rational na numero na hindi pantay sa isa't isa, kahit isang rational na numero ang maaaring matagpuan (kaya, isang walang katapusang bilang ng mga rational na numero). Kasabay nito, ang hanay ng mga rational na numero ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang mabibilang na cardinality (ibig sabihin, ang lahat ng mga elemento ng set ay maaaring bilangin). Pinatunayan ng mga sinaunang Griyego na may mga numero na hindi maaaring isulat bilang isang fraction. Ipinakita nila na walang rational number na ang parisukat ay katumbas ng $2$. Kung gayon ang mga makatwirang numero ay hindi sapat upang ipahayag ang lahat ng mga dami, na kalaunan ay humantong sa paglitaw ng mga tunay na numero. Ang hanay ng mga rational na numero, hindi tulad ng mga tunay na numero, ay zero-dimensional.

Mga rational na numero

quarters

1. Kaayusan. a at b mayroong isang panuntunan na nagbibigay-daan sa iyong natatanging makilala sa pagitan nila ang isa at isa lamang sa tatlong mga relasyon: "< », « >' o ' = '. Ang tuntuning ito ay tinatawag tuntunin sa pag-order at binabalangkas tulad ng sumusunod: dalawang di-negatibong mga numero at nauugnay sa parehong kaugnayan ng dalawang integer at ; dalawang di-positibong numero a at b ay nauugnay sa parehong kaugnayan ng dalawang di-negatibong numero at ; kung biglaan a hindi negatibo, at b- negatibo, kung gayon a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   pagsusuma ng mga fraction

2. dagdag na operasyon. Para sa anumang mga rational na numero a at b may tinatawag na tuntunin sa pagbubuod c. Gayunpaman, ang numero mismo c tinawag sum numero a at b at ay denoted , at ang proseso ng paghahanap ng naturang numero ay tinatawag pagbubuod. Ang panuntunan sa pagbubuod ay may sumusunod na anyo: .
3. pagpaparami ng operasyon. Para sa anumang mga rational na numero a at b may tinatawag na tuntunin sa pagpaparami, na naglalagay sa kanila sa mga sulat na may ilang rational na numero c. Gayunpaman, ang numero mismo c tinawag trabaho numero a at b at ay denoted , at ang proseso ng paghahanap ng naturang numero ay tinatawag din pagpaparami. Ang panuntunan sa pagpaparami ay ang mga sumusunod: .
4. Transitivity ng ugnayan ng order. Para sa anumang triple ng mga rational na numero a , b at c kung a mas maliit b at b mas maliit c, pagkatapos a mas maliit c, at kung a katumbas b at b katumbas c, pagkatapos a katumbas c. 6435">Commutativity ng karagdagan. Ang kabuuan ay hindi nagbabago mula sa pagbabago ng mga lugar ng mga makatwirang termino.
5. Pagkakaugnay ng karagdagan. Ang pagkakasunud-sunod kung saan idinagdag ang tatlong rational na numero ay hindi nakakaapekto sa resulta.
6. Ang pagkakaroon ng zero. May rational number na 0 na nagpapanatili sa bawat iba pang rational number kapag pinagsama-sama.
7. Ang pagkakaroon ng magkasalungat na numero. Ang anumang rational na numero ay may kabaligtaran na rational number, na, kapag summed, ay nagbibigay ng 0.
8. Commutativity ng multiplikasyon. Sa pamamagitan ng pagbabago ng mga lugar ng mga makatwirang kadahilanan, ang produkto ay hindi nagbabago.
9. Pagkakaugnay ng multiplikasyon. Ang pagkakasunud-sunod kung saan ang tatlong rational na numero ay pinarami ay hindi nakakaapekto sa resulta.
10. Ang pagkakaroon ng isang yunit. Mayroong rational number 1 na nagpapanatili sa bawat iba pang rational number kapag pinarami.
11. Ang pagkakaroon ng mga kapalit. Ang anumang rational number ay may inverse rational number, na, kapag pinarami, ay nagbibigay ng 1.
12. Distributivity ng multiplikasyon na may paggalang sa karagdagan. Ang pagpaparami ng pagpaparami ay pare-pareho sa pagpapatakbo ng karagdagan sa pamamagitan ng batas sa pamamahagi:
13. Koneksyon ng kaugnayan ng pagkakasunud-sunod sa pagpapatakbo ng karagdagan. Ang parehong rational number ay maaaring idagdag sa kaliwa at kanang bahagi ng isang rational inequality. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Axiom ng Archimedes. Anuman ang makatwirang numero a, maaari kang kumuha ng napakaraming unit na lalampas ang kanilang kabuuan a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Mga karagdagang katangian

Ang lahat ng iba pang mga katangian na likas sa mga makatwirang numero ay hindi tinutukoy bilang mga pangunahing, dahil, sa pangkalahatan, hindi na sila direktang nakabatay sa mga katangian ng mga integer, ngunit maaaring patunayan sa batayan ng mga ibinigay na pangunahing katangian o direkta sa pamamagitan ng kahulugan ng ilang bagay sa matematika. Mayroong maraming mga karagdagang pag-aari. Makatuwiran dito na banggitin lamang ang ilan sa mga ito.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Itakda ang countability

Pagbilang ng mga rational na numero

Upang matantya ang bilang ng mga rational na numero, kailangan mong hanapin ang cardinality ng kanilang set. Madaling patunayan na ang hanay ng mga rational na numero ay mabibilang. Upang gawin ito, sapat na ang pagbibigay ng algorithm na nagsasaad ng mga rational na numero, ibig sabihin, nagtatatag ng bijection sa pagitan ng mga hanay ng mga rational at natural na numero.

Ang pinakasimple sa mga algorithm na ito ay ang mga sumusunod. Ang isang walang katapusang talahanayan ng mga ordinaryong fraction ay pinagsama-sama, sa bawat isa i-ika-linya sa bawat isa j ika-kolum na kung saan ay isang fraction. Para sa katiyakan, ipinapalagay na ang mga row at column ng talahanayang ito ay binibilang mula sa isa. Ang mga cell ng talahanayan ay tinutukoy , kung saan i- ang row number ng table kung saan matatagpuan ang cell, at j- numero ng hanay.

Ang resultang talahanayan ay pinamamahalaan ng isang "ahas" ayon sa sumusunod na pormal na algorithm.

Hinahanap ang mga panuntunang ito mula sa itaas hanggang sa ibaba at ang susunod na posisyon ay pipiliin ng unang tugma.

Sa proseso ng naturang bypass, ang bawat bagong rational na numero ay itinalaga sa susunod na natural na numero. Iyon ay, ang mga praksyon 1 / 1 ay itinalaga ang numero 1, mga praksyon 2 / 1 - ang numero 2, atbp. Dapat tandaan na ang mga hindi mababawasan na mga praksiyon lamang ang binibilang. Ang pormal na tanda ng irreducibility ay ang pagkakapantay-pantay sa pagkakaisa ng pinakamalaking karaniwang divisor ng numerator at denominator ng fraction.

Kasunod ng algorithm na ito, maaaring isa-isahin ang lahat ng positibong rational na numero. Nangangahulugan ito na ang hanay ng mga positibong rational na numero ay mabibilang. Madaling magtatag ng bijection sa pagitan ng mga hanay ng positibo at negatibong mga rational na numero, sa pamamagitan lamang ng pagtatalaga sa bawat rational na numero ng kabaligtaran nito. yun. ang hanay ng mga negatibong rational na numero ay mabibilang din. Ang kanilang unyon ay mabibilang din sa pamamagitan ng pag-aari ng mga mabibilang na hanay. Ang hanay ng mga rational na numero ay mabibilang din bilang pagsasama ng isang mabibilang na hanay na may isang may hangganan.

Ang pahayag tungkol sa countability ng hanay ng mga rational na numero ay maaaring magdulot ng ilang pagkalito, dahil sa unang tingin ay magkakaroon ng impresyon na ito ay mas malaki kaysa sa hanay ng mga natural na numero. Sa katunayan, hindi ito ang kaso, at may sapat na natural na mga numero upang mabilang ang lahat ng mga makatwiran.

Kakulangan ng mga makatwirang numero

Ang hypotenuse ng naturang tatsulok ay hindi ipinahayag ng anumang makatwirang numero

Mga rational na numero ng form 1 / n sa kabuuan n arbitraryong maliliit na dami ay maaaring masukat. Ang katotohanang ito ay lumilikha ng isang mapanlinlang na impresyon na ang mga makatwirang numero ay maaaring masukat ang anumang mga geometriko na distansya sa pangkalahatan. Madaling ipakita na hindi ito totoo.

Mga Tala

Panitikan

• I. Kushnir. Handbook ng matematika para sa mga mag-aaral. - Kyiv: ASTARTA, 1998. - 520 p.
• P. S. Alexandrov. Panimula sa set theory at pangkalahatang topology. - M.: ulo. ed. Phys.-Math. naiilawan ed. "Agham", 1977
• I. L. Khmelnitsky. Panimula sa teorya ng algebraic system

Mga link

Wikimedia Foundation. 2010 .