Ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang eroplano. Detalyadong teorya na may mga halimbawa

Uri ng trabaho: 14

Kundisyon

Sa isang regular na triangular pyramid DABC na may base ABC, ang gilid ng base ay katumbas ng 6\sqrt(3), at ang taas ng pyramid ay 8 . Ang mga puntos na M , N at K ay ayon sa pagkakabanggit ay minarkahan sa mga gilid AB , AC at AD na ganoon AM=AN=\frac(3\sqrt(3))(2) at AK=\frac(5)(2).

a) Patunayan na ang mga eroplanong MNK at DBC ay parallel.

b) Hanapin ang distansya mula sa punto K hanggang sa eroplanong DBC.

Ipakita ang Solusyon

Desisyon

a) Ang mga eroplanong MNK at DBC ay magkatulad kung ang dalawang magkasalubong na linya sa isang eroplano ay magkapareho sa dalawang magkasalubong na linya sa kabilang eroplano. Patunayan natin. Isaalang-alang ang mga linyang MN at KM ng eroplanong MNK at mga linyang BC at DB ng eroplanong DBC.

Sa tatsulok na AOD : \angle AOD = 90^\circ at ng Pythagorean theorem AD=\sqrt(DO^2 +AO^2).

Hanapin ang AO gamit ang \bigtriangleup ABC ay tama.

AO=\frac(2)(3)AO_1, kung saan ang AO_1 ay ang taas ng \bigtriangleup ABC, AO_1 = \frac(a\sqrt(3))(2), kung saan ang a ay ang gilid ng \bigtriangleup ABC.

AO_1 = \frac(6\sqrt(3) \cdot \sqrt(3))(2)=9, pagkatapos ay AO=6, AD=\sqrt(8^2 + 6^2)=10.

1. Dahil \frac(AK)(AD)=\frac(5)(2) : 10=\frac(1)(4), \frac(AM)(AB)=\frac(3\sqrt(3))(2) : 6\sqrt(3)=\frac(1)(4) at ang \angle DAB ay pangkalahatan, pagkatapos ay \bigtriangleup AKM \sim ADB.

Ito ay sumusunod mula sa pagkakatulad na \angle AKM = \angle ADB. Ito ang mga kaukulang anggulo para sa mga linyang KM at BD at ang secant AD . Kaya KM \parallel BD.

2. Dahil \frac(AN)(AC)=\frac(3 \sqrt(3))(2 \cdot 6 \sqrt(3))=\frac(1)(4), \frac(AM)(AB)=\frac(1)(4) at ang \angle CAB ay karaniwan, kung gayon \bigtriangleup ANM \sim \bigtriangleup ACB.

Ito ay sumusunod mula sa pagkakatulad na \angle ANM = \angle ACB. Ang mga anggulong ito ay tumutugma sa mga linyang MN at BC at secant AC . Kaya MN \parallel BC.

Konklusyon: dahil ang dalawang intersecting na linya na KM at MN ng eroplanong MNK ay parallel sa dalawang intersecting na linya na BD at BC ng eroplano DBC , kung gayon ang mga eroplanong ito ay parallel - MNK \parallel DBC.

b) Hanapin natin ang distansya mula sa puntong K hanggang sa eroplanong BDC.

Dahil ang MNK plane ay parallel sa DBC plane, ang distansya mula sa point K hanggang sa DBC plane ay katumbas ng distansya mula sa point O_2 hanggang sa DBC plane at ito ay katumbas ng haba ng segment O_2 H. Patunayan natin ito .

BC \perp AO_1 at BC \perp DO_1 (bilang ang taas ng mga tatsulok na ABC at DBC ), kaya ang BC ay patayo sa eroplanong ADO_1, at pagkatapos ay ang BC ay patayo sa anumang linya ng eroplanong ito, halimbawa, O_2 H. Sa pamamagitan ng pagbuo O_2H \perp DO_1, pagkatapos ang O_2H ay patayo sa dalawang intersecting na tuwid na linya ng BCD plane, at pagkatapos ay ang segment na O_2 H ay patayo sa BCD plane at katumbas ng distansya mula O_2 hanggang BCD plane.

Sa isang tatsulok O_2HO_1:O_2H=O_(2)O_(1)\sin\anggulo HO_(1)O_(2).

O_(2)O_(1)=AO_(1)-AO_(2).\, \frac(AO_2)(AO_1)=\frac(1)(4), AO_(2)=\frac(AO_1)(4)=\frac(9)(4).

O_(2)O_(1)=9-\frac(9)(4)=\frac(27)(4).

\sin \angle DO_(1)A= \frac(DO)(DO_(1))= \frac(8)(\sqrt(64+3^2))= \frac(8)(\sqrt(73)).

O_2H=\frac(27)(4) \cdot \frac(8)(\sqrt(73))=\frac(54)(\sqrt(73)).

Sagot

\frac(54)(\sqrt(73))

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 14
Paksa: Distansya mula sa isang punto hanggang sa isang eroplano

Kundisyon

Ang ABCDA_1B_1C_1D_1 ay isang regular na quadrangular prism.

a) Patunayan na ang eroplano ay BB_1D_1 \perp AD_1C .

b) Pag-alam sa AB = 5 at AA_1 = 6, hanapin ang distansya mula sa punto B_1 hanggang sa eroplano AD_1C.

Ipakita ang Solusyon

Desisyon

a) Dahil ang prisma na ito ay regular, pagkatapos ay BB_1 \perp ABCD , kaya BB_1 \perp AC . Dahil ang ABCD ay isang parisukat, pagkatapos ay AC \perp BD . Kaya AC \perp BD at AC \perp BB_1 . Dahil ang mga linyang BD at BB_1 ay nagsalubong, kung gayon, ayon sa tanda ng perpendicularity ng isang linya at isang eroplano, AC \perp BB_1D_1D . Ngayon sa batayan ng perpendicularity ng mga eroplano AD_1C \perp BB_1D_1 .

b) Tukuyin sa pamamagitan ng O ang intersection point ng diagonals AC at BD ng square ABCD. Ang mga eroplanong AD_1C at BB_1D_1 ay nagsalubong sa tuwid na linya OD_1 . Hayaang ang B_1H ay isang patayong iginuhit sa eroplanong BB_1D_1 sa linyang OD_1 . Pagkatapos B_1H \perp AD_1C . Hayaan ang E=OD_1 \cap BB_1 . Para sa mga katulad na tatsulok D_1B_1E at OBE (ang pagkakapantay-pantay ng kaukulang mga anggulo ay sumusunod mula sa kondisyong BO \parallel B_1D_1 ) mayroon kami \frac(B_1E)(BE)=\frac(B_1D_1)(BO)=\frac(2)1.

Kaya B_1E=2BE=2 \cdot 6=12. Dahil B_1D_1=5\sqrt(2) , pagkatapos ay ang hypotenuse D_1E= \sqrt(B_1E^(2)+B_1D_1^(2))= \sqrt(12^(2)+(5\sqrt(2))^(2))= \sqrt(194). Susunod, ginagamit namin ang paraan ng lugar sa tatsulok na D_1B_1E upang kalkulahin ang taas ng B_1H na ibinaba sa hypotenuse D_1E :

S_(D_1B_1E)=\frac1(2)B_1E \cdot B_1D_1=\frac1(2)D_1E \cdot B_1H; 12 \cdot 5\sqrt(2)=\sqrt(194) \cdot B_1H;

B_1H=\frac(60\sqrt(2))(\sqrt(194))=\frac(60)(\sqrt(97))=\frac(60\sqrt(97))(97).

Sagot

\frac(60\sqrt(97))(97)

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2016. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 14
Paksa: Distansya mula sa isang punto hanggang sa isang eroplano

Kundisyon

Ang ABCDA_1B_1C_1D_1 ay isang hugis-parihaba na kahon. Mga gilid AB=24, BC=7, BB_(1)=4 .

a) Patunayan na ang mga distansya mula sa mga punto B at D sa eroplano ACD_(1) ay pareho.

b) Hanapin ang distansyang ito.

Ipakita ang Solusyon

Desisyon

a) Isaalang-alang ang isang tatsulok na pyramid D_1ACD .

Sa pyramid na ito, ang distansya mula sa punto D hanggang sa base plane ACD_1-DH ay katumbas ng taas ng pyramid na iginuhit mula sa punto D hanggang sa base ACD_1 .

V_(D_1ABC)=\frac1(3)S_(ACD_1) \cdot DH, mula sa pagkakapantay-pantay na ito ay nakukuha natin

DH=\frac(3V_(D_1ACD))(S_(ACD_1)).

Isaalang-alang ang pyramid D_1ABC . Ang distansya mula sa punto B hanggang sa eroplano ACD_1 ay katumbas ng taas na ibinaba mula sa itaas ng B hanggang sa ibaba ng ACD_1 . Tukuyin natin ang distansyang ito BK . Pagkatapos V_(D_1ABC)=\frac1(3)S_(ACD_1) \cdot BK, mula dito nakukuha natin BK=\frac(3V_(D_1ABC))(S_(ACD_1)).\: Ngunit V_(D_1ACD) = V_(D_1ABC) , dahil kung isasaalang-alang natin ang mga base sa pyramids ADC at ABC , kung gayon ang taas D_1D ay kabuuan at S_(ADC)=S_(ABC) ( \bigtriangleup ADC=\bigtriangleup ABC sa dalawang paa). Kaya BK=DH .

b) Hanapin ang volume ng pyramid D_1ACD .

Taas D_1D=4 .

S_(ACD)=\frac1(2)AD \cdot DC=\frac1(2) \cdot24 \cdot 7=84.

V=\frac1(3)S_(ACD) \cdot D_1D=\frac1(3) \cdot84 \cdot4=112.

Ang lugar ng mukha ng ACD_1 ay katumbas ng \frac1(2)AC \cdot D_1P.

AD_1= \sqrt(AD^(2)+DD_1^(2))= \sqrt(7^(2)+4^(2))= \sqrt(65), \:AC= \sqrt(AB^(2)+BC^(2))= \sqrt(24^(2)+7^(2))= 25

Alam na ang binti ng isang kanang tatsulok ay ang ibig sabihin na proporsyonal para sa hypotenuse at ang segment ng hypotenuse na nakapaloob sa pagitan ng binti at ang taas na iginuhit mula sa tuktok ng tamang anggulo, sa tatsulok na ADC mayroon tayo AD^(2)=AC \cdot AP, \: AP=\frac(AD^(2))(AC)=\frac(7^(2))(25)=\frac(49)(25).

Sa isang right triangle AD_1P ng Pythagorean theorem D_1P^(2)= AD_1^(2)-AP^(2)= 65-\kaliwa (\frac(49)(25) \kanan)^(2)= \frac(38\:224)(25^(2)), D_1P=\frac(4\sqrt(2\:389))(25).

S_(ACD_1)=\frac1(2) \cdot25 \cdot\frac(4\sqrt(2\:389))(25)=2\sqrt(2\:389).

DH=\frac(3V)(S_(ACD_1))=\frac(3 \cdot112)(2\sqrt(2\:389))=\frac(168)(\sqrt(2\:389)).

Anumang eroplano sa Cartesian coordinate system ay maaaring tukuyin ng equation na `Ax + By + Cz + D = 0`, kung saan hindi-zero ang kahit isa sa mga numerong `A`, `B`, `C`. Hayaang ibigay ang puntong `M (x_0;y_0;z_0)`, hanapin ang distansya mula dito hanggang sa eroplano `Ax + By + Cz + D = 0`.

Hayaang dumaan ang linya sa puntong `M` patayo sa `alpha` na eroplano, nag-intersect ito sa puntong `K` na may mga coordinate `(x; y; z)`. Vector `vec(MK)` patayo sa `alpha` plane, gaya ng vector `vecn` `(A;B;C)`, ibig sabihin, ang mga vector `vec(MK)` at `vecn` collinear, `vec(MK)=λvecn`.

Mula noong `(x-x_0;y-y_0;z-z-0)` at `vecn(A,B,C)`, pagkatapos ay `x-x_0=lambdaA`, `y-y_0=lambdaB`, `z-z_0=lambdaC`.

Tuldok na `K` nasa `alpha` plane (Larawan 6), ang mga coordinate nito ay nakakatugon sa equation ng eroplano. Ang pagpapalit ng `x=x_0+lambdaA`, `y=y_0+lambdaB`, `z=z_0+lambdaC` sa equation na `Ax+By+Cz+D=0`, nakukuha namin

`A(x_0+lambdaA)+(B(y_0+lambdaB)+C(z_0+lambdaC)+D=0`,

saan galing ang `lambda=-(Ax_0+By_0+Cz_0+D)/(A^2+B^2+C^2)`.

Hanapin ang haba ng vector `vec(MK)`, na katumbas ng distansya mula sa puntong `M(x_0;y_0;z_0)` sa eroplano `Ax + By + Cz + D` `|vec(MK)|=|lambdavecn|=|lambda|*sqrt(A^2+B^2+C^2)`.

Kaya, ang distansya `h` mula sa puntong `M(x_0;y_0;z_0)` sa eroplanong `Ax + By + Cz + D = 0` ay

`h=(|Ax_0+By_0+Cz_0+D|)/(sqrt(A^2+B^2+C^2))`.

Gamit ang geometric na paraan ng paghahanap ng distansya mula sa point `A` hanggang sa plane `alpha`, hanapin ang base ng perpendicular `A A^"`, na ibinaba mula sa point `A` hanggang sa `alpha` plane. Kung ang point Ang `A^"` ay nasa labas ng seksyon ng `alpha` plane na tinukoy sa problema, pagkatapos ay iguguhit ang isang linyang `c` sa pamamagitan ng point `A`, parallel sa plane `alpha`, at isang mas maginhawang punto `C ` ay pinili dito, ang orthogonal projection kung saan ay `C^"` nabibilang sa ibinigay na seksyon ng `alpha` na eroplano. Haba ng segment `C C^"`ay magiging katumbas ng nais na distansya mula sa puntong `A`hanggang sa eroplanong `alpha`.

Sa isang regular na hexagonal prism na `A...F_1`, lahat ng mga gilid ay katumbas ng `1`, hanapin ang distansya mula sa puntong `B` hanggang sa eroplano `AF F_1`.

Hayaang ang `O` ang sentro ng ibabang base ng prisma (Larawan 7). Ang linyang `BO` ay kahanay ng linyang `AF` at, samakatuwid, ang distansya mula sa punto `B` sa eroplano `AF F_1` ay katumbas ng distansya ng `OH` mula sa punto `O` hanggang sa eroplano `AF F_1`. Sa tatsulok na `AOF` mayroon kaming `AO=OF=AF=1`. Ang taas `OH` ng tatsulok na ito ay `(sqrt3)/2`. Samakatuwid, ang kinakailangang distansya ay katumbas ng `(sqrt3)/2`.

Ipakita natin ang ibang paraan (paraan ng auxiliary volume) paghahanap ng distansya mula sa isang punto hanggang sa isang eroplano. Ito ay kilala na ang dami ng pyramid `V` , ang base area nito na `S`at taas haba `h`naka-link sa pamamagitan ng formula `h=(3V)/S`. Ngunit ang haba ng taas ng pyramid ay walang iba kundi ang distansya mula sa tuktok nito hanggang sa base plane. Samakatuwid, upang makalkula ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano, sapat na upang mahanap ang dami at lugar ng base ng ilang pyramid na may isang vertex sa puntong ito at may isang base na nakahiga sa isang naibigay na eroplano.

Ang isang regular na prism na `A...D_1` ay ibinibigay, kung saan ang `AB=a`, `A A_1=2a`. Hanapin ang distansya mula sa punto ng intersection ng mga diagonal ng base `A_1B_1C_1D_1` hanggang sa eroplano `BDC_1`.

Isaalang-alang ang tetrahedron `O_1DBC_1` (Larawan 8). Ang gustong distansya `h` ay ang haba ng taas ng tetrahedron na ito, na ibinaba mula sa puntong `O_1` patungo sa face plane `BDC_1` . Upang mahanap ito, sapat na upang malaman ang volume na `V`tetrahedron `O_1DBC_1` at lugar tatsulok `DBC_1`. kalkulahin natin ang mga ito. Tandaan na ang linyang `O_1C_1` patayo sa eroplano `O_1DB`, dahil ito ay patayo sa `BD` at `B B_1` . Kaya, ang volume ng tetrahedron `O_1DBC_1` katumbas

Pagtukoy sa distansya sa pagitan ng: 1 - punto at eroplano; 2 - tuwid at patag; 3 - eroplano; 4 - ang mga linya ng pagtawid ay isinasaalang-alang nang magkasama, dahil ang algorithm ng solusyon para sa lahat ng mga problemang ito ay mahalagang pareho at binubuo ng mga geometric na konstruksyon na dapat gawin upang matukoy ang distansya sa pagitan ng ibinigay na punto A at ang eroplano α. Kung mayroong anumang pagkakaiba, kung gayon ito ay binubuo lamang sa katotohanan na sa mga kaso 2 at 3, bago simulan ang paglutas ng problema, dapat markahan ng isa ang isang di-makatwirang punto A sa linya m (kaso 2) o ang eroplano β (kaso 3) . mga distansya sa pagitan ng mga skew na linya, paunang inilalagay namin ang mga ito sa magkatulad na mga eroplanong α at β na may kasunod na pagtukoy ng distansya sa pagitan ng mga eroplanong ito.

Isaalang-alang natin ang bawat isa sa mga nabanggit na kaso ng paglutas ng problema.

1. Pagtukoy sa distansya sa pagitan ng isang punto at isang eroplano.

Ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano ay tinutukoy ng haba ng perpendicular segment na bumaba mula sa punto hanggang sa eroplano.

Samakatuwid, ang solusyon sa problemang ito ay binubuo ng sunud-sunod na pagpapatupad ng mga sumusunod na graphical na operasyon:

1) mula sa punto A ibinababa namin ang patayo sa eroplano α (Larawan 269);

2) hanapin ang punto M ng intersection nitong patayo sa eroplanong M = a ∩ α;

3) tukuyin ang haba ng segment.

Kung ang eroplano α ay nasa pangkalahatang posisyon, kung gayon upang mag-drop ng isang patayo sa eroplanong ito, kinakailangan munang matukoy ang direksyon ng mga projection ng pahalang at pangharap ng eroplanong ito. Ang paghahanap ng tagpuan ng patayo na ito sa eroplano ay nangangailangan din ng mga karagdagang geometric na konstruksyon.


Ang solusyon ng problema ay pinasimple kung ang eroplano α ay sumasakop sa isang partikular na posisyon na may kaugnayan sa mga projection na eroplano. Sa kasong ito, ang parehong projection ng perpendicular at ang paghahanap ng punto ng pagpupulong nito sa eroplano ay isinasagawa nang walang anumang karagdagang mga auxiliary constructions.

HALIMBAWA 1. Tukuyin ang distansya mula sa point A hanggang sa frontally projecting plane α (Fig. 270).

DESISYON. Sa pamamagitan ng A "gumuhit kami ng pahalang na projection ng perpendicular l" ⊥ h 0α, at sa pamamagitan ng A "- nito frontal projection l" ⊥ f 0α. Minarkahan namin ang puntong M" = l" ∩ f 0α . Mula noong AM || π 2 , pagkatapos ay [А" М"] == |AM| = d.

Mula sa halimbawang isinasaalang-alang, makikita kung gaano kasimple ang problema ay nalutas kapag ang eroplano ay sumasakop sa isang projecting na posisyon. Samakatuwid, kung ang isang generic na eroplano ay tinukoy sa paunang data, pagkatapos bago magpatuloy sa solusyon, ang eroplano ay dapat ilipat sa isang posisyon na patayo sa anumang projection plane.

HALIMBAWA 2. Tukuyin ang distansya mula sa punto K hanggang sa eroplano na ibinigay ng ΔАВС (Fig. 271).

1. Inilipat namin ang eroplano ΔАВС sa projecting position *. Upang gawin ito, pumasa kami mula sa system xπ 2 / π 1 hanggang x 1 π 3 / π 1: ang direksyon ng bagong axis x 1 ay pinili patayo sa pahalang na projection ng pahalang na eroplano ng tatsulok.

2. Ipini-project namin ang ΔАВС papunta sa isang bagong eroplano π 3 (ang ΔАВС plane ay inaasahang papunta sa π 3, sa [С" 1 В" 1 ]).

3. Ipinapalabas namin ang puntong K (K "→ K" 1) sa parehong eroplano.

4. Sa pamamagitan ng puntong K "1 gumuhit kami (K" 1 M "1) ⊥ ang segment [C" 1 B "1]. Ang nais na distansya d \u003d | K "1 M" 1 |.

Ang solusyon ng problema ay pinasimple kung ang eroplano ay binibigyan ng mga bakas, dahil hindi na kailangang magsagawa ng mga projection ng mga linya ng antas.

HALIMBAWA 3. Tukuyin ang distansya mula sa punto K hanggang sa eroplano α, na ibinigay ng mga bakas (Larawan 272).

* Ang pinaka-makatwirang paraan ng paglilipat ng eroplano ng tatsulok sa projecting na posisyon ay ang paraan ng pagpapalit ng mga projection plane, dahil sa kasong ito sapat na upang bumuo lamang ng isang auxiliary projection.

DESISYON. Pinapalitan namin ang eroplano π 1 ng eroplanong π 3, para dito gumuhit kami ng bagong axis x 1 ⊥ f 0α. Sa h 0α ay minarkahan namin ang isang arbitrary na punto 1 "at tinutukoy ang bagong pahalang na projection nito sa eroplano π 3 (1" 1). Sa pamamagitan ng mga puntos na X α 1 (X α 1 \u003d h 0α 1 ∩ x 1) at 1 "1 gumuhit kami ng h 0α 1. Tinutukoy namin ang isang bagong pahalang na projection ng punto K → K" 1. Mula sa puntong K "1 ibinababa namin ang patayo sa h 0α 1 at markahan ang punto ng intersection nito sa h 0α 1 - M" 1. Ang haba ng segment na K "1 M" 1 ay magsasaad ng kinakailangang distansya.

2. Pagtukoy ng distansya sa pagitan ng isang tuwid na linya at isang eroplano.

Ang distansya sa pagitan ng tuwid na linya at ng eroplano ay tinutukoy ng haba ng segment ng patayo na bumaba mula sa isang di-makatwirang punto ng tuwid na linya patungo sa eroplano (tingnan ang Fig. 248).

Samakatuwid, ang solusyon sa problema ng pagtukoy ng distansya sa pagitan ng linya m at ng eroplanong α ay hindi naiiba sa mga halimbawang isinasaalang-alang sa talata 1 para sa pagtukoy ng distansya sa pagitan ng isang punto at isang eroplano (tingnan ang Fig. 270 ... 272). Anumang punto na kabilang sa linyang m ay maaaring kunin bilang isang punto.

3. Pagpapasiya ng distansya sa pagitan ng mga eroplano.

Ang distansya sa pagitan ng mga eroplano ay tinutukoy ng halaga ng segment ng patayo na bumaba mula sa isang punto na kinuha sa isang eroplano patungo sa isa pang eroplano.

Ito ay sumusunod mula sa kahulugan na ito na ang algorithm para sa paglutas ng problema ng paghahanap ng distansya sa pagitan ng mga eroplano α at β ay naiiba mula sa katulad na algorithm para sa paglutas ng problema ng pagtukoy ng distansya sa pagitan ng linya m at ang eroplano α lamang sa na ang linya m ay dapat nabibilang sa eroplanong α, ibig sabihin, upang matukoy ang distansya sa pagitan ng mga eroplanong α at β ay sumusunod:

1) kumuha ng linya m sa eroplano α;

2) pumili ng isang arbitrary point A sa linya m;

3) mula sa punto A, ibaba ang patayo l sa eroplanong β;

4) matukoy ang punto M - ang tagpuan ng patayo l kasama ang eroplano β;

5) tukuyin ang halaga ng segment.

Sa pagsasagawa, ipinapayong gumamit ng ibang algorithm ng solusyon, na mag-iiba mula sa ibinigay lamang sa na, bago magpatuloy sa unang hakbang, ang mga eroplano ay dapat ilipat sa projecting na posisyon.

Ang pagsasama ng karagdagang operasyong ito sa algorithm ay pinapasimple ang pagpapatupad ng lahat ng iba pang mga punto nang walang pagbubukod, na sa huli ay humahantong sa isang mas simpleng solusyon.

HALIMBAWA 1. Tukuyin ang distansya sa pagitan ng mga eroplanong α at β (Larawan 273).

DESISYON. Dumaan kami mula sa system xπ 2 /π 1 hanggang x 1 π 1 /π 3 . Sa paggalang sa bagong eroplano π 3, ang mga eroplano α at β ay sumasakop sa isang projecting na posisyon, kaya ang distansya sa pagitan ng mga bagong frontal traces f 0α 1 at f 0β 1 ay ang kinakailangan.

Sa pagsasanay sa engineering, madalas na kinakailangan upang malutas ang problema ng paggawa ng isang eroplano na kahanay sa isang naibigay na isa at sa isang naibigay na distansya mula dito. Ang halimbawa 2 sa ibaba ay naglalarawan ng solusyon sa naturang problema.

HALIMBAWA 2. Kinakailangang gumawa ng mga projection ng plane β, parallel sa ibinigay na plane α (m || n), kung alam na ang distansya sa pagitan ng mga ito ay katumbas ng d (Fig. 274).

1. Sa eroplano α gumuhit kami ng isang arbitrary na pahalang na h (1, 3) at isang frontal f (1,2).

2. Mula sa punto 1 ibinabalik namin ang patayo l sa eroplano α(l" ⊥ h", l" ⊥ f").

3. Markahan ang isang arbitrary point A sa patayo l.

4. Tukuyin ang haba ng segment - (ang posisyon ay nagpapahiwatig ng metrically undistorted direksyon ng tuwid na linya l sa diagram).


5. Magtabi sa isang tuwid na linya (1 "A 0) mula sa punto 1" segment = d.

6. Nagmarka kami sa mga projection l "at l" na mga puntos B "at B", na tumutugma sa punto B 0.

7. Gumuhit ng eroplanong β hanggang sa punto B (h 1 ∩ f 1). Kaya na β || α, kinakailangang obserbahan ang kondisyon h 1 || h at f 1 || f.

4. Pagtukoy ng distansya sa pagitan ng mga skew na linya.

Ang distansya sa pagitan ng mga linya ng skew ay tinutukoy ng haba ng patayo na nakapaloob sa pagitan ng mga parallel na eroplano kung saan nabibilang ang mga skew na linya.

Upang gumuhit ng magkaparehong magkatulad na mga eroplano α at β sa pamamagitan ng mga intersecting na linya m at f, sapat na upang gumuhit ng linya p parallel sa linya f sa pamamagitan ng punto A (A ∈ m), at sa pamamagitan ng punto B (B ∈ f) - linya k parallel sa linya m . Ang mga intersecting na linya m at p, f at k ay tumutukoy sa magkatulad na mga eroplanong α at β (tingnan ang Fig. 248, e). Ang distansya sa pagitan ng mga eroplano α at β ay katumbas ng nais na distansya sa pagitan ng mga skew na linya m at f.

Ang isa pang paraan ay maaaring imungkahi para sa pagtukoy ng distansya sa pagitan ng mga linya ng skew, na binubuo sa katotohanan na sa tulong ng ilang paraan ng pagbabago ng mga orthogonal projection, ang isa sa mga linya ng skew ay inilipat sa posisyon ng projecting. Sa kasong ito, ang isang projection ng linya ay bumababa sa isang punto. Ang distansya sa pagitan ng mga bagong projection ng skew lines (point A" 2 at segment C" 2 D" 2) ay ang kinakailangan.

Sa fig. Ipinapakita ng 275 ang solusyon sa problema ng pagtukoy ng distansya sa pagitan ng mga intersecting na linya a at b, ibinigay na mga segment [AB] at [CD]. Ang solusyon ay isinasagawa sa sumusunod na pagkakasunud-sunod:

1. Ilipat ang isa sa mga intersecting na linya (a) sa isang posisyong parallel sa eroplano π 3; upang gawin ito, lumipat sila mula sa sistema ng projection planes xπ 2 / π 1 hanggang sa isang bagong x 1 π 1 / π 3, ang x 1 axis ay parallel sa pahalang na projection ng tuwid na linya a. Tukuyin ang a" 1 [A" 1 B" 1 ] at b" 1 .

2. Sa pamamagitan ng pagpapalit ng eroplanong π 1 ng eroplanong π 4, ang isang tuwid na linya ay isinasalin


at sa posisyong a "2, patayo sa eroplano π 4 (ang bagong axis x 2 ay iginuhit patayo sa a" 1).

3. Bumuo ng bagong pahalang na projection ng tuwid na linya b "2 - [ C" 2 D "2].

4. Ang distansya mula sa punto A "2 hanggang sa tuwid na linya C" 2 D "2 (segment (A" 2 M "2] (ay ang nais.

Dapat itong isipin na ang paglipat ng isa sa mga intersecting na linya sa projecting na posisyon ay walang iba kundi ang paglipat ng mga eroplano ng parallelism, kung saan ang mga linya a at b ay maaaring nakapaloob, gayundin sa projecting na posisyon.

Sa katunayan, sa pamamagitan ng paglilipat ng linya a sa isang posisyong patayo sa eroplano π 4 , tinitiyak namin na ang anumang eroplanong naglalaman ng linya a ay patayo sa eroplano π 4 , kabilang ang eroplanong α na tinukoy ng mga linya a at m (a ∩ m, m || b ). Kung gumuhit tayo ngayon ng isang linya n parallel sa a at intersecting line b, pagkatapos ay makuha natin ang plane β, na siyang pangalawang plane ng parallelism, na naglalaman ng intersecting lines a at b. Mula noong β || α, pagkatapos ay β ⊥ π 4 .

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

  • Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

  • Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
  • Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
  • Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
  • Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

  • Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudikatura, sa mga ligal na paglilitis, at / o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga katawan ng estado sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagbubunyag ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang layunin ng pampublikong interes.
  • Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.
















Bumalik pasulong

Pansin! Ang slide preview ay para sa mga layuning pang-impormasyon lamang at maaaring hindi kumakatawan sa buong lawak ng pagtatanghal. Kung interesado ka sa gawaing ito, mangyaring i-download ang buong bersyon.

Mga layunin:

  • generalization at systematization ng kaalaman at kasanayan ng mga mag-aaral;
  • pagbuo ng mga kasanayan sa pagsusuri, paghahambing, paggawa ng mga konklusyon.

Kagamitan:

  • multimedia projector;
  • isang kompyuter;
  • mga papel ng gawain

PROSESO NG PAG-AARAL

I. Pansamahang sandali

II. Ang yugto ng pag-update ng kaalaman(slide 2)

Inuulit namin kung paano tinutukoy ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano

III. Lektura(mga slide 3-15)

Sa aralin, titingnan natin ang iba't ibang paraan upang mahanap ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano.

Unang paraan: step-by-step computational

Distansya mula sa punto M hanggang sa eroplano α:
ay katumbas ng distansya sa eroplanong α mula sa isang di-makatwirang puntong P na nakahiga sa linyang a, na dumadaan sa puntong M at kahanay sa eroplanong α;
– ay katumbas ng distansya sa eroplanong α mula sa isang arbitraryong puntong P na nakahiga sa eroplanong β, na dumadaan sa puntong M at kahanay sa eroplanong α.

Lutasin namin ang mga sumusunod na gawain:

№1. Sa cube A ... D 1 hanapin ang distansya mula sa punto C 1 hanggang sa eroplano AB 1 C.

Ito ay nananatiling kalkulahin ang halaga ng haba ng segment O 1 N.

№2. Sa isang regular na hexagonal prism A ... F 1, lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1, hanapin ang distansya mula sa punto A hanggang sa eroplano DEA 1.

Susunod na paraan: paraan ng dami.

Kung ang volume ng pyramid ABCM ay V, kung gayon ang distansya mula sa puntong M hanggang sa eroplanong α na naglalaman ng ∆ABC ay kinakalkula ng formula ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Kapag nilulutas ang mga problema, ginagamit namin ang pagkakapantay-pantay ng mga volume ng isang figure, na ipinahayag sa dalawang magkaibang paraan.

Solusyonan natin ang sumusunod na problema:

№3. Ang gilid AD ng pyramid DABC ay patayo sa eroplano ng base ABC. Hanapin ang distansya mula A hanggang sa eroplano na dumadaan sa mga midpoint ng mga gilid AB, AC at AD, kung.

Kapag nilulutas ang mga problema paraan ng coordinate ang distansya mula sa puntong M hanggang sa eroplanong α ay maaaring kalkulahin ng formula ρ(M; α) = , kung saan ang M(x 0; y 0; z 0), at ang eroplano ay ibinibigay ng equation ax + by + cz + d = 0

Solusyonan natin ang sumusunod na problema:

№4. Sa unit cube A…D 1 hanapin ang distansya mula sa punto A 1 hanggang sa eroplano BDC 1 .

Ipakilala natin ang isang coordinate system na may pinanggalingan sa punto A, ang y axis ay dadaan sa gilid ng AB, ang x axis - kasama ang gilid AD, ang z axis - kasama ang gilid AA 1. Pagkatapos ay ang mga coordinate ng mga puntos B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Buuin natin ang equation ng eroplano na dumadaan sa mga puntos na B, D, C 1 .

Pagkatapos – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Samakatuwid, ρ =

Ang sumusunod na pamamaraan, na maaaring magamit sa paglutas ng mga problema ng ganitong uri - paraan ng mga sangguniang gawain.

Ang aplikasyon ng paraang ito ay binubuo sa aplikasyon ng mga kilalang problema sa sanggunian, na binabalangkas bilang theorems.

Solusyonan natin ang sumusunod na problema:

№5. Sa isang unit cube A ... D 1 hanapin ang distansya mula sa punto D 1 hanggang sa eroplano AB 1 C.

Isaalang-alang ang Application paraan ng vector.

№6. Sa isang unit cube A ... D 1 hanapin ang distansya mula sa punto A 1 hanggang sa eroplano BDC 1.

Kaya, isinasaalang-alang namin ang iba't ibang mga pamamaraan na maaaring magamit sa paglutas ng ganitong uri ng problema. Ang pagpili ng isa o ibang paraan ay depende sa partikular na gawain at iyong mga kagustuhan.

IV. Pangkatang gawain

Subukang lutasin ang problema sa iba't ibang paraan.

№1. Ang gilid ng kubo А…D 1 ay katumbas ng . Hanapin ang distansya mula sa vertex C hanggang sa eroplano BDC 1 .

№2. Sa isang regular na tetrahedron ABCD na may gilid, hanapin ang distansya mula sa punto A hanggang sa eroplanong BDC

№3. Sa isang regular na tatsulok na prism ABCA 1 B 1 C 1, ang lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1, hanapin ang distansya mula A hanggang sa eroplano BCA 1.

№4. Sa isang regular na quadrangular pyramid SABCD, lahat ng mga gilid nito ay katumbas ng 1, hanapin ang distansya mula A hanggang sa eroplanong SCD.

V. Buod ng aralin, takdang-aralin, pagninilay

MGA KAUGNAY NA ARTIKULO