Hinahati namin ang ikatlong hilera ng pangunahing elemento na katumbas ng 5, nakuha namin ang ikatlong hilera ng bagong talahanayan.

Ang mga base na column ay tumutugma sa mga solong column.

Pagkalkula ng natitirang mga halaga ng talahanayan:

"BP - Pangunahing Plano":

; ;

"x1": ; ;

"x5": ; .

Ang mga halaga ng hilera ng index ay hindi negatibo, samakatuwid makuha namin ang pinakamainam na solusyon: , ; .

Sagot: ang pinakamataas na kita mula sa pagbebenta ng mga produktong gawa, katumbas ng 160/3 na mga yunit, ay sinisiguro sa pamamagitan ng pagpapalabas ng mga produkto lamang ng pangalawang uri sa halagang 80/9 na mga yunit.

Gawain bilang 2

Ang problema ng nonlinear programming ay ibinigay. Hanapin ang maximum at minimum ng layunin ng function gamit ang isang graph-analytical na pamamaraan. Buuin ang Lagrange function at ipakita na ang sapat na minimum (maximum) na mga kondisyon ay nasiyahan sa mga extremum point.

kasi ang huling digit ng cipher ay 8, pagkatapos ay A=2; B=5.

kasi ang penultimate digit ng cipher ay 1, pagkatapos ay dapat mong piliin ang numero ng gawain 1.

Desisyon:

1) Iguhit natin ang lugar na tinutukoy ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay.

Ang lugar na ito ay isang tatsulok na ABC na may mga coordinate ng vertices: A(0; 2); B(4; 6) at C(16/3; 14/3).

Ang mga antas ng layunin ng function ay mga bilog na nakasentro sa punto (2; 5). Ang mga parisukat ng radii ay ang mga halaga ng layunin ng function. Pagkatapos ay ipinapakita ng figure na ang pinakamababang halaga ng layunin ng function ay naabot sa punto H, ang pinakamataas na halaga ay alinman sa punto A o sa punto C.

Ang halaga ng layunin ng function sa punto A: ;

Ang halaga ng layunin ng function sa punto C: ;

Nangangahulugan ito na ang pinakamataas na halaga ng function ay naabot sa puntong A(0; 2) at katumbas ng 13.

Hanapin natin ang mga coordinate ng punto H.

Upang gawin ito, isaalang-alang ang system:

ó

ó

Ang isang linya ay padaplis sa isang bilog kung ang equation ay may natatanging solusyon. Ang isang quadratic equation ay may natatanging solusyon kung ang discriminant ay 0.

Pagkatapos ; ; - ang pinakamababang halaga ng function.

2) Bumuo ng Lagrange function upang mahanap ang pinakamababang solusyon:

Sa x 1 =2.5; x 2 =4.5 makuha namin:

ó

Ang sistema ay may solusyon para sa , ibig sabihin. nasiyahan ang sapat na matinding kondisyon.

Binubuo namin ang Lagrange function para sa paghahanap ng maximum na solusyon:

Sapat na mga kondisyon para sa isang extremum:

Sa x 1 =0; x 2 =2 makuha namin:

ó ó

Ang sistema ay mayroon ding solusyon, i.e. nasiyahan ang sapat na matinding kondisyon.

Sagot: ang minimum ng layunin ng function ay naabot sa ; ; ang maximum na layunin function ay naabot kapag ; .

Gawain bilang 3

Dalawang negosyo ang inilalaan ng pondo sa halaga d mga yunit. Kapag inilaan sa unang enterprise para sa isang taon x mga yunit ng pondo na nagbibigay ng kita k 1 x mga yunit, at kapag inilaan sa pangalawang negosyo y mga yunit ng pondo, nagbibigay ito ng kita k 1 y mga yunit. Ang balanse ng mga pondo sa katapusan ng taon para sa unang negosyo ay katumbas ng nx, at para sa pangalawa ang aking. Paano ipamahagi ang lahat ng pondo sa loob ng 4 na taon upang ang kabuuang kita ay ang pinakamalaking? Lutasin ang problema sa pamamagitan ng dynamic na programming.

i=8, k=1.

A=2200; k 1 =6; k2=1; n=0.2; m=0.5.

Desisyon:

Ang buong panahon ng 4 na taon ay nahahati sa 4 na yugto, ang bawat isa ay katumbas ng isang taon. Bilangin natin ang mga yugto simula sa unang taon. Hayaang X k at Y k ang mga pondong inilaan ayon sa pagkakabanggit sa mga negosyo A at B sa k-th stage. Pagkatapos ang kabuuan X k + Y k =a k ay ang kabuuang halaga ng mga pondong ginamit sa k - na yugto at natitira mula sa nakaraang yugto k - 1. sa unang yugto lahat ng inilalaang pondo ay ginagamit at isang 1 =2200 na yunit. ang kita na matatanggap sa k - yugtong iyon, kapag ang X k at Y k units ay inilaan, ay magiging 6X k + 1Y k . hayaan ang pinakamataas na kita na natanggap sa mga huling yugto simula sa k - ang yugtong iyon ay f k (a k) na mga yunit. Isulat natin ang Bellman functional equation na nagpapahayag ng prinsipyo ng optimality: anuman ang paunang estado at ang paunang solusyon, ang kasunod na solusyon ay dapat na pinakamainam na may paggalang sa estado na nakuha bilang resulta ng paunang estado:

Para sa bawat yugto, kailangan mong piliin ang halaga X k , at ang halaga Y k=ak- Xk. Sa pag-iisip na ito, makakahanap tayo ng kita sa k-th stage:

Ang functional na Bellman equation ay magiging ganito:

Isaalang-alang ang lahat ng mga yugto, simula sa huli.

(dahil ang maximum ng linear function ay naabot sa dulo ng segment sa x 4 = a 4);

KONTROL ANG GAWAIN SA DISIPLINA:

"MGA PARAAN NG MGA OPTIMAL NA SOLUSYON"

Opsyon numero 8

1. Lutasin ang isang linear programming problem gamit ang isang graphical na paraan. Hanapin ang maximum at minimum ng function  sa ilalim ng ibinigay na mga hadlang:

,

.

Desisyon

Ito ay kinakailangan upang mahanap ang pinakamababang halaga ng layunin ng pag-andar at ang maximum, sa ilalim ng sistema ng mga paghihigpit:

9x1 +3x2 ≥30, (1)

X 1 + x 2 ≤4, (2)

x 1 + x 2 ≤8, (3)

Buuin natin ang domain ng mga tinatanggap na solusyon, i.e. lutasin nang grapiko ang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay. Upang gawin ito, binubuo namin ang bawat tuwid na linya at tukuyin ang kalahating eroplano na ibinigay ng mga hindi pagkakapantay-pantay (ang kalahating eroplano ay minarkahan ng isang prime).

Ang intersection ng kalahating eroplano ay ang lugar, ang mga coordinate ng mga punto kung saan nasiyahan ang kondisyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng sistema ng mga hadlang ng problema. Tukuyin natin ang mga hangganan ng rehiyon ng polygon ng solusyon.

Bumuo tayo ng isang tuwid na linya na tumutugma sa halaga ng function F = 0: F = 2x 1 +3x 2 = 0. Ang gradient vector na binubuo ng mga coefficient ng objective function ay nagpapahiwatig ng direksyon ng minimization ng F(X). Ang simula ng vector ay ang punto (0; 0), ang dulo ay ang punto (2; 3). Ilipat natin ang linyang ito sa parallel na paraan. Dahil interesado kami sa pinakamababang solusyon, samakatuwid, inililipat namin ang tuwid na linya hanggang sa unang pagpindot sa itinalagang lugar. Sa graph, ang linyang ito ay ipinapahiwatig ng isang tuldok na linya.

Diretso
nag-intersect sa rehiyon sa punto C. Dahil ang punto C ay nakuha bilang resulta ng intersection ng mga linya (4) at (1), kung gayon ang mga coordinate nito ay nakakatugon sa mga equation ng mga linyang ito:
.

Nang malutas ang sistema ng mga equation, nakukuha natin ang: x 1 = 3.3333, x 2 = 0.

Saan natin mahahanap ang pinakamababang halaga ng layunin ng function: .

Isaalang - alang ang layunin ng function ng problema .

Bumuo tayo ng isang tuwid na linya na tumutugma sa halaga ng function F = 0: F = 2x 1 +3x 2 = 0. Ang gradient vector na binubuo ng mga coefficient ng objective function ay nagpapahiwatig ng direksyon ng pag-maximize ng F(X). Ang simula ng vector ay ang punto (0; 0), ang dulo ay ang punto (2; 3). Ilipat natin ang linyang ito sa parallel na paraan. Dahil interesado kami sa maximum na solusyon, inililipat namin ang tuwid na linya hanggang sa huling pagpindot sa itinalagang lugar. Sa graph, ang linyang ito ay ipinapahiwatig ng isang tuldok na linya.

Diretso
nagsa-intersect sa rehiyon sa punto B. Dahil nakuha ang punto B bilang resulta ng intersection ng mga linya (2) at (3), kung gayon ang mga coordinate nito ay nakakatugon sa mga equation ng mga linyang ito:

.

Saan natin mahahanap ang pinakamataas na halaga ng layunin ng function: .

Sagot:
at
.

2 . Lutasin ang isang linear programming problem gamit ang simplex method:

.

Desisyon

Lutasin natin ang direktang problema ng linear programming sa pamamagitan ng simplex method, gamit ang simplex table.

Tukuyin natin ang pinakamababang halaga ng layunin ng function
sa ilalim ng mga sumusunod na kundisyon-paghihigpit:
.

Upang makabuo ng unang reference na plano, binabawasan namin ang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa isang sistema ng mga equation sa pamamagitan ng pagpapakilala ng mga karagdagang variable.

Sa unang hindi pagkakapantay-pantay ng kahulugan (≥), ipinakilala namin ang pangunahing variable x 3 may minus sign. Sa ika-2 hindi pagkakapantay-pantay ng kahulugan (≤), ipinakilala namin ang pangunahing variable x 4 . Sa ika-3 kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay (≤), ipinakilala namin ang pangunahing variable x 5 .

Ipakilala natin ang mga artipisyal na variable : sa unang pagkakapantay-pantay ay ipinakilala namin ang isang variable x 6 ;

Upang itakda ang gawain para sa pinakamababa, isinusulat namin ang layunin ng function bilang mga sumusunod: .

Para sa paggamit ng mga artipisyal na variable na ipinakilala sa layunin ng pag-andar, isang tinatawag na parusa ng M ang ipinapataw, isang napakalaking positibong numero, na karaniwang hindi tinukoy.

Ang resultang batayan ay tinatawag na artipisyal, at ang paraan ng solusyon ay tinatawag na paraan ng artipisyal na batayan.

Bukod dito, ang mga artipisyal na variable ay hindi nauugnay sa nilalaman ng gawain, ngunit pinapayagan ka nitong bumuo ng isang panimulang punto, at pinipilit ng proseso ng pag-optimize ang mga variable na ito na kumuha ng mga zero na halaga at tiyakin ang pagiging matanggap ng pinakamainam na solusyon.

Mula sa mga equation nagpapahayag kami ng mga artipisyal na variable: x 6 \u003d 4-x 1 -x 2 +x 3, na pinapalitan namin sa layunin ng function: o.

Coefficient Matrix
Ang sistemang ito ng mga equation ay may anyo:
.

Lutasin natin ang sistema ng mga equation na may paggalang sa mga pangunahing variable: x 6 , x 4 , x 5.

Ipagpalagay na ang mga libreng variable ay 0, nakukuha namin ang unang baseline:

X1 = (0,0,0,2,10,4)

Ang isang pangunahing solusyon ay tinatawag na tinatanggap kung ito ay hindi negatibo.

		x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6
x 6
x 4
x 5

Ang kasalukuyang baseline ay hindi optimal dahil may mga positibong coefficient sa index row. Pipiliin natin ang column na tumutugma sa variable x 2 bilang nangunguna, dahil ito ang pinakamalaking koepisyent. Kalkulahin ang mga halaga D i at piliin ang pinakamaliit sa kanila: min(4: 1 , 2: 2 , 10: 2) = 1.

Samakatuwid, ang 2nd line ay nangunguna.

Ang elemento ng paglutas ay katumbas ng (2) at matatagpuan sa intersection ng nangungunang column at ng nangungunang hilera.

		x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6
x 6
x 4
x 5

Binubuo namin ang susunod na bahagi ng simplex table. Sa halip na x 4 variable, ang x 2 variable ay papasok sa plan 1.

Ang linya na tumutugma sa variable na x 2 sa plan 1 ay nakuha sa pamamagitan ng paghahati sa lahat ng elemento ng linya x 4 ng plan 0 sa pamamagitan ng enabling element na RE=2. Sa lugar ng elemento ng paglutas, nakakakuha kami ng 1. Sa natitirang mga cell ng x 2 column, nagsusulat kami ng mga zero.

Kaya, sa bagong plano ay napunan ang 1 hilera x 2 at haligi x 2. Ang lahat ng iba pang elemento ng bagong plan 1, kabilang ang mga elemento ng index row, ay tinutukoy ng rectangle rule.

		x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6
x 6
x 2
x 5
		1 1 / 2 +1 1 / 2 M

Ang kasalukuyang baseline ay hindi optimal dahil may mga positibong coefficient sa index row. Pipiliin natin ang column na tumutugma sa variable x 1 bilang nangunguna, dahil ito ang pinakamalaking koepisyent. Kalkulahin ang mga halaga D i sa pamamagitan ng mga hilera bilang isang quotient ng dibisyon: at mula sa kanila pinipili namin ang pinakamaliit: min (3: 1 1 / 2, -, 8: 2) = 2.

Samakatuwid, ang unang linya ay nangunguna.

Ang elemento ng paglutas ay katumbas ng (1 1 / 2) at matatagpuan sa intersection ng nangungunang column at ng nangungunang hilera.

		x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6
x 6		1 1 / 2
x 2
x 5
		-1 1 / 2 +1 1 / 2 M

Binubuo namin ang susunod na bahagi ng simplex table. Sa halip na variable x 6 , isasama ang variable x 1 sa plan 2.

Kumuha kami ng bagong simplex table:

		x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6
x 1
x 2
x 5

Wala sa mga value ng index row ang positibo. Samakatuwid, tinutukoy ng talahanayang ito ang pinakamainam na plano ng gawain.

Ang huling bersyon ng simplex table:

		x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6
x 1
x 2
x 5

Dahil walang mga artipisyal na variable sa pinakamainam na solusyon (katumbas sila ng zero), ang solusyon na ito ay magagawa.

Ang pinakamainam na plano ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2:.

Sagot:
,
.

3. Ang kumpanya na "Three fat men" ay nakikibahagi sa paghahatid ng de-latang karne mula sa tatlong bodega na matatagpuan sa iba't ibang bahagi ng lungsod hanggang sa tatlong tindahan. Ang mga stock ng de-latang pagkain na magagamit sa mga bodega, pati na rin ang dami ng mga order mula sa mga tindahan at mga rate ng paghahatid (sa maginoo na mga yunit ng pananalapi) ay ipinakita sa talahanayan ng transportasyon.

Maghanap ng plano sa transportasyon na nagbibigay ng pinakamababang halaga ng pera (gawin ang orihinal na plano sa transportasyon gamit ang paraan ng "northwest corner").

Desisyon

Suriin natin ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa pagkalutas ng problema:

= 300 + 300 + 200 = 800 .

= 250 + 400 + 150 = 800.

Ang kondisyon ng balanse ay natutugunan. Mga stock pantay na pangangailangan. Samakatuwid, ang modelo ng problema sa transportasyon ay sarado.

Ilagay natin ang paunang data sa talahanayan ng pamamahagi.

Pangangailangan

Gamit ang paraan ng hilagang-kanlurang sulok, gagawin namin ang unang pangunahing plano ng gawain sa transportasyon.

Nagsisimulang punan ang plano mula sa kaliwang sulok sa itaas.

Ang gustong elemento ay 4. Para sa elementong ito, ang mga stock ay 300, ang mga pangangailangan ay 250. Dahil ang minimum ay 250, ibinabawas natin ito: .

			300 - 250 = 50
250 - 250 = 0

Ang gustong elemento ay 2. Para sa elementong ito, ang mga stock ay 50, ang mga pangangailangan ay 400. Dahil ang minimum ay 50, ibawas natin ito: .

			50 - 50 = 0
	400 - 50 = 350

Ang gustong elemento ay 5. Para sa elementong ito, ang mga stock ay 300, ang mga pangangailangan ay 350. Dahil ang minimum ay 300, ibinabawas namin ito:

			300 - 300 = 0
	350 - 300 = 50

Ang gustong elemento ay 3. Para sa elementong ito, ang mga stock ay 200, ang mga pangangailangan ay 50. Dahil ang minimum ay 50, ibawas namin ito:

			200 - 50 = 150
	50 - 50 = 0

Ang gustong elemento ay 6. Para sa elementong ito, ang mga stock ay 150, ang mga pangangailangan ay 150. Dahil ang minimum ay 150, ibawas namin ito:

			150 - 150 = 0
		150 - 150 = 0

Pangangailangan

Hanapin sa pamamagitan ng isang graphical na pamamaraan ang maximum ng layunin na function

F= 2x 1 + 3x 2 ® max

Na may mga paghihigpit

Desisyon gamit ang mga spreadsheet ng Excel

Una, bumuo tayo ng solusyon sa sistema ng hindi pagkakapantay-pantay sa isang Excel sheet.

Isaalang-alang ang unang hindi pagkakapantay-pantay.

Bumuo tayo ng boundary line mula sa dalawang puntos. Tukuyin ang linya sa pamamagitan ng (L1) (o Row1). Mga coordinate X 2 binibilang namin ayon sa mga formula:

Para bumuo, pumili ng scatter plot

Pagpili ng data para sa isang tuwid na linya

Baguhin ang pangalan ng linya:

Pumili ng layout ng tsart. Baguhin ang pangalan ng mga coordinate axes:

Tuwid na linya (L1) sa tsart:

Ang solusyon sa mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ay matatagpuan gamit ang isang punto ng pagsubok na hindi kabilang sa linya (L1). Halimbawa, gamit ang punto (0; 0)W(L1).

0+3×0< 18 или 0 < 18 .

Ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo, samakatuwid, ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (1) ay ang kalahating eroplano kung saan matatagpuan ang punto ng pagsubok (sa figure sa ibaba ng linya L1).

Pagkatapos ay malulutas namin ang hindi pagkakapantay-pantay (2) .

Buuin natin ang boundary line 2 mula sa dalawang puntos. Tukuyin ang linya sa pamamagitan ng (L2).

Tuwid na linya (L2) sa tsart:

Ang solusyon ng mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay 2 ay matatagpuan gamit ang tanging punto ng pagsubok na hindi kabilang sa linya (L2). Halimbawa, gamit ang punto (0; 0)W(L2).

Ang pagpapalit ng mga coordinate ng punto (0; 0), nakuha namin ang hindi pagkakapantay-pantay

2×0 + 0< 16 или 0 < 16 .

Ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo, samakatuwid, ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (2) ay ang kalahating eroplano kung saan matatagpuan ang punto ng pagsubok (sa figure sa ibaba, ang linya L2).

Pagkatapos ay malulutas namin ang hindi pagkakapantay-pantay (3) .

Bumuo tayo ng boundary line mula sa dalawang puntos. Tukuyin ang linya sa pamamagitan ng (L3).

Tuwid na linya (L3) sa tsart:

Ang solusyon ng mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay 2 ay matatagpuan gamit ang tanging punto ng pagsubok na hindi kabilang sa linya (L3). Halimbawa, gamit ang punto (0; 0)W(L3).

Ang pagpapalit ng mga coordinate ng punto (0; 0), nakuha namin ang hindi pagkakapantay-pantay

Ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo, samakatuwid, ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (3) ay ang kalahating eroplano kung saan matatagpuan ang punto ng pagsubok (sa figure sa ibaba, linya L3).

Pagkatapos ay malulutas namin ang hindi pagkakapantay-pantay (4) .

Bumuo tayo ng boundary line mula sa dalawang puntos. Tukuyin ang linya sa pamamagitan ng (L4).

Magdagdag ng data sa excel sheet

Tuwid na linya (L4) sa tsart:

Solusyon ng Mahigpit na Hindi Pagkakapantay-pantay 3 X 1 < 21 можно найти с помощью единственной пробной точки, не принадлежащей прямой (L4). Например, с помощью точки (0; 0)Ï(L4).

Ang pagpapalit ng mga coordinate ng punto (0; 0), nakuha namin ang hindi pagkakapantay-pantay

Ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo, samakatuwid, ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (4) ay ang kalahating eroplano kung saan matatagpuan ang punto ng pagsubok (sa kaliwa ng linya L4 sa figure).

Sa pamamagitan ng paglutas ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay (5) at (6)

ay ang 1st quarter na nililimitahan ng mga linya ng coordinate at .

Ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay nalutas. Ang solusyon sa sistema ng hindi pagkakapantay-pantay (1) - (6) sa halimbawang ito ay isang matambok na polygon sa ibabang kaliwang sulok ng pigura, na nililimitahan ng mga linyang L1, L2, L3, L4 at mga linya ng coordinate at . Maaari mong tiyakin na ang polygon ay napili nang tama sa pamamagitan ng pagpapalit ng isang punto ng pagsubok, halimbawa (1; 1) sa bawat hindi pagkakapantay-pantay ng orihinal na sistema. Ang pagpapalit sa punto (1; 1), nakuha namin na ang lahat ng hindi pagkakapantay-pantay, kabilang ang mga natural na hadlang, ay totoo.

Isaalang-alang ngayon ang layunin ng pag-andar

F= 2x 1 + 3x 2 .

Bumuo tayo ng mga linya ng antas para sa mga halaga ng function F=0 at F=12(ang mga numerong halaga ay pinipili nang arbitraryo). Magdagdag ng data sa excel sheet

Mga linya ng antas sa tsart:

Bumuo tayo ng isang vector ng mga direksyon (o isang gradient) (2; 3). Ang mga coordinate ng vector ay nag-tutugma sa mga coefficient ng layunin ng function F.

layunin function- real o integer function ng ilang variable, napapailalim sa optimization (minimization o maximization) upang malutas ang ilang problema sa optimization. Ang termino ay ginagamit sa mathematical programming, operations research, linear programming, statistical decision theory at iba pang larangan ng matematika, pangunahin sa isang inilapat na kalikasan, bagama't ang layunin ng optimization ay maaari ding maging solusyon sa isang problema sa matematika mismo. Bilang karagdagan sa layunin ng pag-andar sa problema sa pag-optimize, ang mga variable ay maaaring sumailalim sa mga paghihigpit sa anyo ng isang sistema ng pagkakapantay-pantay o hindi pagkakapantay-pantay. Sa pangkalahatang kaso, ang mga argumento ng layunin ng function ay maaaring tukuyin sa mga arbitrary na hanay.

Mga halimbawa

Makinis na mga function at sistema ng mga equation

Ang problema ng paglutas ng anumang sistema ng mga equation

( F 1 (x 1 , x 2 , … , x M) = 0 F 2 (x 1 , x 2 , … , x M) = 0 … F N (x 1 , x 2 , … , x M) = 0 ( \displaystyle \left\((\begin(matrix)F_(1)(x_(1),x_(2),\ldots ,x_(M))=0\\F_(2)(x_(1),x_ (2),\ldots ,x_(M))=0\\\ldots \\F_(N)(x_(1),x_(2),\ldots ,x_(M))=0\end(matrix) )\tama.)

ay maaaring formulated bilang isang problema ng pagliit ng layunin function

S = ∑ j = 1 N F j 2 (x 1 , x 2 , … , x M) (1) (\displaystyle S=\sum _(j=1)^(N)F_(j)^(2)( x_(1),x_(2),\ldots ,x_(M))\qquad(1))

Kung ang mga pag-andar ay makinis, kung gayon ang problema sa pag-minimize ay maaaring malutas sa pamamagitan ng mga pamamaraan ng gradient.

Para sa anumang makinis na layunin ng function, maaaring itumbas ng isa sa 0 (\displaystyle 0) ang mga partial derivatives na may kinalaman sa lahat ng variable. Ang pinakamainam na function na layunin ay magiging isa sa mga solusyon sa naturang sistema ng mga equation. Sa kaso ng function (1) (\displaystyle (1)) ito ay magiging isang sistema ng least squares (LSM) equation. Ang anumang solusyon ng orihinal na sistema ay isang solusyon ng pinakamababang sistema ng mga parisukat. Kung hindi pare-pareho ang orihinal na sistema, ginagawang posible ng LSM system, na laging may solusyon, na makakuha ng tinatayang solusyon ng orihinal na sistema. Ang bilang ng mga equation ng LSM system ay tumutugma sa bilang ng mga hindi alam, na kung minsan ay nagpapadali sa solusyon ng magkasanib na mga paunang sistema.

Linear programming

Ang isa pang kilalang halimbawa ng isang layunin na function ay isang linear function na nangyayari sa mga problema sa linear programming. Sa kaibahan sa quadratic objective function, ang pag-optimize ng isang linear function ay posible lamang kung may mga paghihigpit sa anyo ng isang sistema ng linear equalities o inequalities.

Kombinatoryal na pag-optimize

Ang isang tipikal na halimbawa ng isang combinatorial objective function ay ang layunin ng function ng naglalakbay na problema sa salesman. Ang function na ito ay katumbas ng haba ng Hamiltonian cycle sa graph. Ito ay ibinibigay sa permutation set n − 1 (\displaystyle n-1) ng graph vertices at tinutukoy ng edge length matrix ng graph. Ang eksaktong solusyon sa naturang mga problema ay madalas na bumababa sa pag-iisa ng mga opsyon.

Kabanata 1. Pahayag ng pangunahing problema ng linear programming

1. Linear programming

Ang linear programming ay isang sangay ng mathematical programming na nag-aaral ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga matinding problema na nailalarawan sa pamamagitan ng isang linear na relasyon sa pagitan ng mga variable at isang linear na pamantayan. Ang ganitong mga gawain ay nakakahanap ng malawak na aplikasyon sa iba't ibang larangan ng aktibidad ng tao. Ang isang sistematikong pag-aaral ng mga problema ng ganitong uri ay nagsimula noong 1939–1940. sa mga gawa ni L.V. Kantorovich.

Ang mga problema sa matematika ng linear programming ay kinabibilangan ng pag-aaral ng mga tiyak na sitwasyon sa produksyon at pang-ekonomiya, na sa isang anyo o iba pa ay binibigyang kahulugan bilang mga problema ng pinakamainam na paggamit ng limitadong mga mapagkukunan.

Ang hanay ng mga problemang nalutas gamit ang mga linear programming method ay medyo malawak. Ito ay, halimbawa:

ang problema ng pinakamainam na paggamit ng mga mapagkukunan sa pagpaplano ng produksyon;

ang problema ng mga mixtures (pagpaplano ng komposisyon ng mga produkto);

ang problema ng paghahanap ng pinakamainam na kumbinasyon ng iba't ibang uri ng mga produkto para sa imbakan sa mga bodega (pamamahala ng imbentaryo o);

mga gawain sa transportasyon (pagsusuri ng lokasyon ng negosyo, paggalaw ng mga kalakal).

Ang linear programming ay ang pinaka-binuo at malawakang ginagamit na seksyon ng mathematical programming (bilang karagdagan, kabilang dito ang: integer, dynamic, non-linear, parametric programming). Ito ay ipinaliwanag tulad ng sumusunod:

Ang mga modelo ng matematika ng isang malaking bilang ng mga problema sa ekonomiya ay linear na may paggalang sa mga kinakailangang variable;

ang ganitong uri ng mga problema ay kasalukuyang pinaka-pinag-aaralan. Para sa kanya, ang mga espesyal na pamamaraan ay binuo sa tulong kung saan nalutas ang mga problemang ito, at ang kaukulang mga programa sa computer;

maraming mga problema ng linear programming, na nalutas, ay natagpuan ang malawak na aplikasyon;

ilang mga problema na hindi linear sa orihinal na pormulasyon, pagkatapos ng ilang karagdagang mga paghihigpit at pagpapalagay, ay maaaring maging linear o maaaring bawasan sa ganoong anyo na maaari silang malutas sa pamamagitan ng mga linear programming method.

Ang modelong pang-ekonomiya at matematika ng anumang problema sa linear programming ay kinabibilangan ng: isang layunin na function, ang pinakamainam na halaga kung saan (maximum o minimum) ay dapat matagpuan; mga paghihigpit sa anyo ng isang sistema ng mga linear na equation o hindi pagkakapantay-pantay; kinakailangan ng di-negatibiti ng mga variable.

Sa pangkalahatan, ang modelo ay nakasulat tulad ng sumusunod:

layunin function

(1.1) sa ilalim ng mga paghihigpit

(1.2) hindi-negatibong mga kinakailangan

(1.3) kung saan x j– mga variable (hindi alam);

- mga coefficient ng problema sa linear programming.

Ang problema ay upang mahanap ang pinakamainam na halaga ng function (1.1) na napapailalim sa mga hadlang (1.2) at (1.3).

Ang sistema ng mga hadlang (1.2) ay tinatawag na functional constraints ng problema, at ang constraints (1.3) ay tinatawag na direct constraints.

Ang isang vector na nakakatugon sa mga hadlang (1.2) at (1.3) ay tinatawag na isang magagawang solusyon (plano) ng isang linear na problema sa programming. Ang plano kung saan naabot ng function (1.1) ang maximum (minimum) na halaga nito ay tinatawag na optimal.

1.2. Simplex na paraan para sa paglutas ng mga problema sa linear programming

Ang simplex na paraan ay binuo at unang inilapat upang malutas ang mga problema noong 1947 ng American mathematician na si J. Danzig.

Ang mga problema sa two-dimensional na linear programming ay graphical na nalutas. Para sa kaso N=3, maaari nating isaalang-alang ang isang three-dimensional na espasyo at ang layunin ng function ay maaabot ang pinakamainam na halaga nito sa isa sa mga vertices ng polyhedron.

Ang isang tinatanggap na solusyon (isang tinatanggap na plano) ng isang problema sa LP na ibinigay sa karaniwang anyo ay isang nakaayos na hanay ng mga numero (x1, x2, ..., xn) na nakakatugon sa mga hadlang; ay isang punto sa n-dimensional na espasyo.

Ang hanay ng mga tinatanggap na solusyon ay bumubuo sa lugar ng mga tinatanggap na solusyon (SDR) ng problema sa LP. Ang ODR ay isang convex polyhedron (polygon).

Sa pangkalahatang mga termino, kapag ang N-unknowns ay kasangkot sa problema, maaari nating sabihin na ang lugar ng mga posibleng solusyon na tinukoy ng sistema ng paglilimita ng mga kondisyon ay kinakatawan ng isang convex polyhedron sa n-dimensional na espasyo at ang pinakamainam na halaga ng layunin. ang function ay nakakamit sa isa o higit pang mga vertex.

Ang isang solusyon ay tinatawag na basic kung ang lahat ng mga libreng variable ay katumbas ng zero.

Ang isang reference na solusyon ay isang pangunahing di-negatibong solusyon. Ang solusyon sa suporta ay maaaring hindi mabulok at mabulok. Ang isang solusyon sa suporta ay tinatawag na non-degenerate kung ang bilang ng mga non-zero na coordinate nito ay katumbas ng ranggo ng system, kung hindi man ito ay degenerate.

Ang isang magagawa na solusyon, kung saan ang layunin ng pag-andar ay umabot sa sukdulang halaga nito, ay tinatawag na pinakamainam at tinutukoy .

Napakahirap lutasin ang mga problemang ito nang grapiko kapag ang bilang ng mga variable ay higit sa 3. Mayroong isang unibersal na paraan upang malutas ang mga problema sa linear programming, na tinatawag na simplex method.

Ang simplex na paraan ay isang unibersal na pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa LP, na isang umuulit na proseso na nagsisimula sa isang solusyon at, sa paghahanap ng pinakamahusay na opsyon, gumagalaw sa mga sulok na punto ng lugar ng mga magagawang solusyon hanggang sa maabot nito ang pinakamainam na halaga. .

Maaari itong magamit upang malutas ang anumang problema sa linear programming.

Ang simplex na paraan ay batay sa ideya ng sunud-sunod na pagpapabuti ng resultang solusyon.

Ang geometric na kahulugan ng simplex na pamamaraan ay ang sunud-sunod na paglipat mula sa isang vertex ng constraint polyhedron patungo sa kalapit na isa, kung saan ang layunin ng function ay tumatagal ng pinakamahusay (o hindi bababa sa hindi ang pinakamasama) na halaga hanggang sa ang pinakamainam na solusyon ay natagpuan - ang vertex kung saan ang pinakamainam na halaga ay naabot ang layunin ng pag-andar (kung ang problema ay may hangganan na pinakamabuting kalagayan).

Kaya, ang pagkakaroon ng isang sistema ng mga hadlang na nabawasan sa canonical form (lahat ng functional na mga hadlang ay nasa anyo ng mga pagkakapantay-pantay), ang isa ay nakakahanap ng anumang pangunahing solusyon ng sistemang ito, na nag-iingat lamang upang mahanap ito nang simple hangga't maaari. Kung ang unang nahanap na pangunahing solusyon ay naging magagawa, pagkatapos ito ay nasuri para sa pinakamainam. Kung ito ay hindi pinakamainam, pagkatapos ay ang isang paglipat ay ginawa sa isa pa, kinakailangang tanggapin, pangunahing solusyon. Ginagarantiyahan ng simplex na paraan na, gamit ang bagong solusyon na ito, ang layunin na pag-andar, kung hindi nito maabot ang pinakamabuting kalagayan, pagkatapos ay lumalapit dito (o hindi bababa sa hindi lumalayo dito). Sa isang bagong tinatanggap na pangunahing solusyon, ang parehong ay ginagawa hanggang sa isang solusyon ay natagpuan na pinakamainam.

Ang proseso ng paglalapat ng simplex na pamamaraan ay nagsasangkot ng pagpapatupad ng tatlong pangunahing elemento nito:

isang paraan para sa pagtukoy ng ilang paunang magagawa na pangunahing solusyon sa problema;

ang panuntunan ng paglipat sa pinakamahusay (mas tiyak, hindi ang pinakamasama) solusyon;

criterion para masuri ang pinakamainam ng nahanap na solusyon.

Kasama sa simplex na paraan ang ilang hakbang at maaaring bumalangkas bilang isang malinaw na algorithm (isang malinaw na pagtuturo upang magsagawa ng mga sunud-sunod na operasyon). Ito ay nagpapahintulot sa iyo na matagumpay na mag-program at ipatupad ito sa isang computer. Ang mga problema sa isang maliit na bilang ng mga variable at mga hadlang ay maaaring malutas sa pamamagitan ng simplex na pamamaraan nang manu-mano.

6.1 Panimula

Pag-optimize. Bahagi 1

Binibigyang-daan ka ng mga paraan ng pag-optimize na piliin ang pinakamahusay na opsyon sa disenyo mula sa lahat ng posibleng opsyon. Sa mga nagdaang taon, maraming pansin ang binayaran sa mga pamamaraang ito, at bilang isang resulta, ang isang bilang ng mga napakahusay na algorithm ay binuo na ginagawang posible upang mahanap ang pinakamainam na pagpipilian sa disenyo gamit ang isang digital na computer. Binabalangkas ng kabanatang ito ang mga batayan ng teorya ng pag-optimize, isinasaalang-alang ang mga prinsipyong pinagbabatayan ng pagbuo ng mga algorithm para sa pinakamainam na solusyon, inilalarawan ang pinakakilalang mga algorithm, at sinusuri ang kanilang mga pakinabang at disadvantages.

6.2 Mga Batayan ng teorya ng pag-optimize

Ang terminong "optimization" sa panitikan ay tumutukoy sa isang proseso o pagkakasunud-sunod ng mga operasyon na nagbibigay-daan sa iyong makakuha ng isang pinong solusyon. Bagama't ang pinakalayunin ng pag-optimize ay upang mahanap ang pinakamahusay, o "pinakamainam" na solusyon, ang isa ay karaniwang dapat maging kontento sa pagpapabuti ng mga kilalang solusyon sa halip na gawing perpekto ang mga ito. Samakatuwid, ang pag-optimize ay mas malamang na mauunawaan bilang ang pagtugis ng pagiging perpekto, na, marahil, ay hindi makakamit.

Isinasaalang-alang ang ilang di-makatwirang sistema na inilarawan ng m equation na may n hindi alam, maaari nating makilala ang tatlong pangunahing uri ng mga problema. Kung m=n , ang problema ay tinatawag na algebraic. Ang ganitong problema ay karaniwang may isang solusyon. Kung m>n, ang problema ay muling tukuyin at, bilang panuntunan, ay walang solusyon. Sa wakas, para sa m

Bago magpatuloy sa talakayan ng mga isyu sa pag-optimize, ipinakilala namin ang ilang mga kahulugan.

Mga parameter ng disenyo

Ang terminong ito ay nagsasaad ng mga independiyenteng variable na parameter na ganap at malinaw na tumutukoy sa problema sa disenyo na nireresolba. Ang mga parameter ng disenyo ay hindi kilalang dami, ang mga halaga nito ay kinakalkula sa panahon ng proseso ng pag-optimize. Anumang basic o derivative na dami na nagsisilbing quantitatively na naglalarawan sa system ay maaaring magsilbi bilang mga parameter ng disenyo. Kaya, maaari itong hindi kilalang mga halaga ng haba, masa, oras, temperatura. Ang bilang ng mga parameter ng disenyo ay nagpapakilala sa antas ng pagiging kumplikado ng problemang ito sa disenyo. Karaniwan ang bilang ng mga parameter ng disenyo ay tinutukoy ng n, at ang mga parameter ng disenyo mismo ng x na may kaukulang mga indeks. Kaya, ang n mga parameter ng disenyo ng problemang ito ay ilalarawan ng

X1, x2, x3,...,xn.

layunin function

Ito ang expression na ang halaga ay hinahangad ng engineer na i-maximize o i-minimize. Ang layunin ng function ay nagbibigay-daan sa iyo upang quantitatively ihambing ang dalawang alternatibong solusyon. Mula sa isang mathematical point of view, ang layunin ng function ay naglalarawan ng ilang (n + 1) - dimensional na ibabaw. Ang halaga nito ay tinutukoy ng mga parameter ng disenyo

M=M(x 1 , x 2 ,...,x n).

Ang mga halimbawa ng layunin na pag-andar, na madalas na nakatagpo sa pagsasanay sa engineering, ay ang gastos, timbang, lakas, sukat, kahusayan. Kung mayroon lamang isang parameter ng disenyo, kung gayon ang layunin ng function ay maaaring katawanin ng isang curve sa isang eroplano (Larawan 6.1). Kung mayroong dalawang mga parameter ng disenyo, ang target na function ay kakatawanin ng isang ibabaw sa espasyo ng tatlong dimensyon (Larawan 6.2). Sa tatlo o higit pang mga parameter ng disenyo, ang mga ibabaw na tinukoy ng layunin ng function ay tinatawag na hypersurfaces at hindi maaaring ilarawan.

zheniya conventional na paraan. Ang mga topological na katangian ng ibabaw ng layunin ng function ay may mahalagang papel sa proseso ng pag-optimize, dahil ang pagpili ng pinaka mahusay na algorithm ay nakasalalay sa kanila.

Ang layunin na pag-andar sa ilang mga kaso ay maaaring magkaroon ng mga hindi inaasahang anyo. Halimbawa, hindi laging posible na ipahayag ito sa

Fig. 1. One-dimensional na layunin na function.

Fig.6.2.Two-dimensional layunin function.

saradong mathematical form, sa ibang mga kaso maaari itong

maging isang piecewise smooth function. Ang isang layunin na function ay maaaring minsan ay nangangailangan ng isang teknikal na talahanayan ng data (halimbawa, isang talahanayan ng estado ng singaw) o maaaring kinakailangan upang magsagawa ng isang eksperimento. Sa ilang mga kaso, ang mga parameter ng disenyo ay kumukuha lamang ng mga halaga ng integer. Ang isang halimbawa ay ang bilang ng mga ngipin sa isang gear o ang bilang ng mga bolts sa isang flange. Minsan ang mga parameter ng disenyo ay may dalawang halaga lamang - oo o hindi. Ang mga husay na parameter, tulad ng kasiyahan ng customer, pagiging maaasahan, aesthetics, ay mahirap isaalang-alang sa proseso ng pag-optimize, dahil halos imposible silang mabilang. Gayunpaman, sa anumang anyo ang layunin ng pag-andar ay ipinakita, ito ay dapat na isang solong halaga ng pag-andar ng mga parameter ng disenyo.

Sa isang bilang ng mga problema sa pag-optimize, ang pagpapakilala ng higit sa isang layunin na function ay kinakailangan. Minsan ang isa sa kanila ay maaaring hindi tugma sa isa pa. Ang isang halimbawa ay ang disenyo ng sasakyang panghimpapawid, kapag kinakailangan na magbigay ng pinakamataas na lakas, pinakamababang timbang at pinakamababang gastos sa parehong oras. Sa ganitong mga kaso, ang taga-disenyo ay dapat magpakilala ng isang sistema ng mga priyoridad at magtalaga ng ilang dimensyon na multiplier sa bawat layunin ng function. Bilang resulta, lumilitaw ang isang "compromise function", na nagpapahintulot sa isang composite objective function na magamit sa proseso ng pag-optimize.

Paghahanap ng minimum at maximum

Ang ilang mga algorithm sa pag-optimize ay iniangkop para sa paghahanap ng maximum, ang iba ay para sa paghahanap ng pinakamababa. Gayunpaman, anuman ang uri ng matinding problema na nalutas, ang isa ay maaaring gumamit ng parehong algorithm, dahil ang problema sa pag-minimize ay madaling maging isang maximum na problema sa pamamagitan ng pagbabago ng tanda ng layunin ng function sa kabaligtaran. Ang pamamaraan na ito ay inilalarawan sa Figure 6.3.

Disenyo ng espasyo

Ito ang pangalan ng lugar na tinukoy ng lahat ng n mga parameter ng disenyo. Ang espasyo sa disenyo ay hindi kasing laki ng maaaring tila, dahil karaniwan itong limitado sa isang bilang ng

mga kondisyon na nauugnay sa pisikal na kakanyahan ng problema. Ang mga hadlang ay maaaring maging napakalakas na ang gawain ay hindi magkakaroon ng anuman

Fig.6.3 Pagbabago ng tanda ng layunin ng function sa kabaligtaran

Ang pinakamataas na gawain ay nagiging pinakamababang gawain.

kasiya-siyang solusyon. Ang mga hadlang ay nahahati sa dalawang pangkat: mga hadlang - pagkakapantay-pantay at mga hadlang - mga hindi pagkakapantay-pantay.

Mga hadlang - pagkakapantay-pantay

Ang mga hadlang - pagkakapantay-pantay - ay ang pagtitiwala sa pagitan ng mga parameter ng disenyo na dapat isaalang-alang kapag naghahanap ng solusyon. Sinasalamin ng mga ito ang mga batas ng kalikasan, ekonomiya, mga karapatan, umiiral na panlasa at ang pagkakaroon ng mga kinakailangang materyales. Ang bilang ng mga paghihigpit - ang mga pagkakapantay-pantay ay maaaring anuman. Magkamukha sila

C 1 (x 1 , x 2 ,...,x n)=0,

C 2 (x 1 , x 2 ,...,x n)=0,

..................

C j (x 1 , x 2 ,...,x n)=0.

Kung ang alinman sa mga ugnayang ito ay maaaring malutas nang may paggalang sa isa sa mga parameter ng disenyo, kung gayon ito ay nagpapahintulot sa iyo na ibukod ang parameter na ito mula sa proseso ng pag-optimize. Binabawasan nito ang bilang ng mga sukat ng espasyo sa disenyo at pinapasimple ang solusyon ng problema.

Mga hadlang - hindi pagkakapantay-pantay

Ito ay isang espesyal na uri ng paghihigpit na ipinahayag ng mga hindi pagkakapantay-pantay. Sa pangkalahatang kaso, maaaring mayroong anumang bilang ng mga ito, at lahat ng mga ito ay may anyo

z 1 r 1 (x 1 , x 2 ,...,x n) Z 1

z 2 r 2 (x 1 , x 2 ,...,x n) Z 2

.......................

z k r k (x 1 , x 2 ,...,x n) Z k

Dapat pansinin na napakadalas, dahil sa mga limitasyon, ang pinakamainam na halaga ng layunin ng pag-andar ay hindi nakakamit kung saan ang ibabaw nito ay may zero gradient. Kadalasan ang pinakamahusay na solusyon ay nasa isa sa mga hangganan ng domain ng disenyo.

Lokal na pinakamabuting kalagayan

Ito ang pangalan ng punto sa espasyo ng disenyo kung saan ang layunin ng pag-andar ay may pinakamalaking halaga kumpara sa mga halaga nito sa lahat ng iba pang mga punto sa agarang kapitbahayan nito.

Fig.6.4 Ang isang arbitrary layunin function ay maaaring magkaroon ng ilang

lokal na optima.

Sa fig. Ipinapakita ng Figure 6.4 ang isang one-dimensional na layunin na function na mayroong dalawang lokal na optima. Kadalasan ang espasyo ng disenyo ay naglalaman ng maraming lokal na optima at dapat gawin ang pag-iingat na huwag magkamali sa una para sa pinakamainam na solusyon sa problema.

Global Optimum

Ang pandaigdigang pinakamainam ay ang pinakamainam na solusyon para sa buong espasyo ng disenyo. Ito ay mas mahusay kaysa sa lahat ng iba pang mga solusyon na naaayon sa lokal na optima, at ito ang hinahanap ng taga-disenyo. Posible ang kaso ng ilang pantay na global optima na matatagpuan sa iba't ibang bahagi ng espasyo ng disenyo. Kung paano ipinoproblema ang problema sa pag-optimize ay pinakamahusay na inilalarawan ng isang halimbawa.

Halimbawa 6.1

Hayaang kailanganin na magdisenyo ng isang hugis-parihaba na lalagyan na may volume na 1 m , na idinisenyo upang maghatid ng hindi naka-pack na hibla. Ito ay kanais-nais na ang maliit na materyal hangga't maaari ay ginugol sa paggawa ng naturang mga lalagyan (ipagpalagay na ang isang pare-pareho ang kapal ng pader, nangangahulugan ito na ang ibabaw na lugar ay dapat na minimal), dahil ito ay magiging mas mura. Upang gawing maginhawa ang pagkuha ng lalagyan na may forklift, ang lapad nito ay dapat na hindi bababa sa 1.5 m.

Bumuo tayo ng problemang ito sa isang form na maginhawa para sa paglalapat ng optimization algorithm.

Mga parameter ng disenyo: x 1 , x 2 , x 3 .

Ang layunin ng pag-andar (na kailangang mabawasan) ay ang lugar ng gilid na ibabaw ng lalagyan:

A=2(x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 1 x 3), m2.

Constraint - pagkakapantay-pantay:

Dami \u003d x 1 x 2 x 3 \u003d 1m3.

Limitasyon - hindi pagkakapantay-pantay:

Mga problema sa linear programming

Linear Programming (LP) ay isa sa mga seksyon ng mathematical programming - isang disiplina na nag-aaral ng mga extremal (optimization) na problema at bumubuo ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito.

Problema sa pag-optimize ay isang problema sa matematika na binubuo sa paghahanap ng pinakamainam (i.e., maximum o minimum) na halaga ng layunin na pag-andar, at ang mga halaga ng mga variable ay dapat kabilang sa isang tiyak na lugar ng mga tinatanggap na halaga (ODV).

Sa pangkalahatan, ang pagbabalangkas ng isang matinding problema ng mathematical programming ay binubuo sa pagtukoy ng pinakamalaki o pinakamaliit na halaga ng function , na tinatawag na layunin function, sa ilalim ng mga kundisyon (paghihigpit) , kung saan at binibigyan ng mga function, at binibigyan ng mga constant. Kasabay nito, ang mga paghihigpit sa anyo ng mga pagkakapantay-pantay at hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa hanay (rehiyon) ng mga magagawang solusyon (ODS), at tinatawag na mga parameter ng disenyo.

Depende sa uri ng mga function at mga problema ng mathematical programming ay nahahati sa isang bilang ng mga klase (linear, nonlinear, convex, integer, stochastic, dynamic programming, atbp.).

AT pangkalahatang pananaw Ang problema sa LP ay may sumusunod na anyo:

, (5.1)

, , (5.2)

, , (5.3)

kung saan ang , , ay binibigyan ng mga pare-pareho.

Function (5.1) ay tinatawag na layunin function; system (5.2), (5.3) - sa pamamagitan ng isang sistema ng mga hadlang; kondisyon (5.4) ay ang kondisyon ng hindi negatibo ng mga parameter ng disenyo.

Ang hanay ng mga parameter ng disenyo na nakakatugon sa mga hadlang (5.2), (5.3) at (5.4) ay tinatawag katanggap-tanggap na solusyon o plano.

Ang pinakamainam na solusyon o pinakamainam na plano Ang problema sa LP ay tinatawag na feasible solution , kung saan ang layunin ng function (5.1) ay kumukuha ng pinakamainam (maximum o minimum) na halaga.

Karaniwang gawain Ang LP ay tinatawag na problema sa paghahanap ng maximum (minimum) na halaga ng layunin ng function (5.1) sa ilalim ng kondisyon (5.2) at (5.4), kung saan , , i.e. mga. ang mga paghihigpit lamang sa anyo ng mga hindi pagkakapantay-pantay (5.2) at lahat ng mga parameter ng disenyo ay nakakatugon sa hindi negatibong kondisyon, at walang mga kundisyon sa anyo ng mga pagkakapantay-pantay:

,

, , (5.5)

.

Canonical (pangunahing) gawain Ang LP ay tinatawag na problema sa paghahanap ng maximum (minimum) na halaga ng layunin ng function (5.1) sa ilalim ng kondisyon (5.3) at (5.4), kung saan , , i.e. mga. ang mga paghihigpit lamang sa anyo ng mga pagkakapantay-pantay (5.3) at lahat ng mga parameter ng disenyo ay nakakatugon sa kondisyong hindi negatibo, at walang mga kundisyon sa anyo ng mga hindi pagkakapantay-pantay:

,

.

Ang problema sa canonical LP ay maaari ding isulat sa matrix at vector form.

Ang matrix form ng canonical LP problem ay may sumusunod na anyo:

Vector form ng canonical LP na problema.