Paraan ng Variation ng Arbitrary Constants

Paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary na constant para sa pagbuo ng isang solusyon sa isang linear na inhomogeneous differential equation

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = f(t)

binubuo sa pagbabago ng mga di-makatwirang constants c k sa pangkalahatang desisyon

z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t) + ... + c n z n (t)

katumbas na homogenous equation

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = 0

sa mga function ng katulong c k (t) , na ang mga derivative ay nakakatugon sa linear algebraic system

Ang determinant ng system (1) ay ang Wronskian ng mga function z 1 ,z 2 ,...,z n , na nagsisiguro sa natatanging kakayahang malutas nito patungkol sa .

Kung ang mga antiderivative ay kinuha sa mga nakapirming halaga ng mga constant ng pagsasama, kung gayon ang function

ay isang solusyon sa orihinal na linear inhomogeneous differential equation. Ang pagsasama-sama ng isang hindi magkakatulad na equation sa pagkakaroon ng isang pangkalahatang solusyon ng katumbas na homogenous na equation ay sa gayon ay nabawasan sa mga quadrature.

Paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary na constant para sa pagbuo ng mga solusyon sa isang sistema ng mga linear differential equation sa vector normal na anyo

ay binubuo sa pagbuo ng isang partikular na solusyon (1) sa anyo

saan Z(t) ay ang batayan ng mga solusyon ng katumbas na homogenous na equation, na isinulat bilang isang matrix, at ang vector function , na pinalitan ang vector ng mga arbitrary constants, ay tinukoy ng kaugnayan . Ang nais na partikular na solusyon (na may zero na mga paunang halaga sa t = t 0 ang may form

Para sa isang sistema na may pare-parehong coefficient, ang huling expression ay pinasimple:

Matrix Z(t)Z− 1 (τ) tinawag Cauchy matrix operator L = A(t) .

Ang paraan ng pagkakaiba-iba ng isang arbitrary na pare-pareho, o ang Lagrange na pamamaraan, ay isa pang paraan upang malutas ang mga first-order linear differential equation at ang Bernoulli equation.

Ang mga linear differential equation ng unang pagkakasunod-sunod ay mga equation ng anyong y’+p(x)y=q(x). Kung ang kanang bahagi ay zero: y'+p(x)y=0, ito ay isang linear homogenous 1st order equation. Alinsunod dito, ang equation na may di-zero na kanang bahagi, y’+p(x)y=q(x), — magkakaiba linear equation ng 1st order.

Arbitrary na pare-parehong paraan ng pagkakaiba-iba (Lagrange method) ay binubuo ng mga sumusunod:

1) Naghahanap kami ng pangkalahatang solusyon sa homogenous na equation na y’+p(x)y=0: y=y*.

2) Sa pangkalahatang solusyon, ang C ay itinuturing na hindi isang pare-pareho, ngunit isang function ng x: C=C(x). Nahanap namin ang hinango ng pangkalahatang solusyon (y*)' at pinapalitan ang resultang expression para sa y* at (y*)' sa paunang kondisyon. Mula sa nagresultang equation, nakita namin ang function na С(x).

3) Sa pangkalahatang solusyon ng homogenous na equation, sa halip na C, pinapalitan natin ang nahanap na expression na C (x).

Isaalang-alang ang mga halimbawa sa paraan ng pagkakaiba-iba ng isang arbitrary na pare-pareho. Gawin natin ang parehong mga gawain tulad ng sa , ihambing ang kurso ng solusyon at siguraduhin na ang mga sagot na natanggap ay pareho.

1) y'=3x-y/x

Isulat muli natin ang equation sa karaniwang anyo (sa kaibahan sa paraan ng Bernoulli, kung saan kailangan natin ang notasyon upang makita lamang na ang equation ay linear).

y'+y/x=3x (I). Ngayon ay pupunta kami ayon sa plano.

1) Lutasin namin ang homogenous na equation na y’+y/x=0. Ito ay isang separable variable equation. Kinakatawan ang y’=dy/dx, palitan: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. I-multiply natin ang parehong bahagi ng equation sa dx at hatiin sa xy≠0: dy/y=-dx/x. Pinagsasama namin:

2) Sa nakuha na pangkalahatang solusyon ng homogenous na equation, isasaalang-alang namin ang С hindi isang pare-pareho, ngunit isang function ng x: С=С(x). Mula rito

Ang mga resultang expression ay pinapalitan sa kondisyon (I):

Isinasama namin ang parehong bahagi ng equation:

narito ang C ay ilang bagong pare-pareho.

3) Sa pangkalahatang solusyon ng homogenous na equation y \u003d C / x, kung saan isinasaalang-alang namin ang C \u003d C (x), iyon ay, y \u003d C (x) / x, sa halip na C (x) pinapalitan namin ang nakitang expression x³ + C: y \u003d (x³ +C)/x o y=x²+C/x. Nakuha namin ang parehong sagot tulad ng paglutas sa pamamagitan ng paraan ng Bernoulli.

Sagot: y=x²+C/x.

2) y'+y=cosx.

Narito ang equation ay nakasulat na sa karaniwang anyo, hindi na kailangang i-convert.

1) Nilulutas namin ang isang homogenous na linear equation na y'+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Pinagsasama namin:

Upang makakuha ng mas maginhawang notasyon, dadalhin namin ang exponent sa kapangyarihan ng C bilang isang bagong C:

Ang pagbabagong ito ay isinagawa upang gawing mas maginhawa ang paghahanap ng derivative.

2) Sa nakuha na pangkalahatang solusyon ng isang linear homogenous equation, isinasaalang-alang namin ang С hindi isang pare-pareho, ngunit isang function ng x: С=С(x). Sa ilalim ng kondisyong ito

Ang mga resultang expression na y at y' ay pinapalitan sa kondisyon:

I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng

Isinasama namin ang parehong bahagi ng equation gamit ang formula ng integration-by-parts, nakukuha namin ang:

Dito C ay hindi na isang function, ngunit isang ordinaryong pare-pareho.

3) Sa pangkalahatang solusyon ng homogenous na equation

pinapalitan namin ang nahanap na function С(x):

Nakuha namin ang parehong sagot tulad ng paglutas sa pamamagitan ng paraan ng Bernoulli.

Ang paraan ng pagkakaiba-iba ng isang arbitrary na pare-pareho ay naaangkop din sa paglutas.

y’x+y=-xy².

Dinadala namin ang equation sa karaniwang anyo: y'+y/x=-y² (II).

1) Lutasin namin ang homogenous na equation na y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa dx at hatiin sa y: dy/y=-dx/x. Ngayon, pagsamahin natin:

Pinapalitan namin ang nakuha na mga expression sa kondisyon (II):

Pinapasimple:

Nakakuha kami ng isang equation na may mga separable variable para sa C at x:

Narito ang C ay isa nang ordinaryong pare-pareho. Sa proseso ng pagsasama, sa halip na C(x), isinulat lang namin ang C, upang hindi ma-overload ang notasyon. At sa dulo bumalik kami sa C(x) para hindi malito ang C(x) sa bagong C.

3) Pinapalitan namin ang nahanap na function na С(x) sa pangkalahatang solusyon ng homogenous na equation y=C(x)/x:

Nakuha namin ang parehong sagot tulad ng paglutas sa pamamagitan ng paraan ng Bernoulli.

Mga halimbawa para sa self-test:

1. Isulat muli natin ang equation sa karaniwang anyo: y'-2y=x.

1) Malulutas namin ang homogenous na equation y'-2y=0. y’=dy/dx, kaya dy/dx=2y, i-multiply ang magkabilang panig ng equation sa dx, hatiin sa y at pagsamahin:

Mula dito makikita natin ang y:

Pinapalitan namin ang mga expression para sa y at y’ sa kundisyon (para sa kaiklian, papakainin namin ang C sa halip na C (x) at C’ sa halip na C "(x)):

Upang mahanap ang integral sa kanang bahagi, ginagamit namin ang formula ng integration-by-parts:

Ngayon pinapalitan namin ang u, du at v sa formula:

Dito C = const.

3) Ngayon ay pinapalitan namin ang solusyon ng homogenous

Lecture 44. Linear inhomogeneous equation ng pangalawang order. Paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary constants. Linear inhomogeneous equation ng pangalawang order na may pare-parehong coefficient. (espesyal na kanang bahagi).

Mga pagbabagong panlipunan. Estado at Simbahan.

Ang patakarang panlipunan ng mga Bolshevik ay higit na idinidikta ng kanilang makauring pamamaraan. Sa pamamagitan ng isang atas ng Nobyembre 10, 1917, ang sistema ng ari-arian ay inalis, ang mga pre-rebolusyonaryong ranggo, mga titulo at mga parangal ay inalis. Ang halalan ng mga hukom ay naitatag; isinagawa ang sekularisasyon ng mga estadong sibil. Itinatag ang libreng edukasyon at pangangalagang medikal (decree ng Oktubre 31, 1918). Ang mga kababaihan ay pinapantayan ng mga karapatan sa mga lalaki (mga dekreto noong Disyembre 16 at 18, 1917). Ang utos sa kasal ay nagpakilala sa institusyon ng civil marriage.

Sa pamamagitan ng isang atas ng Konseho ng People's Commissars noong Enero 20, 1918, ang simbahan ay nahiwalay sa estado at sa sistema ng edukasyon. Karamihan sa mga ari-arian ng simbahan ay kinumpiska. Si Patriarch Tikhon ng Moscow at All Russia (nahalal noong Nobyembre 5, 1917) noong Enero 19, 1918, ay hinatulan ang kapangyarihan ng Sobyet at nanawagan ng pakikipaglaban sa mga Bolshevik.

Isaalang-alang ang isang linear na inhomogeneous na second-order equation

Ang istraktura ng pangkalahatang solusyon ng naturang equation ay tinutukoy ng sumusunod na theorem:

Teorama 1. Ang pangkalahatang solusyon ng inhomogeneous equation (1) ay kinakatawan bilang kabuuan ng ilang partikular na solusyon ng equation na ito at ang pangkalahatang solusyon ng katumbas na homogeneous equation.

Patunay. Kailangan nating patunayan na ang kabuuan

ay ang pangkalahatang solusyon ng equation (1). Patunayan muna natin na ang function (3) ay isang solusyon ng equation (1).

Ang pagpapalit ng kabuuan sa equation (1) sa halip na sa, Magkakaroon

Dahil mayroong solusyon sa equation (2), ang expression sa unang mga bracket ay magkaparehong katumbas ng zero. Dahil mayroong solusyon sa equation (1), ang expression sa pangalawang bracket ay katumbas ng f(x). Samakatuwid, ang pagkakapantay-pantay (4) ay isang pagkakakilanlan. Kaya, ang unang bahagi ng teorama ay napatunayan.

Patunayan natin ang pangalawang paninindigan: expression (3) ay pangkalahatan solusyon ng equation (1). Dapat nating patunayan na ang mga di-makatwirang mga pare-pareho na kasama sa expression na ito ay maaaring mapili upang ang mga paunang kondisyon ay nasiyahan:

anuman ang mga numero x 0 , y 0 at (kung lamang x 0 ay kinuha mula sa lugar kung saan ang mga function isang 1, isang 2 at f(x) tuloy-tuloy).

Napapansin na posibleng kumatawan sa anyo . Pagkatapos, batay sa mga kondisyon (5), mayroon kami

Ating lutasin ang sistemang ito at hanapin Mula sa 1 at mula 2. Isulat muli natin ang system bilang:

Tandaan na ang determinant ng system na ito ay ang Wronsky determinant para sa mga function 1 at sa 2 sa punto x=x 0. Dahil ang mga function na ito ay linearly independyente sa pamamagitan ng pagpapalagay, ang Wronsky determinant ay hindi katumbas ng zero; samakatuwid ang sistema (6) ay may isang tiyak na solusyon Mula sa 1 at mula 2, ibig sabihin. may mga ganyang halaga Mula sa 1 at mula 2, kung saan ang formula (3) ay tumutukoy sa solusyon ng equation (1) na nakakatugon sa ibinigay na mga paunang kundisyon. Q.E.D.

Bumaling tayo sa pangkalahatang pamamaraan para sa paghahanap ng mga partikular na solusyon ng isang hindi magkakatulad na equation.

Isulat natin ang pangkalahatang solusyon ng homogenous equation (2)

Hahanapin natin ang isang partikular na solusyon ng inhomogeneous equation (1) sa anyo (7), na isinasaalang-alang Mula sa 1 at mula 2 bilang ilang hindi pa kilalang mga tampok mula sa X.

Ibahin natin ang pagkakapantay-pantay (7):

Pinipili namin ang nais na mga function Mula sa 1 at mula 2 upang ang pagkakapantay-pantay

Kung ang karagdagang kundisyong ito ay isasaalang-alang, kung gayon ang unang derivative ay kukuha ng form

Ngayon ang pagkakaiba ng expression na ito, nakita namin:

Ang pagpapalit sa equation (1), makuha namin

Ang mga expression sa unang dalawang bracket ay naglalaho dahil y 1 at y2 ay mga solusyon ng isang homogenous na equation. Samakatuwid, ang huling pagkakapantay-pantay ay nasa anyo

Kaya, ang function (7) ay magiging solusyon sa inhomogeneous equation (1) kung ang mga function Mula sa 1 at mula 2 satisfy equation (8) at (9). Bumuo tayo ng isang sistema ng mga equation mula sa mga equation (8) at (9).

Dahil ang determinant ng system na ito ay ang Vronsky determinant para sa mga linearly independent na solusyon y 1 at y2 equation (2), kung gayon hindi ito katumbas ng zero. Samakatuwid, ang paglutas ng system, makikita natin ang parehong tiyak na mga function ng X:

Ang paglutas ng sistemang ito, makikita natin ang , kung saan, bilang resulta ng pagsasama, nakuha natin ang . Susunod, pinapalitan namin ang mga nahanap na function sa formula , nakuha namin ang pangkalahatang solusyon ng inhomogeneous equation , kung saan ang mga arbitrary constants.

Isinasaalang-alang ang isang paraan para sa paglutas ng mga linear inhomogeneous differential equation ng mas mataas na mga order na may pare-parehong coefficient sa pamamagitan ng paraan ng pagkakaiba-iba ng mga constant ng Lagrange. Naaangkop din ang pamamaraang Lagrange sa paglutas ng anumang linear inhomogeneous equation kung alam ang pangunahing sistema ng mga solusyon ng homogeneous equation.

Nilalaman

Tingnan din:

Paraan ng Lagrange (pagkakaiba-iba ng mga constant)

Isaalang-alang ang isang linear inhomogeneous differential equation na may pare-parehong coefficient ng isang arbitrary nth order:
(1) .
Ang paraan ng pare-parehong pagkakaiba-iba, na aming isinasaalang-alang para sa unang pagkakasunud-sunod na equation, ay naaangkop din sa mga equation ng mas matataas na mga order.

Ang solusyon ay isinasagawa sa dalawang yugto. Sa unang yugto, itinatapon namin ang kanang bahagi at lutasin ang homogenous na equation. Bilang resulta, nakakakuha kami ng solusyon na naglalaman ng n arbitrary na mga pare-pareho. Sa pangalawang hakbang, iba-iba namin ang mga pare-pareho. Iyon ay, isinasaalang-alang namin na ang mga constant na ito ay mga function ng independent variable x at hanapin ang anyo ng mga function na ito.

Bagaman isinasaalang-alang namin ang mga equation na may pare-parehong coefficient dito, ngunit ang pamamaraang Lagrange ay naaangkop din sa paglutas ng anumang mga linear na hindi magkakatulad na equation. Para dito, gayunpaman, ang pangunahing sistema ng mga solusyon ng homogenous equation ay dapat malaman.

Hakbang 1. Solusyon ng homogenous equation

Tulad ng sa kaso ng mga first-order equation, una nating hinahanap ang pangkalahatang solusyon ng homogenous na equation, na tinutumbasan ang tamang inhomogeneous na bahagi sa zero:
(2) .
Ang pangkalahatang solusyon ng naturang equation ay may anyo:
(3) .
Narito ang mga arbitrary na pare-pareho; - n mga linearly independent na solusyon ng homogenous equation (2), na bumubuo sa pangunahing sistema ng mga solusyon ng equation na ito.

Hakbang 2. Pagkakaiba-iba ng Mga Constant - Pagpapalit ng Mga Constant ng Mga Pag-andar

Sa ikalawang hakbang, haharapin natin ang pagkakaiba-iba ng mga constant. Sa madaling salita, papalitan natin ang mga constant ng mga function ng independent variable x :
.
Ibig sabihin, naghahanap kami ng solusyon sa orihinal na equation (1) sa sumusunod na anyo:
(4) .

Kung papalitan natin ang (4) sa (1), makakakuha tayo ng isang differential equation para sa n function. Sa kasong ito, maaari nating ikonekta ang mga function na ito sa mga karagdagang equation. Pagkatapos ay makakakuha ka ng n equation, kung saan maaari mong matukoy ang n function. Ang mga karagdagang equation ay maaaring isulat sa iba't ibang paraan. Ngunit gagawin namin ito sa paraang ang solusyon ay may pinakasimpleng anyo. Upang gawin ito, kapag nag-iiba, kailangan mong katumbas ng mga zero na termino na naglalaman ng mga derivatives ng mga function. Ipakita natin ito.

Upang palitan ang iminungkahing solusyon (4) sa orihinal na equation (1), kailangan nating hanapin ang mga derivatives ng unang n order ng function na nakasulat sa form (4). Ibahin ang (4) sa pamamagitan ng paglalapat ng mga patakaran para sa pagkakaiba ng kabuuan at ang produkto:
.
Igrupo natin ang mga miyembro. Una, isinusulat namin ang mga terminong may derivatives ng , at pagkatapos ay ang mga terminong may derivatives ng :

.
Ipinapataw namin ang unang kundisyon sa mga function:
(5.1) .
Kung gayon ang expression para sa unang derivative na may kinalaman sa ay magkakaroon ng mas simpleng anyo:
(6.1) .

Sa parehong paraan, nakita namin ang pangalawang derivative:

.
Ipinapataw namin ang pangalawang kundisyon sa mga pag-andar:
(5.2) .
Pagkatapos
(6.2) .
atbp. Sa ilalim ng mga karagdagang kundisyon, itinutumbas namin ang mga terminong naglalaman ng mga derivatives ng mga function sa zero.

Kaya, kung pipiliin natin ang mga sumusunod na karagdagang equation para sa mga function:
(5.k) ,
kung gayon ang mga unang derivative na may kinalaman sa ay magkakaroon ng pinakasimpleng anyo:
(6.k) .
Dito .

Nahanap namin ang nth derivative:
(6.n)
.

Pinapalitan namin ang orihinal na equation (1):
(1) ;






.
Isinasaalang-alang namin na ang lahat ng mga function ay nakakatugon sa equation (2):
.
Pagkatapos ang kabuuan ng mga terminong naglalaman ay nagbibigay ng zero. Bilang resulta, nakukuha namin ang:
(7) .

Bilang resulta, nakakuha kami ng isang sistema ng mga linear na equation para sa mga derivatives:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Ang paglutas ng sistemang ito, nakita namin ang mga expression para sa mga derivatives bilang mga function ng x . Pagsasama, nakukuha namin:
.
Dito, ay mga constant na hindi na nakadepende sa x. Ang pagpapalit sa (4), makuha natin ang pangkalahatang solusyon ng orihinal na equation.

Tandaan na hindi namin ginamit ang katotohanan na ang mga coefficient a i ay pare-pareho upang matukoy ang mga halaga ng mga derivatives. Kaya ang pamamaraang Lagrange ay naaangkop upang malutas ang anumang mga linear na hindi magkakatulad na equation, kung ang pangunahing sistema ng mga solusyon ng homogenous equation (2) ay kilala.

Mga halimbawa

Lutasin ang mga equation sa pamamagitan ng paraan ng pagkakaiba-iba ng mga constant (Lagrange).


Solusyon ng mga halimbawa > > >

Tingnan din: Solusyon ng mga first order equation sa pamamagitan ng constant variation method (Lagrange)
Paglutas ng mga equation na may mataas na pagkakasunud-sunod sa pamamagitan ng pamamaraang Bernoulli
Paglutas ng Linear Inhomogeneous Higher-Order Differential Equation na may Constant Coefficients sa pamamagitan ng Linear Substitution