Alam na natin ngayon na ang agarang rate ng pagbabago ng N(Z) function sa Z = +2 ay -0.1079968336. Nangangahulugan ito ng pataas/pababa sa panahon, kaya kapag Z = +2, ang N(Z) curve ay tataas ng -0.1079968336. Ang sitwasyong ito ay ipinapakita sa Figure 3-13.

Ang sukat ng "absolute" sensitivity ay maaaring tawaging rate ng pagbabago ng isang function. Ang sukatan ng sensitivity ng isang function sa isang partikular na punto ("instantaneous velocity") ay tinatawag na derivative.

Masusukat natin ang antas ng absolute sensitivity ng variable y sa mga pagbabago sa variable x kung tutukuyin natin ang ratio Ay/Ax. Ang kawalan ng gayong kahulugan ng sensitivity ay nakasalalay hindi lamang sa "paunang" puntong XQ, kung saan isinasaalang-alang ang pagbabago sa argumento, kundi pati na rin sa mismong halaga ng agwat ng Dx, kung saan natutukoy ang bilis. . Upang maalis ang pagkukulang na ito, ang konsepto ng isang derivative (ang rate ng pagbabago ng isang function sa isang punto) ay ipinakilala. Kapag tinutukoy ang rate ng pagbabago ng isang function sa isang punto, ang mga puntos na XQ at xj ay pinagsasama-sama, na pinapanatili ang pagitan ng Dx sa zero. Ang rate ng pagbabago ng function f (x) sa point XQ at tinatawag na derivative ng function f (x) sa point x. Ang geometric na kahulugan ng rate ng pagbabago ng function sa point XQ ay na ito ay tinutukoy ng anggulo ng pagkahilig ng tangent sa graph ng function sa puntong XQ. Ang derivative ay ang tangent ng slope ng tangent sa function graph.

Kung ang derivative y ay itinuturing na rate ng pagbabago ng function /, kung gayon ang value na y /y ay ang relatibong rate ng pagbabago nito. Samakatuwid, ang logarithmic derivative (Sa y)

Derivative sa direksyon - nailalarawan ang rate ng pagbabago ng function z - f (x, y) sa punto MO (ZhO, UO) sa direksyon

Rate ng pagbabago ng function na may kaugnayan 124.188

Sa ngayon, isinasaalang-alang namin ang unang derivative ng function , na nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang rate ng pagbabago ng function. Upang matukoy kung pare-pareho ang rate ng pagbabago, dapat kunin ang pangalawang derivative ng function. Ito ay tinutukoy bilang

Dito at sa ibaba, ang prime ay nangangahulugan ng pagkita ng kaibhan upang ang h ay ang rate ng pagbabago ng function h kaugnay sa pagtaas ng labis na supply).

Isang sukatan ng "absolute" sensitivity - ang rate ng pagbabago ng isang function (average (ratio ng mga pagbabago) o marginal (derivative))

Pagtaas ng halaga, argumento, pag-andar. Rate ng pagbabago ng function

Ang rate ng pagbabago ng function sa pagitan (average rate).

Ang kawalan ng gayong kahulugan ng bilis ay ang bilis na ito ay nakasalalay hindi lamang sa puntong x0, na nauugnay kung saan ang pagbabago sa argumento ay isinasaalang-alang, kundi pati na rin sa laki ng pagbabago sa argumento mismo, i.e. sa halaga ng agwat ng Dx, kung saan natutukoy ang bilis. Upang maalis ang pagkukulang na ito, ang konsepto ng rate ng pagbabago ng isang function sa isang punto (instantaneous velocity) ay ipinakilala.

Ang rate ng pagbabago ng isang function sa isang punto (instantaneous rate).

Upang matukoy ang rate ng pagbabago ng function sa puntong J Q, ang mga puntos na x at x0 ay pinagsama-sama, na pinapanatili ang pagitan ng Ax sa zero. Ang pagbabago sa tuluy-tuloy na function ay magiging zero din. Sa kasong ito, ang ratio ng pagbabago sa function na may posibilidad na zero sa pagbabago sa argumento na may posibilidad na zero ay nagbibigay ng rate ng pagbabago ng function sa puntong x0 (instantaneous velocity), mas tiyak, sa isang walang katapusang maliit na interval relative. hanggang sa punto xd.

Ito ang rate ng pagbabago ng function na Dx) sa puntong x0 na tinatawag na derivative ng function na Dx) sa puntong xa.

Siyempre, upang makilala ang rate ng pagbabago sa halaga ng y, maaaring gumamit ng isang mas simpleng tagapagpahiwatig, sabihin, ang hinango ng y na may paggalang sa L. Ang pagkalastiko ng pagpapalit o ay ginustong dahil sa katotohanan na ito ay may malaking kalamangan - ito ay pare-pareho para sa karamihan ng mga function ng produksyon na ginagamit sa pagsasanay, t i.e. hindi lamang nagbabago kapag gumagalaw kasama ang ilang isoquant, ngunit hindi rin nakadepende sa pagpili ng isoquant.

Ang pagiging maagap ng kontrol ay nangangahulugan na ang epektibong kontrol ay dapat napapanahon. Ang pagiging maagap nito ay nakasalalay sa pagkakatugma ng agwat ng oras ng mga sukat at pagtatasa ng mga kinokontrol na tagapagpahiwatig, ang proseso ng mga tiyak na aktibidad ng samahan sa kabuuan. Ang pisikal na halaga ng naturang agwat (dalas ng mga sukat) ay tinutukoy ng tagal ng panahon ng sinusukat na proseso (plano), na isinasaalang-alang ang rate ng pagbabago ng mga kinokontrol na tagapagpahiwatig at ang mga gastos sa pagpapatupad ng mga operasyon ng kontrol. Ang pinakamahalagang gawain ng control function ay nananatiling alisin ang mga paglihis bago sila humantong sa organisasyon sa isang kritikal na sitwasyon.

Para sa isang homogenous na sistema sa TV = 0, ang M = 0 5 ay naglalaho din, upang ang kanang bahagi ng expression (6.20) ay katumbas ng rate ng pagbabago ng kabuuang welfare function na nauugnay sa heterogeneity.

Ang mekanikal na kahulugan ng derivative. Para sa isang function na y = f(x) na nagbabago sa oras x, ang derivative na y = f(xo] ay ang rate ng pagbabago ng y sa oras XQ.

Ang relatibong rate (rate) ng pagbabago ng function na y = f(x) ay tinutukoy ng logarithmic derivative

Ang mga variable na x ay nangangahulugang ang laki ng pagkakaiba sa pagitan ng supply at demand para sa kaukulang uri ng paraan ng produksyon x = s - p. Ang function na x(f) ay patuloy na naiba sa oras. Ang mga variable na x" ay nangangahulugang ang rate ng pagbabago sa pagkakaiba sa pagitan ng supply at demand. Ang trajectory x (t) ay nangangahulugan ng pagdepende sa rate ng pagbabago sa supply at demand sa laki ng pagkakaiba sa pagitan ng supply at demand, na kung saan ay depende sa oras. Ang espasyo ng estado (phase space) sa aming kaso ay two-dimensional , ibig sabihin, ay may anyo ng isang phase plane.

Ang mga katangian ng quantity a ay nagpapaliwanag ng katotohanan na ang rate ng pagbabago ng marginal rate ng substitution y ay nailalarawan sa batayan nito, at hindi sa tulong ng anumang iba pang indicator, halimbawa, ang derivative ng y na may paggalang sa x>. Bukod dito, para sa isang makabuluhang bilang ng mga pag-andar, ang pagkalastiko ng pagpapalit ay pare-pareho hindi lamang sa mga isocline, kundi pati na rin sa mga isoquants. Kaya, para sa production function (2.20), gamit ang katotohanan na, ayon sa isocli-

Maraming mga trick na maaaring makuha sa mga panandaliang rate ng pagbabago. Gumagamit ang modelong ito ng isang panahon

Marami ang magugulat sa hindi inaasahang lokasyon ng artikulong ito sa kurso ng aking may-akda sa derivative ng isang function ng isang variable at mga aplikasyon nito. Pagkatapos ng lahat, tulad ng mula sa paaralan: isang karaniwang aklat-aralin, una sa lahat, ay nagbibigay ng isang kahulugan ng isang hinalaw, ang geometriko, mekanikal na kahulugan nito. Susunod, ang mga mag-aaral ay nakakahanap ng mga derivatives ng mga function sa pamamagitan ng kahulugan, at, sa katunayan, pagkatapos lamang ang diskarte sa pagkita ng kaibhan ay naperpekto gamit ang mga derivative table.

Ngunit mula sa aking pananaw, ang sumusunod na diskarte ay mas pragmatiko: una sa lahat, ipinapayong MAUNAWAAN ang limitasyon ng pag-andar na MABUTI, at, sa partikular, infinitesimals. Sa katotohanan ay

ang kahulugan ng derivative ay batay sa konsepto ng limitasyon , na hindi gaanong isinasaalang-alang sa kurso ng paaralan. Iyon ang dahilan kung bakit ang isang makabuluhang bahagi ng mga batang mamimili ng kaalaman sa granite ay hindi mahusay na tumagos sa mismong kakanyahan ng derivative. Kaya, kung hindi ka sanay sa differential calculus, o matagumpay na naalis ng matalinong utak ang bagahe na ito sa paglipas ng mga taon, mangyaring magsimula sa mga limitasyon sa pag-andar . Sa parehong oras master / tandaan ang kanilang mga desisyon.

Ang parehong praktikal na kahulugan ay nagpapahiwatig na ito ay kumikita muna

matutong maghanap ng mga derivative, kabilang ang mga derivatives ng mga kumplikadong function . Ang teorya ay isang teorya, ngunit, tulad ng sinasabi nila, gusto mong laging magkaiba. Sa pagsasaalang-alang na ito, mas mahusay na gawin ang mga nakalistang pangunahing aralin, at maaaring maging master ng pagkita ng kaibhan nang hindi man lang napagtanto ang kakanyahan ng kanilang mga aksyon.

Inirerekumenda kong simulan ang mga materyales sa pahinang ito pagkatapos basahin ang artikulo. Ang pinakasimpleng problema sa isang derivative, kung saan, sa partikular, ang problema ng tangent sa graph ng isang function ay isinasaalang-alang. Ngunit maaari itong maantala. Ang katotohanan ay maraming mga aplikasyon ng derivative ay hindi nangangailangan ng pag-unawa dito, at hindi nakakagulat na ang teoretikal na aralin ay lumitaw nang huli - kapag kailangan kong ipaliwanag paghahanap ng mga pagitan ng pagtaas/pagbaba at mga extremum mga function. Bukod dito, siya ay nasa paksa sa loob ng mahabang panahon " Mga Function at Graph”, hanggang sa napagdesisyunan kong ilagay ito kanina.

Samakatuwid, mahal na mga teapot, huwag magmadali upang makuha ang kakanyahan ng hinalaw, tulad ng mga gutom na hayop, dahil ang saturation ay magiging walang lasa at hindi kumpleto.

Ang konsepto ng pagtaas, pagbaba, maximum, minimum ng isang function

Maraming mga tutorial ang humahantong sa konsepto ng isang derivative sa tulong ng ilang mga praktikal na problema, at nakagawa din ako ng isang kawili-wiling halimbawa. Isipin na kailangan nating maglakbay sa isang lungsod na maaaring maabot sa iba't ibang paraan. Agad naming itinatapon ang mga curved winding path, at isasaalang-alang lamang namin ang mga tuwid na linya. Gayunpaman, iba rin ang mga direksyon sa tuwid na linya: ang lungsod ay mapupuntahan sa isang patag na autobahn. O sa isang maburol na highway - pataas at pababa, pataas at pababa. Ang isa pang kalsada ay pataas lamang, at ang isa ay pababa sa lahat ng oras. Ang mga naghahanap ng kilig ay pipili ng ruta sa bangin na may matarik na bangin at matarik na pag-akyat.

Ngunit anuman ang iyong mga kagustuhan, ito ay kanais-nais na malaman ang lugar, o hindi bababa sa magkaroon ng topographical na mapa nito. Paano kung walang ganoong impormasyon? Pagkatapos ng lahat, maaari kang pumili, halimbawa, isang patag na landas, ngunit bilang isang resulta, natitisod sa isang ski slope na may nakakatawang Finns. Hindi ang katotohanan na ang navigator at kahit na

Ang satellite image ay magbibigay ng maaasahang data. Samakatuwid, mainam na gawing pormal ang kaluwagan ng landas sa pamamagitan ng matematika.

Isaalang-alang ang ilang kalsada (side view):

Kung sakali, ipinaaalala ko sa iyo ang isang elementarya na katotohanan: ang paglalakbay ay nangyayari mula kaliwa hanggang kanan. Para sa pagiging simple, ipinapalagay namin na ang function ay tuloy-tuloy sa seksyong isinasaalang-alang.

Ano ang mga tampok ng graph na ito?

Sa mga pagitan ang pag-andar ay tumataas, iyon ay, ang bawat kasunod na halaga nito ay mas malaki kaysa sa nauna. Sa halos pagsasalita, ang graph ay mula sa ibaba pataas (umakyat kami sa burol). At sa pagitan, bumababa ang function - ang bawat susunod na halaga ay mas mababa kaysa sa nauna, at ang aming graph ay napupunta mula sa itaas hanggang sa ibaba (bumababa kami sa slope).

Bigyang-pansin din natin ang mga espesyal na puntos. Sa puntong tayo

naabot namin ang maximum , iyon ay, mayroong isang seksyon ng landas kung saan ang halaga ay magiging pinakamalaki (pinakamataas). Sa parehong punto, ang isang minimum ay naabot, at mayroong isang kapitbahayan kung saan ang halaga ay ang pinakamaliit (pinakamababa).

Ang mas mahigpit na terminolohiya at mga kahulugan ay isasaalang-alang sa aralin. tungkol sa extrema ng function, ngunit sa ngayon ay pag-aralan natin ang isa pang mahalagang katangian: sa mga pagitan ang pag-andar ay tumataas, ngunit ito ay tumataas sa iba't ibang bilis. At ang unang bagay na nakakakuha ng iyong mata ay ang pagitan ng graph ay tumataas mas cool kaysa sa pagitan. Posible bang sukatin ang tirik ng kalsada gamit ang mga mathematical tools?

Rate ng pagbabago ng function

Ang ideya ay ito: kumuha ng ilang halaga

(basahin ang "delta x") , na tatawagin natinpagtaas ng argumento, at simulan natin ang "subukan ito" sa iba't ibang punto ng ating landas:

1) Tingnan natin ang pinakakaliwang punto: pag-bypass sa distansya , umakyat tayo sa slope sa isang taas (berdeng linya). Ang dami ay tinatawag pagtaas ng function, at sa kasong ito ang pagtaas na ito ay positibo (ang pagkakaiba ng mga halaga sa kahabaan ng axis ay mas malaki kaysa sa

zero). Gawin natin ang ratio , na siyang magiging sukatan ng tirik ng ating kalsada. Malinaw, ito ay isang napaka-tiyak na numero, at dahil ang parehong mga pagtaas ay positibo, kung gayon.

Pansin! Ang pagtatalaga ay isang ISANG simbolo, iyon ay, hindi mo maaaring "punitin" ang "delta" mula sa "x" at isaalang-alang ang mga titik na ito nang hiwalay. Siyempre, nalalapat din ang komento sa simbolo ng pagtaas ng function.

Tuklasin natin ang katangian ng resultang fraction nang mas makabuluhan. Hayaan

sa una kami ay nasa taas na 20 metro (sa kaliwang itim na tuldok). Ang pagkakaroon ng pagtagumpayan ang distansya ng mga metro (kaliwang pulang linya), kami ay nasa taas na 60 metro. Pagkatapos ay ang pagtaas ng function ay magiging

metro (berdeng linya) at:. Kaya

Kaya, sa bawat metro ng seksyong ito ng kalsada tumataas ang taas isang average ng 4 na metro ... nakalimutan mo ba ang iyong mga kagamitan sa pag-akyat? =) Sa madaling salita, ang constructed ratio ay nagpapakilala sa AVERAGE RATE NG PAGBABAGO (sa kasong ito, paglago) ng function.

Tandaan: ang mga numerical value ng halimbawang pinag-uusapan ay tumutugma sa mga proporsyon ng drawing na humigit-kumulang lamang.

2) Ngayon, pumunta tayo sa parehong distansya mula sa pinakakanang itim na tuldok. Dito ang pagtaas ay mas banayad, kaya ang pagtaas

(magenta line) ay medyo maliit, at ang ratio

kumpara sa nakaraang kaso ay magiging napakahinhin. Relatibong magsalita, metro at rate ng paglago ng function

ay . Ibig sabihin, dito para sa bawat metro ng landas ay may average na kalahating metro ng pag-akyat.

3) Isang maliit na pakikipagsapalaran sa gilid ng bundok. Tingnan natin ang tuktok na itim na tuldok na matatagpuan sa y-axis. Ipagpalagay natin na ito ay isang marka ng 50 metro. Muli nating napagtagumpayan ang distansya, bilang isang resulta kung saan nakita natin ang ating sarili na mas mababa - sa antas na 30 metro. Dahil ang paggalaw ay isinasagawa mula sa itaas hanggang sa ibaba (sa "kabaligtaran" na direksyon ng axis), ang pangwakas ang pagtaas ng function (taas) ay magiging negatibo:metro (kayumanggi na linya sa pagguhit). At sa kasong ito pinag-uusapan natin ang tungkol sa bilis

pababang function: , iyon ay, para sa bawat metro ng landas

Sa lugar na ito, ang taas ay bumababa ng average na 2 metro. Alagaan ang mga damit sa ikalimang punto.

Ngayon itanong natin ang tanong: ano ang pinakamahusay na halaga ng "pamantayan sa pagsukat" na gagamitin? Ito ay malinaw na ang 10 metro ay napaka-magaspang. Ang isang mahusay na dosenang bumps ay madaling magkasya sa kanila. Bakit may mga bumps, maaaring may malalim na bangin sa ibaba, at pagkatapos ng ilang metro - ang kabilang panig nito na may karagdagang matarik na pag-akyat. Kaya, sa isang sampung metro ay hindi tayo makakakuha ng isang mauunawaan na paglalarawan ng mga naturang seksyon ng landas

relasyon .

Mula sa talakayan sa itaas, ang sumusunod na konklusyon ay sumusunod: mas maliit ang halaga, mas tumpak na ilalarawan natin ang kaginhawahan ng kalsada. Bukod dito, patas

talahanayan 2

Talahanayan 1

Ang konsepto ng limitasyon ng isang variable. Function derivative. Derivative table. Mga panuntunan sa pagkakaiba-iba

Mga paraan upang magtakda ng mga function. Mga uri ng elementarya na pag-andar

Upang tukuyin ang isang function ay nangangahulugan na tukuyin ang isang tuntunin o batas ayon sa kung saan ang isang ibinigay na halaga ng isang argumento X ang katumbas na halaga ng function ay tinutukoy sa.

Isipin mo mga paraan upang tukuyin ang isang function .

1. Paraan ng analitikal - pagtatakda ng isang function gamit ang mga formula. Halimbawa, ang paglusaw ng mga panggamot na sangkap mula sa mga tablet sa paghahanda ng mga solusyon ay sumusunod sa equation m \u003d m 0 e - kt, saan m0 at m- ayon sa pagkakabanggit, ang inisyal at natitira sa oras ng paglusaw t ang dami ng gamot sa tableta, k- ilang palaging positibong halaga.

2. Grapikong paraan - ito ay isang gawain ng isang function sa anyo ng isang graph. Halimbawa, gamit ang isang electrocardiograph sa papel o sa isang computer monitor screen, ang halaga ng biopotential difference na nangyayari sa panahon ng trabaho ng puso ay naitala. U bilang isang function ng oras t: U = f(t).

3. Tabular na paraan ay isang function assignment gamit ang isang table. Ang ganitong paraan ng pagtatakda ng function ay ginagamit sa mga eksperimento at obserbasyon. Halimbawa, sa pamamagitan ng pagsukat ng temperatura ng katawan ng pasyente sa ilang partikular na pagitan, posibleng mag-compile ng talahanayan ng mga halaga ng temperatura ng katawan. T bilang isang function ng oras t. Sa batayan ng tabular na data, minsan ay posible na tantiyahin ang pagsusulatan sa pagitan ng isang argumento at isang function sa pamamagitan ng isang formula. Ang ganitong mga formula ay tinatawag na empirical, i.e. nakuha mula sa karanasan.

Sa matematika, ang isa ay nakikilala elementarya at kumplikado mga function. Narito ang mga pangunahing uri ng elementarya na pag-andar:

1. Power function – y = f(x) = x n, saan X- argumento n- anumang tunay na numero ( 1, 2, - 2, atbp.).

2. exponential function – y = f(x) = isang x, saan a ay isang pare-parehong positibong numero maliban sa isa ( a > 0, a ≠ 0), Halimbawa:

y=10x(a=10);

y = e x ; y \u003d e -x (a \u003d e ≈ 2.718 ...)

Iisa-isa namin ang huling dalawang function, ang tawag sa kanila exponential function o mga exhibitors at naglalarawan ng iba't ibang prosesong pisikal, biopisiko, kemikal, at panlipunan. At y = e x - tumataas na exponent, y=e-x ay isang bumababa na exponent.

3.Logarithmic function sa anumang dahilan a: y = log x, saan y ay ang kapangyarihan kung saan ang base ng function a ay dapat na itaas upang makakuha ng isang naibigay na numero x, ibig sabihin, a y \u003d x.

Kung ang basehan a = 10, pagkatapos y tinawag decimal logarithm ng x at ipinapahiwatig y = log x; kung a=e, pagkatapos y tinawag natural logarithm ng x at ipinapahiwatig y \u003d 1n x.

Alalahanin ang ilan mga tuntunin ng logarithm :

Hayaang ibigay ang dalawang numero a at b, pagkatapos:

· lg (a b) = lg a + lg b;

· lg = lg a - lg b;

· lg ab = b lg a;

Walang magbabago kapag pinalitan ang isang karakter lg sa ln.

Kapaki-pakinabang din na tandaan iyon lg 10 = 1, ln e = 1, lg 1 = ln 1 = 0.

4. Trigonometric function: y=sinx, y=cosx, y=tgx at iba pa.

Narito ang mga graph ng ilang elementary functions (tingnan ang Fig. 1):

Ang isang variable na halaga ay maaaring magbago upang sa proseso ng pagtaas o pagbaba nito ay lumalapit sa ilang may hangganang pare-parehong halaga, na siyang limitasyon nito.

A-prioryo ang limitasyon ng variable x ay ang pare-parehong halaga A, kung saan lumalapit ang variable na x sa proseso ng pagbabago nito upang ang modulus ng pagkakaiba sa pagitan ng x at A, i.e. | x - A |, ay nagiging zero.

Limitahan ang notasyon: x → A o lim x = A(narito → ay isang tanda ng paglipat ng limitasyon, lim mula sa Latin na limitado, isinalin sa Russian - limitasyon). Isaalang-alang ang isang halimbawang elementarya:

x: 0.9; 0.99; 0.999; 0.9999…→ 1, A = 1(lim x = 1), dahil

| x - A |: 0.1; 0.01; 0.001; 0.0001…→ 0.

Ipakilala natin ang mga konsepto pagtaas ng argumento at pagdaragdag ng function.

Kung ang variable X nagbabago ang halaga nito mula sa x 1 dati x 2, pagkatapos ay ang pagkakaiba x 2 - x 1 \u003d Δx ay tinatawag na pagtaas ng argumento, at Δx(basahin ang delta X) ay isang solong simbolo ng pagtaas. Kaukulang pagbabago ng function y 2 - y 1 \u003d Δy tinatawag na function increment. Ipakita natin ito sa graph ng function y = f(x)(Larawan 2). Sa geometriko, ang pagtaas ng argumento ay kinakatawan ng pagtaas ng abscissa ng punto ng kurba, at ang pagtaas ng function ay ang pagtaas ng ordinate ng puntong ito.

Ang derivative ng isang ibinigay na function na y \u003d f (x) na may paggalang sa argumento x ay ang limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function na Δy sa pagtaas ng argumento Δx, kapag ang huli ay may posibilidad na zero (Δx → 0 ).

Ang derivative ng isang function ay tinutukoy (basahin ang " sa stroke") o , o dy/dx(basahin ang "de y ni de x"). Kaya ang derivative ng function y = f(x) ay katumbas ng:

(4)

Panuntunan para sa paghahanap ng derivative ng isang function y = f(x) sa pamamagitan ng argumento X nakapaloob sa kahulugan ng halagang ito: kailangan mong tukuyin ang pagtaas ng argumento Δх, hanapin ang pagtaas ng function Δy, gumawa ng ratio at hanapin ang limitasyon ng ratio na ito kapag Δх→ 0.

Ang proseso ng paghahanap ng derivative ay tinatawag na differentiation ng function. Ito ang sangay ng mas mataas na matematika na tinatawag na "Differential Calculus".

Ang talahanayan ng mga derivatives ng mga pangunahing elementary function na nakuha ng panuntunan sa itaas ay ibinigay sa ibaba.

Hindi. p/p	Mga uri ng function	Function derivative
	pare-pareho y=c	y" = 0
	Power function y = x n (n ay maaaring maging positibo, negatibo, integer, fractional)	y" = nx n-1
	Exponential function y = a x (a > 0; a ≠ 1) y = e x y \u003d e -x, y \u003d e -kx (k \u003d const)	y" = isang x log a y" = e x y" \u003d - e -x, y" \u003d -k e -kx
	logarithmic function y = log a x (a > 0; a ≠ 1) y = log x	y" = y" =
	Trigonometric function: y = kasalanan x y = cos x y = tg x y = ctg x	y" = cos x y" = - kasalanan x y" = y" =

Kung ang expression na ang derivative ay makikita ay ang kabuuan, pagkakaiba, produkto, o quotient ng ilang mga function, halimbawa, ikaw, v , z, pagkatapos ay ginagamit ang mga sumusunod na panuntunan sa pagkita ng kaibhan (Talahanayan 2).

Narito ang ilang mga halimbawa ng pagkalkula ng mga derivative gamit ang mga talahanayan 1 at 2.

1. (x + sin x)" = (x)" + (sin x)" = 1 + cos x;

2. (x sin x)" = (x)" sin x + x (sin x)" = sin x + x cos x;

4. (5tgx)" = 5(tgx)" = .

Ang pisikal na kahulugan ng derivative ay na tinutukoy nito ang bilis (rate) ng pagbabago ng function.

Isaalang-alang ang isang halimbawa ng rectilinear motion. Ang bilis ng katawan ay katumbas ng ratio ng landas ∆S dumaan sa katawan sa panahong iyon Δt, hanggang sa pagitan ng oras na ito v = . Kung ang paggalaw ay hindi pantay, ang ratio ay ang average na bilis sa seksyong ito ng landas, at ang bilis na naaayon sa bawat naibigay na sandali ng oras ay tinatawag biglaang bilis at tinukoy bilang ang limitasyon ng ratio sa Δt→0, ibig sabihin.

Summarizing ang resulta na nakuha, ito ay maaaring argued na ang hinalaw ng function f(x) sa pamamagitan ng oras t ay ang agarang rate ng pagbabago ng function. Ang konsepto ng madalian na bilis ay tumutukoy hindi lamang sa mga mekanikal na paggalaw, kundi pati na rin sa anumang mga proseso na bubuo sa oras. Maaari mong mahanap ang rate ng contraction o relaxation ng kalamnan, ang rate ng crystallization ng solusyon, ang rate ng hardening ng filling material, ang rate ng pagkalat ng isang epidemic disease, atbp.

Ang halaga ng agarang acceleration sa lahat ng mga prosesong ito ay katumbas ng time derivative ng velocity function:

. (5)

Sa mechanics, ang pangalawang derivative ng landas na may paggalang sa oras.

Ang konsepto ng isang derivative, bilang isang dami na nagpapakilala sa rate ng pagbabago ng isang function, ay ginagamit para sa iba't ibang dependencies. Halimbawa, kailangan mong malaman kung gaano kabilis ang pagbabago ng temperatura kasama ang isang metal rod kung ang isa sa mga dulo nito ay pinainit. Sa kasong ito, ang temperatura ay isang function ng coordinate x, ibig sabihin. T = f(x) at nailalarawan ang bilis ng pagbabago ng temperatura sa espasyo.

Ang derivative ng ilang function na f(x) na may kinalaman sa coordinate x ay tinatawag gradient function na ito(ang abbreviation grad mula sa lat. gradient ay kadalasang ginagamit). Ang mga gradient ng iba't ibang variable ay mga dami ng vector, palaging nakadirekta sa direksyon ng pagtaas ng halaga ng mga variable .

Tandaan na ang mga gradient ng maraming dami ay isa sa mga ugat na sanhi ng mga metabolic na proseso na nagaganap sa mga biological system. Ito ay, halimbawa, concentration gradient, electrochemical potential gradient (μ ay ang Greek letter "mu"), electric potential gradient.

Sa maliit Δx maaaring isulat:

. (6)

Ang ideya ay ito: kumuha ng ilang halaga (basahin ang "delta x") , na tatawagin natin pagtaas ng argumento, at simulan natin ang "subukan ito" sa iba't ibang punto ng ating landas:

1) Tingnan natin ang pinakakaliwang punto: pag-bypass sa distansya , umakyat tayo sa slope sa isang taas (berdeng linya). Ang halaga ay tinatawag pagtaas ng function, at sa kasong ito ang pagtaas na ito ay positibo (ang pagkakaiba ng mga halaga sa kahabaan ng axis ay mas malaki kaysa sa zero). Gawin natin ang ratio , na siyang magiging sukatan ng tirik ng ating kalsada. Malinaw, ay isang napaka-tiyak na numero, at dahil ang parehong mga pagtaas ay positibo, kung gayon .

Pansin! Pagtatalaga ayISAsimbolo, iyon ay, hindi mo maaaring "punitin" ang "delta" mula sa "x" at isaalang-alang ang mga titik na ito nang hiwalay. Siyempre, nalalapat din ang komento sa simbolo ng pagtaas ng function.

Tuklasin natin ang katangian ng resultang fraction nang mas makabuluhan. Ipagpalagay na sa simula tayo ay nasa taas na 20 metro (sa kaliwang itim na tuldok). Ang pagkakaroon ng pagtagumpayan ang distansya ng mga metro (kaliwang pulang linya), kami ay nasa taas na 60 metro. Pagkatapos ay ang pagtaas ng function ay magiging metro (berdeng linya) at: . kaya, sa bawat metro itong bahagi ng kalsada tumataas ang taaskaraniwan sa pamamagitan ng 4 na metro…nakalimutan mo ba ang iyong kagamitan sa pag-akyat? =) Sa madaling salita, ang constructed ratio ay nagpapakilala sa AVERAGE RATE NG PAGBABAGO (sa kasong ito, paglago) ng function.

Tandaan : Ang mga numerong halaga ng halimbawang pinag-uusapan ay tumutugma sa mga proporsyon ng pagguhit lamang ng humigit-kumulang.

2) Ngayon, pumunta tayo sa parehong distansya mula sa pinakakanang itim na tuldok. Dito ang pagtaas ay mas banayad, kaya ang pagtaas (crimson line) ay medyo maliit, at ang ratio kumpara sa nakaraang kaso ay magiging medyo katamtaman. Relatibong magsalita, metro at rate ng paglago ng function ay . Ibig sabihin, dito sa bawat metro ng kalsada ay nariyan karaniwan kalahating metro ang taas.

3) Isang maliit na pakikipagsapalaran sa gilid ng bundok. Tingnan natin ang tuktok na itim na tuldok na matatagpuan sa y-axis. Ipagpalagay natin na ito ay isang marka ng 50 metro. Muli nating napagtagumpayan ang distansya, bilang isang resulta kung saan nakita natin ang ating sarili na mas mababa - sa antas na 30 metro. Mula nang magawa ang kilusan itaas pababa(sa "kabaligtaran" na direksyon ng axis), pagkatapos ay ang pangwakas ang pagtaas ng function (taas) ay magiging negatibo: metro (kayumanggi na linya sa pagguhit). At sa kasong ito pinag-uusapan natin rate ng pagkabulok mga tampok: , iyon ay, para sa bawat metro ng landas ng seksyong ito, ang taas ay bumababa karaniwan sa pamamagitan ng 2 metro. Alagaan ang mga damit sa ikalimang punto.

Ngayon itanong natin ang tanong: ano ang pinakamahusay na halaga ng "pamantayan sa pagsukat" na gagamitin? Ito ay malinaw na ang 10 metro ay napaka-magaspang. Ang isang mahusay na dosenang bumps ay madaling magkasya sa kanila. Bakit may mga bumps, maaaring may malalim na bangin sa ibaba, at pagkatapos ng ilang metro - ang kabilang panig nito na may karagdagang matarik na pag-akyat. Kaya, sa isang sampung metro, hindi kami makakakuha ng isang naiintindihan na katangian ng naturang mga seksyon ng landas sa pamamagitan ng ratio.

Mula sa talakayan sa itaas, ang sumusunod na konklusyon ay sumusunod: mas maliit ang halaga, mas tumpak na ilalarawan natin ang kaginhawahan ng kalsada. Bukod dito, ang mga sumusunod na katotohanan ay totoo:

– Para sa anumang mga nakakataas na puntos maaari kang pumili ng isang halaga (kahit isang napakaliit) na akma sa loob ng mga hangganan ng isa o isa pang pagtaas. At nangangahulugan ito na ang katumbas na pagtaas ng taas ay magagarantiyahan na maging positibo, at ang hindi pagkakapantay-pantay ay wastong magsasaad ng paglaki ng function sa bawat punto ng mga agwat na ito.

- Gayundin, para sa anumang slope point, mayroong isang halaga na ganap na magkasya sa slope na ito. Samakatuwid, ang katumbas na pagtaas sa taas ay walang alinlangan na negatibo, at ang hindi pagkakapantay-pantay ay magpapakita ng tama ng pagbaba sa function sa bawat punto ng ibinigay na pagitan.

– Ang partikular na interes ay ang kaso kapag ang rate ng pagbabago ng function ay zero: . Una, ang zero height increment () ay tanda ng pantay na landas. At pangalawa, may iba pang mga kakaibang sitwasyon, mga halimbawa kung saan makikita mo sa figure. Isipin na dinala tayo ng tadhana sa pinakatuktok ng isang burol na may umaalingawngaw na mga agila o sa ilalim ng bangin na may umaalingawngaw na mga palaka. Kung gumawa ka ng isang maliit na hakbang sa anumang direksyon, kung gayon ang pagbabago sa taas ay magiging bale-wala, at maaari nating sabihin na ang rate ng pagbabago ng function ay talagang zero. Ang parehong pattern ay sinusunod sa mga punto.

Kaya, nilapitan namin ang isang kamangha-manghang pagkakataon upang ganap na tumpak na makilala ang rate ng pagbabago ng isang function. Pagkatapos ng lahat, ang mathematical analysis ay nagpapahintulot sa amin na idirekta ang pagtaas ng argumento sa zero: iyon ay, upang gawin itong infinitesimal.

Bilang resulta, lumitaw ang isa pang lohikal na tanong: posible bang makahanap ng kalsada at iskedyul nito ibang function, na sasabihin sa amin tungkol sa lahat ng flat, pataas, pababa, peak, lowlands, pati na rin ang rate ng pagtaas / pagbaba sa bawat punto ng landas?

Ano ang derivative? Kahulugan ng isang derivative.
Ang geometric na kahulugan ng derivative at differential

Mangyaring basahin nang mabuti at hindi masyadong mabilis - ang materyal ay simple at naa-access sa lahat! Okay lang kung sa ilang lugar ay may tila hindi masyadong malinaw, maaari mong palaging bumalik sa artikulo sa ibang pagkakataon. Sasabihin ko pa, kapaki-pakinabang na pag-aralan ang teorya nang maraming beses upang maunawaan nang husay ang lahat ng mga punto (ang payo ay partikular na nauugnay para sa mga "teknikal" na mga mag-aaral, kung saan ang mas mataas na matematika ay may mahalagang papel sa proseso ng edukasyon).

Ang pagsunod sa halimbawa ng mga kuwento ng pagpapatuloy ng pag-andar, ang "promosyon" ng paksa ay nagsisimula sa pag-aaral ng kababalaghan sa isang punto, at pagkatapos lamang ito ay umaabot sa mga numerical na pagitan.

1.1 Ilang problema ng pisika 3

2. Derivative

2.1 Rate ng pagbabago ng function 6

2.2 Derivative function 7

2.3 Derivative ng isang power function 8

2.4 Geometric na kahulugan ng derivative 10

2.5 Differentiation ng mga function

2.5.1 Pag-iiba ng mga resulta ng mga operasyong arithmetic 12

2.5.2 Differentiation ng complex at inverse functions 13

2.6 Derivatives ng parametrically tinukoy na mga function 15

3. Differential

3.1 Differential at ang geometric na kahulugan nito 18

3.2 Mga katangian ng pagkakaiba 21

4. Konklusyon

4.1 Apendise 1. 26

4.2 Apendise 2. 29

5. Listahan ng mga ginamit na literatura 32

1. Panimula

1.1 Ilang mga problema ng pisika. Isaalang-alang ang mga simpleng pisikal na phenomena: rectilinear motion at linear mass distribution. Upang pag-aralan ang mga ito, ang bilis ng paggalaw at density ay ipinakilala, ayon sa pagkakabanggit.

Suriin natin ang isang kababalaghan tulad ng bilis ng paggalaw at mga kaugnay na konsepto.

Hayaang gumalaw ang katawan sa isang tuwid na linya at alam natin ang distansya , ipinapasa ng katawan para sa bawat ibinigay na oras , ibig sabihin, alam natin ang distansya bilang isang function ng oras:

Ang equation
tinawag ang equation ng paggalaw at ang linyang tinukoy nito sa sistema ng ehe
- iskedyul ng paggalaw.

Isaalang-alang ang paggalaw ng katawan sa pagitan ng oras
mula sa ilang sandali hanggang sa sandaling ito
. Sa paglipas ng panahon, ang katawan ay naglakbay sa isang landas, at sa oras, isang landas
. Kaya, sa mga yunit ng oras ito ay naglakbay ng isang distansya

.

Kung ang galaw ay pare-pareho, kung gayon mayroong isang linear function:

Sa kasong ito
, at ang kaugnayan
nagpapakita kung gaano karaming mga yunit ng landas ang bawat yunit ng oras; sa parehong oras, ito ay nananatiling pare-pareho, anuman ang sandali sa oras ay kinuha, hindi sa kung anong pagtaas ng oras ang kinuha . Ito ay isang permanenteng saloobin tinawag pare-parehong bilis.

Ngunit kung ang paggalaw ay hindi pantay, depende ang ratio

mula sa , at mula sa . Ito ay tinatawag na average na bilis ng paggalaw sa pagitan ng oras mula sa at tinutukoy ng :

Sa pagitan ng oras na ito, na may parehong distansya na nilakbay, ang paggalaw ay maaaring mangyari sa pinaka magkakaibang mga paraan; graphically, ito ay inilalarawan ng katotohanan na sa pagitan ng dalawang punto sa eroplano (puntos
sa fig. 1) maaari kang gumuhit ng iba't ibang mga linya
- mga graph ng mga paggalaw sa isang partikular na agwat ng oras, at lahat ng iba't ibang paggalaw na ito ay tumutugma sa parehong average na bilis .

Sa partikular, sa pagitan ng mga punto dumadaan sa isang tuwid na linya
, na ang graph ng uniporme sa pagitan
paggalaw. Kaya ang average na bilis nagpapakita kung gaano kabilis kailangan mong gumalaw nang pantay upang makapasa sa parehong agwat ng oras parehong distansya
.

Parehong umalis , bawasan natin. Average na bilis na kinakalkula para sa binagong agwat
, nakahiga sa loob ng ibinigay na pagitan, ay maaaring, siyempre, ay naiiba kaysa sa; sa buong pagitan . Ito ay sumusunod mula dito na ang average na bilis ay hindi maaaring ituring bilang isang kasiya-siyang katangian ng paggalaw: ito (ang average na bilis) ay nakasalalay sa agwat kung saan ginawa ang pagkalkula. Batay sa katotohanan na ang average na bilis sa pagitan dapat isaalang-alang ang mas mahusay na katangian ng kilusan, mas kaunti , Gawin natin ito sa zero. Kung sa parehong oras ay may limitasyon sa average na bilis, pagkatapos ito ay kinuha bilang ang bilis ng paggalaw sa sandaling ito .

Kahulugan. bilis rectilinear motion sa isang naibigay na sandali ng oras ay tinatawag na limitasyon ng average na bilis na naaayon sa pagitan , kapag may posibilidad na zero:

Halimbawa. Isulat natin ang batas ng malayang pagkahulog:

.

Para sa average na rate ng pagkahulog sa pagitan ng oras, mayroon kami

at para sa bilis sa sandaling ito

.

Ito ay nagpapakita na ang bilis ng free fall ay proporsyonal sa oras ng paggalaw (fall).

2. Derivative

Ang rate ng pagbabago ng function. Derivative function. Derivative ng isang power function.

2.1 Ang rate ng pagbabago ng function. Ang bawat isa sa apat na espesyal na konsepto: bilis ng paggalaw, density, kapasidad ng init,

ang rate ng isang kemikal na reaksyon, sa kabila ng makabuluhang pagkakaiba sa kanilang pisikal na kahulugan, ay, mula sa isang matematikal na punto ng view, dahil ito ay madaling makita, ang parehong katangian ng kaukulang function. Ang lahat ng mga ito ay mga partikular na uri ng tinatawag na rate ng pagbabago ng isang function, na tinukoy, pati na rin ang nakalistang mga espesyal na konsepto, sa tulong ng konsepto ng isang limitasyon.

Kaya't pag-aralan natin sa mga pangkalahatang tuntunin ang tanong ng rate ng pagbabago ng function
, abstracting mula sa pisikal na kahulugan ng mga variable
.

Hayaan muna
- linear function:

.

Kung ang malayang baryabol nakakakuha ng increment
, pagkatapos ay ang function nakakakuha ng increment dito
. Saloobin
nananatiling pare-pareho, independiyente kung aling function ang isinasaalang-alang, o kung alin ang kinuha .

Ang tawag sa relasyong ito rate ng pagbabago linear function. Ngunit kung ang function ay hindi linear, pagkatapos ay ang kaugnayan

depende din sa , at mula sa . Ang ratio na ito ay "sa karaniwan" lamang ang nagpapakilala sa function kapag ang independiyenteng variable ay nagbabago mula sa ibinigay sa
; ito ay katumbas ng bilis ng naturang linear function, na, ibinigay ay may parehong pagtaas
.

Kahulugan.Saloobin tinawagaverage na bilis pagbabago ng function sa pagitan
.

Malinaw na mas maliit ang isinasaalang-alang na agwat, mas maganda ang average na bilis na nagpapakilala sa pagbabago sa function, kaya pinipilit namin malamang na zero. Kung sa parehong oras ay may limitasyon sa average na bilis, pagkatapos ito ay kinuha bilang isang sukatan, ang rate ng pagbabago ng function para sa isang naibigay na , at ay tinatawag na rate ng pagbabago ng function.

Kahulugan. Rate ng pagbabago ng function saibinigay na punto ay tinatawag na limitasyon ng average na rate ng pagbabago ng function sa pagitan kapag pupunta sa zero:

2.2 Derivative function. Rate ng pagbabago ng function

tinutukoy ng sumusunod na pagkakasunud-sunod ng mga aksyon:

1) sa pamamagitan ng pagtaas , itinalaga sa halagang ito , hanapin ang katumbas na pagtaas ng function

;

2) nabuo ang isang relasyon;

3) hanapin ang limitasyon ng ratio na ito (kung mayroon)

na may di-makatwirang pagkahilig sa zero.

Tulad ng nabanggit na, kung ang function na ito hindi linear

tapos yung relasyon depende din sa , at mula sa . Ang limitasyon ng ratio na ito ay nakasalalay lamang sa napiling halaga. at samakatuwid ay isang function ng . Kung ang function linear, kung gayon ang itinuturing na limitasyon ay hindi nakasalalay sa , ibig sabihin, ay magiging isang pare-parehong halaga.

Ang limitasyong ito ay tinatawag derivative ng isang function o simple lang derivative ng function at minarkahan ng ganito:
.Basahin: "ef stroke mula sa » o "ef prim from".

Kahulugan. derivative ng function na ito ay tinatawag na limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function sa pagtaas ng independent variable na may di-makatwirang aspirasyon, ang pagtaas na ito sa zero:

.

Ang halaga ng derivative ng isang function sa anumang ibinigay na punto karaniwang tinutukoy
.

Gamit ang ipinakilalang kahulugan ng derivative, masasabi natin na:

1) Ang bilis ng rectilinear motion ay ang derivative ng

mga function sa (nagmula sa landas na may paggalang sa oras).

2.3 Derivative ng isang power function.

Maghanap tayo ng mga derivative ng ilang simpleng function.

Hayaan
. Meron kami

,

ibig sabihin, derivative
ay isang pare-parehong halaga na katumbas ng 1. Ito ay malinaw, dahil - isang linear function at ang rate ng pagbabago ay pare-pareho.

Kung ang
, pagkatapos

Hayaan
, pagkatapos

Madaling mapansin ang isang pattern sa mga expression para sa mga derivatives ng isang power function
sa
. Patunayan natin na, sa pangkalahatan, ang derivative ng para sa anumang positive integer exponent ay katumbas ng
.

.

Ang expression sa numerator ay binago ng Newton binomial formula :

Sa kanang bahagi ng huling pagkakapantay-pantay ay ang kabuuan ng mga termino, ang una ay hindi nakadepende sa , at ang iba ay may posibilidad na zero kasama ng . Kaya

.

Kaya, ang power function na may positive integer ay may derivative na katumbas ng:

.

Sa
ang mga formula na hinango sa itaas ay sumusunod sa nahanap na pangkalahatang formula.

Totoo ang resultang ito para sa anumang indicator, halimbawa:

.

Isaalang-alang ngayon nang hiwalay ang derivative ng pare-pareho

.

Dahil ang function na ito ay hindi nagbabago sa isang pagbabago sa independent variable, kung gayon
. Kaya naman,

,

t. e. ang derivative ng pare-pareho ay zero.

2.4 Geometric na kahulugan ng derivative.

Function derivative ay may napakasimple at malinaw na geometric na kahulugan, na malapit na nauugnay sa konsepto ng isang padaplis sa isang linya.

Kahulugan. Padaplis
sa linya
sa punto niya
(Larawan 2). ay tinatawag na limitasyon ng posisyon ng linyang dumadaan sa punto, at isa pang punto
mga linya kapag ang puntong ito ay may posibilidad na sumanib sa ibinigay na punto.

.Pagtuturo

May average bilispagbabagomga function sa direksyon ng tuwid na linya. 1 ay tinatawag na derivative mga function sa direksyon at ipinahiwatig. Kaya - (1) - bilispagbabagomga function sa puntong...

Limitasyon at pagpapatuloy ng isang function

Mag-aral

Ang pisikal na kahulugan ng derivative. Ang derivative ay nagpapakilala bilispagbabago isang pisikal na dami na may kaugnayan sa ... . Sa anong halaga ng argumento ay katumbas bilispagbabagomga function at Desisyon. , at at. Gamit ang pisikal na kahulugan ng derivative...

Ang konsepto ng isang function ng isang variable at mga pamamaraan para sa pagtukoy ng mga function

Dokumento

Ang konsepto ng differential calculus characterizing bilispagbabagomga function; P. ay function, tinukoy para sa bawat x ... tuloy-tuloy na derivative (nailalarawan ang pagkakaiba ng calculus bilispagbabagomga function sa puntong ito). Tapos at...

§ 5 Mga partial derivatives ng complex functions differentials of complex functions 1 Partial derivatives ng complex functions

Dokumento

Ito ay umiiral at may hangganan) ay magiging bilispagbabagomga function sa isang punto sa direksyon ng vector. Ang kanyang ... at nagsasaad o. Bilang karagdagan sa magnitude bilispagbabagomga function, ay nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang kalikasan pagbabagomga function sa isang punto sa direksyon ng vector...