Gumawa tayo ng ilang mga paliwanag na pahayag tungkol sa espesipikasyon ng isang function sa pamamagitan ng analytic expression o formula, na gumaganap ng napakahalagang papel sa mathematical analysis.

1° Una sa lahat, anong mga analytical na operasyon o aksyon ang maaaring isama sa mga formula na ito? Sa unang lugar, ang lahat ng mga operasyong pinag-aralan sa elementarya na algebra at trigonometry ay nauunawaan dito: mga operasyong arithmetic, exponentiation sa isang kapangyarihan (at pagkuha ng isang ugat), logarithm, paglipat mula sa mga anggulo patungo sa kanilang mga trigonometriko na dami at vice versa [tingnan. sa ibaba 48 - 51]. Gayunpaman, at mahalagang bigyang-diin ito, habang umuunlad ang aming impormasyon sa pagsusuri, ang iba pang mga operasyon ay idaragdag sa kanilang numero, una sa lahat, ang pagpasa sa limitasyon, kung saan pamilyar na ang mambabasa mula sa Kabanata I.

Kaya, ang buong nilalaman ng terminong "analytical expression" o "formula" ay unti-unti lamang ihahayag.

2° Ang pangalawang pangungusap ay nauugnay sa domain ng kahulugan ng isang function sa pamamagitan ng analytic expression o formula.

Ang bawat analytic na expression na naglalaman ng isang argumento x ay may, kumbaga, isang natural na lugar ng aplikasyon: ito ay ang hanay ng lahat ng mga halaga ng x kung saan ito ay nagpapanatili ng isang kahulugan, ibig sabihin, ay may isang mahusay na tinukoy, may hangganan, totoong halaga. Ipaliwanag natin ito sa mga simpleng halimbawa.

Kaya, para sa isang expression, ang nasabing lugar ay ang buong hanay ng mga tunay na numero. Para sa isang expression, ang lugar na ito ay mababawasan sa isang saradong pagitan kung saan ang halaga nito ay hindi na magiging totoo. Sa kabaligtaran, ang expression ay kailangang magsama ng isang bukas na puwang bilang natural na saklaw nito, dahil sa mga dulo ang denominator nito ay nagiging 0. Minsan ang hanay ng mga halaga kung saan ang expression ay nagpapanatili ng kahulugan ay binubuo ng mga nakakalat na puwang: para sa mga ito ay magkakaroon gaps para sa - gaps, atbp.

Bilang pangwakas na halimbawa, isaalang-alang ang kabuuan ng isang walang katapusang geometric na pag-unlad

Kung gayon, tulad ng alam natin, umiiral ang limitasyong ito at may halagang . Para sa , ang limitasyon ay maaaring pantay o wala talaga. Kaya, para sa analytic expression sa itaas, ang natural na saklaw ay ang bukas na pagitan

Sa susunod na presentasyon, kailangan nating isaalang-alang ang parehong mas kumplikado at mas pangkalahatang analytic na mga expression, at higit sa isang beses nating pag-aaralan ang mga katangian ng mga function na ibinigay ng isang katulad na expression sa buong rehiyon kung saan ito ay nagpapanatili ng kahulugan, ibig sabihin, ang pag-aaral ng analytic apparatus mismo.

Gayunpaman, posible rin ang isa pang estado ng mga pangyayari, kung saan itinuturing namin na kinakailangan upang maakit ang pansin ng mambabasa nang maaga. Isipin natin na ang ilang partikular na tanong, kung saan ang variable na x ay mahalagang limitado sa hanay ng X, na humantong sa pagsasaalang-alang ng isang function na umaamin ng analytic na expression. Bagama't maaaring mangyari na ang ekspresyong ito ay may katuturan sa labas ng rehiyon X, siyempre, imposibleng lumampas dito. Dito ang analytical expression ay gumaganap ng isang subordinate, auxiliary na papel.

Halimbawa, kung, ang pagsisiyasat sa malayang pagbagsak ng isang mabigat na punto mula sa taas sa ibabaw ng lupa, gagamitin natin ang formula

Ito ay magiging walang katotohanan na isaalang-alang ang mga negatibong halaga ng t o mga halaga na mas malaki kaysa sa, dahil madaling makita, sa , ang punto ay mahuhulog na sa lupa. At ito ay sa kabila ng katotohanan na ang mismong ekspresyon ay nagpapanatili ng kahulugan nito para sa lahat ng tunay.

3° Maaaring mangyari na ang isang function ay hindi tinukoy ng parehong formula para sa lahat ng mga halaga ng argumento, ngunit para sa ilan sa pamamagitan ng isang formula at para sa iba ng isa pa. Ang isang halimbawa ng naturang function sa pagitan ay ang function na tinukoy ng sumusunod na tatlong formula:

at sa wakas kung .

Binanggit din namin ang Dirichlet function (P. G. Lejeune-Dinchlet), na tinukoy bilang sumusunod:

Sa wakas, kasama ang Kronecker (L. Kroneckcf) isasaalang-alang natin ang function, na tinawag niyang "signum" at tinutukoy ng

Iba't ibang mga paraan ng pagtatakda ng isang function Analytical, graphical, tabular - ang pinakasimpleng, at samakatuwid ang pinakasikat na paraan ng pagtatakda ng isang function, para sa aming mga pangangailangan ang mga pamamaraan na ito ay sapat na. Analytical graphic tabular Sa katunayan, sa matematika ay may ilang iba't ibang paraan ng pagtukoy ng isang function, at isa sa mga ito ay pandiwang, na ginagamit sa mga kakaibang sitwasyon.

Verbal na paraan ng pagtukoy ng isang function Ang isang function ay maaari ding tukuyin sa salita, iyon ay, descriptively. Halimbawa, ang tinatawag na Dirichlet function ay tinukoy bilang mga sumusunod: ang function na y ay katumbas ng 0 para sa lahat ng makatwiran at 1 para sa lahat ng hindi makatwiran na mga halaga ng argumento x. Ang ganitong function ay hindi matukoy ng isang talahanayan, dahil ito ay tinukoy sa buong numero ng axis at ang hanay ng mga halaga para sa argumento nito ay walang hanggan. Sa graphically, hindi rin matukoy ang function na ito. Gayunpaman, natagpuan ang isang analytical expression para sa function na ito, ngunit ito ay sobrang kumplikado na wala itong praktikal na halaga. Ang paraang berbal ay nagbibigay ng maikli at malinaw na kahulugan nito.

Halimbawa 1 Ang function na y = f (x) ay tinukoy sa set ng lahat ng hindi negatibong numero gamit ang sumusunod na panuntunan: ang bawat numero x 0 ay itinalaga ang unang decimal na lugar sa decimal na representasyon ng numerong x. Kung, sabihin nating, x \u003d 2.534, pagkatapos ay f (x) \u003d 5 (ang unang decimal na lugar ay ang numero 5); kung x = 13.002, kung gayon f(x) = 0; kung x \u003d 2/3, kung gayon, ang pagsusulat ng 2/3 bilang isang walang katapusang decimal fraction 0.6666 ..., nakita namin ang f (x) \u003d 6. At ano ang halaga ng f (15)? Ito ay katumbas ng 0, dahil ang 15 = 15.000…, at nakikita natin na ang unang decimal na lugar pagkatapos ng decimal point ay 0 (sa totoo lang, ang pagkakapantay-pantay na 15 = 14.999… ay totoo, ngunit sumang-ayon ang mga mathematician na huwag isaalang-alang ang walang katapusang periodic decimal fraction na may isang panahon ng 9).

Anumang di-negatibong numero x ay maaaring isulat bilang isang decimal fraction (finite o infinite), at samakatuwid para sa bawat value ng x makakahanap ka ng isang tiyak na bilang ng mga value ng unang decimal place, para mapag-usapan natin. isang function, kahit na medyo hindi karaniwan. D (f) = . = 2 [" title="(!LANG: Isang function na tinutukoy ng mga kundisyon: f (x) ay isang integer; f (x) x; x; f + 1 > x,x, ang integer na bahagi ng numero ay tinatawag na integer na bahagi ng numero.D (f) = (-;+), E (f) = Z (set ng mga integer) Para sa integer na bahagi ng numerong x, gamitin ang notasyon [ x ].= 2 [" class="link_thumb"> 7 !} Ang isang function na tinutukoy ng mga kundisyon: f (x) ay isang integer; f(x)x;x; f + 1 > x,x, ang integer na bahagi ng numero ay tinatawag na integer na bahagi ng numero. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (set ng mga integer) Para sa integer na bahagi ng numerong x, ginagamit ang notasyon [ x ]. = 2 = 47 [-0.23] = - 1 x,x, ang integer na bahagi ng numero ay tinatawag na integer na bahagi ng numero. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (set ng mga integer) Para sa integer na bahagi ng numerong x, ginagamit ang notasyon [ x ]. \u003d 2 ["\u003e x, x, ang integer na bahagi ng numero ay tinatawag na integer na bahagi ng numero. D (f) \u003d (-; +), E (f) \u003d Z (set ng mga integer) Para sa integer na bahagi ng numerong x, ginagamit ang notation [x]. \u003d 2 \u003d 47 [ - 0.23] \u003d - 1 "\u003e x, x, ang integer na bahagi ng numero ay tinatawag na integer na bahagi ng ang numero. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (set ng mga integer) Para sa integer na bahagi ng numerong x, ginagamit ang notasyon [ x ]. = 2 [" title="(!LANG: Isang function na tinutukoy ng mga kundisyon: f (x) ay isang integer; f (x) x; x; f + 1 > x,x, ang integer na bahagi ng numero ay tinatawag na integer na bahagi ng numero.D (f) = (-;+), E (f) = Z (set ng mga integer) Para sa integer na bahagi ng numerong x, gamitin ang notasyon [ x ].= 2 ["> title="Ang isang function na tinutukoy ng mga kundisyon: f (x) ay isang integer; f(x)x;x; f + 1 > x,x, ang integer na bahagi ng numero ay tinatawag na integer na bahagi ng numero. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (set ng mga integer) Para sa integer na bahagi ng numerong x, ginagamit ang notasyon [ x ]. = 2["> !}

Sa lahat ng mga pamamaraan sa itaas ng pagtukoy ng isang function, ang analytical na pamamaraan ay nagbibigay ng pinakamaraming pagkakataon para sa paggamit ng apparatus ng mathematical analysis, at ang graphic na paraan ay may pinakamalaking kalinawan. Iyon ang dahilan kung bakit ang mathematical analysis ay batay sa isang malalim na synthesis ng analytical at geometric na pamamaraan. Ang pag-aaral ng mga function na ibinigay nang analytical ay mas madali at nagiging malinaw kung isasaalang-alang natin ang mga graph ng mga function na ito nang magkatulad.

X y=x

Mahusay na mathematician - Dirichlet In propesor sa Berlin, mula 1855 Göttingen University. Ang mga pangunahing gawa sa teorya ng numero at pagsusuri sa matematika. Sa larangan ng mathematical analysis, si Dirichlet sa unang pagkakataon ay tumpak na bumalangkas at pinag-aralan ang konsepto ng conditional convergence ng isang serye, nagtatag ng isang criterion para sa convergence ng isang serye (ang tinatawag na Dirichlet criterion, 1862), at (1829) ay nagbigay isang mahigpit na patunay ng posibilidad ng pagpapalawak ng isang function sa isang seryeng Fourier na may hangganan na bilang ng maxima at minima. Ang mga makabuluhang gawa ng Dirichlet ay nakatuon sa mechanics at mathematical physics (prinsipyo ni Dirichlet sa teorya ng harmonic function). Dirichlet Peter Gustav Lejeune () German mathematician, foreign corresponding member. Petersburg Academy of Sciences (c), miyembro ng Royal Society of London (1855), Parisian Academy of Sciences (1854), Berlin Academy of Sciences. Pinatunayan ni Dirichlet ang isang teorama sa pagkakaroon ng isang walang katapusang malaking bilang ng mga prime sa anumang pag-unlad ng aritmetika ng mga integer, ang unang termino at ang pagkakaiba nito ay mga numero ng coprime at pinag-aralan (1837) ang batas ng pamamahagi ng mga prime sa mga pag-unlad ng aritmetika, na may kaugnayan sa na ipinakilala niya ang functional series ng isang espesyal na anyo ( tinatawag na Dirichlet series).

Ang isa sa mga klasikong kahulugan ng konsepto ng "function" ay mga kahulugan batay sa mga sulat. Nagpapakita kami ng isang bilang ng mga naturang kahulugan.

Kahulugan 1

Ang isang relasyon kung saan ang bawat halaga ng independent variable ay tumutugma sa isang solong halaga ng dependent variable ay tinatawag function.

Kahulugan 2

Hayaang ibigay ang dalawang hindi-bakanteng set na $X$ at $Y$. Ang isang tugmang $f$ na nagmamapa sa bawat $x\in X$ isa at isa lamang $y\in Y$ ay tinatawag function($f:X → Y$).

Kahulugan 3

Hayaang ang $M$ at $N$ ay dalawang arbitraryong hanay ng numero. Sinasabi na ang isang function na $f$ ay tinukoy sa $M$, kumukuha ng mga halaga mula sa $N$ kung ang bawat elemento ng $x\in X$ ay nauugnay sa isa at isang elemento lamang mula sa $N$.

Ang sumusunod na kahulugan ay ibinigay sa pamamagitan ng konsepto ng isang variable. Ang variable ay isang dami na sa pag-aaral na ito ay kumukuha ng iba't ibang mga numerical na halaga.

Kahulugan 4

Hayaang ang $M$ ang hanay ng mga halaga ng variable na $x$. Pagkatapos, kung ang bawat value na $x\in M$ ay tumutugma sa isang tiyak na value ng isa pang variable na $y$ ay isang function ng value na $x$ na tinukoy sa set na $M$.

Kahulugan 5

Hayaang maging ilang set ng numero ang $X$ at $Y$. Ang function ay isang set na $f$ ng mga nakaayos na pares ng mga numero $(x,\ y)$ na ang $x\in X$, $y\in Y$ at bawat $x$ ay kabilang sa isa at isang pares lang nito. set, at ang bawat $y$ ay nasa kahit isang pares ng .

Kahulugan 6

Anumang hanay na $f=\(\left(x,\ y\right)\)$ ng mga nakaayos na pares $\left(x,\ y\right)$ para sa anumang pares $\left(x",\ y" \kanan)\sa f$ at $\kaliwa(x"",\ y""\kanan)\sa f$ sumusunod ito mula sa kundisyong $y"≠ y""$ na ang $x"≠x""$ ay tinatawag na function o display.

Kahulugan 7

Ang function na $f:X → Y$ ay isang set na $f$ ng mga nakaayos na pares $\left(x,\ y\right)\in X\times Y$ para sa anumang elemento na $x\in X$ ay mayroong natatanging elementong $y\in Y$ na ang $\left(x,\ y\right)\in f$, ibig sabihin, ang function ay isang tuple ng mga object $\left(f,\ X,\ Y\right) $.

Sa mga kahulugang ito

Ang $x$ ay isang malayang variable.

$y$ ang dependent variable.

Ang lahat ng posibleng halaga ng variable na $x$ ay tinatawag na domain ng function, at lahat ng posibleng value ng variable na $y$ ay tinatawag na domain ng function.

Analytical na paraan ng pagtukoy ng isang function

Para sa pamamaraang ito, kailangan namin ang konsepto ng isang analytic na expression.

Kahulugan 8

Ang analytic expression ay produkto ng lahat ng posibleng mathematical operations sa anumang numero at variable.

Ang analytical na paraan ng pagtatakda ng function ay ang setting nito gamit ang analytical expression.

Halimbawa 1

$y=x^2+7x-3$, $y=\frac(x+5)(x+2)$, $y=cos5x$.

Mga kalamangan:

1. Gamit ang mga formula, matutukoy natin ang halaga ng isang function para sa anumang ibinigay na halaga ng variable na $x$;
2. Maaaring pag-aralan ang mga function na tinukoy sa ganitong paraan gamit ang apparatus ng mathematical analysis.

Minuse:

1. Maliit na visibility.
2. Minsan kailangan mong magsagawa ng napakahirap na mga kalkulasyon.

Tabular na paraan ng pagtukoy ng isang function

Ang ganitong paraan ng pagtatakda ay para sa ilang mga halaga ng independiyenteng variable, ang mga halaga ng umaasa na variable ay nakasulat. Ang lahat ng ito ay ipinasok sa mesa.

Halimbawa 2

Larawan 1.

Dagdag pa: Para sa anumang halaga ng independiyenteng variable na $x$ na inilagay sa talahanayan, ang katumbas na halaga ng function na $y$ ay agad na kinikilala.

Minuse:

1. Mas madalas kaysa sa hindi, walang buong detalye ng function;
2. Maliit na visibility.

ang function ay isang pagsusulatan sa pagitan ng mga elemento ng dalawang set, na itinatag ayon sa isang panuntunan na ang bawat elemento ng isang set ay nauugnay sa ilang elemento mula sa isa pang set.

ang graph ng isang function ay ang locus ng mga puntos sa eroplano na ang abscissas (x) at ordinates (y) ay konektado ng tinukoy na function:

ang punto ay matatagpuan (o matatagpuan) sa graph ng function kung at kung lamang .

Kaya, ang isang function ay maaaring sapat na inilarawan sa pamamagitan ng graph nito.

tabular na paraan. Medyo karaniwan, ito ay binubuo sa pagtatakda ng isang talahanayan ng mga indibidwal na halaga ng argumento at ang kanilang mga katumbas na halaga ng pag-andar. Ang pamamaraang ito ng pagtukoy sa isang function ay ginagamit kapag ang domain ng function ay isang discrete finite set.

Gamit ang tabular na paraan ng pagtukoy ng isang function, posible na humigit-kumulang na kalkulahin ang mga halaga ng function na hindi nakapaloob sa talahanayan, na naaayon sa mga intermediate na halaga ng argumento. Upang gawin ito, gamitin ang paraan ng interpolation.

Ang mga bentahe ng tabular na paraan ng pagtatakda ng isang function ay ginagawang posible upang matukoy ang ilang partikular na halaga nang sabay-sabay, nang walang karagdagang mga sukat o kalkulasyon. Gayunpaman, sa ilang mga kaso, hindi ganap na tinukoy ng talahanayan ang function, ngunit para lamang sa ilang mga halaga ng argumento at hindi nagbibigay ng visual na representasyon ng likas na katangian ng pagbabago sa function depende sa pagbabago sa argumento.

Graphic na paraan. Ang graph ng function na y = f(x) ay ang set ng lahat ng mga punto sa eroplano na ang mga coordinate ay nakakatugon sa ibinigay na equation.

Ang graphical na paraan ng pagtukoy ng isang function ay hindi palaging ginagawang posible upang tumpak na matukoy ang mga numerical na halaga ng argumento. Gayunpaman, ito ay may isang mahusay na kalamangan sa iba pang mga pamamaraan - visibility. Sa engineering at physics, ang isang graphical na paraan ng pagtatakda ng isang function ay kadalasang ginagamit, at isang graph ang tanging paraan na magagamit para dito.

Upang ang graphical na pagtatalaga ng isang function ay medyo tama mula sa isang mathematical point of view, ito ay kinakailangan upang ipahiwatig ang eksaktong geometric na konstruksyon ng graph, na kung saan, kadalasan, ay ibinibigay ng isang equation. Ito ay humahantong sa sumusunod na paraan ng pagtukoy ng isang function.

paraan ng pagsusuri. Kadalasan, ang batas na nagtatatag ng isang relasyon sa pagitan ng isang argumento at isang function ay tinukoy sa pamamagitan ng mga formula. Ang ganitong paraan ng pagtukoy sa isang function ay tinatawag na analytical.

Ginagawang posible ng pamamaraang ito para sa bawat numerical value ng argumentong x na mahanap ang katumbas na numerical value ng function na y nang eksakto o may ilang katumpakan.

Kung ang relasyon sa pagitan ng x at y ay ibinibigay ng isang pormula na niresolba nang may kinalaman sa y, ibig sabihin. ay may anyo na y = f(x), pagkatapos ay sinasabi namin na ang function ng x ay ibinibigay nang tahasan.

Kung ang mga halaga ng x at y ay nauugnay sa ilang equation ng form na F(x,y) = 0, i.e. ang formula ay hindi pinahihintulutan na may paggalang sa y, na nangangahulugan na ang function na y = f(x) ay tuwirang tinukoy.

Ang isang function ay maaaring tukuyin ng iba't ibang mga formula sa iba't ibang bahagi ng lugar ng gawain nito.

Ang analytical na paraan ay ang pinakakaraniwang paraan upang tukuyin ang mga function. Ang pagiging compact, conciseness, ang kakayahang kalkulahin ang halaga ng isang function para sa isang di-makatwirang halaga ng argument mula sa domain ng kahulugan, ang kakayahang ilapat ang apparatus ng mathematical analysis sa isang naibigay na function ay ang pangunahing bentahe ng analytical na paraan ng pagtukoy ng isang function. Kabilang sa mga disadvantage ang kawalan ng visibility, na nababayaran ng kakayahang bumuo ng isang graph at ang pangangailangang magsagawa kung minsan ay napakahirap na mga kalkulasyon.

pasalitang paraan. Ang pamamaraang ito ay binubuo sa katotohanan na ang functional dependence ay ipinahayag sa mga salita.

Halimbawa 1: ang function na E(x) ay ang integer na bahagi ng numerong x. Sa pangkalahatan, ang E(x) = [x] ay tumutukoy sa pinakamalaking integer na hindi lalampas sa x. Sa madaling salita, kung x = r + q, kung saan ang r ay isang integer (maaaring negatibo) at ang q ay kabilang sa pagitan = r. Ang function na E(x) = [x] ay pare-pareho sa pagitan = r.

Halimbawa 2: function y = (x) - fractional na bahagi ng isang numero. Mas tiyak, y =(x) = x - [x], kung saan ang [x] ay ang integer na bahagi ng numerong x. Ang function na ito ay tinukoy para sa lahat ng x. Kung ang x ay isang arbitrary na numero, pagkatapos ay kinakatawan ito bilang x = r + q (r = [x]), kung saan ang r ay isang integer at ang q ay nasa pagitan .
Nakikita namin na ang pagdaragdag ng n sa x argument ay hindi nagbabago sa halaga ng function.
Ang pinakamaliit na di-zero na numero sa n ay , kaya ang panahon ay sin 2x .

Ang halaga ng argumento kung saan ang function ay katumbas ng 0 ay tinatawag sero (ugat) mga function.

Ang isang function ay maaaring magkaroon ng maramihang mga zero.

Halimbawa, ang function y=x(x+1)(x-3) may tatlong zero: x=0, x=-1, x=3.

Sa geometriko, ang zero ng isang function ay ang abscissa ng intersection point ng graph ng function na may axis X .

Ipinapakita ng Figure 7 ang graph ng function na may mga zero: x = a, x = b at x = c .

Kung ang graph ng isang function ay lumalapit sa isang tiyak na tuwid na linya nang walang katiyakan habang ito ay lumalayo sa pinanggalingan, ang tuwid na linyang ito ay tinatawag na asymptote.

Baliktad na pag-andar

Hayaang ibigay ang function na y=ƒ(x) kasama ang domain ng definition D at ang set ng values ​​​​E. Kung ang bawat value na yєE ay tumutugma sa iisang value xєD, ang function na x=φ(y) ay tinutukoy ng domain ng kahulugan E at ang hanay ng mga halaga D (tingnan ang Fig. 102).

Ang nasabing function na φ(y) ay tinatawag na kabaligtaran ng function na ƒ(x) at nakasulat sa sumusunod na anyo: x=j(y)=f -1 (y) Tungkol sa mga function y=ƒ(x) at x=φ(y) sinasabi nila na magkabaligtaran sila. Upang mahanap ang function na x=φ(y) kabaligtaran sa function na y=ƒ(x), sapat na upang lutasin ang equation na ƒ(x)=y na may paggalang sa x (kung maaari).

1. Para sa function na y \u003d 2x, ang inverse function ay ang function na x \u003d y / 2;

2. Para sa function na y \u003d x2 xє, ang inverse function ay x \u003d √y; tandaan na para sa function na y \u003d x 2, na ibinigay sa segment [-1; 1], walang kabaligtaran, dahil ang isang halaga ng y ay tumutugma sa dalawang halaga ng x (halimbawa, kung y=1/4, kung gayon x1=1/2, x2=-1/2).

Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng inverse function na ang function na y=ƒ(x) ay may kabaligtaran kung at kung ang function na ƒ(x) ay tumutukoy ng isa-sa-isang pagsusulatan sa pagitan ng mga set D at E. ang mahigpit na monotonikong function ay may kabaligtaran. Bukod dito, kung ang pag-andar ay tumaas (bumababa), kung gayon ang kabaligtaran na pag-andar ay tataas din (bumababa).

Tandaan na ang function na y \u003d ƒ (x) at ang inverse x \u003d φ (y) ay inilalarawan ng parehong curve, iyon ay, ang kanilang mga graph ay nag-tutugma. Kung sumasang-ayon tayo na, gaya ng dati, ang independiyenteng variable (i.e., ang argumento) ay tinutukoy ng x, at ang dependent variable ng y, kung gayon ang kabaligtaran na pag-andar ng function na y \u003d ƒ (x) ay isusulat bilang y \u003d φ (x).

Nangangahulugan ito na ang point M 1 (x o; y o) ng curve y=ƒ(x) ay nagiging point M 2 (y o; x o) ng curve y=φ(x). Ngunit ang mga puntos na M 1 at M 2 ay simetriko tungkol sa tuwid na linya y \u003d x (tingnan ang Fig. 103). Samakatuwid, ang mga graph ng magkabaligtaran na function y=ƒ(x) at y=φ(x) ay simetriko na may paggalang sa bisector ng una at ikatlong coordinate na mga anggulo.

Kumplikadong function

Hayaang tukuyin ang function na y=ƒ(u) sa set D, at ang function na u= φ(x) sa set D 1 , at para sa  x D 1 ang katumbas na halaga u=φ(x) є D. Pagkatapos sa set D 1 ay tinukoy ang function na u=ƒ(φ(x)), na tinatawag na isang kumplikadong function ng x (o isang superposisyon ng mga ibinigay na function, o isang function ng isang function).

Ang variable na u=φ(x) ay tinatawag na intermediate argument ng isang complex function.

Halimbawa, ang function na y=sin2x ay isang superposisyon ng dalawang function na y=sinu at u=2x. Ang isang kumplikadong function ay maaaring magkaroon ng maramihang mga intermediate na argumento.

4. Mga pangunahing pag-andar ng elementarya at ang kanilang mga graph.

Ang mga sumusunod na function ay tinatawag na basic elementary functions.

1) Ang exponential function y \u003d a x, a> 0, a ≠ 1. Sa fig. 104 ay nagpapakita ng mga graph ng exponential function na tumutugma sa iba't ibang exponential base.

2) Power function y=x α , αєR. Ang mga halimbawa ng mga graph ng mga function ng kapangyarihan na tumutugma sa iba't ibang mga exponent ay ibinigay sa mga figure

3) Logarithmic function y=log a x, a>0,a≠1; Ang mga graph ng logarithmic function na tumutugma sa iba't ibang base ay ipinapakita sa fig. 106.

4) Trigonometric functions y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; Ang mga graph ng trigonometriko function ay may anyo na ipinapakita sa fig. 107.

5) Inverse trigonometric functions y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx. Sa fig. Ang 108 ay nagpapakita ng mga graph ng inverse trigonometriko function.

Ang isang function na ibinibigay ng isang formula, na binubuo ng mga pangunahing elementary function at constants gamit ang isang may hangganang bilang ng mga arithmetic operations (addition, subtraction, multiplication, division) at operations ng pagkuha ng function mula sa isang function, ay tinatawag na elementary function.

Ang mga halimbawa ng elementarya ay ang mga function

Ang mga halimbawa ng non-elementary functions ay ang functions

5. Mga konsepto ng limitasyon ng isang sequence at isang function. Limitahan ang mga katangian.

Limitasyon sa pag-andar (limitasyon ng pag-andar) sa isang partikular na punto, na naglilimita para sa domain ng kahulugan ng isang function, ay tulad ng isang halaga kung saan ang halaga ng function na isinasaalang-alang ay may kaugaliang kapag ang argumento nito ay may posibilidad sa isang partikular na punto.

Sa matematika limitasyon ng pagkakasunud-sunod Ang mga elemento ng isang metric space o isang topological space ay isang elemento ng parehong espasyo na may pag-aari ng "pag-akit" ng mga elemento ng isang naibigay na pagkakasunud-sunod. Ang limitasyon ng isang pagkakasunud-sunod ng mga elemento ng isang topological na espasyo ay isang punto, ang bawat kapitbahayan ay naglalaman ng lahat ng mga elemento ng pagkakasunud-sunod, simula sa ilang numero. Sa isang sukatan na espasyo, ang mga kapitbahayan ay tinukoy sa mga tuntunin ng isang function ng distansya, kaya ang konsepto ng isang limitasyon ay nabuo sa wika ng mga distansya. Sa kasaysayan, ang una ay ang konsepto ng limitasyon ng isang numerical sequence, na lumitaw sa mathematical analysis, kung saan ito ay nagsisilbing batayan para sa isang sistema ng approximations at malawakang ginagamit sa pagbuo ng differential at integral calculus.

pagtatalaga:

(basahin: ang limitasyon ng x-nth sequence bilang en tending to infinity ay a)

Ang pag-aari ng isang sequence na magkaroon ng limitasyon ay tinatawag convergence: kung ang isang sequence ay may limitasyon, ang ibinigay na sequence ay sinasabing nagtatagpo; kung hindi (kung ang pagkakasunod-sunod ay walang limitasyon) ang pagkakasunod-sunod ay sinasabing diverges. Sa isang Hausdorff space, at sa partikular na isang metric space, ang bawat subsequence ng convergent sequence ay nagtatagpo, at ang limitasyon nito ay pareho sa limitasyon ng orihinal na sequence. Sa madaling salita, ang pagkakasunod-sunod ng mga elemento sa isang Hausdorff space ay hindi maaaring magkaroon ng dalawang magkaibang limitasyon. Maaaring, gayunpaman, lumabas na ang sequence ay walang limitasyon, ngunit mayroong isang kasunod (ng ibinigay na sequence) na may limitasyon. Kung ang anumang pagkakasunud-sunod ng mga punto sa isang espasyo ay may convergent na kasunod, kung gayon ang ibinigay na espasyo ay sinasabing may pag-aari ng sequential compactness (o, simple, compactness kung ang compactness ay eksklusibong tinukoy sa mga tuntunin ng mga sequence).

Ang konsepto ng limitasyon ng isang sequence ay direktang nauugnay sa konsepto ng isang limit point (set): kung ang isang set ay may limitasyon na punto, pagkatapos ay mayroong isang sequence ng mga elemento ng ibinigay na set na nagtatagpo sa ibinigay na punto.

Kahulugan

Hayaang magbigay ng topological space at isang sequence Pagkatapos, kung mayroong isang elementong ganoon

kung saan ay isang bukas na set na naglalaman ng , pagkatapos ito ay tinatawag na limitasyon ng sequence . Kung sukatan ang espasyo, maaaring tukuyin ang limitasyon gamit ang isang sukatan: kung mayroong elementong ganoon

kung saan ang sukatan, pagkatapos ay tinatawag na limitasyon.

· Kung ang isang espasyo ay nilagyan ng isang antidiscrete topology, kung gayon ang anumang elemento ng espasyo ay magiging limitasyon ng anumang pagkakasunud-sunod.

6. Limitasyon ng isang function sa isang punto. Mga unilateral na limitasyon.

Function ng isang variable. Pagtukoy sa limitasyon ng isang function sa isang punto ayon sa Cauchy. Numero b ay tinatawag na limitasyon ng function sa = f(x) sa X nagsusumikap para sa a(o sa punto a) kung para sa anumang positibong numero  mayroong positibong numero  tulad na para sa lahat ng x ≠ a, tulad na | x – a | < , выполняется неравенство
| f(x) – a | <  .

Pagtukoy sa limitasyon ng isang function sa isang punto ayon kay Heine. Numero b ay tinatawag na limitasyon ng function sa = f(x) sa X nagsusumikap para sa a(o sa punto a) kung para sa anumang pagkakasunod-sunod ( x n) nagtatagpo sa a(naghahangad na a, na may limitasyon sa bilang a), at para sa anumang halaga n x n≠ a, kasunod ( y n= f(x n)) nagtatagpo sa b.

Ipinapalagay ng mga kahulugang ito na ang function sa = f(x) ay tinukoy sa ilang kapitbahayan ng punto a, maliban marahil sa mismong punto a.

Ang mga kahulugan ng limitasyon ng isang function sa isang punto ayon kay Cauchy at ayon kay Heine ay katumbas: kung ang numero b nagsisilbing limitasyon sa isa sa kanila, at gayon din sa pangalawa.

Ang tinukoy na limitasyon ay ipinahiwatig tulad ng sumusunod:

Sa geometriko, ang pagkakaroon ng limitasyon ng isang function sa isang punto ayon sa Cauchy ay nangangahulugan na para sa anumang numero  > 0, ang naturang parihaba ay maaaring ipahiwatig sa coordinate plane na may base na 2 > 0, isang taas 2 at isang sentro sa punto ( a; b) na ang lahat ng mga punto ng graph ng function na ito sa pagitan ( a– ; a+ ), na may posibleng pagbubukod sa punto M(a; f(a)), humiga sa parihaba na ito

Isang panig na limitasyon sa mathematical analysis, ang limitasyon ng isang numerical function, na nagpapahiwatig ng "paglapit" sa limit point mula sa isang gilid. Ang nasabing mga limitasyon ay tinatawag ayon sa pagkakabanggit kaliwang limitasyon(o kaliwang limitasyon) at limitasyon sa kanang kamay (limitasyon sa kanan). Hayaang magbigay ng numerical function sa ilang hanay ng numero at ang numero ay ang limit point ng domain ng kahulugan. Mayroong iba't ibang mga kahulugan para sa mga one-sided na limitasyon ng isang function sa isang punto, ngunit lahat sila ay katumbas.

ay ibinigay, sa madaling salita, kilala, kung para sa bawat halaga ng posibleng bilang ng mga argumento posible na malaman ang kaukulang halaga ng function. Ang pinakakaraniwang tatlo paraan ng pagtukoy ng function: tabular, graphic, analytical, mayroon ding verbal at recursive na pamamaraan.

1. Tabular na paraan ang pinakalaganap (mga talahanayan ng logarithms, square roots), ang pangunahing bentahe nito ay ang posibilidad na makakuha ng isang numerical na halaga ng function, ang mga disadvantages ay ang talahanayan ay maaaring mahirap basahin at kung minsan ay hindi naglalaman ng mga intermediate na halaga ng argumento .

Halimbawa:

x
y

Pangangatwiran X kinukuha ang mga halagang tinukoy sa talahanayan, at sa tinukoy ayon sa argumentong ito X.

2. Grapikong paraan binubuo sa pagguhit ng isang linya (graph), kung saan ang mga abscissas ay kumakatawan sa mga halaga ng argumento, at ang mga ordinate ay kumakatawan sa kaukulang mga halaga ng pag-andar. Kadalasan, para sa kalinawan, ang mga kaliskis sa mga palakol ay kinukuha nang iba.

Halimbawa: para mahanap ang schedule sa, na tumutugma sa x = 2.5 ito ay kinakailangan upang gumuhit ng isang patayo sa axis X sa marka 2,5 . Ang marka ay maaaring tumpak na gawin sa isang pinuno. Pagkatapos ay makikita natin iyon sa X = 2,5 sa katumbas 7,5 , ngunit kung kailangan nating hanapin ang halaga sa sa X katumbas ng 2,76 , kung gayon ang graphical na paraan ng pagtatakda ng function ay hindi magiging tumpak, dahil Hindi pinapayagan ng ruler ang ganitong tumpak na pagsukat.

Ang mga bentahe ng pamamaraang ito ng pagtatakda ng mga function ay nasa kadalian at integridad ng pang-unawa, sa pagpapatuloy ng pagbabago ng argumento; ang kawalan ay ang pagbaba sa antas ng katumpakan at ang kahirapan sa pagkuha ng mga tumpak na halaga.

3. Paraan ng analitikal binubuo sa pagtukoy ng isang function sa pamamagitan ng isa o higit pang mga formula. Ang pangunahing bentahe ng pamamaraang ito ay ang mataas na katumpakan ng pagtukoy sa pag-andar ng argumento ng interes, at ang kawalan ay ang oras na ginugol sa karagdagang mga operasyon sa matematika.

Halimbawa:

Maaaring tukuyin ang function gamit ang mathematical formula y=x2, saka kung X katumbas 2 , pagkatapos sa katumbas 4, nagtatayo kami X sa isang parisukat.

4. pasalitang paraan binubuo sa pagtukoy ng function sa simpleng wika, i.e. mga salita. Sa kasong ito, kinakailangan na magbigay ng input, mga halaga ng output at ang pagsusulatan sa pagitan nila.

Halimbawa:

Maaari mong pasalitang tukuyin ang isang function (gawain) na tinatanggap bilang isang natural na argumento X na may katumbas na halaga ng kabuuan ng mga digit na bumubuo sa halaga sa. Ipaliwanag: kung X katumbas 4 , pagkatapos sa katumbas 4 , at kung X katumbas 358 , pagkatapos sa ay katumbas ng kabuuan 3 + 5 + 8 , ibig sabihin. 16 . Karagdagang katulad.

5. Recursive na paraan ay binubuo sa pagtukoy ng isang function sa pamamagitan ng sarili nito, habang mga halaga ng function ay tinukoy sa mga tuntunin ng iba pang mga halaga nito. Ang paraan ng pagtukoy ng isang function ay ginagamit sa pagtukoy ng mga set at serye.

Halimbawa:

Kapag naagnas Mga numero ng Euler ibinigay ng function:

Ang pagdadaglat nito ay ibinigay sa ibaba:

Sa direktang pagkalkula, ang walang katapusang recursion ay nangyayari, ngunit maaari itong mapatunayan na ang halaga f(n) sa pagtaas n may kaugaliang pagkakaisa (samakatuwid, sa kabila ng kawalang-hanggan ng serye , ang halaga Mga numero ng Euler tiyak). Para sa isang tinatayang pagkalkula ng halaga e sapat na upang artipisyal na limitahan ang lalim ng recursion sa ilang paunang natukoy na numero at, kapag naabot ito, gamitin ito sa halip f(n) yunit.