Malinaw, ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring idagdag tulad ng iba pang dami , sa pamamagitan ng pagdaragdag sa kanila ng isa-isa kasama ng kanilang mga palatandaan.

Kaya, ang kabuuan ng a 3 at b 2 ay isang 3 + b 2 .
Ang kabuuan ng isang 3 - b n at h 5 -d 4 ay isang 3 - b n + h 5 - d 4 .

Logro ang parehong mga kapangyarihan ng parehong mga variable maaaring idagdag o ibawas.

Kaya, ang kabuuan ng 2a 2 at 3a 2 ay 5a 2 .

Malinaw din na kung kukuha tayo ng dalawang parisukat a, o tatlong parisukat a, o limang parisukat a.

Ngunit degree iba't ibang variable at iba't ibang grado magkaparehong mga variable, ay dapat idagdag sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga ito sa kanilang mga palatandaan.

Kaya, ang kabuuan ng isang 2 at isang 3 ay ang kabuuan ng isang 2 + a 3 .

Malinaw na ang parisukat ng a, at ang kubo ng a, ay hindi dalawang beses ang parisukat ng a, ngunit dalawang beses ang kubo ng a.

Ang kabuuan ng a 3 b n at 3a 5 b 6 ay a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Pagbabawas Ang mga kapangyarihan ay isinasagawa sa parehong paraan tulad ng karagdagan, maliban na ang mga palatandaan ng subtrahend ay dapat baguhin nang naaayon.

O kaya:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Pagpaparami ng kapangyarihan

Ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring i-multiply tulad ng iba pang mga dami sa pamamagitan ng pagsulat ng mga ito nang sunud-sunod, mayroon man o wala ang multiplication sign sa pagitan ng mga ito.

Kaya, ang resulta ng pagpaparami ng 3 sa b 2 ay isang 3 b 2 o aaabb.

O kaya:
x -3 ⋅ a m = isang m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Ang resulta sa huling halimbawa ay maaaring i-order sa pamamagitan ng pagdaragdag ng parehong mga variable.
Ang expression ay magkakaroon ng anyong: a 5 b 5 y 3 .

Sa pamamagitan ng paghahambing ng ilang mga numero (mga variable) na may mga kapangyarihan, makikita natin na kung alinman sa dalawa sa mga ito ay pinarami, ang resulta ay isang numero (variable) na may kapangyarihan na katumbas ng sum antas ng mga termino.

Kaya, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Narito ang 5 ay ang kapangyarihan ng resulta ng pagpaparami, katumbas ng 2 + 3, ang kabuuan ng mga kapangyarihan ng mga termino.

Kaya, a n .a m = a m+n .

Para sa isang n , ang a ay kinuha bilang isang kadahilanan hangga't ang kapangyarihan ng n ay;

At ang a m , ay kinukuha bilang isang kadahilanan nang kasing dami ng antas ng m ay katumbas ng;

Kaya, Ang mga kapangyarihan na may parehong mga base ay maaaring i-multiply sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga exponent.

Kaya, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . At x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

O kaya:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multiply (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Sagot: x 4 - y 4.
Multiply (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ang panuntunang ito ay totoo rin para sa mga numero na ang mga exponent ay - negatibo.

1. Kaya, a -2 .a -3 = a -5 . Ito ay maaaring isulat bilang (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Kung ang a + b ay pinarami ng a - b, ang resulta ay isang 2 - b 2: ibig sabihin

Ang resulta ng pagpaparami ng kabuuan o pagkakaiba ng dalawang numero ay katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng kanilang mga parisukat.

Kung ang kabuuan at pagkakaiba ng dalawang numero ay itinaas sa parisukat, ang resulta ay magiging katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng mga numerong ito sa pang-apat degree.

Kaya, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Dibisyon ng mga kapangyarihan

Ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring hatiin tulad ng ibang mga numero sa pamamagitan ng pagbabawas mula sa divisor, o sa pamamagitan ng paglalagay sa kanila sa anyo ng isang fraction.

Kaya ang a 3 b 2 na hinati sa b 2 ay isang 3 .

O kaya:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Ang pagsulat ng 5 na hinati ng 3 ay parang $\frac(a^5)(a^3)$. Ngunit ito ay katumbas ng isang 2 . Sa isang serye ng mga numero
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
anumang numero ay maaaring hatiin ng isa pa, at ang exponent ay magiging katumbas ng pagkakaiba mga tagapagpahiwatig ng mahahati na mga numero.

Kapag hinahati ang mga kapangyarihan na may parehong base, ang kanilang mga exponent ay ibinabawas..

Kaya, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Ibig sabihin, $\frac(yyy)(yy) = y$.

At a n+1:a = a n+1-1 = a n . Ibig sabihin, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

O kaya:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Ang panuntunan ay may bisa din para sa mga numerong may negatibo mga halaga ng degree.
Ang resulta ng paghahati ng isang -5 sa isang -3 ay isang -2 .
Gayundin, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 o $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Ito ay kinakailangan upang makabisado ang pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan nang napakahusay, dahil ang mga naturang operasyon ay napakalawak na ginagamit sa algebra.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga halimbawa na may mga fraction na naglalaman ng mga numerong may kapangyarihan

1. Bawasan ang mga exponents sa $\frac(5a^4)(3a^2)$ Sagot: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Bawasan ang mga exponent sa $\frac(6x^6)(3x^5)$. Sagot: $\frac(2x)(1)$ o 2x.

3. Bawasan ang mga exponent na a 2 / a 3 at a -3 / a -4 at dalhin sa isang common denominator.
a 2 .a -4 ay isang -2 unang numerator.
a 3 .a -3 ay isang 0 = 1, ang pangalawang numerator.
a 3 .a -4 ay a -1 , ang karaniwang numerator.
Pagkatapos ng pagpapasimple: a -2 /a -1 at 1/a -1 .

4. Bawasan ang mga exponents 2a 4 /5a 3 at 2 /a 4 at dalhin sa isang common denominator.
Sagot: 2a 3 / 5a 7 at 5a 5 / 5a 7 o 2a 3 / 5a 2 at 5/5a 2.

5. I-multiply ang (a 3 + b)/b 4 sa (a - b)/3.

6. I-multiply ang (a 5 + 1)/x 2 sa (b 2 - 1)/(x + a).

7. I-multiply ang b 4 /a -2 sa h -3 /x at a n /y -3 .

8. Hatiin ang isang 4 /y 3 sa isang 3 /y 2 . Sagot: a/y.

9. Hatiin ang (h 3 - 1)/d 4 sa (d n + 1)/h.

) at ang denominator ng denominator (nakukuha natin ang denominator ng produkto).

Fraction multiplication formula:

Halimbawa:

Bago magpatuloy sa pagpaparami ng mga numerator at denominator, kinakailangang suriin ang posibilidad ng pagbawas ng fraction. Kung pinamamahalaan mong bawasan ang fraction, magiging mas madali para sa iyo na magpatuloy sa paggawa ng mga kalkulasyon.

Dibisyon ng ordinaryong fraction sa fraction.

Dibisyon ng mga fraction na kinasasangkutan ng isang natural na numero.

Hindi ito nakakatakot gaya ng tila. Tulad ng sa kaso ng karagdagan, kino-convert namin ang isang integer sa isang fraction na may isang yunit sa denominator. Halimbawa:

Pagpaparami ng mga pinaghalong fraction.

Mga panuntunan para sa pagpaparami ng mga fraction (halo-halong):

• i-convert ang mga mixed fraction sa hindi wasto;
• i-multiply ang mga numerator at denominator ng mga fraction;
• binabawasan namin ang fraction;
• kung makakakuha tayo ng hindi tamang fraction, iko-convert natin ang improper fraction sa isang mixed.

Tandaan! Upang i-multiply ang isang mixed fraction sa isa pang mixed fraction, kailangan mo munang dalhin ang mga ito sa anyo ng mga hindi tamang fraction, at pagkatapos ay i-multiply ayon sa panuntunan para sa pagpaparami ng mga ordinaryong fraction.

Ang pangalawang paraan upang i-multiply ang isang fraction sa isang natural na numero.

Ito ay mas maginhawang gamitin ang pangalawang paraan ng pagpaparami ng isang ordinaryong fraction sa isang numero.

Tandaan! Upang i-multiply ang isang fraction sa isang natural na numero, kinakailangan na hatiin ang denominator ng fraction sa numerong ito, at iwanan ang numerator na hindi nagbabago.

Mula sa halimbawa sa itaas, malinaw na ang pagpipiliang ito ay mas maginhawang gamitin kapag ang denominator ng isang fraction ay hinati nang walang nalalabi sa isang natural na numero.

Mga multilevel na fraction.

Sa mataas na paaralan, madalas na matatagpuan ang tatlong-kuwento (o higit pa) na mga praksyon. Halimbawa:

Upang dalhin ang isang bahagi sa karaniwang anyo nito, ang paghahati sa pamamagitan ng 2 puntos ay ginagamit:

Tandaan! Kapag naghahati ng mga fraction, ang pagkakasunud-sunod ng paghahati ay napakahalaga. Mag-ingat, madaling malito dito.

Tandaan, Halimbawa:

Kapag hinahati ang isa sa anumang fraction, ang resulta ay magiging parehong fraction, baligtad lamang:

Mga praktikal na tip para sa pagpaparami at paghahati ng mga fraction:

1. Ang pinakamahalagang bagay sa pagtatrabaho sa mga fractional na expression ay ang kawastuhan at pagkaasikaso. Gawin ang lahat ng mga kalkulasyon nang maingat at tumpak, puro at malinaw. Mas mainam na isulat ang ilang dagdag na linya sa isang draft kaysa malito sa mga kalkulasyon sa iyong ulo.

2. Sa mga gawaing may iba't ibang uri ng fraction - pumunta sa uri ng ordinaryong fraction.

3. Binabawasan natin ang lahat ng fraction hanggang sa hindi na posible na bawasan.

4. Dinadala namin ang mga multi-level na fractional expression sa mga ordinaryong, gamit ang paghahati sa 2 puntos.

5. Hinahati natin ang yunit sa isang fraction sa ating isipan, sa pamamagitan lamang ng pag-ikot ng fraction.

Sa huling aralin, natutunan namin kung paano magdagdag at magbawas ng mga decimal fraction (tingnan ang aralin na " Pagdaragdag at pagbabawas ng mga decimal fraction"). Kasabay nito, tinantya nila kung gaano ang mga kalkulasyon ay pinasimple kumpara sa karaniwang "dalawang-kuwento" na mga praksyon.

Sa kasamaang palad, sa pagpaparami at paghahati ng mga decimal fraction, ang epektong ito ay hindi nangyayari. Sa ilang mga kaso, ang decimal notation ay nagpapalubha pa sa mga operasyong ito.

Una, ipakilala natin ang isang bagong kahulugan. Madalas namin siyang makilala, at hindi lamang sa araling ito.

Ang mahalagang bahagi ng isang numero ay ang lahat sa pagitan ng una at huling hindi zero na digit, kasama ang mga trailer. Ang pinag-uusapan natin ay mga numero lamang, ang decimal point ay hindi isinasaalang-alang.

Ang mga digit na kasama sa makabuluhang bahagi ng numero ay tinatawag na makabuluhang digit. Maaari silang ulitin at maging katumbas ng zero.

Halimbawa, isaalang-alang ang ilang mga decimal fraction at isulat ang kanilang mga katumbas na makabuluhang bahagi:

1. 91.25 → 9125 (mahahalagang numero: 9; 1; 2; 5);
2. 0.008241 → 8241 (mga makabuluhang numero: 8; 2; 4; 1);
3. 15.0075 → 150075 (mga makabuluhang numero: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0.0304 → 304 (mahahalagang numero: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (mayroong isang makabuluhang figure lamang: 3).

Pakitandaan: ang mga zero sa loob ng makabuluhang bahagi ng numero ay hindi napupunta kahit saan. Nakatagpo na tayo ng katulad noong natutunan nating i-convert ang mga decimal fraction sa ordinaryo (tingnan ang aralin na " Decimal Fractions ").

Napakahalaga ng puntong ito, at madalas ang mga pagkakamali dito kaya maglalathala ako ng pagsubok sa paksang ito sa malapit na hinaharap. Tiyaking magsanay! At kami, na armado ng konsepto ng isang makabuluhang bahagi, ay magpapatuloy, sa katunayan, sa paksa ng aralin.

Decimal multiplication

Ang multiplication operation ay binubuo ng tatlong magkakasunod na hakbang:

1. Para sa bawat fraction, isulat ang makabuluhang bahagi. Makakakuha ka ng dalawang ordinaryong integer - nang walang anumang denominator at decimal point;
2. I-multiply ang mga numerong ito sa anumang maginhawang paraan. Direkta, kung ang mga numero ay maliit, o sa isang hanay. Nakukuha namin ang makabuluhang bahagi ng nais na bahagi;
3. Alamin kung saan at kung gaano karaming mga digit ang inililipat ng decimal point sa orihinal na mga fraction upang makuha ang katumbas na makabuluhang bahagi. Magsagawa ng mga reverse shift sa makabuluhang bahagi na nakuha sa nakaraang hakbang.

Hayaan mong ipaalala ko sa iyo muli na ang mga zero sa mga gilid ng makabuluhang bahagi ay hindi kailanman isinasaalang-alang. Ang hindi pagpansin sa panuntunang ito ay humahantong sa mga pagkakamali.

1. 0.28 12.5;
2. 6.3 1.08;
3. 132.5 0.0034;
4. 0.0108 1600.5;
5. 5.25 10,000.

Nagtatrabaho kami sa unang expression: 0.28 12.5.

1. Isulat natin ang mahahalagang bahagi para sa mga numero mula sa ekspresyong ito: 28 at 125;
2. Ang kanilang produkto: 28 125 = 3500;
3. Sa unang multiplier, ang decimal point ay inilipat ng 2 digit sa kanan (0.28 → 28), at sa pangalawa - ng isa pang 1 digit. Sa kabuuan, kailangan ang paglipat sa kaliwa ng tatlong numero: 3500 → 3.500 = 3.5.

Ngayon ay haharapin natin ang expression na 6.3 1.08.

1. Isulat natin ang mahahalagang bahagi: 63 at 108;
2. Ang kanilang produkto: 63 108 = 6804;
3. Muli, dalawang paglilipat sa kanan: sa pamamagitan ng 2 at 1 digit, ayon sa pagkakabanggit. Sa kabuuan - muli 3 digit sa kanan, kaya ang reverse shift ay magiging 3 digit sa kaliwa: 6804 → 6.804. Sa pagkakataong ito, walang mga zero sa dulo.

Nakarating kami sa ikatlong expression: 132.5 0.0034.

1. Mahahalagang bahagi: 1325 at 34;
2. Ang kanilang produkto: 1325 34 = 45,050;
3. Sa unang bahagi, ang decimal point ay papunta sa kanan sa pamamagitan ng 1 digit, at sa pangalawa - ng kasing dami ng 4. Kabuuan: 5 sa kanan. Nagsasagawa kami ng shift ng 5 sa kaliwa: 45050 → .45050 = 0.4505. Ang zero ay inalis sa dulo, at idinagdag sa harap upang hindi mag-iwan ng "hubad" na decimal point.

Ang sumusunod na expression: 0.0108 1600.5.

1. Sumulat kami ng mahahalagang bahagi: 108 at 16 005;
2. I-multiply natin sila: 108 16 005 = 1 728 540;
3. Binibilang namin ang mga numero pagkatapos ng decimal point: sa unang numero ay mayroong 4, sa pangalawa - 1. Sa kabuuan - muli 5. Mayroon kaming: 1,728,540 → 17.28540 = 17.2854. Sa dulo, ang "dagdag" na zero ay inalis.

Panghuli, ang huling expression: 5.25 10,000.

1. Mahahalagang bahagi: 525 at 1;
2. Pinarami natin sila: 525 1 = 525;
3. Ang unang fraction ay inilipat ng 2 digit sa kanan, at ang pangalawang fraction ay inilipat ng 4 na digit sa kaliwa (10,000 → 1.0000 = 1). Kabuuang 4 − 2 = 2 digit sa kaliwa. Nagsasagawa kami ng reverse shift sa pamamagitan ng 2 digit sa kanan: 525, → 52 500 (kinailangan naming magdagdag ng mga zero).

Bigyang-pansin ang huling halimbawa: dahil ang decimal point ay gumagalaw sa iba't ibang direksyon, ang kabuuang shift ay sa pamamagitan ng pagkakaiba. Ito ay isang napakahalagang punto! Narito ang isa pang halimbawa:

Isaalang-alang ang mga numerong 1.5 at 12,500. Mayroon tayong: 1.5 → 15 (ilipat ng 1 sa kanan); 12 500 → 125 (shift 2 sa kaliwa). Kami ay "hakbang" ng 1 digit sa kanan, at pagkatapos ay 2 digit sa kaliwa. Bilang resulta, humakbang kami ng 2 − 1 = 1 digit sa kaliwa.

Desimal na dibisyon

Ang dibisyon ay marahil ang pinakamahirap na operasyon. Siyempre, dito maaari kang kumilos sa pamamagitan ng pagkakatulad sa multiplikasyon: hatiin ang mga makabuluhang bahagi, at pagkatapos ay "ilipat" ang decimal point. Ngunit sa kasong ito, maraming mga subtleties na nagpapawalang-bisa sa mga potensyal na pagtitipid.

Kaya tingnan natin ang isang generic na algorithm na medyo mas mahaba, ngunit mas maaasahan:

1. I-convert ang lahat ng decimal sa common fractions. Sa kaunting pagsasanay, ang hakbang na ito ay magdadala sa iyo ng ilang segundo;
2. Hatiin ang mga resultang fraction sa klasikal na paraan. Sa madaling salita, i-multiply ang unang fraction ng "invert" na pangalawa (tingnan ang aralin na " Multiplication and division of numerical fractions");
3. Kung maaari, ibalik ang resulta bilang isang decimal. Mabilis din ang hakbang na ito, dahil kadalasan ang denominator ay mayroon nang kapangyarihan na sampu.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

Isinasaalang-alang namin ang unang expression. Una, i-convert natin ang mga obi fraction sa mga decimal:

Ginagawa namin ang parehong sa pangalawang expression. Ang numerator ng unang fraction ay muling nabulok sa mga salik:

Mayroong mahalagang punto sa ikatlo at ikaapat na halimbawa: pagkatapos maalis ang decimal notation, lilitaw ang mga nakanselang fraction. Gayunpaman, hindi namin gagawin ang pagbabawas na ito.

Ang huling halimbawa ay kawili-wili dahil ang numerator ng pangalawang fraction ay isang prime number. Walang dapat i-factor dito, kaya itinuturing namin itong "blangko":

Minsan ang paghahati ay nagreresulta sa isang integer (pinag-uusapan ko ang huling halimbawa). Sa kasong ito, ang ikatlong hakbang ay hindi ginanap sa lahat.

Bilang karagdagan, kapag hinahati, madalas na lumilitaw ang mga "pangit" na fraction na hindi maaaring ma-convert sa mga decimal. Dito naiiba ang dibisyon sa multiplikasyon, kung saan ang mga resulta ay palaging ipinahayag sa decimal na anyo. Siyempre, sa kasong ito, ang huling hakbang ay muling hindi ginanap.

Bigyang-pansin din ang ika-3 at ika-4 na halimbawa. Sa kanila, sadyang hindi namin binabawasan ang mga ordinaryong fraction na nakuha mula sa mga decimal. Kung hindi, ito ay magpapalubha sa kabaligtaran na problema - na kumakatawan sa huling sagot muli sa decimal na anyo.

Tandaan: ang pangunahing pag-aari ng isang fraction (tulad ng anumang iba pang tuntunin sa matematika) sa sarili nito ay hindi nangangahulugan na dapat itong ilapat sa lahat ng dako at palagi, sa bawat pagkakataon.

Halimbawa.

Hanapin ang produkto ng algebraic fractions at.

Desisyon.

Bago isagawa ang pagpaparami ng mga fraction, isinasali namin ang polynomial sa numerator ng unang fraction at ang denominator ng pangalawa. Ang katumbas na pinaikling mga formula ng multiplikasyon ay makakatulong sa atin dito: x 2 +2 x+1=(x+1) 2 at x 2 −1=(x−1) (x+1) . Kaya, .

Malinaw, ang resultang fraction ay maaaring mabawasan (tinalakay namin ang prosesong ito sa artikulo sa pagbabawas ng mga algebraic fraction).

Nananatili lamang na isulat ang resulta sa anyo ng isang algebraic fraction, kung saan kailangan mong i-multiply ang monomial ng polynomial sa denominator: .

Karaniwan, ang solusyon ay nakasulat nang walang paliwanag bilang isang pagkakasunud-sunod ng mga pagkakapantay-pantay:

Sagot:

.

Minsan may mga algebraic fraction na kailangang paramihin o hatiin, ang ilang pagbabago ay dapat gawin upang gawing mas madali at mas mabilis ang pagpapatupad ng mga operasyong ito.

Halimbawa.

Hatiin ang isang algebraic fraction sa isang fraction.

Desisyon.

Pasimplehin natin ang anyo ng isang algebraic fraction sa pamamagitan ng pag-alis ng fractional coefficient. Upang gawin ito, i-multiply namin ang numerator at denominator nito sa 7, na nagpapahintulot sa amin na gawin ang pangunahing pag-aari ng isang algebraic fraction, mayroon kaming .

Ngayon ay naging malinaw na ang denominator ng resultang fraction at ang denominator ng fraction kung saan kailangan nating hatiin ay magkasalungat na mga expression. Baguhin ang mga palatandaan ng numerator at denominator ng fraction , mayroon tayo .

Ang dalisay na matematika ay nasa paraan nito ang tula ng lohikal na ideya. Albert Einstein

Sa artikulong ito, nag-aalok kami sa iyo ng isang seleksyon ng mga simpleng mathematical trick, na marami sa mga ito ay lubos na nauugnay sa buhay at nagbibigay-daan sa iyo upang mabilang nang mas mabilis.

1. Mabilis na pagkalkula ng interes

Marahil, sa panahon ng mga pautang at pag-install, ang pinaka-kaugnay na kasanayan sa matematika ay maaaring tawaging isang virtuoso mental na pagkalkula ng interes. Ang pinakamabilis na paraan upang kalkulahin ang isang tiyak na porsyento ng isang numero ay upang i-multiply ang ibinigay na porsyento sa numerong ito at pagkatapos ay itapon ang huling dalawang digit sa resultang resulta, dahil ang porsyento ay walang iba kundi isang daan.

Magkano ang 20% ​​ng 70? 70 × 20 = 1400. Itinatapon namin ang dalawang digit at nakakuha kami ng 14. Kapag inayos mong muli ang mga salik, hindi nagbabago ang produkto, at kung susubukan mong kalkulahin ang 70% ng 20, ang sagot ay magiging 14 din.

Ang pamamaraang ito ay napaka-simple sa kaso ng mga bilog na numero, ngunit paano kung kailangan mong kalkulahin, halimbawa, isang porsyento ng numero 72 o 29? Sa ganoong sitwasyon, kailangan mong isakripisyo ang katumpakan para sa bilis at pag-ikot ng numero (sa aming halimbawa, ang 72 ay ni-round hanggang 70, at 29 hanggang 30), at pagkatapos ay gamitin ang parehong trick sa pagpaparami at pagtatapon ng huling dalawang digit.

2. Mabilis na pagsusuri sa divisibility

Maaari bang hatiin nang pantay ang 408 na kendi sa pagitan ng 12 bata? Madaling sagutin ang tanong na ito nang walang tulong ng calculator, kung aalalahanin natin ang mga simpleng senyales ng divisibility na itinuro sa atin noon sa paaralan.

• Ang isang numero ay nahahati sa 2 kung ang huling digit nito ay nahahati sa 2.
• Ang isang numero ay nahahati sa 3 kung ang kabuuan ng mga digit na bumubuo sa numero ay nahahati ng 3. Halimbawa, kunin ang numerong 501, ilarawan ito bilang 5 + 0 + 1 = 6. Ang 6 ay nahahati sa 3, na nangangahulugan na ang bilang na 501 mismo ay nahahati sa 3 .
• Ang isang numero ay nahahati sa 4 kung ang numerong nabuo sa huling dalawang digit nito ay nahahati sa 4. Halimbawa, kunin ang 2340. Ang huling dalawang digit ay bumubuo sa numerong 40, na nahahati sa 4.
• Ang isang numero ay nahahati sa 5 kung ang huling digit nito ay 0 o 5.
• Ang isang numero ay nahahati sa 6 kung ito ay nahahati sa 2 at 3.
• Ang isang numero ay nahahati sa 9 kung ang kabuuan ng mga digit na bumubuo sa numero ay nahahati sa 9. Halimbawa, kunin natin ang numerong 6,390 at i-represent ito bilang 6 + 3 + 9 + 0 = 18. Ang 18 ay nahahati sa 9, na nangangahulugang ang bilang na 6 mismo ay 390 ay nahahati ng 9.
• Ang isang numero ay nahahati sa 12 kung ito ay nahahati sa 3 at 4.

3. Mabilis na pagkalkula ng square root

Ang square root ng 4 ay 2. Kahit sino ay maaaring bilangin iyon. Paano naman ang square root ng 85?

Para sa isang mabilis na tinatayang solusyon, nakita namin ang pinakamalapit na square number sa ibinigay na isa, sa kasong ito ito ay 81 = 9^2.

Ngayon hanapin ang susunod na pinakamalapit na parisukat. Sa kasong ito ito ay 100 = 10^2.

Ang square root ng 85 ay nasa pagitan ng 9 at 10, at dahil ang 85 ay mas malapit sa 81 kaysa sa 100, ang square root ng numerong iyon ay 9 something.

4. Mabilis na pagkalkula ng oras pagkatapos na ang isang cash na deposito sa isang tiyak na porsyento ay doble

Gusto mo bang mabilis na malaman ang oras na aabutin para dumoble ang iyong cash deposit sa isang tiyak na rate ng interes? Hindi rin kailangan ng calculator, sapat na upang malaman ang "rule of 72".

Hinahati namin ang numerong 72 sa aming rate ng interes, pagkatapos nito makuha namin ang tinatayang panahon pagkatapos na magdodoble ang deposito.

Kung ang deposito ay ginawa sa 5% bawat taon, pagkatapos ay aabutin ng 14 na kakaibang taon para ito ay doble.

Bakit eksaktong 72 (minsan kumukuha sila ng 70 o 69)? Paano ito gumagana? Ang mga tanong na ito ay sasagutin nang detalyado ng Wikipedia.

5. Mabilis na pagkalkula ng oras pagkatapos na ang isang cash na deposito sa isang tiyak na porsyento ay magiging triple

Sa kasong ito, ang rate ng interes sa deposito ay dapat maging isang divisor ng 115.

Kung ang deposito ay ginawa sa 5% bawat taon, pagkatapos ay aabutin ng 23 taon para ito ay triple.

6. Mabilis na pagkalkula ng oras-oras na rate

Isipin na nakikipagpanayam ka sa dalawang tagapag-empleyo na hindi nagsasaad ng mga suweldo sa karaniwang format na "rubles bawat buwan", ngunit nagsasalita tungkol sa taunang suweldo at oras-oras na suweldo. Paano mabilis na kalkulahin kung saan sila nagbabayad ng higit pa? Kung saan ang taunang suweldo ay 360,000 rubles, o kung saan nagbabayad sila ng 200 rubles kada oras?

Upang kalkulahin ang pagbabayad para sa isang oras ng trabaho kapag binibigkas ang taunang suweldo, kinakailangang itapon ang huling tatlong character mula sa pinangalanang halaga, at pagkatapos ay hatiin ang resultang numero sa 2.

Ang 360,000 ay nagiging 360 ÷ 2 = 180 rubles kada oras. Other things being equal, mas maganda pala yung second proposal.

7. Advanced na matematika sa mga daliri

Ang iyong mga daliri ay may kakayahang higit pa sa simpleng pagdaragdag at pagbabawas.

Gamit ang iyong mga daliri, madali mong ma-multiply sa 9 kung bigla mong nakalimutan ang multiplication table.

Bilangin natin ang mga daliri sa mga kamay mula kaliwa hanggang kanan mula 1 hanggang 10.

Kung nais nating i-multiply ang 9 sa 5, pagkatapos ay ibaluktot natin ang ikalimang daliri mula sa kaliwa.

Ngayon tingnan natin ang mga kamay. Ito ay lumiliko ang apat na hindi nakabaluktot na mga daliri upang baluktot. Kinakatawan nila ang sampu. At limang hindi nakabaluktot na daliri pagkatapos ng nakabaluktot. Kinakatawan nila ang mga yunit. Sagot: 45.

Kung nais naming i-multiply ang 9 sa 6, pagkatapos ay ibaluktot namin ang ikaanim na daliri mula sa kaliwa. Nakakuha kami ng limang hindi nakabaluktot na daliri bago ang nakabaluktot na daliri at apat pagkatapos. Sagot: 54.

Kaya, maaari mong kopyahin ang buong column ng multiplikasyon sa pamamagitan ng 9.

8. Mabilis na multiplikasyon sa 4

Mayroong napakadaling paraan upang maparami nang napakabilis ng kidlat ang kahit na malalaking numero sa pamamagitan ng 4. Upang gawin ito, sapat na upang mabulok ang operasyon sa dalawang hakbang, i-multiply ang nais na numero sa 2, at pagkatapos ay muli sa 2.

Tingnan mo ang iyong sarili. Hindi lahat ay maaaring magparami kaagad ng 1,223 sa 4 sa kanilang isipan. At ngayon ginagawa namin ang 1223 × 2 = 2446 at pagkatapos ay 2446 × 2 = 4892. Ito ay mas madali.

9. Mabilis na pagtukoy ng kinakailangang minimum

Isipin na kumukuha ka ng serye ng limang pagsusulit, kung saan kailangan mo ng pinakamababang marka na 92. Ang huling pagsusulit ay nananatili, at ang mga resulta para sa mga nauna ay: 81, 98, 90, 93. Paano makalkula ang kinakailangan minimum na kailangan mong makuha sa huling pagsusulit?

Upang gawin ito, isinasaalang-alang namin kung gaano karaming mga puntos ang napalampas / napuntahan namin sa mga pagsusulit na naipasa na, na nagsasaad ng kakulangan na may mga negatibong numero, at ang mga resulta na may margin - positibo.

Kaya, 81 − 92 = −11; 98 - 92 = 6; 90 - 92 = -2; 93 - 92 = 1.

Pagdaragdag ng mga numerong ito, makukuha namin ang pagsasaayos para sa kinakailangang minimum: -11 + 6 - 2 + 1 = -6.

Lumalabas ang isang depisit na 6 na puntos, na nangangahulugan na ang kinakailangang minimum na pagtaas: 92 + 6 = 98. Masama ang mga bagay. :(

10. Mabilis na representasyon ng halaga ng isang ordinaryong fraction

Ang tinatayang halaga ng isang ordinaryong fraction ay maaaring napakabilis na kinakatawan bilang isang decimal fraction, kung una mong dadalhin ito sa simple at mauunawaang mga ratio: 1/4, 1/3, 1/2 at 3/4.

Halimbawa, mayroon kaming isang fraction na 28/77, na napakalapit sa 28/84 = 1/3, ngunit dahil dinagdagan namin ang denominator, ang orihinal na numero ay bahagyang mas malaki, iyon ay, bahagyang higit sa 0.33.

11. Trick sa Paghula ng Numero

Maaari kang maglaro ng isang maliit na David Blaine at sorpresahin ang iyong mga kaibigan sa isang kawili-wili ngunit napakasimpleng trick sa matematika.

1. Hilingin sa isang kaibigan na hulaan ang anumang buong numero.
2. I-multiply niya ito sa 2.
3. Pagkatapos ay magdagdag ng 9 sa resultang numero.
4. Ngayon ibawas natin ang 3 mula sa resultang numero.
5. At ngayon hayaan siyang hatiin ang resultang numero sa kalahati (ito ay hahatiin nang walang natitira pa rin).
6. Panghuli, hilingin sa kanya na ibawas mula sa resultang numero ang numero na naisip niya sa simula.

Ang sagot ay palaging magiging 3.

Oo, napaka bobo, ngunit kadalasan ang epekto ay lumampas sa lahat ng inaasahan.

Bonus

At, siyempre, hindi namin maiwasang ipasok sa post na ito ang parehong larawan na may napaka-cool na paraan ng pagpaparami.