Sa artikulong ito, ipapakita namin kung paano mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng anggulo at numero sa trigonometry. Dito ay pag-uusapan natin ang tungkol sa notasyon, magbigay ng mga halimbawa ng mga talaan, magbigay ng mga graphic na ilustrasyon. Sa konklusyon, gumuhit kami ng parallel sa pagitan ng mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent sa trigonometry at geometry.

Pag-navigate sa pahina.

Kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent

Sundin natin kung paano nabuo ang konsepto ng sine, cosine, tangent at cotangent sa kursong matematika ng paaralan. Sa mga aralin sa geometry, ibinibigay ang kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang acute angle sa isang right triangle. At kalaunan ay pinag-aralan ang trigonometrya, na tumutukoy sa sine, cosine, tangent at cotangent ng anggulo ng pag-ikot at ang numero. Ibinibigay namin ang lahat ng mga kahulugang ito, nagbibigay ng mga halimbawa at nagbibigay ng mga kinakailangang komento.

Talamak na anggulo sa isang tamang tatsulok

Mula sa kurso ng geometry, ang mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang acute angle sa isang right triangle ay kilala. Ang mga ito ay ibinibigay bilang ratio ng mga gilid ng isang tamang tatsulok. Ipinakita namin ang kanilang mga pormulasyon.

Kahulugan.

Sine ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng tapat na binti sa hypotenuse.

Kahulugan.

Cosine ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse.

Kahulugan.

Tangent ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng tapat na binti sa katabing binti.

Kahulugan.

Cotangent ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng katabing binti sa tapat na binti.

Ang notasyon ng sine, cosine, tangent at cotangent ay ipinakilala din doon - sin, cos, tg at ctg, ayon sa pagkakabanggit.

Halimbawa, kung ang ABC ay isang tamang tatsulok na may tamang anggulo C, kung gayon ang sine ng talamak na anggulo A ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na binti BC sa hypotenuse AB, iyon ay, sin∠A=BC/AB.

Ang mga kahulugan na ito ay nagpapahintulot sa iyo na kalkulahin ang mga halaga ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang matinding anggulo mula sa kilalang haba ng mga gilid ng isang right triangle, pati na rin mula sa mga kilalang halaga ng sine, cosine, tangent, cotangent at ang haba ng isa sa mga gilid, hanapin ang mga haba ng iba pang mga gilid. Halimbawa, kung alam natin na sa isang right triangle ang leg AC ay 3 at ang hypotenuse AB ay 7 , pagkatapos ay maaari nating kalkulahin ang cosine ng acute angle A sa pamamagitan ng kahulugan: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Anggulo ng pag-ikot

Sa trigonometrya, sinimulan nilang tingnan ang anggulo nang mas malawak - ipinakilala nila ang konsepto ng anggulo ng pag-ikot. Ang anggulo ng pag-ikot, hindi tulad ng isang matinding anggulo, ay hindi limitado sa mga frame mula 0 hanggang 90 degrees, ang anggulo ng pag-ikot sa mga degree (at sa radians) ay maaaring ipahayag ng anumang tunay na numero mula −∞ hanggang +∞.

Sa ganitong liwanag, ang mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ay hindi na isang matinding anggulo, ngunit isang anggulo ng di-makatwirang magnitude - ang anggulo ng pag-ikot. Ang mga ito ay ibinibigay sa pamamagitan ng x at y na mga coordinate ng point A 1 , kung saan ang tinatawag na initial point A(1, 0) ay dumadaan pagkatapos itong umikot sa isang anggulo α sa paligid ng point O - ang simula ng isang rectangular Cartesian coordinate system at ang gitna ng bilog na yunit.

Kahulugan.

Sine ng anggulo ng pag-ikot Ang α ay ang ordinate ng point A 1 , iyon ay, sinα=y .

Kahulugan.

cosine ng anggulo ng pag-ikot Ang α ay tinatawag na abscissa ng punto A 1 , iyon ay, cosα=x .

Kahulugan.

Tangent ng anggulo ng pag-ikot Ang α ay ang ratio ng ordinate ng point A 1 sa abscissa nito, iyon ay, tgα=y/x .

Kahulugan.

Ang cotangent ng anggulo ng pag-ikot Ang α ay ang ratio ng abscissa ng punto A 1 sa ordinate nito, iyon ay, ctgα=x/y .

Ang sine at cosine ay tinukoy para sa anumang anggulo α , dahil palagi nating matutukoy ang abscissa at ordinate ng isang punto, na nakukuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng panimulang punto sa pamamagitan ng anggulo α . At ang tangent at cotangent ay hindi tinukoy para sa anumang anggulo. Ang tangent ay hindi tinukoy para sa mga naturang anggulo α kung saan ang paunang punto ay napupunta sa isang puntong may zero abscissa (0, 1) o (0, −1) , at ito ay nagaganap sa mga anggulo na 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k rad). Sa katunayan, sa ganitong mga anggulo ng pag-ikot, ang expression na tgα=y/x ay hindi makatuwiran, dahil naglalaman ito ng dibisyon sa pamamagitan ng zero. Tulad ng para sa cotangent, hindi ito tinukoy para sa mga naturang anggulo α kung saan ang panimulang punto ay papunta sa isang punto na may zero ordinate (1, 0) o (−1, 0) , at ito ang kaso para sa mga anggulo 180° k , k . ∈Z (π k rad).

Kaya, ang sine at cosine ay tinukoy para sa anumang mga anggulo ng pag-ikot, ang tangent ay tinukoy para sa lahat ng mga anggulo maliban sa 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), at ang cotangent ay para sa lahat ng mga anggulo maliban sa 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).

Ang mga notasyong kilala na natin ay lumilitaw sa mga kahulugang sin, cos, tg at ctg, ginagamit din ang mga ito upang tukuyin ang sine, cosine, tangent at cotangent ng anggulo ng pag-ikot (kung minsan ay makikita mo ang notasyong tan at cot na tumutugon sa tangent at cotangent). Kaya ang sine ng anggulo ng pag-ikot na 30 degrees ay maaaring isulat bilang sin30°, ang mga tala tg(−24°17′) at ctgα ay tumutugma sa tangent ng anggulo ng pag-ikot −24 degrees 17 minuto at ang cotangent ng anggulo ng pag-ikot α . Alalahanin na kapag isinusulat ang radian na sukat ng isang anggulo, ang notasyong "rad" ay madalas na tinanggal. Halimbawa, ang cosine ng isang anggulo ng pag-ikot ng tatlong pi rad ay karaniwang tinutukoy na cos3 π .

Sa pagtatapos ng talatang ito, nararapat na tandaan na sa pag-uusap tungkol sa sine, cosine, tangent at cotangent ng anggulo ng pag-ikot, ang pariralang "anggulo ng pag-ikot" o ang salitang "pag-ikot" ay madalas na tinanggal. Iyon ay, sa halip na ang pariralang "sine ng anggulo ng pag-ikot alpha", ang pariralang "sine ng anggulo ng alpha" ay karaniwang ginagamit, o kahit na mas maikli - "sine ng alpha". Ang parehong naaangkop sa cosine, at tangent, at cotangent.

Sabihin din natin na ang mga kahulugan ng sine, cosine, tangent, at cotangent ng isang acute angle sa isang right triangle ay pare-pareho sa mga kahulugan na ibinigay para sa sine, cosine, tangent, at cotangent ng isang rotation angle mula 0 hanggang 90 degrees. Papatunayan natin ito.

Numero

Kahulugan.

Sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numero Ang t ay isang numerong katumbas ng sine, cosine, tangent at cotangent ng anggulo ng pag-ikot sa t radians, ayon sa pagkakabanggit.

Halimbawa, ang cosine ng 8 π ay, sa pamamagitan ng kahulugan, isang numero na katumbas ng cosine ng isang anggulo ng 8 π rad. At ang cosine ng anggulo sa 8 π rad ay katumbas ng isa, samakatuwid, ang cosine ng numero 8 π ay katumbas ng 1.

May isa pang diskarte sa kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numero. Binubuo ito sa katotohanan na ang bawat tunay na numero t ay itinalaga ng isang punto ng bilog ng yunit na nakasentro sa pinagmulan ng rectangular coordinate system, at ang sine, cosine, tangent at cotangent ay tinutukoy sa pamamagitan ng mga coordinate ng puntong ito. Pag-isipan natin ito nang mas detalyado.

Ipakita natin kung paano naitatag ang pagsusulatan sa pagitan ng mga tunay na numero at mga punto ng bilog:

• ang numero 0 ay itinalaga ang panimulang punto A(1, 0) ;
• ang isang positibong numerong t ay nauugnay sa isang punto sa bilog ng yunit, na mapupuntahan natin kung lilipat tayo sa paligid ng bilog mula sa panimulang punto sa pakaliwa na direksyon at dumaan sa landas na may haba na t;
• ang negatibong numerong t ay nauugnay sa isang punto sa bilog ng yunit, na mapupuntahan natin kung lilipat tayo sa bilog mula sa panimulang punto sa direksyong pakanan at dadaan sa landas na may haba |t| .

Ngayon ay lumipat tayo sa mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng numerong t. Ipagpalagay natin na ang numerong t ay tumutugma sa isang punto ng bilog na A 1 (x, y) (halimbawa, ang numerong &pi/2; ay tumutugma sa puntong A 1 (0, 1) ).

Kahulugan.

Ang sine ng isang numero t ay ang ordinate ng unit circle point na tumutugma sa numerong t , iyon ay, sint=y .

Kahulugan.

Ang cosine ng isang numero Ang t ay tinatawag na abscissa ng punto ng bilog na yunit na naaayon sa numerong t , iyon ay, cost=x .

Kahulugan.

Tangent ng isang numero t ay ang ratio ng ordinate sa abscissa ng punto ng unit circle na tumutugma sa numerong t, iyon ay, tgt=y/x. Sa isa pang katumbas na pagbabalangkas, ang tangent ng numerong t ay ang ratio ng sine ng numerong ito sa cosine, iyon ay, tgt=sint/cost .

Kahulugan.

Cotangent ng isang numero Ang t ay ang ratio ng abscissa sa ordinate ng punto ng bilog na yunit na naaayon sa bilang na t, iyon ay, ctgt=x/y. Ang isa pang pagbabalangkas ay ang mga sumusunod: ang padaplis ng numerong t ay ang ratio ng cosine ng numerong t sa sine ng numerong t : ctgt=cost/sint .

Dito ay napapansin namin na ang mga kahulugan na ibinigay ay sumasang-ayon sa kahulugan na ibinigay sa simula ng subsection na ito. Sa katunayan, ang punto ng bilog na yunit na tumutugma sa numerong t ay tumutugma sa puntong nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng panimulang punto sa isang anggulo ng t radian.

Ito rin ay nagkakahalaga ng paglilinaw sa puntong ito. Sabihin na nating may sin3 entry tayo. Paano maiintindihan kung ang sine ng numero 3 o ang sine ng anggulo ng pag-ikot ng 3 radian ay pinag-uusapan? Karaniwan itong malinaw mula sa konteksto, kung hindi, malamang na hindi ito mahalaga.

Trigonometric function ng angular at numerical argument

Ayon sa mga kahulugang ibinigay sa nakaraang talata, ang bawat anggulo ng pag-ikot α ay tumutugma sa isang mahusay na tinukoy na halaga ng sinα, pati na rin ang halaga ng cosα. Bilang karagdagan, ang lahat ng mga anggulo ng pag-ikot maliban sa 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) ay tumutugma sa mga value na tgα , at maliban sa 180° k , k∈Z (π k rad ) ay ang mga halaga ng ctgα . Samakatuwid ang sinα, cosα, tgα at ctgα ay mga pag-andar ng anggulo α. Sa madaling salita, ito ay mga function ng angular argument.

Katulad nito, maaari nating pag-usapan ang tungkol sa mga function na sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numerical argument. Sa katunayan, ang bawat tunay na numero t ay tumutugma sa isang mahusay na tinukoy na halaga ng sint , pati na rin ang gastos . Bilang karagdagan, ang lahat ng mga numero maliban sa π/2+π·k , k∈Z ay tumutugma sa mga value tgt , at ang mga numerong π·k , k∈Z ay tumutugma sa mga value na ctgt .

Tinatawag ang mga function na sine, cosine, tangent at cotangent pangunahing mga function ng trigonometriko.

Karaniwang malinaw mula sa konteksto na tayo ay nakikitungo sa mga trigonometriko na pag-andar ng isang angular na argumento o isang numerical na argumento. Kung hindi, maaari nating isaalang-alang ang independiyenteng variable bilang parehong sukatan ng anggulo (ang angle argument) at isang numeric na argumento.

Gayunpaman, pangunahing pinag-aaralan ng paaralan ang mga numerical function, iyon ay, mga function na ang mga argumento, pati na rin ang kaukulang mga value ng function, ay mga numero. Samakatuwid, kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga pag-andar, ipinapayong isaalang-alang ang mga function ng trigonometriko bilang mga pag-andar ng mga numerical na argumento.

Koneksyon ng mga kahulugan mula sa geometry at trigonometry

Kung isasaalang-alang natin ang anggulo ng pag-ikot α mula 0 hanggang 90 degrees, kung gayon ang data sa konteksto ng trigonometrya ng kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng anggulo ng pag-ikot ay ganap na naaayon sa mga kahulugan ng sine, cosine , tangent at cotangent ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok, na ibinibigay sa kursong geometry. Patunayan natin ito.

Gumuhit ng unit circle sa rectangular Cartesian coordinate system na Oxy. Tandaan ang panimulang punto A(1, 0) . Iikot natin ito sa pamamagitan ng isang anggulo α mula 0 hanggang 90 degrees, makuha natin ang puntong A 1 (x, y) . Ibagsak natin ang patayo A 1 H mula sa puntong A 1 patungo sa axis ng Ox.

Madaling makita na sa isang kanang tatsulok ang anggulo A 1 OH ay katumbas ng anggulo ng pag-ikot α, ang haba ng binti OH na katabi ng anggulong ito ay katumbas ng abscissa ng punto A 1, iyon ay, |OH |=x, ang haba ng binti A 1 H sa tapat ng anggulo ay katumbas ng ordinate ng punto A 1 , iyon ay, |A 1 H|=y , at ang haba ng hypotenuse OA 1 ay katumbas ng isa , dahil ito ang radius ng unit circle. Pagkatapos, ayon sa kahulugan mula sa geometry, ang sine ng isang matinding anggulo α sa isang tamang tatsulok A 1 OH ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse, iyon ay, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . At sa pamamagitan ng kahulugan mula sa trigonometrya, ang sine ng anggulo ng pag-ikot α ay katumbas ng ordinate ng punto A 1, iyon ay, sinα=y. Ipinapakita nito na ang kahulugan ng sine ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay katumbas ng kahulugan ng sine ng anggulo ng pag-ikot α para sa α mula 0 hanggang 90 degrees.

Sa katulad na paraan, maipapakita na ang mga kahulugan ng cosine, tangent, at cotangent ng isang matinding anggulo α ay pare-pareho sa mga kahulugan ng cosine, tangent, at cotangent ng anggulo ng pag-ikot α.

Bibliograpiya.

1. Geometry. 7-9 baitang: pag-aaral. para sa pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev at iba pa]. - ika-20 ed. M.: Edukasyon, 2010. - 384 p.: may sakit. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometry: Proc. para sa 7-9 na mga cell. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / A. V. Pogorelov. - 2nd ed. - M.: Enlightenment, 2001. - 224 p.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra at elementarya function: Textbook para sa mga mag-aaral ng grade 9 ng sekondaryang paaralan / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; In-edit ni Doctor of Physical and Mathematical Sciences O. N. Golovin. - 4th ed. Moscow: Edukasyon, 1969.
4. Algebra: Proc. para sa 9 na mga cell. avg. paaralan / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teleyakovsky.- M.: Enlightenment, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Algebra at ang simula ng pagsusuri: Proc. para sa 10-11 na mga cell. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn at iba pa; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A. G. Algebra at ang simula ng pagsusuri. Baitang 10. Sa 2 pm Bahagi 1: isang aklat-aralin para sa mga institusyong pang-edukasyon (antas ng profile) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4th ed., idagdag. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebra at ang simula ng mathematical analysis. Baitang 10: aklat-aralin. para sa pangkalahatang edukasyon institusyon: basic at profile. mga antas /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Zhizhchenko. - 3rd ed. - I .: Education, 2010. - 368 p.: Ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M.I. Algebra at ang simula ng pagsusuri: Proc. para sa 10-11 na mga cell. avg. paaralan - 3rd ed. - M.: Enlightenment, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (isang manwal para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan): Proc. allowance.- M.; Mas mataas paaralan, 1984.-351 p., may sakit.

Ang isa sa mga sangay ng matematika na kung saan ang mga mag-aaral ay nakayanan ang pinakamalaking paghihirap ay trigonometry. Hindi nakakagulat: upang malayang makabisado ang lugar na ito ng kaalaman, kailangan mo ng spatial na pag-iisip, ang kakayahang makahanap ng mga sine, cosine, tangent, cotangent gamit ang mga formula, gawing simple ang mga expression, at magamit ang numerong pi sa mga kalkulasyon. Bilang karagdagan, kailangan mong makapag-apply ng trigonometry kapag nagpapatunay ng mga theorems, at nangangailangan ito ng alinman sa isang binuo na memorya ng matematika o ang kakayahang maghinuha ng mga kumplikadong lohikal na chain.

Pinagmulan ng trigonometrya

Ang kakilala sa agham na ito ay dapat magsimula sa kahulugan ng sine, cosine at tangent ng anggulo, ngunit kailangan mo munang malaman kung ano ang ginagawa ng trigonometry sa pangkalahatan.

Sa kasaysayan, ang mga tamang tatsulok ang naging pangunahing bagay ng pag-aaral sa seksyong ito ng agham sa matematika. Ang pagkakaroon ng isang anggulo ng 90 degrees ay ginagawang posible na magsagawa ng iba't ibang mga operasyon na nagpapahintulot sa isa na matukoy ang mga halaga ng lahat ng mga parameter ng figure na isinasaalang-alang gamit ang dalawang panig at isang anggulo o dalawang anggulo at isang gilid. Noong nakaraan, napansin ng mga tao ang pattern na ito at nagsimulang aktibong gamitin ito sa pagtatayo ng mga gusali, nabigasyon, astronomiya, at kahit na sining.

Unang yugto

Sa una, ang mga tao ay nag-uusap tungkol sa relasyon ng mga anggulo at panig ng eksklusibo sa halimbawa ng mga tamang tatsulok. Pagkatapos ay natuklasan ang mga espesyal na formula na naging posible upang mapalawak ang mga hangganan ng paggamit sa pang-araw-araw na buhay ng seksyong ito ng matematika.

Ang pag-aaral ng trigonometrya sa paaralan ngayon ay nagsisimula sa mga right-angled triangles, pagkatapos kung saan ang nakuha na kaalaman ay ginagamit ng mga mag-aaral sa physics at paglutas ng mga abstract na trigonometric equation, na gumagana kung saan nagsisimula sa high school.

Spherical trigonometrya

Nang maglaon, nang maabot ng agham ang susunod na antas ng pag-unlad, ang mga formula na may sine, cosine, tangent, cotangent ay nagsimulang gamitin sa spherical geometry, kung saan iba't ibang mga panuntunan ang nalalapat, at ang kabuuan ng mga anggulo sa isang tatsulok ay palaging higit sa 180 degrees. Ang seksyong ito ay hindi pinag-aaralan sa paaralan, ngunit kailangang malaman ang tungkol sa pagkakaroon nito, hindi bababa sa dahil ang ibabaw ng mundo, at ang ibabaw ng anumang iba pang planeta, ay matambok, na nangangahulugan na ang anumang marka sa ibabaw ay magiging "hugis arko" sa tatlong-dimensional na espasyo.

Kunin ang globo at thread. Ikabit ang sinulid sa alinmang dalawang punto sa globo upang ito ay mahigpit. Bigyang-pansin - nakuha nito ang hugis ng isang arko. Ito ay may ganitong mga anyo na ang spherical geometry, na ginagamit sa geodesy, astronomy, at iba pang teoretikal at inilapat na mga larangan, ay nakikipag-ugnayan.

Kanang tatsulok

Ang pagkakaroon ng natutunan ng kaunti tungkol sa mga paraan ng paggamit ng trigonometrya, bumalik tayo sa pangunahing trigonometrya upang higit na maunawaan kung ano ang sine, cosine, tangent, anong mga kalkulasyon ang maaaring gawin sa kanilang tulong at kung anong mga formula ang gagamitin.

Ang unang hakbang ay upang maunawaan ang mga konsepto na nauugnay sa isang tamang tatsulok. Una, ang hypotenuse ay ang gilid sa tapat ng 90 degree na anggulo. Siya ang pinakamatagal. Naaalala namin na, ayon sa Pythagorean theorem, ang numerical na halaga nito ay katumbas ng ugat ng kabuuan ng mga parisukat ng iba pang dalawang panig.

Halimbawa, kung ang dalawang panig ay 3 at 4 na sentimetro ayon sa pagkakabanggit, ang haba ng hypotenuse ay magiging 5 sentimetro. Sa pamamagitan ng paraan, alam ng mga sinaunang Egyptian ang tungkol dito mga apat at kalahating libong taon na ang nakalilipas.

Ang dalawang natitirang panig na bumubuo ng isang tamang anggulo ay tinatawag na mga binti. Bilang karagdagan, dapat nating tandaan na ang kabuuan ng mga anggulo sa isang tatsulok sa isang rectangular coordinate system ay 180 degrees.

Kahulugan

Sa wakas, na may matatag na pag-unawa sa geometric na base, maaari nating buksan ang kahulugan ng sine, cosine at tangent ng isang anggulo.

Ang sine ng isang anggulo ay ang ratio ng kabaligtaran na binti (i.e., ang gilid sa tapat ng nais na anggulo) sa hypotenuse. Ang cosine ng isang anggulo ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse.

Tandaan na alinman sa sine o cosine ay hindi maaaring mas malaki sa isa! Bakit? Dahil ang hypotenuse ay bilang default ang pinakamahaba. Kahit gaano kahaba ang binti, ito ay magiging mas maikli kaysa sa hypotenuse, na nangangahulugan na ang kanilang ratio ay palaging mas mababa sa isa. Kaya, kung nakakuha ka ng sine o cosine na may halagang higit sa 1 sa sagot sa problema, maghanap ng error sa mga kalkulasyon o pangangatwiran. Malinaw na mali ang sagot na ito.

Sa wakas, ang tangent ng isang anggulo ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi. Ang parehong resulta ay magbibigay ng dibisyon ng sine sa pamamagitan ng cosine. Tingnan: alinsunod sa pormula, hinahati namin ang haba ng gilid sa hypotenuse, pagkatapos ay hinahati namin sa haba ng pangalawang panig at i-multiply ng hypotenuse. Kaya, nakukuha namin ang parehong ratio tulad ng sa kahulugan ng tangent.

Ang cotangent, ayon sa pagkakabanggit, ay ang ratio ng gilid na katabi ng sulok sa kabaligtaran. Nakukuha namin ang parehong resulta sa pamamagitan ng paghahati ng yunit ng tangent.

Kaya, isinasaalang-alang namin ang mga kahulugan kung ano ang sine, cosine, tangent at cotangent, at maaari naming harapin ang mga formula.

Ang pinakasimpleng mga formula

Sa trigonometrya, hindi magagawa ng isang tao nang walang mga formula - kung paano makahanap ng sine, cosine, tangent, cotangent nang wala sila? At ito mismo ang kinakailangan kapag nilutas ang mga problema.

Ang unang formula na kailangan mong malaman kapag nagsisimula sa pag-aaral ng trigonometrya ay nagsasabi na ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ng isang anggulo ay katumbas ng isa. Ang formula na ito ay direktang kinahinatnan ng Pythagorean theorem, ngunit nakakatipid ito ng oras kung gusto mong malaman ang halaga ng anggulo, hindi ang gilid.

Maraming mga mag-aaral ang hindi matandaan ang pangalawang pormula, na napakapopular din sa paglutas ng mga problema sa paaralan: ang kabuuan ng isa at ang parisukat ng tangent ng isang anggulo ay katumbas ng isa na hinati sa parisukat ng cosine ng anggulo. Tingnang mabuti: pagkatapos ng lahat, ito ay ang parehong pahayag tulad ng sa unang pormula, ang magkabilang panig lamang ng pagkakakilanlan ay nahahati sa parisukat ng cosine. Lumalabas na ang isang simpleng mathematical operation ay ginagawang ganap na hindi nakikilala ang trigonometriko formula. Tandaan: sa pag-alam kung ano ang sine, cosine, tangent at cotangent, ang mga panuntunan sa conversion at ilang pangunahing mga formula, maaari mong independiyenteng makuha anumang oras ang kinakailangang mas kumplikadong mga formula sa isang sheet ng papel.

Mga formula ng dobleng anggulo at pagdaragdag ng mga argumento

Dalawang higit pang mga formula na kailangan mong matutunan ay nauugnay sa mga halaga ng sine at cosine para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga anggulo. Ang mga ito ay ipinapakita sa figure sa ibaba. Pakitandaan na sa unang kaso, ang sine at cosine ay pinarami ng parehong beses, at sa pangalawa, ang pairwise na produkto ng sine at cosine ay idinagdag.

Mayroon ding mga formula na nauugnay sa mga argumento ng double angle. Ang mga ito ay ganap na nagmula sa mga nauna - bilang isang kasanayan, subukang kunin ang mga ito sa iyong sarili, kunin ang anggulo ng alpha na katumbas ng anggulo ng beta.

Panghuli, tandaan na ang mga formula ng dobleng anggulo ay maaaring ma-convert upang mapababa ang antas ng sine, cosine, tangent alpha.

Theorems

Ang dalawang pangunahing teorema sa pangunahing trigonometrya ay ang sine theorem at ang cosine theorem. Sa tulong ng mga theorems na ito, madali mong maunawaan kung paano mahanap ang sine, cosine at tangent, at samakatuwid ang lugar ng figure, at ang laki ng bawat panig, atbp.

Ang sine theorem ay nagsasaad na bilang resulta ng paghahati ng haba ng bawat panig ng tatsulok sa halaga ng kabaligtaran na anggulo, nakukuha natin ang parehong numero. Bukod dito, ang bilang na ito ay magiging katumbas ng dalawang radii ng circumscribed na bilog, iyon ay, ang bilog na naglalaman ng lahat ng mga punto ng ibinigay na tatsulok.

Ang cosine theorem ay nagsa-generalize ng Pythagorean theorem, na ipinapalabas ito sa anumang mga tatsulok. Ito ay lumiliko na mula sa kabuuan ng mga parisukat ng dalawang panig, ibawas ang kanilang produkto, na pinarami ng dobleng cosine ng anggulo na katabi ng mga ito - ang resultang halaga ay magiging katumbas ng parisukat ng ikatlong panig. Kaya, ang Pythagorean theorem ay lumalabas na isang espesyal na kaso ng cosine theorem.

Mga pagkakamali dahil sa kawalan ng pansin

Kahit na alam kung ano ang sine, cosine at tangent, madaling magkamali dahil sa kawalan ng pag-iisip o pagkakamali sa pinakasimpleng mga kalkulasyon. Upang maiwasan ang gayong mga pagkakamali, kilalanin natin ang pinakasikat sa kanila.

Una, hindi mo dapat i-convert ang mga ordinaryong fraction sa mga decimal hanggang sa makuha ang huling resulta - maaari mong iwanan ang sagot bilang isang ordinaryong fraction, maliban kung iba ang sinasabi ng kundisyon. Ang ganitong pagbabago ay hindi matatawag na isang pagkakamali, ngunit dapat itong alalahanin na sa bawat yugto ng problema ay maaaring lumitaw ang mga bagong ugat, na, ayon sa ideya ng may-akda, ay dapat mabawasan. Sa kasong ito, mag-aaksaya ka ng oras sa mga hindi kinakailangang operasyon sa matematika. Ito ay totoo lalo na para sa mga halaga tulad ng ugat ng tatlo o dalawa, dahil nangyayari ang mga ito sa mga gawain sa bawat hakbang. Ang parehong naaangkop sa pag-round ng "pangit" na mga numero.

Dagdag pa, tandaan na ang cosine theorem ay nalalapat sa anumang tatsulok, ngunit hindi ang Pythagorean theorem! Kung nakalimutan mong ibawas nang dalawang beses ang produkto ng mga panig na pinarami ng cosine ng anggulo sa pagitan nila, hindi ka lamang makakakuha ng isang ganap na maling resulta, ngunit nagpapakita rin ng isang kumpletong hindi pagkakaunawaan ng paksa. Ito ay mas masahol pa sa isang walang ingat na pagkakamali.

Pangatlo, huwag malito ang mga halaga para sa mga anggulo na 30 at 60 degrees para sa mga sine, cosine, tangent, cotangent. Tandaan ang mga halagang ito, dahil ang sine ng 30 degrees ay katumbas ng cosine ng 60, at vice versa. Madaling ihalo ang mga ito, bilang isang resulta kung saan hindi mo maaaring hindi makakuha ng isang maling resulta.

Aplikasyon

Maraming mga mag-aaral ang hindi nagmamadaling magsimulang mag-aral ng trigonometrya, dahil hindi nila naiintindihan ang inilapat na kahulugan nito. Ano ang sine, cosine, tangent para sa isang engineer o astronomer? Ito ang mga konsepto salamat sa kung saan maaari mong kalkulahin ang distansya sa malayong mga bituin, hulaan ang pagbagsak ng isang meteorite, magpadala ng isang pagsisiyasat sa pananaliksik sa ibang planeta. Kung wala ang mga ito, imposibleng magtayo ng isang gusali, magdisenyo ng kotse, kalkulahin ang pagkarga sa ibabaw o ang tilapon ng isang bagay. At ito ang mga pinaka-halatang halimbawa! Pagkatapos ng lahat, ang trigonometrya sa isang anyo o iba pa ay ginagamit sa lahat ng dako, mula sa musika hanggang sa medisina.

Sa wakas

Kaya ikaw ay sine, cosine, tangent. Maaari mong gamitin ang mga ito sa mga kalkulasyon at matagumpay na malutas ang mga problema sa paaralan.

Ang buong kakanyahan ng trigonometrya ay bumababa sa katotohanan na ang hindi kilalang mga parameter ay dapat kalkulahin mula sa mga kilalang parameter ng tatsulok. Mayroong anim na parameter sa kabuuan: ang haba ng tatlong panig at ang magnitude ng tatlong anggulo. Ang buong pagkakaiba sa mga gawain ay nakasalalay sa katotohanan na ang iba't ibang data ng pag-input ay ibinigay.

Paano mahahanap ang sine, cosine, tangent batay sa kilalang haba ng mga binti o hypotenuse, alam mo na ngayon. Dahil ang mga terminong ito ay nangangahulugan ng hindi hihigit sa isang ratio, at isang ratio ay isang fraction, ang pangunahing layunin ng trigonometriko problema ay upang mahanap ang mga ugat ng isang ordinaryong equation o isang sistema ng mga equation. At dito ay tutulungan ka ng ordinaryong matematika ng paaralan.

Ang trigonometrya ay isang sangay ng matematika na nag-aaral ng mga function ng trigonometriko at ang kanilang paggamit sa geometry. Ang pag-unlad ng trigonometrya ay nagsimula sa mga araw ng sinaunang Greece. Noong Middle Ages, ang mga siyentipiko mula sa Gitnang Silangan at India ay gumawa ng mahalagang kontribusyon sa pag-unlad ng agham na ito.

Ang artikulong ito ay nakatuon sa mga pangunahing konsepto at kahulugan ng trigonometrya. Tinatalakay nito ang mga kahulugan ng mga pangunahing trigonometric function: sine, cosine, tangent at cotangent. Ang kanilang kahulugan sa konteksto ng geometry ay ipinaliwanag at inilarawan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Sa una, ang mga kahulugan ng trigonometric function, na ang argumento ay isang anggulo, ay ipinahayag sa pamamagitan ng ratio ng mga gilid ng isang right triangle.

Mga kahulugan ng trigonometriko function

Ang sine ng isang anggulo (sin α) ay ang ratio ng binti sa tapat ng anggulong ito sa hypotenuse.

Ang cosine ng anggulo (cos α) ay ang ratio ng katabing paa sa hypotenuse.

Ang tangent ng anggulo (t g α) ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa katabi.

Ang cotangent ng anggulo (c t g α) ay ang ratio ng katabing binti sa kabaligtaran.

Ang mga kahulugan na ito ay ibinigay para sa isang matinding anggulo ng isang tamang tatsulok!

Magbigay tayo ng isang ilustrasyon.

Sa tatsulok na ABC na may tamang anggulo C, ang sine ng anggulo A ay katumbas ng ratio ng leg BC sa hypotenuse AB.

Ginagawang posible ng mga kahulugan ng sine, cosine, tangent, at cotangent na kalkulahin ang mga halaga ng mga function na ito mula sa mga kilalang haba ng mga gilid ng isang tatsulok.

Mahalagang tandaan!

Ang hanay ng mga halaga ng sine at cosine: mula -1 hanggang 1. Sa madaling salita, ang sine at cosine ay kumukuha ng mga halaga mula -1 hanggang 1. Ang hanay ng mga tangent at cotangent na halaga ay ang buong linya ng numero, iyon ay, ang mga ito ang mga function ay maaaring tumagal ng anumang halaga.

Ang mga kahulugang ibinigay sa itaas ay tumutukoy sa mga talamak na anggulo. Sa trigonometrya, ang konsepto ng anggulo ng pag-ikot ay ipinakilala, ang halaga nito, hindi katulad ng isang matinding anggulo, ay hindi limitado ng mga frame mula 0 hanggang 90 degrees. Ang anggulo ng pag-ikot sa mga degree o radian ay ipinahayag ng anumang tunay na numero mula sa - ∞ hanggang + ∞.

Sa kontekstong ito, maaaring tukuyin ng isa ang sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo ng arbitrary na magnitude. Isipin ang isang bilog na yunit na nakasentro sa pinagmulan ng Cartesian coordinate system.

Ang panimulang punto A na may mga coordinate (1 , 0) ay umiikot sa gitna ng bilog ng yunit sa pamamagitan ng ilang anggulo α at papunta sa punto A 1 . Ang kahulugan ay ibinibigay sa pamamagitan ng mga coordinate ng puntong A 1 (x, y).

Sine (sin) ng anggulo ng pag-ikot

Ang sine ng rotation angle α ay ang ordinate ng point A 1 (x, y). sinα = y

Cosine (cos) ng anggulo ng pag-ikot

Ang cosine ng anggulo ng pag-ikot α ay ang abscissa ng punto A 1 (x, y). cos α = x

Tangent (tg) ng anggulo ng pag-ikot

Ang tangent ng anggulo ng pag-ikot α ay ang ratio ng ordinate ng point A 1 (x, y) sa abscissa nito. t g α = y x

Cotangent (ctg) ng anggulo ng pag-ikot

Ang cotangent ng anggulo ng pag-ikot α ay ang ratio ng abscissa ng punto A 1 (x, y) sa ordinate nito. c t g α = x y

Ang sine at cosine ay tinukoy para sa anumang anggulo ng pag-ikot. Ito ay lohikal, dahil ang abscissa at ordinate ng punto pagkatapos ng pag-ikot ay maaaring matukoy sa anumang anggulo. Iba ang sitwasyon sa tangent at cotangent. Ang tangent ay hindi tinukoy kapag ang punto pagkatapos ng pag-ikot ay napupunta sa puntong may zero abscissa (0 , 1) at (0 , - 1). Sa ganitong mga kaso, ang expression para sa tangent t g α = y x ay walang katuturan, dahil naglalaman ito ng dibisyon sa pamamagitan ng zero. Ang sitwasyon ay katulad sa cotangent. Ang pagkakaiba ay ang cotangent ay hindi tinukoy sa mga kaso kung saan ang ordinate ng punto ay naglalaho.

Mahalagang tandaan!

Ang sinus at cosine ay tinukoy para sa anumang mga anggulo α.

Ang tangent ay tinukoy para sa lahat ng mga anggulo maliban sa α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

Ang cotangent ay tinukoy para sa lahat ng mga anggulo maliban sa α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Kapag nilulutas ang mga praktikal na halimbawa, huwag sabihin ang "sine ng anggulo ng pag-ikot α". Ang mga salitang "anggulo ng pag-ikot" ay tinanggal lamang, na nagpapahiwatig na mula sa konteksto ay malinaw na kung ano ang nakataya.

Numero

Paano naman ang kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numero, at hindi ang anggulo ng pag-ikot?

Sine, cosine, tangent, cotangent ng isang numero

Sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numero t ang isang numero ay tinatawag, na ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng sine, cosine, tangent at cotangent in t radian.

Halimbawa, ang sine ng 10 π ay katumbas ng sine ng anggulo ng pag-ikot ng 10 π rad.

May isa pang diskarte sa kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numero. Isaalang-alang natin ito nang mas detalyado.

Anumang tunay na numero t Ang isang punto sa bilog ng yunit ay inilalagay sa pagsusulatan sa gitna sa pinagmulan ng hugis-parihaba na sistema ng coordinate ng Cartesian. Ang sine, cosine, tangent at cotangent ay tinukoy sa mga tuntunin ng mga coordinate ng puntong ito.

Ang panimulang punto sa bilog ay punto A na may mga coordinate (1 , 0).

positibong numero t

Negatibong numero t tumutugma sa punto kung saan lilipat ang panimulang punto kung ito ay gumagalaw nang pakaliwa sa paligid ng bilog at dadaan sa landas t .

Ngayon na ang koneksyon sa pagitan ng numero at ang punto sa bilog ay naitatag, nagpapatuloy tayo sa kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent.

Sine (kasalanan) ng numerong t

Sine ng isang numero t- ordinate ng punto ng unit circle na tumutugma sa numero t. kasalanan t = y

Cosine (cos) ng t

Cosine ng isang numero t- abscissa ng punto ng bilog na yunit na naaayon sa numero t. cos t = x

Padaplis (tg) ng t

Tangent ng isang numero t- ang ratio ng ordinate sa abscissa ng punto ng unit circle na naaayon sa numero t. t g t = y x = sin t cos t

Ang mga huling kahulugan ay naaayon at hindi sumasalungat sa kahulugang ibinigay sa simula ng seksyong ito. Ituro ang isang bilog na katumbas ng isang numero t, ay tumutugma sa punto kung saan ang panimulang punto ay dumaan pagkatapos na lumiko sa anggulo t radian.

Trigonometric function ng angular at numerical argument

Ang bawat halaga ng anggulo α ay tumutugma sa isang tiyak na halaga ng sine at cosine ng anggulong ito. Tulad ng lahat ng mga anggulo α maliban sa α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) ay tumutugma sa isang tiyak na halaga ng tangent. Ang cotangent, tulad ng nabanggit sa itaas, ay tinukoy para sa lahat ng α, maliban sa α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Masasabi nating ang sin α , cos α , t g α , c t g α ay mga function ng anggulo alpha, o mga function ng angular argument.

Katulad nito, masasabi ng isa ang sine, cosine, tangent at cotangent bilang mga function ng isang numerical argument. Bawat totoong numero t tumutugma sa isang tiyak na halaga ng sine o cosine ng isang numero t. Ang lahat ng mga numero maliban sa π 2 + π · k , k ∈ Z, ay tumutugma sa halaga ng padaplis. Ang cotangent ay katulad na tinukoy para sa lahat ng mga numero maliban sa π · k , k ∈ Z.

Mga pangunahing pag-andar ng trigonometrya

Sine, cosine, tangent at cotangent ay ang mga pangunahing trigonometric function.

Karaniwang malinaw sa konteksto kung aling argumento ng trigonometriko function (angular argumento o numeric argument) ang ating pinag-uusapan.

Bumalik tayo sa data sa pinakasimula ng mga kahulugan at ang anggulong alpha, na nasa hanay mula 0 hanggang 90 degrees. Ang mga trigonometric na kahulugan ng sine, cosine, tangent, at cotangent ay ganap na sumasang-ayon sa mga geometric na kahulugan na ibinigay ng mga ratio ng mga gilid ng isang right triangle. Ipakita natin.

Kumuha ng unit circle na nakasentro sa isang rectangular Cartesian coordinate system. Iikot natin ang panimulang punto A (1, 0) sa isang anggulo na hanggang 90 degrees at gumuhit mula sa resultang puntong A 1 (x, y) patayo sa x-axis. Sa resultang kanang tatsulok, ang anggulo A 1 O H ay katumbas ng anggulo ng pag-ikot α, ang haba ng binti O H ay katumbas ng abscissa ng punto A 1 (x, y) . Ang haba ng binti sa tapat ng sulok ay katumbas ng ordinate ng point A 1 (x, y), at ang haba ng hypotenuse ay katumbas ng isa, dahil ito ang radius ng unit circle.

Alinsunod sa kahulugan mula sa geometry, ang sine ng anggulo α ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse.

kasalanan α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

Nangangahulugan ito na ang kahulugan ng sine ng isang talamak na anggulo sa isang tamang tatsulok sa pamamagitan ng aspect ratio ay katumbas ng kahulugan ng sine ng anggulo ng pag-ikot α, na may alpha na nakahiga sa hanay mula 0 hanggang 90 degrees.

Katulad nito, ang pagsusulatan ng mga kahulugan ay maaaring ipakita para sa cosine, tangent at cotangent.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Naniniwala ang mga guro na ang bawat mag-aaral ay dapat na makapagsagawa ng mga kalkulasyon, alam ang mga trigonometric na formula, ngunit hindi lahat ng guro ay nagpapaliwanag kung ano ang sine at cosine. Ano ang kanilang kahulugan, saan ginagamit ang mga ito? Bakit pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga tatsulok, ngunit ang isang bilog ay iginuhit sa aklat-aralin? Subukan nating ikonekta ang lahat ng katotohanan nang magkasama.

Asignaturang paaralan

Karaniwang nagsisimula ang pag-aaral ng trigonometry sa ika-7 o ika-8 baitang ng mataas na paaralan. Sa oras na ito, ipinaliwanag sa mga mag-aaral kung ano ang sine at cosine, inaalok sila upang malutas ang mga problemang geometriko gamit ang mga function na ito. Nang maglaon, lumilitaw ang mas kumplikadong mga formula at expression na kailangang i-convert sa isang algebraic na paraan (double at kalahating anggulo na mga formula, mga function ng kapangyarihan), ang trabaho ay isinasagawa gamit ang isang trigonometriko na bilog.

Gayunpaman, hindi palaging malinaw na naipaliwanag ng mga guro ang kahulugan ng mga konseptong ginamit at ang kakayahang magamit ng mga formula. Samakatuwid, madalas na hindi nakikita ng mag-aaral ang punto sa paksang ito, at ang kabisadong impormasyon ay mabilis na nakalimutan. Gayunpaman, ito ay nagkakahalaga ng isang beses na ipaliwanag sa isang mag-aaral sa high school, halimbawa, ang koneksyon sa pagitan ng isang function at isang oscillatory na kilusan, at ang lohikal na koneksyon ay maaalala sa loob ng maraming taon, at ang mga biro tungkol sa kawalang-silbi ng paksa ay magiging isang bagay ng ang nakaraan.

Paggamit

Para sa kapakanan ng pag-usisa, tingnan natin ang iba't ibang sangay ng pisika. Gusto mong matukoy ang hanay ng isang projectile? O kinakalkula mo ba ang puwersa ng alitan sa pagitan ng isang bagay at isang tiyak na ibabaw? Pag-ugoy ng isang palawit, pagmamasid sa mga sinag na dumadaan sa salamin, pagkalkula ng induction? Lumilitaw ang mga konseptong trigonometriko sa halos anumang formula. Kaya ano ang sine at cosine?

Mga Kahulugan

Ang sine ng isang anggulo ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse, ang cosine ay ang ratio ng katabing binti sa parehong hypotenuse. Walang ganap na kumplikado dito. Marahil ang mga mag-aaral ay karaniwang nalilito sa mga halaga na nakikita nila sa talahanayan ng trigonometriko, dahil ang mga square root ay lumilitaw doon. Oo, ang pagkuha ng mga decimal fraction mula sa kanila ay hindi masyadong maginhawa, ngunit sino ang nagsabi na ang lahat ng mga numero sa matematika ay dapat na pantay?

Sa katunayan, makakahanap ka ng nakakatawang pahiwatig sa mga libro ng problema sa trigonometrya: karamihan sa mga sagot dito ay pantay at, sa pinakamasamang kaso, naglalaman ng ugat ng dalawa o tatlo. Ang konklusyon ay simple: kung nakakuha ka ng fraction na "multi-story" sa iyong sagot, i-double check ang solusyon para sa mga error sa kalkulasyon o pangangatwiran. At malamang na mahahanap mo sila.

Ano ang dapat tandaan

Tulad ng sa anumang agham, sa trigonometrya mayroong mga datos na dapat matutunan.

Una, dapat mong tandaan ang mga numerical na halaga para sa mga sine, cosine ng isang right triangle 0 at 90, pati na rin ang 30, 45 at 60 degrees. Ang mga tagapagpahiwatig na ito ay matatagpuan sa siyam sa sampung gawain sa paaralan. Ang pagsilip sa mga halagang ito sa aklat-aralin, mawawalan ka ng maraming oras, at wala nang makikita sa kontrol o pagsusulit.

Dapat tandaan na ang halaga ng parehong mga function ay hindi maaaring lumampas sa isa. Kung saanman sa kalkulasyon makakakuha ka ng halaga sa labas ng 0-1 na hanay, ihinto at lutasin muli ang problema.

Ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ay katumbas ng isa. Kung nahanap mo na ang isa sa mga value, gamitin ang formula na ito para hanapin ang iba.

Theorems

Mayroong dalawang pangunahing teorema sa pangunahing trigonometrya: sines at cosine.

Ang una ay nagsasabi na ang ratio ng bawat panig ng tatsulok sa sine ng kabaligtaran na anggulo ay pareho. Ang pangalawa ay ang parisukat ng anumang panig ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga parisukat ng dalawang natitirang panig at pagbabawas ng dalawang beses sa kanilang produkto, na pinarami ng cosine ng anggulo na nasa pagitan nila.

Kaya, kung papalitan natin ang halaga ng anggulo ng 90 degrees sa cosine theorem, makukuha natin ... ang Pythagorean theorem. Ngayon, kung kailangan mong kalkulahin ang lugar ng isang figure na hindi isang tamang tatsulok, hindi ka na maaaring mag-alala - ang dalawang theorems na isinasaalang-alang ay lubos na gawing simple ang solusyon ng problema.

Mga layunin at layunin

Ang pag-aaral ng trigonometry ay magiging mas madali kapag napagtanto mo ang isang simpleng katotohanan: ang lahat ng mga aksyon na iyong ginagawa ay naglalayong makamit ang isang layunin. Ang anumang mga parameter ng isang tatsulok ay matatagpuan kung alam mo ang pinakamaliit na impormasyon tungkol dito - maaari itong maging ang halaga ng isang anggulo at ang haba ng dalawang panig o, halimbawa, tatlong panig.

Upang matukoy ang sine, cosine, tangent ng anumang anggulo, sapat na ang mga data na ito; sa kanilang tulong, madali mong makalkula ang lugar ng figure. Halos palaging, ang isa sa mga nabanggit na halaga ay kinakailangan bilang isang sagot, at mahahanap mo ang mga ito gamit ang parehong mga formula.

Mga hindi pagkakapare-pareho sa pag-aaral ng trigonometry

Isa sa mga hindi kilalang tanong na mas gustong iwasan ng mga mag-aaral ay ang pagtuklas ng koneksyon sa pagitan ng iba't ibang konsepto sa trigonometry. Tila ang mga tatsulok ay ginagamit upang pag-aralan ang mga sine at cosine ng mga anggulo, ngunit sa ilang kadahilanan ang mga simbolo ay madalas na matatagpuan sa pigura na may bilog. Bilang karagdagan, mayroong isang ganap na hindi maintindihan na parang wave na graph na tinatawag na sinusoid, na walang panlabas na pagkakahawig sa alinman sa isang bilog o tatsulok.

Bukod dito, ang mga anggulo ay sinusukat alinman sa mga degree o sa radians, at ang numerong Pi, na nakasulat lamang bilang 3.14 (walang mga yunit), sa ilang kadahilanan ay lumilitaw sa mga formula, na tumutugma sa 180 degrees. Paano konektado ang lahat?

Mga yunit

Bakit eksaktong 3.14 ang pi? Naaalala mo ba kung ano ang halagang ito? Ito ang bilang ng radii na magkasya sa arko sa kalahati ng bilog. Kung ang diameter ng bilog ay 2 sentimetro, ang circumference ay magiging 3.14 * 2, o 6.28.

Ang pangalawang punto: maaaring napansin mo ang pagkakatulad ng mga salitang "radian" at "radius". Ang katotohanan ay ang isang radian ay katumbas ng numero sa halaga ng anggulo na tinanggal mula sa gitna ng bilog hanggang sa isang arko na may haba ng isang radius.

Ngayon pinagsasama namin ang kaalaman na nakuha at nauunawaan kung bakit ang "Pi sa kalahati" ay nakasulat sa tuktok ng coordinate axis sa trigonometry, at ang "Pi" ay nakasulat sa kaliwa. Ito ay isang angular na halaga na sinusukat sa radians, dahil ang kalahating bilog ay 180 degrees, o 3.14 radians. At kung saan may mga degree, mayroong mga sine at cosine. Ang tatsulok ay madaling iguhit mula sa nais na punto, na ipinagpaliban ang mga segment sa gitna at sa coordinate axis.

Tingnan natin ang hinaharap

Ang trigonometrya, na pinag-aralan sa paaralan, ay tumatalakay sa isang rectilinear coordinate system, kung saan, gaano man ito kakaiba, ang isang linya ay isang linya.

Ngunit may mga mas kumplikadong paraan upang gumana sa espasyo: ang kabuuan ng mga anggulo ng tatsulok dito ay magiging higit sa 180 degrees, at ang tuwid na linya sa aming pananaw ay magiging isang tunay na arko.

Lumipat tayo mula sa salita patungo sa gawa! Kumuha ng mansanas. Gumawa ng tatlong hiwa gamit ang isang kutsilyo upang kapag tiningnan mula sa itaas ay makakakuha ka ng isang tatsulok. Kunin ang nagresultang piraso ng mansanas at tingnan ang "ribs" kung saan nagtatapos ang alisan ng balat. Hindi naman sila straight. Ang prutas sa iyong mga kamay ay maaaring kondisyon na tinatawag na bilog, at ngayon isipin kung gaano kakomplikado ang mga formula, sa tulong kung saan mahahanap mo ang lugar ng hiwa na piraso. Ngunit araw-araw nireresolba ng ilang eksperto ang gayong mga problema.

Trigonometric function sa totoong buhay

Napansin mo ba na ang pinakamaikling ruta para sa isang eroplano mula sa punto A hanggang sa punto B sa ibabaw ng ating planeta ay may binibigkas na hugis ng arko? Ang dahilan ay simple: ang Earth ay spherical, na nangangahulugan na hindi mo masyadong makalkula gamit ang mga tatsulok - dito kailangan mong gumamit ng mas kumplikadong mga formula.

Hindi mo magagawa nang wala ang sine / cosine ng isang matinding anggulo sa anumang bagay na nauugnay sa espasyo. Ito ay kagiliw-giliw na ang isang bilang ng mga kadahilanan ay nagtatagpo dito: trigonometric function ay kinakailangan kapag kinakalkula ang paggalaw ng mga planeta sa mga bilog, ellipses at iba't ibang mga tilapon ng mas kumplikadong mga hugis; ang proseso ng paglulunsad ng mga rocket, satellite, shuttles, undocking research vehicles; pagmamasid sa malalayong bituin at pag-aaral ng mga kalawakan na hindi maaabot ng mga tao sa nakikinita na hinaharap.

Sa pangkalahatan, ang larangan para sa aktibidad ng isang taong nagmamay-ari ng trigonometrya ay napakalawak at, tila, lalawak lamang sa paglipas ng panahon.

Konklusyon

Ngayon natutunan namin o, sa anumang kaso, inulit kung ano ang sine at cosine. Ito ang mga konsepto na hindi mo kailangang matakot - gusto mo lang, at mauunawaan mo ang kanilang kahulugan. Tandaan na ang trigonometry ay hindi isang layunin, ngunit isang tool lamang na magagamit upang matugunan ang mga tunay na pangangailangan ng tao: magtayo ng mga bahay, tiyakin ang kaligtasan sa trapiko, kahit na makabisado ang mga kalawakan ng uniberso.

Sa katunayan, ang agham mismo ay maaaring mukhang mayamot, ngunit sa sandaling makahanap ka dito ng isang paraan upang makamit ang iyong sariling mga layunin, pagsasakatuparan sa sarili, ang proseso ng pag-aaral ay magiging kawili-wili, at ang iyong personal na pagganyak ay tataas.

Para sa takdang-aralin, subukang humanap ng mga paraan para ilapat ang mga trigonometric function sa isang field na personal mong kinaiinteresan. Mangarap, i-on ang iyong imahinasyon, at pagkatapos ay tiyak na magiging kapaki-pakinabang sa iyo ang bagong kaalaman sa hinaharap. At bukod pa, ang matematika ay kapaki-pakinabang para sa pangkalahatang pag-unlad ng pag-iisip.

Kung saan isinasaalang-alang ang mga gawain para sa paglutas ng isang right-angled triangle, nangako akong magpapakita ng isang pamamaraan para sa pagsasaulo ng mga kahulugan ng sine at cosine. Gamit ito, palagi mong maaalala kung aling binti ang kabilang sa hypotenuse (katabi o kabaligtaran). Nagpasya akong huwag ipagpaliban ito nang walang katiyakan, ang kinakailangang materyal ay nasa ibaba, mangyaring basahin ito 😉

Ang katotohanan ay paulit-ulit kong naobserbahan kung paano nahihirapang alalahanin ng mga estudyante sa grade 10-11 ang mga kahulugang ito. Naaalala nila na ang binti ay tumutukoy sa hypotenuse, ngunit alin- kalimutan at nalilito. Ang presyo ng isang pagkakamali, tulad ng alam mo sa pagsusulit, ay isang nawalang marka.

Ang impormasyon na ipapakita ko nang direkta sa matematika ay walang kinalaman. Ito ay nauugnay sa matalinghagang pag-iisip, at sa mga pamamaraan ng verbal-logical na koneksyon. Tama, ako mismo, once and for all remembereddata ng kahulugan. Kung nakalimutan mo pa rin ang mga ito, pagkatapos ay sa tulong ng ipinakita na mga diskarte ay palaging madaling matandaan.

Hayaan akong ipaalala sa iyo ang mga kahulugan ng sine at cosine sa isang tamang tatsulok:

Cosine Ang talamak na anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse:

Sinus Ang talamak na anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse:

Kaya, anong mga asosasyon ang dulot ng salitang cosine sa iyo?

Malamang lahat ay may kanya-kanyang sariliTandaan ang link:

Sa gayon, magkakaroon ka kaagad ng isang pagpapahayag sa iyong memorya -

«… ratio ng ADJACENT leg sa hypotenuse».

Ang problema sa kahulugan ng cosine ay nalutas.

Kung kailangan mong matandaan ang kahulugan ng sine sa isang tamang tatsulok, pagkatapos ay maalala ang kahulugan ng cosine, madali mong maitatag na ang sine ng isang talamak na anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse. Pagkatapos ng lahat, mayroon lamang dalawang binti, kung ang katabing binti ay "sinasakop" ng cosine, kung gayon ang kabaligtaran na bahagi lamang ang nananatili para sa sine.

Paano ang tangent at cotangent? Parehong pagkalito. Alam ng mga mag-aaral na ito ang ratio ng mga binti, ngunit ang problema ay tandaan kung alin ang tinutukoy - alinman sa kabaligtaran sa katabi, o kabaliktaran.

Mga Kahulugan:

Padaplis Ang isang matinding anggulo sa isang kanang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa katabi:

Cotangent Ang talamak na anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng katabing binti sa kabaligtaran:

Paano maalala? Mayroong dalawang paraan. Ang isa ay gumagamit din ng isang verbal-logical na koneksyon, ang isa - isang matematikal.

PARAAN NG MATHEMATICAL

Mayroong ganoong kahulugan - ang tangent ng isang matinding anggulo ay ang ratio ng sine ng isang anggulo sa cosine nito:

* Ang pag-alala sa formula, palagi mong matutukoy na ang tangent ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa katabi.

Ganun din.Ang cotangent ng isang matinding anggulo ay ang ratio ng cosine ng isang anggulo sa sine nito:

Kaya! Ang pag-alala sa mga formula na ito, palagi mong matutukoy na:

- ang padaplis ng isang matinding anggulo sa isang kanang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa katabing

- ang cotangent ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng katabing binti sa kabaligtaran.

VERBAL-LOGICAL METHOD

Tungkol sa tangent. Tandaan ang link:

Iyon ay, kung kailangan mong tandaan ang kahulugan ng tangent, gamit ang lohikal na koneksyon na ito, madali mong matandaan kung ano ito

"... ang ratio ng kabaligtaran na binti sa katabi"

Kung ito ay dumating sa cotangent, pagkatapos ay naaalala ang kahulugan ng tangent, madali mong maipahayag ang kahulugan ng cotangent -

"... ang ratio ng katabing binti sa kabaligtaran"

Mayroong isang kawili-wiling pamamaraan para sa pagsasaulo ng tangent at cotangent sa site " Tandem sa matematika " , tingnan mo.

PARAAN UNIVERSAL

Gumiling ka na lang.Ngunit bilang nagpapakita ng kasanayan, salamat sa mga koneksyon sa pandiwa-lohikal, naaalala ng isang tao ang impormasyon sa loob ng mahabang panahon, at hindi lamang sa matematika.

Umaasa ako na ang materyal ay naging kapaki-pakinabang sa iyo.

Taos-puso, Alexander Krutitskikh

P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo ang tungkol sa site sa mga social network.