1.1. Pagtukoy sa antas para sa isang integer exponent

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N \u003d X * X * ... * X - N beses

1.2. Zero degree.

Sa pamamagitan ng kahulugan, kaugalian na ipalagay na ang zero na kapangyarihan ng anumang numero ay katumbas ng 1:

1.3. negatibong antas.

X-N = 1/XN

1.4. Fractional exponent, ugat.

X 1/N = N-th root ng X.

Halimbawa: X 1/2 = √X.

1.5. Ang formula para sa pagdaragdag ng mga kapangyarihan.

X (N+M) = X N * X M

1.6 Formula para sa pagbabawas ng mga degree.

X (N-M) = X N / X M

1.7. Formula ng pagpaparami ng kapangyarihan.

XN*M = (XN)M

1.8. Ang formula para sa pagtaas ng isang fraction sa isang kapangyarihan.

(X/Y)N = XN /YN

2. Bilang e.

Ang halaga ng numero e ay katumbas ng sumusunod na limitasyon:

E = lim(1+1/N), bilang N → ∞.

Sa katumpakan ng 17 digit, ang numerong e ay 2.71828182845904512.

3. Pagkakapantay-pantay ni Euler.

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay nag-uugnay sa limang numero na gumaganap ng isang espesyal na papel sa matematika: 0, 1, ang numero e, ang numerong pi, ang haka-haka na yunit.

E(i*pi) + 1 = 0

4. Exponential function exp (x)

exp(x) = e x

5. Derivative ng exponential function

Ang isang exponential function ay may kapansin-pansing katangian: ang derivative ng isang function ay katumbas ng exponential function mismo:

(exp(x))" = exp(x)

6. Logarithm.

6.1. Kahulugan ng logarithm function

Kung x = b y , ang logarithm ay ang function

Y = Logb(x).

Ang logarithm ay nagpapakita sa kung anong antas ang kinakailangan upang itaas ang isang numero - ang base ng logarithm (b) upang makakuha ng isang naibigay na numero (X). Ang logarithm function ay tinukoy para sa X na mas malaki sa zero.

Halimbawa: Log 10 (100) = 2.

6.2. Decimal logarithm

Ito ang logarithm sa base 10:

Y = Log 10 (x) .

Tinutukoy na Log(x): Log(x) = Log 10 (x).

Ang isang halimbawa ng paggamit ng decimal logarithm ay decibel.

6.3. Decibel

Ang item ay naka-highlight sa isang hiwalay na pahina ng Decibel

6.4. binary logarithm

Ito ang base 2 logarithm:

Y = Log2(x).

Tinutukoy ng Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. natural na logarithm

Ito ang logarithm sa base e:

Y = loge(x) .

Tinutukoy ng Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Ang natural na logarithm ay ang kabaligtaran ng exponential function na exp(X).

6.6. mga punto ng katangian

Loga(1) = 0
Log a(a) = 1

6.7. Ang formula para sa logarithm ng produkto

Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)

6.8. Ang formula para sa logarithm ng quotient

Log a (x/y) = Log a (x) - Log a (y)

6.9. Formula ng power logarithm

Log a (x y) = y*Log a (x)

6.10. Formula para sa pag-convert sa isang logarithm na may ibang base

Log b (x) = (Log a (x)) / Log a (b)

Halimbawa:

Log 2 (8) = Log 10 (8) / Log 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Mga formula na kapaki-pakinabang sa buhay

Kadalasan may mga problema sa pag-convert ng volume sa lugar o haba, at ang kabaligtaran na problema ay ang pag-convert ng lugar sa volume. Halimbawa, ang mga board ay ibinebenta sa mga cube (kubiko metro), at kailangan nating kalkulahin kung gaano karaming lugar ng dingding ang maaaring takpan ng mga board na nakapaloob sa isang tiyak na dami, tingnan ang pagkalkula ng mga board, kung gaano karaming mga board ang nasa isang kubo. O, ang mga sukat ng dingding ay kilala, kinakailangan upang kalkulahin ang bilang ng mga brick, tingnan ang pagkalkula ng brick.

Pinapayagan na gamitin ang mga materyal ng site sa kondisyon na ang isang aktibong link sa pinagmulan ay nakatakda.

EXPONENTIAL AT LOGARITHMIC FUNCTIONS VIII

§ 184. Logarithm ng antas at ugat

Teorama 1. Ang logarithm ng kapangyarihan ng isang positibong numero ay katumbas ng produkto ng exponent ng kapangyarihang ito sa pamamagitan ng logarithm ng base nito.

Sa madaling salita, kung a at X positibo at a =/= 1, pagkatapos ay para sa anumang tunay na numero k

log isang x k = k log isang x . (1)

Upang patunayan ang formula na ito, sapat na upang ipakita iyon

= a k log isang x . (2)

= x k

a k log isang x = (a log isang x ) k = x k .

Ito ay nagpapahiwatig ng bisa ng formula (2), at samakatuwid din (1).

Tandaan na kung ang numero k ay natural ( k = n ), pagkatapos ang formula (1) ay isang partikular na kaso ng formula

log a (x 1 x 2 x 3 ... x n ) = log isang x 1 + log isang x 2 + log isang x 3 + ...log isang x n .

napatunayan sa nakaraang seksyon. Sa katunayan, ipagpalagay sa formula na ito

x 1 = x 2 = ... = x n = x ,

makuha namin:

log isang x n = n log isang x .

1) log 3 25 = log 3 5 2 = 2 log 3 5;

2) log 3 2 √ 3 = √3 log 3 2.

Para sa mga negatibong halaga X ang formula (1) ay nawawalan ng kahulugan. Halimbawa, hindi mo maaaring isulat ang log 2 (-4) 2 = 2 log 2 (- 4) dahil ang expression log 2 (-4) ay hindi natukoy. Tandaan na ang expression sa kaliwang bahagi ng formula na ito ay may katuturan:

log 2 (-4) 2 = log 2 16 = 4.

Sa pangkalahatan, kung ang numero X ay negatibo, pagkatapos ay ang expression log isang x 2k = 2k log isang x determinado dahil x 2k > 0. Ang expression ay 2 k log isang x sa kasong ito ay hindi makatwiran. Kaya magsulat

Log isang x 2k = 2k log isang x

ito ay bawal. Gayunpaman, maaaring magsulat ang isa

log isang x 2k = 2k log isang | x | (3)

Ang formula na ito ay madaling makuha mula sa (1) kung isasaalang-alang natin iyon

x 2k = | x | 2k

Halimbawa,

log 3 (-3) 4 = 4 log 3 | -3 | = 4 log 3 3 = 4.

Teorama 2. Ang logarithm ng root ng isang positive number ay katumbas ng logarithm ng root expression na hinati sa exponent ng root.

Sa madaling salita, kung ang mga numero a at X ay positibo a =/= 1 at P ay isang natural na numero, kung gayon

log a n √x = 1 / n log isang x

Talaga, n √x = . Samakatuwid, sa pamamagitan ng Theorem 1

log a n √x = log a = 1 / n log isang x .

1) log 3 √ 8 = 1 / 2 log 3 8; 2) log 2 5 √27 = 1/5 log 2 27.

Mga ehersisyo

1408. Paano magbabago ang logarithm ng isang numero kung, nang hindi binabago ang base:

a) parisukat ang numero

b) kunin ang square root ng isang numero?

1409. Paano magbabago ang pagkakaiba ng log 2 a - log 2 b kung mga numero a at b palitan nang naaayon sa:

a) a 3 at b 3; b) 3 a at 3 b ?

1410. Alam na ang log 10 2 ≈ 0.3010, log 10 3 ≈ 0.4771, hanapin ang logarithms sa base ng 10 numero:

8; 9; 3 √2 ; 3 √6 ; 0,5; 1 / 9

1411. Patunayan na ang logarithms ng mga magkakasunod na miyembro ng isang geometric progression ay bumubuo ng isang arithmetic progression.

1412. Magkaiba ba ang mga tungkulin sa bawat isa

sa = log 3 X 2 at sa = 2 log 3 X

Bumuo ng mga graph ng mga function na ito.

1413. Humanap ng error sa mga sumusunod na pagbabago:

log 2 1/3 = log 2 1/3

2log 2 1 / 3 > log 2 1 / 3 ;

log 2 (1 / 3) 2 > log 2 1 / 3

(1 / 3) 2 > 1 / 3 ;

Ang logarithm ng isang positibong numero b hanggang sa base a (a>0, a ay hindi katumbas ng 1) ay isang numero c na ang a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)        

Tandaan na ang logarithm ng isang hindi positibong numero ay hindi tinukoy. Gayundin, ang base ng logarithm ay dapat na positibong numero na hindi katumbas ng 1. Halimbawa, kung parisukat natin -2, makukuha natin ang numero 4, ngunit hindi ito nangangahulugan na ang base -2 logarithm ng 4 ay 2.

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

isang log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Mahalagang magkaiba ang mga domain ng kahulugan ng kanan at kaliwang bahagi ng formula na ito. Ang kaliwang bahagi ay tinukoy lamang para sa b>0, a>0 at a ≠ 1. Ang kanang bahagi ay tinukoy para sa anumang b, at hindi nakadepende sa a. Kaya, ang paggamit ng pangunahing logarithmic na "pagkakakilanlan" sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring humantong sa pagbabago sa DPV.

Dalawang halatang kahihinatnan ng kahulugan ng logarithm

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Sa katunayan, kapag itinaas ang numero a sa unang kapangyarihan, nakukuha natin ang parehong numero, at kapag itinaas ito sa zero na kapangyarihan, makakakuha tayo ng isa.

Ang logarithm ng produkto at ang logarithm ng quotient

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Gusto kong balaan ang mga mag-aaral laban sa walang pag-iisip na paggamit ng mga formula na ito kapag nilulutas ang mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay. Kapag ginamit ang mga ito "mula kaliwa pakanan", lumiliit ang ODZ, at kapag lumilipat mula sa kabuuan o pagkakaiba ng logarithms patungo sa logarithm ng produkto o quotient, lumalawak ang ODZ.

Sa katunayan, ang expression na log a (f (x) g (x)) ay tinukoy sa dalawang kaso: kapag ang parehong mga function ay mahigpit na positibo o kapag ang f(x) at g(x) ay parehong mas mababa sa zero.

Pagbabago sa expression na ito sa sum log a f (x) + log a g (x) , napipilitan tayong i-restrict ang ating sarili lamang sa kaso kapag f(x)>0 at g(x)>0. Mayroong isang pagpapaliit ng hanay ng mga tinatanggap na halaga, at ito ay tiyak na hindi katanggap-tanggap, dahil maaari itong humantong sa pagkawala ng mga solusyon. Ang isang katulad na problema ay umiiral para sa formula (6).

Ang antas ay maaaring alisin sa tanda ng logarithm

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

At muli gusto kong tumawag para sa katumpakan. Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Ang kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay malinaw na tinukoy para sa lahat ng mga halaga ng f(x) maliban sa zero. Ang kanang bahagi ay para lamang sa f(x)>0! Inaalis ang kapangyarihan sa logarithm, muli naming pinaliit ang ODZ. Ang baligtad na pamamaraan ay humahantong sa pagpapalawak ng hanay ng mga tinatanggap na halaga. Ang lahat ng mga pangungusap na ito ay nalalapat hindi lamang sa kapangyarihan ng 2, kundi pati na rin sa anumang kahit na kapangyarihan.

Formula para sa paglipat sa isang bagong base

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Ang bihirang kaso na iyon kapag ang ODZ ay hindi nagbabago sa panahon ng conversion. Kung pinili mo ang base c nang matalino (positibo at hindi katumbas ng 1), ang formula para sa paglipat sa isang bagong base ay ganap na ligtas.

Kung pipiliin natin ang numero b bilang bagong base c, makakakuha tayo ng isang mahalagang partikular na kaso ng formula (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Ilang simpleng halimbawa na may logarithms

Halimbawa 1 Kalkulahin: lg2 + lg50.
Desisyon. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Ginamit namin ang formula para sa kabuuan ng logarithms (5) at ang kahulugan ng decimal logarithm.

Halimbawa 2 Kalkulahin: lg125/lg5.
Desisyon. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Ginamit namin ang bagong base transition formula (8).

Talaan ng mga formula na nauugnay sa logarithms

isang log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Ano ang logarithm?

Pansin!
May mga karagdagang
materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga malakas na "hindi masyadong..."
At para sa mga "sobra...")

Ano ang logarithm? Paano malutas ang mga logarithms? Ang mga tanong na ito ay nakalilito sa maraming nagtapos. Ayon sa kaugalian, ang paksa ng logarithms ay itinuturing na kumplikado, hindi maintindihan at nakakatakot. Lalo na - mga equation na may logarithms.

Ito ay ganap na hindi totoo. Ganap! ayaw maniwala? Mabuti. Ngayon, sa loob ng mga 10 - 20 minuto:

1. Intindihin ano ang logarithm.

2. Matutong lutasin ang isang buong klase ng mga exponential equation. Kahit na hindi mo pa naririnig ang tungkol sa kanila.

3. Matutong magkalkula ng mga simpleng logarithms.

Bukod dito, para dito kakailanganin mo lamang malaman ang talahanayan ng pagpaparami, at kung paano itataas ang isang numero sa isang kapangyarihan ...

Pakiramdam ko ay nagdududa ka ... Well, panatilihin ang oras! Go!

Una, lutasin ang sumusunod na equation sa iyong isip:

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

pangunahing katangian.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

parehong batayan

log6 4 + log6 9.

Ngayon pasimplehin natin ng kaunti ang gawain.

Mga halimbawa ng paglutas ng logarithms

Paano kung may degree sa base o argumento ng logarithm? Kung gayon ang exponent ng degree na ito ay maaaring alisin sa sign ng logarithm ayon sa mga sumusunod na patakaran:

Siyempre, ang lahat ng mga patakarang ito ay may katuturan kung ang ODZ logarithm ay sinusunod: a > 0, a ≠ 1, x >

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

Paglipat sa isang bagong pundasyon

Hayaang ibigay ang logarithm logax. Pagkatapos ay para sa anumang bilang c tulad na c > 0 at c ≠ 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

Tingnan din:

Mga pangunahing katangian ng logarithm

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Ang exponent ay 2.718281828…. Upang matandaan ang exponent, maaari mong pag-aralan ang panuntunan: ang exponent ay 2.7 at dalawang beses sa taon ng kapanganakan ni Leo Tolstoy.

Mga pangunahing katangian ng logarithms

Ang pag-alam sa panuntunang ito, malalaman mo ang eksaktong halaga ng exponent at ang petsa ng kapanganakan ni Leo Tolstoy.

Mga halimbawa para sa logarithms

Kunin ang logarithm ng mga expression

Halimbawa 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Sa pamamagitan ng mga katangian 3,5 kinakalkula namin

2.

3.

4. saan .

Halimbawa 2 Hanapin ang x kung

Halimbawa 3. Hayaang ibigay ang halaga ng logarithms

Kalkulahin ang log(x) kung

Mga pangunahing katangian ng logarithms

Ang mga logarithm, tulad ng anumang numero, ay maaaring idagdag, ibawas at i-convert sa lahat ng posibleng paraan. Ngunit dahil ang logarithms ay hindi masyadong ordinaryong mga numero, may mga panuntunan dito, na tinatawag pangunahing katangian.

Dapat malaman ang mga panuntunang ito - walang seryosong problema sa logarithmic ang malulutas kung wala ang mga ito. Bilang karagdagan, napakakaunti sa kanila - lahat ay maaaring matutunan sa isang araw. Kaya simulan na natin.

Pagdaragdag at pagbabawas ng logarithms

Isaalang-alang ang dalawang logarithms na may parehong base: logax at logay. Pagkatapos ay maaari silang idagdag at ibawas, at:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Kaya, ang kabuuan ng logarithms ay katumbas ng logarithm ng produkto, at ang pagkakaiba ay ang logarithm ng quotient. Mangyaring tandaan: ang pangunahing punto dito ay - parehong batayan. Kung ang mga base ay iba, ang mga patakarang ito ay hindi gagana!

Ang mga formula na ito ay makakatulong sa pagkalkula ng logarithmic expression kahit na ang mga indibidwal na bahagi nito ay hindi isinasaalang-alang (tingnan ang aralin na "Ano ang logarithm"). Tingnan ang mga halimbawa at tingnan:

Dahil ang mga base ng logarithms ay pareho, ginagamit namin ang sum formula:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log2 48 − log2 3.

Ang mga base ay pareho, ginagamit namin ang formula ng pagkakaiba:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log3 135 − log3 5.

Muli, ang mga base ay pareho, kaya mayroon kaming:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Tulad ng nakikita mo, ang mga orihinal na expression ay binubuo ng "masamang" logarithms, na hindi isinasaalang-alang nang hiwalay. Ngunit pagkatapos ng mga pagbabago, medyo normal na mga numero ang lumabas. Maraming pagsubok ang nakabatay sa katotohanang ito. Oo, ang kontrol - mga katulad na expression sa lahat ng kabigatan (minsan - na halos walang pagbabago) ay inaalok sa pagsusulit.

Pag-alis ng exponent mula sa logarithm

Madaling makita na ang huling panuntunan ay sumusunod sa kanilang unang dalawa. Ngunit ito ay mas mahusay na tandaan ito pa rin - sa ilang mga kaso ito ay makabuluhang bawasan ang halaga ng mga kalkulasyon.

Siyempre, ang lahat ng mga patakarang ito ay may katuturan kung ang ODZ logarithm ay sinusunod: a > 0, a ≠ 1, x > 0. At isa pang bagay: matutong ilapat ang lahat ng mga formula hindi lamang mula kaliwa hanggang kanan, kundi pati na rin sa kabaligtaran, i.e. maaari mong ipasok ang mga numero bago ang sign ng logarithm sa logarithm mismo. Ito ang madalas na kinakailangan.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log7 496.

Tanggalin natin ang antas sa argumento ayon sa unang formula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

Tandaan na ang denominator ay isang logarithm na ang base at argumento ay eksaktong kapangyarihan: 16 = 24; 49 = 72. Mayroon kaming:

Sa tingin ko ang huling halimbawa ay nangangailangan ng paglilinaw. Saan napunta ang logarithms? Hanggang sa pinakahuling sandali, nagtatrabaho lamang kami sa denominator.

Mga formula ng logarithms. Ang logarithms ay mga halimbawa ng mga solusyon.

Iniharap nila ang base at argumento ng logarithm na nakatayo doon sa anyo ng mga degree at kinuha ang mga tagapagpahiwatig - nakakuha sila ng isang "tatlong palapag" na bahagi.

Ngayon tingnan natin ang pangunahing bahagi. Ang numerator at denominator ay may parehong numero: log2 7. Dahil ang log2 7 ≠ 0, maaari nating bawasan ang fraction - 2/4 ay mananatili sa denominator. Ayon sa mga patakaran ng aritmetika, ang apat ay maaaring ilipat sa numerator, na ginawa. Ang resulta ay ang sagot: 2.

Paglipat sa isang bagong pundasyon

Sa pagsasalita tungkol sa mga patakaran para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms, partikular kong binigyang-diin na gumagana lamang ang mga ito sa parehong mga base. Paano kung magkaiba ang mga base? Paano kung hindi sila eksaktong mga kapangyarihan ng parehong bilang?

Ang mga formula para sa paglipat sa isang bagong base ay dumating upang iligtas. Binubalangkas namin ang mga ito sa anyo ng isang teorama:

Hayaang ibigay ang logarithm logax. Pagkatapos ay para sa anumang bilang c tulad na c > 0 at c ≠ 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Sa partikular, kung ilalagay natin ang c = x, makakakuha tayo ng:

Ito ay sumusunod mula sa pangalawang pormula na posible na palitan ang base at ang argumento ng logarithm, ngunit sa kasong ito ang buong expression ay "ibinalik", i.e. ang logarithm ay nasa denominator.

Ang mga formula na ito ay bihirang makita sa mga ordinaryong numerical expression. Posibleng suriin kung gaano kaginhawa ang mga ito kapag nilulutas ang mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Gayunpaman, may mga gawain na hindi malulutas sa lahat maliban sa paglipat sa isang bagong pundasyon. Isaalang-alang natin ang ilan sa mga ito:

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log5 16 log2 25.

Tandaan na ang mga argumento ng parehong logarithms ay eksaktong exponent. Kunin natin ang mga indicator: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Ngayon, i-flip natin ang pangalawang logarithm:

Dahil hindi nagbabago ang produkto mula sa permutation ng mga salik, mahinahon naming pinarami ang apat at dalawa, at pagkatapos ay inisip ang mga logarithms.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log9 100 lg 3.

Ang batayan at argumento ng unang logarithm ay eksaktong kapangyarihan. Isulat natin ito at alisin ang mga tagapagpahiwatig:

Ngayon, alisin natin ang decimal logarithm sa pamamagitan ng paglipat sa isang bagong base:

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

Kadalasan sa proseso ng paglutas ay kinakailangan na kumatawan sa isang numero bilang isang logarithm sa isang naibigay na base. Sa kasong ito, ang mga formula ay makakatulong sa amin:

Sa unang kaso, ang numero n ay nagiging exponent sa argumento. Ang numero n ay maaaring maging anumang bagay, dahil ito ay ang halaga lamang ng logarithm.

Ang pangalawang formula ay talagang isang paraphrased na kahulugan. Ito ay tinatawag na ganito:

Sa katunayan, ano ang mangyayari kung ang bilang b ay itataas sa gayong kapangyarihan na ang bilang b sa kapangyarihang ito ay nagbibigay ng bilang a? Tama: ito ang parehong numero a. Basahin muli ang talatang ito nang mabuti - maraming tao ang "nakabitin" dito.

Tulad ng mga bagong base conversion formula, ang pangunahing logarithmic identity ay minsan ang tanging posibleng solusyon.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

Tandaan na ang log25 64 = log5 8 - kinuha lamang ang parisukat mula sa base at ang argumento ng logarithm. Dahil sa mga patakaran para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, nakukuha natin ang:

Kung ang isang tao ay hindi alam, ito ay isang tunay na gawain mula sa Unified State Examination 🙂

Logarithmic unit at logarithmic zero

Sa konklusyon, magbibigay ako ng dalawang pagkakakilanlan na mahirap tawagan ang mga katangian - sa halip, ito ay mga kahihinatnan mula sa kahulugan ng logarithm. Ang mga ito ay patuloy na matatagpuan sa mga problema at, nakakagulat, lumikha ng mga problema kahit para sa mga "advanced" na mga mag-aaral.

1. logaa = 1 ay. Tandaan minsan at para sa lahat: ang logarithm sa anumang base a mula sa base na iyon mismo ay katumbas ng isa.
2. ang log 1 = 0 ay. Ang base a ay maaaring anuman, ngunit kung ang argumento ay isa, ang logarithm ay zero! Dahil ang a0 = 1 ay direktang bunga ng kahulugan.

Iyon ang lahat ng mga pag-aari. Siguraduhing magsanay sa pagsasabuhay ng mga ito! I-download ang cheat sheet sa simula ng aralin, i-print ito at lutasin ang mga problema.

Tingnan din:

Ang logarithm ng numero b hanggang sa base a ay tumutukoy sa expression. Upang kalkulahin ang logarithm ay nangangahulugan ng paghahanap ng gayong kapangyarihan x () kung saan totoo ang pagkakapantay-pantay

Mga pangunahing katangian ng logarithm

Ang mga katangian sa itaas ay kailangang malaman, dahil, sa kanilang batayan, halos lahat ng mga problema at mga halimbawa ay nalutas batay sa logarithms. Ang natitirang mga kakaibang katangian ay maaaring makuha sa pamamagitan ng matematikal na pagmamanipula gamit ang mga formula na ito

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Kapag kinakalkula ang mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng logarithms (3.4) ay madalas na nakatagpo. Ang natitira ay medyo kumplikado, ngunit sa isang bilang ng mga gawain sila ay kailangang-kailangan para sa pagpapasimple ng mga kumplikadong expression at pagkalkula ng kanilang mga halaga.

Mga karaniwang kaso ng logarithms

Ang ilan sa mga karaniwang logarithms ay ang mga kung saan ang base ay kahit sampu, exponential o deuce.
Ang batayang sampung logarithm ay karaniwang tinatawag na batayang sampung logarithm at ito ay simpleng tinutukoy na lg(x).

Makikita sa tala na ang mga pangunahing kaalaman ay hindi nakasulat sa talaan. Halimbawa

Ang natural na logarithm ay ang logarithm na ang batayan ay ang exponent (tinutukoy na ln(x)).

Ang exponent ay 2.718281828…. Upang matandaan ang exponent, maaari mong pag-aralan ang panuntunan: ang exponent ay 2.7 at dalawang beses sa taon ng kapanganakan ni Leo Tolstoy. Ang pag-alam sa panuntunang ito, malalaman mo ang eksaktong halaga ng exponent at ang petsa ng kapanganakan ni Leo Tolstoy.

At isa pang mahalagang base two logarithm ay

Ang derivative ng logarithm ng function ay katumbas ng isang hinati ng variable

Ang integral o antiderivative logarithm ay tinutukoy ng dependence

Ang materyal sa itaas ay sapat para sa iyo upang malutas ang isang malawak na klase ng mga problema na may kaugnayan sa logarithms at logarithms. Upang matutuhan ang materyal, magbibigay lamang ako ng ilang karaniwang mga halimbawa mula sa kurikulum ng paaralan at mga unibersidad.

Mga halimbawa para sa logarithms

Kunin ang logarithm ng mga expression

Halimbawa 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Sa pamamagitan ng mga katangian 3,5 kinakalkula namin

2.
Sa pamamagitan ng pagkakaiba ng ari-arian ng logarithms, mayroon tayo

3.
Gamit ang mga katangian 3.5 nakita namin

4. saan .

Ang isang tila kumplikadong expression gamit ang isang serye ng mga panuntunan ay pinasimple sa form

Paghahanap ng mga Halaga ng Logarithm

Halimbawa 2 Hanapin ang x kung

Desisyon. Para sa pagkalkula, inilalapat namin ang mga katangian 5 at 13 hanggang sa huling termino

Palitan sa talaan at magluksa

Dahil ang mga base ay pantay, tinutumbasan namin ang mga expression

Logarithms. Unang antas.

Hayaang ibigay ang halaga ng logarithms

Kalkulahin ang log(x) kung

Solusyon: Kunin ang logarithm ng variable upang isulat ang logarithm sa pamamagitan ng kabuuan ng mga termino

Ito ay simula pa lamang ng pagkilala sa mga logarithms at mga katangian nito. Magsanay ng mga kalkulasyon, pagyamanin ang iyong mga praktikal na kasanayan - malapit mo nang kailanganin ang nakuhang kaalaman upang malutas ang mga logarithmic equation. Ang pagkakaroon ng pag-aaral ng mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang equation, palalawakin namin ang iyong kaalaman para sa isa pang pantay na mahalagang paksa - logarithmic inequalities ...

Mga pangunahing katangian ng logarithms

Ang mga logarithm, tulad ng anumang numero, ay maaaring idagdag, ibawas at i-convert sa lahat ng posibleng paraan. Ngunit dahil ang logarithms ay hindi masyadong ordinaryong mga numero, may mga panuntunan dito, na tinatawag pangunahing katangian.

Dapat malaman ang mga panuntunang ito - walang seryosong problema sa logarithmic ang malulutas kung wala ang mga ito. Bilang karagdagan, napakakaunti sa kanila - lahat ay maaaring matutunan sa isang araw. Kaya simulan na natin.

Pagdaragdag at pagbabawas ng logarithms

Isaalang-alang ang dalawang logarithms na may parehong base: logax at logay. Pagkatapos ay maaari silang idagdag at ibawas, at:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Kaya, ang kabuuan ng logarithms ay katumbas ng logarithm ng produkto, at ang pagkakaiba ay ang logarithm ng quotient. Mangyaring tandaan: ang pangunahing punto dito ay - parehong batayan. Kung ang mga base ay iba, ang mga patakarang ito ay hindi gagana!

Ang mga formula na ito ay makakatulong sa pagkalkula ng logarithmic expression kahit na ang mga indibidwal na bahagi nito ay hindi isinasaalang-alang (tingnan ang aralin na "Ano ang logarithm"). Tingnan ang mga halimbawa at tingnan:

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log6 4 + log6 9.

Dahil ang mga base ng logarithms ay pareho, ginagamit namin ang sum formula:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log2 48 − log2 3.

Ang mga base ay pareho, ginagamit namin ang formula ng pagkakaiba:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log3 135 − log3 5.

Muli, ang mga base ay pareho, kaya mayroon kaming:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Tulad ng nakikita mo, ang mga orihinal na expression ay binubuo ng "masamang" logarithms, na hindi isinasaalang-alang nang hiwalay. Ngunit pagkatapos ng mga pagbabago, medyo normal na mga numero ang lumabas. Maraming pagsubok ang nakabatay sa katotohanang ito. Oo, ang kontrol - mga katulad na expression sa lahat ng kabigatan (minsan - na halos walang pagbabago) ay inaalok sa pagsusulit.

Pag-alis ng exponent mula sa logarithm

Ngayon pasimplehin natin ng kaunti ang gawain. Paano kung may degree sa base o argumento ng logarithm? Kung gayon ang exponent ng degree na ito ay maaaring alisin sa sign ng logarithm ayon sa mga sumusunod na patakaran:

Madaling makita na ang huling panuntunan ay sumusunod sa kanilang unang dalawa. Ngunit ito ay mas mahusay na tandaan ito pa rin - sa ilang mga kaso ito ay makabuluhang bawasan ang halaga ng mga kalkulasyon.

Siyempre, ang lahat ng mga patakarang ito ay may katuturan kung ang ODZ logarithm ay sinusunod: a > 0, a ≠ 1, x > 0. At isa pang bagay: matutong ilapat ang lahat ng mga formula hindi lamang mula kaliwa hanggang kanan, kundi pati na rin sa kabaligtaran, i.e. maaari mong ipasok ang mga numero bago ang sign ng logarithm sa logarithm mismo.

Paano malutas ang mga logarithms

Ito ang madalas na kinakailangan.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log7 496.

Tanggalin natin ang antas sa argumento ayon sa unang formula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

Tandaan na ang denominator ay isang logarithm na ang base at argumento ay eksaktong kapangyarihan: 16 = 24; 49 = 72. Mayroon kaming:

Sa tingin ko ang huling halimbawa ay nangangailangan ng paglilinaw. Saan napunta ang logarithms? Hanggang sa pinakahuling sandali, nagtatrabaho lamang kami sa denominator. Iniharap nila ang base at argumento ng logarithm na nakatayo doon sa anyo ng mga degree at kinuha ang mga tagapagpahiwatig - nakakuha sila ng isang "tatlong palapag" na bahagi.

Ngayon tingnan natin ang pangunahing bahagi. Ang numerator at denominator ay may parehong numero: log2 7. Dahil ang log2 7 ≠ 0, maaari nating bawasan ang fraction - 2/4 ay mananatili sa denominator. Ayon sa mga patakaran ng aritmetika, ang apat ay maaaring ilipat sa numerator, na ginawa. Ang resulta ay ang sagot: 2.

Paglipat sa isang bagong pundasyon

Sa pagsasalita tungkol sa mga patakaran para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms, partikular kong binigyang-diin na gumagana lamang ang mga ito sa parehong mga base. Paano kung magkaiba ang mga base? Paano kung hindi sila eksaktong mga kapangyarihan ng parehong bilang?

Ang mga formula para sa paglipat sa isang bagong base ay dumating upang iligtas. Binubalangkas namin ang mga ito sa anyo ng isang teorama:

Hayaang ibigay ang logarithm logax. Pagkatapos ay para sa anumang bilang c tulad na c > 0 at c ≠ 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Sa partikular, kung ilalagay natin ang c = x, makakakuha tayo ng:

Ito ay sumusunod mula sa pangalawang pormula na posible na palitan ang base at ang argumento ng logarithm, ngunit sa kasong ito ang buong expression ay "ibinalik", i.e. ang logarithm ay nasa denominator.

Ang mga formula na ito ay bihirang makita sa mga ordinaryong numerical expression. Posibleng suriin kung gaano kaginhawa ang mga ito kapag nilulutas ang mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Gayunpaman, may mga gawain na hindi malulutas sa lahat maliban sa paglipat sa isang bagong pundasyon. Isaalang-alang natin ang ilan sa mga ito:

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log5 16 log2 25.

Tandaan na ang mga argumento ng parehong logarithms ay eksaktong exponent. Kunin natin ang mga indicator: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Ngayon, i-flip natin ang pangalawang logarithm:

Dahil hindi nagbabago ang produkto mula sa permutation ng mga salik, mahinahon naming pinarami ang apat at dalawa, at pagkatapos ay inisip ang mga logarithms.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log9 100 lg 3.

Ang batayan at argumento ng unang logarithm ay eksaktong kapangyarihan. Isulat natin ito at alisin ang mga tagapagpahiwatig:

Ngayon, alisin natin ang decimal logarithm sa pamamagitan ng paglipat sa isang bagong base:

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

Kadalasan sa proseso ng paglutas ay kinakailangan na kumatawan sa isang numero bilang isang logarithm sa isang naibigay na base. Sa kasong ito, ang mga formula ay makakatulong sa amin:

Sa unang kaso, ang numero n ay nagiging exponent sa argumento. Ang numero n ay maaaring maging anumang bagay, dahil ito ay ang halaga lamang ng logarithm.

Ang pangalawang formula ay talagang isang paraphrased na kahulugan. Ito ay tinatawag na ganito:

Sa katunayan, ano ang mangyayari kung ang bilang b ay itataas sa gayong kapangyarihan na ang bilang b sa kapangyarihang ito ay nagbibigay ng bilang a? Tama: ito ang parehong numero a. Basahin muli ang talatang ito nang mabuti - maraming tao ang "nakabitin" dito.

Tulad ng mga bagong base conversion formula, ang pangunahing logarithmic identity ay minsan ang tanging posibleng solusyon.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

Tandaan na ang log25 64 = log5 8 - kinuha lamang ang parisukat mula sa base at ang argumento ng logarithm. Dahil sa mga patakaran para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, nakukuha natin ang:

Kung ang isang tao ay hindi alam, ito ay isang tunay na gawain mula sa Unified State Examination 🙂

Logarithmic unit at logarithmic zero

Sa konklusyon, magbibigay ako ng dalawang pagkakakilanlan na mahirap tawagan ang mga katangian - sa halip, ito ay mga kahihinatnan mula sa kahulugan ng logarithm. Ang mga ito ay patuloy na matatagpuan sa mga problema at, nakakagulat, lumikha ng mga problema kahit para sa mga "advanced" na mga mag-aaral.

1. logaa = 1 ay. Tandaan minsan at para sa lahat: ang logarithm sa anumang base a mula sa base na iyon mismo ay katumbas ng isa.
2. ang log 1 = 0 ay. Ang base a ay maaaring anuman, ngunit kung ang argumento ay isa, ang logarithm ay zero! Dahil ang a0 = 1 ay direktang bunga ng kahulugan.

Iyon ang lahat ng mga pag-aari. Siguraduhing magsanay sa pagsasabuhay ng mga ito! I-download ang cheat sheet sa simula ng aralin, i-print ito at lutasin ang mga problema.