Ang pamamaraang Gaussian ay may ilang mga disadvantages: imposibleng malaman kung ang sistema ay pare-pareho o hindi hanggang ang lahat ng mga pagbabagong kinakailangan sa pamamaraang Gaussian ay naisagawa; ang Gaussian method ay hindi angkop para sa mga system na may letter coefficients.

Isaalang-alang ang iba pang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation. Ginagamit ng mga pamamaraang ito ang konsepto ng ranggo ng isang matrix at binabawasan ang solusyon ng anumang pinagsamang sistema sa solusyon ng isang sistema kung saan nalalapat ang panuntunan ni Cramer.

Halimbawa 1 Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng sumusunod na sistema ng mga linear equation gamit ang pangunahing sistema ng mga solusyon ng pinababang homogenous na sistema at isang partikular na solusyon ng inhomogeneous system.

1. Gumagawa kami ng matrix A at ang augmented matrix ng system (1)

2. Galugarin ang system (1) para sa compatibility. Upang gawin ito, nakita namin ang mga ranggo ng mga matrice A at https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Kung ito ay lumabas na , pagkatapos ay ang system (1) hindi magkatugma. Kung makuha natin iyon , kung gayon ang sistemang ito ay pare-pareho at malulutas namin ito. (Ang consistent na pag-aaral ay batay sa Kronecker-Capelli theorem).

a. Nahanap namin rA.

Hanapin rA, isasaalang-alang namin ang sunud-sunod na hindi zero na mga menor de edad ng una, pangalawa, atbp. na mga order ng matrix A at ang mga menor de edad na nakapaligid sa kanila.

M1=1≠0 (1 ay kinuha mula sa itaas na kaliwang sulok ng matrix PERO).

Bordering M1 ang pangalawang row at pangalawang column ng matrix na ito. . Nagpatuloy kami sa hangganan M1 ang pangalawang linya at ang pangatlong column..gif" width="37" height="20 src=">. Ngayon, border namin ang non-zero minor M2′ pangalawang utos.

Meron kami: (dahil ang unang dalawang column ay pareho)

(dahil proporsyonal ang pangalawa at pangatlong linya).

Nakikita natin yan rA=2, at ang batayang minor ng matrix A.

b. Nahanap namin.

Sapat na pangunahing menor de edad M2′ matrice A border na may column ng mga libreng miyembro at lahat ng linya (mayroon lang tayong huling linya).

. Ito ay sumusunod mula dito na M3′′ nananatiling batayang minor ng matrix https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Bilang M2′- batayang minor ng matrix A mga sistema (2) , kung gayon ang sistemang ito ay katumbas ng sistema (3) , na binubuo ng unang dalawang equation ng system (2) (para sa M2′ ay nasa unang dalawang hanay ng matrix A).

(3)

Dahil ang pangunahing menor de edad ay https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

Sa sistemang ito, dalawang libreng hindi alam ( x2 at x4 ). Kaya FSR mga sistema (4) ay binubuo ng dalawang solusyon. Upang mahanap ang mga ito, nagtatalaga kami ng mga libreng hindi alam (4) mga halaga muna x2=1 , x4=0 , at pagkatapos - x2=0 , x4=1 .

Sa x2=1 , x4=0 makuha namin:

.

Ang sistemang ito ay mayroon na ang tanging bagay solusyon (maaari itong matagpuan sa pamamagitan ng panuntunan ng Cramer o ng anumang iba pang paraan). Ang pagbabawas ng unang equation mula sa pangalawang equation, nakukuha natin:

Ang magiging desisyon niya x1= -1 , x3=0 . Ibinigay ang mga halaga x2 at x4 , na ibinigay namin, nakukuha namin ang unang pangunahing solusyon ng system (2) : .

Ngayon ay ipinasok namin (4) x2=0 , x4=1 . Nakukuha namin ang:

.

Niresolba namin ang sistemang ito gamit ang teorem ni Cramer:

.

Nakukuha namin ang pangalawang pangunahing solusyon ng system (2) : .

Mga solusyon β1 , β2 at make up FSR mga sistema (2) . Kung gayon ang pangkalahatang solusyon nito ay

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Dito C1 , C2 ay mga di-makatwirang pare-pareho.

4. Maghanap ng isa pribado desisyon heterogenous na sistema(1) . Tulad ng sa talata 3 , sa halip na ang sistema (1) isaalang-alang ang katumbas na sistema (5) , na binubuo ng unang dalawang equation ng system (1) .

(5)

Inilipat namin ang mga libreng hindi alam sa kanang bahagi x2 at x4.

(6)

Bigyan natin ng libreng hindi alam x2 at x4 mga arbitrary na halaga, halimbawa, x2=2 , x4=1 at isaksak ang mga ito (6) . Kunin natin ang sistema

Ang sistemang ito ay may natatanging solusyon (dahil ang determinant nito М2′0). Ang paglutas nito (gamit ang Cramer theorem o ang Gauss method), nakuha natin x1=3 , x3=3 . Ibinigay ang mga halaga ng mga libreng hindi alam x2 at x4 , nakukuha namin partikular na solusyon ng isang inhomogeneous system(1)α1=(3,2,3,1).

5. Ngayon ay nananatiling magsulat pangkalahatang solusyon α ng isang inhomogeneous system(1) : ito ay katumbas ng kabuuan pribadong desisyon ang sistemang ito at pangkalahatang solusyon ng pinababang homogenous na sistema nito (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Ibig sabihin: (7)

6. Pagsusulit. Upang suriin kung nalutas mo nang tama ang system (1) , kailangan namin ng pangkalahatang solusyon (7) kapalit sa (1) . Kung ang bawat equation ay nagiging pagkakakilanlan ( C1 at C2 dapat sirain), kung gayon ang solusyon ay matatagpuan nang tama.

Papalitan namin (7) halimbawa, sa huling equation lamang ng system (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Nakukuha namin ang: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Saan -1=-1. Nagkaroon kami ng identity. Ginagawa namin ito sa lahat ng iba pang mga equation ng system (1) .

Magkomento. Karaniwang medyo mahirap ang pag-verify. Maaari naming irekomenda ang sumusunod na "bahagyang pag-verify": sa pangkalahatang solusyon ng system (1) magtalaga ng ilang mga halaga sa mga di-makatwirang constant at palitan lamang ang nagresultang partikular na solusyon sa mga itinapon na equation (ibig sabihin, sa mga equation na iyon mula sa (1) na hindi kasama sa (5) ). Kung nakakuha ka ng mga pagkakakilanlan, kung gayon parang, solusyon ng system (1) natagpuan nang tama (ngunit ang naturang tseke ay hindi nagbibigay ng buong garantiya ng kawastuhan!). Halimbawa, kung sa (7) ilagay C2=- 1 , C1=1, pagkatapos ay makukuha natin ang: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Ang pagpapalit sa huling equation ng system (1), mayroon tayong: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , ibig sabihin, –1=–1. Nagkaroon kami ng identity.

Halimbawa 2 Maghanap ng isang pangkalahatang solusyon sa isang sistema ng mga linear equation (1) , na nagpapahayag ng mga pangunahing hindi alam sa mga tuntunin ng mga libre.

Desisyon. Tulad ng sa halimbawa 1, bumuo ng mga matrice A at https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> ng mga matrice na ito. Ngayon, iiwan na lang namin ang mga equation ng system (1) , ang mga coefficient nito ay kasama sa basic minor na ito (ibig sabihin, mayroon tayong unang dalawang equation) at isaalang-alang ang system na binubuo ng mga ito, na katumbas ng system (1).

Ilipat natin ang mga libreng hindi alam sa kanang bahagi ng mga equation na ito.

sistema (9) nalulutas namin sa pamamagitan ng pamamaraang Gaussian, isinasaalang-alang ang mga tamang bahagi bilang mga libreng miyembro.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Opsyon 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Opsyon 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Opsyon 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Opsyon 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Mga homogenous na sistema ng mga linear algebraic equation

Sa loob ng mga aralin Pamamaraan ng Gauss at Mga hindi tugmang system/system na may karaniwang solusyon isinasaalang-alang namin hindi magkakatulad na sistema ng mga linear na equation, saan libreng miyembro(na kadalasang nasa kanan) kahit isa ng mga equation ay iba sa zero.
At ngayon, pagkatapos ng magandang warm-up sa ranggo ng matrix, magpapatuloy kami sa pagpapakintab ng pamamaraan mga pagbabagong elementarya sa homogenous na sistema ng mga linear na equation.
Ayon sa mga unang talata, ang materyal ay maaaring mukhang mayamot at karaniwan, ngunit ang impression na ito ay mapanlinlang. Bilang karagdagan sa karagdagang pagbuo ng mga diskarte, magkakaroon ng maraming bagong impormasyon, kaya mangyaring subukang huwag pabayaan ang mga halimbawa sa artikulong ito.

Ano ang isang homogenous na sistema ng mga linear equation?

Ang sagot ay nagmumungkahi mismo. Ang isang sistema ng mga linear na equation ay homogenous kung ang libreng termino lahat ang equation ng system ay zero. Halimbawa:

Ito ay lubos na malinaw na ang homogenous na sistema ay palaging pare-pareho, ibig sabihin, laging may solusyon. At, una sa lahat, ang tinatawag na walang kuwenta desisyon . Trivial, para sa mga hindi naiintindihan ang kahulugan ng pang-uri sa lahat, ay nangangahulugang bespontovoe. Hindi sa akademya, siyempre, ngunit sa katinuan =) ... Bakit kailangan mong ipaglaban, alamin natin kung ang sistemang ito ay may iba pang mga solusyon:

Halimbawa 1

Desisyon: upang malutas ang isang homogenous na sistema ito ay kinakailangan upang magsulat system matrix at sa tulong ng mga elementarya na pagbabago ay dalhin ito sa isang stepped form. Tandaan na hindi na kailangang isulat dito ang vertical bar at zero column ng mga libreng miyembro - dahil kahit anong gawin mo sa mga zero, mananatili silang zero:

(1) Ang unang hilera ay idinagdag sa pangalawang hilera, na pinarami ng -2. Ang unang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng -3.

(2) Ang pangalawang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng -1.

Ang paghahati sa ikatlong hanay ng 3 ay hindi gaanong saysay.

Bilang resulta ng mga pagbabagong elementarya, nakuha ang isang katumbas na homogenous na sistema , at, paglalapat ng reverse move ng Gaussian method, madaling i-verify na kakaiba ang solusyon.

Sagot:

Bumuo tayo ng malinaw na pamantayan: isang homogenous na sistema ng mga linear equation ay mayroon maliit na solusyon lamang, kung ranggo ng system matrix(sa kasong ito, 3) ay katumbas ng bilang ng mga variable (sa kasong ito, 3 pcs.).

Nag-iinit kami at ini-tune ang aming radyo sa isang alon ng elementarya na pagbabago:

Halimbawa 2

Lutasin ang isang homogenous na sistema ng mga linear equation

Mula sa artikulo Paano mahahanap ang ranggo ng isang matrix? naaalala natin ang makatwirang paraan ng hindi sinasadyang pagbawas ng mga numero ng matrix. Kung hindi, kakailanganin mong magkatay ng malaki, at madalas na nangangagat ng isda. Isang halimbawa ng takdang-aralin sa pagtatapos ng aralin.

Ang mga zero ay mabuti at maginhawa, ngunit sa pagsasanay ang kaso ay mas karaniwan kapag ang mga hilera ng matrix ng system nakadepende sa linear. At pagkatapos ay ang hitsura ng isang pangkalahatang solusyon ay hindi maiiwasan:

Halimbawa 3

Lutasin ang isang homogenous na sistema ng mga linear equation

Desisyon: isinusulat namin ang matrix ng system at, gamit ang elementarya na pagbabago, dinadala namin ito sa isang hakbang na form. Ang unang aksyon ay naglalayong hindi lamang sa pagkuha ng isang solong halaga, kundi pati na rin sa pagbawas ng mga numero sa unang hanay:

(1) Ang ikatlong hilera ay idinagdag sa unang hilera, na pinarami ng -1. Ang ikatlong linya ay idinagdag sa pangalawang linya, na pinarami ng -2. Sa kaliwang itaas, nakakuha ako ng unit na may "minus", na kadalasang mas maginhawa para sa karagdagang pagbabago.

(2) Ang unang dalawang linya ay pareho, ang isa sa mga ito ay tinanggal. Sa totoo lang, hindi ko inayos ang desisyon - nangyari ito. Kung nagsasagawa ka ng mga pagbabago sa isang template, kung gayon linear dependence lalabas ang mga linya mamaya.

(3) Sa ikatlong linya, idagdag ang pangalawang linya, na pinarami ng 3.

(4) Ang tanda ng unang linya ay binago.

Bilang resulta ng mga pagbabagong elementarya, nakuha ang isang katumbas na sistema:

Ang algorithm ay gumagana nang eksakto katulad ng para sa magkakaibang mga sistema. Ang mga variable na "nakaupo sa mga hakbang" ay ang mga pangunahing, ang variable na hindi nakakuha ng "mga hakbang" ay libre.

Ipinapahayag namin ang mga pangunahing variable sa mga tuntunin ng libreng variable:

Sagot: karaniwang desisyon:

Ang maliit na solusyon ay kasama sa pangkalahatang pormula, at hindi kinakailangan na isulat ito nang hiwalay.

Ang pag-verify ay isinasagawa din ayon sa karaniwang pamamaraan: ang resultang pangkalahatang solusyon ay dapat palitan sa kaliwang bahagi ng bawat equation ng system at ang isang lehitimong zero ay nakuha para sa lahat ng mga pamalit.

Ito ay maaaring tahimik na natapos, ngunit ang solusyon ng isang homogenous na sistema ng mga equation ay madalas na kailangang katawanin sa anyo ng vector sa pamamagitan ng pangunahing sistema ng pagpapasya. Mangyaring pansamantalang kalimutan ang tungkol analytical geometry, dahil ngayon ay pag-uusapan natin ang tungkol sa mga vector sa pangkalahatang algebraic na kahulugan, na bahagyang binuksan ko sa isang artikulo tungkol sa ranggo ng matrix. Ang mga terminolohiya ay hindi kinakailangan upang lilim, ang lahat ay medyo simple.

Halimbawa 1. Maghanap ng pangkalahatang solusyon at ilang pangunahing sistema ng mga solusyon para sa system

Desisyon hanapin gamit ang isang calculator. Ang algorithm ng solusyon ay kapareho ng para sa mga sistema ng linear inhomogeneous equation.
Operating lamang sa mga hilera, nakita namin ang ranggo ng matrix, ang pangunahing menor de edad; ipinapahayag namin na umaasa at libre ang mga hindi alam at hinahanap ang pangkalahatang solusyon.

Ang una at pangalawang linya ay proporsyonal, ang isa sa mga ito ay tatanggalin:

.
Mga nakasalalay na variable - x 2, x 3, x 5, libre - x 1, x 4. Mula sa unang equation na 10x 5 = 0 nakita namin ang x 5 = 0, pagkatapos
; .
Ang pangkalahatang solusyon ay mukhang:

Nahanap namin ang pangunahing sistema ng mga solusyon, na binubuo ng (n-r) na mga solusyon. Sa aming kaso, n=5, r=3, samakatuwid, ang pangunahing sistema ng mga solusyon ay binubuo ng dalawang solusyon, at ang mga solusyong ito ay dapat na linearly na independyente. Para maging linearly independent ang mga row, kinakailangan at sapat na ang ranggo ng matrix na binubuo ng mga elemento ng mga row ay katumbas ng bilang ng mga row, ibig sabihin, 2. Sapat na ibigay ang mga libreng unknowns x 1 at x 4 na mga halaga mula sa mga hilera ng determinant ng pangalawang order, na iba sa zero, at kalkulahin ang x 2 , x 3 , x 5 . Ang pinakasimpleng non-zero determinant ay .
Kaya ang unang solusyon ay: , ang ikalawa - .
Ang dalawang desisyong ito ay bumubuo sa pangunahing sistema ng pagpapasya. Tandaan na ang pangunahing sistema ay hindi natatangi (ang mga determinant maliban sa zero ay maaaring buuin hangga't gusto mo).

Halimbawa 2 . Hanapin ang pangkalahatang solusyon at ang pangunahing sistema ng mga solusyon ng system
Desisyon.



,
sumusunod na ang ranggo ng matrix ay 3 at katumbas ng bilang ng mga hindi alam. Nangangahulugan ito na ang sistema ay walang mga libreng hindi alam, at samakatuwid ay may isang natatanging solusyon - isang maliit na solusyon.

Mag-ehersisyo . Galugarin at lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation.
Halimbawa 4

Mag-ehersisyo . Maghanap ng mga pangkalahatan at partikular na solusyon para sa bawat system.
Desisyon. Isinulat namin ang pangunahing matrix ng system:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

Dinadala namin ang matrix sa isang triangular na anyo. Gumagana lamang kami sa mga hilera, dahil ang pagpaparami ng isang hilera ng isang matrix sa isang hindi zero na numero at pagdaragdag nito sa isa pang hilera para sa system ay nangangahulugan ng pagpaparami ng equation sa parehong numero at pagdaragdag nito sa isa pang equation, na hindi nagbabago sa solusyon ng sistema.
I-multiply ang 2nd row sa (-5). Idagdag natin ang 2nd line sa 1st:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

I-multiply ang 2nd row sa (6). I-multiply ang 3rd row sa (-1). Idagdag natin ang ika-3 linya sa ika-2:
Hanapin ang ranggo ng matrix.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

Ang naka-highlight na menor ay may pinakamataas na pagkakasunud-sunod (ng posibleng mga menor de edad) at hindi zero (ito ay katumbas ng produkto ng mga elemento sa reciprocal diagonal), kaya rang(A) = 2.
Basic ang menor de edad na ito. Kabilang dito ang mga coefficient para sa hindi kilalang x 1, x 2, na nangangahulugan na ang hindi kilalang x 1, x 2 ay umaasa (basic), at ang x 3, x 4, x 5 ay libre.
Binabago namin ang matrix, iniiwan lamang ang pangunahing minor sa kaliwa.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x2	x4	x 3	x5

Ang sistema na may mga coefficient ng matrix na ito ay katumbas ng orihinal na sistema at may anyo:
22x2 = 14x4 - x3 - 24x5
6x1 + 2x2 = - 2x4 - 11x3 - 6x5
Sa pamamagitan ng paraan ng pag-aalis ng mga hindi alam, nakita namin walang kuwentang solusyon:
Nakakuha kami ng mga relasyon na nagpapahayag ng mga umaasang variable x 1, x 2 sa pamamagitan ng libreng x 3, x 4, x 5, ibig sabihin, nakita namin karaniwang desisyon:
x2 = 0.64x4 - 0.0455x3 - 1.09x5
x 1 = - 0.55x 4 - 1.82x 3 - 0.64x 5
Nahanap namin ang pangunahing sistema ng mga solusyon, na binubuo ng (n-r) na mga solusyon.
Sa aming kaso, n=5, r=2, samakatuwid, ang pangunahing sistema ng mga solusyon ay binubuo ng 3 solusyon, at ang mga solusyong ito ay dapat na linearly na independyente.
Para maging linearly independent ang mga row, kinakailangan at sapat na ang ranggo ng matrix na binubuo ng mga elemento ng mga row ay katumbas ng bilang ng mga row, i.e. 3.
Ito ay sapat na upang bigyan ang mga libreng hindi alam na x 3 ,x 4 ,x 5 na mga halaga mula sa mga hilera ng determinant ng ika-3 order, naiiba sa zero, at kalkulahin ang x 1 ,x 2 .
Ang pinakasimpleng non-zero determinant ay ang identity matrix.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Gawain . Maghanap ng isang pangunahing hanay ng mga solusyon sa isang homogenous na sistema ng mga linear equation.

Kahit sa paaralan, ang bawat isa sa atin ay nag-aral ng mga equation at, sigurado, mga sistema ng mga equation. Ngunit hindi alam ng maraming tao na maraming mga paraan upang malutas ang mga ito. Ngayon ay susuriin natin nang detalyado ang lahat ng mga pamamaraan para sa paglutas ng isang sistema ng mga linear algebraic equation, na binubuo ng higit sa dalawang pagkakapantay-pantay.

Kwento

Ngayon ay kilala na ang sining ng paglutas ng mga equation at ang kanilang mga sistema ay nagmula sa sinaunang Babylon at Egypt. Gayunpaman, ang mga pagkakapantay-pantay sa kanilang karaniwang anyo ay lumitaw pagkatapos ng paglitaw ng pantay na tanda na "=", na ipinakilala noong 1556 ng English mathematician Record. Sa pamamagitan ng paraan, ang sign na ito ay pinili para sa isang dahilan: nangangahulugan ito ng dalawang magkatulad na pantay na mga segment. Sa katunayan, walang mas mahusay na halimbawa ng pagkakapantay-pantay.

Ang nagtatag ng modernong mga pagtatalaga ng titik ng mga hindi alam at mga senyales ng digri ay isang Pranses na matematiko. Gayunpaman, malaki ang pagkakaiba ng kanyang mga pagtatalaga sa ngayon. Halimbawa, tinukoy niya ang parisukat ng isang hindi kilalang numero na may titik Q (lat. "quadratus"), at ang kubo na may titik C (lat. "cubus"). Ang mga notasyong ito ay tila awkward ngayon, ngunit noon ay ito ang pinakanaiintindihan na paraan ng pagsulat ng mga sistema ng mga linear algebraic equation.

Gayunpaman, ang isang sagabal sa mga pamamaraan ng solusyon noon ay ang mga mathematician ay isinasaalang-alang lamang ang mga positibong ugat. Marahil ito ay dahil sa ang katunayan na ang mga negatibong halaga ay walang praktikal na paggamit. Sa isang paraan o iba pa, ang mga Italian mathematician na sina Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano at Rafael Bombelli ang unang nag-isip ng mga negatibong ugat noong ika-16 na siglo. At ang modernong pananaw, ang pangunahing paraan ng solusyon (sa pamamagitan ng discriminant) ay nilikha lamang noong ika-17 siglo salamat sa gawain nina Descartes at Newton.

Noong kalagitnaan ng ika-18 siglo, ang Swiss mathematician na si Gabriel Cramer ay nakahanap ng bagong paraan upang gawing mas madali ang paglutas ng mga sistema ng mga linear equation. Ang pamamaraang ito ay ipinangalan sa kanya at hanggang ngayon ay ginagamit namin ito. Ngunit pag-uusapan natin ang tungkol sa pamamaraan ni Cramer sa ibang pagkakataon, ngunit sa ngayon ay tatalakayin natin ang mga linear na equation at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito nang hiwalay sa system.

Linear na equation

Ang mga linear na equation ay ang pinakasimpleng equalities na may (mga) variable. Ang mga ito ay inuri bilang algebraic. sumulat sa pangkalahatang anyo tulad ng sumusunod: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... at n * x n \u003d b. Kakailanganin natin ang kanilang representasyon sa form na ito kapag nag-compile pa ng mga system at matrice.

Mga sistema ng linear algebraic equation

Ang kahulugan ng terminong ito ay ang mga sumusunod: ito ay isang hanay ng mga equation na may mga karaniwang hindi alam at isang karaniwang solusyon. Bilang isang patakaran, sa paaralan, ang lahat ay nalutas ng mga system na may dalawa o kahit tatlong equation. Ngunit may mga sistema na may apat o higit pang mga bahagi. Unawain muna natin kung paano isulat ang mga ito upang maging maginhawa upang malutas ang mga ito sa ibang pagkakataon. Una, ang mga sistema ng linear algebraic equation ay magiging mas maganda kung ang lahat ng mga variable ay isusulat bilang x na may naaangkop na index: 1,2,3, at iba pa. Pangalawa, ang lahat ng equation ay dapat dalhin sa canonical form: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n =b.

Matapos ang lahat ng mga pagkilos na ito, maaari nating simulan ang pag-usapan kung paano makahanap ng solusyon sa mga sistema ng mga linear na equation. Ang mga matrice ay lubhang kapaki-pakinabang para dito.

matrice

Ang isang matrix ay isang talahanayan na binubuo ng mga hilera at haligi, at sa kanilang intersection ay ang mga elemento nito. Ang mga ito ay maaaring maging partikular na mga halaga o variable. Kadalasan, upang magtalaga ng mga elemento, ang mga subscript ay inilalagay sa ilalim ng mga ito (halimbawa, isang 11 o isang 23). Ang unang index ay nangangahulugang ang row number at ang pangalawa ay ang column number. Sa mga matrice, pati na rin sa anumang iba pang elemento ng matematika, maaari kang magsagawa ng iba't ibang mga operasyon. Kaya, maaari mong:

2) I-multiply ang isang matrix sa ilang numero o vector.

3) Transpose: gawing mga column ang mga matrix row at mga column sa mga row.

4) I-multiply ang mga matrice kung ang bilang ng mga row ng isa sa mga ito ay katumbas ng bilang ng mga column ng isa pa.

Tatalakayin namin ang lahat ng mga diskarteng ito nang mas detalyado, dahil magiging kapaki-pakinabang ito sa amin sa hinaharap. Ang pagbabawas at pagdaragdag ng mga matrice ay napakadali. Dahil kumukuha kami ng mga matrice na may parehong laki, ang bawat elemento ng isang talahanayan ay tumutugma sa bawat elemento ng isa pa. Kaya, idinaragdag namin (ibawas) ang dalawang elementong ito (mahalaga na sila ay nasa parehong lugar sa kanilang mga matrice). Kapag nagpaparami ng matrix sa isang numero o vector, kailangan mo lang i-multiply ang bawat elemento ng matrix sa numerong iyon (o vector). Ang transposisyon ay isang napaka-kagiliw-giliw na proseso. Ito ay napaka-interesante kung minsan upang makita ito sa totoong buhay, halimbawa, kapag binabago ang oryentasyon ng isang tablet o telepono. Ang mga icon sa desktop ay isang matrix, at kapag binago mo ang posisyon, ito ay lumilipat at nagiging mas malawak, ngunit bumababa sa taas.

Suriin natin ang ganitong proseso bilang Bagama't hindi ito magiging kapaki-pakinabang sa atin, magiging kapaki-pakinabang pa rin na malaman ito. Maaari mo lamang i-multiply ang dalawang matrice kung ang bilang ng mga column sa isang table ay katumbas ng bilang ng mga row sa kabilang table. Ngayon kunin natin ang mga elemento ng isang hilera ng isang matrix at ang mga elemento ng kaukulang column ng isa pa. I-multiply namin sila sa isa't isa at pagkatapos ay idagdag ang mga ito (iyon ay, halimbawa, ang produkto ng mga elemento a 11 at a 12 sa b 12 at b 22 ay magiging katumbas ng: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Kaya, ang isang elemento ng talahanayan ay nakuha, at ito ay napuno pa ng isang katulad na pamamaraan.

Ngayon ay maaari nating simulan na isaalang-alang kung paano nalutas ang sistema ng mga linear equation.

Pamamaraan ng Gauss

Ang paksang ito ay nagsisimula sa paaralan. Alam na alam namin ang konsepto ng "sistema ng dalawang linear na equation" at alam namin kung paano lutasin ang mga ito. Ngunit paano kung ang bilang ng mga equation ay higit sa dalawa? Makakatulong ito sa atin

Siyempre, ang pamamaraang ito ay maginhawang gamitin kung gagawa ka ng isang matrix sa labas ng system. Ngunit hindi mo ito mababago at malutas ito sa dalisay nitong anyo.

Kaya, paano nalutas ang sistema ng mga linear na Gaussian equation sa pamamaraang ito? Sa pamamagitan ng paraan, kahit na ang pamamaraang ito ay ipinangalan sa kanya, natuklasan ito noong sinaunang panahon. Iminumungkahi ni Gauss ang mga sumusunod: upang magsagawa ng mga operasyon na may mga equation upang tuluyang bawasan ang buong set sa isang stepped form. Iyon ay, ito ay kinakailangan na mula sa itaas hanggang sa ibaba (kung nailagay nang tama) mula sa unang equation hanggang sa huli, ang isang hindi kilalang bumababa. Sa madaling salita, kailangan nating tiyakin na nakukuha natin, sabihin nating, tatlong equation: sa una - tatlong hindi alam, sa pangalawa - dalawa, sa pangatlo - isa. Pagkatapos, mula sa huling equation nakita natin ang unang hindi alam, palitan ang halaga nito sa pangalawa o unang equation, at pagkatapos ay hanapin ang natitirang dalawang variable.

Paraan ng Cramer

Upang makabisado ang pamamaraang ito, mahalaga na makabisado ang mga kasanayan sa karagdagan, pagbabawas ng mga matrice, at kailangan mo ring makahanap ng mga determinant. Samakatuwid, kung gagawin mo ang lahat ng ito nang hindi maganda o hindi mo alam kung paano, kailangan mong matuto at magsanay.

Ano ang kakanyahan ng pamamaraang ito, at kung paano ito gagawin upang makuha ang isang sistema ng mga linear na Cramer equation? Napakasimple ng lahat. Kailangan nating bumuo ng isang matrix mula sa mga numerical (halos palagi) na mga coefficient ng isang sistema ng mga linear algebraic equation. Upang gawin ito, kukunin lang namin ang mga numero sa harap ng mga hindi alam at ilagay ang mga ito sa talahanayan sa pagkakasunud-sunod na nakasulat sa system. Kung ang numero ay nauuna sa isang "-" sign, pagkatapos ay isulat namin ang isang negatibong koepisyent. Kaya, pinagsama-sama namin ang unang matrix mula sa mga coefficient ng mga hindi alam, hindi kasama ang mga numero pagkatapos ng pantay na mga palatandaan (natural, ang equation ay dapat na bawasan sa canonical form, kapag ang numero lamang ang nasa kanan, at lahat ng hindi alam ay may mga coefficient sa kaliwa). Pagkatapos ay kailangan mong lumikha ng higit pang mga matrice - isa para sa bawat variable. Upang gawin ito, sa unang matrix, sa turn, pinapalitan namin ang bawat haligi ng mga coefficient na may isang haligi ng mga numero pagkatapos ng pantay na pag-sign. Kaya, nakakakuha tayo ng ilang matrice at pagkatapos ay hanapin ang kanilang mga determinant.

Matapos nating mahanap ang mga determinant, maliit na ang bagay. Mayroon kaming paunang matrix, at mayroong ilang mga resultang matrice na tumutugma sa iba't ibang mga variable. Upang makuha ang mga solusyon ng system, hinahati namin ang determinant ng resultang talahanayan sa determinant ng unang talahanayan. Ang resultang numero ay ang halaga ng isa sa mga variable. Katulad nito, nakita namin ang lahat ng hindi alam.

Iba pang Pamamaraan

Mayroong ilang higit pang mga pamamaraan para sa pagkuha ng solusyon sa mga sistema ng mga linear na equation. Halimbawa, ang tinatawag na Gauss-Jordan method, na ginagamit upang maghanap ng mga solusyon sa isang sistema ng mga quadratic equation at nauugnay din sa paggamit ng mga matrice. Mayroon ding pamamaraang Jacobi para sa paglutas ng isang sistema ng mga linear algebraic equation. Ito ang pinakamadaling ibagay sa isang computer at ginagamit sa teknolohiya ng computer.

Mahirap na kaso

Ang pagiging kumplikado ay karaniwang nangyayari kapag ang bilang ng mga equation ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga variable. Pagkatapos ay masasabi nating sigurado na ang sistema ay hindi pare-pareho (iyon ay, wala itong mga ugat), o ang bilang ng mga solusyon nito ay may posibilidad na walang katapusan. Kung mayroon tayong pangalawang kaso, kailangan nating isulat ang pangkalahatang solusyon ng sistema ng mga linear na equation. Maglalaman ito ng hindi bababa sa isang variable.

Konklusyon

Dito na tayo sa dulo. Ibuod natin: nasuri natin kung ano ang isang sistema at isang matrix, natutunan kung paano maghanap ng pangkalahatang solusyon sa isang sistema ng mga linear na equation. Bilang karagdagan, ang iba pang mga pagpipilian ay isinasaalang-alang. Nalaman namin kung paano nalulutas ang isang sistema ng mga linear equation: ang Gauss method at Napag-usapan namin ang mga mahihirap na kaso at iba pang paraan upang makahanap ng mga solusyon.

Sa katunayan, ang paksang ito ay mas malawak, at kung nais mong mas maunawaan ito, ipinapayo namin sa iyo na magbasa ng mas dalubhasang panitikan.

Magpapatuloy kami sa pagpapakintab ng pamamaraan mga pagbabagong elementarya sa homogenous na sistema ng mga linear na equation.
Ayon sa mga unang talata, ang materyal ay maaaring mukhang mayamot at karaniwan, ngunit ang impression na ito ay mapanlinlang. Bilang karagdagan sa karagdagang pagbuo ng mga diskarte, magkakaroon ng maraming bagong impormasyon, kaya mangyaring subukang huwag pabayaan ang mga halimbawa sa artikulong ito.

Ano ang isang homogenous na sistema ng mga linear equation?

Ang sagot ay nagmumungkahi mismo. Ang isang sistema ng mga linear na equation ay homogenous kung ang libreng termino lahat ang equation ng system ay zero. Halimbawa:

Ito ay lubos na malinaw na ang homogenous na sistema ay palaging pare-pareho, ibig sabihin, laging may solusyon. At, una sa lahat, ang tinatawag na walang kuwenta desisyon . Trivial, para sa mga hindi naiintindihan ang kahulugan ng pang-uri sa lahat, ay nangangahulugang bespontovoe. Hindi sa akademya, siyempre, ngunit sa katinuan =) ... Bakit kailangan mong ipaglaban, alamin natin kung ang sistemang ito ay may iba pang mga solusyon:

Halimbawa 1

Desisyon: upang malutas ang isang homogenous na sistema ito ay kinakailangan upang magsulat system matrix at sa tulong ng mga elementarya na pagbabago ay dalhin ito sa isang stepped form. Tandaan na hindi na kailangang isulat dito ang vertical bar at zero column ng mga libreng miyembro - dahil kahit anong gawin mo sa mga zero, mananatili silang zero:

(1) Ang unang hilera ay idinagdag sa pangalawang hilera, na pinarami ng -2. Ang unang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng -3.

(2) Ang pangalawang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng -1.

Ang paghahati sa ikatlong hanay ng 3 ay hindi gaanong saysay.

Bilang resulta ng mga pagbabagong elementarya, nakuha ang isang katumbas na homogenous na sistema , at, paglalapat ng reverse move ng Gaussian method, madaling i-verify na kakaiba ang solusyon.

Sagot:

Bumuo tayo ng malinaw na pamantayan: isang homogenous na sistema ng mga linear equation ay mayroon maliit na solusyon lamang, kung ranggo ng system matrix(sa kasong ito, 3) ay katumbas ng bilang ng mga variable (sa kasong ito, 3 pcs.).

Nag-iinit kami at ini-tune ang aming radyo sa isang alon ng elementarya na pagbabago:

Halimbawa 2

Lutasin ang isang homogenous na sistema ng mga linear equation

Upang tuluyang ayusin ang algorithm, suriin natin ang panghuling gawain:

Halimbawa 7

Lutasin ang isang homogenous system, isulat ang sagot sa vector form.

Desisyon: isinulat namin ang matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dinadala namin ito sa isang stepped form:

(1) Ang tanda ng unang linya ay binago. Muli, iginuhit ko ang pansin sa paulit-ulit na natutugunan na pamamaraan, na nagbibigay-daan sa iyo upang makabuluhang pasimplehin ang sumusunod na aksyon.

(1) Ang unang linya ay idinagdag sa ika-2 at ika-3 linya. Ang unang linya na pinarami ng 2 ay idinagdag sa ika-4 na linya.

(3) Ang huling tatlong linya ay proporsyonal, dalawa sa kanila ang tinanggal.

Bilang isang resulta, ang isang karaniwang step matrix ay nakuha, at ang solusyon ay nagpapatuloy kasama ang knurled track:

- pangunahing mga variable;
ay mga libreng variable.

Ipinapahayag namin ang mga pangunahing variable sa mga tuntunin ng mga libreng variable. Mula sa 2nd equation:

- kapalit sa 1st equation:

Kaya ang pangkalahatang solusyon ay:

Dahil mayroong tatlong libreng variable sa halimbawang isinasaalang-alang, ang pangunahing sistema ay naglalaman ng tatlong vectors.

Palitan ang triple ng mga halaga sa pangkalahatang solusyon at kumuha ng vector na ang mga coordinate ay nakakatugon sa bawat equation ng homogenous system. At muli, inuulit ko na lubos na kanais-nais na suriin ang bawat natanggap na vector - hindi ito kukuha ng napakaraming oras, ngunit ito ay makatipid ng isang daang porsyento mula sa mga pagkakamali.

Para sa isang triple ng mga halaga hanapin ang vector

At sa wakas para sa triple nakuha namin ang pangatlong vector:

Sagot: , saan

Ang mga nagnanais na maiwasan ang mga fractional na halaga ay maaaring isaalang-alang ang triplets at makuha ang sagot sa katumbas na anyo:

Speaking of fractions. Tingnan natin ang matrix na nakuha sa problema at tanungin ang tanong - posible bang gawing simple ang karagdagang solusyon? Pagkatapos ng lahat, dito namin unang ipinahayag ang pangunahing variable sa mga tuntunin ng mga fraction, pagkatapos ay ang pangunahing variable sa mga tuntunin ng mga fraction, at, dapat kong sabihin, ang prosesong ito ay hindi ang pinakamadali at hindi ang pinaka-kaaya-aya.

Ang pangalawang solusyon:

Ang ideya ay subukan pumili ng iba pang mga pangunahing variable. Tingnan natin ang matrix at pansinin ang dalawa sa ikatlong hanay. Kaya bakit hindi makakuha ng zero sa tuktok? Gumawa tayo ng isa pang elementarya na pagbabago: