Sa pahinang ito makikita mo ang:

1. Sa totoo lang, ang talahanayan ng mga antiderivatives - maaari itong i-download sa format na PDF at i-print;

2. Video kung paano gamitin ang talahanayang ito;

3. Isang grupo ng mga halimbawa ng pagkalkula ng antiderivative mula sa iba't ibang mga aklat-aralin at pagsusulit.

Sa mismong video, susuriin namin ang maraming mga problema kung saan kailangan mong kalkulahin ang mga antiderivatives ng mga pag-andar, kadalasang medyo kumplikado, ngunit ang pinakamahalaga, hindi sila mga function ng kapangyarihan. Ang lahat ng mga function na nakabuod sa talahanayan na iminungkahi sa itaas ay dapat na kilala sa puso, tulad ng mga derivatives. Kung wala ang mga ito, ang karagdagang pag-aaral ng mga integral at ang kanilang aplikasyon upang malutas ang mga praktikal na problema ay imposible.

Ngayon ay patuloy kaming nag-aaral ng mga primitive at lumipat sa isang bahagyang mas kumplikadong paksa. Kung noong huling pagkakataon ay tumingin lamang tayo sa mga antiderivative ng mga function ng kapangyarihan at bahagyang mas kumplikadong mga konstruksyon, ngayon ay titingnan natin ang trigonometrya at marami pang iba.

Tulad ng sinabi ko sa huling aralin, ang mga antiderivatives, hindi katulad ng mga derivatives, ay hindi kailanman malulutas "kaagad" gamit ang anumang karaniwang mga patakaran. Bukod dito, ang masamang balita ay, hindi katulad ng hinalaw, ang antiderivative ay maaaring hindi maisaalang-alang sa lahat. Kung sumulat tayo ng isang ganap na random na pag-andar at subukang hanapin ang hinango nito, pagkatapos ay may napakataas na posibilidad na magtatagumpay tayo, ngunit ang antiderivative ay halos hindi kailanman makalkula sa kasong ito. Ngunit may magandang balita: mayroong isang medyo malaking klase ng mga pag-andar na tinatawag na elementarya na mga pag-andar, ang mga antiderivative na kung saan ay napakadaling kalkulahin. At ang lahat ng iba pang mas kumplikadong istruktura na ibinibigay sa lahat ng uri ng pagsusulit, independiyenteng mga pagsusulit at pagsusulit, sa katunayan, ay binubuo ng mga elementary function na ito sa pamamagitan ng pagdaragdag, pagbabawas at iba pang mga simpleng aksyon. Ang mga prototype ng naturang mga pag-andar ay matagal nang kinakalkula at pinagsama sa mga espesyal na talahanayan. Ang mga pag-andar at talahanayan na ito ang gagawin namin ngayon.

Ngunit magsisimula tayo, gaya ng dati, sa isang pag-uulit: tandaan natin kung ano ang isang antiderivative, kung bakit walang hanggan ang marami sa kanila, at kung paano matukoy ang kanilang pangkalahatang hitsura. Upang gawin ito, kinuha ko ang dalawang simpleng problema.

Paglutas ng mga madaling halimbawa

Halimbawa #1

Agad nating tandaan na ang $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ at sa pangkalahatan ang presensya ng $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ ay agad na nagpapahiwatig sa amin na ang kinakailangang antiderivative ng function ay nauugnay sa trigonometry. At, sa katunayan, kung titingnan natin ang talahanayan, makikita natin na ang $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ ay hindi hihigit sa $\text(arctg)x$. Kaya't isulat natin ito:

Upang mahanap, kailangan mong isulat ang mga sumusunod:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Halimbawa Blg. 2

Pinag-uusapan din natin ang tungkol sa mga trigonometrikong pag-andar dito. Kung titingnan natin ang talahanayan, kung gayon, sa katunayan, ito ang mangyayari:

Kailangan nating hanapin sa buong hanay ng mga antiderivative ang isa na dumadaan sa ipinahiwatig na punto:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Sa wakas ay isulat natin ito:

Ganun kasimple. Ang tanging problema ay upang makalkula ang mga antiderivatives ng mga simpleng function, kailangan mong matuto ng talahanayan ng mga antiderivatives. Gayunpaman, pagkatapos pag-aralan ang derivative table para sa iyo, sa tingin ko hindi ito magiging problema.

Paglutas ng mga problemang naglalaman ng exponential function

Upang magsimula, isulat natin ang mga sumusunod na formula:

\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Tingnan natin kung paano gumagana ang lahat sa pagsasanay.

Halimbawa #1

Kung titingnan natin ang mga nilalaman ng mga bracket, mapapansin natin na sa talahanayan ng mga antiderivatives ay walang ganoong expression para sa $((e)^(x))$ na nasa isang parisukat, kaya ang parisukat na ito ay dapat na palawakin. Upang gawin ito, ginagamit namin ang mga pinaikling formula ng pagpaparami:

Hanapin natin ang antiderivative para sa bawat isa sa mga termino:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e))^ (2)) \kanan))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e) )^(-2)) \kanan))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

Ngayon, kolektahin natin ang lahat ng termino sa isang expression at kunin ang pangkalahatang antiderivative:

Halimbawa Blg. 2

Sa pagkakataong ito ang degree ay mas malaki, kaya ang pinaikling formula ng pagpaparami ay magiging kumplikado. Kaya buksan natin ang mga bracket:

Ngayon subukan nating kunin ang antiderivative ng ating formula mula sa construction na ito:

Tulad ng makikita mo, walang kumplikado o supernatural sa mga antiderivatives ng exponential function. Lahat ng mga ito ay kinakalkula sa pamamagitan ng mga talahanayan, ngunit malamang na mapapansin ng mga matulunging estudyante na ang antiderivative na $((e)^(2x))$ ay mas malapit sa simpleng $((e)^(x))$ kaysa sa $((a )^(x ))$. Kaya, marahil mayroong ilang higit pang espesyal na panuntunan na nagpapahintulot, alam ang antiderivative na $((e)^(x))$, upang mahanap ang $((e)^(2x))$? Oo, umiiral ang gayong panuntunan. At, bukod dito, ito ay isang mahalagang bahagi ng pagtatrabaho sa talahanayan ng mga antiderivatives. Susuriin namin ngayon ito gamit ang parehong mga expression na kakatrabaho lang namin bilang isang halimbawa.

Mga panuntunan para sa pagtatrabaho sa talahanayan ng mga antiderivatives

Isulat natin muli ang ating function:

Sa nakaraang kaso, ginamit namin ang sumusunod na formula upang malutas:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

Ngunit ngayon gawin natin ito nang medyo naiiba: tandaan natin kung anong batayan ang $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Gaya ng nasabi ko na, dahil ang derivative na $((e)^(x))$ ay hindi hihigit sa $((e)^(x))$, kaya ang antiderivative nito ay magiging katumbas ng parehong $((e) ^ (x))$. Ngunit ang problema ay mayroon tayong $((e)^(2x))$ at $((e)^(-2x))$. Ngayon subukan nating hanapin ang derivative ng $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Muli nating isulat muli ang ating pagtatayo:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]

Nangangahulugan ito na kapag nakita natin ang antiderivative na $((e)^(2x))$ nakukuha natin ang sumusunod:

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Tulad ng nakikita mo, nakuha namin ang parehong resulta tulad ng dati, ngunit hindi namin ginamit ang formula upang mahanap ang $((a)^(x))$. Ngayon ito ay maaaring mukhang hangal: bakit kumplikado ang mga kalkulasyon kapag mayroong isang karaniwang formula? Gayunpaman, sa bahagyang mas kumplikadong mga expression ay makikita mo na ang diskarteng ito ay napaka-epektibo, i.e. gamit ang mga derivatives upang mahanap ang mga antiderivatives.

Bilang isang warm-up, hanapin natin ang antiderivative ng $((e)^(2x))$ sa katulad na paraan:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]

Kapag kinakalkula, ang aming konstruksiyon ay isusulat tulad ng sumusunod:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Parehong resulta ang nakuha namin, ngunit ibang landas ang tinahak namin. Ito ang landas na ito, na ngayon ay tila mas kumplikado sa amin, na sa hinaharap ay magiging mas epektibo para sa pagkalkula ng mas kumplikadong mga antiderivative at paggamit ng mga talahanayan.

Tandaan! Ito ay isang napakahalagang punto: ang mga antiderivative, tulad ng mga derivative, ay mabibilang sa maraming iba't ibang paraan. Gayunpaman, kung ang lahat ng mga kalkulasyon at kalkulasyon ay pantay, ang sagot ay magiging pareho. Nakita namin ito sa halimbawa ng $((e)^(-2x))$ - sa isang banda, kinakalkula namin itong antiderivative na "right through", gamit ang kahulugan at kinakalkula ito gamit ang mga pagbabago, sa kabilang banda, naalala namin na ang $ ((e)^(-2x))$ ay maaaring katawanin bilang $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ at saka lang namin ginamit ang antiderivative para sa function na $( (a)^(x))$. Gayunpaman, pagkatapos ng lahat ng mga pagbabago, ang resulta ay pareho, tulad ng inaasahan.

At ngayong naiintindihan na natin ang lahat ng ito, oras na para magpatuloy sa isang bagay na mas makabuluhan. Ngayon ay susuriin natin ang dalawang simpleng mga konstruksyon, ngunit ang pamamaraan na gagamitin kapag nilutas ang mga ito ay isang mas malakas at kapaki-pakinabang na tool kaysa sa simpleng "pagtakbo" sa pagitan ng mga kalapit na antiderivatives mula sa talahanayan.

Paglutas ng problema: paghahanap ng antiderivative ng isang function

Halimbawa #1

Hatiin natin ang halaga na nasa mga numerator sa tatlong magkakahiwalay na fraction:

Ito ay isang medyo natural at nauunawaan na paglipat - karamihan sa mga mag-aaral ay walang problema dito. Muli nating isulat ang ating ekspresyon tulad ng sumusunod:

Ngayon tandaan natin ang formula na ito:

Sa aming kaso, makukuha namin ang sumusunod:

Upang maalis ang lahat ng tatlong-kuwento na fraction na ito, iminumungkahi kong gawin ang sumusunod:

Halimbawa Blg. 2

Hindi tulad ng nakaraang fraction, ang denominator ay hindi isang produkto, ngunit isang kabuuan. Sa kasong ito, hindi na natin mahahati ang ating fraction sa kabuuan ng ilang simpleng fraction, ngunit dapat nating subukang tiyakin na ang numerator ay naglalaman ng humigit-kumulang kaparehong expression ng denominator. Sa kasong ito, medyo simple na gawin ito:

Ang notasyong ito, na sa wikang matematikal ay tinatawag na "pagdaragdag ng zero," ay magbibigay-daan sa amin na muling hatiin ang fraction sa dalawang piraso:

Ngayon, hanapin natin ang hinahanap natin:

Iyon lang ang mga kalkulasyon. Sa kabila ng maliwanag na mas kumplikado kaysa sa nakaraang problema, ang halaga ng mga kalkulasyon ay naging mas maliit.

Nuances ng solusyon

At ito ay kung saan ang pangunahing kahirapan ng pagtatrabaho sa mga tabular na antiderivatives ay namamalagi, ito ay lalong kapansin-pansin sa pangalawang gawain. Ang katotohanan ay upang pumili ng ilang mga elemento na madaling kalkulahin sa pamamagitan ng talahanayan, kailangan nating malaman kung ano ang eksaktong hinahanap natin, at nasa paghahanap para sa mga elementong ito na binubuo ang buong pagkalkula ng mga antiderivatives.

Sa madaling salita, hindi sapat na kabisaduhin lamang ang talahanayan ng mga antiderivatives - kailangan mong makita ang isang bagay na hindi pa umiiral, ngunit kung ano ang ibig sabihin ng may-akda at tagatala ng problemang ito. Iyon ang dahilan kung bakit maraming mga mathematician, guro at propesor ang patuloy na nagtatalo: "Ano ang pagkuha ng mga antiderivatives o pagsasama - ito ba ay isang tool lamang o ito ba ay isang tunay na sining?" Sa katunayan, sa aking personal na opinyon, ang pagsasama-sama ay hindi isang sining - walang kahanga-hanga sa loob nito, ito ay pagsasanay lamang at higit na pagsasanay. At para magsanay, lutasin natin ang tatlo pang seryosong halimbawa.

Nagsasanay kami sa pagsasama-sama sa pagsasanay

Gawain Blg. 1

Isulat natin ang mga sumusunod na formula:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

Isulat natin ang sumusunod:

Problema Blg. 2

Isulat muli natin ito tulad ng sumusunod:

Ang kabuuang antiderivative ay magiging katumbas ng:

Problema Blg. 3

Ang kahirapan ng gawaing ito ay, hindi katulad ng mga naunang function sa itaas, walang variable na $x$ sa lahat, i.e. hindi malinaw sa atin kung ano ang idadagdag o ibawas upang makakuha ng kahit na isang bagay na katulad ng nasa ibaba. Gayunpaman, sa katunayan, ang expression na ito ay itinuturing na mas simple kaysa sa alinman sa mga nakaraang expression, dahil ang function na ito ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:

Maaari mo na ngayong itanong: bakit pantay ang mga function na ito? Suriin natin:

Muli nating isulat ito:

Baguhin natin ng kaunti ang ating ekspresyon:

At kapag ipinaliwanag ko ang lahat ng ito sa aking mga mag-aaral, halos palaging ang parehong problema ay lumitaw: sa unang pag-andar ang lahat ay higit pa o hindi gaanong malinaw, sa pangalawa maaari mo ring malaman ito nang may swerte o pagsasanay, ngunit anong uri ng alternatibong kamalayan ang gagawin mo kailangang magkaroon upang malutas ang ikatlong halimbawa? Sa totoo lang, huwag kang matakot. Ang pamamaraan na ginamit namin kapag kinakalkula ang huling antiderivative ay tinatawag na "pagbubulok ng isang function sa pinakasimpleng nito", at ito ay isang napakaseryosong pamamaraan, at isang hiwalay na aralin sa video ang ilalaan dito.

Pansamantala, iminumungkahi kong bumalik sa kung ano ang aming pinag-aralan, ibig sabihin, sa exponential function at medyo kumplikado ang mga problema sa kanilang nilalaman.

Mas kumplikadong mga problema para sa paglutas ng mga antiderivative exponential function

Gawain Blg. 1

Pansinin natin ang mga sumusunod:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\kaliwa(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Upang mahanap ang antiderivative ng expression na ito, gamitin lamang ang karaniwang formula - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

Sa aming kaso, ang antiderivative ay magiging ganito:

Siyempre, kumpara sa disenyo na nalutas namin, ang isang ito ay mukhang mas simple.

Problema Blg. 2

Muli, madaling makita na ang function na ito ay madaling mahahati sa dalawang magkahiwalay na termino - dalawang magkahiwalay na fraction. Muli nating isulat:

Ito ay nananatiling hanapin ang antiderivative ng bawat isa sa mga terminong ito gamit ang formula na inilarawan sa itaas:

Sa kabila ng maliwanag na mas kumplikado ng mga exponential function kumpara sa mga power function, ang kabuuang dami ng mga kalkulasyon at kalkulasyon ay naging mas simple.

Siyempre, para sa mga mag-aaral na may kaalaman, kung ano ang napag-usapan natin (lalo na sa backdrop ng napag-usapan natin noon) ay maaaring parang mga elementarya na ekspresyon. Gayunpaman, kapag pinili ko ang dalawang problemang ito para sa aralin sa video ngayon, hindi ko itinakda sa aking sarili ang layunin na sabihin sa iyo ang isa pang kumplikado at sopistikadong pamamaraan - ang gusto ko lang ipakita sa iyo ay hindi ka dapat matakot na gumamit ng mga karaniwang pamamaraan ng algebra upang baguhin ang mga orihinal na function. .

Gamit ang isang "lihim" na pamamaraan

Sa konklusyon, nais kong tumingin sa isa pang kawili-wiling pamamaraan, na, sa isang banda, ay higit pa sa kung ano ang pangunahing tinalakay natin ngayon, ngunit, sa kabilang banda, ito ay, una, hindi lahat kumplikado, i.e. Kahit na ang mga nagsisimulang mag-aaral ay maaaring makabisado ito, at, pangalawa, ito ay madalas na matatagpuan sa lahat ng uri ng mga pagsubok at independiyenteng gawain, i.e. Ang kaalaman tungkol dito ay magiging lubhang kapaki-pakinabang bilang karagdagan sa kaalaman sa talahanayan ng mga antiderivatives.

Gawain Blg. 1

Malinaw, mayroon kaming isang bagay na halos kapareho sa isang power function. Ano ang dapat nating gawin sa kasong ito? Pag-isipan natin ito: Ang $x-5$ ay hindi gaanong naiiba sa $x$ - nagdagdag lang sila ng $-5$. Isulat natin ito ng ganito:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Subukan nating hanapin ang derivative ng $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\left(((\left(x-5 \right)))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

Ito ay nagpapahiwatig:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right)))^(5)))(5) \ kanan))^(\prime ))\]

Walang ganoong halaga sa talahanayan, kaya nakuha na namin ngayon ang formula na ito gamit ang karaniwang antiderivative formula para sa isang power function. Isulat natin ang sagot tulad nito:

Problema Blg. 2

Maraming mga mag-aaral na tumitingin sa unang solusyon ay maaaring mag-isip na ang lahat ay napaka-simple: palitan lamang ang $x$ sa power function ng isang linear na expression, at lahat ay mahuhulog sa lugar. Sa kasamaang palad, ang lahat ay hindi gaanong simple, at ngayon ay makikita natin ito.

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa unang expression, isinusulat namin ang sumusunod:

\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right)))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\kaliwa(4-3x \kanan))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

Pagbabalik sa aming derivative, maaari naming isulat:

\[((\left(((\left(4-3x \right)))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right)))^(10)))(-30) \kanan))^(\prime ))\]

Ito ay agad na sumusunod:

Nuances ng solusyon

Pakitandaan: kung walang nagbago noong nakaraan, sa pangalawang kaso, sa halip na $-10$, $-30$ ang lumitaw. Ano ang pagkakaiba sa pagitan ng $-10$ at $-30$? Malinaw, sa kadahilanang $-3$. Tanong: saan ito nanggaling? Kung titingnan mong mabuti, makikita mo na ito ay kinuha bilang resulta ng pagkalkula ng derivative ng isang kumplikadong function - ang coefficient na nakatayo sa $x$ ay lilitaw sa antiderivative sa ibaba. Ito ay isang napakahalagang tuntunin, na sa una ay hindi ko binalak na talakayin sa aralin sa video ngayon, ngunit kung wala ito ang pagtatanghal ng mga tabular na antiderivative ay hindi kumpleto.

Kaya ulitin natin. Hayaan ang aming pangunahing function ng kapangyarihan:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Ngayon, sa halip na $x$, palitan natin ang expression na $kx+b$. Ano kaya ang mangyayari? Kailangan nating hanapin ang mga sumusunod:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \kanan)\cdot k)\]

Sa anong batayan natin ito inaangkin? Napakasimple. Hanapin natin ang derivative ng construction na nakasulat sa itaas:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right)))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\kaliwa(kx+b \kanan))^(n))\]

Ito ang parehong expression na orihinal na umiral. Kaya, ang pormula na ito ay tama rin, at maaari itong magamit upang madagdagan ang talahanayan ng mga antiderivatives, o mas mahusay na kabisaduhin lamang ang buong talahanayan.

Mga konklusyon mula sa "lihim: pamamaraan:

• Ang parehong mga pag-andar na tiningnan lang natin ay maaaring, sa katunayan, ay mababawasan sa mga antiderivative na ipinahiwatig sa talahanayan sa pamamagitan ng pagpapalawak ng mga degree, ngunit kung higit pa o mas kaunti ay makakayanan natin ang ika-apat na antas, kung gayon hindi ko gagawin ang ika-siyam na antas sa lahat ay naglakas-loob na ihayag.
• Kung papalawakin natin ang mga degree, magkakaroon tayo ng napakaraming kalkulasyon na ang isang simpleng gawain ay magdadala sa atin ng hindi naaangkop na malaking tagal ng oras.
• Iyon ang dahilan kung bakit ang mga naturang problema, na naglalaman ng mga linear na expression, ay hindi kailangang lutasin nang "magulo". Sa sandaling makatagpo ka ng isang antiderivative na naiiba mula sa isa sa talahanayan sa pamamagitan lamang ng pagkakaroon ng expression na $kx+b$ sa loob, agad na tandaan ang formula na nakasulat sa itaas, palitan ito sa iyong talahanayan na antiderivative, at lahat ay magiging marami. mas mabilis at mas madali.

Naturally, dahil sa pagiging kumplikado at kabigatan ng diskarteng ito, babalik kami sa pagsasaalang-alang nito nang maraming beses sa mga aralin sa video sa hinaharap, ngunit iyon lang para sa ngayon. Sana ay talagang makatulong ang araling ito sa mga mag-aaral na gustong maunawaan ang mga antiderivatives at integration.

Ang pagsasama ay isa sa mga pangunahing operasyon sa pagsusuri sa matematika. Ang mga talahanayan ng mga kilalang antiderivative ay maaaring maging kapaki-pakinabang, ngunit ngayon, pagkatapos ng pagdating ng mga computer algebra system, nawawala ang kanilang kahalagahan. Nasa ibaba ang isang listahan ng mga pinakakaraniwang primitive.

Talaan ng mga pangunahing integral

Isa pa, compact na opsyon

Talaan ng mga integral ng trigonometriko function

Mula sa mga rational function

Mula sa hindi makatwiran na mga pag-andar

Integrals ng transendental function

Ang "C" ay isang arbitrary integration constant, na tinutukoy kung ang halaga ng integral sa anumang punto ay kilala. Ang bawat function ay may walang katapusang bilang ng mga antiderivatives.

Karamihan sa mga mag-aaral at mag-aaral ay may mga problema sa pagkalkula ng mga integral. Ang pahinang ito ay naglalaman ng integral na mga talahanayan mula sa trigonometric, rational, irrational at transendental function na makakatulong sa solusyon. Ang isang talahanayan ng mga derivatives ay makakatulong din sa iyo.

Video - kung paano makahanap ng mga integral

Kung hindi mo masyadong naiintindihan ang paksang ito, panoorin ang video, na nagpapaliwanag ng lahat nang detalyado.

Talaan ng mga antiderivatives ("integrals"). Talaan ng mga integral. Tabular na hindi tiyak na integral. (Ang pinakasimpleng integral at integral na may parameter). Mga formula para sa pagsasama ayon sa mga bahagi. Formula ng Newton-Leibniz.

Talaan ng mga antiderivatives ("integrals"). Tabular na hindi tiyak na integral. (Ang pinakasimpleng integral at integral na may parameter).
Integral ng isang power function.	Integral ng isang power function.
Isang integral na bumababa sa integral ng isang power function kung ang x ay hinihimok sa ilalim ng differential sign.
	Integral ng isang exponential, kung saan ang a ay isang pare-parehong numero.
Integral ng isang kumplikadong exponential function.	Integral ng isang exponential function.
Isang integral na katumbas ng natural na logarithm.	Integral: "Mahabang logarithm".
	Integral: "Mahabang logarithm".
Integral: "Mataas na logarithm".	Ang integral, kung saan ang x sa numerator ay inilalagay sa ilalim ng differential sign (ang pare-pareho sa ilalim ng sign ay maaaring idagdag o ibawas), sa huli ay katulad ng integral na katumbas ng natural na logarithm.
Integral: "Mataas na logarithm".
Cosine integral.	integral ng sine.
Integral katumbas ng tangent.	Integral katumbas ng cotangent.
Integral na katumbas ng parehong arcsine at arccosine
Isang integral na katumbas ng parehong arcsine at arccosine.	Isang integral na katumbas ng parehong arctangent at arccotangent.
Integral na katumbas ng cosecant.	Integral katumbas ng secant.
Integral katumbas ng arcsecant.	Integral katumbas ng arccosecant.
Integral katumbas ng arcsecant.	Integral katumbas ng arcsecant.
Integral katumbas ng hyperbolic sine.	Integral na katumbas ng hyperbolic cosine.
Integral na katumbas ng hyperbolic sine, kung saan ang sinhx ay ang hyperbolic sine sa English na bersyon.	Integral na katumbas ng hyperbolic cosine, kung saan ang sinhx ay ang hyperbolic sine sa English na bersyon.
Integral katumbas ng hyperbolic tangent.	Integral na katumbas ng hyperbolic cotangent.
Integral na katumbas ng hyperbolic secant.	Integral na katumbas ng hyperbolic cosecant.

Mga formula para sa pagsasama ayon sa mga bahagi. Mga panuntunan sa pagsasama.

Mga formula para sa pagsasama ayon sa mga bahagi. Formula ng Newton-Leibniz. Mga panuntunan ng pagsasama.
Pagsasama ng isang produkto (function) sa pamamagitan ng isang pare-pareho:
Pagsasama ng kabuuan ng mga function:
hindi tiyak na integral:
Formula para sa pagsasama ng mga bahagi tiyak na integral:
Formula ng Newton-Leibniz tiyak na integral:	Kung saan ang F(a),F(b) ay ang mga halaga ng mga antiderivative sa mga punto b at a, ayon sa pagkakabanggit.

Talaan ng mga derivatives. Tabular derivatives. Derivative ng produkto. Derivative ng quotient. Derivative ng isang kumplikadong function.

Kung ang x ay isang malayang variable, kung gayon:

Talaan ng mga derivatives. Tabular derivatives."table derivative" - ​​​​oo, sa kasamaang-palad, ito ay eksakto kung paano sila hinahanap sa Internet
	Derivative ng isang power function
	Derivative ng exponent
Derivative ng isang kumplikadong exponential function	Derivative ng exponential function
Derivative ng isang logarithmic function	Derivative ng natural logarithm
	Derivative ng natural logarithm ng isang function
Derivative ng sine	Derivative ng cosine
Derivative ng cosecant	Derivative ng isang secant
Derivative ng arcsine	Derivative ng arc cosine
Derivative ng arcsine	Derivative ng arc cosine
Tangent derivative	Derivative ng cotangent
Derivative ng arctangent	Derivative ng arc cotangent
Derivative ng arctangent	Derivative ng arc cotangent
Derivative ng arcsecant	Derivative ng arccosecant
Derivative ng arcsecant	Derivative ng arccosecant
Derivative ng hyperbolic sine Derivative ng hyperbolic sine sa English na bersyon	Derivative ng hyperbolic cosine Derivative ng hyperbolic cosine sa English version
Derivative ng hyperbolic tangent	Derivative ng hyperbolic cotangent
Derivative ng hyperbolic secant	Derivative ng hyperbolic cosecant

Mga tuntunin ng pagkita ng kaibhan. Derivative ng produkto. Derivative ng quotient. Derivative ng isang kumplikadong function.
Derivative ng isang produkto (function) sa pamamagitan ng isang pare-pareho:
Derivative ng sum (function):
Derivative ng produkto (function):
Derivative ng quotient (ng mga function):
Derivative ng isang kumplikadong function:

Mga katangian ng logarithms. Mga pangunahing formula para sa logarithms. Decimal (lg) at natural logarithms (ln).

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan
Ipakita natin kung paano maaaring gawing exponential ang anumang function ng form a b. Dahil ang isang function ng form na e x ay tinatawag na exponential, kung gayon
Ang anumang function ng form a b ay maaaring katawanin bilang kapangyarihan ng sampu

Natural logarithm ln (logarithm to base e = 2.718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

Serye ni Taylor. Pagpapalawak ng serye ng Taylor ng isang function.

Ang karamihan pala halos nakatagpo mathematical function ay maaaring kinakatawan sa anumang katumpakan sa paligid ng isang tiyak na punto sa anyo ng kapangyarihan serye na naglalaman ng mga kapangyarihan ng isang variable sa pagtaas ng order. Halimbawa, sa paligid ng puntong x=1:

Kapag gumagamit ng serye na tinatawag Mga hilera ni Taylor Ang mga pinaghalong function na naglalaman ng, halimbawa, algebraic, trigonometriko at exponential function ay maaaring ipahayag bilang purong algebraic function. Gamit ang serye, madalas mong mabilis na maisagawa ang pagkita ng kaibahan at pagsasama.

Ang serye ng Taylor sa kapitbahayan ng point a ay may anyo:

1) , kung saan ang f(x) ay isang function na mayroong derivatives ng lahat ng order sa x = a. R n - ang natitirang termino sa serye ng Taylor ay tinutukoy ng expression

2)

Ang k-th coefficient (sa x k) ng serye ay tinutukoy ng formula

3) Ang isang espesyal na kaso ng seryeng Taylor ay ang seryeng Maclaurin (=McLaren). (ang pagpapalawak ay nangyayari sa paligid ng punto a=0)

sa a=0

ang mga miyembro ng serye ay tinutukoy ng formula

Mga kundisyon para sa paggamit ng serye ng Taylor.

1. Upang ang function na f(x) ay mapalawak sa isang Taylor series sa interval (-R;R), kinakailangan at sapat na ang natitirang termino sa Taylor (Maclaurin (=McLaren)) formula para dito ang function ay nagiging zero bilang k →∞ sa tinukoy na interval (-R;R).

2. Ito ay kinakailangan na mayroong mga derivatives para sa isang naibigay na function sa punto sa paligid kung saan tayo ay gagawa ng serye ng Taylor.

Mga katangian ng serye ni Taylor.

Kung ang f ay isang analytic function, kung gayon ang seryeng Taylor nito sa anumang punto a sa domain ng kahulugan ng f ay nagtatagpo sa f sa ilang kapitbahayan ng a.

Mayroong walang katapusan na pagkakaiba-iba ng mga function na ang Taylor series ay nagtatagpo, ngunit sa parehong oras ay naiiba mula sa function sa anumang kapitbahayan ng a. Halimbawa:

Ang serye ng Taylor ay ginagamit sa pagtatantya (ang pagtatantya ay isang siyentipikong pamamaraan na binubuo ng pagpapalit ng ilang bagay sa iba, sa isang kahulugan o iba pang malapit sa orihinal, ngunit mas simple) ng isang function sa pamamagitan ng mga polynomial. Sa partikular, ang linearization ((mula sa linearis - linear), isa sa mga pamamaraan ng tinatayang representasyon ng mga closed nonlinear system, kung saan ang pag-aaral ng isang nonlinear system ay pinapalitan ng pagsusuri ng isang linear system, sa ilang kahulugan na katumbas ng orihinal. .) Ang mga equation ay nangyayari sa pamamagitan ng pagpapalawak sa isang serye ng Taylor at pagputol ng lahat ng mga termino sa itaas ng unang pagkakasunud-sunod.

Kaya, halos anumang function ay maaaring katawanin bilang isang polynomial na may ibinigay na katumpakan.

Mga halimbawa ng ilang karaniwang pagpapalawak ng power function sa Maclaurin series (=McLaren, Taylor sa paligid ng point 0) at Taylor sa vicinity ng point 1. Ang mga unang termino ng pagpapalawak ng mga pangunahing function sa Taylor at McLaren series.

Mga halimbawa ng ilang karaniwang pagpapalawak ng mga power function sa Maclaurin series (=McLaren, Taylor sa paligid ng point 0)

Mga halimbawa ng ilang karaniwang pagpapalawak ng serye ng Taylor sa paligid ng punto 1

Ilista natin ang mga integral ng elementary function, na kung minsan ay tinatawag na tabular:

Anuman sa mga formula sa itaas ay maaaring mapatunayan sa pamamagitan ng pagkuha ng derivative ng kanang bahagi (ang resulta ay ang integrand).

Mga pamamaraan ng pagsasama

Tingnan natin ang ilang pangunahing paraan ng pagsasama. Kabilang dito ang:

1. Paraan ng agnas(direktang pagsasama).

Ang pamamaraang ito ay batay sa direktang paggamit ng mga integral na tabular, gayundin sa paggamit ng mga katangian 4 at 5 ng hindi tiyak na integral (i.e., pag-alis ng pare-parehong kadahilanan sa mga bracket at/o kumakatawan sa integrand bilang isang kabuuan ng mga function - decomposition ng integrand sa mga termino).

Halimbawa 1. Halimbawa, upang mahanap ang(dx/x 4) maaari mong direktang gamitin ang table integral para sax n dx. Sa katunayan,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Halimbawa 2. Upang mahanap ito, ginagamit namin ang parehong integral:

Halimbawa 3. Upang mahanap ito kailangan mong kunin

Halimbawa 4. Upang mahanap, kinakatawan namin ang integrand function sa form at gamitin ang table integral para sa exponential function:

Isaalang-alang natin ang paggamit ng bracketing isang pare-parehong kadahilanan.

Halimbawa 5.Hanapin natin, halimbawa . Isinasaalang-alang na, nakukuha namin

Halimbawa 6. Hahanapin natin. Dahil ang , gamitin natin ang table integral Nakukuha namin

Sa sumusunod na dalawang halimbawa, maaari mo ring gamitin ang bracketing at mga integral ng talahanayan:

Halimbawa 7.

(ginagamit namin at );

Halimbawa 8.

(ginagamit namin At ).

Tingnan natin ang mas kumplikadong mga halimbawa na gumagamit ng sum integral.

Halimbawa 9. Halimbawa, hanapin natin
. Upang ilapat ang paraan ng pagpapalawak sa numerator, ginagamit namin ang sum cube formula , at pagkatapos ay hatiin ang resultang polynomial sa denominator, termino sa pamamagitan ng termino.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Dapat pansinin na sa dulo ng solusyon ang isang karaniwang pare-parehong C ay nakasulat (at hindi hiwalay kapag isinasama ang bawat termino). Sa hinaharap, iminumungkahi din na alisin ang mga constant mula sa pagsasama ng mga indibidwal na termino sa proseso ng solusyon hangga't ang expression ay naglalaman ng hindi bababa sa isang hindi tiyak na integral (magsusulat kami ng isang pare-pareho sa dulo ng solusyon).

Halimbawa 10. Hahanapin natin . Upang malutas ang problemang ito, i-factorize natin ang numerator (pagkatapos nito ay maaari nating bawasan ang denominator).

Halimbawa 11. Hahanapin natin. Maaaring gamitin dito ang mga pagkakakilanlang trigonometriko.

Minsan, upang mabulok ang isang expression sa mga termino, kailangan mong gumamit ng mas kumplikadong mga diskarte.

Halimbawa 12. Hahanapin natin . Sa integrat pipiliin namin ang buong bahagi ng fraction . Pagkatapos

Halimbawa 13. Hahanapin natin

2. Paraan ng pagpapalit ng variable (paraan ng pagpapalit)

Ang pamamaraan ay batay sa sumusunod na formula: f(x)dx=f((t))`(t)dt, kung saan ang x =(t) ay isang function na naiba-iba sa pagitan na isinasaalang-alang.

Patunay. Hanapin natin ang mga derivatives na may paggalang sa variable t mula sa kaliwa at kanang bahagi ng formula.

Tandaan na sa kaliwang bahagi mayroong isang kumplikadong function na ang intermediate argument ay x = (t). Samakatuwid, upang pag-iba-ibahin ito nang may paggalang sa t, una nating pinagkaiba ang integral na may paggalang sa x, at pagkatapos ay kunin ang derivative ng intermediate argument na may paggalang sa t.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Derivative mula sa kanang bahagi:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Dahil ang mga derivatives na ito ay pantay-pantay, ayon sa corollary sa Lagrange's theorem, ang kaliwa at kanang bahagi ng formula na pinatutunayang naiiba sa pamamagitan ng isang tiyak na pare-pareho. Dahil ang mga di-tiyak na integral mismo ay tinukoy hanggang sa isang hindi tiyak na pare-parehong termino, ang pare-parehong ito ay maaaring tanggalin mula sa panghuling notasyon. Napatunayan.

Ang matagumpay na pagbabago ng variable ay nagbibigay-daan sa iyo na gawing simple ang orihinal na integral, at sa pinakasimpleng mga kaso, bawasan ito sa isang tabular. Sa paggamit ng pamamaraang ito, ang isang pagkakaiba ay ginawa sa pagitan ng mga linear at nonlinear na pamamaraan ng pagpapalit.

a) Linear substitution method Tingnan natin ang isang halimbawa.

Halimbawa 1.
. Hayaan ang t= 1 – 2x, pagkatapos

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Dapat tandaan na ang bagong variable ay hindi kailangang isulat nang tahasan. Sa ganitong mga kaso, pinag-uusapan nila ang pagbabago ng isang function sa ilalim ng differential sign o tungkol sa pagpapakilala ng mga constant at variable sa ilalim ng differential sign, i.e. O implicit variable na pagpapalit.

Halimbawa 2. Halimbawa, hanapin natin angcos(3x + 2)dx. Sa pamamagitan ng mga katangian ng differential dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), pagkataposcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

Sa parehong mga halimbawa na isinasaalang-alang, ang linear substitution t=kx+b(k0) ay ginamit upang mahanap ang mga integral.

Sa pangkalahatang kaso, ang sumusunod na teorama ay wasto.

Linear substitution theorem. Hayaang ang F(x) ay ilang antiderivative ng function na f(x). Pagkataposf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, kung saan ang k at b ay ilang constants,k0.

Patunay.

Sa pamamagitan ng kahulugan ng integral f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Alisin natin ang pare-parehong salik k mula sa integral sign: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Ngayon ay maaari nating hatiin ang kaliwa at kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay sa dalawa at makuha ang pahayag na patunayan hanggang sa pagtatalaga ng pare-parehong termino.

Ang theorem na ito ay nagsasaad na kung sa kahulugan ng integral f(x)dx= F(x) + C sa halip na argumento x ay papalitan natin ang expression (kx+b), ito ay hahantong sa paglitaw ng karagdagang factor 1/k sa harap ng antiderivative.

Gamit ang napatunayang teorama, malulutas namin ang mga sumusunod na halimbawa.

Halimbawa 3.

Hahanapin natin . Dito kx+b= 3 –x, ibig sabihin, k= -1,b= 3. Pagkatapos

Halimbawa 4.

Hahanapin natin. Herekx+b= 4x+ 3, ibig sabihin, k= 4,b= 3. Pagkatapos

Halimbawa 5.

Hahanapin natin . Dito kx+b= -2x+ 7, ibig sabihin, k= -2,b= 7. Pagkatapos

.

Halimbawa 6. Hahanapin natin
. Dito kx+b= 2x+ 0, ibig sabihin, k= 2,b= 0.

.

Ihambing natin ang resulta na nakuha sa halimbawa 8, na nalutas sa pamamagitan ng paraan ng agnas. Paglutas ng parehong problema gamit ang ibang paraan, nakuha namin ang sagot
. Ihambing natin ang mga resulta: Kaya, ang mga expression na ito ay naiiba sa bawat isa sa pamamagitan ng isang pare-parehong termino , ibig sabihin. Ang mga sagot na natanggap ay hindi sumasalungat sa bawat isa.

Halimbawa 7. Hahanapin natin
. Pumili tayo ng perpektong parisukat sa denominator.

Sa ilang mga kaso, ang pagbabago ng isang variable ay hindi binabawasan ang integral nang direkta sa isang tabular, ngunit maaaring gawing simple ang solusyon, na ginagawang posible na gamitin ang paraan ng pagpapalawak sa isang kasunod na hakbang.

Halimbawa 8. Halimbawa, hanapin natin . Palitan ang t=x+ 2, pagkatapos ay dt=d(x+ 2) =dx. Pagkatapos

,

kung saan ang C = C 1 – 6 (kapag pinapalitan ang expression (x+ 2) sa halip na ang unang dalawang termino ay makakakuha tayo ng ½x 2 -2x– 6).

Halimbawa 9. Hahanapin natin
. Hayaan ang t= 2x+ 1, pagkatapos ay dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Palitan natin ang expression (2x+ 1) para sa t, buksan ang mga bracket at magbigay ng mga katulad.

Tandaan na sa proseso ng mga pagbabagong-anyo lumipat kami sa isa pang pare-parehong termino, dahil ang pangkat ng mga pare-parehong termino ay maaaring tanggalin sa panahon ng proseso ng pagbabago.

b) Nonlinear na paraan ng pagpapalit Tingnan natin ang isang halimbawa.

Halimbawa 1.
. Lett= -x 2. Susunod, maaaring ipahayag ng isa ang x sa mga tuntunin ng t, pagkatapos ay maghanap ng isang expression para sa dx at magpatupad ng pagbabago ng variable sa nais na integral. Ngunit sa kasong ito, mas madaling gawin ang mga bagay sa ibang paraan. Hanapin natindt=d(-x 2) = -2xdx. Tandaan na ang expression na xdx ay isang salik ng integrand ng gustong integral. Ipahayag natin ito mula sa resultang pagkakapantay-pantayxdx= - ½dt. Pagkatapos

=  (- ½)e t dt = (- ½) e t dt = (- ½)e t + C = (- ½)
+C

Tingnan natin ang ilan pang halimbawa.

Halimbawa 2. Hahanapin natin . Hayaan ang t= 1 -x 2 . Pagkatapos

Halimbawa 3. Hahanapin natin . Lett=. Pagkatapos

;

Halimbawa 4. Sa kaso ng nonlinear substitution, maginhawa rin ang paggamit ng implicit variable substitution.

Halimbawa, hanapin natin
. Isulat natin ang xdx= = (-1/4)d(3 - 2x 2) (implicitly na pinalitan ng variable t= 3 - 2x 2). Pagkatapos

Halimbawa 5. Hahanapin natin . Dito rin namin ipinakilala ang isang variable sa ilalim ng differential sign: (implicit na kapalit = 3 + 5x 3). Pagkatapos

Halimbawa 6. Hahanapin natin . Dahil ang ,

Halimbawa 7. Hahanapin natin. Simula noon

Tingnan natin ang ilang mga halimbawa kung saan kinakailangan na pagsamahin ang iba't ibang mga pagpapalit.

Halimbawa 8. Hahanapin natin
. Hayaan ang t= 2x+ 1, pagkatapos ay x= (t– 1)/2;dx= ½dt.

Halimbawa 9. Hahanapin natin
. Lett=x- 2, thenx=t+ 2;dx=dt.

Direktang pagsasama gamit ang talahanayan ng mga antiderivatives (talahanayan ng mga hindi tiyak na integral)

Talaan ng mga antiderivatives

Mahahanap natin ang antiderivative mula sa isang kilalang kaugalian ng isang function kung gagamitin natin ang mga katangian ng hindi tiyak na integral. Mula sa talahanayan ng mga pangunahing pag-andar sa elementarya, gamit ang mga pagkakapantay-pantay ∫ d F (x) = ∫ F " (x) d x = ∫ f (x) d x = F (x) + C at ∫ k f (x) d x = k ∫ f (x) d x maaari tayong gumawa ng isang talahanayan ng mga antiderivatives.

Isulat natin ang talahanayan ng mga derivatives sa anyo ng mga kaugalian.

Constant y = C C" = 0 Power function y = x p. (x p) " = p x p - 1	Constant y = C d (C) = 0 d x Power function y = x p. d (x p) = p x p - 1 d x
(a x) " = a x ln a	Exponential function y = a x. d (a x) = a x ln α d x Sa partikular, para sa a = e mayroon kaming y = e x d (e x) = e x d x
log a x " = 1 x ln a	Logarithmic functions y = log a x . d (log a x) = d x x ln a Sa partikular, para sa a = e mayroon kaming y = ln x d (ln x) = d x x
Trigonometric function. sin x " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 c o s 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x	Trigonometric function. d sin x = cos x · d x d (cos x) = - sin x · d x d (t g x) = d x c o s 2 x d (c t g x) = - d x sin 2 x
a r c sin x " = 1 1 - x 2 a r c cos x " = - 1 1 - x 2 a r c t g x " = 1 1 + x 2 a r c c t g x " = - 1 1 + x 2	Inverse trigonometriko function. d a r c sin x = d x 1 - x 2 d a r c cos x = - d x 1 - x 2 d a r c t g x = d x 1 + x 2 d a r c c t g x = - d x 1 + x 2

Ilarawan natin ang nasa itaas gamit ang isang halimbawa. Hanapin natin ang hindi tiyak na integral ng power function f (x) = x p.

Ayon sa talahanayan ng mga kaugalian d (x p) = p · x p - 1 · d x. Sa pamamagitan ng mga katangian ng indefinite integral mayroon tayong ∫ d (x p) = ∫ p · x p - 1 · d x = p · ∫ x p - 1 · d x = x p + C . Samakatuwid, ∫ x p - 1 · d x = x p p + C p , p ≠ 0. Ang pangalawang bersyon ng entry ay ang sumusunod: ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C p + 1 = x p + 1 p + 1 + C 1, p ≠ - 1.

Kunin natin ito katumbas ng - 1 at hanapin ang set ng mga antiderivatives ng power function f (x) = x p: ∫ x p · d x = ∫ x - 1 · d x = ∫ d x x .

Ngayon kailangan namin ng talahanayan ng mga pagkakaiba para sa natural na logarithm d (ln x) = d x x, x > 0, samakatuwid ∫ d (ln x) = ∫ d x x = ln x. Samakatuwid ∫ d x x = ln x , x > 0 .

Talaan ng mga antiderivatives (mga hindi tiyak na integral)

Ang kaliwang column ng talahanayan ay naglalaman ng mga formula na tinatawag na basic antiderivatives. Ang mga formula sa kanang column ay hindi basic, ngunit maaaring gamitin upang makahanap ng mga hindi tiyak na integral. Maaari silang suriin sa pamamagitan ng pagkita ng kaibhan.

Direktang pagsasama

Upang maisagawa ang direktang pagsasama, gagamit kami ng mga talahanayan ng mga antiderivative, mga panuntunan sa pagsasama ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C, pati na rin ang mga katangian ng mga hindi tiyak na integral ∫ k f (x) d x = k · ∫ f (x) d x ∫ (f (x) ± g (x)) d x = ∫ f (x) d x ± ∫ g (x) d x

Ang talahanayan ng mga pangunahing integral at mga katangian ng mga integral ay magagamit lamang pagkatapos ng madaling pagbabago ng integrand.

Halimbawa 1

Hanapin natin ang integral ∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x

Solusyon

Inalis namin ang coefficient 3 mula sa ilalim ng integral sign:

∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x

Gamit ang mga formula ng trigonometry, binabago namin ang integrand function:

3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 2 + 2 sin x 2 cos x 2 + cos x 2 2 d x = = 3 ∫ 1 + 2 sin x 2 cos x 2 d x = 3 ∫ 1 + kasalanan x d x

Dahil ang integral ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga integral, kung gayon
3 ∫ 1 + sin x d x = 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x

Ginagamit namin ang data mula sa talahanayan ng mga antiderivatives: 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x = 3 (1 x + C 1 - cos x + C 2) = = walang laman 3 C 1 + C 2 = C = 3 x - 3 cos x + C

Sagot:∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 x - 3 cos x + C .

Halimbawa 2

Kinakailangang hanapin ang hanay ng mga antiderivatives ng function na f (x) = 2 3 4 x - 7 .

Solusyon

Ginagamit namin ang talahanayan ng mga antiderivative para sa exponential function: ∫ a x · d x = a x ln a + C . Nangangahulugan ito na ∫ 2 x · d x = 2 x ln 2 + C .

Ginagamit namin ang panuntunan sa pagsasama ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C .

Nakukuha natin ang ∫ 2 3 4 x - 7 · d x = 1 3 4 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C = 4 3 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C .

Sagot: f (x) = 2 3 4 x - 7 = 4 3 2 3 4 x - 7 ln 2 + C

Gamit ang talahanayan ng mga antiderivatives, mga katangian at ang tuntunin ng pagsasama, makakahanap tayo ng maraming hindi tiyak na integral. Posible ito sa mga kaso kung saan posible na baguhin ang integrand.

Upang mahanap ang integral ng logarithm function, tangent at cotangent function, at marami pang iba, ginagamit ang mga espesyal na pamamaraan, na isasaalang-alang namin sa seksyong "Mga pangunahing pamamaraan ng pagsasama."

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter