Isasaalang-alang ng aralin ang isang mas pangkalahatan na bersyon ng pagpaparami ng mga fraction - ito ay exponentiation. Una sa lahat, pag-uusapan natin ang natural na antas ng fraction at mga halimbawa na nagpapakita ng mga katulad na aksyon sa mga fraction. Sa simula ng aralin, uulitin din natin ang pagtaas sa natural na kapangyarihan ng mga integer na expression at tingnan kung paano ito kapaki-pakinabang para sa paglutas ng mga karagdagang halimbawa.

Paksa: Algebraic fractions. Mga operasyong aritmetika sa mga algebraic fraction

Aralin: Pagtaas ng Algebraic Fraction sa isang Power

1. Mga panuntunan para sa pagpapataas ng mga fraction at integer na expression sa mga natural na kapangyarihan na may mga elementarya na halimbawa

Ang panuntunan para sa pagpapataas ng mga ordinaryong at algebraic na fraction sa natural na kapangyarihan:

Maaari kang gumuhit ng isang pagkakatulad sa antas ng isang integer na expression at tandaan kung ano ang ibig sabihin ng pagpapataas nito sa isang kapangyarihan:

Halimbawa 1 .

Tulad ng makikita mo mula sa halimbawa, ang pagtaas ng isang fraction sa isang kapangyarihan ay isang espesyal na kaso ng pagpaparami ng mga fraction, na pinag-aralan sa nakaraang aralin.

Halimbawa 2. a), b) - nawawala ang minus, dahil itinaas namin ang expression sa pantay na kapangyarihan.

Para sa kaginhawaan ng pagtatrabaho sa mga degree, naaalala namin ang mga pangunahing patakaran para sa pagtaas sa isang natural na kapangyarihan:

- produkto ng mga degree;

- dibisyon ng mga degree;

Pagtaas ng antas sa isang kapangyarihan;

Ang antas ng trabaho.

Halimbawa 3. - ito ay kilala sa amin mula noong paksang "Pagtaas sa kapangyarihan ng mga integer na expression", maliban sa isang kaso: wala ito.

2. Ang pinakasimpleng mga halimbawa para sa pagpapataas ng mga algebraic fraction sa natural na kapangyarihan

Halimbawa 4. Itaas ang isang fraction sa isang kapangyarihan.

Desisyon. Kapag itinaas sa pantay na kapangyarihan, mawawala ang minus:

Halimbawa 5. Itaas ang isang fraction sa isang kapangyarihan.

Desisyon. Ngayon ginagamit namin ang mga patakaran para sa pagtaas ng antas sa isang kapangyarihan kaagad nang walang hiwalay na iskedyul:

.

Ngayon isaalang-alang ang pinagsamang mga gawain kung saan kakailanganin nating itaas ang mga fraction sa isang kapangyarihan, at i-multiply ang mga ito, at hatiin.

Halimbawa 6: Magsagawa ng mga aksyon.

Desisyon. . Susunod, kailangan mong gumawa ng pagbawas. Ilalarawan namin nang isang beses nang detalyado kung paano namin ito gagawin, at pagkatapos ay ipahiwatig namin kaagad ang resulta sa pamamagitan ng pagkakatulad:. Katulad nito (o ayon sa panuntunan ng paghahati ng mga degree). Meron kami: .

Halimbawa 7: Magsagawa ng mga aksyon.

Desisyon. . Ang pagbabawas ay isinasagawa sa pamamagitan ng pagkakatulad sa halimbawang tinalakay kanina.

Halimbawa 8: Magsagawa ng mga aksyon.

Desisyon. . Sa halimbawang ito, muli naming inilarawan ang proseso ng pagbabawas ng mga kapangyarihan sa mga fraction nang mas detalyado upang pagsamahin ang pamamaraang ito.

3. Mas kumplikadong mga halimbawa para sa pagpapataas ng mga algebraic fraction sa natural na kapangyarihan (isinasaalang-alang ang mga palatandaan at may mga termino sa mga bracket)

Halimbawa 9: Magsagawa ng mga aksyon .

Desisyon. Sa halimbawang ito, laktawan na natin ang hiwalay na multiplikasyon ng mga fraction, at agad na gagamitin ang panuntunan para sa kanilang multiplikasyon at isulat ito sa ilalim ng isang denominator. Kasabay nito, sinusunod namin ang mga palatandaan - sa kasong ito, ang mga praksyon ay itinaas sa kahit na mga kapangyarihan, kaya nawala ang mga minus. Gumawa tayo ng pagbabawas sa dulo.

Halimbawa 10: Magsagawa ng mga aksyon .

Desisyon. Sa halimbawang ito, mayroong isang dibisyon ng mga fraction, tandaan na sa kasong ito ang unang fraction ay pinarami ng pangalawa, ngunit baligtad.

Ang exponentiation ay isang operasyong malapit na nauugnay sa multiplikasyon, ang operasyong ito ay resulta ng maraming multiplikasyon ng isang numero nang mag-isa. Katawanin natin ang formula: a1 * a2 * ... * an = an.

Halimbawa, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Sa pangkalahatan, ang exponentiation ay kadalasang ginagamit sa iba't ibang formula sa matematika at pisika. Ang function na ito ay may mas siyentipikong layunin kaysa sa apat na pangunahing layunin: Addition, Subtraction, Multiplication, Division.

Pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan

Ang pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan ay hindi isang mahirap na operasyon. Ito ay may kaugnayan sa multiplikasyon tulad ng relasyon sa pagitan ng multiplikasyon at karagdagan. Magtala ng isang - isang maikling talaan ng n-ika bilang ng mga numerong "a" na pinarami ng bawat isa.

Isaalang-alang ang exponentiation sa mga pinakasimpleng halimbawa, lumipat sa mga kumplikado.

Halimbawa, 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Apat na parisukat (sa pangalawang kapangyarihan) ay katumbas ng labing-anim. Kung hindi mo naiintindihan ang multiplikasyon 4 * 4, basahin ang aming artikulo tungkol sa multiplikasyon.

Tingnan natin ang isa pang halimbawa: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Ang limang cubed (sa ikatlong kapangyarihan) ay katumbas ng isang daan at dalawampu't lima.

Isa pang halimbawa: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Ang siyam na cubed ay katumbas ng pitong daan dalawampu't siyam.

Mga Formula ng Exponentiation

Upang wastong tumaas sa isang kapangyarihan, kailangan mong tandaan at malaman ang mga formula sa ibaba. Walang higit sa natural dito, ang pangunahing bagay ay upang maunawaan ang kakanyahan at pagkatapos ay hindi lamang sila maaalala, ngunit tila madali din.

Pagtaas ng isang monomial sa isang kapangyarihan

Ano ang monomial? Ito ang produkto ng mga numero at variable sa anumang dami. Halimbawa, ang dalawa ay isang monomial. At ang artikulong ito ay tungkol sa pagpapataas ng gayong mga monomial sa isang kapangyarihan.

Gamit ang mga formula ng exponentiation, hindi magiging mahirap na kalkulahin ang exponentiation ng isang monomial sa isang kapangyarihan.

Halimbawa, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Kung itataas mo ang isang monomial sa isang kapangyarihan, ang bawat bahagi ng monomial ay itataas sa isang kapangyarihan.

Kapag nagtataas ng isang variable na mayroon nang isang degree sa isang kapangyarihan, ang mga degree ay pinarami. Halimbawa, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Pagtaas sa negatibong kapangyarihan

Ang isang negatibong exponent ay ang kapalit ng isang numero. Ano ang kapalit? Para sa anumang numerong X, ang kapalit ay 1/X. Iyon ay X-1=1/X. Ito ang kakanyahan ng negatibong antas.

Isaalang-alang ang halimbawa (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Bakit ganon? Dahil may minus sa degree, ililipat lang namin ang expression na ito sa denominator, at pagkatapos ay itaas ito sa ikatlong kapangyarihan. Tama lang?

Pagtaas sa isang fractional na kapangyarihan

Magsimula tayo sa isang partikular na halimbawa. 43/2. Ano ang ibig sabihin ng power 3/2? 3 - numerator, ay nangangahulugan ng pagtaas ng isang numero (sa kasong ito 4) sa isang kubo. Ang numero 2 ay ang denominator, ito ay ang pagkuha ng pangalawang ugat ng numero (sa kasong ito 4).

Pagkatapos ay makuha natin ang square root ng 43 = 2^3 = 8 . Sagot: 8.

Kaya, ang denominator ng isang fractional degree ay maaaring maging 3 o 4, at hanggang sa infinity ang anumang numero, at tinutukoy ng numerong ito ang antas ng square root na nakuha mula sa isang naibigay na numero. Siyempre, ang denominator ay hindi maaaring maging zero.

Pagtaas ng ugat sa isang kapangyarihan

Kung ang ugat ay itinaas sa isang kapangyarihan na katumbas ng kapangyarihan ng ugat mismo, kung gayon ang sagot ay ang radikal na pagpapahayag. Halimbawa, (√x)2 = x. At kaya sa anumang kaso ng pagkakapantay-pantay ng antas ng ugat at antas ng pagtaas ng ugat.

Kung (√x)^4. Pagkatapos (√x)^4=x^2. Upang suriin ang solusyon, isinasalin namin ang expression sa isang expression na may fractional degree. Dahil ang ugat ay parisukat, ang denominator ay 2. At kung ang ugat ay itinaas sa ikaapat na kapangyarihan, kung gayon ang numerator ay 4. Nakukuha natin ang 4/2=2. Sagot: x = 2.

Sa anumang kaso, ang pinakamagandang opsyon ay i-convert lamang ang expression sa isang fractional exponent. Kung ang fraction ay hindi nabawasan, ang ganoong sagot ay magiging, sa kondisyon na ang ugat ng ibinigay na numero ay hindi inilalaan.

Exponentiation ng isang complex number

Ano ang isang kumplikadong numero? Ang complex number ay isang expression na may formula na a + b * i; a, b ay tunay na mga numero. i ay ang numero na, kapag kuwadrado, ay nagbibigay ng numero -1.

Isaalang-alang ang isang halimbawa. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Mag-sign up para sa kursong "Pabilisin ang pagbibilang ng kaisipan, HINDI ang mental na arithmetic" upang matutunan kung paano mabilis at tama ang pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami, paghahati, mga parisukat na numero at kahit na mag-ugat. Sa loob ng 30 araw, matututunan mo kung paano gumamit ng mga madaling trick upang pasimplehin ang mga pagpapatakbo ng aritmetika. Ang bawat aralin ay naglalaman ng mga bagong pamamaraan, malinaw na mga halimbawa at kapaki-pakinabang na mga gawain.

Exponentiation online

Sa tulong ng aming calculator, maaari mong kalkulahin ang exponentiation ng isang numero sa isang kapangyarihan:

Exponentiation Grade 7

Ang pagtaas sa isang kapangyarihan ay nagsisimulang pumasa sa mga mag-aaral sa ikapitong baitang lamang.

Ang exponentiation ay isang operasyong malapit na nauugnay sa multiplikasyon, ang operasyong ito ay resulta ng maraming multiplikasyon ng isang numero nang mag-isa. Katawanin natin ang formula: a1 * a2 * … * an=an .

Halimbawa, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Mga Halimbawa ng Solusyon:

Presentasyon ng exponentiation

Presentasyon sa exponentiation, na idinisenyo para sa ikapitong baitang. Ang pagtatanghal ay maaaring linawin ang ilang hindi maunawaan na mga punto, ngunit malamang na walang ganoong mga punto salamat sa aming artikulo.

kinalabasan

Isinaalang-alang lamang namin ang dulo ng iceberg, upang mas maunawaan ang matematika - mag-sign up para sa aming kurso: Pabilisin ang pagbibilang ng kaisipan - HINDI mental arithmetic.

Mula sa kurso, hindi ka lamang matututo ng dose-dosenang mga trick para sa pinasimple at mabilis na pagpaparami, pagdaragdag, pagpaparami, paghahati, pagkalkula ng mga porsyento, ngunit gagawin mo rin ang mga ito sa mga espesyal na gawain at mga larong pang-edukasyon! Ang pagbibilang ng isip ay nangangailangan din ng maraming atensyon at konsentrasyon, na aktibong sinanay sa paglutas ng mga interesanteng problema.

Sa pagpapatuloy ng pag-uusap tungkol sa antas ng isang numero, makatuwirang harapin ang paghahanap ng halaga ng antas. Ang prosesong ito ay pinangalanan pagpaparami. Sa artikulong ito, pag-aaralan lang natin kung paano ginaganap ang exponentiation, habang hinahawakan ang lahat ng posibleng exponents - natural, integer, rational at irrational. At ayon sa tradisyon, isasaalang-alang namin nang detalyado ang mga solusyon sa mga halimbawa ng pagtaas ng mga numero sa iba't ibang antas.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang ibig sabihin ng "exponentiation"?

Magsimula tayo sa pagpapaliwanag kung ano ang tinatawag na exponentiation. Narito ang nauugnay na kahulugan.

Kahulugan.

Exponentiation ay upang mahanap ang halaga ng kapangyarihan ng isang numero.

Kaya, ang paghahanap ng halaga ng kapangyarihan ng a na may exponent r at pagtaas ng numero a sa kapangyarihan ng r ay ang parehong bagay. Halimbawa, kung ang gawain ay "kalkulahin ang halaga ng kapangyarihan (0.5) 5", maaari itong reformulated tulad ng sumusunod: "Itaas ang numero 0.5 sa kapangyarihan ng 5".

Maaari ka na ngayong pumunta nang direkta sa mga panuntunan kung saan isinasagawa ang exponentiation.

Pagtaas ng numero sa natural na kapangyarihan

Sa pagsasagawa, ang pagkakapantay-pantay batay sa ay karaniwang inilalapat sa anyo . Iyon ay, kapag ang pagtaas ng numero a sa isang fractional power m / n, ang ugat ng nth degree mula sa numero a ay unang nakuha, pagkatapos kung saan ang resulta ay itataas sa isang integer power m.

Isaalang-alang ang mga solusyon sa mga halimbawa ng pagtaas sa isang fractional na kapangyarihan.

Halimbawa.

Kalkulahin ang halaga ng antas.

Desisyon.

Nagpapakita kami ng dalawang solusyon.

Unang paraan. Sa pamamagitan ng kahulugan ng degree na may fractional exponent. Kinakalkula namin ang halaga ng antas sa ilalim ng tanda ng ugat, pagkatapos ay kinukuha namin ang ugat ng kubo: .

Ang pangalawang paraan. Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang degree na may fractional exponent at batay sa mga katangian ng mga ugat, ang mga pagkakapantay-pantay ay totoo . Ngayon kunin ang ugat Sa wakas, itataas namin sa isang integer na kapangyarihan .

Malinaw, ang mga nakuhang resulta ng pagtaas sa isang fractional na kapangyarihan ay nagtutugma.

Sagot:

Tandaan na ang fractional exponent ay maaaring isulat bilang isang decimal fraction o isang mixed number, sa mga kasong ito dapat itong palitan ng kaukulang ordinaryong fraction, at pagkatapos ay dapat isagawa ang exponentiation.

Halimbawa.

Kalkulahin (44.89) 2.5 .

Desisyon.

Isinulat namin ang exponent sa anyo ng isang ordinaryong fraction (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo): . Ngayon nagsasagawa kami ng pagtaas sa isang fractional na kapangyarihan:

Sagot:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Dapat ding sabihin na ang pagpapataas ng mga numero sa rational powers ay isang medyo matrabahong proseso (lalo na kapag ang numerator at denominator ng fractional exponent ay medyo malalaking numero), na kadalasang isinasagawa gamit ang teknolohiya ng computer.

Sa pagtatapos ng talatang ito, tatalakayin natin ang pagbuo ng numerong zero sa isang fractional power. Ibinigay namin ang sumusunod na kahulugan sa fractional degree ng zero ng form: dahil mayroon kami , habang ang zero sa kapangyarihan m/n ay hindi tinukoy. Kaya, ang zero sa isang positibong fractional power ay zero, halimbawa, . At ang zero sa isang fractional na negatibong kapangyarihan ay walang katuturan, halimbawa, ang mga expression at 0 -4.3 ay walang katuturan.

Pagtaas sa isang hindi makatwirang kapangyarihan

Minsan ito ay nagiging kinakailangan upang malaman ang halaga ng antas ng isang numero na may hindi makatwirang exponent. Sa kasong ito, para sa mga praktikal na layunin, kadalasan ay sapat na upang makuha ang halaga ng antas hanggang sa isang tiyak na tanda. Napansin namin kaagad na sa pagsasagawa ang halagang ito ay kinakalkula gamit ang teknolohiyang electronic computing, dahil ang manu-manong pagtaas sa isang hindi makatwiran na kapangyarihan ay nangangailangan ng isang malaking bilang ng mga masalimuot na kalkulasyon. Ngunit gayunpaman, ilalarawan namin sa pangkalahatang mga termino ang kakanyahan ng mga aksyon.

Upang makakuha ng tinatayang halaga ng kapangyarihan ng a na may hindi makatwirang exponent, kinukuha ang ilang decimal approximation ng exponent, at kinakalkula ang halaga ng exponent. Ang halagang ito ay ang tinatayang halaga ng antas ng numero a na may hindi makatwirang exponent. Kung mas tumpak ang pagtatantya ng decimal ng numero sa simula, mas tumpak ang magiging halaga ng degree sa huli.

Bilang halimbawa, kalkulahin natin ang tinatayang halaga ng kapangyarihan ng 2 1.174367... . Kunin natin ang sumusunod na decimal approximation ng isang irrational indicator: . Ngayon itinaas namin ang 2 sa isang makatwirang kapangyarihan na 1.17 (inilarawan namin ang kakanyahan ng prosesong ito sa nakaraang talata), nakukuha namin ang 2 1.17 ≈ 2.250116. kaya, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Kung kukuha tayo ng mas tumpak na pagtatantya ng decimal ng isang hindi makatwiran na exponent, halimbawa, , pagkatapos ay makakakuha tayo ng mas tumpak na halaga ng orihinal na degree: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliograpiya.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathematics Zh textbook para sa 5 cell. institusyong pang-edukasyon.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: isang aklat-aralin para sa 7 mga cell. institusyong pang-edukasyon.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: aklat-aralin para sa 8 mga cell. institusyong pang-edukasyon.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: isang aklat-aralin para sa 9 na mga cell. institusyong pang-edukasyon.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. at iba pa.Algebra and the Beginnings of Analysis: A Textbook for Grades 10-11 of General Educational Institutions.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematics (isang manwal para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan).

Nalaman namin kung ano ang antas ng isang numero sa pangkalahatan. Ngayon ay kailangan nating maunawaan kung paano tama ang pagkalkula nito, i.e. itaas ang mga numero sa kapangyarihan. Sa materyal na ito, susuriin namin ang mga pangunahing panuntunan para sa pagkalkula ng antas sa kaso ng isang integer, natural, fractional, rational at irrational exponent. Ang lahat ng mga kahulugan ay ilalarawan kasama ng mga halimbawa.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ang konsepto ng exponentiation

Magsimula tayo sa pagbabalangkas ng mga pangunahing kahulugan.

Kahulugan 1

Exponentiation ay ang pagkalkula ng halaga ng kapangyarihan ng ilang numero.

Iyon ay, ang mga salitang "pagkalkula ng halaga ng antas" at "pagpapalawak" ay nangangahulugan ng parehong bagay. Kaya, kung ang gawain ay "Itaas ang numero 0 , 5 sa ikalimang kapangyarihan", dapat itong maunawaan bilang "kalkulahin ang halaga ng kapangyarihan (0 , 5) 5 .

Ngayon ay binibigyan namin ang mga pangunahing patakaran na dapat sundin sa naturang mga kalkulasyon.

Alalahanin kung ano ang kapangyarihan ng isang numero na may natural na exponent. Para sa isang kapangyarihan na may base a at exponent n, ito ang magiging produkto ng ika-n na bilang ng mga salik, na ang bawat isa ay katumbas ng a. Ito ay maaaring isulat tulad nito:

Upang makalkula ang halaga ng antas, kailangan mong isagawa ang pagpapatakbo ng pagpaparami, iyon ay, i-multiply ang mga base ng degree sa tinukoy na bilang ng beses. Ang mismong konsepto ng isang degree na may natural na tagapagpahiwatig ay batay sa kakayahang mabilis na dumami. Magbigay tayo ng mga halimbawa.

Halimbawa 1

Kundisyon: Itaas ang - 2 sa kapangyarihan ng 4 .

Desisyon

Gamit ang kahulugan sa itaas, isinusulat natin ang: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Susunod, kailangan lang nating sundin ang mga hakbang na ito at makakuha ng 16 .

Kumuha tayo ng mas kumplikadong halimbawa.

Halimbawa 2

Kalkulahin ang halaga 3 2 7 2

Desisyon

Ang entry na ito ay maaaring muling isulat bilang 3 2 7 · 3 2 7 . Mas maaga ay tiningnan namin kung paano tama ang pagpaparami ng mga pinaghalong numero na binanggit sa kondisyon.

Gawin ang mga hakbang na ito at makuha ang sagot: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Kung ang gawain ay nagpapahiwatig ng pangangailangan na itaas ang hindi makatwiran na mga numero sa isang natural na kapangyarihan, kakailanganin muna nating bilugan ang kanilang mga base sa isang digit na magbibigay-daan sa amin upang makakuha ng sagot ng nais na katumpakan. Kumuha tayo ng isang halimbawa.

Halimbawa 3

Isagawa ang pag-squaring ng numerong π .

Desisyon

Bilugan muna natin ito hanggang hundredths. Pagkatapos π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Kung π ≈ 3 . 14159, pagkatapos ay makakakuha tayo ng mas tumpak na resulta: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Tandaan na ang pangangailangan na kalkulahin ang mga kapangyarihan ng hindi makatwiran na mga numero sa pagsasanay ay medyo bihira. Pagkatapos ay maaari nating isulat ang sagot bilang mismong kapangyarihan (ln 6) 3 o i-convert kung maaari: 5 7 = 125 5 .

Hiwalay, dapat itong ipahiwatig kung ano ang unang kapangyarihan ng isang numero. Dito mo lamang maaalala na ang anumang numero na itinaas sa unang kapangyarihan ay mananatili mismo:

Ito ay malinaw sa talaan. .

Hindi ito nakasalalay sa batayan ng antas.

Halimbawa 4

Kaya, (− 9) 1 = − 9 , at 7 3 na itinaas sa unang kapangyarihan ay nananatiling katumbas ng 7 3 .

Para sa kaginhawahan, susuriin namin ang tatlong mga kaso nang hiwalay: kung ang exponent ay isang positive integer, kung ito ay zero, at kung ito ay isang negatibong integer.

Sa unang kaso, ito ay kapareho ng pagtaas sa isang natural na kapangyarihan: pagkatapos ng lahat, ang mga positibong integer ay nabibilang sa hanay ng mga natural na numero. Inilarawan na namin kung paano magtrabaho kasama ang mga naturang degree sa itaas.

Ngayon tingnan natin kung paano maayos na itaas sa zero na kapangyarihan. Sa isang base na hindi zero, ang pagkalkula na ito ay palaging gumagawa ng isang output na 1 . Nauna naming ipinaliwanag na ang 0th power ng a ay maaaring tukuyin para sa anumang tunay na numero na hindi katumbas ng 0 , at isang 0 = 1 .

Halimbawa 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - hindi tinukoy.

Natitira na lang sa amin ang kaso ng isang degree na may negatibong integer exponent. Napag-usapan na natin na ang mga naturang degree ay maaaring isulat bilang isang fraction 1 a z, kung saan ang a ay anumang numero, at z ay isang negatibong integer. Nakikita namin na ang denominator ng fraction na ito ay hindi hihigit sa isang ordinaryong degree na may positibong integer, at natutunan na namin kung paano kalkulahin ito. Magbigay tayo ng mga halimbawa ng mga gawain.

Halimbawa 6

Itaas ang 3 sa -2 na kapangyarihan.

Desisyon

Gamit ang kahulugan sa itaas, isinusulat natin ang: 2 - 3 = 1 2 3

Kinakalkula namin ang denominator ng fraction na ito at nakakuha ng 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Kung gayon ang sagot ay: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Halimbawa 7

Itaas ang 1, 43 sa -2 na kapangyarihan.

Desisyon

Reformulate: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Kinakalkula namin ang parisukat sa denominator: 1.43 1.43. Ang mga desimal ay maaaring i-multiply sa ganitong paraan:

Bilang resulta, nakuha namin ang (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449 . Nananatili para sa amin na isulat ang resulta na ito sa anyo ng isang ordinaryong fraction, kung saan kinakailangan na i-multiply ito ng 10 libo (tingnan ang materyal sa conversion ng mga fraction).

Sagot: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Ang isang hiwalay na kaso ay nagtataas ng isang numero sa minus unang kapangyarihan. Ang halaga ng naturang antas ay katumbas ng bilang na kabaligtaran sa orihinal na halaga ng base: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Halimbawa 8

Halimbawa: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Paano itaas ang isang numero sa isang fractional na kapangyarihan

Upang maisagawa ang naturang operasyon, kailangan nating alalahanin ang pangunahing kahulugan ng isang degree na may fractional exponent: a m n \u003d a m n para sa anumang positibong a, integer m at natural n.

Kahulugan 2

Kaya, ang pagkalkula ng isang fractional na antas ay dapat isagawa sa dalawang hakbang: pagtaas sa isang integer na kapangyarihan at paghahanap ng ugat ng ika-n degree.

Mayroon tayong pagkakapantay-pantay na a m n = a m n , na, na ibinigay sa mga katangian ng mga ugat, ay karaniwang ginagamit upang malutas ang mga problema sa anyong a m n = a n m . Nangangahulugan ito na kung itataas natin ang numero a sa isang fractional power m / n, pagkatapos ay i-extract muna natin ang root ng nth degree mula sa a, pagkatapos ay itataas natin ang resulta sa isang power na may integer exponent m.

Ilarawan natin sa isang halimbawa.

Halimbawa 9

Kalkulahin ang 8 - 2 3 .

Desisyon

Paraan 1. Ayon sa pangunahing kahulugan, maaari nating katawanin ito bilang: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Ngayon kalkulahin natin ang antas sa ilalim ng ugat at kunin ang ikatlong ugat mula sa resulta: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Paraan 2. Ibahin natin ang pangunahing pagkakapantay-pantay: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Pagkatapos nito, kinukuha namin ang ugat 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 at parisukat ang resulta: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Nakikita namin na ang mga solusyon ay magkapareho. Maaari mong gamitin ang anumang paraan na gusto mo.

May mga kaso kapag ang degree ay may indicator na ipinahayag bilang isang mixed number o decimal fraction. Para sa kadalian ng pagkalkula, mas mahusay na palitan ito ng isang ordinaryong fraction at bilangin tulad ng ipinahiwatig sa itaas.

Halimbawa 10

Itaas ang 44.89 sa kapangyarihan ng 2.5.

Desisyon

I-convert natin ang halaga ng indicator sa isang ordinaryong fraction - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

At ngayon ginagawa namin ang lahat ng mga aksyon na nakasaad sa itaas sa pagkakasunud-sunod: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 67 10 5 = 67 10 5 = 67 10 5 = 10 13 501, 25107

Sagot: 13501, 25107.

Kung mayroong malalaking numero sa numerator at denominator ng isang fractional exponent, kung gayon ang pagkalkula ng mga naturang exponent na may mga rational exponent ay medyo mahirap na trabaho. Karaniwang nangangailangan ito ng teknolohiya ng computer.

Hiwalay, naninirahan tayo sa antas na may zero base at isang fractional exponent. Ang isang pagpapahayag ng anyo na 0 m n ay maaaring bigyan ng sumusunod na kahulugan: kung m n > 0, pagkatapos ay 0 m n = 0 m n = 0 ; kung m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Paano itaas ang isang numero sa isang hindi makatwirang kapangyarihan

Ang pangangailangan na kalkulahin ang halaga ng antas, sa tagapagpahiwatig kung saan mayroong isang hindi makatwiran na numero, ay hindi madalas na lumitaw. Sa pagsasagawa, ang gawain ay karaniwang limitado sa pagkalkula ng isang tinatayang halaga (hanggang sa isang tiyak na bilang ng mga decimal na lugar). Karaniwan itong kinakalkula sa isang computer dahil sa pagiging kumplikado ng naturang mga kalkulasyon, kaya hindi namin ito tatalakayin nang detalyado, ipahiwatig lamang namin ang mga pangunahing probisyon.

Kung kailangan nating kalkulahin ang halaga ng degree a na may hindi makatwirang exponent a , pagkatapos ay kukunin natin ang decimal approximation ng exponent at mabibilang mula dito. Ang resulta ay isang tinatayang sagot. Kung mas tumpak ang pagtatantya ng decimal na kinuha, mas tumpak ang sagot. Ipakita natin sa isang halimbawa:

Halimbawa 11

Mag-compute ng tinatayang halaga ng 21 , 174367 ....

Desisyon

Nililimitahan namin ang aming sarili sa pagtatantya ng decimal a n = 1 , 17 . Gawin natin ang mga kalkulasyon gamit ang numerong ito: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Kung kukunin natin, halimbawa, ang approximation a n = 1 , 1743 , kung gayon ang sagot ay magiging mas tumpak ng kaunti: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 . 1743 ≈ 2 . 256833 .

Kung may napansin kang pagkakamali sa teksto, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter