Area calculator gamit ang integral. Online na calculator. Kalkulahin ang isang tiyak na integral (lugar ng isang curvilinear trapezoid)

Desisyon.

Ang una at pinakamahalagang sandali ng desisyon ay ang pagtatayo ng isang pagguhit.

Gumawa tayo ng drawing:

Ang equation y=0 nagtatakda ng x-axis;

- x=-2 at x=1 - tuwid, parallel sa axis OU;

- y \u003d x 2 +2 - isang parabola na ang mga sanga ay nakadirekta paitaas, na may vertex sa punto (0;2).

Magkomento. Upang makabuo ng isang parabola, sapat na upang mahanap ang mga punto ng intersection nito sa mga coordinate axes, i.e. paglalagay x=0 hanapin ang intersection sa axis OU at paglutas ng katumbas na quadratic equation, hanapin ang intersection sa axis Oh .

Ang vertex ng isang parabola ay matatagpuan gamit ang mga formula:

Maaari kang gumuhit ng mga linya at punto sa punto.

Sa pagitan [-2;1] ang graph ng function y=x 2 +2 nakalagay sa ibabaw ng axis baka , Kaya naman:

Sagot: S \u003d 9 square units

Matapos makumpleto ang gawain, palaging kapaki-pakinabang na tingnan ang pagguhit at alamin kung ang sagot ay totoo. Sa kasong ito, "sa pamamagitan ng mata" binibilang namin ang bilang ng mga cell sa pagguhit - mabuti, mga 9 ang mai-type, tila totoo. Ito ay lubos na malinaw na kung mayroon tayo, sabihin nating, ang sagot: 20 square units, kung gayon, malinaw naman, isang pagkakamali ang ginawa sa isang lugar - 20 mga cell ay malinaw na hindi magkasya sa figure na pinag-uusapan, hindi hihigit sa isang dosenang. Kung ang sagot ay naging negatibo, kung gayon ang gawain ay nalutas din nang hindi tama.

Ano ang gagawin kung matatagpuan ang curvilinear trapezoid sa ilalim ng ehe Oh?

b) Kalkulahin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya y=-e x , x=1 at coordinate axes.

Desisyon.

Gumawa tayo ng drawing.

Kung isang curvilinear trapezoid ganap sa ilalim ng ehe Oh , kung gayon ang lugar nito ay matatagpuan sa pamamagitan ng pormula:

Sagot: S=(e-1) sq. unit" 1.72 sq. unit

Pansin! Huwag malito ang dalawang uri ng mga gawain:

1) Kung hihilingin sa iyo na lutasin ang isang tiyak na integral nang walang anumang geometric na kahulugan, kung gayon maaari itong maging negatibo.

2) Kung hihilingin sa iyo na hanapin ang lugar ng isang figure gamit ang isang tiyak na integral, kung gayon ang lugar ay palaging positibo! Iyon ang dahilan kung bakit lumilitaw ang minus sa formula na isinasaalang-alang lamang.

Sa pagsasagawa, kadalasan ang figure ay matatagpuan sa parehong itaas at mas mababang kalahating eroplano.

kasama) Hanapin ang lugar ng isang figure ng eroplano na may hangganan ng mga linya y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Desisyon.

Una kailangan mong gumawa ng pagguhit. Sa pangkalahatan, kapag gumagawa ng isang guhit sa mga problema sa lugar, kami ay pinaka-interesado sa mga intersection point ng mga linya. Hanapin ang mga intersection point ng parabola at direktang Magagawa ito sa dalawang paraan. Ang unang paraan ay analytical.

Malutas namin ang equation:

Kaya ang mas mababang limitasyon ng pagsasama a=0 , ang pinakamataas na limitasyon ng pagsasama b=3 .

Binubuo namin ang mga ibinigay na linya: 1. Parabola - vertex sa punto (1;1); axis intersection Oh - puntos(0;0) at (0;2). 2. Straight line - ang bisector ng 2nd at 4th coordinate angles. At ngayon Pansin! Kung sa pagitan [ a;b] ilang tuluy-tuloy na pag-andar f(x) mas malaki sa o katumbas ng ilang tuluy-tuloy na function g(x), kung gayon ang lugar ng kaukulang figure ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula: .

At hindi mahalaga kung saan matatagpuan ang figure - sa itaas ng axis o sa ibaba ng axis, ngunit ito ay mahalaga kung aling tsart ay HIGHER (na may kaugnayan sa isa pang tsart), at kung alin ang nasa IBABA. Sa halimbawang isinasaalang-alang, ito ay malinaw na sa segment ang parabola ay matatagpuan sa itaas ng tuwid na linya, at samakatuwid ito ay kinakailangan upang ibawas mula sa

Posible na bumuo ng mga linya ng punto sa pamamagitan ng punto, habang ang mga limitasyon ng pagsasama ay nalaman na parang "sa kanilang sarili". Gayunpaman, ang analytical na paraan ng paghahanap ng mga limitasyon kung minsan ay kailangang gamitin kung, halimbawa, ang graph ay sapat na malaki, o ang sinulid na konstruksyon ay hindi nagpahayag ng mga limitasyon ng pagsasama (maaari silang maging fractional o hindi makatwiran).

Ang nais na pigura ay limitado ng isang parabola mula sa itaas at isang tuwid na linya mula sa ibaba.

Sa segment , ayon sa kaukulang formula:

Sagot: S \u003d 4.5 sq. na unit

Sa katunayan, upang mahanap ang lugar ng isang figure, hindi mo kailangan ng napakaraming kaalaman sa hindi tiyak at tiyak na integral. Ang gawain na "kalkulahin ang lugar gamit ang isang tiyak na integral" ay palaging nagsasangkot ng pagbuo ng isang guhit, kaya ang iyong kaalaman at kasanayan sa pagguhit ay magiging isang mas may-katuturang isyu. Sa pagsasaalang-alang na ito, kapaki-pakinabang na i-refresh ang memorya ng mga graph ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya, at, sa pinakamababa, magagawang bumuo ng isang tuwid na linya, at isang hyperbola.

Ang curvilinear trapezoid ay isang flat figure na nililimitahan ng isang axis, mga tuwid na linya, at isang graph ng isang tuluy-tuloy na function sa isang segment na hindi nagbabago ng sign sa interval na ito. Hayaang matatagpuan ang figure na ito hindi mas mababa abscissa:

Pagkatapos ang lugar ng isang curvilinear trapezoid ay numerong katumbas ng isang tiyak na integral. Anumang tiyak na integral (na umiiral) ay may napakagandang geometric na kahulugan.

Sa mga tuntunin ng geometry, ang tiyak na integral ay ang AREA.

I.e, ang tiyak na integral (kung mayroon) ay tumutugma sa geometriko sa lugar ng ilang pigura. Halimbawa, isaalang-alang ang tiyak na integral . Ang integrand ay tumutukoy sa isang curve sa eroplano na matatagpuan sa itaas ng axis (ang mga nais ay maaaring kumpletuhin ang pagguhit), at ang tiyak na integral mismo ay numerically katumbas ng lugar ng kaukulang curvilinear trapezoid.

Halimbawa 1

Ito ay isang tipikal na pahayag ng gawain. Ang una at pinakamahalagang sandali ng desisyon ay ang pagtatayo ng isang pagguhit. Bukod dito, ang pagguhit ay dapat na binuo TAMA.

Sa problemang ito, maaaring magmukhang ganito ang solusyon.
Gumawa tayo ng isang pagguhit (tandaan na ang equation ay tumutukoy sa axis):

Sa segment, matatagpuan ang graph ng function sa ibabaw ng axis, Kaya naman:

Sagot:

Halimbawa 3

Kalkulahin ang lugar ng figure na nakatali ng mga linya at coordinate axes.

Desisyon: Gumawa tayo ng drawing:

Kung matatagpuan ang curvilinear trapezoid sa ilalim ng ehe(o hindi bababa sa hindi mas mataas ibinigay na axis), kung gayon ang lugar nito ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

Sa kasong ito:

Pansin! Huwag malito ang dalawang uri ng mga gawain:

1) Kung hihilingin sa iyo na lutasin ang isang tiyak na integral nang walang anumang geometric na kahulugan, kung gayon maaari itong maging negatibo.

Sa pagsasagawa, kadalasan ang figure ay matatagpuan sa parehong itaas at mas mababang kalahating eroplano, at samakatuwid, mula sa pinakasimpleng mga problema sa paaralan, lumipat kami sa mas makabuluhang mga halimbawa.

Halimbawa 4

Hanapin ang lugar ng isang patag na pigura na may hangganan ng mga linya, .

Desisyon: Una kailangan mong kumpletuhin ang pagguhit. Sa pangkalahatan, kapag gumagawa ng isang guhit sa mga problema sa lugar, kami ay pinaka-interesado sa mga intersection point ng mga linya. Hanapin natin ang mga punto ng intersection ng parabola at ng linya. Magagawa ito sa dalawang paraan. Ang unang paraan ay analytical. Malutas namin ang equation:

Samakatuwid, ang mas mababang limitasyon ng pagsasama, ang itaas na limitasyon ng pagsasama.

Pinakamabuting huwag gamitin ang pamamaraang ito kung maaari..

Ito ay mas kumikita at mas mabilis na bumuo ng mga linya ng punto sa pamamagitan ng punto, habang ang mga limitasyon ng pagsasama ay nalaman na parang "sa kanilang sarili". Gayunpaman, ang analytical na paraan ng paghahanap ng mga limitasyon kung minsan ay kailangang gamitin kung, halimbawa, ang graph ay sapat na malaki, o ang sinulid na konstruksyon ay hindi nagpahayag ng mga limitasyon ng pagsasama (maaari silang maging fractional o hindi makatwiran). At isasaalang-alang din natin ang gayong halimbawa.

Bumalik tayo sa ating gawain: mas makatwiran na gumawa muna ng isang tuwid na linya at pagkatapos ay isang parabola. Gumawa tayo ng drawing:

At ngayon ang gumaganang formula: Kung mayroong ilang tuluy-tuloy na paggana sa pagitan mas malaki kaysa o katumbas ilang tuluy-tuloy na pag-andar, pagkatapos ay ang lugar ng figure na nalilimitahan ng mga graph ng mga function na ito at mga tuwid na linya, ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

Dito hindi na kailangang isipin kung saan matatagpuan ang figure - sa itaas ng axis o sa ibaba ng axis, at, halos nagsasalita, mahalaga kung aling tsart ang nasa ITAAS(kaugnay sa isa pang graph), at alin ang nasa IBABA.

Sa halimbawang isinasaalang-alang, ito ay malinaw na sa segment ang parabola ay matatagpuan sa itaas ng tuwid na linya, at samakatuwid ito ay kinakailangan upang ibawas mula sa

Ang pagkumpleto ng solusyon ay maaaring magmukhang ganito:

Ang nais na pigura ay limitado ng isang parabola mula sa itaas at isang tuwid na linya mula sa ibaba.
Sa segment , ayon sa kaukulang formula:

Sagot:

Halimbawa 4

Kalkulahin ang lugar ng figure na nililimitahan ng mga linya , , , .

Desisyon: Mag drawing muna tayo:

Ang pigura na ang lugar na kailangan nating hanapin ay may kulay na asul.(maingat na tingnan ang kondisyon - kung paano limitado ang figure!). Ngunit sa pagsasagawa, dahil sa kawalan ng pansin, ang isang "glitch" ay madalas na nangyayari, na kailangan mong hanapin ang lugar ng figure na may kulay na berde!

Ang halimbawang ito ay kapaki-pakinabang din na sa loob nito ang lugar ng figure ay kinakalkula gamit ang dalawang tiyak na integral.

Talaga:

1) Sa segment sa itaas ng axis mayroong isang graph na tuwid na linya;

2) Sa segment sa itaas ng axis ay isang hyperbola graph.

Malinaw na ang mga lugar ay maaaring (at dapat) idagdag, samakatuwid:

Ang lugar ng isang curvilinear trapezoid ay numerong katumbas ng isang tiyak na integral

Anumang tiyak na integral (na umiiral) ay may napakagandang geometric na kahulugan. Sa klase, sinabi ko na ang isang tiyak na integral ay isang numero. At ngayon ay oras na upang magpahayag ng isa pang kapaki-pakinabang na katotohanan. Mula sa punto ng view ng geometry, ang tiyak na integral ay ang AREA.

I.e, ang tiyak na integral (kung mayroon) geometrically tumutugma sa lugar ng ilang figure. Halimbawa, isaalang-alang ang tiyak na integral . Tinutukoy ng integrand ang isang tiyak na curve sa eroplano (maaari itong palaging iguguhit kung ninanais), at ang tiyak na integral mismo ay katumbas ng numero sa lugar ng kaukulang curvilinear trapezoid.

Halimbawa 1

Ito ay isang tipikal na pahayag ng gawain. Ang una at pinakamahalagang sandali ng desisyon ay ang pagtatayo ng isang pagguhit. Bukod dito, ang pagguhit ay dapat na binuo TAMA.

Kapag gumagawa ng blueprint, inirerekomenda ko ang sumusunod na pagkakasunud-sunod: sa simula ito ay mas mahusay na bumuo ng lahat ng mga linya (kung mayroon man) at lamang pagkatapos- mga parabola, hyperbola, mga graph ng iba pang mga function. Ang mga function graph ay mas kumikita sa pagbuo punto sa punto, ang pamamaraan ng pointwise construction ay matatagpuan sa reference material.

Doon ay makakahanap ka rin ng materyal na lubhang kapaki-pakinabang na may kaugnayan sa aming aralin - kung paano mabilis na bumuo ng isang parabola.

Sa problemang ito, maaaring magmukhang ganito ang solusyon.
Gumawa tayo ng isang pagguhit (tandaan na ang equation ay tumutukoy sa axis):

I will not hatch a curvilinear trapezoid, obvious naman kung anong area ang pinag-uusapan dito. Ang solusyon ay nagpapatuloy tulad nito:

Sa segment, matatagpuan ang graph ng function sa ibabaw ng axis, Kaya naman:

Sagot:

Sino ang nahihirapan sa pagkalkula ng tiyak na integral at paglalapat ng Newton-Leibniz formula , sumangguni sa panayam Tiyak na integral. Mga halimbawa ng solusyon.

Halimbawa 2

Kalkulahin ang lugar ng figure na nililimitahan ng mga linya , , at ang axis

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Ano ang gagawin kung matatagpuan ang curvilinear trapezoid sa ilalim ng ehe?

Halimbawa 3

Kalkulahin ang lugar ng figure na nakatali ng mga linya at coordinate axes.

Solusyon: Gumawa tayo ng drawing:

Kung isang curvilinear trapezoid ganap sa ilalim ng ehe, kung gayon ang lugar nito ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
Sa kasong ito:

Pansin! Ang dalawang uri ng mga gawain ay hindi dapat malito:

1) Kung hihilingin sa iyo na lutasin ang isang tiyak na integral nang walang anumang geometric na kahulugan, kung gayon maaari itong maging negatibo.

Halimbawa 4

Hanapin ang lugar ng isang patag na pigura na may hangganan ng mga linya, .

Solusyon: Una kailangan mong gumawa ng pagguhit. Sa pangkalahatan, kapag gumagawa ng isang guhit sa mga problema sa lugar, kami ay pinaka-interesado sa mga intersection point ng mga linya. Hanapin natin ang mga punto ng intersection ng parabola at ng linya. Magagawa ito sa dalawang paraan. Ang unang paraan ay analytical. Malutas namin ang equation:

Samakatuwid, ang mas mababang limitasyon ng pagsasama, ang itaas na limitasyon ng pagsasama.
Mas mainam na huwag gamitin ang pamamaraang ito kung maaari.

Ito ay mas kumikita at mas mabilis na bumuo ng mga linya ng punto sa pamamagitan ng punto, habang ang mga limitasyon ng pagsasama ay nalaman na parang "sa kanilang sarili". Ang point-by-point construction technique para sa iba't ibang chart ay tinalakay nang detalyado sa tulong Mga graph at katangian ng elementarya na pag-andar. Gayunpaman, ang analytical na paraan ng paghahanap ng mga limitasyon kung minsan ay kailangang gamitin kung, halimbawa, ang graph ay sapat na malaki, o ang sinulid na konstruksyon ay hindi nagpahayag ng mga limitasyon ng pagsasama (maaari silang maging fractional o hindi makatwiran). At isasaalang-alang din natin ang gayong halimbawa.

Bumalik tayo sa ating gawain: mas makatwiran na gumawa muna ng isang tuwid na linya at pagkatapos ay isang parabola. Gumawa tayo ng drawing:

Inuulit ko na sa pointwise construction, ang mga limitasyon ng pagsasama ay madalas na nalaman "awtomatikong".

At ngayon ang gumaganang formula: Kung sa isang segment ang ilang tuluy-tuloy na pag-andar mas malaki kaysa o katumbas ilang tuluy-tuloy na pag-andar, kung gayon ang lugar ng kaukulang figure ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

Sa halimbawang isinasaalang-alang, ito ay malinaw na sa segment ang parabola ay matatagpuan sa itaas ng tuwid na linya, at samakatuwid ito ay kinakailangan upang ibawas mula sa

Ang pagkumpleto ng solusyon ay maaaring magmukhang ganito:

Ang nais na pigura ay limitado ng isang parabola mula sa itaas at isang tuwid na linya mula sa ibaba.
Sa segment , ayon sa kaukulang formula:

Sagot:

Sa katunayan, ang formula ng paaralan para sa lugar ng isang curvilinear trapezoid sa lower half-plane (tingnan ang simpleng halimbawa No. 3) ay isang espesyal na kaso ng formula . Dahil ang axis ay ibinibigay ng equation, at ang graph ng function ay matatagpuan sa ibaba ng axis, kung gayon

At ngayon isang pares ng mga halimbawa para sa isang malayang desisyon

Halimbawa 5

Halimbawa 6

Hanapin ang lugar ng figure na nakapaloob sa pamamagitan ng mga linya, .

Sa kurso ng paglutas ng mga problema para sa pagkalkula ng lugar gamit ang isang tiyak na integral, minsan ang isang nakakatawang insidente ay nangyayari. Ang pagguhit ay ginawa nang tama, ang mga kalkulasyon ay tama, ngunit dahil sa kawalan ng pansin ... natagpuan ang lugar ng maling figure, iyan ang ilang beses na nakipagkulitan ang masunurin mong lingkod. Narito ang isang totoong kaso sa buhay:

Halimbawa 7

Kalkulahin ang lugar ng figure na nililimitahan ng mga linya , , , .

Gumuhit muna tayo:

Ang pigura na ang lugar na kailangan nating hanapin ay may kulay na asul.(maingat na tingnan ang kondisyon - kung paano limitado ang figure!). Ngunit sa pagsasagawa, dahil sa kawalan ng pansin, madalas na nangyayari na kailangan mong hanapin ang lugar ng figure na may kulay na berde!

Ang halimbawang ito ay kapaki-pakinabang din na sa loob nito ang lugar ng figure ay kinakalkula gamit ang dalawang tiyak na integral. Talaga:

1) Sa segment sa itaas ng axis mayroong isang graph na tuwid na linya;

2) Sa segment sa itaas ng axis ay isang hyperbola graph.

Malinaw na ang mga lugar ay maaaring (at dapat) idagdag, samakatuwid:

Sagot:

Halimbawa 8

Kalkulahin ang lugar ng isang figure na nalilimitahan ng mga linya,
Ipakita natin ang mga equation sa isang form na "paaralan", at magsagawa ng point-by-point drawing:

Makikita sa drawing na ang ating upper limit ay “good”: .
Ngunit ano ang mas mababang limitasyon? Ito ay malinaw na ito ay hindi isang integer, ngunit ano? Maaaring ? Ngunit nasaan ang garantiya na ang pagguhit ay ginawa nang may perpektong katumpakan, maaari itong lumabas. O ugat. Paano kung hindi namin nakuha ang graph nang tama?

Sa ganitong mga kaso, ang isa ay kailangang gumugol ng karagdagang oras at pinuhin ang mga limitasyon ng pagsasama nang analytical.

Hanapin natin ang mga punto ng intersection ng linya at ng parabola.
Upang gawin ito, lutasin namin ang equation:

Kaya naman, .

Ang karagdagang solusyon ay walang halaga, ang pangunahing bagay ay hindi malito sa mga pamalit at palatandaan, ang mga kalkulasyon dito ay hindi ang pinakamadali.

Sa segment , ayon sa kaukulang formula:

Sagot:

Buweno, sa pagtatapos ng aralin, isasaalang-alang natin ang dalawang gawain na mas mahirap.

Halimbawa 9

Kalkulahin ang lugar ng figure na nililimitahan ng mga linya , ,

Solusyon: Iguhit ang figure na ito sa drawing.

Para sa point-by-point na pagtatayo ng isang drawing, kinakailangang malaman ang hitsura ng sinusoid (at sa pangkalahatan ito ay kapaki-pakinabang na malaman mga graph ng lahat ng elementarya function), pati na rin ang ilang mga halaga ng sine, makikita ang mga ito sa trigonometriko talahanayan. Sa ilang mga kaso (tulad ng sa kasong ito), pinapayagan na bumuo ng isang eskematiko na pagguhit, kung saan ang mga graph at mga limitasyon ng pagsasama ay dapat na maipakita nang tama sa prinsipyo.

Walang mga problema sa mga limitasyon sa pagsasama dito, sinusunod nila nang direkta mula sa kundisyon: - Ang "x" ay nagbabago mula sa zero hanggang "pi". Gumawa kami ng karagdagang desisyon:

Sa segment, ang graph ng function ay matatagpuan sa itaas ng axis, samakatuwid:

(1) Kung paano pinagsama ang mga sine at cosine sa mga kakaibang kapangyarihan ay makikita sa aralin Integrals ng trigonometriko function. Ito ay isang tipikal na pamamaraan, kurutin namin ang isang sine.

(2) Ginagamit namin ang pangunahing trigonometric identity sa form

(3) Baguhin natin ang variable , pagkatapos ay:

Mga bagong pamamahagi ng pagsasama:

Sino ang talagang masamang negosyo na may mga pagpapalit, mangyaring pumunta sa aralin Pamamaraan ng pagpapalit sa hindi tiyak na integral. Para sa mga hindi masyadong malinaw tungkol sa kapalit na algorithm sa isang tiyak na integral, bisitahin ang pahina Tiyak na integral. Mga halimbawa ng solusyon.

Nagsisimula kaming isaalang-alang ang aktwal na proseso ng pagkalkula ng dobleng integral at pamilyar sa kahulugan ng geometriko nito.

Ang dobleng integral ay numerong katumbas ng lugar ng isang patag na pigura (rehiyon ng pagsasama). Ito ang pinakasimpleng anyo ng double integral, kapag ang function ng dalawang variable ay katumbas ng isa: .

Isaalang-alang muna natin ang problema sa mga pangkalahatang tuntunin. Ngayon ay mabigla ka kung gaano ito kasimple! Kalkulahin natin ang lugar ng isang patag na pigura na may hangganan ng mga linya. Para sa katiyakan, ipinapalagay namin na sa pagitan . Ang lugar ng figure na ito ay numerong katumbas ng:

Ilarawan natin ang lugar sa pagguhit:

Piliin natin ang unang paraan upang laktawan ang lugar:

kaya:

At kaagad isang mahalagang teknikal na lansihin: maaaring isaalang-alang nang hiwalay ang mga iterated integral. Una ang panloob na integral, pagkatapos ang panlabas na integral. Ang pamamaraang ito ay lubos na inirerekomenda para sa mga nagsisimula sa paksang mga teapot.

1) Kalkulahin ang panloob na integral, habang ang pagsasama ay isinasagawa sa variable na "y":

Ang hindi tiyak na integral dito ay ang pinakasimpleng, at pagkatapos ay ginagamit ang banal na Newton-Leibniz formula, na may pagkakaiba lamang na ang mga limitasyon ng pagsasama ay hindi mga numero, ngunit mga function. Una, pinalitan namin ang itaas na limitasyon sa "y" (antiderivative function), pagkatapos ay ang mas mababang limitasyon

2) Ang resulta na nakuha sa unang talata ay dapat na palitan sa panlabas na integral:

Ang isang mas compact na notasyon para sa buong solusyon ay ganito ang hitsura:

Ang resultang formula - ito ang eksaktong gumaganang formula para sa pagkalkula ng lugar ng isang flat figure gamit ang "ordinaryo" na tiyak na integral! Tingnan ang aralin Pagkalkula ng lugar gamit ang isang tiyak na integral, nandiyan siya sa bawat pagliko!

I.e, ang problema sa pagkalkula ng lugar gamit ang double integral medyo naiiba mula sa problema ng paghahanap ng lugar gamit ang isang tiyak na integral! Sa katunayan, sila ay iisa at pareho!

Alinsunod dito, walang mga paghihirap na dapat lumitaw! Hindi ko isasaalang-alang ang napakaraming mga halimbawa, dahil ikaw, sa katunayan, ay paulit-ulit na nakatagpo ng problemang ito.

Halimbawa 9

Desisyon: Ilarawan natin ang lugar sa pagguhit:

Piliin natin ang sumusunod na pagkakasunud-sunod ng paglalakbay ng rehiyon:

Dito at sa ibaba, hindi ako pupunta sa kung paano tumawid sa isang lugar dahil ang unang talata ay napaka detalyado.

kaya:

Tulad ng nabanggit ko na, mas mabuti para sa mga nagsisimula na kalkulahin ang mga iterated integral nang hiwalay, susundin ko ang parehong pamamaraan:

1) Una, gamit ang Newton-Leibniz formula, haharapin natin ang internal integral:

2) Ang resulta na nakuha sa unang hakbang ay pinapalitan sa panlabas na integral:

Ang punto 2 ay aktwal na paghahanap ng lugar ng isang patag na pigura gamit ang isang tiyak na integral.

Sagot:

Narito ang isang hangal at walang muwang na gawain.

Isang kakaibang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:

Halimbawa 10

Gamit ang dobleng integral, kalkulahin ang lugar ng isang figure ng eroplano na may hangganan ng mga linya , ,

Isang halimbawa ng pangwakas na solusyon sa pagtatapos ng aralin.

Sa Mga Halimbawa 9-10, mas kapaki-pakinabang ang paggamit ng unang paraan upang i-bypass ang lugar, ang mga mausisa na mambabasa, sa pamamagitan ng paraan, ay maaaring baguhin ang pagkakasunud-sunod ng bypass at kalkulahin ang mga lugar sa pangalawang paraan. Kung hindi ka nagkamali, kung gayon, natural, ang parehong mga halaga ng lugar ay nakuha.

Ngunit sa ilang mga kaso, ang pangalawang paraan upang laktawan ang lugar ay mas epektibo, at sa pagtatapos ng kurso ng batang nerd, tingnan natin ang ilang higit pang mga halimbawa sa paksang ito:

Halimbawa 11

Gamit ang dobleng integral, kalkulahin ang lugar ng isang figure ng eroplano na may hangganan ng mga linya.

Desisyon: Inaasahan namin ang dalawang parabola na may simoy na nakatagilid. Hindi na kailangang ngumiti, ang mga katulad na bagay sa maraming integral ay madalas na nakatagpo.

Ano ang pinakamadaling paraan upang makagawa ng pagguhit?

Katawanin natin ang parabola bilang dalawang function:
- itaas na sangay at - ibabang sangay.

Katulad nito, isipin ang isang parabola bilang isang upper at lower mga sanga.

Susunod, point-by-point plotting drive, na nagreresulta sa isang kakaibang figure:

Ang lugar ng figure ay kinakalkula gamit ang double integral ayon sa formula:

Ano ang mangyayari kung pipiliin natin ang unang paraan upang laktawan ang lugar? Una, ang lugar na ito ay kailangang hatiin sa dalawang bahagi. At pangalawa, mamasdan natin ang malungkot na larawang ito: . Ang mga integral, siyempre, ay hindi sa isang super-complex na antas, ngunit ... mayroong isang lumang mathematical na kasabihan: sinumang magiliw sa mga ugat ay hindi nangangailangan ng isang set-off.

Samakatuwid, mula sa hindi pagkakaunawaan na ibinigay sa kundisyon, ipinapahayag namin ang mga inverse function:

Ang mga inverse function sa halimbawang ito ay may kalamangan na agad nilang itinakda ang buong parabola nang walang anumang mga dahon, acorn, sanga at ugat.

Ayon sa pangalawang paraan, ang lugar na traversal ay ang mga sumusunod:

kaya:

Sabi nga nila, feel the difference.

1) Nakikitungo kami sa panloob na integral:

Pinapalitan namin ang resulta sa panlabas na integral:

Ang pagsasama-sama sa variable na "y" ay hindi dapat nakakahiya, kung mayroong isang titik na "zyu" - magiging mahusay na pagsamahin ito. Bagama't sino ang nagbasa ng ikalawang talata ng aralin Paano makalkula ang dami ng isang katawan ng rebolusyon, hindi na siya nakakaranas ng kahit katiting na kahihiyan sa pagsasama sa "y".

Bigyang-pansin din ang unang hakbang: ang integrand ay pantay, at ang integration segment ay simetriko tungkol sa zero. Samakatuwid, ang segment ay maaaring hatiin, at ang resulta ay maaaring doble. Ang pamamaraan na ito ay binibigyang komento nang detalyado sa aralin. Mga Mahusay na Paraan para sa Pag-compute ng Definite Integral.

Ano ang idadagdag... Lahat!

Sagot:

Upang subukan ang iyong diskarte sa pagsasama, maaari mong subukang kalkulahin . Ang sagot ay dapat na eksaktong pareho.

Halimbawa 12

Gamit ang dobleng integral, kalkulahin ang lugar ng isang figure ng eroplano na may hangganan ng mga linya

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na kung susubukan mong gamitin ang unang paraan upang laktawan ang lugar, kung gayon ang figure ay hindi na mahahati sa dalawa, ngunit sa tatlong bahagi! At, ayon dito, nakakakuha tayo ng tatlong pares ng mga umuulit na integral. Nangyayari minsan.

Ang master class ay natapos na, at oras na para magpatuloy sa grandmaster level - Paano makalkula ang dobleng integral? Mga halimbawa ng solusyon. Susubukan kong hindi masyadong manic sa pangalawang artikulo =)

Sana swertehin ka!

Mga solusyon at sagot:

Halimbawa 2:Desisyon: Gumuhit ng isang lugar sa pagguhit:

Piliin natin ang sumusunod na pagkakasunud-sunod ng paglalakbay ng rehiyon:

kaya:
Lumipat tayo sa mga inverse function:

kaya:
Sagot:

Halimbawa 4:Desisyon: Lumipat tayo sa mga direktang pag-andar:

Isagawa natin ang pagguhit:

Baguhin natin ang pagkakasunud-sunod ng paglalakbay sa lugar:

Sagot:

Bumaling tayo ngayon sa pagsasaalang-alang ng mga aplikasyon ng integral calculus. Sa araling ito, susuriin natin ang isang tipikal at pinakakaraniwang gawain. pagkalkula ng lugar ng isang patag na pigura gamit ang isang tiyak na integral. Sa wakas, lahat ng mga naghahanap ng kahulugan sa mas mataas na matematika - nawa'y mahanap nila ito. Hindi mo malalaman. Sa totoong buhay, kakailanganin mong tantiyahin ang isang cottage ng tag-init na may mga elementarya na pag-andar at hanapin ang lugar nito gamit ang isang tiyak na integral.

Upang matagumpay na makabisado ang materyal, dapat mong:

1) Unawain ang hindi tiyak na integral kahit man lang sa isang intermediate na antas. Kaya, dapat basahin muna ng mga dummies ang aralin Hindi.

2) Magagawang ilapat ang Newton-Leibniz formula at kalkulahin ang tiyak na integral. Maaari kang magtatag ng mainit na pakikipagkaibigan sa ilang mga integral sa pahina Tiyak na integral. Mga halimbawa ng solusyon. Ang gawain na "kalkulahin ang lugar gamit ang isang tiyak na integral" ay palaging nagsasangkot ng pagbuo ng isang guhit, samakatuwid, ang iyong kaalaman at kasanayan sa pagguhit ay magiging isang kagyat na isyu. Sa pinakamababa, ang isa ay dapat na makabuo ng isang tuwid na linya, isang parabola at isang hyperbola.

Magsimula tayo sa isang curvilinear trapezoid. Ang curvilinear trapezoid ay isang flat figure na nililimitahan ng graph ng ilang function y = f(x), aksis OX at mga linya x = a; x = b.

Ang lugar ng isang curvilinear trapezoid ay numerong katumbas ng isang tiyak na integral

Anumang tiyak na integral (na umiiral) ay may napakagandang geometric na kahulugan. Sa aralin Tiyak na integral. Mga halimbawa ng solusyon sinabi namin na ang isang tiyak na integral ay isang numero. At ngayon ay oras na upang magpahayag ng isa pang kapaki-pakinabang na katotohanan. Mula sa punto ng view ng geometry, ang tiyak na integral ay ang AREA. I.e, ang tiyak na integral (kung mayroon) geometrically tumutugma sa lugar ng ilang figure. Isaalang-alang ang tiyak na integral

Integrand

ay tumutukoy sa isang kurba sa eroplano (maaari itong iguhit kung ninanais), at ang tiyak na integral mismo ay ayon sa bilang na katumbas ng lugar ng kaukulang curvilinear trapezoid.

Halimbawa 1

, , , .

Ito ay isang tipikal na pahayag ng gawain. Ang pinakamahalagang punto ng desisyon ay ang pagtatayo ng isang pagguhit. Bukod dito, ang pagguhit ay dapat na binuo TAMA.

Kapag gumagawa ng blueprint, inirerekomenda ko ang sumusunod na pagkakasunud-sunod: sa simula ito ay mas mahusay na bumuo ng lahat ng mga linya (kung mayroon man) at lamang pagkatapos- mga parabola, hyperbola, mga graph ng iba pang mga function. Ang point-by-point construction technique ay matatagpuan sa reference na materyal Mga graph at katangian ng elementarya na pag-andar. Doon ay makakahanap ka rin ng materyal na lubhang kapaki-pakinabang na may kaugnayan sa aming aralin - kung paano mabilis na bumuo ng isang parabola.

Sa problemang ito, maaaring magmukhang ganito ang solusyon.

Gumawa tayo ng drawing (tandaan na ang equation y= 0 ay tumutukoy sa axis OX):

Hindi namin mapisa ang curvilinear trapezoid, malinaw kung anong lugar ang pinag-uusapan dito. Ang solusyon ay nagpapatuloy tulad nito:

Sa pagitan [-2; 1] function graph y = x 2 + 2 matatagpuan sa ibabaw ng axisOX, Kaya naman:

Sagot: .

Sino ang nahihirapan sa pagkalkula ng tiyak na integral at paglalapat ng Newton-Leibniz formula

sumangguni sa panayam Tiyak na integral. Mga halimbawa ng solusyon. Matapos makumpleto ang gawain, palaging kapaki-pakinabang na tingnan ang pagguhit at alamin kung ang sagot ay totoo. Sa kasong ito, "sa pamamagitan ng mata" binibilang namin ang bilang ng mga cell sa pagguhit - mabuti, mga 9 ang mai-type, tila totoo. Ito ay lubos na malinaw na kung mayroon tayo, sabihin nating, ang sagot: 20 square units, kung gayon, malinaw naman, isang pagkakamali ang ginawa sa isang lugar - 20 mga cell ay malinaw na hindi magkasya sa figure na pinag-uusapan, hindi hihigit sa isang dosenang. Kung ang sagot ay naging negatibo, kung gayon ang gawain ay nalutas din nang hindi tama.

Halimbawa 2

Kalkulahin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya xy = 4, x = 2, x= 4 at axis OX.

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Ano ang gagawin kung matatagpuan ang curvilinear trapezoid sa ilalim ng eheOX?

Halimbawa 3

Kalkulahin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya y = e-x, x= 1 at coordinate axes.

Solusyon: Gumawa tayo ng drawing:

Kung isang curvilinear trapezoid ganap sa ilalim ng ehe OX , kung gayon ang lugar nito ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

Sa kasong ito:

Pansin! Ang dalawang uri ng mga gawain ay hindi dapat malito:

1) Kung hihilingin sa iyo na lutasin ang isang tiyak na integral nang walang anumang geometric na kahulugan, kung gayon maaari itong maging negatibo.

Halimbawa 4

Hanapin ang lugar ng isang figure ng eroplano na may hangganan ng mga linya y = 2x – x 2 , y = -x.

Solusyon: Una kailangan mong gumawa ng pagguhit. Kapag gumagawa ng isang guhit sa mga problema sa lugar, kami ay pinaka-interesado sa mga intersection point ng mga linya. Hanapin ang mga intersection point ng parabola y = 2x – x 2 at tuwid y = -x. Magagawa ito sa dalawang paraan. Ang unang paraan ay analytical. Malutas namin ang equation:

Kaya ang mas mababang limitasyon ng pagsasama a= 0, itaas na limitasyon ng pagsasama b= 3. Kadalasan ay mas kumikita at mas mabilis ang pagbuo ng mga linya ng punto sa punto, habang ang mga limitasyon ng pagsasama ay nalaman na parang "sa kanilang sarili". Gayunpaman, ang analytical na paraan ng paghahanap ng mga limitasyon kung minsan ay kailangang gamitin kung, halimbawa, ang graph ay sapat na malaki, o ang sinulid na konstruksyon ay hindi nagpahayag ng mga limitasyon ng pagsasama (maaari silang maging fractional o hindi makatwiran). Bumalik tayo sa ating gawain: mas makatwiran na gumawa muna ng isang tuwid na linya at pagkatapos ay isang parabola. Gumawa tayo ng drawing:

Inuulit namin na sa pointwise construction, ang mga limitasyon ng pagsasama ay madalas na nalaman "awtomatikong".

At ngayon ang gumaganang formula:

Kung sa pagitan [ a; b] ilang tuluy-tuloy na pag-andar f(x) mas malaki kaysa o katumbas ilang tuluy-tuloy na pag-andar g(x), kung gayon ang lugar ng kaukulang figure ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

Dito hindi na kailangang isipin kung saan matatagpuan ang figure - sa itaas ng axis o sa ibaba ng axis, ngunit mahalaga kung aling tsart ang nasa ITAAS(kaugnay sa isa pang graph), at alin ang nasa IBABA.

Sa halimbawang isinasaalang-alang, malinaw na sa segment ang parabola ay matatagpuan sa itaas ng tuwid na linya, at samakatuwid ay mula sa 2 x – x 2 ay dapat ibawas - x.

Ang pagkumpleto ng solusyon ay maaaring magmukhang ganito:

Ang nais na pigura ay limitado ng isang parabola y = 2x – x 2 itaas at tuwid y = -x galing sa ibaba.

Sa segment 2 x – x 2 ≥ -x. Ayon sa kaukulang formula:

Sagot: .

Sa katunayan, ang formula ng paaralan para sa lugar ng isang curvilinear trapezoid sa lower half-plane (tingnan ang halimbawa No. 3) ay isang espesyal na kaso ng formula

Mula sa axis OX ay ibinigay ng equation y= 0, at ang graph ng function g(x) ay matatagpuan sa ibaba ng axis OX, pagkatapos

At ngayon isang pares ng mga halimbawa para sa isang malayang desisyon

Halimbawa 5

Halimbawa 6

Hanapin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya

Sa kurso ng paglutas ng mga problema para sa pagkalkula ng lugar gamit ang isang tiyak na integral, minsan ang isang nakakatawang insidente ay nangyayari. Ang pagguhit ay ginawa nang tama, ang mga kalkulasyon ay tama, ngunit, dahil sa kawalan ng pansin, ... natagpuan ang lugar ng maling figure.

Halimbawa 7

Gumuhit muna tayo:

Ang pigura na ang lugar na kailangan nating hanapin ay may kulay na asul.(maingat na tingnan ang kondisyon - kung paano limitado ang figure!). Ngunit sa pagsasagawa, dahil sa kawalan ng pansin, madalas silang nagpasya na kailangan nilang hanapin ang lugar ng figure na may kulay na berde!

Ang halimbawang ito ay kapaki-pakinabang din na sa loob nito ang lugar ng figure ay kinakalkula gamit ang dalawang tiyak na integral. Talaga:

1) Sa segment [-1; 1] sa itaas ng ehe OX tuwid ang graph y = x+1;

2) Sa segment sa itaas ng axis OX ang graph ng hyperbola ay matatagpuan y = (2/x).

Malinaw na ang mga lugar ay maaaring (at dapat) idagdag, samakatuwid:

Sagot:

Halimbawa 8

Kalkulahin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya

Ipakita natin ang mga equation sa anyong "paaralan".

at gawin ang pagguhit ng linya:

Makikita sa drawing na ang ating upper limit ay “good”: b = 1.

Ngunit ano ang mas mababang limitasyon? Ito ay malinaw na ito ay hindi isang integer, ngunit ano?

maaaring, a=(-1/3)? Ngunit nasaan ang garantiya na ang pagguhit ay ginawa nang may perpektong katumpakan, maaari itong lumabas a=(-1/4). Paano kung hindi namin nakuha ang graph nang tama?

Sa ganitong mga kaso, ang isa ay kailangang gumugol ng karagdagang oras at pinuhin ang mga limitasyon ng pagsasama nang analytical.

Hanapin ang mga intersection point ng mga graph

Upang gawin ito, lutasin namin ang equation:

Kaya naman, a=(-1/3).

Ang karagdagang solusyon ay walang kuwenta. Ang pangunahing bagay ay hindi malito sa mga pamalit at palatandaan. Ang mga kalkulasyon dito ay hindi ang pinakamadali. Sa segment

, ,

ayon sa kaukulang formula:

Sagot:

Sa pagtatapos ng aralin, isasaalang-alang natin ang dalawang gawain na mas mahirap.

Halimbawa 9

Kalkulahin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya

Solusyon: Iguhit ang figure na ito sa drawing.

Upang gumuhit ng isang punto ng pagguhit sa pamamagitan ng punto, kailangan mong malaman ang hitsura ng sinusoid. Sa pangkalahatan, kapaki-pakinabang na malaman ang mga graph ng lahat ng elementarya na pag-andar, pati na rin ang ilang mga halaga ng sine. Matatagpuan ang mga ito sa talahanayan ng mga halaga trigonometriko function. Sa ilang mga kaso (halimbawa, sa kasong ito), pinapayagan na bumuo ng isang eskematiko na pagguhit, kung saan ang mga graph at mga limitasyon ng pagsasama ay dapat na maipakita nang tama sa prinsipyo.

Walang mga problema sa mga limitasyon sa pagsasama dito, direkta silang sumusunod sa kundisyon:

- Ang "x" ay nagbabago mula sa zero hanggang sa "pi". Gumawa kami ng karagdagang desisyon:

Sa segment, ang graph ng function y= kasalanan 3 x matatagpuan sa itaas ng axis OX, Kaya naman:

(1) Makikita mo kung paano pinagsama-sama ang mga sine at cosine sa mga kakaibang kapangyarihan sa aralin Integrals ng trigonometriko function. Kinurot namin ang isang sine.

(2) Ginagamit namin ang pangunahing trigonometric identity sa form

(3) Baguhin natin ang variable t= cos x, pagkatapos: matatagpuan sa itaas ng axis , kaya:

Tandaan: tandaan kung paano kinuha ang integral ng tangent sa kubo, dito ginagamit ang kinahinatnan ng pangunahing trigonometric identity

Portal para sa mag-aaral. Pagsasanay sa sarili

Ang lugar ng isang curvilinear trapezoid ay numerong katumbas ng isang tiyak na integral

MGA KAUGNAY NA ARTIKULO