Si Pythagoras ay isang Greek scientist na nabuhay mga 2500 taon na ang nakalilipas (564-473 BC).

Hayaang bigyan ang isang tamang tatsulok kung kaninong panig a, b at kasama(Larawan 267).

Bumuo tayo ng mga parisukat sa mga gilid nito. Ang mga lugar ng mga parisukat na ito ay ayon sa pagkakabanggit a 2 , b 2 at kasama 2. Patunayan natin yan kasama 2 = a 2 +b 2 .

Bumuo tayo ng dalawang parisukat na MKOR at M'K'O'R' (Fig. 268, 269), na kumukuha para sa gilid ng bawat isa sa kanila ng isang segment na katumbas ng kabuuan ng mga binti ng right-angled triangle ABC.

Matapos makumpleto ang mga konstruksyon na ipinapakita sa Figures 268 at 269 sa mga parisukat na ito, makikita natin na ang MKOR square ay nahahati sa dalawang parisukat na may mga lugar. a 2 at b 2 at apat na pantay na right triangle, ang bawat isa ay katumbas ng right triangle ABC. Ang parisukat na M'K'O'R' ay nahahati sa isang may apat na gilid (ito ay may kulay sa Figure 269) at apat na right-angled na tatsulok, na ang bawat isa ay katumbas din ng tatsulok na ABC. Ang may kulay na quadrilateral ay isang parisukat, dahil ang mga gilid nito ay pantay (bawat isa ay katumbas ng hypotenuse ng tatsulok na ABC, i.e. kasama), at ang mga anggulo ay mga tuwid na linya ∠1 + ∠2 = 90°, kung saan ∠3 = 90°).

Kaya, ang kabuuan ng mga lugar ng mga parisukat na binuo sa mga binti (sa Figure 268 ang mga parisukat na ito ay may kulay) ay katumbas ng lugar ng MKOR square na walang kabuuan ng mga lugar ng apat na pantay na tatsulok, at ang lugar ng ​​ang parisukat na itinayo sa hypotenuse (sa Figure 269 ang parisukat na ito ay may kulay din) ay katumbas ng lugar ng parisukat na M'K'O'R', katumbas ng parisukat ng MKOR, nang walang kabuuan ng mga lugar ng apat na magkatulad na tatsulok. Samakatuwid, ang lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse ng isang kanang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga binti.

Nakukuha namin ang formula kasama 2 = a 2 +b 2, kung saan kasama- hypotenuse, a at b- mga binti ng isang kanang tatsulok.

Ang Pythagorean theorem ay maaaring buod tulad ng sumusunod:

Ang parisukat ng hypotenuse ng isang tamang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti.

Mula sa formula kasama 2 = a 2 +b 2 maaari mong makuha ang mga sumusunod na formula:

a 2 = kasama 2 - b 2 ;

b 2 = kasama 2 - a 2 .

Ang mga formula na ito ay maaaring gamitin upang mahanap ang hindi kilalang bahagi ng isang right triangle na ibinigay sa dalawa sa mga gilid nito.

Halimbawa:

a) kung binigay ang mga binti a= 4 cm, b\u003d 3 cm, pagkatapos ay mahahanap mo ang hypotenuse ( kasama):

kasama 2 = a 2 +b 2 , ibig sabihin. kasama 2 = 4 2 + 3 2 ; na may 2 = 25, kung saan kasama= √25 = 5(cm);

b) kung ang hypotenuse ay ibinigay kasama= 17 cm at binti a= 8 cm, pagkatapos ay makakahanap ka ng isa pang binti ( b):

b 2 = kasama 2 - a 2 , ibig sabihin. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, kung saan b= √225 = 15 (cm).

Corollary: Kung sa dalawang right triangles ABC at A 1 B 1 C 1 hypotenuse kasama at kasama 1 ay pantay, at ang binti b ang tatsulok na ABC ay mas malaki kaysa sa binti b 1 tatsulok A 1 B 1 C 1,

tapos yung binti a ang tatsulok na ABC ay mas mababa sa binti a 1 tatsulok A 1 B 1 C 1 .

Sa katunayan, batay sa Pythagorean theorem, nakukuha natin:

a 2 = kasama 2 - b 2 ,

a 1 2 = kasama 1 2 - b 1 2

Sa mga nakasulat na formula, ang minuends ay pantay, at ang subtrahend sa unang formula ay mas malaki kaysa sa subtrahend sa pangalawang formula, samakatuwid, ang unang pagkakaiba ay mas mababa kaysa sa pangalawa,

i.e. a 2 a 1 2 . saan a a 1 .

Gayunpaman, ang pangalan ay natanggap bilang parangal sa siyentipiko lamang sa kadahilanang siya ang una at maging ang tanging tao na nakapagpatunay sa teorama.

Ang Aleman na mananalaysay ng matematika na si Kantor ay nagsabi na ang teorama ay kilala na ng mga Ehipsiyo noong 2300 BC. e. Naniniwala siya na ang mga tamang anggulo ay nabuo noon dahil sa mga tamang tatsulok na may mga gilid na 3, 4 at 5.

Sinabi ng sikat na siyentipiko na si Kepler na ang geometry ay may hindi maaaring palitan na kayamanan - ito ang Pythagorean theorem, salamat sa kung saan posible na makuha ang karamihan sa mga theorems sa geometry.

Noong nakaraan, ang Pythagorean theorem ay tinatawag na "bride theorem" o ang "nymph theorem". At ang bagay ay ang kanyang pagguhit ay halos kapareho sa isang butterfly o isang nymph. Ang mga Arabo, nang isinalin nila ang teksto ng teorama, ay nagpasya na ang nymph ay nangangahulugang ang nobya. Ito ay kung paano lumitaw ang kawili-wiling pangalan ng theorem.

Pythagorean theorem, formula

Teorama

- sa isang kanang tatsulok, ang kabuuan ng mga parisukat ng mga binti () ay katumbas ng parisukat ng hypotenuse (). Ito ay isa sa mga pangunahing theorems ng Euclidean geometry.

Formula:

Tulad ng nabanggit na, mayroong maraming iba't ibang mga patunay ng teorama na may maraming nalalaman na mga diskarte sa matematika. Gayunpaman, ang mga teorema ng lugar ay mas karaniwang ginagamit.

Bumuo ng mga parisukat sa tatsulok ( asul, berde, pula)

Iyon ay, ang kabuuan ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga binti ay katumbas ng lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse. Alinsunod dito, ang mga lugar ng mga parisukat na ito ay pantay -. Ito ang geometric na paliwanag ng Pythagoras.

Patunay ng theorem sa pamamagitan ng area method: 1 way

Patunayan natin yan.

Isaalang-alang ang parehong tatsulok na may mga binti a, b at hypotenuse c.

1. Kinukumpleto namin ang tamang tatsulok sa isang parisukat. Mula sa binti "a" ipagpatuloy namin ang linya hanggang sa distansya ng binti "b" (pulang linya).
2. Susunod, iginuhit namin ang linya ng bagong binti "a" sa kanan (berdeng linya).
3. Ikinonekta namin ang dalawang binti sa hypotenuse na "c".

Ito ay lumiliko ang parehong tatsulok, baligtad lamang.

Katulad nito, nagtatayo kami sa kabilang panig: mula sa binti "a" iginuhit namin ang linya ng binti "b" at pababa "a" at "b" At mula sa ilalim ng binti "b" iginuhit namin ang linya ng binti "a". Sa gitna ng bawat binti, isang hypotenuse na "c" ang iginuhit. Kaya ang mga hypotenuse ay nabuo ng isang parisukat sa gitna.

Ang parisukat na ito ay binubuo ng 4 na magkaparehong tatsulok. At ang lugar ng bawat kanang tatsulok = kalahati ng produkto ng mga binti nito. Kaugnay nito, . At ang lugar ng parisukat sa gitna = , dahil ang lahat ng 4 na hypotenuse ay may mga panig. Ang mga gilid ng isang quadrilateral ay pantay at ang mga anggulo ay tama. Paano natin mapapatunayan na tama ang mga anggulo? Napakasimple. Kunin natin ang parehong parisukat:

Alam namin na ang dalawang anggulo na ipinapakita sa figure ay 90 degrees. Dahil ang mga tatsulok ay pantay, ang susunod na anggulo ng binti "b" ay katumbas ng nakaraang binti "b":

Ang kabuuan ng dalawang anggulong ito = 90 degrees. Alinsunod dito, ang nakaraang anggulo ay 90 degrees din. Siyempre, ang parehong ay totoo sa kabilang panig. Alinsunod dito, mayroon kaming isang parisukat na may tamang mga anggulo.

Dahil ang mga talamak na anggulo ng isang right triangle ay 90 degrees sa kabuuan, ang anggulo ng quadrilateral ay magiging 90 degrees din, dahil 3 anggulo sa kabuuan = 180 degrees.

Alinsunod dito, ang lugar ng isang parisukat ay binubuo ng apat na mga lugar ng magkaparehong right-angled triangles at ang lugar ng square, na nabuo ng hypotenuses.

Kaya, nakakuha kami ng isang parisukat na may gilid . Alam natin na ang lugar ng isang parisukat na may gilid ay ang parisukat ng gilid nito. I.e. Ang parisukat na ito ay binubuo ng apat na magkaparehong tatsulok.

At nangangahulugan ito na napatunayan na natin ang Pythagorean theorem.

MAHALAGA!!! Kung nakita namin ang hypotenuse, pagkatapos ay nagdaragdag kami ng dalawang binti, at pagkatapos ay nakukuha namin ang sagot mula sa ugat. Kapag nahanap ang isa sa mga binti: mula sa parisukat ng haba ng pangalawang binti, ibawas ang parisukat ng haba ng hypotenuse at hanapin ang square root.

Mga halimbawa ng paglutas ng problema

Halimbawa 1

Gawain

Ibinigay: isang kanang tatsulok na may mga binti 4 at 5.

Hanapin ang hypotenuse. Hangga't tinutukoy natin ito ng

Desisyon

Ang kabuuan ng mga parisukat ng mga binti ay katumbas ng parisukat ng hypotenuse. Sa kaso natin - .

Gamitin natin ang Pythagorean theorem:

Kaya, a. Ang mga binti ay nagdaragdag ng hanggang 41.

Tapos . Kaya ang parisukat ng hypotenuse ay 41.

Ang parisukat ng numero 41 = 6.4.

Natagpuan namin ang hypotenuse.

Sagot

Hypotenuse = 6.4

Ang potensyal para sa pagkamalikhain ay kadalasang iniuugnay sa mga humanidad, na iniiwan ang natural na siyentipikong pagsusuri, praktikal na diskarte at tuyong wika ng mga formula at numero. Ang matematika ay hindi maaaring uriin bilang asignaturang humanidades. Ngunit kung walang pagkamalikhain sa "reyna ng lahat ng agham" hindi ka makakarating sa malayo - alam ng mga tao ang tungkol dito sa mahabang panahon. Mula noong panahon ni Pythagoras, halimbawa.

Ang mga aklat-aralin sa paaralan, sa kasamaang-palad, ay karaniwang hindi nagpapaliwanag na sa matematika ay mahalaga hindi lamang sa pag-cram ng mga theorems, axioms at formula. Mahalagang maunawaan at madama ang mga pangunahing prinsipyo nito. At sa parehong oras, subukang palayain ang iyong isip mula sa mga cliché at elementarya na katotohanan - tanging sa gayong mga kondisyon ay ipinanganak ang lahat ng mahusay na pagtuklas.

Ang ganitong mga pagtuklas ay kinabibilangan ng isa na kilala natin ngayon bilang Pythagorean theorem. Sa tulong nito, susubukan naming ipakita na ang matematika ay hindi lamang magagawa, ngunit dapat maging masaya. At na ang pakikipagsapalaran na ito ay angkop hindi lamang para sa mga nerd na may makapal na salamin, ngunit para sa lahat na malakas ang isip at malakas ang espiritu.

Mula sa kasaysayan ng isyu

Sa mahigpit na pagsasalita, kahit na ang teorama ay tinatawag na "Pythagorean theorem", si Pythagoras mismo ay hindi nakatuklas nito. Ang tamang tatsulok at ang mga espesyal na katangian nito ay matagal nang pinag-aralan bago ito. Mayroong dalawang polar na pananaw sa isyung ito. Ayon sa isang bersyon, si Pythagoras ang unang nakahanap ng kumpletong patunay ng theorem. Ayon sa isa pa, ang patunay ay hindi kabilang sa may-akda ni Pythagoras.

Ngayon hindi mo na masusuri kung sino ang tama at kung sino ang mali. Nalaman lamang na ang patunay ng Pythagoras, kung mayroon man, ay hindi nakaligtas. Gayunpaman, may mga mungkahi na ang sikat na patunay mula sa Euclid's Elements ay maaaring pag-aari ni Pythagoras, at si Euclid ay nagtala lamang nito.

Alam din ngayon na ang mga problema tungkol sa isang right-angled triangle ay matatagpuan sa Egyptian sources mula sa panahon ni Pharaoh Amenemhet I, sa Babylonian clay tablets mula sa paghahari ni Haring Hammurabi, sa sinaunang Indian treatise Sulva Sutra at ang sinaunang Chinese work Zhou -bi suan jin.

Tulad ng makikita mo, ang Pythagorean theorem ay sumasakop sa isip ng mga mathematician mula noong sinaunang panahon. Humigit-kumulang 367 iba't ibang piraso ng ebidensya na umiiral ngayon ang nagsisilbing kumpirmasyon. Walang ibang theorem ang makakalaban dito sa bagay na ito. Kabilang sa mga kilalang may-akda ng ebidensya si Leonardo da Vinci at ang ika-20 Pangulo ng Estados Unidos, si James Garfield. Ang lahat ng ito ay nagsasalita ng labis na kahalagahan ng teorama na ito para sa matematika: karamihan sa mga theorems ng geometry ay nagmula dito o, sa isang paraan o iba pa, konektado dito.

Mga Katibayan ng Pythagorean Theorem

Ang mga aklat-aralin sa paaralan ay kadalasang nagbibigay ng mga algebraic na patunay. Ngunit ang kakanyahan ng teorama ay nasa geometry, kaya isaalang-alang muna natin ang mga patunay ng sikat na teorama na batay sa agham na ito.

Patunay 1

Para sa pinakasimpleng patunay ng Pythagorean theorem para sa isang right triangle, kailangan mong magtakda ng mga ideal na kondisyon: hayaan ang triangle ay hindi lamang right-angled, kundi pati na rin ang isosceles. May dahilan upang maniwala na ito ay isang tatsulok na orihinal na isinasaalang-alang ng mga sinaunang mathematician.

Pahayag "Ang isang parisukat na binuo sa hypotenuse ng isang right triangle ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat na binuo sa mga binti nito" maaaring ilarawan sa sumusunod na pagguhit:

Tingnan ang isosceles right triangle ABC: Sa hypotenuse AC, maaari kang bumuo ng isang parisukat na binubuo ng apat na triangles na katumbas ng orihinal na ABC. At sa mga binti AB at BC na binuo sa isang parisukat, ang bawat isa ay naglalaman ng dalawang magkatulad na tatsulok.

Sa pamamagitan ng paraan, ang pagguhit na ito ay nabuo ang batayan ng maraming mga anekdota at mga cartoon na nakatuon sa Pythagorean theorem. Marahil ang pinakasikat ay "Ang Pythagorean na pantalon ay pantay-pantay sa lahat ng direksyon":

Patunay 2

Pinagsasama ng pamamaraang ito ang algebra at geometry at makikita bilang isang variant ng sinaunang Indian na patunay ng mathematician na si Bhaskari.

Bumuo ng isang tamang tatsulok na may mga gilid a, b at c(Larawan 1). Pagkatapos ay bumuo ng dalawang parisukat na may mga gilid na katumbas ng kabuuan ng mga haba ng dalawang binti - (a+b). Sa bawat isa sa mga parisukat, gumawa ng mga konstruksyon, tulad ng sa figure 2 at 3.

Sa unang parisukat, bumuo ng apat sa parehong mga tatsulok tulad ng sa Figure 1. Bilang resulta, dalawang parisukat ang nakuha: isa na may gilid a, ang pangalawa ay may gilid b.

Sa pangalawang parisukat, apat na katulad na tatsulok na itinayo ay bumubuo ng isang parisukat na may gilid na katumbas ng hypotenuse c.

Ang kabuuan ng mga lugar ng mga itinayong parisukat sa Fig. 2 ay katumbas ng lugar ng parisukat na itinayo namin sa gilid c sa Fig. 3. Madali itong ma-verify sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga lugar ng mga parisukat sa Fig. 2 ayon sa formula. At ang lugar ng inscribed square sa Figure 3. sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga lugar ng apat na pantay na right-angled triangles na nakasulat sa square mula sa lugar ng isang malaking square na may gilid (a+b).

Ibinaba ang lahat ng ito, mayroon tayong: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Palawakin ang mga bracket, gawin ang lahat ng kinakailangang algebraic na kalkulasyon at kunin iyon a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Kasabay nito, ang lugar ng inscribed sa Fig.3. ang parisukat ay maaari ding kalkulahin gamit ang tradisyonal na pormula S=c2. Yung. a2+b2=c2 Napatunayan mo na ang Pythagorean theorem.

Patunay 3

Ang parehong sinaunang patunay ng India ay inilarawan noong ika-12 siglo sa treatise na "The Crown of Knowledge" ("Siddhanta Shiromani"), at bilang pangunahing argumento ang may-akda ay gumagamit ng isang apela na nakatutok sa mga talento sa matematika at kapangyarihan ng pagmamasid ng mga mag-aaral at mga tagasunod: "Tingnan mo!".

Ngunit susuriin namin ang patunay na ito nang mas detalyado:

Sa loob ng parisukat, bumuo ng apat na right-angled na tatsulok tulad ng ipinahiwatig sa pagguhit. Ang gilid ng malaking parisukat, na kung saan ay din ang hypotenuse, ay denoted kasama. Tawagan natin ang mga binti ng tatsulok a at b. Ayon sa pagguhit, ang gilid ng panloob na parisukat ay (a-b).

Gamitin ang square area formula S=c2 upang kalkulahin ang lugar ng panlabas na parisukat. At sa parehong oras kalkulahin ang parehong halaga sa pamamagitan ng pagdaragdag ng lugar ng panloob na parisukat at ang lugar ng bola ng apat na tamang tatsulok: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Maaari mong gamitin ang parehong mga pagpipilian upang kalkulahin ang lugar ng isang parisukat upang matiyak na nagbibigay sila ng parehong resulta. At binibigyan ka niyan ng karapatang isulat iyon c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Bilang resulta ng solusyon, makukuha mo ang formula ng Pythagorean theorem c2=a2+b2. Napatunayan na ang theorem.

Patunay 4

Ang kakaibang sinaunang Chinese na patunay na ito ay tinatawag na "Bride's Chair" - dahil sa mala-silya na pigura na nagreresulta mula sa lahat ng mga konstruksyon:

Ginagamit nito ang pagguhit na nakita na natin sa Figure 3 sa pangalawang patunay. At ang panloob na parisukat na may gilid c ay itinayo sa parehong paraan tulad ng sa sinaunang Indian na patunay na ibinigay sa itaas.

Kung pinutol mo sa isip ang dalawang berdeng right-angled na tatsulok mula sa pagguhit sa Fig. 1, ilipat ang mga ito sa magkabilang panig ng parisukat na may gilid c at ikabit ang mga hypotenuse sa mga hypotenuse ng lilac triangles, makakakuha ka ng figure na tinatawag na "bride's upuan” (Larawan 2). Para sa kalinawan, maaari mong gawin ang parehong sa mga parisukat na papel at tatsulok. Makikita mo na ang "upuan ng nobya" ay nabuo sa pamamagitan ng dalawang parisukat: maliit na may gilid b at malaki na may gilid a.

Ang mga konstruksyon na ito ay nagpapahintulot sa mga sinaunang Tsino na mathematician at sa amin na sumusunod sa kanila na magkaroon ng konklusyon na c2=a2+b2.

Patunay 5

Ito ay isa pang paraan upang makahanap ng solusyon sa Pythagorean theorem batay sa geometry. Ito ay tinatawag na Garfield Method.

Bumuo ng tamang tatsulok ABC. Kailangan nating patunayan iyon BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Upang gawin ito, ipagpatuloy ang binti AC at bumuo ng isang segment CD, na katumbas ng binti AB. Lower Perpendicular AD segment ng linya ED. Mga segment ED at AC ay pantay-pantay. ikonekta ang mga tuldok E at AT, pati na rin ang E at Sa at kumuha ng drawing tulad ng larawan sa ibaba:

Upang patunayan ang tore, muli naming ginagamit ang pamamaraan na nasubukan na namin: nahanap namin ang lugar ng nagresultang figure sa dalawang paraan at tinutumbasan ang mga expression sa bawat isa.

Hanapin ang lugar ng isang polygon ISANG KAMA ay maaaring gawin sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga lugar ng tatlong tatsulok na bumubuo nito. At isa sa kanila ERU, ay hindi lamang hugis-parihaba, kundi pati na rin ang isosceles. Huwag din nating kalimutan iyon AB=CD, AC=ED at BC=CE- ito ay magbibigay-daan sa amin upang pasimplehin ang pag-record at hindi mag-overload ito. Kaya, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

At the same time, obvious naman na ISANG KAMA ay isang trapezoid. Samakatuwid, kinakalkula namin ang lugar nito gamit ang formula: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Para sa aming mga kalkulasyon, mas maginhawa at mas malinaw na kumatawan sa segment AD bilang kabuuan ng mga segment AC at CD.

Isulat natin ang parehong paraan upang makalkula ang lugar ng isang figure sa pamamagitan ng paglalagay ng pantay na tanda sa pagitan nila: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Ginagamit namin ang pagkakapantay-pantay ng mga segment na alam na namin at inilarawan sa itaas upang pasimplehin ang kanang bahagi ng notasyon: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. At ngayon binuksan namin ang mga bracket at binabago ang pagkakapantay-pantay: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Nang matapos ang lahat ng mga pagbabagong-anyo, nakukuha namin ang eksaktong kailangan namin: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Napatunayan namin ang teorama.

Siyempre, malayong kumpleto ang listahan ng ebidensyang ito. Ang Pythagorean theorem ay maaari ding patunayan gamit ang mga vectors, complex number, differential equation, stereometry, at mga katulad nito. At kahit na ang mga physicist: kung, halimbawa, ang likido ay ibinuhos sa parisukat at tatsulok na mga volume na katulad ng ipinapakita sa mga guhit. Sa pamamagitan ng pagbuhos ng likido, posible na patunayan ang pagkakapantay-pantay ng mga lugar at ang teorama mismo bilang isang resulta.

Ilang salita tungkol sa Pythagorean triplets

Ang isyung ito ay maliit o hindi pinag-aralan sa kurikulum ng paaralan. Samantala, ito ay lubhang kawili-wili at may malaking kahalagahan sa geometry. Ang mga triple ng Pythagorean ay ginagamit upang malutas ang maraming mga problema sa matematika. Ang ideya ng mga ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang sa iyo sa karagdagang edukasyon.

Kaya ano ang Pythagorean triplets? Tinatawag na natural na mga numero, na nakolekta sa tatlo, ang kabuuan ng mga parisukat ng dalawa sa mga ito ay katumbas ng pangatlong numerong parisukat.

Ang mga triple ng Pythagorean ay maaaring:

• primitive (lahat ng tatlong numero ay medyo prime);
• non-primitive (kung ang bawat numero ng isang triple ay i-multiply sa parehong numero, makakakuha ka ng isang bagong triple na hindi primitive).

Bago pa man ang ating panahon, ang mga sinaunang Egyptian ay nabighani sa kahibangan para sa bilang ng mga triple ng Pythagorean: sa mga gawain ay itinuturing nilang isang right-angled triangle na may mga gilid na 3.4 at 5 na mga yunit. Sa pamamagitan ng paraan, ang anumang tatsulok na ang mga gilid ay katumbas ng mga numero mula sa Pythagorean triple ay bilang default na parihaba.

Mga halimbawa ng Pythagorean triples: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34 ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14 , 48, 50), (30, 40, 50) atbp.

Praktikal na aplikasyon ng teorama

Ang Pythagorean theorem ay nakakahanap ng aplikasyon hindi lamang sa matematika, kundi pati na rin sa arkitektura at konstruksiyon, astronomiya, at maging sa panitikan.

Una, tungkol sa pagtatayo: ang Pythagorean theorem ay malawakang ginagamit dito sa mga problema ng iba't ibang antas ng pagiging kumplikado. Halimbawa, tingnan ang Romanesque window:

Tukuyin natin ang lapad ng bintana bilang b, kung gayon ang radius ng malaking kalahating bilog ay maaaring tukuyin bilang R at ipahayag sa pamamagitan ng b: R=b/2. Ang radius ng mas maliliit na kalahating bilog ay maaari ding ipahayag sa mga tuntunin ng b: r=b/4. Sa problemang ito, interesado kami sa radius ng panloob na bilog ng window (tawagan natin ito p).

Ang Pythagorean theorem ay madaling gamitin upang makalkula R. Upang gawin ito, gumagamit kami ng isang right-angled na tatsulok, na ipinahiwatig ng isang tuldok na linya sa figure. Ang hypotenuse ng isang tatsulok ay binubuo ng dalawang radii: b/4+p. Ang isang paa ay isang radius b/4, isa pa b/2-p. Gamit ang Pythagorean theorem, isinusulat namin: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Susunod, binuksan namin ang mga bracket at makuha b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Ibahin natin ang ekspresyong ito sa bp/2=b 2 /4-bp. At pagkatapos ay hatiin namin ang lahat ng mga termino sa b, nagbibigay kami ng mga katulad na makukuha 3/2*p=b/4. At sa huli mahahanap natin iyon p=b/6- na kung ano ang kailangan namin.

Gamit ang theorem, maaari mong kalkulahin ang haba ng mga rafters para sa isang gable roof. Tukuyin kung gaano kataas ang isang mobile tower na kailangan para maabot ng signal ang isang tiyak na settlement. At kahit na patuloy na mag-install ng Christmas tree sa plaza ng lungsod. Tulad ng nakikita mo, ang teorama na ito ay nabubuhay hindi lamang sa mga pahina ng mga aklat-aralin, ngunit kadalasang kapaki-pakinabang sa totoong buhay.

Sa abot ng panitikan, ang Pythagorean theorem ay nagbigay inspirasyon sa mga manunulat mula noong unang panahon at patuloy na ginagawa ito ngayon. Halimbawa, ang ikalabinsiyam na siglong Aleman na manunulat na si Adelbert von Chamisso ay naging inspirasyon niya na magsulat ng isang soneto:

Ang liwanag ng katotohanan ay hindi maglalaho,
Ngunit, sa pagkakaroon ng shone, ito ay malamang na hindi mawala
At, tulad ng libu-libong taon na ang nakalilipas,
Hindi magdudulot ng mga pagdududa at pagtatalo.

Ang pinakamatalino kapag nakadikit sa mata
Liwanag ng katotohanan, salamat sa mga diyos;
At isang daang toro, sinaksak, nagsinungaling -
Ang pagbabalik na regalo ng masuwerteng Pythagoras.

Mula noon, ang mga toro ay desperadong umuungal:
Forever aroused ang toro tribo
pangyayaring binanggit dito.

Sa tingin nila, oras na
At muli sila ay isasakripisyo
Ilang mahusay na teorama.

(isinalin ni Viktor Toporov)

At noong ikadalawampu siglo, ang manunulat ng Sobyet na si Yevgeny Veltistov sa kanyang aklat na "The Adventures of Electronics" ay nagtalaga ng isang buong kabanata sa mga patunay ng Pythagorean theorem. At kalahating kabanata ng isang kuwento tungkol sa isang dalawang-dimensional na mundo na maaaring umiral kung ang Pythagorean theorem ay naging pangunahing batas at maging ang relihiyon para sa isang mundo. Mas madaling manirahan dito, ngunit mas nakakabagot din: halimbawa, walang nakakaunawa sa kahulugan ng mga salitang "bilog" at "mahimulmol".

At sa aklat na "The Adventures of Electronics", ang may-akda, sa pamamagitan ng bibig ng guro ng matematika na si Taratara, ay nagsabi: "Ang pangunahing bagay sa matematika ay ang paggalaw ng pag-iisip, mga bagong ideya." Ang malikhaing paglipad ng pag-iisip na ito ang bumubuo ng Pythagorean theorem - hindi para sa wala na mayroon itong napakaraming magkakaibang mga patunay. Nakakatulong itong lumampas sa karaniwan, at tumingin sa mga pamilyar na bagay sa isang bagong paraan.

Konklusyon

Ang artikulong ito ay nilikha upang maaari kang tumingin sa kabila ng kurikulum ng paaralan sa matematika at matutunan hindi lamang ang mga patunay ng Pythagorean theorem na ibinigay sa mga aklat-aralin na "Geometry 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) at "Geometry 7 -11 ” (A.V. Pogorelov), kundi pati na rin ang iba pang mga kakaibang paraan upang patunayan ang sikat na teorama. At tingnan din ang mga halimbawa kung paano mailalapat ang Pythagorean theorem sa pang-araw-araw na buhay.

Una, ang impormasyong ito ay magbibigay-daan sa iyo na mag-claim ng mas mataas na mga marka sa mga klase sa matematika - ang impormasyon sa paksa mula sa mga karagdagang mapagkukunan ay palaging lubos na pinahahalagahan.

Pangalawa, gusto naming tulungan kang madama kung gaano kawili-wili ang matematika. Upang kumbinsihin sa pamamagitan ng mga tiyak na halimbawa na palaging may lugar para sa pagkamalikhain dito. Umaasa kami na ang Pythagorean theorem at ang artikulong ito ay magbibigay inspirasyon sa iyo na gawin ang iyong sariling pananaliksik at kapana-panabik na mga pagtuklas sa matematika at iba pang mga agham.

Sabihin sa amin sa mga komento kung nakita mong kawili-wili ang ebidensya na ipinakita sa artikulo. Nakatulong ba ang impormasyong ito sa iyong pag-aaral? Ipaalam sa amin kung ano ang iyong iniisip tungkol sa Pythagorean theorem at sa artikulong ito - ikalulugod naming talakayin ang lahat ng ito sa iyo.

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Pythagorean theorem: Ang kabuuan ng mga lugar ng mga parisukat na sinusuportahan ng mga binti ( a at b), ay katumbas ng lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse ( c).

Geometric formulation:

Ang teorama ay orihinal na nabuo bilang mga sumusunod:

Algebraic formulation:

Iyon ay, denoting ang haba ng hypotenuse ng tatsulok sa pamamagitan ng c, at ang mga haba ng mga binti sa pamamagitan ng a at b :

a 2 + b 2 = c 2

Ang parehong formulations ng theorem ay katumbas, ngunit ang pangalawang pagbabalangkas ay mas elementarya, hindi ito nangangailangan ng konsepto ng lugar. Iyon ay, ang pangalawang pahayag ay maaaring ma-verify nang hindi nalalaman ang anumang bagay tungkol sa lugar at sa pamamagitan ng pagsukat lamang ng mga haba ng mga gilid ng isang tamang tatsulok.

Inverse Pythagorean theorem:

Patunay ng

Sa ngayon, 367 na patunay ng teorama na ito ang naitala sa siyentipikong panitikan. Malamang, ang Pythagorean theorem ay ang tanging theorem na may napakaraming mga patunay. Ang ganitong uri ay maipapaliwanag lamang ng pangunahing kahalagahan ng teorama para sa geometry.

Siyempre, sa konsepto, lahat ng mga ito ay maaaring hatiin sa isang maliit na bilang ng mga klase. Ang pinakasikat sa kanila: mga patunay sa pamamagitan ng paraan ng lugar, axiomatic at exotic na mga patunay (halimbawa, gamit ang mga differential equation).

Sa pamamagitan ng magkatulad na tatsulok

Ang sumusunod na patunay ng algebraic formulation ay ang pinakasimpleng patunay na binuo nang direkta mula sa mga axiom. Sa partikular, hindi nito ginagamit ang konsepto ng figure area.

Hayaan ABC may right angled triangle C. Gumuhit tayo ng taas mula sa C at tukuyin ang base nito sa pamamagitan ng H. Tatsulok ACH katulad ng isang tatsulok ABC sa dalawang sulok. Gayundin, ang tatsulok CBH katulad ABC. Ipinapakilala ang notasyon

nakukuha natin

Ano ang katumbas

Pagdaragdag, nakukuha namin

Mga patunay ng lugar

Ang mga sumusunod na patunay, sa kabila ng kanilang maliwanag na pagiging simple, ay hindi gaanong simple. Ang lahat ng mga ito ay gumagamit ng mga katangian ng lugar, ang patunay nito ay mas kumplikado kaysa sa patunay ng Pythagorean theorem mismo.

Patunay sa pamamagitan ng Pagtutumbas

1. Ayusin ang apat na pantay na tamang tatsulok tulad ng ipinapakita sa Figure 1.
2. Quadrilateral na may mga gilid c ay isang parisukat dahil ang kabuuan ng dalawang matinding anggulo ay 90° at ang tuwid na anggulo ay 180°.
3. Ang lugar ng buong figure ay katumbas, sa isang banda, sa lugar ng isang parisukat na may gilid (a + b), at sa kabilang banda, ang kabuuan ng mga lugar ng apat na tatsulok at dalawang panloob. mga parisukat.

Q.E.D.

Katibayan sa pamamagitan ng Pagkakapantay-pantay

Isang eleganteng permutation proof

Ang isang halimbawa ng isa sa mga patunay na ito ay ipinapakita sa pagguhit sa kanan, kung saan ang parisukat na binuo sa hypotenuse ay na-convert sa pamamagitan ng permutation sa dalawang parisukat na binuo sa mga binti.

Patunay ni Euclid

Pagguhit para sa patunay ni Euclid

Ilustrasyon para sa patunay ni Euclid

Ang ideya ng patunay ni Euclid ay ang mga sumusunod: subukan nating patunayan na ang kalahati ng lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng kalahating lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga binti, at pagkatapos ay ang mga lugar ng magkapantay ang malaki at dalawang maliit na parisukat.

Isaalang-alang ang guhit sa kaliwa. Dito, nagtayo kami ng mga parisukat sa mga gilid ng isang kanang tatsulok at gumuhit ng isang ray s mula sa vertex ng tamang anggulo C patayo sa hypotenuse AB, pinuputol nito ang parisukat na ABIK, na binuo sa hypotenuse, sa dalawang parihaba - BHJI at HAKJ, ayon sa pagkakabanggit. Lumalabas na ang mga lugar ng mga parihaba na ito ay eksaktong katumbas ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa kaukulang mga binti.

Subukan nating patunayan na ang lugar ng parisukat na DECA ay katumbas ng lugar ng rektanggulo AHJK Upang gawin ito, gumagamit kami ng isang pantulong na pagmamasid: Ang lugar ng isang tatsulok na may parehong taas at base bilang ibinigay Ang parihaba ay katumbas ng kalahati ng lugar ng ibinigay na parihaba. Ito ay bunga ng pagtukoy sa lugar ng isang tatsulok bilang kalahati ng produkto ng base at taas. Mula sa obserbasyon na ito ay sumusunod na ang lugar ng tatsulok na ACK ay katumbas ng lugar ng tatsulok na AHK (hindi ipinakita), na, naman, ay katumbas ng kalahati ng lugar ng parihaba AHJK.

Patunayan natin ngayon na ang area ng triangle ACK ay katumbas din ng kalahati ng area ng square DECA. Ang tanging bagay na kailangang gawin para dito ay upang patunayan ang pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok na ACK at BDA (dahil ang lugar ng tatsulok na BDA ay katumbas ng kalahati ng lugar ng parisukat ng ari-arian sa itaas). Ang pagkakapantay-pantay na ito ay halata, ang mga tatsulok ay pantay sa dalawang panig at ang anggulo sa pagitan nila. Namely - AB=AK,AD=AC - ang pagkakapantay-pantay ng mga anggulo na CAK at BAD ay madaling patunayan sa pamamagitan ng paraan ng paggalaw: iikot natin ang tatsulok na CAK 90 ° counterclockwise, pagkatapos ay malinaw na ang kaukulang panig ng dalawang itinuturing na triangles ay magkakasabay (dahil sa katotohanan na ang anggulo sa vertex ng parisukat ay 90°).

Ang argumento tungkol sa pagkakapantay-pantay ng mga lugar ng parisukat na BCFG at ang parihaba na BHJI ay ganap na kahalintulad.

Kaya, napatunayan namin na ang lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse ay ang kabuuan ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga binti. Ang ideya sa likod ng patunay na ito ay higit na inilalarawan sa animation sa itaas.

Patunay ni Leonardo da Vinci

Patunay ni Leonardo da Vinci

Ang mga pangunahing elemento ng patunay ay simetrya at paggalaw.

Isaalang-alang ang pagguhit, tulad ng makikita mula sa simetrya, ang segment Cako dissects ang parisukat ABHJ sa dalawang magkaparehong bahagi (dahil ang mga tatsulok ABC at JHako ay pantay sa pagtatayo). Gamit ang 90 degree na counterclockwise na pag-ikot, nakikita natin ang pagkakapantay-pantay ng mga may kulay na figure CAJako at GDAB . Ngayon ay malinaw na ang lugar ng figure na inililim sa amin ay katumbas ng kabuuan ng kalahati ng mga lugar ng mga parisukat na binuo sa mga binti at ang lugar ng orihinal na tatsulok. Sa kabilang banda, ito ay katumbas ng kalahati ng lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse, kasama ang lugar ng orihinal na tatsulok. Ang huling hakbang sa patunay ay naiwan sa mambabasa.

Patunay sa pamamagitan ng infinitesimal na pamamaraan

Ang sumusunod na patunay gamit ang mga differential equation ay kadalasang iniuugnay sa sikat na English mathematician na si Hardy, na nabuhay noong unang kalahati ng ika-20 siglo.

Isinasaalang-alang ang pagguhit na ipinakita sa figure at pagmamasid sa pagbabago sa gilid a, maaari nating isulat ang sumusunod na kaugnayan para sa infinitesimal side increments kasama at a(gamit ang mga katulad na tatsulok):

Patunay sa pamamagitan ng infinitesimal na pamamaraan

Gamit ang paraan ng paghihiwalay ng mga variable, nakita namin

Isang mas pangkalahatang expression para sa pagbabago ng hypotenuse sa kaso ng mga pagtaas ng parehong mga binti

Ang pagsasama ng equation na ito at paggamit ng mga paunang kundisyon, nakuha namin

c 2 = a 2 + b 2 + pare-pareho.

Kaya, nakarating kami sa nais na sagot

c 2 = a 2 + b 2 .

Madaling makita na ang quadratic dependence sa huling formula ay lilitaw dahil sa linear na proporsyonalidad sa pagitan ng mga gilid ng tatsulok at ang mga increment, habang ang kabuuan ay dahil sa mga independiyenteng kontribusyon mula sa pagtaas ng iba't ibang mga binti.

Ang isang mas simpleng patunay ay maaaring makuha kung ipagpalagay natin na ang isa sa mga binti ay hindi nakakaranas ng pagtaas (sa kasong ito, ang binti b). Pagkatapos ay para sa integration constant na nakukuha namin

Mga pagkakaiba-iba at Paglalahat

• Kung, sa halip na mga parisukat, ang iba pang mga katulad na figure ay itinayo sa mga binti, kung gayon ang sumusunod na paglalahat ng Pythagorean theorem ay totoo: Sa isang kanang tatsulok, ang kabuuan ng mga lugar ng magkatulad na mga figure na binuo sa mga binti ay katumbas ng lugar ng figure na binuo sa hypotenuse. Sa partikular:
  • Ang kabuuan ng mga lugar ng mga regular na tatsulok na itinayo sa mga binti ay katumbas ng lugar ng isang regular na tatsulok na itinayo sa hypotenuse.
  • Ang kabuuan ng mga lugar ng kalahating bilog na binuo sa mga binti (tulad ng sa diameter) ay katumbas ng lugar ng kalahating bilog na binuo sa hypotenuse. Ang halimbawang ito ay ginagamit upang patunayan ang mga katangian ng mga figure na nakatali ng mga arko ng dalawang bilog at nagtataglay ng pangalang hippocratic lunula.

Kwento

Chu-pei 500–200 BC. Sa kaliwa ay ang inskripsiyon: ang kabuuan ng mga parisukat ng mga haba ng taas at ang base ay ang parisukat ng haba ng hypotenuse.

Ang sinaunang aklat na Tsino na Chu-pei ay nagsasalita tungkol sa isang Pythagorean triangle na may mga gilid 3, 4 at 5: Sa parehong libro, iminungkahi ang isang pagguhit na tumutugma sa isa sa mga guhit ng Hindu geometry ng Baskhara.

Naniniwala si Kantor (ang pinakamalaking Aleman na mananalaysay ng matematika) na ang pagkakapantay-pantay na 3 ² + 4 ² = 5² ay kilala na ng mga Egyptian noong 2300 BC. e., sa panahon ni Haring Amenemhet I (ayon sa papyrus 6619 ng Berlin Museum). Ayon kay Cantor, ang mga harpedonapt, o "mga stringer", ay gumawa ng mga tamang anggulo gamit ang mga tamang tatsulok na may mga gilid na 3, 4 at 5.

Napakadaling kopyahin ang kanilang paraan ng pagtatayo. Kumuha ng lubid na 12 m ang haba at itali ito sa isang may kulay na strip sa layo na 3 m. mula sa isang dulo at 4 na metro mula sa kabilang dulo. Ang isang tamang anggulo ay kalakip sa pagitan ng mga gilid na 3 at 4 na metro ang haba. Maaaring tumutol sa Harpedonapts na ang kanilang paraan ng pagtatayo ay nagiging kalabisan kung ang isa ay gumamit, halimbawa, ang kahoy na parisukat na ginagamit ng lahat ng karpintero. Sa katunayan, kilala ang mga guhit ng Egypt kung saan matatagpuan ang gayong tool, halimbawa, mga guhit na naglalarawan ng isang pagawaan ng karpintero.

Medyo higit pa ang nalalaman tungkol sa Pythagorean theorem sa mga Babylonians. Sa isang teksto mula noong panahon ni Hammurabi, ibig sabihin, hanggang 2000 BC. e., isang tinatayang pagkalkula ng hypotenuse ng isang right triangle ay ibinigay. Mula dito maaari nating tapusin na sa Mesopotamia ay nakapagsagawa sila ng mga kalkulasyon na may mga right-angled na tatsulok, hindi bababa sa ilang mga kaso. Batay, sa isang banda, sa kasalukuyang antas ng kaalaman tungkol sa Egyptian at Babylonian mathematics, at sa kabilang banda, sa isang kritikal na pag-aaral ng Greek sources, Van der Waerden (isang Dutch mathematician) ay nagtapos ng mga sumusunod:

Panitikan

Sa Russian

• Skopets Z. A. Mga geometric na miniature. M., 1990
• Yelensky Sh. Sumusunod sa yapak ni Pythagoras. M., 1961
• Van der Waerden B. L. Agham ng Paggising. Matematika ng Sinaunang Ehipto, Babylon at Greece. M., 1959
• Glazer G.I. Kasaysayan ng matematika sa paaralan. M., 1982
• W. Litzman, "The Pythagorean Theorem" M., 1960.
  • Ang isang site tungkol sa Pythagorean theorem na may malaking bilang ng mga patunay, ang materyal ay kinuha mula sa aklat ni W. Litzman, ang isang malaking bilang ng mga guhit ay ipinakita bilang hiwalay na mga graphic na file.
• Ang Pythagorean theorem at Pythagorean triples chapter mula sa aklat ni D. V. Anosov "Isang pagtingin sa matematika at isang bagay mula rito"
• Sa Pythagorean theorem at mga pamamaraan ng patunay nito G. Glaser, Academician ng Russian Academy of Education, Moscow

Sa Ingles

• Ang Pythagorean Theorem sa WolframMathWorld
• Cut-The-Knot, seksyon sa Pythagorean theorem, mga 70 patunay at malawak na karagdagang impormasyon (eng.)

Wikimedia Foundation. 2010 .

Ayon kay van der Waerden, malamang na ang ratio sa pangkalahatang anyo ay kilala na sa Babylon noong ika-18 siglo BC. e.

Humigit-kumulang 400 BC. e., ayon kay Proclus, nagbigay si Plato ng paraan para sa paghahanap ng mga triple ng Pythagorean, pagsasama-sama ng algebra at geometry. Mga 300 B.C. e. sa "Mga Elemento" ng Euclid ay lumitaw ang pinakalumang axiomatic proof ng Pythagorean theorem.

Salita

Ang pangunahing pormulasyon ay naglalaman ng mga algebraic na operasyon - sa isang kanang tatsulok, ang mga haba ng mga binti kung saan ay pantay. a (\displaystyle a) at b (\displaystyle b), at ang haba ng hypotenuse ay c (\displaystyle c), ang kaugnayan ay natupad:

.

Posible rin ang isang katumbas na geometric na pagbabalangkas, na gumagamit ng konsepto ng area figure: sa isang kanang tatsulok, ang lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga binti. Sa form na ito, ang teorama ay nabuo sa Euclid's Principia.

Inverse Pythagorean Theorem- ang pahayag tungkol sa rectangularity ng anumang tatsulok, ang mga haba ng mga gilid nito ay nauugnay sa kaugnayan a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Bilang resulta, para sa anumang triple ng mga positibong numero a (\displaystyle a), b (\displaystyle b) at c (\displaystyle c), ganyan a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), mayroong isang kanang tatsulok na may mga binti a (\displaystyle a) at b (\displaystyle b) at hypotenuse c (\displaystyle c).

Patunay ng

Hindi bababa sa 400 na patunay ng Pythagorean theorem ang naitala sa siyentipikong panitikan, na ipinaliwanag kapwa sa pamamagitan ng pangunahing halaga para sa geometry at ng elementarity ng resulta. Ang mga pangunahing direksyon ng mga patunay ay: algebraic na paggamit ng mga ratios ng mga elemento tatsulok (tulad, halimbawa, ang sikat na paraan ng pagkakatulad), paraan ng lugar, mayroon ding iba't ibang mga kakaibang patunay (halimbawa, gamit ang mga differential equation).

Sa pamamagitan ng magkatulad na tatsulok

Ang klasikal na patunay ni Euclid ay naglalayong itatag ang pagkakapantay-pantay ng mga lugar sa pagitan ng mga parihaba na nabuo sa pamamagitan ng paghihiwalay ng parisukat sa itaas ng hypotenuse na may taas mula sa tamang anggulo na may mga parisukat sa itaas ng mga binti.

Ang konstruksiyon na ginamit para sa patunay ay ang mga sumusunod: para sa isang tamang tatsulok na may tamang anggulo C (\displaystyle C), mga parisukat sa ibabaw ng mga binti at at mga parisukat sa ibabaw ng hypotenuse A B I K (\displaystyle ABIK) itinatayo ang taas C H (\displaystyle CH) at ang sinag na nagpapatuloy nito s (\displaystyle s), hinahati ang parisukat sa itaas ng hypotenuse sa dalawang parihaba at . Ang patunay ay naglalayong itatag ang pagkakapantay-pantay ng mga lugar ng parihaba A HJK (\displaystyle AHJK) na may parisukat sa ibabaw ng binti A C (\displaystyle AC); ang pagkakapantay-pantay ng mga lugar ng pangalawang parihaba, na isang parisukat sa itaas ng hypotenuse, at ang parihaba sa itaas ng kabilang binti ay itinatag sa katulad na paraan.

Pagkakapantay-pantay ng mga lugar ng isang parihaba A HJK (\displaystyle AHJK) at A C E D (\displaystyle ACED) itinatag sa pamamagitan ng congruence ng mga tatsulok △ A C K ​​​​(\displaystyle \triangle ACK) at △ A B D (\displaystyle \triangle ABD), ang lugar ng bawat isa ay katumbas ng kalahati ng lugar ng mga parisukat A HJK (\displaystyle AHJK) at A C E D (\displaystyle ACED) ayon sa pagkakabanggit, na may kaugnayan sa sumusunod na pag-aari: ang lugar ng isang tatsulok ay katumbas ng kalahati ng lugar ng isang parihaba kung ang mga figure ay may isang karaniwang panig, at ang taas ng tatsulok sa karaniwang panig ay ang kabilang panig ng ang parihaba. Ang congruence ng mga tatsulok ay sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay ng dalawang panig (mga gilid ng mga parisukat) at ang anggulo sa pagitan ng mga ito (binubuo ng isang tamang anggulo at isang anggulo sa A (\displaystyle A).

Kaya, ang patunay ay nagtatatag na ang lugar ng parisukat sa itaas ng hypotenuse, na binubuo ng mga parihaba A HJK (\displaystyle AHJK) at B HJ I (\displaystyle BHJI), ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga parisukat sa itaas ng mga binti.

Patunay ni Leonardo da Vinci

Kasama rin sa paraan ng lugar ang patunay na natagpuan ni Leonardo da Vinci. Hayaang magkaroon ng tamang tatsulok △ A B C (\displaystyle \triangle ABC) tamang anggulo C (\displaystyle C) at mga parisukat A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG) at A B H J (\displaystyle ABHJ)(tingnan ang larawan). Sa patunay na ito sa gilid H J (\displaystyle HJ) ang huli, ang isang tatsulok ay itinayo sa labas, kapareho △ A B C (\displaystyle \triangle ABC), bukod pa rito, makikita ang parehong nauugnay sa hypotenuse at nauugnay sa taas nito (iyon ay, J I = B C (\displaystyle JI=BC) at H I = A C (\displaystyle HI=AC)). Diretso C I (\displaystyle CI) hinahati ang parisukat na binuo sa hypotenuse sa dalawang pantay na bahagi, dahil mga tatsulok △ A B C (\displaystyle \triangle ABC) at △ J H I (\displaystyle \triangle JHI) ay pantay-pantay sa pagtatayo. Ang patunay ay nagtatatag ng congruence ng quadrilaterals C AJ I (\displaystyle CAJI) at D A B G (\displaystyle DABG), ang lugar ng bawat isa kung saan, sa isang banda, ay katumbas ng kabuuan ng kalahati ng mga lugar ng mga parisukat sa mga binti at ang lugar ng orihinal na tatsulok, sa kabilang banda, sa kalahati ng lugar ng ang parisukat sa hypotenuse kasama ang lugar ng orihinal na tatsulok. Sa kabuuan, kalahati ng kabuuan ng mga lugar ng mga parisukat sa ibabaw ng mga binti ay katumbas ng kalahati ng lugar ng parisukat sa ibabaw ng hypotenuse, na katumbas ng geometric formulation ng Pythagorean theorem.

Patunay sa pamamagitan ng infinitesimal na pamamaraan

Mayroong ilang mga patunay gamit ang pamamaraan ng mga differential equation. Sa partikular, si Hardy ay na-kredito ng isang patunay gamit ang mga infinitesimal na pagdaragdag ng binti a (\displaystyle a) at b (\displaystyle b) at hypotenuse c (\displaystyle c), at pinapanatili ang pagkakatulad sa orihinal na parihaba, iyon ay, tinitiyak ang katuparan ng mga sumusunod na pagkakaiba-iba na relasyon:

d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).

Sa pamamagitan ng paraan ng paghihiwalay ng mga variable, ang isang differential equation ay nagmula sa kanila c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), na ang pagsasama ay nagbibigay ng kaugnayan c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Paglalapat ng mga paunang kondisyon a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0) tumutukoy sa isang pare-pareho bilang 0, na nagreresulta sa paggigiit ng theorem.

Lumilitaw ang quadratic dependence sa panghuling formula dahil sa linear na proporsyonalidad sa pagitan ng mga gilid ng tatsulok at mga increment, habang ang kabuuan ay dahil sa mga independiyenteng kontribusyon mula sa pagtaas ng iba't ibang mga binti.

Mga pagkakaiba-iba at Paglalahat

Magkatulad na mga geometric na hugis sa tatlong panig

Ang isang mahalagang geometric generalization ng Pythagorean theorem ay ibinigay ni Euclid sa "Beginnings", na lumilipat mula sa mga lugar ng mga parisukat sa mga gilid patungo sa mga lugar ng di-makatwirang katulad na mga geometric na figure: ang kabuuan ng mga lugar ng naturang mga figure na binuo sa mga binti ay magiging katumbas ng lugar ng isang figure na katulad sa kanila, na binuo sa hypotenuse.

Ang pangunahing ideya ng generalization na ito ay ang lugar ng naturang geometric figure ay proporsyonal sa parisukat ng alinman sa mga linear na sukat nito at, lalo na, sa parisukat ng haba ng anumang panig. Samakatuwid, para sa mga katulad na figure na may mga lugar A (\displaystyle A), B (\displaystyle B) at C (\displaystyle C) binuo sa mga binti na may haba a (\displaystyle a) at b (\displaystyle b) at hypotenuse c (\displaystyle c) alinsunod dito, mayroong isang kaugnayan:

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Rightarrow \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

Dahil ayon sa Pythagorean theorem a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), pagkatapos ito ay tapos na.

Bilang karagdagan, kung posible na patunayan nang hindi gumagamit ng Pythagorean theorem na para sa mga lugar ng tatlong magkatulad na mga geometric na figure sa mga gilid ng isang right triangle, ang kaugnayan A + B = C (\displaystyle A+B=C), pagkatapos ay gamit ang kabaligtaran ng patunay ng paglalahat ni Euclid, maaari nating makuha ang patunay ng Pythagorean theorem. Halimbawa, kung sa hypotenuse ay gagawa tayo ng tamang tatsulok na kapareho sa inisyal na may lugar C (\displaystyle C), at sa mga binti - dalawang magkatulad na right-angled triangles na may mga lugar A (\displaystyle A) at B (\displaystyle B), pagkatapos ay lumiliko na ang mga tatsulok sa mga binti ay nabuo bilang isang resulta ng paghahati ng paunang tatsulok sa taas nito, iyon ay, ang kabuuan ng dalawang mas maliit na lugar ng mga tatsulok ay katumbas ng lugar ng pangatlo, kaya A + B = C (\displaystyle A+B=C) at, paglalapat ng kaugnayan para sa mga katulad na figure, ang Pythagorean theorem ay hinango.

Cosine theorem

Ang Pythagorean theorem ay isang espesyal na kaso ng mas pangkalahatang cosine theorem na nag-uugnay sa mga haba ng mga gilid sa isang arbitraryong tatsulok:

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

saan ang anggulo sa pagitan ng mga gilid a (\displaystyle a) at b (\displaystyle b). Kung ang anggulo ay 90°, kung gayon cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), at ang formula ay pinapasimple sa karaniwang Pythagorean theorem.

Arbitrary na tatsulok

Mayroong generalization ng Pythagorean theorem sa isang arbitrary triangle, na gumagana lamang sa ratio ng mga haba ng mga gilid, pinaniniwalaan na ito ay unang itinatag ng Sabian astronomer na si Sabit ibn Kurra. Sa loob nito, para sa isang arbitrary na tatsulok na may mga gilid, isang isosceles tatsulok na may base sa gilid c (\displaystyle c), ang vertex na tumutugma sa vertex ng orihinal na tatsulok, sa tapat ng gilid c (\displaystyle c) at mga anggulo sa base na katumbas ng anggulo θ (\displaystyle \theta ) kabaligtaran c (\displaystyle c). Bilang isang resulta, ang dalawang tatsulok ay nabuo, katulad ng orihinal: ang una ay may mga gilid a (\displaystyle a), ang lateral side ng inscribed isosceles triangle malayo dito, at r (\displaystyle r)- mga bahagi sa gilid c (\displaystyle c); ang pangalawa ay simetriko dito mula sa gilid b (\displaystyle b) may party s (\displaystyle s)- ang nauugnay na bahagi ng gilid c (\displaystyle c). Bilang resulta, ang kaugnayan ay natupad:

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

na bumababa sa Pythagorean theorem sa θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Ang ratio ay bunga ng pagkakapareho ng nabuong mga tatsulok:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Rightarrow \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

Pappus area theorem

Non-Euclidean geometry

Ang Pythagorean theorem ay hinango mula sa axioms ng Euclidean geometry at hindi wasto para sa non-Euclidean geometry - ang katuparan ng Pythagorean theorem ay katumbas ng postulate ng Euclidean parallelism.

Sa non-Euclidean geometry, ang relasyon sa pagitan ng mga gilid ng isang right triangle ay kinakailangang nasa isang anyo na naiiba sa Pythagorean theorem. Halimbawa, sa spherical geometry, ang lahat ng tatlong panig ng isang right triangle, na nagbubuklod sa isang octant ng isang unit sphere, ay may haba. π / 2 (\displaystyle \pi /2), na sumasalungat sa Pythagorean theorem.

Bukod dito, ang Pythagorean theorem ay may bisa sa hyperbolic at elliptic geometry, kung ang pangangailangan na ang tatsulok ay hugis-parihaba ay papalitan ng kondisyon na ang kabuuan ng dalawang anggulo ng tatsulok ay dapat na katumbas ng ikatlo.

spherical geometry

Para sa anumang tamang tatsulok sa isang globo na may radius R (\displaystyle R)(halimbawa, kung tama ang anggulo sa tatsulok) na may mga gilid a , b , c (\displaystyle a,b,c) ang relasyon sa pagitan ng mga panig ay:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\kanan)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\kanan)).

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring makuha bilang isang espesyal na kaso ng spherical cosine theorem, na wasto para sa lahat ng spherical triangles:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + kasalanan ⁡ (a R) ⋅ kasalanan ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ kasalanan \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),

saan ch (\displaystyle \operatorname (ch) )- hyperbolic cosine. Ang formula na ito ay isang espesyal na kaso ng hyperbolic cosine theorem, na wasto para sa lahat ng mga tatsulok:

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operatorname (sh) a\cdot \operatorname (sh) b\cdot \cos \gamma ),

saan γ (\displaystyle \gamma )- isang anggulo na ang vertex ay nasa tapat ng isang gilid c (\displaystyle c).

Gamit ang seryeng Taylor para sa hyperbolic cosine ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\approx 1+x^(2)/2)) maipapakita na kung ang hyperbolic triangle ay bumababa (iyon ay, kapag a (\displaystyle a), b (\displaystyle b) at c (\displaystyle c) may posibilidad na zero), pagkatapos ay ang hyperbolic relations sa isang right triangle ay lumalapit sa kaugnayan ng classical na Pythagorean theorem.

Aplikasyon

Distansya sa dalawang-dimensional na rectangular system

Ang pinakamahalagang aplikasyon ng Pythagorean theorem ay upang matukoy ang distansya sa pagitan ng dalawang punto sa isang rectangular system coordinate: distansya s (\displaystyle s) sa pagitan ng mga puntos na may mga coordinate (a , b) (\displaystyle (a,b)) at (c , d) (\displaystyle (c,d)) katumbas ng:

s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

Para sa mga kumplikadong numero, ang Pythagorean theorem ay nagbibigay ng natural na formula para sa paghahanap ng modulus complex number - para sa z = x + y i (\displaystyle z=x+yi) ito ay katumbas ng haba