Maikling teorya

Ang pamamaraan ng mga multiplier ng Lagrange ay isang klasikal na pamamaraan para sa paglutas ng mga problema ng programming sa matematika (sa partikular, matambok). Sa kasamaang palad, sa praktikal na aplikasyon ng pamamaraan, ang mga makabuluhang paghihirap sa pagkalkula ay maaaring mangyari, na nagpapaliit sa lugar ng paggamit nito. Isinasaalang-alang namin dito ang pamamaraang Lagrange higit sa lahat dahil ito ay isang aparatong aktibong ginagamit upang bigyang-katwiran ang iba't ibang mga modernong pamamaraan ng numero na malawakang ginagamit sa pagsasanay. Tulad ng para sa Lagrange function at Lagrange multiplier, gumaganap sila ng independiyente at napakahalagang papel sa teorya at mga aplikasyon hindi lamang ng mathematical programming.

Isaalang-alang ang isang klasikal na problema sa pag-optimize:

Kabilang sa mga paghihigpit ng problemang ito ay walang mga hindi pagkakapantay-pantay, walang mga kundisyon para sa di-negatibiti ng mga variable, kanilang discreteness, at ang mga pag-andar at tuluy-tuloy at may mga partial derivatives ng hindi bababa sa pangalawang order.

Ang klasikal na diskarte sa paglutas ng problema ay nagbibigay ng isang sistema ng mga equation (kinakailangang mga kondisyon) na dapat masiyahan sa pamamagitan ng punto na nagbibigay ng function sa isang lokal na extremum sa hanay ng mga punto na nakakatugon sa mga hadlang (para sa isang matambok na problema sa programming, ang nahanap na punto magiging kasabay nito ang global extremum point).

Ipagpalagay natin na ang function (1) ay may lokal na conditional extremum sa punto at ang ranggo ng matrix ay katumbas ng . Pagkatapos ang mga kinakailangang kondisyon ay maaaring isulat bilang:

ay ang Lagrange function; ay ang mga multiplier ng Lagrange.

Mayroon ding sapat na mga kondisyon kung saan tinutukoy ng solusyon ng sistema ng mga equation (3) ang extremum point ng function . Ang tanong na ito ay malulutas sa batayan ng pag-aaral ng tanda ng pangalawang kaugalian ng Lagrange function. Gayunpaman, ang mga sapat na kundisyon ay pangunahin sa teoretikal na interes.

Maaari mong tukuyin ang sumusunod na pamamaraan para sa paglutas ng problema (1), (2) sa pamamagitan ng Lagrange multiplier method:

1) bumuo ng Lagrange function (4);

2) hanapin ang mga partial derivatives ng Lagrange function na may paggalang sa lahat ng mga variable at ipantay ang mga ito

sero. Kaya, ang isang sistema (3) na binubuo ng mga equation ay makukuha. Lutasin ang resultang sistema (kung ito ay naging posible!) at sa gayon ay hanapin ang lahat ng mga nakatigil na punto ng Lagrange function;

3) mula sa mga nakatigil na puntos na kinuha nang walang mga coordinate, piliin ang mga punto kung saan ang function ay may kondisyon na lokal na extrema sa pagkakaroon ng mga paghihigpit (2). Ang pagpipiliang ito ay ginawa, halimbawa, gamit ang sapat na mga kondisyon para sa isang lokal na extremum. Kadalasan ang pag-aaral ay pinasimple kung ang mga tiyak na kondisyon ng problema ay ginagamit.

Halimbawa ng solusyon sa problema

Ang gawain

Ang kumpanya ay gumagawa ng dalawang uri ng mga kalakal sa dami at . Ang kapaki - pakinabang na function ng gastos ay tinutukoy ng kaugnayan . Ang mga presyo ng mga kalakal na ito sa merkado ay pantay at ayon sa pagkakabanggit.

Tukuyin kung anong mga volume ng output ang nakamit ang pinakamataas na tubo at kung ano ang katumbas nito kung ang kabuuang gastos ay hindi lalampas

Nagkakaproblema sa pag-unawa sa proseso ng solusyon? Ang site ay may serbisyo Paglutas ng mga problema sa pamamagitan ng mga pamamaraan ng pinakamainam na solusyon sa pag-order

Ang solusyon sa problema

Pang-ekonomiya at matematikal na modelo ng problema

Function ng kita:

Mga limitasyon sa gastos:

Nakukuha namin ang sumusunod na modelong pang-ekonomiya at matematika:

Bilang karagdagan, ayon sa kahulugan ng gawain

Paraan ng Lagrange multiplier

Buuin natin ang Lagrange function:

Nakahanap kami ng mga partial derivatives ng 1st order:

Binubuo at lutasin namin ang sistema ng mga equation:

Simula noon

Pinakamataas na Kita:

Sagot

Kaya, ito ay kinakailangan upang makabuo ng mga yunit. mga kalakal ng unang uri at mga yunit. mga kalakal ng ika-2 uri. Sa kasong ito, ang tubo ay magiging maximum at magiging 270.
Ang isang halimbawa ng paglutas ng problema ng quadratic convex programming sa pamamagitan ng isang graphical na pamamaraan ay ibinigay.

Paglutas ng isang linear na problema sa pamamagitan ng isang graphical na pamamaraan
Ang isang graphical na paraan para sa paglutas ng isang linear programming problem (LPP) na may dalawang variable ay isinasaalang-alang. Sa halimbawa ng problema, isang detalyadong paglalarawan ng pagbuo ng isang pagguhit at paghahanap ng solusyon ay ibinigay.

Modelo ng pamamahala ng imbentaryo ni Wilson
Sa halimbawa ng paglutas ng problema, ang pangunahing modelo ng pamamahala ng imbentaryo (modelo ng Wilson) ay isinasaalang-alang. Ang mga naturang tagapagpahiwatig ng modelo bilang ang pinakamainam na laki ng batch ng order, taunang mga gastos sa imbakan, ang agwat sa pagitan ng mga paghahatid at ang punto ng paglalagay ng order ay kinakalkula.

Direct Cost Ratio Matrix at Input-Output Matrix
Sa halimbawa ng paglutas ng problema, ang Leontiev intersectoral model ay isinasaalang-alang. Ang pagkalkula ng matrix ng mga coefficient ng mga direktang gastos sa materyal, ang matrix na "input-output", ang matrix ng mga coefficient ng hindi direktang gastos, ang mga vectors ng panghuling pagkonsumo at kabuuang output ay ipinapakita.

Sa Ang kakanyahan ng pamamaraang Lagrange ay upang bawasan ang conditional extremum na problema sa solusyon ng unconditional extremum na problema. Isaalang-alang ang isang non-linear na modelo ng programming:

(5.2)

saan
ay mga kilalang function,

a
ay binibigyan ng mga coefficient.

Tandaan na sa pormulasyon na ito ng problema, ang mga hadlang ay ibinibigay ng mga pagkakapantay-pantay, at walang kondisyon para sa mga variable na maging nonnegative. Bilang karagdagan, ipinapalagay namin na ang mga pag-andar
ay tuloy-tuloy sa kanilang mga unang partial derivatives.

Ibahin natin ang mga kundisyon (5.2) sa paraang naglalaman ang kaliwa o kanang bahagi ng mga pagkakapantay-pantay sero:

(5.3)

Buuin natin ang Lagrange function. Kabilang dito ang layunin na function (5.1) at ang kanang bahagi ng mga hadlang (5.3), na kinuha ayon sa pagkakabanggit kasama ang mga coefficient
. Magkakaroon ng maraming coefficient ng Lagrange gaya ng mga hadlang sa problema.

Ang extremum point ng function (5.4) ay ang extremum point ng orihinal na problema at vice versa: ang pinakamainam na plano ng problema (5.1)-(5.2) ay ang global extremum point ng Lagrange function.

Sa katunayan, hayaan ang solusyon na mahanap
problema (5.1)-(5.2), pagkatapos ay nasiyahan ang mga kondisyon (5.3). Palitan natin ang plano
sa function (5.4) at i-verify ang bisa ng pagkakapantay-pantay (5.5).

Kaya, upang mahanap ang pinakamainam na plano ng orihinal na problema, ito ay kinakailangan upang siyasatin ang Lagrange function para sa isang extremum. Ang function ay may matinding mga halaga sa mga punto kung saan ang mga bahagyang derivatives nito ay pantay sero. Ang ganitong mga punto ay tinatawag nakatigil.

Tinukoy namin ang mga partial derivatives ng function (5.4)

,

.

Pagkatapos ng equalization sero derivatives nakukuha natin ang system m+n mga equation na may m+n hindi kilala

,(5.6)

Sa pangkalahatang kaso, ang system (5.6)-(5.7) ay magkakaroon ng ilang solusyon, na kinabibilangan ng lahat ng maxima at minima ng Lagrange function. Upang i-highlight ang pandaigdigang maximum o minimum, ang mga halaga ng layunin ng function ay kinakalkula sa lahat ng nahanap na mga punto. Ang pinakamalaki sa mga halagang ito ay ang pandaigdigang maximum, at ang pinakamaliit ay ang pandaigdigang minimum. Sa ilang mga kaso posible itong gamitin sapat na mga kondisyon para sa isang mahigpit na extremum tuluy-tuloy na function (tingnan ang Problema 5.2 sa ibaba):

hayaan ang function
ay tuloy-tuloy at dalawang beses na naiba-iba sa ilang kapitbahayan ng nakatigil na punto nito (mga.
)). Pagkatapos:

a ) kung
, (5.8)

pagkatapos ay ang mahigpit na pinakamataas na punto ng function
;

b) kung
, (5.9)

pagkatapos ay ang mahigpit na pinakamababang punto ng function
;

G ) kung
,

pagkatapos ay ang tanong ng pagkakaroon ng isang extremum ay nananatiling bukas.

Bukod dito, maaaring negatibo ang ilang solusyon ng system (5.6)-(5.7). Na hindi pare-pareho sa pang-ekonomiyang kahulugan ng mga variable. Sa kasong ito, dapat suriin ang posibilidad na palitan ang mga negatibong halaga ng zero.

Pang-ekonomiyang kahulugan ng Lagrange multipliers. Pinakamainam na halaga ng multiplier
nagpapakita kung gaano magbabago ang halaga ng criterion Z kapag dinadagdagan o binabawasan ang mapagkukunan j bawat yunit, dahil

Ang pamamaraang Lagrange ay maaari ding ilapat kapag ang mga hadlang ay hindi pagkakapantay-pantay. Kaya, ang paghahanap ng extremum ng function
sa ilalim ng mga kondisyon

,

ginanap sa ilang yugto:

1. Tukuyin ang mga nakatigil na punto ng layunin ng function, kung saan malulutas nila ang sistema ng mga equation

.

2. Mula sa mga nakatigil na punto, ang mga napili na ang mga coordinate ay nakakatugon sa mga kondisyon

3. Ang pamamaraang Lagrange ay ginagamit upang malutas ang problema sa mga hadlang sa pagkakapantay-pantay (5.1)-(5.2).

4. Ang mga puntos na matatagpuan sa pangalawa at pangatlong yugto ay sinusuri para sa isang pandaigdigang maximum: ang mga halaga ng layunin ng pag-andar sa mga puntong ito ay inihambing - ang pinakamalaking halaga ay tumutugma sa pinakamainam na plano.

Gawain 5.1 Ating lutasin ang Problema 1.3, na isinasaalang-alang sa unang seksyon, sa pamamagitan ng pamamaraang Lagrange. Ang pinakamainam na pamamahagi ng mga mapagkukunan ng tubig ay inilarawan ng isang modelo ng matematika

.

Bumuo ng Lagrange function

Hanapin ang unconditional maximum ng function na ito. Upang gawin ito, kinakalkula namin ang mga partial derivatives at itinutumbas ang mga ito sa zero

,

Kaya, nakuha namin ang isang sistema ng mga linear na equation ng form

Ang solusyon ng sistema ng mga equation ay ang pinakamainam na plano para sa pamamahagi ng mga mapagkukunan ng tubig sa mga irigasyon na lugar

, .

Dami
sinusukat sa daan-daang libong metro kubiko.
- ang halaga ng netong kita sa bawat isang daang libong metro kubiko ng tubig sa irigasyon. Samakatuwid, ang marginal na presyo ng 1 m 3 ng tubig sa irigasyon ay
den. mga yunit

Ang pinakamataas na karagdagang netong kita mula sa irigasyon ay magiging

160 12.26 2 +7600 12.26-130 8.55 2 +5900 8.55-10 16.19 2 +4000 16.19=

172391.02 (den. units)

Gawain 5.2 Lutasin ang isang non-linear na problema sa programming

Kinakatawan namin ang hadlang bilang:

.

Buuin ang Lagrange function at tukuyin ang mga partial derivatives nito

.

Upang matukoy ang mga nakatigil na punto ng Lagrange function, dapat isa ay katumbas ng mga partial derivatives nito sa zero. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng isang sistema ng mga equation

.

Mula sa unang equation ay sumusunod

. (5.10)

Pagpapahayag palitan sa pangalawang equation

,

kung saan mayroong dalawang solusyon para sa :

at
. (5.11)

Ang pagpapalit ng mga solusyong ito sa ikatlong equation, makuha namin

,
.

Ang mga halaga ng Lagrange multiplier at hindi alam kalkulahin sa pamamagitan ng mga expression (5.10)-(5.11):

,
,
,
.

Kaya, nakakuha kami ng dalawang matinding puntos:

;
.

Upang malaman kung ang mga puntong ito ay pinakamataas o pinakamababang puntos, ginagamit namin ang sapat na mga kondisyon para sa isang mahigpit na extremum (5.8)-(5.9). Pre expression para sa , nakuha mula sa paghihigpit ng modelo ng matematika, pinapalitan namin ang layunin ng function

,

. (5.12)

Upang suriin ang mga kundisyon para sa isang mahigpit na sukdulan, dapat nating tukuyin ang tanda ng pangalawang derivative ng function (5.11) sa mga matinding punto na nakita natin
at
.

,
;

.

Kaya, (·)
ay ang pinakamababang punto ng orihinal na problema (
), isang (·)
- pinakamataas na punto.

Pinakamainam na Plano:

,
,
,

.

Paglalarawan ng pamamaraan

saan .

Katuwiran

Ang sumusunod na katwiran ng Lagrange multiplier na paraan ay hindi nito mahigpit na patunay. Naglalaman ito ng heuristic na pangangatwiran na tumutulong upang maunawaan ang geometric na kahulugan ng pamamaraan.

2D na kaso

Mga linya at kurba ng antas.

Hayaang kailanganin upang mahanap ang extremum ng ilang function ng dalawang variable sa ilalim ng kundisyong ibinigay ng equation . Ipagpalagay namin na ang lahat ng mga function ay patuloy na naiba-iba, at ang equation na ito ay tumutukoy sa isang makinis na curve S sa ibabaw. Pagkatapos ang problema ay nabawasan sa paghahanap ng extremum ng function f sa kurba S. Ipagpalagay din natin iyon S ay hindi pumasa sa mga punto kung saan ang gradient f nagiging 0 .

Iguhit sa eroplano ang mga linya ng antas ng function f(ibig sabihin, mga kurba). Ito ay makikita mula sa geometric na pagsasaalang-alang na ang extremum ng function f sa kurba S maaari lamang magkaroon ng mga punto kung saan ang mga tangent S at ang katumbas na linya ng antas ay pareho. Sa katunayan, kung ang curve S tumatawid sa linya ng antas f sa isang puntong transversal (iyon ay, sa ilang di-zero na anggulo), pagkatapos ay gumagalaw sa kahabaan ng kurba S mula sa punto maaari naming makuha ang pareho sa mga linya ng antas na naaayon sa mas malaking halaga f, at mas maliit. Samakatuwid, ang gayong punto ay hindi maaaring maging isang matinding punto.

Kaya, ang kinakailangang kondisyon para sa extremum sa aming kaso ay ang pagkakataon ng mga tangent. Upang isulat ito sa analytical form, tandaan na ito ay katumbas ng parallelism ng gradients ng mga function. f at ψ sa puntong ito, dahil ang gradient vector ay patayo sa padaplis sa linya ng antas. Ang kundisyong ito ay ipinahayag sa sumusunod na anyo:

kung saan ang λ ay ilang di-zero na numero, na siyang Lagrange multiplier.

Isaalang-alang ngayon Lagrange function depende sa at λ :

Ang isang kinakailangang kondisyon para sa extremum nito ay ang zero gradient. Alinsunod sa mga tuntunin ng pagkita ng kaibhan, ito ay nakasulat bilang

Nakakuha kami ng isang sistema na ang unang dalawang equation ay katumbas ng kinakailangang lokal na extremum na kondisyon (1), at ang pangatlo ay katumbas ng equation . Mula dito mahahanap mo ang . Sa kasong ito, dahil kung hindi man ang gradient ng function f nawawala sa isang punto , na sumasalungat sa aming mga pagpapalagay. Dapat tandaan na ang mga puntong matatagpuan sa ganitong paraan ay maaaring hindi ang nais na kondisyon na labis na mga punto - ang itinuturing na kondisyon ay kinakailangan, ngunit hindi sapat. Paghahanap ng conditional extremum gamit ang isang auxiliary function L at bumubuo ng batayan ng Lagrange multiplier method na inilapat dito para sa pinakasimpleng kaso ng dalawang variable. Lumalabas na ang pangangatwiran sa itaas ay maaaring gawing pangkalahatan sa kaso ng isang arbitrary na bilang ng mga variable at equation na tumutukoy sa mga kundisyon.

Sa batayan ng pamamaraan ng mga multiplier ng Lagrange, maaari ding patunayan ng isa ang ilang sapat na kundisyon para sa isang conditional extremum, na nangangailangan ng pagsusuri ng pangalawang derivatives ng Lagrange function.

Aplikasyon

• Ang Lagrange multiplier na paraan ay ginagamit upang malutas ang mga hindi linear na problema sa programming na lumitaw sa maraming lugar (halimbawa, sa ekonomiya).
• Ang pangunahing paraan para sa paglutas ng problema sa pag-optimize ng kalidad ng pag-encode ng data ng audio at video para sa isang naibigay na average na bitrate (distortion optimization - English. Pag-optimize ng rate-distortion).

Tingnan din

Mga link

• Zorich V. A. Pagsusuri sa matematika. Bahagi 1. - ed. Ika-2, rev. at karagdagang - M.: FAZIS, 1997.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Tingnan kung ano ang "Lagrange multiplier" sa iba pang mga diksyunaryo:

Mga multiplier ng Lagrange- karagdagang mga kadahilanan na nagbabago sa layunin ng pag-andar ng matinding problema ng convex programming (sa partikular, linear programming) kapag nalutas ito ng isa sa mga klasikal na pamamaraan sa pamamagitan ng paraan ng paglutas ng mga kadahilanan ... ... Diksyunaryong Pang-ekonomiya at Matematika

Mga multiplier ng Lagrange- Mga karagdagang kadahilanan na nagbabago sa layunin ng pag-andar ng matinding problema ng convex programming (sa partikular, linear programming) kapag ito ay nalutas ng isa sa mga klasikal na pamamaraan sa pamamagitan ng paraan ng paglutas ng mga kadahilanan (Lagrange method). ... ... Handbook ng Teknikal na Tagasalin

Mechanics. 1) Lagrangian equation ng 1st kind, differential equation of motion ng isang mechan. system, na ibinibigay sa mga projection sa mga rectangular coordinate axes at naglalaman ng tinatawag na. Mga multiplier ng Lagrange. Natanggap ni J. Lagrange noong 1788. Para sa isang holonomic system, ... ... Pisikal na Encyclopedia

Mechanics ordinaryong differential equation ng 2nd order, na naglalarawan sa paggalaw ng isang mekanikal. mga sistema sa ilalim ng impluwensya ng mga puwersang inilapat sa kanila. L. sa. itinatag ni J. Lag range sa dalawang anyo: L. at. Unang uri, o mga equation sa mga coordinate ng Cartesian na may ... ... Mathematical Encyclopedia

1) sa hydromechanics, ang equation para sa paggalaw ng isang likido (gas) sa mga variable ng Lagrange, na siyang mga coordinate ng medium. Nakatanggap ng Pranses. siyentipiko J. Lagrange (J. Lagrange; c. 1780). Mula sa L. sa. ang batas ng paggalaw ng h c medium ay tinutukoy sa anyo ng mga dependencies ... ... Pisikal na Encyclopedia

Lagrange multiplier method, isang paraan para sa paghahanap ng conditional extremum ng function na f(x), kung saan, may kinalaman sa m constraints, i ay nag-iiba mula isa hanggang m. Mga Nilalaman 1 Paglalarawan ng pamamaraan ... Wikipedia

Isang function na ginagamit sa paglutas ng mga problema para sa isang conditional extremum ng mga function ng ilang variable at functional. Sa tulong ni L. f. ang mga kinakailangang kondisyon ng pinakamainam ay isinulat sa mga problema para sa isang conditional extremum. Hindi na kailangang magpahayag lamang ng mga variable... Mathematical Encyclopedia

Paraan para sa paglutas ng mga problema para sa Conditional extremum; Binubuo ang L. m. m. sa pagbabawas ng mga problemang ito sa mga problema para sa isang walang kundisyong kalabisan ng isang pantulong na function ng tinatawag na. Mga function ng Lagrange. Para sa problema ng extremum ng function f (x1, x2,..., xn) para sa ... ...

Mga variable, sa tulong ng kung saan ang Lagrange function ay itinayo sa pag-aaral ng mga problema para sa isang conditional extremum. Ang paggamit ng L. m. at ang Lagrange function ay ginagawang posible upang makuha ang mga kinakailangang kondisyon ng optimality sa isang pare-parehong paraan sa mga problema para sa isang conditional extremum ... Mathematical Encyclopedia

1) sa hydromechanics, ang mga equation ng paggalaw ng isang likidong medium na nakasulat sa mga variable na Lagrange, na siyang mga coordinate ng mga particle ng medium. Mula sa L. sa. ang batas ng paggalaw ng mga particle ng daluyan ay tinutukoy sa anyo ng mga dependences ng mga coordinate sa oras, at ayon sa kanila ... ... Great Soviet Encyclopedia

LAGRANGE PARAAN

Ang paraan ng pagbabawas ng isang parisukat na anyo sa kabuuan ng mga parisukat, na ipinahiwatig noong 1759 ni J. Lagrange. Hayaan itong ibigay

mula sa mga variable x 0 , x 1 ,..., x n. na may mga coefficient mula sa field k mga katangian Kinakailangang dalhin ang form na ito sa canonical. isip

gamit ang isang nondegenerate linear transformation ng mga variable. Ang L. m. ay binubuo ng mga sumusunod. Maaari nating ipagpalagay na hindi lahat ng coefficient ng form (1) ay katumbas ng zero. Samakatuwid, posible ang dalawang kaso.

1) Para sa ilan g, dayagonal Pagkatapos

kung saan ang anyo f 1 (x) ay walang variable x g . 2) Kung lahat ngunit pagkatapos

kung saan ang anyo f 2 (x) ay hindi naglalaman ng dalawang variable x g at x h . Ang mga form sa ilalim ng square sign sa (4) ay linearly independent. Sa pamamagitan ng paglalapat ng mga pagbabago sa anyo (3) at (4), ang anyo (1) pagkatapos ng isang may hangganang bilang ng mga hakbang ay nababawasan sa kabuuan ng mga parisukat ng mga linearly independent linear form. Gamit ang mga partial derivatives, ang mga formula (3) at (4) ay maaaring isulat bilang

Lit.: G a n t m a h e r F. R., Theory of Matrices, 2nd ed., Moscow, 1966; K ur o sh A. G., Course of Higher Algebra, ika-11 ed., M., 1975; Alexandrov P.S., Mga Lektura sa Analytic Geometry..., M., 1968. I. V. Proskuryakov.

Mathematical encyclopedia. - M.: Encyclopedia ng Sobyet. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Tingnan kung ano ang "LAGRANGE METHOD" sa ibang mga diksyunaryo:

Paraan ng Lagrange- Lagrange method - isang paraan para sa paglutas ng ilang klase ng mga problema sa mathematical programming sa pamamagitan ng paghahanap ng saddle point (x *, λ *) ng Lagrange function, na nakakamit sa pamamagitan ng equating to zero ang partial derivatives ng function na ito na may kinalaman sa . .. ... Diksyunaryong Pang-ekonomiya at Matematika

Paraan ng Lagrange- Isang paraan para sa paglutas ng ilang klase ng mga problema sa mathematical programming sa pamamagitan ng paghahanap ng saddle point (x*, ?*) ng Lagrange function, na nakakamit sa pamamagitan ng equating sa zero ang partial derivatives ng function na ito na may kinalaman sa xi at ?i . Tingnan ang Lagrangian. (x, y) = C at f 2 (x, y) = C 2 sa ibabaw XOY.

Mula dito ay sumusunod ang isang paraan para sa paghahanap ng mga ugat ng system. nonlinear equation:

Tukuyin (hindi bababa sa humigit-kumulang) ang pagitan ng pagkakaroon ng isang solusyon sa sistema ng mga equation (10) o equation (11). Dito kinakailangan na isaalang-alang ang uri ng mga equation na kasama sa system, ang domain ng kahulugan ng bawat isa sa kanilang mga equation, atbp. Minsan ang pagpili ng paunang pagtatantya ng solusyon ay ginagamit;

I-tabulate ang solusyon ng equation (11) para sa mga variable na x at y sa napiling interval, o bumuo ng mga graph ng mga function f 1 (x, y) = C, at f 2 (x, y) = C 2 (system(10)).

I-localize ang tinantyang mga ugat ng sistema ng mga equation - maghanap ng ilang pinakamababang halaga mula sa talahanayan ng tabulasyon ng mga ugat ng equation (11), o tukuyin ang mga intersection point ng mga curve na kasama sa system (10).

4. Hanapin ang mga ugat para sa sistema ng mga equation (10) gamit ang add-on Maghanap ng solusyon.