Isaalang-alang ang eroplano p at ang linyang bumabagtas dito . Hayaan PERO ay isang arbitrary na punto sa kalawakan. Gumuhit ng linya sa puntong ito , parallel sa linya . Hayaan . Dot ay tinatawag na point projection PERO papunta sa eroplano p sa parallel na disenyo kasama ang isang ibinigay na linya . Eroplano p , kung saan ang mga punto ng espasyo ay inaasahang tinatawag na projection plane.

p - projection plane;

- direktang disenyo; ;

; ; ;

Orthogonal na disenyo ay isang espesyal na kaso ng parallel na disenyo. Ang orthogonal projection ay isang parallel projection kung saan ang projection line ay patayo sa projection plane. Ang orthogonal projection ay malawakang ginagamit sa teknikal na pagguhit, kung saan ang isang pigura ay naka-project sa tatlong eroplano - pahalang at dalawang patayo.

Kahulugan: Orthographic projection ng isang punto M papunta sa eroplano p tinatawag na base M 1 patayo MM 1, ibinaba mula sa punto M papunta sa eroplano p.

Pagtatalaga: , , .

Kahulugan: Orthographic projection ng figure F papunta sa eroplano p ay ang set ng lahat ng mga punto ng eroplano na orthogonal projection ng set ng mga punto ng figure F papunta sa eroplano p.

Ang disenyo ng orthogonal, bilang isang espesyal na kaso ng parallel na disenyo, ay may parehong mga katangian:

p - projection plane;

- direktang disenyo; ;

1) ;

2) , .

1. Ang mga projection ng parallel lines ay parallel.

PROJECTION AREA NG FLAT FIGURE

Teorama: Ang lugar ng projection ng flat polygon papunta sa isang tiyak na eroplano ay katumbas ng area ng projected polygon na pinarami ng cosine ng anggulo sa pagitan ng plane ng polygon at ng projection plane.

Stage 1: Ang inaasahang figure ay isang tatsulok na ABC, ang gilid kung saan ang AC ay namamalagi sa projection plane a (parallel sa projection plane a).

Ibinigay:

Patunayan:

Patunay:

1. ; ;

2. ; ; ; ;

3. ; ;

4. Ayon sa three perpendiculars theorem;

ВD - taas; Sa 1 D - taas;

5. - linear na anggulo ng dihedral anggulo;

6. ; ; ; ;

Stage 2: Ang inaasahang pigura ay isang tatsulok na ABC, wala sa mga gilid nito ang nasa projection plane a at hindi parallel dito.

Ibinigay:

Patunayan:

Patunay:

1. ; ;

2. ; ;

4. ; ; ;

(Yugto 1);

5. ; ; ;

(Yugto 1);

Yugto: Ang idinisenyong pigura ay isang arbitraryong polygon.

Patunay:

Ang polygon ay nahahati sa pamamagitan ng mga diagonal na iginuhit mula sa isang vertex sa isang may hangganan na bilang ng mga tatsulok, para sa bawat isa kung saan ang theorem ay totoo. Samakatuwid, ang theorem ay magiging totoo din para sa kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga tatsulok na ang mga eroplano ay bumubuo ng parehong anggulo sa projection plane.

Magkomento: Ang napatunayang theorem ay wasto para sa anumang flat figure na nalilimitahan ng isang closed curve.

Mga ehersisyo:

1. Hanapin ang lugar ng isang tatsulok na ang eroplano ay nakahilig sa projection plane sa isang anggulo kung ang projection nito ay isang regular na tatsulok na may gilid a.

2. Hanapin ang lugar ng isang tatsulok na ang eroplano ay nakahilig sa projection plane sa isang anggulo kung ang projection nito ay isang isosceles triangle na may gilid na 10 cm at isang base na 12 cm.

3. Hanapin ang lugar ng isang tatsulok na ang eroplano ay nakahilig sa projection plane sa isang anggulo kung ang projection nito ay isang tatsulok na may mga gilid na 9, 10 at 17 cm.

4. Kalkulahin ang lugar ng trapezoid, ang eroplano na kung saan ay hilig sa projection plane sa isang anggulo kung ang projection nito ay isang isosceles trapezoid, ang mas malaking base nito ay 44 cm, ang gilid ay 17 cm at ang dayagonal ay 39 cm.

5. Kalkulahin ang projection area ng isang regular na hexagon na may gilid na 8 cm, ang eroplano na kung saan ay nakahilig sa projection plane sa isang anggulo.

6. Ang isang rhombus na may gilid na 12 cm at isang matinding anggulo ay bumubuo ng isang anggulo na may isang naibigay na eroplano. Kalkulahin ang lugar ng projection ng rhombus sa eroplanong ito.

7. Ang isang rhombus na may gilid na 20 cm at isang dayagonal na 32 cm ay bumubuo ng isang anggulo na may ibinigay na eroplano. Kalkulahin ang lugar ng projection ng rhombus sa eroplanong ito.

8. Ang projection ng canopy sa isang pahalang na eroplano ay isang parihaba na may mga gilid at . Hanapin ang lugar ng canopy kung ang mga gilid na mukha ay pantay na mga parihaba na nakahilig sa pahalang na eroplano sa isang anggulo, at ang gitnang bahagi ng canopy ay isang parisukat na parallel sa projection plane.

11. Mga pagsasanay sa paksang "Mga linya at eroplano sa kalawakan":

Ang mga gilid ng tatsulok ay 20 cm, 65 cm, 75 cm. Ang isang patayo na katumbas ng 60 cm ay iginuhit mula sa vertex ng mas malaking anggulo ng tatsulok hanggang sa eroplano nito. Hanapin ang distansya mula sa mga dulo ng patayo sa mas malaking bahagi ng tatsulok.

2. Mula sa isang punto na nakahiwalay mula sa eroplano sa layo na cm, dalawang hilig ay iguguhit, na bumubuo ng mga anggulo na may eroplano na katumbas ng , at sa pagitan ng kanilang mga sarili - isang tamang anggulo. Hanapin ang distansya sa pagitan ng mga intersection point ng inclined plane.

3. Ang gilid ng isang regular na tatsulok ay 12 cm. Ang puntong M ay pinili upang ang mga segment na nagkokonekta sa puntong M sa lahat ng mga vertices ng tatsulok ay bumubuo ng mga anggulo sa eroplano nito. Hanapin ang distansya mula sa punto M hanggang sa mga vertice at gilid ng tatsulok.

4. Ang isang eroplano ay iginuhit sa gilid ng parisukat sa isang anggulo sa dayagonal ng parisukat. Hanapin ang mga anggulo kung saan ang dalawang gilid ng parisukat ay nakahilig sa eroplano.

5. Ang binti ng isosceles right triangle ay nakahilig sa eroplanong dumadaan sa hypotenuse sa isang anggulo. Patunayan na ang anggulo sa pagitan ng eroplano a at ng eroplano ng tatsulok ay .

6. Ang dihedral na anggulo sa pagitan ng mga eroplano ng mga tatsulok na ABC at DBC ay . Hanapin ang AD kung AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.

Kontrolin ang mga tanong sa paksang "Mga linya at eroplano sa kalawakan"

1. Ilista ang mga pangunahing konsepto ng stereometry. Bumuo ng mga axiom ng stereometry.

2. Patunayan ang mga kahihinatnan ng mga axiom.

3. Ano ang relatibong posisyon ng dalawang linya sa espasyo? Tukuyin ang intersecting, parallel, intersecting lines.

4. Patunayan ang criterion para sa intersecting lines.

5. Ano ang relatibong posisyon ng linya at eroplano? Magbigay ng mga kahulugan ng intersecting, parallel na linya at eroplano.

6. Patunayan ang tanda ng parallelism ng isang tuwid na linya at isang eroplano.

7. Ano ang relatibong posisyon ng dalawang eroplano?

8. Tukuyin ang mga parallel na eroplano. Patunayan ang isang criterion para sa parallelism ng dalawang eroplano. Bumuo ng mga theorems tungkol sa mga parallel na eroplano.

9. Tukuyin ang anggulo sa pagitan ng mga linya.

10. Patunayan ang tanda ng perpendicularity ng isang linya at isang eroplano.

11. Magbigay ng mga kahulugan ng base ng patayo, ang base ng pahilig, ang projection ng pahilig sa isang eroplano. Bumuo ng mga katangian ng patayo at pahilig, ibinaba sa eroplano mula sa isang punto.

12. Tukuyin ang anggulo sa pagitan ng isang tuwid na linya at isang eroplano.

13. Patunayan ang teorama sa tatlong patayo.

14. Magbigay ng mga kahulugan ng isang dihedral angle, isang linear na angle ng isang dihedral angle.

15. Patunayan ang tanda ng perpendicularity ng dalawang eroplano.

16. Tukuyin ang distansya sa pagitan ng dalawang magkaibang punto.

17. Tukuyin ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang linya.

18. Tukuyin ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano.

19. Tukuyin ang distansya sa pagitan ng isang tuwid na linya at isang eroplanong parallel dito.

20. Tukuyin ang distansya sa pagitan ng mga parallel na eroplano.

21. Tukuyin ang distansya sa pagitan ng mga skew na linya.

22. Tukuyin ang orthogonal projection ng isang punto papunta sa isang eroplano.

23. Tukuyin ang orthogonal projection ng isang figure papunta sa isang eroplano.

24. Bumuo ng mga katangian ng mga projection sa isang eroplano.

25. Bumuo at patunayan ang isang theorem sa projection area ng isang flat polygon.

Ang anggulo sa pagitan ng hilig na AB at ng eroplanong DAC ay 30* - ito ang anggulo BAC Ang anggulo ng DAB ay 45 (ang tatsulok na DAB ay isang hugis-parihaba na isosceles triangle), kaya DA=BDBA=DA*root(2) AC=AB* cos (BAC)=AB*cos 30 \u003d DA * root (2) * root (3) / 2 \u003d\u003d DA * root (6) / 2 sa pamamagitan ng theorem ng tatlong perpendiculars DC ay patayo sa AD cos(CAD)= cos (AD, AC)=AD/AC=AD/(DA*root(6)/2)=2/root(6)= ugat(2/3)anggulo CAB=arccos (2/3)

Mga kaugnay na gawain:

Ang gilid AB ng rhombus ABCD ay a, ang isa sa mga anggulo ay 60 degrees. Ang isang eroplanong alpha ay iginuhit sa gilid ng AB sa layo na a/2 mula sa punto D.
a) hanapin ang distansya mula sa point C hanggang plane alpha.
b) ipakita sa figure ang linear na anggulo ng dihedral angle DABM. Ang M ay kay alpha.
c) Hanapin ang sine ng anggulo sa pagitan ng rhombus plane at alpha plane.

Ang gilid AB ng rhombus ABCD ay a, ang isa sa mga anggulo ay 60 degrees. Ang isang eroplanong alpha ay iginuhit sa gilid ng AB sa layo na a/2 mula sa punto D. a) hanapin ang distansya mula sa punto C hanggang sa eroplanong alpha. b) ipakita sa figure ang linear na anggulo ng dihedral angle DABM. Ang M ay kay alpha. c) Hanapin ang sine ng anggulo sa pagitan ng rhombus plane at alpha plane.

Ang gilid AB ng rhombus ABCD ay katumbas ng a, at ang isa sa mga anggulo nito ay katumbas ng 60°. Ang isang eroplanong alpha ay iginuhit sa gilid ng AB sa layo na a2 mula sa punto D.

a) Hanapin ang distansya mula sa point C hanggang plane alpha.

b) Ipakita sa figure ang linear na anggulo ng dihedral angle DABM, M ay kabilang sa parisukat. alpha.

c) Hanapin ang sine ng anggulo sa pagitan ng rhombus plane at alpha plane.

Tulad ng nabanggit sa itaas, ang orthogonal projection ay isang espesyal na kaso ng parallel projection. Sa orthogonal projection, ang projection beam ay patayo sa projection plane.

Ang apparatus ng naturang projection ay binubuo ng isang projection plane.

Upang makakuha ng orthogonal projection ng point A, dapat na gumuhit ng projecting beam sa pamamagitan nito patayo sa P1. Point A1 ay tinatawag na orthogonal o rectangular projection ng point A.

Upang makakuha ng orthogonal projection A 1 B 1 segment AB, sa eroplano P 1, ito ay kinakailangan sa pamamagitan ng mga puntos PERO at AT gumuhit ng mga projecting lines patayo sa P 1. Sa intersection ng projecting lines na may eroplano P 1 kumuha ng orthogonal projection A 1 at SA 1 puntos PERO at AT. Pagkonekta ng mga orthogonal projection A 1 at SA 1 kumuha ng orthogonal projection A 1 B 1 segment AB.

Lahat ng mga katangian ng parallel projection ay magagawa rin para sa orthogonal projection. Gayunpaman, ang mga orthogonal projection ay may ilang higit pang mga katangian.

Mga katangian ng orthographic projection:
1. Ang haba ng isang segment ay katumbas ng haba ng projection nito na hinati sa cosine ng anggulo ng inclination ng segment sa projection plane.

Kumuha tayo ng isang tuwid na linya AB at bumuo ng orthogonal projection nito A 1 B 1 papunta sa eroplano P 1. Kung gumuhit ka ng isang tuwid na linya BILANG || A 1 B 1, pagkatapos ay mula sa tatsulok ABC sinusundan iyon |AC| : |AB| = dahil a o |AB| = |A 1 B 1 | : kasi a, dahil | A 1 B 1 | = |AC|.

2. Bilang karagdagan, para sa orthogonal projection, right angle projection theorem:

Teorama: Kung hindi bababa sa isang gilid ng isang tamang anggulo ay parallel sa eroplano ng mga projection, at ang pangalawa ay hindi patayo dito, pagkatapos ay ang anggulo ay inaasahang papunta sa eroplanong ito sa buong laki.

Patunay:

Nabigyan ng tamang anggulo ABC, na, ayon sa kondisyon, ay may tuwid na linya Araw AB at Araw || projection planes P 1. Sa pamamagitan ng pagtatayo, tuwid araw sa projecting beam BB 1. Samakatuwid, isang tuwid na linya araw papunta sa eroplano b (ABxBB1), dahil ito ay sa dalawang intersecting na tuwid na linya na nakahiga sa eroplanong ito. Ayon sa tuwid na linya B 1 C 1 || araw, gayundin sa eroplano b, ibig sabihin, at direkta A 1 B 1 ang eroplanong ito. Samakatuwid, ang anggulo sa pagitan ng mga linya A 1 B 1 at B 1 Mula 1 katumbas ng 90°, na dapat patunayan.

Ang orthogonal projection ay nagbibigay ng pagiging simple ng geometric constructions kapag tinutukoy ang orthogonal projection ng mga punto, pati na rin ang kakayahang i-save ang hugis at sukat ng inaasahang figure sa mga projection. Ang mga kalamangan na ito ay nagbigay ng orthogonal projection na may malawak na aplikasyon sa teknikal na pagguhit.

Ang itinuturing na mga pamamaraan ng projection ay nagbibigay-daan sa amin upang malutas ang direktang problema ng mapaglarawang geometry, ibig sabihin, upang bumuo ng isang patag na guhit mula sa orihinal. Ang mga projection sa isang eroplano na nakuha sa ganitong paraan ay nagbibigay ng isang hindi kumpletong ideya ng bagay, ang hugis at posisyon nito sa espasyo, iyon ay, ang naturang pagguhit ay walang pag-aari ng reversibility.

Upang makakuha ng isang nababaligtad na pagguhit, i.e. isang guhit na nagbibigay ng kumpletong larawan ng hugis, sukat at posisyon ng orihinal sa kalawakan, isang solong larawang guhit ang pupunan. Depende sa add-on, mayroong iba't ibang uri ng mga guhit.

1. Plot ng Monge o orthogonal projection. Ang kakanyahan ng paraan ng orthogonal (parihaba) projection ay ang orihinal ay orthogonal projection sa 2 o 3 magkaparehong orthogonal projection na mga eroplano, at pagkatapos ay pinagsama ang mga ito sa drawing plane.
2. Pagguhit ng axonometric. Ang kakanyahan ng axonometric drawing ay na sa una ang orihinal ay mahigpit na nauugnay sa Cartesian coordinate system OXYZ, i-project ito nang orthogonally sa isa sa mga projection plane OXY, o OXZ. Pagkatapos, sa pamamagitan ng parallel projection, ang isang parallel projection ng resultang structure ay matatagpuan: coordinate axes OX, OY, OZ, pangalawang projection at orihinal.
3. Pagguhit ng pananaw. Kapag gumagawa ng isang pagguhit ng pananaw, isang orthogonal projection ang unang itinayo, at pagkatapos ay ang gitnang projection ng dating itinayo na orthogonal projection at ang orihinal mismo ay matatagpuan sa picture plane.
4. Mga projection na may mga numerical na marka, atbp. Upang makakuha ng mga projection na may mga numerical na marka, ang orihinal ay orthogonally na projected papunta sa zero-level na eroplano at ang distansya mula sa mga punto ng orihinal sa eroplanong ito ay ipinahiwatig.

Isaalang-alang natin nang mas detalyado ang pag-aaral ng mga rectangular projection at isang axonometric drawing.

Geometry lesson sa grade 10

Sa araling ito, ipagpapatuloy mo ang iyong pag-aaral ng mga linya at eroplano; Alamin kung paano hanapin ang anggulo sa pagitan ng isang linya at isang eroplano. Makikilala mo ang konsepto ng orthogonal projection sa isang eroplano at isaalang-alang ang mga katangian nito. Ang aralin ay magbibigay ng mga kahulugan ng distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano at mula sa isang punto patungo sa isang linya, ang anggulo sa pagitan ng isang linya at isang eroplano. Ang sikat na tatlong teorama ay mapapatunayan. patayo.

Ang orthogonal projection ng isang punto A papunta sa isang partikular na eroplano ay ang projection ng isang punto sa eroplanong ito na kahanay sa isang tuwid na linya na patayo sa eroplanong ito. Ang orthogonal projection ng isang figure papunta sa isang partikular na plane p ay binubuo ng orthogonal projection papunta sa plane p ng lahat ng point ng figure na ito.

Ang orthogonal projection ay kadalasang ginagamit upang ilarawan ang mga spatial na katawan sa isang eroplano, lalo na sa mga teknikal na guhit. Nagbibigay ito ng mas makatotohanang imahe kaysa sa isang arbitrary na parallel projection, lalo na ng mga bilog na katawan.

Hayaang gumuhit ng isang tuwid na linya sa isang punto A na hindi kabilang sa eroplanong p, patayo sa eroplanong ito at intersecting ito sa punto B. Pagkatapos ang segment na AB ay tinatawag na patayo na bumaba mula sa puntong A hanggang sa eroplanong ito, at ang punto B mismo ang base ng patayo na ito. Anumang segment na AC, kung saan ang C ay isang arbitrary na punto ng eroplanong p, naiiba sa B, ay tinatawag na hilig sa eroplanong ito.

Tandaan na ang punto B sa kahulugang ito ay ang orthogonal projection ng point A, at ang segment AC ay ang orthogonal projection ng oblique AB. Ang mga orthographic projection ay may lahat ng mga katangian ng ordinaryong parallel projection, ngunit mayroon din silang ilang mga bagong katangian.

Hayaang gumuhit ng isang patayo at ilang mga hilig na linya mula sa isang punto patungo sa eroplano. Kung gayon ang mga sumusunod na pahayag ay totoo.

1. Ang anumang pahilig ay mas mahaba kaysa sa patayo at orthogonal na projection ng pahilig sa eroplanong ito.

2. Ang mga pantay na oblique ay may pantay na orthogonal projection, at vice versa, ang mga oblique na may pantay na projection ay pantay din.

3. Ang isang pahilig ay mas mahaba kaysa sa isa kung at kung ang orthogonal projection ng unang oblique ay mas mahaba kaysa sa orthogonal projection ng pangalawang oblique.