Ang mga konsepto ng fractal at fractal geometry, na lumitaw noong huling bahagi ng dekada 70, ay naging matatag sa pang-araw-araw na buhay ng mga mathematician at programmer mula noong kalagitnaan ng dekada 80. Ang salitang fractal ay nagmula sa Latin na fractus at sa pagsasalin ay nangangahulugang binubuo ng mga fragment. Iminungkahi ni Benoit Mandelbrot noong 1975 na sumangguni sa hindi regular ngunit magkatulad na mga istruktura na kanyang pinag-aralan. Ang kapanganakan ng fractal geometry ay kadalasang nauugnay sa paglalathala ng aklat ni Mandelbrot na `The Fractal Geometry of Nature' noong 1977. Ginamit ng kanyang mga gawa ang siyentipikong resulta ng iba pang mga siyentipiko na nagtrabaho noong panahon ng 1875-1925 sa parehong larangan (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff Ngunit sa ating panahon lamang posible na pagsamahin ang kanilang mga gawa sa isang solong sistema.
Ang papel ng mga fractals sa computer graphics ngayon ay medyo malaki. Dumating sila upang iligtas, halimbawa, kapag kinakailangan, sa tulong ng ilang mga coefficient, upang tukuyin ang mga linya at ibabaw ng isang napaka-komplikadong hugis. Mula sa punto ng view ng computer graphics, ang fractal geometry ay kailangang-kailangan para sa pagbuo ng mga artipisyal na ulap, bundok, at ibabaw ng dagat. Sa katunayan, natagpuan ang isang paraan upang madaling kumatawan sa mga kumplikadong bagay na hindi Euclidean, na ang mga larawan ay halos kapareho sa mga natural.
Ang isa sa mga pangunahing katangian ng fractals ay ang pagkakatulad sa sarili. Sa pinakasimpleng kaso, ang isang maliit na bahagi ng fractal ay naglalaman ng impormasyon tungkol sa buong fractal. Ang kahulugan ng isang fractal na ibinigay ni Mandelbrot ay ang mga sumusunod: "Ang fractal ay isang istraktura na binubuo ng mga bahagi na sa ilang kahulugan ay katulad ng kabuuan."

Mayroong isang malaking bilang ng mga mathematical na bagay na tinatawag na fractals (Sierpinski triangle, Koch snowflake, Peano curve, Mandelbrot set at Lorentz attractors). Ang mga fractals ay naglalarawan nang may mahusay na katumpakan ng maraming mga pisikal na phenomena at mga pormasyon ng totoong mundo: mga bundok, ulap, magulong (vortex) na alon, mga ugat, sanga at dahon ng mga puno, mga daluyan ng dugo, na malayo sa katumbas ng mga simpleng geometric na hugis. Sa unang pagkakataon, nagsalita si Benoit Mandelbrot tungkol sa fractal na kalikasan ng ating mundo sa kanyang seminal na gawain na "The Fractal Geometry of Nature".
Ang terminong fractal ay ipinakilala ni Benoit Mandelbrot noong 1977 sa kanyang pangunahing gawain na "Fractals, Form, Chaos and Dimension". Ayon kay Mandelbrot, ang salitang fractal ay nagmula sa mga salitang Latin na fractus - fractional at frangere - to break, na sumasalamin sa kakanyahan ng fractal bilang isang "sirang", hindi regular na hanay.

Pag-uuri ng mga fractal.

Upang kumatawan sa buong iba't ibang mga fractals, maginhawang gamitin ang kanilang karaniwang tinatanggap na pag-uuri. May tatlong klase ng fractals.

1. Geometric fractals.

Ang mga fractals ng klase na ito ay ang pinaka-halata. Sa dalawang-dimensional na kaso, ang mga ito ay nakuha gamit ang isang polyline (o ibabaw sa tatlong-dimensional na kaso) na tinatawag na generator. Sa isang hakbang ng algorithm, ang bawat isa sa mga segment na bumubuo sa sirang linya ay pinapalitan ng isang sirang line generator sa naaangkop na sukat. Bilang resulta ng walang katapusang pag-uulit ng pamamaraang ito, nakuha ang isang geometric fractal.

Isaalang-alang, halimbawa, ang isa sa mga naturang fractal na bagay - ang Koch triadic curve.

Konstruksyon ng triadic Koch curve.

Kumuha ng isang tuwid na bahagi ng linya ng haba 1. Tawagin natin ito buto. Hatiin natin ang buto sa tatlong pantay na bahagi ng haba 1/3, itapon ang gitnang bahagi at palitan ito ng putol na linya ng dalawang link na may haba na 1/3.

Nakakuha kami ng isang sirang linya, na binubuo ng 4 na mga link na may kabuuang haba na 4/3, - ang tinatawag na unang henerasyon.

Upang magpatuloy sa susunod na henerasyon ng Koch curve, kinakailangang itapon at palitan ang gitnang bahagi ng bawat link. Alinsunod dito, ang haba ng pangalawang henerasyon ay magiging 16/9, ang pangatlo - 64/27. kung ipagpapatuloy mo ang prosesong ito hanggang sa kawalang-hanggan, ang resulta ay isang triadic Koch curve.

Isaalang-alang natin ngayon ang banal na triadic na Koch curve at alamin kung bakit tinawag na "mga halimaw" ang mga fractal.

Una, ang curve na ito ay walang haba - tulad ng nakita natin, sa bilang ng mga henerasyon, ang haba nito ay may posibilidad na infinity.

Pangalawa, imposibleng makabuo ng tangent sa curve na ito - bawat isa sa mga punto nito ay isang inflection point kung saan wala ang derivative - hindi makinis ang curve na ito.

Ang haba at kinis ay ang mga pangunahing katangian ng mga kurba, na pinag-aaralan kapwa ng Euclidean geometry at ng geometry ng Lobachevsky at Riemann. Ang mga tradisyonal na pamamaraan ng geometric analysis ay naging hindi naaangkop sa triadic Koch curve, kaya ang Koch curve ay naging isang halimaw - isang "halimaw" sa mga makinis na naninirahan sa tradisyonal na geometries.

Konstruksyon ng "dragon" Harter-Hateway.

Upang makakuha ng isa pang fractal object, kailangan mong baguhin ang mga panuntunan sa pagtatayo. Hayaang ang bumubuo ng elemento ay dalawang pantay na mga segment na konektado sa tamang mga anggulo. Sa zero generation, pinapalitan namin ang segment ng unit ng elementong ito ng pagbuo upang ang anggulo ay nasa itaas. Maaari nating sabihin na sa gayong kapalit, nangyayari ang isang paglilipat sa gitna ng link. Kapag nagtatayo ng mga susunod na henerasyon, sinusunod ang panuntunan: ang pinakaunang link sa kaliwa ay pinapalitan ng isang bumubuo ng elemento upang ang gitna ng link ay inilipat sa kaliwa ng direksyon ng paggalaw, at kapag pinapalitan ang susunod na mga link, ang ang mga direksyon ng pag-aalis ng mga midpoint ng mga segment ay dapat na kahalili. Ipinapakita ng figure ang unang ilang henerasyon at ang ika-11 henerasyon ng curve na binuo ayon sa prinsipyong inilarawan sa itaas. Ang kurba na may n tending to infinity ay tinatawag na Harter-Hateway dragon.
Sa computer graphics, ang paggamit ng geometric fractals ay kinakailangan kapag kumukuha ng mga larawan ng mga puno at bushes. Ang two-dimensional geometric fractals ay ginagamit upang lumikha ng mga three-dimensional na texture (mga pattern sa ibabaw ng isang bagay).

2. Algebraic fractals

Ito ang pinakamalaking pangkat ng mga fractal. Nakukuha ang mga ito gamit ang mga non-linear na proseso sa mga n-dimensional na espasyo. Ang dalawang-dimensional na proseso ay ang pinaka-pinag-aralan. Ang pagbibigay-kahulugan sa isang nonlinear iterative na proseso bilang isang discrete dynamical system, maaaring gamitin ng isa ang terminolohiya ng teorya ng mga system na ito: phase portrait, steady state process, attractor, atbp.
Ito ay kilala na ang mga nonlinear dynamical system ay may ilang mga matatag na estado. Ang estado kung saan nahanap ng dynamical system ang sarili nito pagkatapos ng isang tiyak na bilang ng mga pag-ulit ay nakasalalay sa paunang estado nito. Samakatuwid, ang bawat matatag na estado (o, gaya ng sinasabi nila, isang pang-akit) ay may isang tiyak na lugar ng mga paunang estado, kung saan ang sistema ay kinakailangang mahuhulog sa itinuturing na panghuling estado. Kaya, ang phase space ng system ay nahahati sa mga lugar ng atraksyon ng mga attractor. Kung ang puwang ng phase ay dalawang-dimensional, pagkatapos ay sa pamamagitan ng pagkulay ng mga rehiyon ng atraksyon na may iba't ibang kulay, makakakuha ng isang larawan ng phase ng kulay ng sistemang ito (proseso ng umuulit). Sa pamamagitan ng pagbabago sa algorithm ng pagpili ng kulay, maaari kang makakuha ng mga kumplikadong fractal pattern na may magarbong multicolor pattern. Ang isang sorpresa para sa mga mathematician ay ang kakayahang makabuo ng napakakomplikadong di-trivial na istruktura gamit ang mga primitive na algorithm.

Ang set ng Mandelbrot.

Bilang halimbawa, isaalang-alang ang set ng Mandelbrot. Ang algorithm para sa pagbuo nito ay medyo simple at batay sa isang simpleng umuulit na expression: Z = Z[i] * Z[i] + C, saan Zi at C ay mga kumplikadong variable. Isinasagawa ang mga pag-ulit para sa bawat panimulang punto mula sa isang hugis-parihaba o parisukat na rehiyon - isang subset ng kumplikadong eroplano. Ang umuulit na proseso ay nagpapatuloy hanggang Z[i] ay hindi lalampas sa bilog ng radius 2, ang gitna nito ay nasa punto (0,0), (ito ay nangangahulugan na ang attractor ng dynamical system ay nasa infinity), o pagkatapos ng sapat na malaking bilang ng mga pag-ulit (halimbawa. , 200-500) Z[i] nagtatagpo sa ilang punto sa bilog. Depende sa bilang ng mga pag-ulit kung kailan Z[i] nanatili sa loob ng bilog, maaari mong itakda ang kulay ng punto C(kung Z[i] nananatili sa loob ng bilog para sa isang sapat na malaking bilang ng mga pag-ulit, humihinto ang proseso ng umuulit at ang raster point na ito ay pininturahan ng itim).

3. Stochastic fractals

Ang isa pang kilalang klase ng fractals ay stochastic fractals, na nakukuha kung anuman sa mga parameter nito ay random na binago sa isang umuulit na proseso. Nagreresulta ito sa mga bagay na halos kapareho ng mga natural - mga punong walang simetriko, mga indent na baybayin, atbp. Ginagamit ang two-dimensional stochastic fractals sa pagmomodelo ng terrain at ibabaw ng dagat.
Mayroong iba pang mga klasipikasyon ng fractals, halimbawa, ang paghahati ng mga fractals sa deterministic (algebraic at geometric) at non-deterministic (stochastic).

Tungkol sa paggamit ng fractals

Una sa lahat, ang mga fractals ay isang lugar ng kamangha-manghang sining ng matematika, kapag sa tulong ng pinakasimpleng mga formula at algorithm, ang mga larawan ng hindi pangkaraniwang kagandahan at pagiging kumplikado ay nakuha! Sa mga contour ng mga itinayong imahe, madalas na hinuhulaan ang mga dahon, puno at bulaklak.

Ang isa sa mga pinakamakapangyarihang aplikasyon ng fractals ay nasa computer graphics. Una, ito ay isang fractal compression ng mga imahe, at pangalawa, ang pagbuo ng mga landscape, puno, halaman at ang pagbuo ng mga fractal texture. Ang modernong pisika at mekanika ay nagsisimula pa lamang na pag-aralan ang pag-uugali ng mga fractal na bagay. At, siyempre, ang mga fractals ay direktang inilapat sa matematika mismo.
Ang mga bentahe ng fractal image compression algorithm ay ang napakaliit na sukat ng naka-pack na file at ang maikling oras ng pagbawi ng imahe. Maaaring i-scale ang mga fractally packed na larawan nang walang hitsura ng pixelation. Ngunit ang proseso ng compression ay tumatagal ng mahabang panahon at kung minsan ay tumatagal ng ilang oras. Binibigyang-daan ka ng lossy fractal packing algorithm na itakda ang antas ng compression, katulad ng jpeg na format. Ang algorithm ay batay sa paghahanap para sa malalaking piraso ng larawan na katulad ng ilang maliliit na piraso. At kung aling piraso lamang ang katulad ng nakasulat sa output file. Kapag nag-compress, ang isang parisukat na grid ay karaniwang ginagamit (mga piraso ay mga parisukat), na humahantong sa isang bahagyang angularity kapag ibinalik ang larawan, ang isang heksagonal na grid ay libre mula sa gayong kawalan.
Nakabuo ang Iterated ng bagong format ng imahe, "Sting", na pinagsasama ang fractal at "wave" (gaya ng jpeg) lossless compression. Ang bagong format ay nagpapahintulot sa iyo na lumikha ng mga imahe na may posibilidad ng kasunod na mataas na kalidad na pag-scale, at ang dami ng mga graphic na file ay 15-20% ng dami ng hindi naka-compress na mga imahe.
Ang tendensya ng fractals na magmukhang mga bundok, bulaklak at puno ay pinagsamantalahan ng ilang graphic editor, halimbawa, fractal clouds mula sa 3D studio MAX, fractal mountains sa World Builder. Ang mga fractal na puno, bundok at buong landscape ay ibinibigay sa pamamagitan ng mga simpleng formula, madaling i-program at hindi nahuhulog sa magkahiwalay na mga tatsulok at cube kapag nilapitan.
Hindi mo maaaring balewalain ang paggamit ng mga fractals sa matematika mismo. Sa set theory, pinatutunayan ng Cantor set ang pagkakaroon ng perfect nowhere dense set; sa measure theory, ang self-affine na "Cantor ladder" na function ay isang magandang halimbawa ng isang singular measure distribution function.
Sa mechanics at physics, ang mga fractals ay ginagamit dahil sa kanilang natatanging katangian upang ulitin ang mga balangkas ng maraming natural na mga bagay. Binibigyang-daan ka ng mga fractals na tantiyahin ang mga puno, ibabaw ng bundok, at mga bitak na may mas mataas na katumpakan kaysa sa mga pagtatantya na may mga segment ng linya o polygon (na may parehong dami ng nakaimbak na data). Ang mga modelo ng fractal, tulad ng mga natural na bagay, ay may "kagaspangan", at ang ari-arian na ito ay pinapanatili sa isang arbitraryong malaking pagtaas sa modelo. Ang pagkakaroon ng pare-parehong sukat sa fractals ay ginagawang posible na ilapat ang integrasyon, potensyal na teorya, upang gamitin ang mga ito sa halip na mga karaniwang bagay sa mga equation na pinag-aralan na.
Sa pamamagitan ng fractal na diskarte, ang kaguluhan ay tumigil sa pagiging asul na kaguluhan at nakakakuha ng magandang istraktura. Ang Fractal science ay napakabata pa at may magandang kinabukasan. Ang kagandahan ng mga fractals ay malayo sa pagkaubos at magbibigay pa rin sa atin ng maraming mga obra maestra - yaong nakalulugod sa mata, at yaong nagdudulot ng tunay na kasiyahan sa isipan.

Tungkol sa pagbuo ng mga fractals

Paraan ng sunud-sunod na pagtatantya

Sa pagtingin sa larawang ito, hindi mahirap maunawaan kung paano maitatayo ang isang self-similar fractal (sa kasong ito, ang Sierpinski pyramid). Kailangan nating kumuha ng ordinaryong pyramid (tetrahedron), pagkatapos ay gupitin ang gitna nito (octahedron), bilang isang resulta kung saan nakakakuha tayo ng apat na maliliit na pyramids. Sa bawat isa sa kanila nagsasagawa kami ng parehong operasyon, at iba pa. Ito ay isang medyo walang muwang, ngunit naglalarawang paliwanag.

Isaalang-alang natin ang kakanyahan ng pamamaraan nang mas mahigpit. Hayaang magkaroon ng ilang IFS system, i.e. contraction mapping system S=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (halimbawa, para sa ating pyramid, ang mga pagmamapa ay parang S i (x)=1/2*x+o i , kung nasaan ang o i ang vertices ng tetrahedron, i=1,..,4). Pagkatapos ay pumili kami ng ilang mga compact set A 1 sa R ​​n (sa aming kaso pumili kami ng isang tetrahedron). At tinutukoy namin sa pamamagitan ng induction ang pagkakasunud-sunod ng mga set A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). Ito ay kilala na ang mga set A k na may pagtaas ng k ay tinatayang ang kinakailangang pang-akit ng system S.

Tandaan na ang bawat isa sa mga pag-ulit na ito ay isang pang-akit paulit-ulit na sistema ng mga umuulit na function(Kataga sa Ingles DigraphIFS, RIFS at saka IFS na nakadirekta sa graph) at samakatuwid ang mga ito ay madaling buuin sa aming programa.

Konstruksyon sa pamamagitan ng mga puntos o probabilistikong pamamaraan

Ito ang pinakamadaling paraan upang ipatupad sa isang computer. Para sa pagiging simple, isaalang-alang ang kaso ng isang flat self-afine set. Kaya hayaan (S

) ay ilang sistema ng mga contraction ng affine. Mappings S

kinakatawan bilang: S

Nakapirming matrix na may sukat na 2x2 at o

Dalawang-dimensional na column ng vector.

• Kumuha tayo ng isang nakapirming punto ng unang pagmamapa sa S 1 bilang panimulang punto:
  x:=o1;
  Dito ginagamit namin ang katotohanan na ang lahat ng mga fixed contraction point S 1 ,..,S m ay nabibilang sa fractal. Ang isang di-makatwirang punto ay maaaring mapili bilang isang panimulang punto at ang pagkakasunud-sunod ng mga puntos na nabuo nito ay magiging fractal, ngunit pagkatapos ay ilang dagdag na puntos ang lalabas sa screen.
• Tandaan ang kasalukuyang punto x=(x 1 ,x 2) sa screen:
  putpixel(x 1 ,x 2,15);
• Kami ay random na pumili ng isang numero j mula 1 hanggang m at muling kalkulahin ang mga coordinate ng punto x:
  j:=Random(m)+1;
  x:=S j (x);
• Pumunta kami sa hakbang 2, o, kung nakagawa kami ng sapat na malaking bilang ng mga pag-ulit, pagkatapos ay huminto kami.

Tandaan. Kung ang mga coefficients ng compression ng mga mapping S i ay iba, kung gayon ang fractal ay mapupuno ng mga puntos nang hindi pantay. Kung ang mga pagmamapa S i ay pagkakatulad, maiiwasan ito sa pamamagitan ng bahagyang pagpapakumplikado ng algorithm. Upang gawin ito, sa ika-3 hakbang ng algorithm, ang bilang na j mula 1 hanggang m ay dapat piliin na may mga probabilidad p 1 =r 1 s ,..,p m =r m s , kung saan ang r i ay tumutukoy sa mga contraction coefficient ng mga mappings S i , at ang bilang na s (tinatawag na dimensyon ng pagkakatulad) ay matatagpuan mula sa equation r 1 s +...+r m s =1. Ang solusyon ng equation na ito ay matatagpuan, halimbawa, sa pamamagitan ng pamamaraan ni Newton.

Tungkol sa mga fractals at kanilang mga algorithm

Ang Fractal ay nagmula sa Latin na pang-uri na "fractus", at sa pagsasalin ay nangangahulugang binubuo ng mga fragment, at ang katumbas na Latin na pandiwa na "frangere" ay nangangahulugang masira, iyon ay, upang lumikha ng hindi regular na mga fragment. Ang mga konsepto ng fractal at fractal geometry, na lumitaw noong huling bahagi ng dekada 70, ay naging matatag sa pang-araw-araw na buhay ng mga mathematician at programmer mula noong kalagitnaan ng dekada 80. Ang termino ay iminungkahi ni Benoit Mandelbrot noong 1975 upang sumangguni sa hindi regular ngunit magkatulad na mga istruktura na kanyang pinag-aralan. Ang pagsilang ng fractal geometry ay karaniwang nauugnay sa publikasyon noong 1977 ng aklat ni Mandelbrot na "The Fractal Geometry of Nature" - "The Fractal Geometry of Nature". Ginamit ng kanyang mga gawa ang siyentipikong resulta ng iba pang mga siyentipiko na nagtrabaho sa panahon ng 1875-1925 sa parehong larangan (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff).

Mga pagsasaayos

Hayaan akong gumawa ng ilang pagsasaayos sa mga algorithm na iminungkahi sa aklat ni H.-O. Paytgen at P.H. Richter "The Beauty of Fractals" M. 1993, para lang matanggal ang mga typo at gawing mas madaling maunawaan ang mga proseso, dahil pagkatapos pag-aralan ang mga ito, marami ang nanatiling misteryo sa akin. Sa kasamaang palad, ang mga "maiintindihan" at "simpleng" algorithm na ito ay humantong sa isang tumba-tumba na pamumuhay.

Ang pagtatayo ng mga fractals ay batay sa isang tiyak na nonlinear function ng isang kumplikadong proseso na may feedback z \u003d z 2 + c dahil ang z at c ay mga kumplikadong numero, pagkatapos ay z \u003d x + iy, c \u003d p + iq, ito ay kinakailangan upang mabulok ito sa x at y upang pumunta sa mas real para sa karaniwang tao na eroplano:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Ang eroplanong binubuo ng lahat ng mga pares (x, y) ay maaaring ituring na may mga nakapirming halaga p at q, pati na rin para sa mga dynamic. Sa unang kaso, pag-uuri-uriin ang lahat ng mga punto (x, y) ng eroplano ayon sa batas at pangkulay ang mga ito depende sa bilang ng mga pag-uulit ng function na kinakailangan upang lumabas sa umuulit na proseso o hindi pangkulay (itim) kapag ang pinapayagang maximum Ang mga pag-uulit ay nadagdagan, nakuha namin ang pagpapakita ng set ng Julia. Kung, sa kabaligtaran, tinutukoy namin ang paunang pares ng mga halaga (x, y) at sinusubaybayan ang coloristic na kapalaran nito na may pabago-bagong pagbabago ng mga halaga ng mga parameter p at q, pagkatapos ay makakakuha tayo ng mga imahe na tinatawag na Mandelbrot set.

Sa tanong ng mga algorithm ng pangkulay ng fractal.

Karaniwan ang katawan ng set ay kinakatawan bilang isang itim na patlang, kahit na malinaw na ang itim na kulay ay maaaring mapalitan ng anumang iba pa, ngunit ito rin ay isang hindi kawili-wiling resulta. Upang makakuha ng isang imahe ng isang set na pininturahan sa lahat ng mga kulay ay isang gawain na hindi malulutas gamit ang mga cyclic na operasyon, dahil ang bilang ng mga pag-ulit na bumubuo sa katawan ng set ay katumbas ng pinakamataas na posible at palaging pareho. Posibleng kulayan ang set sa iba't ibang kulay sa pamamagitan ng paggamit ng resulta ng pagsuri sa kondisyon ng paglabas mula sa loop (z_magnitude) bilang numero ng kulay, o katulad nito, ngunit sa iba pang mga mathematical na operasyon.

Paglalapat ng "fractal microscope"

upang ipakita ang hangganan ng mga phenomena.

Ang mga atraksyon ang mga sentrong nangunguna sa pakikibaka para sa pangingibabaw sa eroplano. Sa pagitan ng mga pang-akit ay may hangganan na kumakatawan sa isang pattern na umiikot. Sa pamamagitan ng pagtaas ng sukat ng pagsasaalang-alang sa loob ng mga hangganan ng set, ang isa ay makakakuha ng mga di-maliit na pattern na sumasalamin sa estado ng deterministikong kaguluhan - isang pangkaraniwang kababalaghan sa natural na mundo.

Ang mga bagay na pinag-aralan ng mga heograpo ay bumubuo ng isang sistema na may napakakomplikadong organisadong mga hangganan, na may kaugnayan kung saan ang kanilang pagpapatupad ay nagiging isang mahirap na praktikal na gawain. Ang mga natural na complex ay may mga core ng tipikal na kumikilos bilang mga pang-akit na nawawala ang kanilang kapangyarihan ng impluwensya sa teritoryo habang lumalayo ito.

Gamit ang isang fractal microscope para sa Mandelbrot at Julia set, ang isang tao ay maaaring bumuo ng isang ideya ng mga proseso ng hangganan at phenomena na pantay na kumplikado anuman ang sukat ng pagsasaalang-alang at sa gayon ay inihanda ang pang-unawa ng isang espesyalista para sa isang pulong na may pabago-bago at tila magulo. sa espasyo at oras natural na bagay, para sa pag-unawa sa fractal geometry na kalikasan. Ang maraming kulay at fractal na musika ay tiyak na mag-iiwan ng malalim na marka sa isipan ng mga mag-aaral.

Libu-libong mga publikasyon at malalaking mapagkukunan ng Internet ang nakatuon sa mga fractals, gayunpaman, para sa maraming mga espesyalista na malayo sa computer science, ang terminong ito ay tila ganap na bago. Ang mga fractals, bilang mga bagay na kinaiinteresan ng mga espesyalista sa iba't ibang larangan ng kaalaman, ay dapat makatanggap ng kanilang tamang lugar sa kurso ng computer science.

Mga halimbawa

SIERPINSKI GRID

Ito ay isa sa mga fractal na pinag-eksperimentohan ni Mandelbrot sa pagbuo ng mga konsepto ng mga dimensyon at pag-ulit ng fractal. Ang mga tatsulok na nabuo sa pamamagitan ng pagsali sa mga midpoint ng mas malaking tatsulok ay pinuputol mula sa pangunahing tatsulok upang bumuo ng isang tatsulok, na may mas maraming butas. Sa kasong ito, ang initiator ay isang malaking tatsulok at ang template ay isang operasyon upang i-cut ang mga tatsulok na katulad ng mas malaki. Maaari ka ring makakuha ng 3D na bersyon ng isang tatsulok sa pamamagitan ng paggamit ng isang ordinaryong tetrahedron at pagputol ng mas maliit na tetrahedra. Ang dimensyon ng naturang fractal ay ln3/ln2 = 1.584962501. Para makuha Sierpinski carpet, kumuha ng isang parisukat, hatiin ito sa siyam na parisukat, at gupitin ang gitna. Gayon din ang gagawin namin sa natitira, mas maliliit na parisukat. Sa huli, nabuo ang isang flat fractal grid, na walang lugar, ngunit may walang katapusang mga koneksyon. Sa spatial form nito, ang Sierpinski sponge ay binago sa isang sistema ng through forms, kung saan ang bawat through element ay patuloy na pinapalitan ng sarili nitong uri. Ang istraktura na ito ay halos kapareho sa isang seksyon ng tissue ng buto. Balang araw, ang mga paulit-ulit na istruktura ay magiging elemento ng mga istruktura ng gusali. Ang kanilang mga estadistika at dinamika, naniniwala si Mandelbrot, ay nararapat na masusing pag-aaral.

KOCH CURVE

Ang Koch curve ay isa sa mga pinaka tipikal na deterministic fractals. Ito ay naimbento noong ikalabinsiyam na siglo ng isang Aleman na matematiko na nagngangalang Helge von Koch, na, habang pinag-aaralan ang gawain nina Georg Kontor at Karl Weierstraße, ay nakatagpo ng mga paglalarawan ng ilang kakaibang mga kurba na may hindi pangkaraniwang pag-uugali. Initiator - direktang linya. Ang generator ay isang equilateral triangle, ang mga gilid nito ay katumbas ng isang third ng haba ng mas malaking segment. Ang mga tatsulok na ito ay idinaragdag sa gitna ng bawat segment nang paulit-ulit. Sa kanyang pagsasaliksik, maraming nag-eksperimento si Mandelbrot sa mga Koch curve, at nakakuha ng mga figure tulad ng Koch Islands, Koch Crosses, Koch Snowflakes, at kahit na tatlong-dimensional na representasyon ng Koch curve sa pamamagitan ng paggamit ng tetrahedron at pagdaragdag ng mas maliit na tetrahedra sa bawat mukha nito. Ang Koch curve ay may sukat na ln4/ln3 = 1.261859507.

Fractal Mandelbrot

HINDI ito ang set ng Mandelbrot na madalas mong nakikita. Ang hanay ng Mandelbrot ay batay sa mga non-linear na equation at isang kumplikadong fractal. Ito rin ay isang variant ng Koch curve, sa kabila ng katotohanan na ang bagay na ito ay hindi katulad nito. Ang initiator at generator ay iba rin sa mga ginamit upang lumikha ng mga fractals batay sa prinsipyo ng Koch curve, ngunit ang ideya ay nananatiling pareho. Sa halip na ikabit ang mga equilateral triangle sa isang curve segment, ang mga parisukat ay ikinakabit sa isang parisukat. Dahil sa ang katunayan na ang fractal na ito ay sumasakop sa eksaktong kalahati ng inilaan na espasyo sa bawat pag-ulit, mayroon itong simpleng fractal na dimensyon na 3/2 = 1.5.

PENTAGON NI DARER

Ang isang fractal ay mukhang isang grupo ng mga pentagon na pinagsama-sama. Sa katunayan, ito ay nabuo sa pamamagitan ng paggamit ng isang pentagon bilang initiator at isosceles triangles, ang ratio ng pinakamalaking gilid sa pinakamaliit na kung saan ay eksaktong katumbas ng tinatawag na golden ratio (1.618033989 o 1/(2cos72)) bilang generator . Ang mga tatsulok na ito ay pinutol mula sa gitna ng bawat pentagon, na nagreresulta sa isang hugis na parang 5 maliit na pentagon na nakadikit sa isang malaking. Ang isang variant ng fractal na ito ay maaaring makuha sa pamamagitan ng paggamit ng hexagon bilang ang initiator. Ang fractal na ito ay tinatawag na Star of David at medyo katulad ng hexagonal na bersyon ng Koch's Snowflake. Ang fractal na dimensyon ng Darer pentagon ay ln6/ln(1+g), kung saan ang g ay ang ratio ng haba ng mas malaking bahagi ng tatsulok sa haba ng mas maliit na gilid. Sa kasong ito, ang g ay ang Golden Ratio, kaya ang fractal na dimensyon ay humigit-kumulang 1.86171596. Ang fractal na dimensyon ng Star of David ay ln6/ln3 o 1.630929754.

Mga kumplikadong fractal

Sa katunayan, kung mag-zoom ka sa isang maliit na lugar ng anumang kumplikadong fractal at pagkatapos ay gagawin ang parehong sa isang maliit na lugar ng lugar na iyon, ang dalawang magnification ay magiging makabuluhang naiiba sa bawat isa. Ang dalawang larawan ay magiging magkapareho sa detalye, ngunit hindi sila magiging ganap na magkapareho.

Fig 1. Approximation ng Mandelbrot set

Ihambing, halimbawa, ang mga larawan ng set ng Mandelbrot na ipinakita dito, ang isa ay nakuha sa pamamagitan ng pagtaas ng ilang lugar ng isa pa. Tulad ng nakikita mo, sila ay ganap na hindi magkapareho, bagaman sa parehong nakikita natin ang isang itim na bilog, kung saan ang mga nagniningas na galamay ay pumunta sa iba't ibang direksyon. Ang mga elementong ito ay umuulit nang walang katiyakan sa set ng Mandelbrot sa pagbaba ng proporsyon.

Ang mga deterministikong fractals ay linear, habang ang mga kumplikadong fractals ay hindi. Dahil hindi linear, ang mga fractals na ito ay nabuo ng tinatawag ni Mandelbrot na non-linear algebraic equation. Ang isang magandang halimbawa ay ang proseso Zn+1=ZnІ + C, na kung saan ay ang equation na ginamit upang bumuo ng Mandelbrot at Julia set ng pangalawang degree. Ang paglutas ng mga mathematical equation na ito ay nagsasangkot ng kumplikado at haka-haka na mga numero. Kapag ang equation ay binibigyang kahulugan nang grapiko sa kumplikadong eroplano, ang resulta ay isang kakaibang pigura kung saan ang mga tuwid na linya ay nagiging mga kurba, ang mga epekto ng pagkakatulad sa sarili ay lumilitaw sa iba't ibang antas ng sukat, bagaman hindi walang mga deformation. Kasabay nito, ang buong larawan sa kabuuan ay hindi mahuhulaan at napakagulo.

Tulad ng makikita mo sa pamamagitan ng pagtingin sa mga larawan, ang mga kumplikadong fractals ay talagang napakakomplikado at imposibleng malikha nang walang tulong ng isang computer. Upang makakuha ng mga makukulay na resulta, ang computer na ito ay dapat na may isang malakas na math coprocessor at isang monitor na may mataas na resolution. Hindi tulad ng mga deterministikong fractals, ang mga kumplikadong fractals ay hindi kinakalkula sa 5-10 na pag-ulit. Halos bawat tuldok sa screen ng computer ay parang hiwalay na fractal. Sa panahon ng pagpoproseso ng matematika, ang bawat punto ay itinuturing bilang isang hiwalay na pattern. Ang bawat punto ay tumutugma sa isang tiyak na halaga. Ang equation ay binuo para sa bawat punto at ginagawa, halimbawa, 1000 mga pag-ulit. Upang makakuha ng medyo hindi nababagong imahe sa isang agwat ng oras na katanggap-tanggap para sa mga computer sa bahay, posible na magsagawa ng 250 pag-ulit para sa isang punto.

Karamihan sa mga fractal na nakikita natin ngayon ay maganda ang kulay. Marahil ang mga fractal na imahe ay nakakuha ng napakagandang aesthetic na halaga dahil mismo sa kanilang mga scheme ng kulay. Matapos makalkula ang equation, sinusuri ng computer ang mga resulta. Kung ang mga resulta ay nananatiling stable, o nagbabago sa paligid ng isang tiyak na halaga, ang tuldok ay karaniwang magiging itim. Kung ang halaga sa isang hakbang o iba ay may posibilidad na infinity, ang punto ay pininturahan sa ibang kulay, maaaring asul o pula. Sa prosesong ito, ang computer ay nagtatalaga ng mga kulay sa lahat ng bilis ng paggalaw.

Karaniwan, ang mga mabilis na gumagalaw na tuldok ay pininturahan ng pula, habang ang mas mabagal ay dilaw, at iba pa. Ang mga madilim na tuldok ay marahil ang pinaka-matatag.

Ang mga kumplikadong fractals ay naiiba sa mga deterministikong fractals dahil ang mga ito ay walang katapusan na kumplikado, ngunit maaaring mabuo ng isang napakasimpleng formula. Ang mga deterministikong fractals ay hindi nangangailangan ng mga formula o equation. Kumuha lamang ng ilang drawing paper at maaari kang bumuo ng isang Sierpinski sieve hanggang 3 o 4 na pag-ulit nang walang anumang kahirapan. Subukang gawin ito kasama ang maraming Julia! Mas madaling sukatin ang haba ng baybayin ng England!

MANDERBROT SET

Fig 2. Mandelbrot set

Ang Mandelbrot at Julia set ay marahil ang dalawang pinakakaraniwan sa mga kumplikadong fractals. Matatagpuan ang mga ito sa maraming siyentipikong journal, pabalat ng libro, postcard, at computer screen saver. Ang set ng Mandelbrot, na itinayo ni Benoit Mandelbrot, ay marahil ang unang asosasyon na mayroon ang mga tao kapag narinig nila ang salitang fractal. Ang fractal na ito, na kahawig ng isang card na may kumikinang na puno at mga bilog na lugar na nakakabit dito, ay nabuo ng simpleng formula na Zn+1=Zna+C, kung saan ang Z at C ay mga kumplikadong numero at ang a ay isang positibong numero.

Ang pinakakaraniwang nakikitang set ng Mandelbrot ay ang set ng 2nd degree na Mandelbrot, ibig sabihin, a=2. Ang katotohanan na ang set ng Mandelbrot ay hindi lamang Zn+1=ZnІ+C, ngunit isang fractal na ang exponent sa formula ay maaaring maging anumang positibong numero ang nakaligaw sa maraming tao. Sa pahinang ito makikita mo ang isang halimbawa ng set ng Mandelbrot para sa iba't ibang halaga ng exponent a.
Figure 3. Ang hitsura ng mga bula sa a=3.5

Ang prosesong Z=Z*tg(Z+C) ay sikat din. Salamat sa pagsasama ng tangent function, ang Mandelbrot set ay nakuha, na napapalibutan ng isang lugar na kahawig ng isang mansanas. Kapag ginagamit ang function ng cosine, nakukuha ang mga epekto ng air bubble. Sa madaling salita, mayroong isang walang katapusang bilang ng mga paraan upang i-tweak ang set ng Mandelbrot upang makagawa ng iba't ibang magagandang larawan.

MARAMING JULIA

Nakakagulat, ang Julia set ay nabuo ayon sa parehong formula bilang ang Mandelbrot set. Ang Julia set ay naimbento ng French mathematician na si Gaston Julia, kung saan pinangalanan ang set. Ang unang tanong na lumitaw pagkatapos ng isang visual na kakilala sa Mandelbrot at Julia set ay "kung ang parehong mga fractals ay nabuo ng parehong formula, bakit sila magkaiba?" Tingnan muna ang mga larawan ng set ni Julia. Kakatwa, may iba't ibang uri ng Julia sets. Kapag gumuhit ng fractal gamit ang iba't ibang mga panimulang punto (upang simulan ang proseso ng pag-ulit), iba't ibang mga imahe ang nabuo. Nalalapat lang ito sa set ni Julia.

Fig 4. Itinakda ni Julia

Bagama't hindi ito makikita sa larawan, ang isang Mandelbrot fractal ay talagang isang grupo ng Julia fractal na magkakaugnay. Ang bawat punto (o coordinate) ng set ng Mandelbrot ay tumutugma sa isang Julia fractal. Ang mga set ng Julia ay maaaring mabuo gamit ang mga puntong ito bilang mga paunang halaga sa equation na Z=ZI+C. Ngunit hindi ito nangangahulugan na kung pipili ka ng isang punto sa Mandelbrot fractal at dagdagan ito, maaari kang makakuha ng Julia fractal. Ang dalawang puntong ito ay magkapareho, ngunit sa isang mathematical na kahulugan. Kung kukunin natin ang puntong ito at kalkulahin ito ayon sa formula na ito, makukuha natin ang Julia fractal na tumutugma sa isang tiyak na punto ng Mandelbrot fractal.

fractal

Fractal (lat. fractus- durog, sira, sira) - isang geometric figure na may pag-aari ng self-similarity, iyon ay, binubuo ng ilang bahagi, na ang bawat isa ay katulad ng buong figure sa kabuuan. Sa matematika, ang mga fractals ay nauunawaan bilang mga set ng mga punto sa Euclidean space na mayroong fractional metric na dimensyon (sa kahulugan ng Minkowski o Hausdorff), o isang sukatan na dimensyon maliban sa topological. Ang Fractasm ay isang independiyenteng eksaktong agham ng pag-aaral at pag-compile ng mga fractal.

Sa madaling salita, ang mga fractals ay mga geometric na bagay na may fractional na dimensyon. Halimbawa, ang dimensyon ng isang linya ay 1, ang isang lugar ay 2, at ang isang volume ay 3. Para sa isang fractal, ang halaga ng dimensyon ay maaaring nasa pagitan ng 1 at 2 o sa pagitan ng 2 at 3. Halimbawa, ang fractal na dimensyon ng isang gusot ang bola ng papel ay humigit-kumulang 2.5. Sa matematika, mayroong isang espesyal na kumplikadong formula para sa pagkalkula ng sukat ng mga fractals. Ang mga ramifications ng tracheal tubes, ang mga dahon sa mga puno, ang mga ugat sa braso, ang ilog ay fractals. Sa simpleng mga termino, ang isang fractal ay isang geometric na pigura, isang tiyak na bahagi na kung saan ay paulit-ulit na paulit-ulit, nagbabago sa laki - ito ang prinsipyo ng pagkakatulad sa sarili. Ang mga fractals ay katulad ng kanilang mga sarili, sila ay katulad ng kanilang mga sarili sa lahat ng antas (ibig sabihin, sa anumang sukat). Maraming iba't ibang uri ng fractal. Sa prinsipyo, maaari itong mapagtatalunan na ang lahat ng bagay na umiiral sa totoong mundo ay isang fractal, maging ito man ay isang ulap o isang molekula ng oxygen.

Ang salitang "kaguluhan" ay nagmumungkahi ng isang bagay na hindi mahuhulaan, ngunit sa katunayan, ang kaguluhan ay lubos na iniutos at sumusunod sa ilang mga batas. Ang layunin ng pag-aaral ng kaguluhan at fractals ay upang mahulaan ang mga pattern na, sa unang tingin, ay maaaring mukhang hindi mahuhulaan at ganap na magulo.

Ang pioneer sa larangang ito ng kaalaman ay ang French-American mathematician, Propesor Benoit B. Mandelbrot. Noong kalagitnaan ng dekada 1960, bumuo siya ng fractal geometry, na ang layunin ay suriin ang mga sira, kulubot, at malabo na mga hugis. Ang set ng Mandelbrot (ipinapakita sa figure) ay ang unang asosasyon na mayroon ang isang tao kapag narinig niya ang salitang "fractal". Sa pamamagitan ng paraan, natukoy ni Mandelbrot na ang fractal na dimensyon ng baybayin ng England ay 1.25.

Ang mga fractals ay lalong ginagamit sa agham. Inilalarawan nila ang totoong mundo nang mas mahusay kaysa sa tradisyonal na pisika o matematika. Ang Brownian motion ay, halimbawa, ang random at magulong paggalaw ng mga dust particle na nasuspinde sa tubig. Ang ganitong uri ng paggalaw ay marahil ang pinakapraktikal na aspeto ng fractal geometry. Ang Random Brownian motion ay may dalas na tugon na maaaring magamit upang mahulaan ang mga phenomena na kinasasangkutan ng malaking halaga ng data at istatistika. Halimbawa, hinulaang ni Mandelbrot ang mga pagbabago sa presyo ng lana gamit ang Brownian motion.

Ang salitang "fractal" ay maaaring gamitin hindi lamang bilang isang termino sa matematika. Ang isang fractal sa press at sikat na literatura sa agham ay maaaring tawaging mga figure na may alinman sa mga sumusunod na katangian:

Mayroon itong di-maliit na istraktura sa lahat ng antas. Ito ang pagkakaiba sa mga regular na figure (tulad ng isang bilog, isang ellipse, ang graph ng isang makinis na function): kung isasaalang-alang namin ang isang maliit na fragment ng isang regular na figure sa isang napakalaking sukat, ito ay magmumukhang isang fragment ng isang tuwid na linya. . Para sa isang fractal, ang pag-zoom in ay hindi humahantong sa isang pagpapasimple ng istraktura, sa lahat ng mga antas ay makikita natin ang isang pantay na kumplikadong larawan.

Ito ay kapareho sa sarili o humigit-kumulang na katulad sa sarili.

Mayroon itong fractional metric na dimensyon o sukatan na dimensyon na mas mataas kaysa sa topological.

Ang pinakakapaki-pakinabang na paggamit ng fractals sa computing ay fractal data compression. Kasabay nito, ang mga larawan ay na-compress nang mas mahusay kaysa sa ginagawa ng mga maginoo na pamamaraan - hanggang sa 600:1. Ang isa pang bentahe ng fractal compression ay kapag nag-zoom in ka, walang pixelation effect na lubhang nagpapalala sa larawan. Bukod dito, ang isang fractally compressed na imahe pagkatapos ng pag-magnify ay kadalasang mas maganda kaysa dati. Alam din ng mga computer scientist na ang mga fractal ng walang katapusang kumplikado at kagandahan ay maaaring mabuo gamit ang mga simpleng formula. Ang industriya ng pelikula ay gumagamit ng malawak na teknolohiya ng fractal graphics upang lumikha ng mga makatotohanang elemento ng landscape (mga ulap, bato, at anino).

Ang pag-aaral ng turbulence sa mga daloy ay napakahusay na umaangkop sa mga fractals. Nagbibigay-daan ito sa isang mas mahusay na pag-unawa sa dinamika ng mga kumplikadong daloy. Ang apoy ay maaari ding gawing modelo gamit ang mga fractals. Ang mga buhaghag na materyales ay mahusay na kinakatawan sa fractal form dahil sa ang katunayan na mayroon silang isang napaka-komplikadong geometry. Upang magpadala ng data sa mga distansya, ginagamit ang mga hugis fractal na antenna, na lubos na nagpapababa sa laki at bigat ng mga ito. Ang mga fractals ay ginagamit upang ilarawan ang kurbada ng mga ibabaw. Ang isang hindi pantay na ibabaw ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang kumbinasyon ng dalawang magkaibang fractals.

Maraming mga bagay sa kalikasan ang may mga katangiang fractal, tulad ng mga baybayin, ulap, mga korona ng puno, mga snowflake, sistema ng sirkulasyon at sistema ng alveolar ng mga tao o hayop.

Ang mga fractals, lalo na sa eroplano, ay sikat para sa kanilang kumbinasyon ng kagandahan at kadalian ng konstruksiyon gamit ang isang computer.

Ang mga unang halimbawa ng magkakatulad na mga set na may mga hindi pangkaraniwang katangian ay lumitaw noong ika-19 na siglo (halimbawa, ang Bolzano function, ang Weierstrass function, ang Cantor set). Ang terminong "fractal" ay ipinakilala ni Benoit Mandelbrot noong 1975 at nakakuha ng malawak na katanyagan sa paglabas ng kanyang aklat na "The Fractal Geometry of Nature" noong 1977.

Ang figure sa kaliwa ay nagpapakita ng isang Darer Pentagon fractal bilang isang simpleng halimbawa, na mukhang isang bungkos ng mga pentagons na pinagsama-sama. Sa katunayan, ito ay nabuo sa pamamagitan ng paggamit ng isang pentagon bilang isang initiator at isosceles triangles, ang ratio ng pinakamalaking gilid sa pinakamaliit na kung saan ay eksaktong katumbas ng tinatawag na golden ratio (1.618033989 o 1/(2cos72°)) bilang ang generator. Ang mga tatsulok na ito ay pinutol mula sa gitna ng bawat pentagon, na nagreresulta sa isang hugis na parang 5 maliit na pentagon na nakadikit sa isang malaking.

Ang teorya ng kaguluhan ay nagsasabi na ang mga kumplikadong nonlinear na sistema ay namamana na hindi mahuhulaan, ngunit kasabay nito ay inaangkin nito na ang paraan ng pagpapahayag ng gayong hindi nahuhulaang mga sistema ay lumalabas na totoo hindi sa eksaktong pagkakapantay-pantay, ngunit sa mga representasyon ng pag-uugali ng system - sa mga graph ng mga kakaibang pang-akit na parang fractals. Kaya ang teorya ng kaguluhan, na iniisip ng marami bilang unpredictability, ay lumalabas na ang agham ng predictability kahit na sa mga pinaka-hindi matatag na sistema. Ang doktrina ng mga dynamical system ay nagpapakita na ang mga simpleng equation ay maaaring makabuo ng ganitong magulong pag-uugali kung saan ang system ay hindi na bumalik sa isang matatag na estado at walang regular na lilitaw sa parehong oras. Kadalasan ang gayong mga sistema ay kumikilos nang normal hanggang sa isang tiyak na halaga ng isang pangunahing parameter, pagkatapos ay nakakaranas ng isang paglipat kung saan mayroong dalawang posibilidad para sa karagdagang pag-unlad, pagkatapos ay apat, at sa wakas ay isang magulong hanay ng mga posibilidad.

Ang mga scheme ng mga prosesong nagaganap sa mga teknikal na bagay ay may malinaw na tinukoy na fractal na istraktura. Ang istraktura ng minimum na teknikal na sistema (TS) ay nagpapahiwatig ng daloy sa loob ng TS ng dalawang uri ng mga proseso - ang pangunahing at sumusuporta, at ang dibisyong ito ay may kondisyon at kamag-anak. Anumang proseso ay maaaring ang pangunahing proseso na may kaugnayan sa mga sumusuporta, at alinman sa mga sumusuportang proseso ay maaaring ituring na pangunahin kaugnay ng "kanilang" mga sumusuportang proseso. Ang mga bilog sa diagram ay nagpapahiwatig ng mga pisikal na epekto na nagsisiguro sa daloy ng mga prosesong iyon, kung saan hindi kinakailangan na espesyal na lumikha ng "sariling" TS. Ang mga prosesong ito ay resulta ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga substance, field, substance at field. Upang maging tumpak, ang pisikal na epekto ay isang sasakyan, ang prinsipyo kung saan hindi natin maimpluwensyahan, at hindi natin gusto o walang pagkakataon na makagambala sa istraktura nito.

Ang daloy ng pangunahing proseso na ipinapakita sa diagram ay tinitiyak ng pagkakaroon ng tatlong sumusuportang proseso na siyang pangunahing para sa TS na bumubuo ng mga ito. Para sa kapakanan ng pagiging patas, tandaan namin na para sa paggana ng kahit isang minimal na TS, tatlong proseso ay malinaw na hindi sapat, i.e. napaka-exaggerated ng scheme.

Ang lahat ay hindi kasing simple ng ipinapakita sa diagram. Ang isang kapaki-pakinabang (kinakailangan sa isang tao) na proseso ay hindi maaaring maisagawa nang may 100% na kahusayan. Ang nawala na enerhiya ay ginugol sa paglikha ng mga nakakapinsalang proseso - pag-init, panginginig ng boses, atbp. Bilang isang resulta, kahanay sa kapaki-pakinabang na proseso, ang mga nakakapinsala ay lumitaw. Hindi laging posible na palitan ang isang "masamang" proseso ng isang "mabuti", kaya ang mga bagong proseso ay kailangang ayusin upang mabayaran ang mga kahihinatnan na nakakapinsala sa system. Ang isang tipikal na halimbawa ay ang pangangailangang labanan ang friction, na pumipilit sa isa na ayusin ang mga mapanlikhang lubrication scheme, gumamit ng mga mamahaling anti-friction na materyales, o gumugol ng oras sa pagpapadulas ng mga bahagi at piyesa o palitan ang mga ito sa pana-panahon.

Kaugnay ng pagkakaroon ng hindi maiiwasang impluwensya ng isang nababagong Kapaligiran, maaaring kailanganin ang isang kapaki-pakinabang na proseso na kontrolin. Ang pamamahala ay maaaring isagawa kapwa sa tulong ng mga awtomatikong device, at direkta ng isang tao. Ang diagram ng proseso ay talagang isang hanay ng mga espesyal na utos, i.e. algorithm. Ang kakanyahan (paglalarawan) ng bawat utos ay isang kumbinasyon ng isang solong kapaki-pakinabang na proseso, kasama ng mga nakakapinsalang proseso at isang hanay ng mga kinakailangang proseso ng kontrol. Sa ganoong algorithm, ang hanay ng mga sumusuportang proseso ay isang ordinaryong subroutine - at dito rin kami nakakahanap ng isang fractal. Ang pamamaraan ng R. Koller, na nilikha ng isang-kapat ng isang siglo na ang nakalipas, ay ginagawang posible na lumikha ng mga sistema na may medyo limitadong hanay ng 12 pares lamang ng mga pag-andar (mga proseso).

Self-similar set na may hindi pangkaraniwang katangian sa matematika

Simula sa pagtatapos ng ika-19 na siglo, ang mga halimbawa ng mga bagay na katulad sa sarili na may mga katangian ng pathological mula sa punto ng view ng klasikal na pagsusuri ay lumitaw sa matematika. Kabilang dito ang mga sumusunod:

ang hanay ng Cantor ay isang wala kahit saan siksik at hindi mabilang na perpektong hanay. Sa pamamagitan ng pagbabago sa pamamaraan, maaari ding makakuha ng kahit saan na siksik na hanay ng positibong haba.

ang Sierpinski triangle ("tablecloth") at ang Sierpinski carpet ay mga analogue ng Cantor set sa eroplano.

Ang espongha ni Menger - isang analogue ng Cantor na itinakda sa tatlong-dimensional na espasyo;

mga halimbawa ni Weierstrass at van der Waerden ng walang pinagkaiba na tuluy-tuloy na function.

Koch curve - isang non-self-intersecting na tuloy-tuloy na curve ng walang katapusang haba na walang tangent sa anumang punto;

ang Peano curve ay isang tuluy-tuloy na kurba na dumadaan sa lahat ng punto ng isang parisukat.

ang trajectory ng isang Brownian particle ay wala ring pagkakaiba sa posibilidad na 1. Ang dimensyon ng Hausdorff nito ay dalawa

Recursive procedure para sa pagkuha ng fractal curves

Konstruksyon ng Koch curve

Mayroong isang simpleng recursive procedure para sa pagkuha ng fractal curves sa isang eroplano. Tinutukoy namin ang isang di-makatwirang putol na linya na may limitadong bilang ng mga link, na tinatawag na generator. Susunod, pinapalitan namin ang bawat segment dito ng isang generator (mas tiyak, isang sirang linya na katulad ng isang generator). Sa nagresultang sirang linya, muli naming pinapalitan ang bawat segment ng generator. Sa pagpapatuloy sa infinity, sa limitasyon ay nakakakuha tayo ng fractal curve. Ang figure sa kanan ay nagpapakita ng unang apat na hakbang ng pamamaraang ito para sa Koch curve.

Ang mga halimbawa ng naturang mga kurba ay:

kurba ng dragon,

Koch curve (Koch snowflake),

Levy Curve,

kurba ng minkowski,

Hilbert Curve,

Sirang (curve) dragon (Fractal Harter-Hateway),

Peano curve.

Gamit ang isang katulad na pamamaraan, ang isang Pythagorean tree ay nakuha.

Fractal bilang Mga Fixed Points ng Contraction Mappings

Ang pag-aari ng self-similarity ay maaaring mathematically rigorously ipahayag bilang mga sumusunod. Hayaan ang mga mapa ng contraction ng eroplano. Isaalang-alang ang sumusunod na pagmamapa sa set ng lahat ng compact (closed and bounded) subset ng eroplano:

Maaaring ipakita na ang pagmamapa ay isang contraction mapping sa hanay ng mga compact set na may Hausdorff metric. Samakatuwid, sa pamamagitan ng teorama ni Banach, ang pagmamapa na ito ay may natatanging takdang punto. Ang fixed point na ito ang magiging fractal natin.

Ang recursive procedure para sa pagkuha ng fractal curves na inilarawan sa itaas ay isang espesyal na kaso ng construction na ito. Sa loob nito, ang lahat ng mga pagmamapa ay mga pagkakatulad na pagmamapa, at ang bilang ng mga link ng generator.

Para sa Sierpinski triangle at ang mapping , , ay mga homotheties na may mga sentro sa vertices ng isang regular na triangle at coefficient 1/2. Madaling makita na ang Sierpinski triangle ay nagbabago sa sarili nito sa ilalim ng pagmamapa.

Sa kaso kapag ang mga pagmamapa ay mga pagbabagong pagkakapareho sa mga coefficient , ang dimensyon ng fractal (sa ilalim ng ilang karagdagang teknikal na kondisyon) ay maaaring kalkulahin bilang isang solusyon sa equation . Kaya, para sa Sierpinski triangle na nakukuha namin .

Ayon sa parehong Banach theorem, simula sa anumang compact set at paglalapat dito ng mga pag-ulit ng pagmamapa , nakakakuha kami ng isang sequence ng mga compact set na nagtatagpo (sa kahulugan ng Hausdorff metric) sa aming fractal.

Fractal sa kumplikadong dinamika

Itinakda ni Julia

Isa pang set ni Julia

Ang mga fractals ay natural na lumitaw sa pag-aaral ng mga nonlinear dynamical system. Ang pinaka-pinag-aralan na kaso ay kapag ang dynamical system ay tinukoy sa pamamagitan ng mga pag-ulit ng isang polynomial o isang holomorphic function ng isang kumplikadong variable sa eroplano. Ang mga unang pag-aaral sa lugar na ito ay nagsimula noong simula ng ika-20 siglo at nauugnay sa mga pangalan nina Fatou at Julia.

Hayaan F(z) - polinomyal, z Ang 0 ay isang kumplikadong numero. Isaalang-alang ang sumusunod na pagkakasunud-sunod: z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …

Interesado kami sa pag-uugali ng pagkakasunud-sunod na ito ayon sa kaugalian namin n sa kawalang-hanggan. Ang pagkakasunud-sunod na ito ay maaaring:

magsikap para sa kawalang-hanggan

magsikap para sa panghuli

nagpapakita ng paikot na pag-uugali sa limitasyon, halimbawa: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

maging magulo, ibig sabihin, hindi ipakita ang alinman sa tatlong uri ng pag-uugali na nabanggit.

Mga hanay ng mga halaga z 0 , kung saan ang pagkakasunud-sunod ay nagpapakita ng isang partikular na uri ng pag-uugali, pati na rin ang mga hanay ng mga punto ng bifurcation sa pagitan ng iba't ibang uri, ay kadalasang may mga fractal na katangian.

Kaya, ang Julia set ay ang set ng bifurcation points para sa polynomial F(z)=z 2 +c(o iba pang katulad na function), iyon ay, ang mga halagang iyon z 0 , kung saan ang pag-uugali ng sequence ( z n) ay maaaring magbago nang malaki sa arbitraryong maliliit na pagbabago z 0 .

Ang isa pang pagpipilian para sa pagkuha ng mga fractal set ay ang pagpasok ng isang parameter sa polynomial F(z) at isinasaalang-alang ang hanay ng mga halaga ng parameter kung saan ang pagkakasunud-sunod ( z n) ay nagpapakita ng isang tiyak na pag-uugali para sa isang nakapirming z 0 . Kaya, ang hanay ng Mandelbrot ay ang hanay ng lahat kung saan ( z n) para sa F(z)=z 2 +c at z 0 ay hindi napupunta sa infinity.

Ang isa pang kilalang halimbawa ng ganitong uri ay ang mga pool ng Newton.

Sikat na lumikha ng magagandang graphic na mga imahe batay sa kumplikadong dinamika sa pamamagitan ng pagkulay ng mga punto ng eroplano depende sa pag-uugali ng kaukulang mga dynamic na sistema. Halimbawa, upang makadagdag sa set ng Mandelbrot, maaari mong kulayan ang mga puntos depende sa bilis ng pagsusumikap ( z n) hanggang sa infinity (tinukoy, sabihin nating, bilang pinakamaliit na bilang n, kung saan | z n| lumampas sa isang nakapirming malaking halaga A.

Ang mga biomorph ay mga fractal na binuo batay sa kumplikadong dinamika at kahawig ng mga buhay na organismo.

Stochastic fractals

Randomized fractal batay sa Julia set

Ang mga likas na bagay ay kadalasang may fractal na hugis. Para sa kanilang pagmomodelo, maaaring gamitin ang mga stochastic (random) na fractals. Mga halimbawa ng stochastic fractal:

trajectory ng Brownian motion sa eroplano at sa kalawakan;

hangganan ng trajectory ng Brownian motion sa eroplano. Noong 2001, pinatunayan nina Lawler, Schramm, at Werner ang haka-haka ni Mandelbrot na ang dimensyon nito ay 4/3.

Ang mga ebolusyon ng Schramm-Löwner ay conformally invariant fractal curves na lumabas sa mga kritikal na two-dimensional na modelo ng statistical mechanics, halimbawa, sa Ising model at percolation.

iba't ibang uri ng randomized fractals, iyon ay, fractals na nakuha gamit ang isang recursive procedure, kung saan ang isang random na parameter ay ipinakilala sa bawat hakbang. Ang plasma ay isang halimbawa ng paggamit ng naturang fractal sa computer graphics.

Sa kalikasan

Front view ng trachea at bronchi

puno ng bronchial

network ng mga daluyan ng dugo

Aplikasyon

Natural Sciences

Sa physics, natural na umusbong ang mga fractals kapag nagmomodelo ng mga nonlinear na proseso, tulad ng magulong daloy ng fluid, kumplikadong proseso ng diffusion-adsorption, apoy, ulap, atbp. Ginagamit ang mga fractals kapag nagmomodelo ng mga porous na materyales, halimbawa, sa petrochemistry. Sa biology, ginagamit ang mga ito upang magmodelo ng mga populasyon at upang ilarawan ang mga sistema ng mga panloob na organo (sistema ng mga daluyan ng dugo).

Inhinyero ng radyo

mga fractal antenna

Ang paggamit ng fractal geometry sa disenyo ng mga antenna device ay unang inilapat ng American engineer na si Nathan Cohen, na noon ay nanirahan sa downtown Boston, kung saan ipinagbabawal na mag-install ng mga panlabas na antenna sa mga gusali. Pinutol ni Nathan ang isang figure sa anyo ng isang Koch curve mula sa aluminum foil at idinikit ito sa isang sheet ng papel, pagkatapos ay ilakip ito sa receiver. Itinatag ni Cohen ang kanyang sariling kumpanya at inilunsad ang kanilang serial production.

Informatics

Compression ng Imahe

Pangunahing artikulo: Fractal Compression Algorithm

puno ng fractal

Mayroong mga algorithm ng compression ng imahe gamit ang mga fractals. Ang mga ito ay batay sa ideya na sa halip na ang imahe mismo, maaari kang mag-imbak ng isang contraction map kung saan ang larawang ito (o ilang malapit dito) ay isang nakapirming punto. Ang isa sa mga variant ng algorithm na ito ay ginamit [ hindi natukoy na pinagmulan 895 araw] ng Microsoft noong ini-publish ang encyclopedia nito, ngunit hindi malawakang ginagamit ang mga algorithm na ito.

Computer graphics

Isa pang fractal tree

Ang mga fractals ay malawakang ginagamit sa mga computer graphics upang bumuo ng mga larawan ng mga natural na bagay tulad ng mga puno, palumpong, landscape ng bundok, ibabaw ng dagat, at iba pa. Mayroong maraming mga programa na ginagamit upang makabuo ng mga fractal na imahe, tingnan ang Fractal Generator (program).

mga desentralisadong network

Ang sistema ng pagtatalaga ng IP address ng Netsukuku ay gumagamit ng prinsipyo ng fractal information compression upang compact na mag-imbak ng impormasyon tungkol sa mga network node. Ang bawat node sa network ng Netsukuku ay nag-iimbak lamang ng 4 KB ng impormasyon tungkol sa katayuan ng mga kalapit na node, habang ang anumang bagong node ay kumokonekta sa pangkalahatang network nang hindi nangangailangan ng sentral na regulasyon ng pamamahagi ng mga IP address, na, halimbawa, ay tipikal para sa Internet. Kaya, ang prinsipyo ng fractal information compression ay ginagarantiyahan ang isang ganap na desentralisado, at samakatuwid, ang pinaka-matatag na operasyon ng buong network.

Ang mga katangian ng fractal ay hindi isang kapritso at hindi isang bunga ng idle fantasy ng mga mathematician. Sa pamamagitan ng pag-aaral ng mga ito, natututo tayong makilala at mahulaan ang mahahalagang katangian ng mga bagay at phenomena sa ating paligid, na dati, kung hindi man lubusang binabalewala, ay tinatantya lamang ng humigit-kumulang, nang may husay, sa pamamagitan ng mata. Halimbawa, sa pamamagitan ng paghahambing ng mga fractal na dimensyon ng mga kumplikadong signal, encephalograms, o heart murmurs, maaaring masuri ng mga doktor ang ilang malalang sakit sa maagang yugto, kung kailan matutulungan pa ang pasyente. Gayundin, ang analyst, na naghahambing sa nakaraang pag-uugali ng mga presyo, sa simula ng pagbuo ng modelo, ay maaaring mahulaan ang karagdagang pag-unlad nito, sa gayon ay maiiwasan ang mga malalaking pagkakamali sa pagtataya.

Iregularidad ng fractals

Ang unang pag-aari ng fractals ay ang kanilang iregularidad. Kung ang isang fractal ay inilalarawan ng isang function, kung gayon ang pag-aari ng iregularidad sa mga termino sa matematika ay mangangahulugan na ang naturang function ay hindi naiba-iba, iyon ay, hindi makinis sa anumang punto. Sa totoo lang, ito ang may pinakadirektang kaugnayan sa merkado. Ang pagbabagu-bago ng presyo ay kung minsan ay pabagu-bago at pabagu-bago na nalilito sa maraming mangangalakal. Ang aming gawain ay ayusin ang lahat ng kaguluhang ito at dalhin ito sa kaayusan.

Alam mo ba na: kumukuha mula 1st hanggang 10th place sa demo account contest "Isang virtual na katotohanan" mula sa Alpari, maaari kang manalo mula $70 hanggang $500. Ang halaga ng premyo ay magagamit para sa withdrawal nang walang mga paghihigpit. Ang mga nanalo na kumuha ng mga premyo mula ika-11 hanggang ika-30 ay makakatanggap ng mula 1000 hanggang 10000 Dagdag puntos .

Pagkakatulad sa sarili ng mga fractals

Ang pangalawang pag-aari ay nagsasabi na ang isang fractal ay isang bagay na may ari-arian ng pagkakatulad sa sarili. Ito ay isang recursive na modelo, ang bawat bahagi nito ay inuulit sa pagbuo nito ang pagbuo ng buong modelo bilang isang buo at muling ginawa sa iba't ibang mga antas nang walang nakikitang mga pagbabago. Gayunpaman, nangyayari pa rin ang mga pagbabago, na maaaring makaapekto nang malaki sa ating pang-unawa sa bagay.

Ang pagkakatulad sa sarili ay nangangahulugan na ang bagay ay walang katangiang sukat: kung mayroon itong sukat, agad mong makikilala ang pinalaki na kopya ng fragment mula sa orihinal na larawan. Ang mga bagay na katulad sa sarili ay may walang katapusang bilang ng mga kaliskis para sa lahat ng panlasa. Ang kakanyahan ng pagkakatulad sa sarili ay maaaring ipaliwanag sa pamamagitan ng sumusunod na halimbawa. Isipin na mayroon kang larawan ng isang "totoong" geometric na linya, "haba na walang lapad", tulad ng tinukoy ni Euclid sa linya, at nakikipaglaro ka sa isang kaibigan, sinusubukang hulaan kung ipinapakita niya sa iyo ang orihinal na larawan (orihinal) o isang larawan ng anumang fragment ng isang tuwid na linya. Gaano man kahirap subukan, hindi mo magagawang makilala ang orihinal mula sa pinalaki na kopya ng fragment, ang tuwid na linya ay nakaayos sa parehong paraan sa lahat ng mga bahagi nito, ito ay katulad sa kanyang sarili, ngunit ang kahanga-hangang pag-aari nito ay medyo nakatago sa pamamagitan ng hindi kumplikadong istraktura ng tuwid na linya mismo, ang "pagkatuwid" nito (Larawan 7).

Kung hindi mo rin makilala ang isang snapshot ng ilang bagay mula sa isang maayos na pinalaki na snapshot ng alinman sa mga fragment nito, kung gayon mayroon kang isang bagay na kapareho sa sarili. Ang lahat ng mga fractal na may hindi bababa sa ilang symmetry ay magkatulad sa sarili. At nangangahulugan ito na ang ilang mga fragment ng kanilang istraktura ay mahigpit na paulit-ulit sa ilang mga spatial na pagitan. Malinaw, ang mga bagay na ito ay maaaring maging anumang kalikasan, at ang kanilang hitsura at hugis ay nananatiling hindi nagbabago anuman ang sukat. Isang halimbawa ng isang self-similar fractal:

Sa pananalapi, ang konseptong ito ay hindi isang walang basehang abstraction, ngunit isang teoretikal na pagsasalaysay ng isang praktikal na merkado na nagsasabi—ibig sabihin, na ang mga paggalaw ng isang stock o isang pera ay mababaw na magkatulad, anuman ang takdang panahon at presyo. Hindi masasabi ng tagamasid sa pamamagitan ng hitsura ng graph kung ang data ay para sa lingguhan, araw-araw, o oras-oras na pagbabago.

Siyempre, hindi lahat ng fractal ay may ganoong regular, walang katapusang paulit-ulit na istraktura tulad ng mga magagandang exhibit ng hinaharap na museo ng fractal art, na ipinanganak mula sa imahinasyon ng mga mathematician at artist. Maraming fractals na matatagpuan sa kalikasan (fault surface ng mga bato at metal, clouds, currency quotes, turbulent flows, foam, gels, soot particle contours, etc.) ay walang geometric na pagkakatulad, ngunit matigas ang ulo na nagpaparami sa bawat fragment ng statistical properties ng kabuuan. Ang mga fractals na may non-linear na anyo ng pag-unlad ay pinangalanan ni Mandelbrot bilang multifractals. Ang multifractal ay isang quasi-fractal na bagay na may variable na dimensyon ng fractal. Naturally, ang mga tunay na bagay at proseso ay mas mahusay na inilarawan ng multifractals.

Ang ganitong istatistikal na pagkakatulad sa sarili, o pagkakatulad sa sarili sa karaniwan, ay nagpapakilala sa mga fractals mula sa iba't ibang natural na bagay.

Isaalang-alang ang isang halimbawa ng pagkakatulad sa sarili sa merkado ng foreign exchange:

Sa mga figure na ito, nakikita natin na magkapareho sila, habang may ibang sukat ng oras, sa Fig. at ang 15 minutong sukat, sa Fig. b lingguhang sukat ng presyo. Tulad ng nakikita mo, ang mga quote na ito ay walang kakayahang ganap na ulitin ang bawat isa, gayunpaman, maaari naming isaalang-alang ang mga ito na magkatulad.

Kahit na ang pinakasimpleng fractals - geometrically self-similar fractals - ay may mga hindi pangkaraniwang katangian. Halimbawa, ang von Koch snowflake ay may perimeter na walang katapusang haba, bagaman nililimitahan nito ang isang may hangganang lugar (Larawan 9). Bilang karagdagan, ito ay napakasakit na imposibleng gumuhit ng isang tangent dito sa anumang punto ng tabas (sasabihin ng isang matematiko na ang isang von Koch snowflake ay wala saanman naiba, iyon ay, hindi makinis sa anumang punto).

Nalaman ni Mandelbrot na ang mga resulta ng fractional na pagsukat ay nananatiling pare-pareho para sa iba't ibang antas ng pagpapahusay ng iregularidad ng bagay. Sa madaling salita, mayroong regularidad (katumpakan, kaayusan) para sa anumang iregularidad. Kapag tinatrato natin ang isang bagay bilang random, ipinahihiwatig nito na hindi natin nauunawaan ang kalikasan ng pagiging random na ito. Sa mga termino ng merkado, nangangahulugan ito na ang pagbuo ng parehong mga tipikal na pormasyon ay dapat mangyari sa iba't ibang time frame. Ang isang minutong chart ay maglalarawan ng fractal formation sa parehong paraan gaya ng buwanan. Ang "self-similarity" na ito na makikita sa mga chart ng commodity at financial market ay nagpapakita ng lahat ng mga palatandaan na ang mga aksyon ng merkado ay mas malapit sa asal paradigm ng "kalikasan" kaysa sa pag-uugali ng pang-ekonomiya, pangunahing pagsusuri.

Sa mga figure na ito, mahahanap mo ang kumpirmasyon ng nasa itaas. Sa kaliwa ay isang graph na may isang minutong sukat, sa kanan ay isang lingguhan. Ang mga pares ng pera ng USD/Yen (Larawan 9 (a)) at Euro/Dollar (Larawan 9 (b)) ay ipinapakita dito na may iba't ibang sukat ng presyo. Kahit na ang pares ng JPY/USD na currency ay may ibang pagkasumpungin kaugnay ng EUR/USD, maaari nating obserbahan ang parehong istraktura ng paggalaw ng presyo.

dimensyon ng fractal

Ang pangatlong katangian ng mga fractals ay ang mga fractal na bagay ay may dimensyon maliban sa Euclidean (sa madaling salita, isang topological na dimensyon). Ang dimensyon ng fractal ay isang sukatan ng pagiging kumplikado ng curve. Sa pamamagitan ng pagsusuri sa paghahalili ng mga seksyon na may iba't ibang dimensyon ng fractal at kung paano naaapektuhan ang system ng panlabas at panloob na mga salik, matututong mahulaan ang pag-uugali ng system. At ang pinakamahalaga, upang masuri at mahulaan ang hindi matatag na mga kondisyon.

Sa arsenal ng modernong matematika, natagpuan ni Mandelbrot ang isang maginhawang sukatan ng dami ng di-kasakdalan ng mga bagay - ang sinuosity ng contour, ang kulubot ng ibabaw, ang fracturing at porosity ng volume. Ito ay iminungkahi ng dalawang mathematician - Felix Hausdorff (1868-1942) at Abram Samoylovich Besikovich (1891-1970). Ngayon karapat-dapat itong taglayin ang maluwalhating mga pangalan ng mga tagalikha nito (dimensyon ng Hausdorff-Besikovich) - dimensyon ng Hausdorff-Besikovich. Ano ang dimensyon at bakit kailangan natin ito kaugnay sa pagsusuri ng mga pamilihang pinansyal? Bago iyon, alam lang namin ang isang uri ng dimensyon - topological (Larawan 11). Ang salitang dimensyon mismo ay nagpapahiwatig kung gaano karaming mga sukat ang isang bagay. Para sa isang segment, isang tuwid na linya, ito ay katumbas ng 1, i.e. mayroon lang tayong isang dimensyon, ang haba ng isang segment o isang tuwid na linya. Para sa isang eroplano, ang dimensyon ay magiging 2, dahil mayroon kaming dalawang-dimensional na dimensyon, haba at lapad. Para sa espasyo o solidong mga bagay, ang dimensyon ay 3: haba, lapad, at taas.

Kunin natin ang halimbawa ng mga laro sa kompyuter. Kung ang laro ay ginawa sa 3D graphics, kung gayon ito ay spatial at voluminous, kung sa 2D graphics, ang mga graphics ay ipinapakita sa isang eroplano (Fig. 10).

Ang pinaka-hindi pangkaraniwan (mas tamang sabihin - hindi karaniwan) sa dimensyon ng Hausdorff-Besikovich ay maaaring tumagal hindi lamang ng mga integer, bilang isang topological na dimensyon, kundi pati na rin ang mga fractional na halaga. Katumbas ng isa para sa isang tuwid na linya (infinite, semi-infinite, o para sa isang finite segment), ang Hausdorff-Besicovitch na dimensyon ay tumataas habang tumataas ang tortuosity, habang ang topological na dimensyon ay matigas ang ulo na binabalewala ang lahat ng pagbabagong nagaganap sa linya.

Tinutukoy ng dimensyon ang komplikasyon ng isang set (halimbawa, isang tuwid na linya). Kung ito ay isang curve na may topological na dimensyon na katumbas ng 1 (isang tuwid na linya), kung gayon ang curve ay maaaring kumplikado sa pamamagitan ng isang walang katapusang bilang ng mga bends at mga sanga sa isang lawak na ang fractal na dimensyon nito ay lumalapit sa dalawa, i.e. pupunuin ang halos buong eroplano (Fig. 12)

Sa pamamagitan ng pagtaas ng halaga nito, ang dimensyon ng Hausdorff-Besikovich ay hindi nagbabago nang biglaan, dahil ang topological na dimensyon ay gagawin "sa lugar nito", ang paglipat mula 1 kaagad hanggang 2. Ang dimensyon ng Hausdorff-Besikovich - at ito sa unang tingin ay maaaring mukhang hindi pangkaraniwan at nakakagulat, kumukuha ng mga fractional na halaga : katumbas ng isa para sa isang tuwid na linya, ito ay nagiging 1.15 para sa isang bahagyang paliko na linya, 1.2 para sa isang mas paliko-liko na linya, 1.5 para sa isang napakaliit na linya, at iba pa.

Ito ay upang bigyang-diin ang kakayahan ng dimensyon ng Hausdorff-Besikovich na kumuha ng mga fractional, non-integer na mga halaga na si Mandelbrot ay nakabuo ng kanyang sariling neologism, na tinawag itong fractal na dimensyon. Kaya, ang isang fractal na dimensyon (hindi lamang Hausdorff-Besikovich, ngunit anumang iba pa) ay isang dimensyon na maaaring tumagal ng hindi kinakailangang mga halaga ng integer, kundi pati na rin ang mga fractional.

Para sa linear geometric fractals, ang dimensyon ay nagpapakilala sa kanilang pagkakatulad sa sarili. Isaalang-alang ang Fig. 17(A), ang linya ay binubuo ng N=4 na mga segment, na ang bawat isa ay may haba na r = 1/3. Bilang resulta, nakukuha namin ang ratio:

D = logN/log(1/r)

Ang sitwasyon ay medyo naiiba kapag pinag-uusapan natin ang tungkol sa multifractals (non-linear). Dito nawawalan ng kahulugan ang dimensyon bilang isang kahulugan ng pagkakapareho ng isang bagay at tinukoy sa pamamagitan ng iba't ibang generalizations, higit na hindi natural kaysa sa natatanging dimensyon ng mga bagay na magkatulad sa sarili.

Sa foreign exchange market, ang dimensyon ay maaaring makilala ang pagkasumpungin ng mga panipi ng presyo. Ang bawat pares ng pera ay may sariling pag-uugali sa mga tuntunin ng mga presyo. Para sa pares ng Pound/Dollar (Fig. 13(a)) ito ay mas kalmado kaysa sa Euro/Dollar (Fig. 13(b)). Ang pinaka-kagiliw-giliw na bagay ay ang mga currency na ito ay gumagalaw na may parehong istraktura sa mga antas ng presyo, gayunpaman, mayroon silang iba't ibang mga dimensyon, na maaaring makaapekto sa intraday trading at mga pagbabago sa mga modelo na lumalampas sa walang karanasan na hitsura.

Sa fig. Ipinapakita ng Figure 14 ang dimensyon na may kaugnayan sa modelo ng matematika, upang mas malalim mong maarok ang kahulugan ng terminong ito. Tandaan na ang lahat ng tatlong figure ay nagpapakita ng parehong cycle. Sa fig. at ang dimensyon ay 1.2, sa Fig. b, ang sukat ay 1.5, at sa Fig. sa 1.9. Ito ay makikita na sa isang pagtaas sa dimensyon, ang pang-unawa ng bagay ay nagiging mas kumplikado, ang amplitude ng mga oscillations ay tumataas.

Sa mga pamilihan sa pananalapi, ang sukat ay makikita hindi lamang bilang pagkasumpungin ng presyo, kundi pati na rin bilang isang detalye ng mga pag-ikot (mga alon). Dahil dito, matutukoy natin kung ang isang alon ay kabilang sa isang tiyak na sukat ng oras. Sa fig. Ipinapakita ng 15 ang pares ng Euro/Dollar sa pang-araw-araw na sukat ng presyo. Magbayad ng pansin, maaari mong malinaw na makita ang nabuo na cycle at ang simula ng isang bago, mas malaking cycle. Ang paglipat sa oras-oras na sukat at pag-zoom in sa isa sa mga cycle, makikita natin ang mas maliliit na cycle, at bahagi ng isang malaki na matatagpuan sa D1 (Fig. 16). Pagdedetalye ng loop, i.e. ang kanilang dimensyon ay nagpapahintulot sa amin na matukoy mula sa mga paunang kondisyon kung paano maaaring umunlad ang sitwasyon sa hinaharap. Masasabi natin na: ang fractal na dimensyon ay sumasalamin sa scale invariance property ng set na isinasaalang-alang.

Ang konsepto ng invariance ay ipinakilala ni Mandelbrot mula sa salitang "sealant" - scalable, i.e. kapag ang isang bagay ay may pag-aari ng invariance, mayroon itong iba't ibang mga sukat ng pagpapakita.

Sa fig. 16 bilog A ay nagha-highlight ng isang mini-cycle (detalyadong wave), bilog B - isang wave ng isang mas malaking cycle. Ito ay tiyak na dahil sa dimensyon na hindi natin palaging matukoy ang LAHAT ng mga cycle sa parehong sukat ng presyo.

Pag-uusapan natin ang tungkol sa mga problema ng pagtukoy at pagbuo ng mga katangian ng mga di-pana-panahong mga siklo sa seksyong "Mga siklo sa merkado ng dayuhang palitan", ngayon ang pangunahing bagay para sa amin ay maunawaan kung paano at saan ang dimensyon ay nagpapakita ng sarili sa mga pamilihan sa pananalapi.

Kaya, maaari nating sabihin na ang mga fractals bilang mga modelo ay ginagamit kapag ang tunay na bagay ay hindi maaaring katawanin sa anyo ng mga klasikal na modelo. At nangangahulugan ito na nakikipag-ugnayan tayo sa mga non-linear na relasyon at ang hindi tiyak (random) na katangian ng data. Ang nonlinearity sa ideological na kahulugan ay nangangahulugan ng multivariance ng mga landas ng pag-unlad, ang pagkakaroon ng isang pagpipilian mula sa mga alternatibong landas at isang tiyak na bilis ng ebolusyon, pati na rin ang hindi maibabalik na mga proseso ng ebolusyon. Ang nonlinearity sa mathematical sense ay nangangahulugang isang tiyak na uri ng mathematical equation (nonlinear differential equation) na naglalaman ng mga gustong dami sa mga kapangyarihang higit sa isa o mga coefficient na nakadepende sa mga katangian ng medium. Isang simpleng halimbawa ng isang non-linear dynamical system:

Si Johnny ay lumalaki ng 2 pulgada sa isang taon. Ipinapaliwanag ng system na ito kung paano nagbabago ang taas ni Johnny sa paglipas ng panahon. Hayaan ang x(n) ang taas ni Johnny ngayong taon. Hayaang isulat ang kanyang paglaki sa susunod na taon bilang x (n + 1). Pagkatapos ay maaari nating isulat ang dynamical system sa anyo ng isang equation:

x(n+1) = x(n) + 2.

Kita mo? Hindi ba ito simpleng matematika? Kung ipasok natin ang taas ni Johnny ngayon x (n) = 38 pulgada, pagkatapos ay sa kanang bahagi ng equation makuha natin ang taas ni Johnny sa susunod na taon, x (n+1) = 40 pulgada:

x(n+1) = x(n) + 2 = 38 + 2 = 40.

Ang paglipat mula kanan pakaliwa sa isang equation ay tinatawag na pag-ulit (repetition). Maaari nating ulitin muli ang equation sa pamamagitan ng pagpasok ng bagong taas ni Johnny na 40 pulgada sa tamang bahagi ng equation (i.e. x(n) = 40) at makuha natin ang x(n+1) = 42. Kung inuulit natin (ulitin) ang equation 3 beses, nakuha namin ang taas ni Johnny sa 3 taon, ibig sabihin ay 44 pulgada, simula sa taas na 38 pulgada.

Ito ay isang deterministikong dynamic na sistema. Kung gusto nating gawin itong non-deterministic (stochastic), maaari tayong gumawa ng modelong tulad nito: Si Johnny ay lumalaki ng 2 pulgada sa isang taon, higit pa o mas kaunti, at isulat ang equation bilang:

x(n+1) = x(n) + 2 + e

kung saan ang e ay isang maliit na error (maliit na may kaugnayan sa 2), ay kumakatawan sa ilang probability distribution.

Bumalik tayo sa orihinal na deterministic equation. Ang orihinal na equation, x(n+1) = x(n) + 2, ay linear. Ang ibig sabihin ng linear ay nagdaragdag ka ng mga variable o constants, o nagpaparami ng mga variable sa pamamagitan ng constants. Halimbawa, ang equation

z(n+l) = z(n) + 5 y(n) -2 x(n)

ay linear. Ngunit kung i-multiply mo ang mga variable, o itataas ang mga ito sa isang kapangyarihan na higit sa isa, ang equation (system) ay magiging non-linear. Halimbawa, ang equation

x(n+1) = x(n) 2

ay hindi linear dahil ang x(n) ay parisukat. Ang equation

ay non-linear dahil ang dalawang variable, x at y, ay pinarami.

Kapag nag-apply kami ng mga klasikal na modelo (halimbawa, trend, regression, atbp.), sinasabi namin na ang hinaharap ng isang bagay ay natatanging tinutukoy, i.e. ganap na nakasalalay sa mga paunang kondisyon at pumapayag sa isang malinaw na hula. Maaari mong independiyenteng gawin ang isa sa mga modelong ito sa Excel. Ang isang halimbawa ng isang klasikal na modelo ay maaaring ilarawan bilang isang patuloy na bumababa o tumataas na kalakaran. At maaari nating mahulaan ang pag-uugali nito, alam ang nakaraan ng bagay (ang paunang data para sa pagmomodelo). At ang mga fractals ay ginagamit sa kaso kung ang bagay ay may ilang mga pagpipilian para sa pag-unlad at ang estado ng system ay tinutukoy ng posisyon kung saan ito kasalukuyang matatagpuan. Ibig sabihin, sinusubukan nating gayahin ang isang magulong pag-unlad. Ang sistemang ito ay ang interbank foreign exchange market.

Isaalang-alang natin ngayon kung paano makukuha ng isang tao mula sa isang tuwid na linya ang tinatawag nating fractal, kasama ang mga likas na katangian nito.

Sa fig. 17(A) ay nagpapakita ng Koch curve. Kumuha ng segment ng linya, ang haba nito = 1, i.e. topological na dimensyon pa rin. Ngayon ay hahatiin natin ito sa tatlong bahagi (bawat 1/3 ng haba), at alisin ang pangatlo sa gitna. Ngunit papalitan natin ang gitnang ikatlong bahagi ng dalawang segment (bawat 1/3 ng haba), na maaaring katawanin bilang dalawang panig ng isang equilateral triangle. Ito ang ikalawang yugto (b) ng disenyo na inilalarawan sa fig. 17(A). Sa puntong ito mayroon kaming 4 na mas maliit na bahagi, bawat 1/3 ng haba, kaya ang buong haba ay 4(1/3) = 4/3. Pagkatapos ay ulitin namin ang prosesong ito para sa bawat isa sa 4 na mas maliit na lobe ng linya. Ito ang ikatlong yugto (c). Bibigyan tayo nito ng 16 na mas maliliit na segment ng linya, bawat 1/9 ng haba. Kaya ang buong haba ay 16/9 o (4/3) 2 . Bilang resulta, nakakuha kami ng fractional na dimensyon. Ngunit hindi lamang nito nakikilala ang nagresultang istraktura mula sa isang tuwid na linya. Ito ay naging katulad sa sarili at imposibleng gumuhit ng tangent sa alinman sa mga punto nito (Larawan 17 (B)).

Nilalaman

Ano ang pagkakatulad ng isang puno, dalampasigan, ulap, o mga daluyan ng dugo sa ating kamay? Sa unang tingin, maaaring mukhang ang lahat ng mga bagay na ito ay walang pagkakatulad. Gayunpaman, sa katunayan, mayroong isang pag-aari ng istraktura na likas sa lahat ng mga nakalistang bagay: sila ay magkatulad sa sarili. Mula sa sanga, pati na rin mula sa puno ng puno, ang mas maliliit na proseso ay umaalis, mula sa kanila - kahit na mas maliit, atbp., iyon ay, ang isang sanga ay katulad ng buong puno. Ang sistema ng sirkulasyon ay nakaayos sa isang katulad na paraan: ang mga arteriole ay umalis mula sa mga arterya, at mula sa kanila - ang pinakamaliit na mga capillary kung saan ang oxygen ay pumapasok sa mga organo at tisyu. Tingnan natin ang mga satellite images ng baybayin ng dagat: makikita natin ang mga look at peninsulas; tingnan natin ito, ngunit mula sa isang mata ng ibon: makikita natin ang mga look at kapa; ngayon isipin na tayo ay nakatayo sa dalampasigan at tumitingin sa ating mga paa: palaging may mga maliliit na bato na mas nakausli sa tubig kaysa sa iba. Ibig sabihin, ang baybayin ay nananatiling katulad ng sarili nito kapag naka-zoom in. Tinawag ng American mathematician na si Benoit Mandelbrot (kahit na itinaas sa France) ang pag-aari na ito ng fractality ng mga bagay, at ang mga naturang bagay mismo - fractals (mula sa Latin na fractus - nasira).

Ang konseptong ito ay walang mahigpit na kahulugan. Samakatuwid, ang salitang "fractal" ay hindi isang termino sa matematika. Karaniwan, ang fractal ay isang geometric figure na nakakatugon sa isa o higit pa sa mga sumusunod na katangian: Ito ay may isang kumplikadong istraktura sa anumang magnification (hindi katulad, halimbawa, isang tuwid na linya, ang anumang bahagi nito ay ang pinakasimpleng geometric figure - isang segment). Ito ay (humigit-kumulang) kapareho sa sarili. Mayroon itong fractional na Hausdorff (fractal) na dimensyon, na mas malaki kaysa sa topological. Maaaring itayo gamit ang mga recursive na pamamaraan.

Geometry at Algebra

Ang pag-aaral ng mga fractals sa pagliko ng ika-19 at ika-20 na siglo ay mas episodiko kaysa sa sistematiko, dahil ang mga naunang matematiko ay pangunahing nag-aral ng "magandang" mga bagay na maaaring pag-aralan gamit ang mga pangkalahatang pamamaraan at teorya. Noong 1872, ang German mathematician na si Karl Weierstrass ay bumuo ng isang halimbawa ng isang tuluy-tuloy na function na wala saanman naiba. Gayunpaman, ang pagbuo nito ay ganap na abstract at mahirap maunawaan. Samakatuwid, noong 1904, ang Swede na si Helge von Koch ay nakabuo ng isang tuluy-tuloy na kurba na walang tangent kahit saan, at ito ay medyo simple upang iguhit ito. Ito ay naka-out na ito ay may mga katangian ng isang fractal. Ang isang variation ng curve na ito ay tinatawag na Koch snowflake.

Ang mga ideya ng pagkakatulad sa sarili ng mga numero ay kinuha ng Pranses na si Paul Pierre Levy, ang hinaharap na tagapagturo ng Benoit Mandelbrot. Noong 1938, ang kanyang artikulong "Plane and Spatial Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole" ay nai-publish, kung saan inilarawan ang isa pang fractal - ang Lévy C-curve. Ang lahat ng mga fractals na ito na nakalista sa itaas ay maaaring may kundisyon na maiugnay sa isang klase ng mga constructive (geometric) fractals.

Ang isa pang klase ay dynamic (algebraic) fractals, na kinabibilangan ng Mandelbrot set. Ang unang pananaliksik sa direksyong ito ay nagsimula sa simula ng ika-20 siglo at nauugnay sa mga pangalan ng French mathematician na sina Gaston Julia at Pierre Fatou. Noong 1918, halos dalawang daang pahina ng memoir ni Julia, na nakatuon sa mga pag-ulit ng mga kumplikadong rational function, ay nai-publish, kung saan inilarawan ang mga set ni Julia - isang buong pamilya ng mga fractals na malapit na nauugnay sa set ng Mandelbrot. Ang gawaing ito ay ginawaran ng premyo ng French Academy, ngunit hindi ito naglalaman ng isang solong paglalarawan, kaya imposibleng pahalagahan ang kagandahan ng mga natuklasang bagay. Sa kabila ng katotohanan na ang gawaing ito ay naging tanyag kay Julia sa mga mathematician noong panahong iyon, mabilis itong nakalimutan. Muli, nabaling ang atensyon dito makalipas lamang ang kalahating siglo sa pagdating ng mga kompyuter: sila ang nagpakita ng kayamanan at kagandahan ng mundo ng mga fractals.

Mga sukat ng fractal

Tulad ng alam mo, ang dimensyon (bilang ng mga sukat) ng isang geometric figure ay ang bilang ng mga coordinate na kinakailangan upang matukoy ang posisyon ng isang punto na nakahiga sa figure na ito.
Halimbawa, ang posisyon ng isang punto sa isang kurba ay tinutukoy ng isang coordinate, sa isang ibabaw (hindi kinakailangang isang eroplano) ng dalawang coordinate, sa tatlong-dimensional na espasyo ng tatlong coordinate.
Mula sa isang mas pangkalahatang matematikal na punto ng view, ang dimensyon ay maaaring tukuyin tulad ng sumusunod: isang pagtaas sa mga linear na dimensyon, sabihin nating, dalawang beses, para sa isang-dimensional (mula sa topological point of view) na mga bagay (segment) ay humahantong sa pagtaas ng laki (haba. ) sa pamamagitan ng isang kadahilanan ng dalawa, para sa dalawang-dimensional (parisukat) ang parehong pagtaas sa mga linear na sukat ay humahantong sa isang pagtaas sa laki (lugar) ng 4 na beses, para sa tatlong-dimensional (kubo) - ng 8 beses. Iyon ay, ang dimensyon na "tunay" (tinatawag na Hausdorff) ay maaaring kalkulahin bilang ratio ng logarithm ng pagtaas sa "laki" ng isang bagay sa logarithm ng pagtaas sa linear na laki nito. Iyon ay, para sa isang segment D=log (2)/log (2)=1, para sa isang eroplano D=log (4)/log (2)=2, para sa isang volume D=log (8)/log (2 )=3.
Kalkulahin natin ngayon ang sukat ng Koch curve, para sa pagtatayo kung saan ang segment ng yunit ay nahahati sa tatlong pantay na bahagi at ang gitnang pagitan ay pinalitan ng isang equilateral triangle na walang segment na ito. Sa pagtaas ng mga linear na sukat ng minimum na segment ng tatlong beses, ang haba ng Koch curve ay tumataas sa log (4) / log (3) ~ 1.26. Iyon ay, ang dimensyon ng Koch curve ay fractional!

Agham at sining

Noong 1982, ang aklat ni Mandelbrot na "The Fractal Geometry of Nature" ay nai-publish, kung saan ang may-akda ay nakolekta at na-systematize ang halos lahat ng impormasyon tungkol sa mga fractals na magagamit sa oras na iyon at ipinakita ito sa isang madali at naa-access na paraan. Ginawa ni Mandelbrot ang pangunahing diin sa kanyang pagtatanghal hindi sa napakabigat na mga pormula at mga konstruksyon sa matematika, ngunit sa geometric na intuwisyon ng mga mambabasa. Salamat sa mga ilustrasyon na nabuo sa computer at mga makasaysayang kwento, kung saan mahusay na natunaw ng may-akda ang pang-agham na bahagi ng monograph, ang libro ay naging isang bestseller, at ang mga fractals ay naging kilala sa pangkalahatang publiko. Ang kanilang tagumpay sa mga hindi mathematician ay higit sa lahat dahil sa ang katunayan na sa tulong ng napakasimpleng mga konstruksyon at mga formula na kahit isang mag-aaral sa high school ay maaaring maunawaan, ang mga imahe ng kamangha-manghang pagiging kumplikado at kagandahan ay nakuha. Kapag ang mga personal na computer ay naging sapat na malakas, kahit na ang isang buong trend sa sining ay lumitaw - fractal painting, at halos anumang may-ari ng computer ay maaaring gawin ito. Ngayon sa Internet madali mong mahahanap ang maraming mga site na nakatuon sa paksang ito.

Scheme para sa pagkuha ng Koch curve

Digmaan at Kapayapaan

Tulad ng nabanggit sa itaas, ang isa sa mga likas na bagay na may fractal properties ay ang baybayin. Ang isang kawili-wiling kwento ay konektado dito, o sa halip, sa isang pagtatangka na sukatin ang haba nito, na naging batayan ng artikulong pang-agham ni Mandelbrot, at inilarawan din sa kanyang aklat na "The Fractal Geometry of Nature". Pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang eksperimento na itinakda ni Lewis Richardson, isang napakatalino at sira-sira na mathematician, physicist at meteorologist. Isa sa mga direksyon ng kanyang pananaliksik ay isang pagtatangka upang mahanap ang isang matematikal na paglalarawan ng mga sanhi at posibilidad ng isang armadong labanan sa pagitan ng dalawang bansa. Kabilang sa mga parameter na kanyang isinasaalang-alang ay ang haba ng karaniwang hangganan sa pagitan ng dalawang naglalabanang bansa. Nang mangolekta siya ng data para sa mga numerical na eksperimento, nalaman niya na sa iba't ibang mapagkukunan ang data sa karaniwang hangganan ng Spain at Portugal ay malaki ang pagkakaiba. Ito ay humantong sa kanya sa sumusunod na pagtuklas: ang haba ng mga hangganan ng bansa ay nakasalalay sa pinuno kung saan namin sinusukat ang mga ito. Kung mas maliit ang sukat, magiging mas mahaba ang hangganan. Ito ay dahil sa ang katunayan na sa mas mataas na pagpapalaki posible na isaalang-alang ang higit pa at higit pang mga liko ng baybayin, na dati nang hindi pinansin dahil sa pagkamagaspang ng mga sukat. At kung, sa bawat pag-zoom, ang dati nang hindi nabilang na mga liko ng mga linya ay nabuksan, kung gayon ito ay lumalabas na ang haba ng mga hangganan ay walang hanggan! Totoo, sa katunayan hindi ito nangyayari - ang katumpakan ng aming mga sukat ay may hangganan. Ang paradox na ito ay tinatawag na Richardson effect.

Nakabubuo (geometric) fractals

Ang algorithm para sa pagbuo ng constructive fractal sa pangkalahatang kaso ay ang mga sumusunod. Una sa lahat, kailangan natin ng dalawang angkop na geometric na hugis, tawagin natin silang base at fragment. Sa unang yugto, ang batayan ng hinaharap na fractal ay inilalarawan. Pagkatapos ang ilan sa mga bahagi nito ay pinalitan ng isang fragment na kinuha sa isang angkop na sukat - ito ang unang pag-ulit ng konstruksiyon. Pagkatapos, sa resultang figure, ang ilang bahagi ay muling nagbabago sa mga figure na katulad ng isang fragment, at iba pa. Kung ipagpapatuloy natin ang prosesong ito nang walang katiyakan, pagkatapos ay sa limitasyon ay makakakuha tayo ng isang fractal.

Isaalang-alang ang prosesong ito gamit ang halimbawa ng Koch curve (tingnan ang sidebar sa nakaraang pahina). Ang anumang curve ay maaaring kunin bilang batayan ng Koch curve (para sa Koch snowflake, ito ay isang tatsulok). Ngunit kinukulong namin ang aming sarili sa pinakasimpleng kaso - isang segment. Ang fragment ay isang putol na linya na ipinapakita sa tuktok ng figure. Pagkatapos ng unang pag-ulit ng algorithm, sa kasong ito, ang orihinal na segment ay mag-tutugma sa fragment, pagkatapos ang bawat isa sa mga bahagi ng bumubuo nito ay papalitan mismo ng isang putol na linya na katulad ng fragment, at iba pa. Ipinapakita ng figure ang unang apat hakbang ng prosesong ito.

Ang wika ng matematika: dynamic (algebraic) fractals

Ang mga fractals ng ganitong uri ay lumitaw sa pag-aaral ng mga nonlinear dynamical system (samakatuwid ang pangalan). Ang pag-uugali ng naturang sistema ay maaaring ilarawan ng isang kumplikadong nonlinear function (polynomial) f(z). Kumuha tayo ng ilang paunang punto z0 sa kumplikadong eroplano (tingnan ang sidebar). Ngayon isaalang-alang ang isang walang katapusang pagkakasunod-sunod ng mga numero sa kumplikadong eroplano, ang bawat isa ay nakuha mula sa nauna: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). Depende sa paunang puntong z0, maaaring magkaiba ang pagkilos ng naturang sequence: may posibilidad na infinity bilang n -> ∞; magtagpo sa ilang dulong punto; cyclically kumuha ng isang bilang ng mga nakapirming halaga; mas kumplikadong mga opsyon ay posible.

Mga kumplikadong numero

Ang kumplikadong numero ay isang numero na binubuo ng dalawang bahagi - tunay at haka-haka, iyon ay, ang pormal na kabuuan x + iy (x at y dito ay tunay na mga numero). ako ang tinatawag na. imaginary unit, ibig sabihin, isang numero na nakakatugon sa equation i^ 2 = -1. Sa mga kumplikadong numero, ang mga pangunahing pagpapatakbo ng matematika ay tinukoy - karagdagan, pagpaparami, paghahati, pagbabawas (tanging ang operasyon ng paghahambing ay hindi tinukoy). Upang magpakita ng mga kumplikadong numero, madalas na ginagamit ang isang geometric na representasyon - sa eroplano (tinatawag itong kumplikado), ang tunay na bahagi ay naka-plot kasama ang abscissa axis, at ang haka-haka na bahagi kasama ang ordinate axis, habang ang kumplikadong numero ay tumutugma sa isang punto. na may Cartesian coordinate x at y.

Kaya, ang anumang punto z ng kumplikadong eroplano ay may sariling katangian ng pag-uugali sa panahon ng mga pag-ulit ng function na f (z), at ang buong eroplano ay nahahati sa mga bahagi. Bukod dito, ang mga punto na nakahiga sa mga hangganan ng mga bahaging ito ay may mga sumusunod na pag-aari: para sa isang di-makatwirang maliit na pag-aalis, ang likas na katangian ng kanilang pag-uugali ay nagbabago nang malaki (ang mga nasabing punto ay tinatawag na mga punto ng bifurcation). Kaya, lumalabas na ang mga hanay ng mga punto na may isang partikular na uri ng pag-uugali, pati na rin ang mga hanay ng mga punto ng bifurcation, ay kadalasang may mga katangian ng fractal. Ito ang mga Julia set para sa function na f(z).

pamilya ng dragon

Sa pamamagitan ng pag-iiba-iba ng base at fragment, makakakuha ka ng nakamamanghang iba't ibang mga constructive fractals.
Bukod dito, ang mga katulad na operasyon ay maaaring isagawa sa tatlong-dimensional na espasyo. Ang mga halimbawa ng volumetric fractals ay ang "Menger's sponge", "Sierpinski's pyramid" at iba pa.
Ang pamilya ng mga dragon ay tinutukoy din sa mga constructive fractals. Minsan sila ay tinutukoy ng pangalan ng mga natuklasan bilang "mga dragon ng Heiwei-Harter" (kamukha nila ang mga dragon na Tsino sa kanilang hugis). Mayroong ilang mga paraan upang mabuo ang curve na ito. Ang pinakasimpleng at pinaka-halata sa kanila ay ito: kailangan mong kumuha ng sapat na mahabang strip ng papel (mas manipis ang papel, mas mabuti), at ibaluktot ito sa kalahati. Pagkatapos ay ibaluktot muli ito sa kalahati sa parehong direksyon tulad ng unang pagkakataon. Pagkatapos ng ilang pag-uulit (kadalasan pagkatapos ng lima o anim na tiklop ang strip ay nagiging masyadong makapal upang maingat na ibaluktot pa), kailangan mong ituwid ang strip pabalik, at subukang bumuo ng 90˚ anggulo sa mga fold. Pagkatapos ang curve ng dragon ay lalabas sa profile. Siyempre, ito ay magiging isang pagtatantya lamang, tulad ng lahat ng aming mga pagtatangka na ilarawan ang mga fractal na bagay. Ang computer ay nagbibigay-daan sa iyo upang ilarawan ang marami pang mga hakbang sa prosesong ito, at ang resulta ay isang napakagandang pigura.

Ang set ng Mandelbrot ay medyo naiiba. Isaalang-alang ang function na fc (z) = z 2 +c, kung saan ang c ay isang kumplikadong numero. Bumuo tayo ng sequence ng function na ito na may z0=0, depende sa parameter c, maaari itong mag-diverge sa infinity o manatiling may hangganan. Bukod dito, ang lahat ng mga halaga ng c kung saan ang pagkakasunud-sunod na ito ay nakatali sa Mandelbrot set. Ito ay pinag-aralan nang detalyado ni Mandelbrot mismo at iba pang mga mathematician, na natuklasan ang maraming mga kagiliw-giliw na katangian ng set na ito.

Ito ay makikita na ang mga kahulugan ng Julia at Mandelbrot set ay magkatulad sa bawat isa. Sa katunayan, ang dalawang set na ito ay malapit na nauugnay. Ibig sabihin, ang set ng Mandelbrot ay ang lahat ng mga halaga ng kumplikadong parameter c kung saan ang set ng Julia fc (z) ay konektado (tinatawag na konektado ang isang set kung hindi ito mahahati sa dalawang di-nagsalubong na bahagi, na may ilang karagdagang mga kondisyon).

fractals at buhay

Sa ngayon, ang teorya ng fractals ay malawakang ginagamit sa iba't ibang larangan ng aktibidad ng tao. Bilang karagdagan sa isang purong pang-agham na bagay para sa pananaliksik at ang nabanggit na fractal painting, ang mga fractals ay ginagamit sa teorya ng impormasyon upang i-compress ang graphic na data (dito, ang self-similarity property ng fractals ay pangunahing ginagamit - pagkatapos ng lahat, upang matandaan ang isang maliit na fragment ng isang pagguhit at mga pagbabagong kung saan maaari mong makuha ang natitirang bahagi ng mga bahagi, nangangailangan ng mas kaunting memorya kaysa sa pag-imbak ng buong file). Sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga random na perturbation sa mga formula na tumutukoy sa fractal, makakakuha ang isang tao ng stochastic fractal na napaka-masasabing naghahatid ng ilang mga tunay na bagay - mga elemento ng relief, ang ibabaw ng mga anyong tubig, ilang mga halaman, na matagumpay na ginagamit sa pisika, heograpiya at computer graphics upang makamit higit na pagkakatulad ng mga kunwa na bagay sa tunay. Sa radio electronics, sa huling dekada, nagsimula silang gumawa ng mga antenna na may fractal na hugis. Gumagamit ng maliit na espasyo, nagbibigay sila ng medyo mataas na kalidad na pagtanggap ng signal. Gumagamit ang mga ekonomista ng mga fractals upang ilarawan ang mga curve ng pagbabagu-bago ng pera (ang ari-arian na ito ay natuklasan ni Mandelbrot mahigit 30 taon na ang nakakaraan). Ito ay nagtatapos sa maikling iskursiyon na ito sa mundo ng mga fractals, kamangha-mangha sa kagandahan at pagkakaiba-iba nito.

Ang mga fractals ay kilala sa halos isang siglo, ay mahusay na pinag-aralan at may maraming mga aplikasyon sa buhay. Ang hindi pangkaraniwang bagay na ito ay batay sa isang napaka-simpleng ideya: isang walang katapusang bilang ng mga pigura sa kagandahan at pagkakaiba-iba ay maaaring makuha mula sa medyo simpleng mga istraktura gamit lamang ang dalawang operasyon - pagkopya at pag-scale.

Ang konseptong ito ay walang mahigpit na kahulugan. Samakatuwid, ang salitang "fractal" ay hindi isang termino sa matematika. Ito ay karaniwang pangalan ng isang geometric na figure na nakakatugon sa isa o higit pa sa mga sumusunod na katangian:

• ay may isang kumplikadong istraktura sa anumang magnification;
• ay (humigit-kumulang) kapareho sa sarili;
• ay may fractional na Hausdorff (fractal) na dimensyon , na mas malaki kaysa sa topological;
• maaaring itayo sa pamamagitan ng mga recursive procedure.

Sa pagliko ng ika-19 at ika-20 siglo, ang pag-aaral ng mga fractals ay mas episodiko kaysa sa sistematiko, dahil ang mga naunang mathematician ay pangunahing nag-aral ng "magandang" mga bagay na maaaring pag-aralan gamit ang mga pangkalahatang pamamaraan at teorya. Noong 1872, ang German mathematician na si Karl Weierstrass ay gumawa ng isang halimbawa ng tuluy-tuloy na function na wala saanman naiba. Gayunpaman, ang pagbuo nito ay ganap na abstract at mahirap maunawaan. Samakatuwid, noong 1904, ang Swede na si Helge von Koch ay nakabuo ng isang tuluy-tuloy na kurba na walang tangent kahit saan, at ito ay medyo simple upang iguhit ito. Ito ay naka-out na ito ay may mga katangian ng isang fractal. Ang isang variation ng curve na ito ay tinatawag na Koch snowflake.

Ang mga ideya ng pagkakatulad sa sarili ng mga numero ay kinuha ng Pranses na si Paul Pierre Levy, ang hinaharap na tagapagturo ng Benoit Mandelbrot. Noong 1938, ang kanyang artikulong "Plane and Spatial Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole" ay nai-publish, kung saan inilarawan ang isa pang fractal - ang Lévy C-curve. Ang lahat ng nasa itaas na fractals ay maaaring may kondisyong maiugnay sa isang klase ng constructive (geometric) fractals.

Ang isa pang klase ay dynamic (algebraic) fractals, na kinabibilangan ng Mandelbrot set. Ang mga unang pag-aaral sa direksyong ito ay nagsimula sa simula ng ika-20 siglo at nauugnay sa mga pangalan ng mga Pranses na matematiko na sina Gaston Julia at Pierre Fatou. Noong 1918, halos dalawang daang pahina ng gawa ni Julia ang nai-publish, na nakatuon sa mga pag-ulit ng mga kumplikadong rational function, kung saan inilarawan ang mga set ni Julia - isang buong pamilya ng mga fractals na malapit na nauugnay sa set ng Mandelbrot. Ang gawaing ito ay ginawaran ng premyo ng French Academy, ngunit hindi ito naglalaman ng isang solong paglalarawan, kaya imposibleng pahalagahan ang kagandahan ng mga natuklasang bagay. Sa kabila ng katotohanan na ang gawaing ito ay naging tanyag kay Julia sa mga mathematician noong panahong iyon, mabilis itong nakalimutan.

Makalipas lamang ang kalahating siglo, sa pagdating ng mga kompyuter, nabaling ang atensyon sa gawain nina Julia at Fatou: sila ang nagpakita ng kayamanan at kagandahan ng mundo ng mga fractals. Pagkatapos ng lahat, hindi kailanman maaaring tingnan ni Fatou ang mga larawan na kilala na natin ngayon bilang mga larawan ng set ng Mandelbrot, dahil hindi maaaring gawin nang manu-mano ang kinakailangang bilang ng mga kalkulasyon. Ang unang taong gumamit ng computer para dito ay si Benoit Mandelbrot.

Noong 1982, ang aklat ni Mandelbrot na "The Fractal Geometry of Nature" ay nai-publish, kung saan ang may-akda ay nakolekta at na-systematize ang halos lahat ng impormasyon tungkol sa mga fractals na magagamit sa oras na iyon at ipinakita ito sa isang madali at naa-access na paraan. Ginawa ni Mandelbrot ang pangunahing diin sa kanyang pagtatanghal hindi sa napakabigat na mga pormula at mga konstruksyon sa matematika, ngunit sa geometric na intuwisyon ng mga mambabasa. Salamat sa mga ilustrasyon na nabuo sa computer at mga makasaysayang kwento, kung saan mahusay na natunaw ng may-akda ang pang-agham na bahagi ng monograph, ang libro ay naging isang bestseller, at ang mga fractals ay naging kilala sa pangkalahatang publiko. Ang kanilang tagumpay sa mga hindi mathematician ay higit sa lahat dahil sa ang katunayan na sa tulong ng napakasimpleng mga konstruksyon at mga formula na kahit isang mag-aaral sa high school ay maaaring maunawaan, ang mga imahe ng kamangha-manghang pagiging kumplikado at kagandahan ay nakuha. Kapag ang mga personal na computer ay naging sapat na malakas, kahit na ang isang buong trend sa sining ay lumitaw - fractal painting, at halos anumang may-ari ng computer ay maaaring gawin ito. Ngayon sa Internet madali mong mahahanap ang maraming mga site na nakatuon sa paksang ito.