Kadalasan, maraming tao ang nagtataka kung bakit hindi magagamit ang dibisyon sa pamamagitan ng zero? Sa artikulong ito ay pag-uusapan natin nang detalyado ang tungkol sa kung saan nagmula ang panuntunang ito, pati na rin kung anong mga aksyon ang maaaring gawin nang may zero.

Sa pakikipag-ugnayan sa

Ang Zero ay maaaring tawaging isa sa mga pinaka-kagiliw-giliw na numero. Walang kahulugan ang numerong ito, nangangahulugan ito ng kawalan ng laman sa totoong kahulugan ng salita. Gayunpaman, kung ang isang zero ay inilagay sa tabi ng anumang numero, ang halaga ng numerong ito ay magiging ilang beses na mas malaki.

Ang numero mismo ay napaka misteryoso. Ginamit ito ng mga sinaunang Mayan. Para sa mga Mayan, ang zero ay nangangahulugang "simula," at ang mga araw ng kalendaryo ay nagsimula rin mula sa zero.

Ang isang napaka-kagiliw-giliw na katotohanan ay ang zero sign at ang uncertainty sign ay magkatulad. Sa pamamagitan nito, nais ng mga Mayan na ipakita na ang zero ay kaparehong tanda ng kawalan ng katiyakan. Sa Europa, ang pagtatalaga na zero ay lumitaw kamakailan.

Alam din ng maraming tao ang pagbabawal na nauugnay sa zero. Kahit sino ay magsasabi niyan hindi mo maaaring hatiin sa zero. Sinasabi ito ng mga guro sa paaralan, at kadalasang kinukuha ng mga bata ang kanilang salita para dito. Karaniwan, ang mga bata ay maaaring hindi interesadong malaman ito, o alam nila kung ano ang mangyayari kung, nang marinig ang isang mahalagang pagbabawal, agad nilang itatanong, "Bakit hindi mo mahati sa zero?" Ngunit kapag tumanda ka, nagising ang iyong interes, at gusto mong malaman ang higit pa tungkol sa mga dahilan ng pagbabawal na ito. Gayunpaman, mayroong makatwirang ebidensya.

Mga aksyon na may zero

Una kailangan mong matukoy kung anong mga aksyon ang maaaring gawin nang may zero. Umiiral ilang uri ng mga aksyon:

• Pagdaragdag;
• Multiplikasyon;
• Pagbabawas;
• Dibisyon (zero ayon sa numero);
• Exponentiation.

Mahalaga! Kung magdaragdag ka ng zero sa anumang numero sa panahon ng pagdaragdag, ang numerong ito ay mananatiling pareho at hindi babaguhin ang numerical value nito. Ang parehong bagay ay mangyayari kung ibawas mo ang zero sa anumang numero.

Kapag ang pagpaparami at paghahati ng mga bagay ay medyo naiiba. Kung i-multiply ang anumang numero sa zero, pagkatapos ay magiging zero din ang produkto.

Tingnan natin ang isang halimbawa:

Isulat natin ito bilang karagdagan:

Mayroong limang mga zero sa kabuuan, kaya ito ay lumabas na

Subukan nating i-multiply ng isa sa zero. Magiging zero din ang resulta.

Ang zero ay maaari ding hatiin ng anumang iba pang numero na hindi katumbas nito. Sa kasong ito, ang magiging resulta ay , ang halaga nito ay magiging zero din. Ang parehong panuntunan ay nalalapat sa mga negatibong numero. Kung ang zero ay hinati sa isang negatibong numero, ang resulta ay zero.

Maaari ka ring bumuo ng anumang numero sa zero degree. Sa kasong ito, ang resulta ay magiging 1. Mahalagang tandaan na ang expression na "zero sa kapangyarihan ng zero" ay ganap na walang kahulugan. Kung susubukan mong itaas ang zero sa anumang kapangyarihan, makakakuha ka ng zero. Halimbawa:

Ginagamit namin ang multiplication rule at makakuha ng 0.

Kaya posible bang hatiin sa zero?

Kaya, narito tayo sa pangunahing tanong. Posible bang hatiin sa zero? sa lahat? At bakit hindi natin mahati ang isang numero sa zero, dahil ang lahat ng iba pang aksyon na may zero ay umiiral at inilalapat? Upang masagot ang tanong na ito ay kinakailangan na bumaling sa mas mataas na matematika.

Magsimula tayo sa kahulugan ng konsepto, ano ang zero? Ang mga guro ng paaralan ay nagsasabi na ang zero ay wala. kawalan ng laman. Ibig sabihin, kapag sinabi mo na mayroon kang 0 handle, ibig sabihin ay wala ka talagang handle.

Sa mas mataas na matematika, ang konsepto ng "zero" ay mas malawak. Hindi ito nangangahulugan ng kawalan ng laman. Dito ang zero ay tinatawag na kawalan ng katiyakan dahil kung gumawa tayo ng kaunting pagsasaliksik, lumalabas na kapag hinati natin ang zero sa zero, maaari tayong mapunta sa anumang iba pang numero, na maaaring hindi kinakailangang maging zero.

Alam mo ba na ang mga simpleng operasyong arithmetic na iyong pinag-aralan sa paaralan ay hindi gaanong pantay sa isa't isa? Ang pinakapangunahing mga aksyon ay pagdaragdag at pagpaparami.

Para sa mga mathematician, ang mga konsepto ng "" at "pagbabawas" ay hindi umiiral. Sabihin natin: kung ibawas mo ang tatlo sa lima, matitira kang dalawa. Ganito ang hitsura ng pagbabawas. Gayunpaman, isusulat ito ng mga mathematician sa ganitong paraan:

Kaya, lumalabas na ang hindi kilalang pagkakaiba ay isang tiyak na numero na kailangang idagdag sa 3 upang makakuha ng 5. Iyon ay, hindi mo kailangang ibawas ang anuman, kailangan mo lamang hanapin ang naaangkop na numero. Nalalapat ang panuntunang ito sa karagdagan.

Ang mga bagay ay medyo naiiba sa mga tuntunin ng pagpaparami at paghahati. Ito ay kilala na ang multiplikasyon sa zero ay humahantong sa isang zero na resulta. Halimbawa, kung 3:0=x, kung babaliktarin mo ang entry, makakakuha ka ng 3*x=0. At ang isang numero na pinarami ng 0 ay magbibigay ng zero sa produkto. Lumalabas na walang numero na magbibigay ng anumang halaga maliban sa zero sa produktong may zero. Nangangahulugan ito na ang paghahati sa pamamagitan ng zero ay walang kabuluhan, ibig sabihin, umaangkop ito sa ating panuntunan.

Ngunit ano ang mangyayari kung susubukan mong hatiin ang zero sa sarili nito? Kunin natin ang ilang hindi tiyak na numero bilang x. Ang resultang equation ay 0*x=0. Maaari itong malutas.

Kung susubukan nating kunin ang zero sa halip na x, makakakuha tayo ng 0:0=0. Ito ay tila lohikal? Ngunit kung susubukan naming kumuha ng anumang iba pang numero, halimbawa, 1, sa halip na x, mapupunta kami sa 0:0=1. Ang parehong sitwasyon ay mangyayari kung kukuha tayo ng iba pang numero at isaksak ito sa equation.

Sa kasong ito, lumalabas na maaari naming kunin ang anumang iba pang numero bilang isang kadahilanan. Ang resulta ay isang walang katapusang bilang ng iba't ibang numero. Minsan ang paghahati ng 0 sa mas mataas na matematika ay may katuturan pa rin, ngunit pagkatapos ay kadalasang lumilitaw ang isang tiyak na kundisyon, salamat sa kung saan maaari pa rin tayong pumili ng isang angkop na numero. Ang pagkilos na ito ay tinatawag na "pagsisiwalat ng kawalan ng katiyakan." Sa ordinaryong aritmetika, ang paghahati sa pamamagitan ng zero ay muling mawawala ang kahulugan nito, dahil hindi tayo makakapili ng isang numero mula sa set.

Mahalaga! Hindi mo maaaring hatiin ang zero sa zero.

Zero at infinity

Ang infinity ay madalas na matatagpuan sa mas mataas na matematika. Dahil hindi lang mahalaga para sa mga mag-aaral na malaman na mayroon ding mga operasyon sa matematika na may kawalang-hanggan, hindi maipaliwanag nang maayos ng mga guro sa mga bata kung bakit imposibleng hatiin sa zero.

Ang mga mag-aaral ay nagsisimulang matuto ng mga pangunahing lihim ng matematika sa unang taon lamang ng institute. Ang mas mataas na matematika ay nagbibigay ng isang malaking kumplikado ng mga problema na walang solusyon. Ang pinakatanyag na mga problema ay mga problema sa infinity. Maaari silang malutas gamit pagsusuri sa matematika.

Maaari ding ilapat sa infinity elementarya na mga operasyong matematika: karagdagan, pagpaparami sa numero. Kadalasan ay gumagamit din sila ng pagbabawas at paghahati, ngunit sa huli ay bumaba pa rin sila sa dalawang simpleng operasyon.

Ngunit ano ang mangyayari kung susubukan mo:

• Infinity na pinarami ng zero. Sa teorya, kung susubukan nating i-multiply ang anumang numero sa zero, makakakuha tayo ng zero. Ngunit ang infinity ay isang hindi tiyak na hanay ng mga numero. Dahil hindi tayo makakapili ng isang numero mula sa set na ito, ang expression na ∞*0 ay walang solusyon at ganap na walang kahulugan.
• Zero na hinati ng infinity. Ang parehong kuwento tulad ng sa itaas ay nangyayari dito. Hindi kami maaaring pumili ng isang numero, na nangangahulugang hindi namin alam kung ano ang paghahatiin. Walang kahulugan ang ekspresyon.

Mahalaga! Ang Infinity ay medyo naiiba sa kawalan ng katiyakan! Ang infinity ay isa sa mga uri ng kawalan ng katiyakan.

Ngayon, subukan nating hatiin ang infinity sa zero. Mukhang dapat magkaroon ng kawalan ng katiyakan. Ngunit kung susubukan nating palitan ang paghahati ng multiplikasyon, makakakuha tayo ng isang tiyak na sagot.

Halimbawa: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

Ito ay lumalabas na ganito kabalintunaan sa matematika.

Ang sagot kung bakit hindi mo ma-divide sa zero

Eksperimento sa pag-iisip, sinusubukang hatiin sa zero

Konklusyon

Kaya, ngayon alam namin na ang zero ay napapailalim sa halos lahat ng mga operasyon na isinagawa, maliban sa isang solong isa. Hindi mo maaaring hatiin sa zero dahil lang sa kawalan ng katiyakan ang resulta. Natutunan din namin kung paano magsagawa ng mga operasyon na may zero at infinity. Ang resulta ng naturang mga aksyon ay magiging kawalan ng katiyakan.

Kung ang isang numero ay hinati sa infinity, magiging zero ba ang quotient? Nagpatuloy sa loob at nakuha ang pinakamagandang sagot

Sagot mula kay Olenka[newbie]
lahat 0
Krab Вark
Oracle
(56636)
Hindi. Eksaktong zero. Habang ang divisor ay may posibilidad na infinity, ang quotient ay magiging zero. At, kung hindi natin hatiin ang isang numero na may posibilidad na infinity, ngunit sa pamamagitan ng infinity mismo (sa pamamagitan ng paraan, upang maging mas tumpak, hindi ito opisyal na itinuturing na isang numero, ngunit itinuturing na isang espesyal na simbolo na umaakma sa pagtatalaga ng mga numero) - eksaktong zero.

Sagot mula sa Iugeus Vladimir[guru]
Kahit na hatiin mo ang zero, kahit na i-multiply mo ito sa anumang numero, magiging zero pa rin ito!

Sagot mula sa 1 23 [guru]
kung ang ilang crap ay may posibilidad na zero, pagkatapos ay i-multiply ito sa isang bagay na may hangganan (isang numero o isang limitadong function) ay walang silbi, dahil ang lahat ay may posibilidad na zero.
ngunit kung i-multiply mo ito sa ilang uri ng bagay na may posibilidad na infinity, maaaring may mga pagpipilian.

Sagot mula sa Krab Вark[guru]
Kapag ang anumang numero ay nahahati sa infinity, ang resulta ay zero. Eksaktong zero, walang "pagsusumikap patungo sa zero". At pagkatapos, kahit anong bilang mo i-multiply ito sa, zero. At ang resulta ng paghahati ng zero sa anumang numero maliban sa zero ay magiging zero, kapag hinati ang zero sa zero ang resulta ay hindi tinukoy, dahil ang anumang numero ay magiging angkop bilang isang quotient.

Ang numero 0 ay maaaring isipin bilang isang tiyak na hangganan na naghihiwalay sa mundo ng mga tunay na numero mula sa mga haka-haka o negatibo. Dahil sa hindi maliwanag na posisyon, maraming mga operasyon na may ganitong numerong halaga ay hindi sumusunod sa matematikal na lohika. Ang imposibilidad ng paghahati sa zero ay isang pangunahing halimbawa nito. At ang pinahihintulutang mga operasyon ng aritmetika na may zero ay maaaring isagawa gamit ang mga pangkalahatang tinatanggap na kahulugan.

Kasaysayan ng zero

Ang zero ay ang reference point sa lahat ng standard number system. Ang mga Europeo ay nagsimulang gumamit ng numerong ito medyo kamakailan lamang, ngunit ang mga pantas ng sinaunang India ay gumamit ng zero isang libong taon bago ang walang laman na numero ay regular na ginagamit ng mga European mathematician. Bago pa man ang mga Indian, ang zero ay isang ipinag-uutos na halaga sa Mayan numerical system. Ginamit ng mga Amerikanong ito ang duodecimal number system, at ang unang araw ng bawat buwan ay nagsimula sa zero. Ito ay kagiliw-giliw na sa mga Mayan ang sign na nagsasaad ng "zero" ay ganap na kasabay ng sign na nagsasaad ng "infinity". Kaya, napagpasyahan ng mga sinaunang Mayan na ang mga dami na ito ay magkapareho at hindi alam.

Mga operasyong matematika na may zero

Ang mga karaniwang mathematical na operasyon na may zero ay maaaring bawasan sa ilang mga panuntunan.

Pagdaragdag: kung magdaragdag ka ng zero sa isang arbitrary na numero, hindi nito babaguhin ang halaga nito (0+x=x).

Pagbabawas: Kapag binabawasan ang zero sa anumang numero, ang halaga ng subtrahend ay nananatiling hindi nagbabago (x-0=x).

Multiplikasyon: Ang anumang numero na pinarami ng 0 ay nagbubunga ng 0 (a*0=0).

Dibisyon: Maaaring hatiin ang Zero sa anumang numerong hindi katumbas ng zero. Sa kasong ito, ang halaga ng naturang fraction ay magiging 0. At ang paghahati sa pamamagitan ng zero ay ipinagbabawal.

Exponentiation. Ang pagkilos na ito ay maaaring isagawa sa anumang numero. Ang isang arbitrary na numero na itinaas sa zero na kapangyarihan ay magbibigay ng 1 (x 0 =1).

Ang zero sa anumang kapangyarihan ay katumbas ng 0 (0 a = 0).

Sa kasong ito, ang isang kontradiksyon ay agad na lumitaw: ang expression na 0 0 ay hindi makatwiran.

Mga kabalintunaan ng matematika

Alam ng maraming tao mula sa paaralan na imposible ang paghahati sa zero. Ngunit sa ilang kadahilanan imposibleng ipaliwanag ang dahilan ng naturang pagbabawal. Sa katunayan, bakit ang formula para sa paghahati sa zero ay hindi umiiral, ngunit ang iba pang mga aksyon na may numerong ito ay medyo makatwiran at posible? Ang sagot sa tanong na ito ay ibinigay ng mga mathematician.

Ang bagay ay ang karaniwang mga operasyon ng aritmetika na natututuhan ng mga mag-aaral sa elementarya ay, sa katunayan, ay hindi halos kasing pantay ng iniisip natin. Ang lahat ng simpleng pagpapatakbo ng numero ay maaaring bawasan sa dalawa: pagdaragdag at pagpaparami. Ang mga pagkilos na ito ay bumubuo sa kakanyahan ng mismong konsepto ng numero, at iba pang mga operasyon ay binuo sa paggamit ng dalawang ito.

Pagdaragdag at Pagpaparami

Kumuha tayo ng karaniwang halimbawa ng pagbabawas: 10-2=8. Sa paaralan ay itinuturing nila itong simple: kung ibawas mo ang dalawa sa sampung paksa, walo ang mananatili. Ngunit ang mga mathematician ay tumitingin sa operasyong ito na ganap na naiiba. Pagkatapos ng lahat, ang naturang operasyon bilang pagbabawas ay hindi umiiral para sa kanila. Ang halimbawang ito ay maaaring isulat sa ibang paraan: x+2=10. Para sa mga mathematician, ang hindi kilalang pagkakaiba ay ang bilang lamang na kailangang idagdag sa dalawa upang maging walo. At walang pagbabawas ang kailangan dito, kailangan mo lang hanapin ang naaangkop na halaga ng numero.

Ang pagpaparami at paghahati ay ginagamot nang pareho. Sa halimbawang 12:4=3 mauunawaan mo na pinag-uusapan natin ang paghahati ng walong bagay sa dalawang pantay na tambak. Ngunit sa katotohanan, ito ay isang baligtad na pormula lamang para sa pagsulat ng 3x4 = 12. Ang ganitong mga halimbawa ng paghahati ay maaaring ibigay nang walang katapusan.

Mga halimbawa para sa paghahati sa pamamagitan ng 0

Dito nagiging medyo malinaw kung bakit hindi mo maaaring hatiin sa zero. Ang pagpaparami at paghahati sa zero ay sumusunod sa kanilang sariling mga patakaran. Ang lahat ng mga halimbawa ng paghahati sa dami na ito ay maaaring mabalangkas bilang 6:0 = x. Ngunit ito ay isang baligtad na notasyon ng expression na 6 * x=0. Ngunit, tulad ng alam mo, ang anumang numero na pinarami ng 0 ay nagbibigay lamang ng 0 sa produkto. Ang property na ito ay likas sa mismong konsepto ng zero value.

Ito ay lumalabas na walang ganoong numero na, kapag pinarami ng 0, ay nagbibigay ng anumang nasasalat na halaga, iyon ay, ang problemang ito ay walang solusyon. Hindi ka dapat matakot sa sagot na ito; ito ay isang natural na sagot para sa mga problema ng ganitong uri. Kaya lang walang saysay ang 6:0 record at wala itong maipaliwanag. Sa madaling salita, ang pananalitang ito ay maaaring ipaliwanag sa pamamagitan ng walang kamatayang “division by zero is impossible.”

Mayroon bang 0:0 na operasyon? Sa katunayan, kung ang operasyon ng multiplikasyon sa 0 ay legal, maaari bang hatiin ang zero sa zero? Pagkatapos ng lahat, ang isang equation ng form na 0x 5=0 ay medyo legal. Sa halip na numero 5 maaari mong ilagay ang 0, ang produkto ay hindi magbabago.

Sa katunayan, 0x0=0. Ngunit hindi mo pa rin mahahati sa 0. Gaya ng nasabi, ang paghahati ay simpleng kabaligtaran ng multiplikasyon. Kaya, kung sa halimbawang 0x5=0, kailangan mong matukoy ang pangalawang kadahilanan, makakakuha tayo ng 0x0=5. O 10. O infinity. Dividing infinity by zero - paano mo ito gusto?

Ngunit kung ang anumang numero ay umaangkop sa expression, hindi ito makatuwiran; hindi tayo maaaring pumili ng isa lamang mula sa isang walang katapusang bilang ng mga numero. At kung gayon, nangangahulugan ito na ang expression na 0:0 ay walang katuturan. Lumalabas na kahit ang zero mismo ay hindi mahahati ng zero.

Mas mataas na matematika

Ang division by zero ay sakit ng ulo para sa high school math. Ang pagsusuri sa matematika na pinag-aralan sa mga teknikal na unibersidad ay bahagyang nagpapalawak ng konsepto ng mga problema na walang solusyon. Halimbawa, ang mga bago ay idinaragdag sa kilalang expression na 0:0, na walang mga solusyon sa mga kurso sa matematika ng paaralan:

• infinity na hinati sa infinity: ∞:∞;
• infinity minus infinity: ∞−∞;
• yunit na itinaas sa isang walang katapusang kapangyarihan: 1 ∞ ;
• infinity na pinarami ng 0: ∞*0;
• ilang iba pa.

Imposibleng malutas ang mga naturang expression gamit ang mga elementarya na pamamaraan. Ngunit ang mas mataas na matematika, salamat sa karagdagang mga posibilidad para sa isang bilang ng mga katulad na halimbawa, ay nagbibigay ng mga pangwakas na solusyon. Ito ay lalong maliwanag sa pagsasaalang-alang ng mga problema mula sa teorya ng mga limitasyon.

Pag-unlock ng Kawalang-katiyakan

Sa teorya ng mga limitasyon, ang value na 0 ay pinapalitan ng conditional infinitesimal variable. At ang mga expression kung saan, kapag pinapalitan ang nais na halaga, ang paghahati sa pamamagitan ng zero ay nakuha, ay binago. Nasa ibaba ang isang karaniwang halimbawa ng pagpapalawak ng limitasyon gamit ang mga ordinaryong pagbabagong algebraic:

Tulad ng makikita mo sa halimbawa, ang pagbawas lamang ng isang fraction ay humahantong sa halaga nito sa isang ganap na makatwirang sagot.

Kapag isinasaalang-alang ang mga limitasyon ng trigonometric function, ang kanilang mga expression ay may posibilidad na mabawasan sa unang kapansin-pansin na limitasyon. Kapag isinasaalang-alang ang mga limitasyon kung saan ang denominator ay nagiging 0 kapag ang isang limitasyon ay pinalitan, ang pangalawang kapansin-pansin na limitasyon ay ginagamit.

Paraan ng L'Hopital

Sa ilang mga kaso, ang mga limitasyon ng mga expression ay maaaring mapalitan ng mga limitasyon ng kanilang mga derivatives. Guillaume L'Hopital - French mathematician, tagapagtatag ng French school of mathematical analysis. Pinatunayan niya na ang mga limitasyon ng mga expression ay katumbas ng mga limitasyon ng mga derivatives ng mga expression na ito. Sa mathematical notation, ganito ang kanyang panuntunan.

Ang derivative ng function ay hindi malayong nahuhulog, at sa kaso ng L'Hopital's rules ito ay eksaktong nahuhulog sa parehong lugar kung saan nahuhulog ang orihinal na function. Ang sitwasyong ito ay nakakatulong sa pagsisiwalat ng mga kawalan ng katiyakan sa anyo na 0/0 o ∞/∞ at ilang iba pang mga kawalan ng katiyakan na lumitaw kapag kinakalkula limitasyon ang relasyon ng dalawang infinitesimal o infinitely large functions. Ang pagkalkula ay lubos na pinasimple gamit ang panuntunang ito (talagang dalawang panuntunan at mga tala sa kanila):

Tulad ng ipinapakita ng formula sa itaas, kapag kinakalkula ang limitasyon ng ratio ng dalawang infinitesimal o walang katapusan na malalaking function, ang limitasyon ng ratio ng dalawang function ay maaaring mapalitan ng limitasyon ng ratio ng kanilang derivatives at sa gayon ay makakuha ng isang tiyak na resulta.

Lumipat tayo sa mas tumpak na mga pormulasyon ng mga panuntunan ng L'Hopital.

Ang panuntunan ng L'Hopital para sa kaso ng limitasyon ng dalawang infinitesimal na dami. Hayaan ang mga function f(x) At g(x a. At sa mismong punto a a derivative ng isang function g(x) ay hindi zero ( g"(x a ay katumbas ng bawat isa at katumbas ng zero:

.

Ang panuntunan ng L'Hopital para sa kaso ng limitasyon ng dalawang walang katapusang malaking dami. Hayaan ang mga function f(x) At g(x) ay may mga derivatives (iyon ay, differentiable) sa ilang kapitbahayan ng punto a. At sa mismong punto a maaaring wala silang derivatives. Bukod dito, sa paligid ng punto a derivative ng isang function g(x) ay hindi zero ( g"(x)≠0) at ang mga limitasyon ng mga function na ito bilang x ay may kaugaliang halaga ng function sa punto a ay katumbas ng bawat isa at katumbas ng infinity:

.

Kung gayon ang limitasyon ng ratio ng mga function na ito ay katumbas ng limitasyon ng ratio ng kanilang mga derivatives:

Sa madaling salita, para sa mga kawalan ng katiyakan ng form 0/0 o ∞/∞, ang limitasyon ng ratio ng dalawang function ay katumbas ng limitasyon ng ratio ng kanilang mga derivatives, kung ang huli ay umiiral (finite, iyon ay, katumbas ng isang tiyak na bilang, o infinite, ibig sabihin, katumbas ng infinity).

Mga Tala.

1. Ang mga panuntunan ng L'Hopital ay naaangkop din kapag ang mga function f(x) At g(x) ay hindi tinukoy kung kailan x = a.

2. Kung, kapag kinakalkula ang limitasyon ng ratio ng mga derivatives ng mga function f(x) At g(x) muli tayong dumating sa isang kawalan ng katiyakan sa anyo na 0/0 o ∞/∞, pagkatapos ang mga panuntunan ng L'Hôpital ay dapat ilapat nang paulit-ulit (kahit dalawang beses).

3. Naaangkop din ang mga panuntunan ng L'Hopital kapag ang argumento ng mga function (x) ay hindi nauugnay sa isang may hangganang numero a, at hanggang sa kawalang-hanggan ( x → ∞).

Ang mga kawalan ng katiyakan ng iba pang mga uri ay maaari ding bawasan sa mga kawalan ng katiyakan ng mga uri 0/0 at ∞/∞.

Pagbubunyag ng mga kawalan ng katiyakan ng mga uri na "zero na hinati ng zero" at "infinity na hinati ng infinity"

Halimbawa 1.

x=2 ay humahantong sa kawalan ng katiyakan ng form 0/0. Samakatuwid, ang derivative ng bawat function ay nakuha

Ang derivative ng polynomial ay kinakalkula sa numerator, at sa denominator - derivative ng isang kumplikadong logarithmic function. Bago ang huling equal sign, ang karaniwan limitasyon, pinapalitan ang dalawa sa halip na isang X.

Halimbawa 2. Kalkulahin ang limitasyon ng ratio ng dalawang function gamit ang panuntunan ng L'Hopital:

Solusyon. Pagpapalit ng isang halaga sa isang ibinigay na function x

Halimbawa 3. Kalkulahin ang limitasyon ng ratio ng dalawang function gamit ang panuntunan ng L'Hopital:

Solusyon. Pagpapalit ng isang halaga sa isang ibinigay na function x=0 ay humahantong sa kawalan ng katiyakan ng form na 0/0. Samakatuwid, kinakalkula namin ang mga derivatives ng mga function sa numerator at denominator at makakuha ng:

Halimbawa 4. Kalkulahin

Solusyon. Ang pagpapalit ng value na x katumbas ng plus infinity sa isang partikular na function ay humahantong sa isang kawalan ng katiyakan ng form na ∞/∞. Samakatuwid, inilalapat namin ang panuntunan ng L'Hopital:

Magkomento. Lumipat tayo sa mga halimbawa kung saan ang panuntunan ng L'Hopital ay kailangang ilapat nang dalawang beses, iyon ay, upang makarating sa limitasyon ng ratio ng pangalawang derivatives, dahil ang limitasyon ng ratio ng mga unang derivatives ay isang kawalan ng katiyakan ng form 0 /0 o ∞/∞.

Pagbubunyag ng mga kawalan ng katiyakan ng anyong "zero times infinity"

Halimbawa 12. Kalkulahin

.

Solusyon. Nakukuha namin

Ang halimbawang ito ay gumagamit ng trigonometric identity.

Pagbubunyag ng mga kawalan ng katiyakan ng mga uri na "zero sa kapangyarihan ng zero", "infinity sa kapangyarihan ng zero" at "isa sa kapangyarihan ng infinity"

Mga kawalan ng katiyakan ng form , o kadalasang binabawasan sa form na 0/0 o ∞/∞ sa pamamagitan ng pagkuha ng logarithm ng isang function ng form

Upang kalkulahin ang limitasyon ng isang expression, dapat mong gamitin ang logarithmic identity, isang espesyal na kaso kung saan ay ang pag-aari ng logarithm .

Gamit ang logarithmic identity at ang property ng continuity ng isang function (upang lumampas sa sign ng limitasyon), ang limitasyon ay dapat kalkulahin tulad ng sumusunod:

Hiwalay, dapat mong hanapin ang limitasyon ng expression sa exponent at build e sa nahanap na antas.

Halimbawa 13.

Solusyon. Nakukuha namin

.

.

Halimbawa 14. Kalkulahin gamit ang panuntunan ng L'Hopital

Solusyon. Nakukuha namin

Kalkulahin ang limitasyon ng isang expression sa exponent

.

.

Halimbawa 15. Kalkulahin gamit ang panuntunan ng L'Hopital

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga limitasyon. Kawalang-katiyakan.
Ang pagkakasunud-sunod ng paglago ng function. Pamamaraan ng pagpapalit

Halimbawa 4

Hanapin ang limitasyon

Ito ay isang mas simpleng halimbawa upang malutas sa iyong sarili. Sa iminungkahing halimbawa ay may muling kawalan ng katiyakan (ng mas mataas na pagkakasunud-sunod ng paglago kaysa sa ugat).

Kung ang "x" ay may posibilidad na "minus infinity"

Ang multo ng "minus infinity" ay nag-hover sa artikulong ito sa mahabang panahon. Isaalang-alang natin ang mga limitasyon sa mga polynomial kung saan . Ang mga prinsipyo at pamamaraan ng solusyon ay magiging eksaktong kapareho ng sa unang bahagi ng aralin, maliban sa isang bilang ng mga nuances.

Tingnan natin ang 4 na trick na kakailanganin upang malutas ang mga praktikal na gawain:

1) Kalkulahin ang limitasyon

Ang halaga ng limitasyon ay nakasalalay lamang sa termino dahil ito ang may pinakamataas na pagkakasunud-sunod ng paglago. Kung , kung gayon walang hanggan malaki sa modulus negatibong numero sa EVEN na kapangyarihan, sa kasong ito – sa ikaapat, ay katumbas ng “plus infinity”: . Constant (“dalawa”) positibo, Kaya naman:

2) Kalkulahin ang limitasyon

Eto na naman ang senior degree kahit, Kaya naman: . Ngunit sa harap nito ay may "minus" ( negatibo pare-pareho -1), samakatuwid:

3) Kalkulahin ang limitasyon

Ang halaga ng limitasyon ay nakasalalay lamang sa . Tulad ng naaalala mo mula sa paaralan, ang "minus" ay "tumalon" mula sa ilalim ng kakaibang antas, kaya walang hanggan malaki sa modulus negatibong numero sa isang ODD na kapangyarihan katumbas ng "minus infinity", sa kasong ito: .
Constant (“apat”) positibo, Ibig sabihin:

4) Kalkulahin ang limitasyon

Ang unang tao sa nayon ay may muli kakaiba degree, bilang karagdagan, sa dibdib negatibo pare-pareho, na nangangahulugang: Kaya:
.

Halimbawa 5

Hanapin ang limitasyon

Gamit ang mga punto sa itaas, dumating tayo sa konklusyon na mayroong kawalan ng katiyakan dito. Ang numerator at denominator ay may parehong pagkakasunud-sunod ng paglago, na nangangahulugan na sa limitasyon ang resulta ay isang may hangganang numero. Alamin natin ang sagot sa pamamagitan ng pagtatapon ng lahat ng prito:

Ang solusyon ay walang halaga:

Halimbawa 6

Hanapin ang limitasyon

Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

At ngayon, marahil, ang pinaka banayad na mga kaso:

Halimbawa 7

Hanapin ang limitasyon

Isinasaalang-alang ang mga nangungunang termino, dumating kami sa konklusyon na mayroong kawalan ng katiyakan dito. Ang numerator ay may mas mataas na pagkakasunud-sunod ng paglago kaysa sa denominator, kaya agad nating masasabi na ang limitasyon ay katumbas ng infinity. Ngunit anong uri ng infinity, "plus" o "minus"? Ang pamamaraan ay pareho - alisin natin ang maliliit na bagay sa numerator at denominator:

Nagpasya kami:

Hatiin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng

Halimbawa 15

Hanapin ang limitasyon

Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa. Isang tinatayang sample ng huling disenyo sa pagtatapos ng aralin.

Ang ilang mas kawili-wiling mga halimbawa sa paksa ng variable replacement:

Halimbawa 16

Hanapin ang limitasyon

Kapag pinapalitan ang pagkakaisa sa limitasyon, ang kawalan ng katiyakan ay nakuha. Ang pagpapalit ng variable ay nagmumungkahi na sa sarili nito, ngunit una nating binabago ang tangent gamit ang formula. Sa katunayan, bakit kailangan natin ng tangent?

Tandaan na, samakatuwid. Kung hindi ito lubos na malinaw, tingnan ang mga halaga ng sine sa trigonometriko talahanayan. Kaya, agad naming inaalis ang multiplier, bilang karagdagan, nakukuha namin ang mas pamilyar na kawalan ng katiyakan na 0:0. Mabuti kung ang ating limitasyon ay naging zero.

Palitan natin:

Kung , kung gayon

Sa ilalim ng cosine mayroon kaming "x", na kailangan ding ipahayag sa pamamagitan ng "te".
Mula sa kapalit na ipinapahayag namin: .

Kinumpleto namin ang solusyon:

(1) Isinasagawa namin ang pagpapalit

(2) Buksan ang mga panaklong sa ilalim ng cosine.

(4) Upang ayusin unang kahanga-hangang limitasyon, artipisyal na i-multiply ang numerator sa at ang katumbas na numero.

Gawain para sa independiyenteng solusyon:

Halimbawa 17

Hanapin ang limitasyon

Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Ang mga ito ay mga simpleng gawain sa kanilang klase, sa pagsasanay ang lahat ay maaaring maging mas masahol pa, at, bilang karagdagan mga formula ng pagbabawas, kailangan mong gumamit ng iba't-ibang mga formula ng trigonometriko, pati na rin ang iba pang mga trick. Sa artikulong Mga Kumplikadong Limitasyon ay tumingin ako sa ilang mga tunay na halimbawa =)

Sa bisperas ng holiday, sa wakas ay linawin namin ang sitwasyon na may isa pang karaniwang kawalan ng katiyakan:

Pag-aalis ng kawalan ng katiyakan "isa hanggang sa kapangyarihan ng kawalang-hanggan"

Ang kawalan ng katiyakan na ito ay "naihatid" pangalawang kahanga-hangang limitasyon, at sa ikalawang bahagi ng araling iyon ay tiningnan namin nang detalyado ang mga karaniwang halimbawa ng mga solusyon na matatagpuan sa pagsasanay sa karamihan ng mga kaso. Ngayon ang larawan kasama ang mga exponents ay makukumpleto, bilang karagdagan, ang mga pangwakas na gawain ng aralin ay ilalaan sa "pekeng" mga limitasyon, kung saan MUKHANG kailangan na ilapat ang ika-2 kahanga-hangang limitasyon, kahit na hindi ito ang lahat ng kaso.

Ang kawalan ng dalawang gumaganang formula para sa 2nd kapansin-pansing limitasyon ay ang argument ay dapat na may posibilidad na "plus infinity" o sa zero. Ngunit paano kung ang argumento ay may kaugaliang ibang numero?

Isang unibersal na pormula ang dumating sa pagsagip (na talagang bunga ng pangalawang kahanga-hangang limitasyon):

Maaaring alisin ang kawalan ng katiyakan gamit ang formula:

Sa isang lugar sa tingin ko naipaliwanag ko na kung ano ang ibig sabihin ng mga square bracket. Walang espesyal, ang mga bracket ay mga bracket lamang. Karaniwang ginagamit ang mga ito upang mas malinaw na i-highlight ang mathematical notation.

I-highlight natin ang mahahalagang punto ng formula:

1) Ito ay tungkol sa tungkol lamang sa kawalan ng katiyakan at wala nang iba pa.

2) Ang argumentong "x" ay maaaring may posibilidad na arbitraryong halaga(at hindi lamang sa zero o), sa partikular, sa "minus infinity" o sa sinuman may hangganang bilang.

Gamit ang pormula na ito maaari mong lutasin ang lahat ng mga halimbawa sa aralin. Kahanga-hangang mga Limitasyon, na kabilang sa ika-2 kapansin-pansing limitasyon. Halimbawa, kalkulahin natin ang limitasyon:

Sa kasong ito , at ayon sa formula:

Totoo, hindi ko inirerekomenda ang paggawa nito; ang tradisyon ay gamitin pa rin ang "karaniwan" na disenyo ng solusyon, kung maaari itong ilapat. Gayunpaman gamit ang formula ito ay napaka maginhawa upang suriin"klasikal" na mga halimbawa sa ika-2 kapansin-pansing limitasyon.