transcript

1 LECTURE N Kabuuang differential, partial derivatives at differentials ng mas matataas na order Total differential Partial differentials Partial derivatives ng mas matataas na order Mas mataas na order differentials 4 Derivatives ng complex functions 4 Total differential Partial differentials Kung ang isang function z=f(,) ay differentiable, ang kabuuan nito differential dz ay katumbas ng dz= a +B () z z Pansinin na A=, B =, isinusulat namin ang formula () sa sumusunod na anyo z z dz= + () Pinapalawak namin ang konsepto ng isang function differential sa mga independent variable, setting ang mga pagkakaiba ng mga independiyenteng variable na katumbas ng kanilang mga increment: d= ; d= Pagkatapos nito, ang formula para sa kabuuang pagkakaiba ng function ay kukuha ng anyo na z z dz= d + d () d + d n variable, pagkatapos du= d (d =) = Ang expression d z=f (,)d (4) ay tinatawag na partial differential ng function na z=f(,) na may paggalang sa variable; ang expression na d z=f (,)d (5) ay tinatawag na partial differential ng function z=f(,) na may paggalang sa variable Ito ay sumusunod mula sa mga formula (), (4) at (5) na ang kabuuang differential ng ang function ay ang kabuuan ng mga partial differentials nito: dz=d z+d z ang increment z= z z + + α (,) + β (,) ay naiiba sa linear na bahagi nito dz= z z + sa pamamagitan lamang ng kabuuan ng mga huling termino α + β, na sa 0 at 0 ay infinitesimal na mas mataas na pagkakasunud-sunod kaysa sa mga tuntunin ng linear na bahagi Samakatuwid para sa dz 0, ang linear na bahagi ng pagtaas ng differentiable function ay tinatawag na pangunahing bahagi ng pagtaas ng function at ang tinatayang formula z dz ang ginagamit, na magiging mas tumpak, mas maliit ang ganap na halaga ng mga pagtaas ng mga argumento,97 Halimbawa Kalkulahin ang humigit-kumulang arctg(),0

2 Solusyon Isaalang-alang ang function na f(,)=arctg() Gamit ang formula f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0) + dz, nakukuha natin ang arctg(+) arctg() + [ arctg() ] + [ arctg()] o + + arctg() arctg() () + () Let =, =, pagkatapos =-0.0, =0.0 Samakatuwid, (0.0 0.0 arctg) arctg( ) + (0.0) 0.0 = arctan 0.0 = + 0.0 + () + () π = 0.05 0.0 0.75 4 Maipapakita na ang error na nagreresulta mula sa paggamit ng tinatayang formula z dz ay hindi lalampas sa bilang = M (+), kung saan ang M ay ang pinakamalaking halaga ng mga ganap na halaga ng pangalawang partial derivatives f (,), f (,), f (,) kapag ang mga argumento ay nagbabago mula sa + at mula sa + Partial derivatives ng mas mataas na mga order Kung ang function na u =f Ang (, z) ay may partial derivative na may kinalaman sa isa sa mga variable sa ilang (open) domain D, pagkatapos ay ang nahanap na derivative, na mismo ay isang function ng z, ay maaaring, sa turn, ay may mga partial derivatives sa isang punto (0, 0). , z 0) na may kinalaman sa pareho o anumang iba pang variable Para sa orihinal na function na u=f(, z), ang mga derivatives na ito ay magiging second-order partial derivatives Kung kinuha ang unang derivative, hal. ep, in, kung gayon ang hinango nito na may kinalaman sa, z ay tinutukoy bilang mga sumusunod: f (0, 0, z0) f (0, 0, z0) f (0, 0, z0) = ; = ; = o u, u, u z z z Ang mga derivative ng ikatlo, ikaapat, at iba pa na mga order ay natutukoy nang katulad. tinatawag na mixed partial derivative Halimbawa u= 4 z, pagkatapos, u =4 z ; u = 4z; u z = 4 z; u = z u=64z; uzz = 4; u = z u = z u z = 4 z; u z =8 z; u z =6 4 z; u z =6 4 z ang function na f(,) ay tinukoy sa isang (bukas) domain D,) sa domain na ito ay may mga unang derivatives f at f, pati na rin ang pangalawang mixed derivatives f at f, at sa wakas,) ang mga huling derivatives. Ang f at f, bilang mga function ng u, ay tuloy-tuloy sa ilang punto (0, 0) ng rehiyon D Pagkatapos sa puntong ito f (0, 0)=f (0, 0) Patunay Isaalang-alang ang expression

3 f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 + f (0, 0) W=, kung saan, ay hindi zero, halimbawa, ay positibo, at, bukod dito, ay napakaliit na Ang D ay naglalaman ng buong parihaba [ 0, 0 +; 0, 0 +] 0 +) (, 0) ()= at samakatuwid ay tuluy-tuloy Gamit ang function na ito f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0) f (0, 0) expression W, na katumbas ng W= ay maaaring isulat muli bilang: ϕ (0 +) ϕ (0) W= kaya: W=ϕ (0 + θ, 0 f (0 + θ, 0) (0 + θ)= (0<θ<) Пользуясь существованием второй производной f (,), снова применим формулу конечных приращений, на этот раз к функции от: f (0 +θ,) в промежутке [ 0, 0 +] Получим W=f (0 +θ, 0 +θ), (0<θ <) Но выражение W содержит и, с одной стороны, и и, с другой, одинаковым образом Поэтому, можно поменять их роли и, введя вспомогательную функцию: Ψ()= f (0 +,) f (0,), путем аналогичных рассуждений получить результат: W=f (0 +θ, 0 +θ) (0<θ, θ <) Из сопоставления () и (), находим f (0 +θ, 0 +θ)=f (0 +θ, 0 +θ) Устремив теперь и к нулю, перейдем в этом равенстве к пределу В силу ограниченности множителей θ, θ, θ, θ, аргументы и справа, и слева стремятся к 0, 0 А тогда, в силу (), получим: f (0, 0)=f (0, 0), что и требовалось доказать Таким образом, непрерывные смешанные производные f и f всегда равны Общая теорема о смешанных производных Пусть функция u=f(, n) от переменных определена в открытой n-мерной области D и имеет в этой области всевозможные частные производные до (n-)-го порядка включительно и смешанные производные n-го порядка, причем все эти производные непрерывны в D При этих условиях значение любой n-ой смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования Дифференциалы высших порядков Пусть в области D задана непрерывная функция u=f(, х), имеющая непрерывные частные производные первого порядка Тогда, du= d + d + + d

4 Nakikita natin na ang du ay isang function din ng, Kung ipagpalagay natin ang pagkakaroon ng tuluy-tuloy na partial derivatives ng pangalawang order para sa u, ang du ay magkakaroon ng tuluy-tuloy na partial derivatives ng unang order at maaari nating pag-usapan ang kabuuang differential ng differential du na ito. , d(du), na tinatawag na second-order differential (o second differential) ng u; ito ay tinutukoy ng d u Binibigyang-diin namin na ang mga pagtaas ng d, d, d ay itinuturing na pare-pareho at nananatiling pareho kapag pumasa mula sa isang kaugalian patungo sa susunod (at higit pa rito, ang d, d ay magiging zero) Kaya, d u=d(du)=d (d + d + + d) = d() d + d() d + + d() d o d u = (d + d + d + + d) d + + (d + d + = d + d + + d + dd + dd + + dd + + Katulad nito, ang third-order differential d u ay tinukoy, at iba pa. Kung ang function na u ay may tuluy-tuloy na partial derivatives ng lahat ng order hanggang sa at kabilang ang ika-1, kung gayon ang pagkakaroon ng nth differential ay garantisadong. Ngunit ang mga expression para sa kanila ay nagiging mas at mas kumplikado Maaari nating pasimplehin ang notation Kunin natin ang "letter u" sa expression ng unang differential Pagkatapos, ang notation ay magiging simboliko: du=(d + d + + d) u ; d u=(d + d + + d) u ; d n n u=(d + d + + d) u, na dapat na maunawaan bilang mga sumusunod: una, ang "polynomial" sa mga bracket ay pormal na itinaas sa isang kapangyarihan ayon sa mga alituntunin ng algebra, kung gayon ang lahat ng mga resultang termino ay "multiplied" ng u (na idinaragdag sa n sa mga numerator sa) , at pagkatapos lamang na ibinalik ng lahat ng simbolo ang kanilang halaga bilang derivatives at differentials u d) d u sa variable t sa ilang pagitan: =ϕ(t), =ψ(t), z=λ(t) Let, in addition, as t nagbabago, ang mga puntos (, z) ay hindi lalampas sa rehiyon D Ang pagpapalit ng mga halaga, at z sa function na u, nakakakuha tayo ng isang kumplikadong function: u=f(ϕ(t), ψ(t), λ(t)) Ipagpalagay na ang u ay may tuluy-tuloy na partial derivatives na u, u at u z in at z at ang t, t at z t ay umiiral Pagkatapos ay posible na patunayan ang pagkakaroon ng isang derivative ng isang kumplikadong function at kalkulahin ito. Binibigyan namin ang variable t ng ilang pagtaas t , pagkatapos, at z ay makakatanggap ng mga increment, ayon sa pagkakabanggit, at z, ang function na u ay makakatanggap ng isang increment u Let us represent the increment of the function u in the form: (ito ay maaaring gawin, dahil ipinapalagay namin ang pagkakaroon ng tuluy-tuloy na partial derivatives u, u at u z) u=u +u +u z z+α +β +χ z, kung saan α, β, χ 0 at, z 0 Hinahati namin pareho bahagi ng pagkakapantay-pantay sa t, nakukuha natin ang u z z = u + u + uz + α + β + χ t t t t t t t 4

5 Hayaan natin ngayon na ang pagtaas ng t ay lumalapit sa zero: kung gayon, ang z ay magiging zero, dahil ang mga pag-andar, z ng t ay tuloy-tuloy (pinagpalagay natin ang pagkakaroon ng mga derivatives t, t, z t), at samakatuwid, α, β, χ malamang din sa zero Sa limitasyon na nakukuha natin u t =u t +u t +u z z t () Nakikita natin na sa ilalim ng mga pagpapalagay na ginawa, umiiral ang derivative ng complex function. Kung gagamitin natin ang differential notation, du d d dz () ang magiging hitsura tulad ng , z sa ilang mga variable t: =ϕ(t, v), =ψ(t, v), z=χ(t, v) Bukod sa pagkakaroon at pagpapatuloy ng mga partial derivatives ng function na f(, z), kami ipagpalagay dito ang pagkakaroon ng mga derivatives ng mga function, z na may paggalang sa t at v Ang kasong ito ay hindi naiiba nang malaki mula sa isa na isinasaalang-alang, dahil kapag kinakalkula ang bahagyang derivative ng isang function ng dalawang variable, inaayos namin ang isa sa mga variable, at kami ay naiwan na may function ng isang variable lamang, ang formula () ay magiging parehong z, at () ay dapat na muling isulat bilang: = + + (a) t t t z t z = + + (b) v v v z v Halimbawa u= ; =ϕ(t)=t ; =ψ(t)=cos t u t = - t + ln t = - t- ln sint 5

Mga pag-andar ng ilang mga variable Sa maraming mga katanungan ng geometry ng mga natural na agham at iba pang mga disiplina, ang isa ay kailangang harapin ang mga pag-andar ng dalawa tatlo o higit pang mga variable Mga Halimbawa: Lugar ng isang tatsulok S a h kung saan ang a ay ang base

13. Partial Derivatives of Higher Orders Let = mayroon at tinukoy sa D O. Ang mga function at tinatawag ding first-order partial derivatives ng isang function o first partial derivatives ng isang function. at sa pangkalahatan

Depinisyon ng Application ng derivative Hayaan at maging ang mga halaga ng argument, at f) at f) - ((ang mga kaukulang halaga ng function f () Ang pagkakaiba ay tinatawag na pagtaas ng argumento, at ang pagkakaiba ay ang pagtaas ng function sa segment,

Praktikal na ehersisyo PAGKAKAIBA NG ISANG KUMPLEKSO AT IMPLICIT FUNCTION Differentiation ng isang kumplikadong function Differentiation ng isang implicit function na ibinigay ng isang equation Mga sistema ng implicit at parametrically na ibinigay

MGA FUNCTION OF MULTIPLE VARIABLES Ang mga function ng isang independent variable ay hindi sumasaklaw sa lahat ng dependency na umiiral sa kalikasan. Samakatuwid, natural na palawigin ang kilalang konsepto ng functional dependence at ipakilala

6 Implicit functions 6.1 Mga kahulugan, background

1. Pangunahing konsepto. Mga pag-andar ng ilang mga variable. Pag-aaralan natin ang pag-andar ng ilang mga variable gamit ang mga halimbawa ng mga function ng dalawa at tatlong mga variable, dahil ang lahat ng mga kahulugan na ito at ang mga resulta ay nakuha.

2.2.7. Application ng differential sa tinatayang mga kalkulasyon. Ang pagkakaiba ng function na y = ay depende sa x at ito ang pangunahing bahagi ng x increment. Maaari mo ring gamitin ang formula: dy d Pagkatapos ang ganap na error:

Lecture 9. Derivatives at differentials ng mas mataas na mga order, ang kanilang mga katangian. Extremum na mga punto ng pag-andar. Fermat's at Rolle's theorems. Hayaang maging differentiable ang function na y sa ilang pagitan [b]. Sa kasong ito, ang hinango nito

5 Ang punto kung saan ang F F F o hindi bababa sa isa sa mga derivatives na ito ay hindi umiiral ay tinatawag na isang singular na punto ng ibabaw. Sa ganoong punto, ang ibabaw ay maaaring walang tangent plane Kahulugan Normal sa ibabaw

Tiyak na INTEGRAL. Integral Sums at Definite Integral Hayaan ang isang function na y = f () na tinukoy sa segment [, b ], kung saan< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS NG UNANG ORDER Mga Pangunahing konsepto Ang differential equation ay isang equation kung saan ang hindi kilalang function ay pumapasok sa ilalim ng derivative o differential sign.

6. Differential ng isang function 1. Depinisyon at geometric na kahulugan KAHULUGAN. Ang isang function na y = f(x) ay tinatawag na differentiable sa isang punto x 0 kung ang pagtaas nito sa puntong ito ay maaaring isulat bilang kabuuan ng isang linear

Mga Lektura Kabanata Mga Pag-andar ng ilang mga variable Pangunahing konsepto Ang ilang mga pag-andar ng ilang mga variable ay kilala.

~ 1 ~ FUNCTION OF MULTIPLE VARIABLE 3 Function ng dalawang variable, domain ng definition, paraan ng pagtukoy at geometric na kahulugan. Kahulugan: z f, ay tinatawag na function ng dalawang variable, kung ang bawat pares ng value,

Nalutas ang mga first-order differential equation na may kinalaman sa derivative Existence at uniqueness theorem para sa isang solusyon Sa pangkalahatang kaso, ang first-order differential equation ay may anyo F ()

Lecture 3 Extremum ng isang function ng ilang variable Hayaang tukuyin ang function ng ilang variable u = f (x, x) sa domain D, at ang point x (x, x) = ay kabilang sa domain na ito Ang function na u = f ( x, x) ay mayroon

Paksa ng Module Mga pagkakasunud-sunod at serye ng function Mga katangian ng pare-parehong convergence ng mga pagkakasunod-sunod at serye Power series Lecture Mga Depinisyon ng mga pagkakasunod-sunod ng function at serye Pare-pareho

9 Derivative at differential 91 Pangunahing mga formula at kahulugan para sa paglutas ng mga problema Depinisyon Hayaang ang function na y f () ay tinukoy sa ilang f (Δ) f () Δy na kapitbahayan ng punto Limitasyon ng relasyon para sa Δ Δ Δ, kung

1 Paksa 1. First order differential equation 1.0. Mga pangunahing kahulugan at teorema First order differential equation: independent variable; y = y() ay ang gustong function; y = y () hinango nito.

Lektura 8 Pagkakaiba ng isang kumplikadong function Isaalang-alang ang isang kumplikadong function t t t f kung saan ϕ t t t t t t t t t t t t t t t t t

MOSCOW STATE TECHNICAL UNIVERSITY OF CIVIL AVIATION V.M. Lyubimov, E.A. Zhukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Shurinov

II DIFFERENTIAL EQUATIONS First order differential equation Depinisyon Ang mga relasyon kung saan ang mga hindi kilalang variable at ang kanilang mga function ay nasa ilalim ng derivative o differential sign ay tinatawag

6 Mga problemang humahantong sa konsepto ng derivative Hayaang gumalaw ang isang materyal na punto sa isang tuwid na linya sa isang direksyon ayon sa batas s f (t), kung saan ang t ay oras at s ay ang landas na tinatahak ng punto sa oras t Tandaan ang isang tiyak na sandali

Lektura 3. Indefinite integral. Antiderivative at indefinite integral Sa differential calculus, nalutas ang problema: para sa isang ibinigay na function f () hanapin ang derivative nito (o differential). Integral na calculus

1 Lecture 7 Derivatives at differentials of higher orders Abstract: Ang konsepto ng isang differentiable function ay ipinakilala, isang geometric na interpretasyon ng unang differential ay ibinigay at ang invariance nito ay napatunayan.

Mga function ng ilang mga argumento Ang konsepto ng isang function para sa bawat elemento x mula sa set X ayon sa ilang batas y \u003d f (x) ay nauugnay sa isang solong halaga ng variable y mula sa set Y sa bawat pares ng mga numero

Compiled by VPBelkin 1 Lecture 1 Function ng ilang variable 1 Basic concepts Dependence \u003d f (1, n) of a variable on variables 1, n is called a function of n arguments 1, n Sa mga sumusunod, isasaalang-alang natin

DIFFERENTIAL EQUATIONS Pangkalahatang konsepto Ang mga differential equation ay marami at napaka-magkakaibang aplikasyon sa mechanics, physics, astronomy, technology, at sa iba pang sangay ng mas mataas na matematika (halimbawa,

I Depinisyon ng function ng ilang variable Domain of definition Kapag nag-aaral ng maraming phenomena, kailangang harapin ang function ng dalawa o higit pang independent variable. Halimbawa, temperatura ng katawan sa isang partikular na sandali

Lecture 8 Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange at L'Hospital's theorems

SA Lavrenchenko wwwlawrencenkoru Lecture 4 Differentiation of complex functions Implicit differentiation Recall the differentiation rule para sa functions ng isang variable, tinatawag ding chain rule (tingnan ang

Seksyon Differential calculus ng mga function ng isa at ilang variable Real argument function Real number Ang mga positive integer ay tinatawag na natural na numero Idagdag sa natural na numero

Workshop: "Pagkakaiba at pagkakaiba ng isang function" Kung ang function na y f () ay may finite derivative sa isang punto, kung gayon ang increment ng function sa puntong ito ay maaaring katawanin bilang: y (,) f () () (), kung saan sa

Lecture Differential equation ng ika-order Ang mga pangunahing uri ng differential equation ng ika-order at ang kanilang solusyon Ang mga differential equation ay isa sa mga pinakakaraniwang paraan ng mathematical

PAKSA 1 DERIVATIVE FUNCTION DIFFERENTIAL FUNCTION PROGRAM TANONG: 11 Functional connection Limitasyon sa function 1 Function derivative 1 Mechanical physical at geometric na kahulugan ng derivative 14 Basic

M I N I S T E R S T O E D U R A O V A N I A I A N A U K I R O S S I O Y F E D E R A T I O N FEDERAL STATE AUTONOMOUS EDUCATIONAL INSTITUTION OF HIGHER EDUCATION "National Research

DISIPLINA "Higher Mathematics" na kurso, semestre Correspondence form of education PAKSA Matrix Algebra

V.V. Zhuk, A.M. Kamachkin Pagkakaiba ng mga pag-andar ng ilang mga variable. Pagkakaiba ng isang function sa isang punto. Sapat na mga kondisyon para sa pagkakaiba-iba sa mga tuntunin ng mga partial derivatives. Kumplikadong pagkita ng kaibhan

Kabanata 4 Ang Limitasyon ng isang Function 4 1 ANG KONSEPTO NG LIMIT NG ISANG FUNCTION Ang kabanatang ito ay nakatuon sa konsepto ng limitasyon ng isang function. Tinukoy kung ano ang limitasyon ng isang function sa infinity, at pagkatapos ay ang limitasyon sa isang punto, mga limitasyon

LECTURE 23 CANONICAL TRANSFORMATIONS. THEOREM OF LIOUVILLE ON CONSERVATION OF PHASE VOLUME. FREE TRANSFORMATION GENERATING FUNCTION Patuloy kaming nag-aaral ng canonical transformations. Alalahanin muna natin ang pangunahing

Departamento ng Matematika at Informatika Pagsusuri ng matematika Pang-edukasyon at pamamaraang kumplikado para sa mga mag-aaral ng HPE na nag-aaral gamit ang mga teknolohiya ng distansya Module 3 Differential calculus ng mga function ng isa

Ang 55 ay nasa infinitesimal na halaga ng isang mas mataas na pagkakasunud-sunod ng kaliit kumpara sa ρ n (,), kung saan ρ () + (), pagkatapos ay maaari itong katawanin sa Peano form n R, ρ Halimbawa Isulat ang Taylor formula para sa n na may

Paksa Definite integral Definite integral Mga problema na humahantong sa konsepto ng isang tiyak na integral Ang problema sa pagkalkula ng lugar ng isang curvilinear trapezoid Sa Oxy coordinate system, isang curvilinear trapezoid ay ibinibigay,

5 Power series 5 Power series: definition, domain of convergence Function series of the form (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) na mga numero ay tinatawag na power series Numbers

Numerical series Numerical sequence Opr Ang numerical sequence ay isang numerical na function na tinukoy sa set ng mga natural na numero x - isang karaniwang miyembro ng sequence x =, x =, x =, x =,

Differential equation lecture 4 Equation sa kabuuang differentials. Integrating factor Lecturer Anna Igorevna Sherstneva 9. Equation in total differentials Ang equation d + d = 14 ay tinatawag na equation

Faculty of Metalurgy Department of Higher Mathematics

Pagsusuri sa matematika Seksyon: Function ng ilang variable Paksa: Pagkakaiba ng FNP (end. Partial derivatives at differentials ng complex FNP. Differentiation of implicit functions Lecturer Rozhkova S.V.

(Fermat's theorem - Darboux's theorem - Rolle's theorem - Lagrange's theorem mean value theorem - geometric na interpretasyon ng mean value theorem - Cauchy's theorem - finite increment formula - L'Hopital's rule

Kabanata 4 Pangunahing theorems ng differential calculus Pagsisiwalat ng kawalan ng katiyakan Mga pangunahing theorems ng differential calculus Fermat's theorem (Pierre Fermat (6-665) French mathematician) Kung ang function y f

LECTURE 7 DIFFERENTIAL CALCULATION NG ISANG FUNCTION NG ISANG VARIABLE 1 Ang konsepto ng isang derivative ng isang function

Ministri ng Edukasyon ng Republika ng Belarus Paksa ng Vitebsk State Technological University. "Rows" Department of Theoretical and Applied Mathematics. binuo ni Assoc. E.B. Dunina. Pangunahin

Lecture 3 Taylor at Maclaurin series Application ng power series Pagpapalawak ng mga function sa power series Taylor at Maclaurin series Para sa mga application, mahalagang mapalawak ang isang partikular na function sa isang power series, ang mga function na iyon.

58 Definite integral Hayaang ibigay ang function () sa interval. Isasaalang-alang natin ang function na tuluy-tuloy, bagama't hindi ito kailangan. Pumili tayo ng mga arbitrary na numero sa interval, 3, n-, na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon:

Mas mataas na pagkakasunud-sunod na kaugalian equation. Konev V.V. Mga balangkas ng lecture. Mga Nilalaman 1. Pangunahing konsepto 1 2. Mga equation na nagpapahintulot sa pagbabawas ng pagkakasunud-sunod 2 3. Linear differential equation ng mas mataas na pagkakasunud-sunod

Lecture 20 THEOREM ON THE DERIVATIVE OF A COMPLEX FUNCTION. Hayaan ang y = f(u) at u= u(x). Nakakakuha tayo ng function na y depende sa argumentong x: y = f(u(x)). Ang huling function ay tinatawag na function ng isang function o complex function.

Differentiation ng isang implicit function Isaalang-alang ang function (,) = C (C = const) Ang equation na ito ay tumutukoy sa isang implicit function () Ipagpalagay na nalutas na natin ang equation na ito at nakahanap ng isang explicit expression = () Ngayon ay maaari na nating

Moscow Aviation Institute (National Research University) Department of Higher Mathematics Limits Derivatives Functions of several variables Guidelines and control options

LABORATORY WORK 7 GENERALIZED FUNCTIONS I. BATAYANG MGA KONSEPTO AT TEOREM Ipahiwatig sa pamamagitan ng D ang set ng lahat ng walang hanggan na pagkakaiba-iba na may hangganan na mga function ng isang tunay na variable. Ito ay

Kabanata 3. Pagsisiyasat ng mga function sa tulong ng mga derivatives 3.1. Extremums at monotonicity Isaalang-alang ang isang function na y = f () na tinukoy sa ilang interval I R. Sinasabi na mayroon itong lokal na maximum sa punto

Moscow State Technical University na pinangalanang N.E. Bauman Faculty of Fundamental Sciences Department of Mathematical Modeling А.Н. Kanatnikov,

Mga alituntunin at variant ng RGR sa paksa Ang pag-andar ng ilang mga variable para sa mga mag-aaral ng espesyalidad na Disenyo. Kung ang dami ay natatanging tinutukoy sa pamamagitan ng pagtatakda ng mga halaga ng mga dami at independiyente sa bawat isa,

Moscow State Technical University na pinangalanang N.E. Bauman Faculty of Fundamental Sciences Department of Mathematical Modeling А.Н. Kanatnikov, A.P. Kryshenko

MGA METODOLOHIKAL NA MGA INSTRUKSYON PARA SA PAGKUKULANG GAWAIN SA KURSO NG HIGHER MATHEMATICS "ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS SERIES DOUBLE INTEGRALS" BAHAGI III SERYE NG TEMA Mga Nilalaman Serye Numerical na serye Convergence at divergence

Limitasyon sa pag-andar. Kahulugan ng Limitasyon ng Pagkakasunud-sunod ng Numero. Ang walang katapusang numerical sequence (o simpleng numerical sequence) ay isang function f f (, na tinukoy sa set ng lahat

Lecture 19 DERIVATIVE AT MGA APLIKASYON NITO. KAHULUGAN NG DERIVATIVE. Hayaan tayong magkaroon ng ilang function na y=f(x) na tinukoy sa ilang pagitan. Para sa bawat halaga ng argumentong x mula sa pagitan na ito, ang function na y=f(x)

Differential calculus ng mga function ng ilang variable Function ng ilang variable Ang isang quantity ay tinatawag na function ng variables n kung ang bawat point M n na kabilang sa ilang set X ay itinalaga

LECTURE N 7 .Kapangyarihan

Lecture 3 Existence at uniqueness theorem para sa solusyon sa isang scalar equation Pahayag ng problema Pangunahing resulta Isaalang-alang ang Cauchy problem d f () d =, () =

Federal Agency for Education Moscow State University of Geodesy and Cartography (MIIGAiK) METHODOLOGICAL INSTRUCTIONS AND TASKS FOR INDEPENDENT WORK sa kursong HIGHER MATHEMATICS

Isaalang-alang ang pagbabago ng isang function kapag dinadagdagan lamang ang isa sa mga argumento nito − x i, at tawagin natin ito.

Kahulugan 1.7.pribadong derivative mga function sa pamamagitan ng argumento x i tinatawag na .

Mga pagtatalaga: .

Kaya, ang bahagyang derivative ng isang function ng ilang mga variable ay aktwal na tinukoy bilang ang derivative ng function isang variable - x i. Samakatuwid, ang lahat ng mga katangian ng mga derivatives ay napatunayang para sa isang function ng isang variable ay totoo para dito.

Magkomento. Sa praktikal na pagkalkula ng mga partial derivatives, ginagamit namin ang karaniwang mga panuntunan para sa pag-iiba ng function ng isang variable, sa pag-aakalang ang argumento kung saan isinasagawa ang differentiation ay variable, at ang mga natitirang argumento ay pare-pareho.

1. z= 2x² + 3 xy –12y² + 5 x – 4y +2,

2. z = x y ,

Geometric na interpretasyon ng mga partial derivatives ng isang function ng dalawang variable.

Isaalang-alang ang surface equation z = f(x,y) at gumuhit ng eroplano x = const. Pumili tayo ng isang punto sa linya ng intersection ng eroplano sa ibabaw M (x, y). Kung itinakda mo ang argumento sa pagtaas Δ sa at isaalang-alang ang point T sa curve na may mga coordinate ( x, y+Δ y, z+Δy z), pagkatapos ay ang tangent ng anggulo na nabuo ng secant MT na may positibong direksyon ng O axis sa, ay magiging katumbas ng . Ang pagpasa sa limitasyon sa , nakuha namin na ang partial derivative ay katumbas ng tangent ng anggulo na nabuo ng tangent sa resultang curve sa punto M na may positibong direksyon ng O axis y. Alinsunod dito, ang partial derivative ay katumbas ng tangent ng anggulo na may O axis X padaplis sa kurba na nagreresulta mula sa seksyon ng ibabaw z = f(x,y) eroplano y= const.

Kahulugan 2.1. Ang buong pagtaas ng function na u = f(x, y, z) ay tinatawag

Kahulugan 2.2. Kung ang pagtaas ng function na u \u003d f (x, y, z) sa punto (x 0, y 0, z 0) ay maaaring kinakatawan sa form (2.3), (2.4), kung gayon ang function ay tinatawag na differentiable sa puntong ito, at ang expression ay tinatawag na pangunahing linear na bahagi ng increment o ang kabuuang pagkakaiba ng function na isinasaalang-alang.

Notasyon: du, df (x 0 , y 0 , z 0).

Tulad ng sa kaso ng isang function ng isang variable, ang mga pagkakaiba-iba ng mga independiyenteng variable ay ang kanilang mga di-makatwirang pagdaragdag, samakatuwid

Puna 1. Kaya, ang pahayag na "ang pag-andar ay naiba-iba" ay hindi katumbas ng pahayag na "ang pag-andar ay may mga partial derivatives" - ang differentiability ay nangangailangan din ng pagpapatuloy ng mga derivatives na ito sa puntong isinasaalang-alang.

4. Padaplis na eroplano at normal sa ibabaw. Ang geometric na kahulugan ng kaugalian.

Hayaan ang function z = f(x, y) ay differentiable sa isang kapitbahayan ng punto M (x 0, y 0). Pagkatapos ang mga bahagyang derivatives nito ay ang mga slope ng tangents sa mga linya ng intersection ng ibabaw. z = f(x, y) may mga eroplano y = y 0 at x = x 0, na magiging padaplis sa ibabaw mismo z = f(x, y). Sumulat tayo ng isang equation para sa eroplano na dumadaan sa mga linyang ito. Ang mga vector ng direksyon ng mga tangent ay may anyo (1; 0; ) at (0; 1; ), kaya ang normal sa eroplano ay maaaring katawanin bilang kanilang produkto ng vector: n = (- ,- , 1). Samakatuwid, ang equation ng eroplano ay maaaring isulat bilang:

saan z0 = .

Kahulugan 4.1. Ang eroplanong tinukoy ng equation (4.1) ay tinatawag padaplis na eroplano sa graph ng function z = f(x, y) sa puntong may mga coordinate (x 0, y 0, z 0).

Mula sa formula (2.3) para sa kaso ng dalawang variable ay sumusunod na ang pagtaas ng function f sa paligid ng punto M ay maaaring katawanin bilang:

Samakatuwid, ang pagkakaiba sa pagitan ng mga applicates ng function graph at ang tangent plane ay isang infinitesimal na mas mataas na order kaysa ρ, sa ρ→ 0.

Sa kasong ito, ang kaugalian ng pag-andar f mukhang:

na tumutugma pagtaas ng applicate ng tangent plane sa graph ng function. Ito ang geometriko na kahulugan ng kaugalian.

Kahulugan 4.2. Non-zero vector na patayo sa tangent plane sa isang punto M (x 0, y 0) ibabaw z = f(x, y), ay tinatawag na normal sa ibabaw sa puntong iyon.

Bilang isang normal sa ibabaw na isinasaalang-alang, ito ay maginhawa upang kunin ang vector - n = { , ,-1}.

Ang mga partial derivatives ng isang function kung sakaling umiiral ang mga ito hindi sa isang punto, ngunit sa isang partikular na set, ay mga function na tinukoy sa set na ito. Ang mga function na ito ay maaaring tuloy-tuloy at sa ilang mga kaso ay maaari ding magkaroon ng mga partial derivatives sa iba't ibang mga punto sa domain.

Ang mga partial derivatives ng mga function na ito ay tinatawag na second-order partial derivatives o second partial derivatives.

Ang mga partial derivative ng pangalawang order ay nahahati sa dalawang pangkat:

pangalawang partial derivatives ng may paggalang sa variable;

· pinaghalong partial derivatives ng may paggalang sa mga variable at.

Sa kasunod na pagkita ng kaibhan, maaaring matukoy ang mga partial derivative ng third-order, at iba pa. Ang mas mataas na ayos na bahagyang derivatives ay binibigyang kahulugan at isinulat sa pamamagitan ng kahalintulad na pangangatwiran.

Teorama. Kung ang lahat ng mga partial derivatives na kasama sa kalkulasyon, na itinuturing bilang mga function ng kanilang mga independiyenteng variable, ay tuloy-tuloy, kung gayon ang resulta ng partial differentiation ay hindi nakadepende sa sequence ng differentiation.

Kadalasan mayroong pangangailangan upang malutas ang isang kabaligtaran na problema, na binubuo sa pagtukoy kung ang kabuuang pagkakaiba ng isang function ay isang pagpapahayag ng anyo kung saan ang tuluy-tuloy na pag-andar na may tuloy-tuloy na mga derivatives ng unang pagkakasunud-sunod.

Ang kinakailangang kondisyon para sa kabuuang pagkakaiba ay maaaring mabalangkas bilang isang teorama, na tinatanggap namin nang walang patunay.

Teorama. Upang ang isang differential expression ay nasa isang domain ang kabuuang differential ng isang function na tinukoy at naiba sa domain na ito, kinakailangan na ang kundisyon para sa anumang pares ng mga independiyenteng variable ay magkaparehong nasiyahan sa domain na ito.

Ang gawain ng pagkalkula ng kabuuang second-order differential ng isang function ay maaaring malutas bilang mga sumusunod. Kung ang expression ng kabuuang differential ay din differentiable, kung gayon ang pangalawang kabuuang differential (o second-order total differential) ay maaaring ituring na expression na nakuha bilang resulta ng paglalapat ng differentiation operation sa unang kabuuang differential, i.e. . Ang analytical expression para sa pangalawang kabuuang pagkakaiba ay:

Isinasaalang-alang ang katotohanan na ang mga halo-halong derivative ay hindi nakasalalay sa pagkakasunud-sunod ng pagkita ng kaibhan, ang formula ay maaaring igrupo at kinakatawan bilang isang parisukat na anyo:

Ang quadratic form matrix ay:

Hayaang tinukoy ang superposisyon ng mga function sa at

tiyak sa. Kung saan. Pagkatapos, kung at may tuluy-tuloy na partial derivatives hanggang sa pangalawang pagkakasunud-sunod sa mga punto at, pagkatapos ay mayroong pangalawang kabuuang pagkakaiba ng compound function ng sumusunod na anyo:

Tulad ng nakikita mo, ang pangalawang kabuuang pagkakaiba ay walang katangian ng invariance ng hugis. Ang pagpapahayag ng pangalawang kaugalian ng isang kumplikadong function ay kinabibilangan ng mga termino ng form na wala sa formula ng pangalawang kaugalian ng isang simpleng function.

Ang pagtatayo ng mga partial derivatives ng isang function ng mas matataas na order ay maaaring ipagpatuloy sa pamamagitan ng pagsasagawa ng sunud-sunod na pagkakaiba-iba ng function na ito:

Kung saan ang mga indeks ay kumukuha ng mga halaga mula sa, i.e. ang order derivative ay itinuturing na unang order na partial derivative ng order derivative. Katulad nito, maaari nating ipakilala ang konsepto ng kabuuang pagkakaiba ng pagkakasunud-sunod ng isang function, bilang ang kabuuang pagkakaiba ng unang pagkakasunud-sunod ng pagkakasunud-sunod na kaugalian: .

Sa kaso ng isang simpleng function ng dalawang variable, ang formula para sa pagkalkula ng kabuuang pagkakaiba ng pagkakasunud-sunod ng isang function ay

Ginagawang posible ng paggamit ng differentiation operator na makakuha ng compact at madaling tandaan na notation para sa pagkalkula ng kabuuang differential ng pagkakasunud-sunod ng isang function, katulad ng binomial formula ng Newton. Sa dalawang-dimensional na kaso, mayroon itong anyo

Ang konsepto ng isang function ng dalawang variable

Halaga z tinawag function ng dalawang independent variables x at y, kung ang bawat pares ng mga tinatanggap na halaga ng mga dami na ito, ayon sa isang tiyak na batas, ay tumutugma sa isang mahusay na tinukoy na halaga ng dami z. Mga independiyenteng variable x at y tinawag mga argumento mga function.

Ang nasabing functional dependence ay analytically denoted

Z = f (x, y),(1)

Mga halaga ng mga argumento ng x at y na tumutugma sa aktwal na mga halaga ng function z, isinasaalang-alang matanggap, at ang hanay ng lahat ng tinatanggap na pares ng mga halaga ng x at y ay tinatawag domain ng kahulugan function ng dalawang variable.

Para sa isang function ng ilang mga variable, sa kaibahan sa isang function ng isang variable, ang mga konsepto nito bahagyang pagdaragdag para sa bawat argumento at konsepto buong pagtaas.

Bahagyang pagtaas Δ x z ng function na z=f (x,y) sa pamamagitan ng argumento Ang x ay ang increment na natatanggap ng function na ito kung ang argumento na x ay nadagdagan Δx na may pareho y:

Δxz = f (x + Δx, y) -f (x, y), (2)

Ang bahagyang pagdaragdag Δ y z ng function na z= f (x, y) na may paggalang sa y argument ay ang pagtaas na natatanggap ng function na ito kung ang argumento na y nito ay tumatanggap ng increment Δy na may x na hindi nagbabago:

Δy z= f (x, y + Δy) – f (x, y) , (3)

Buong pagtaas Δz mga function z= f (x, y) sa pamamagitan ng mga argumento x at y ay tinatawag na pagtaas na natatanggap ng isang function kung ang parehong mga argumento nito ay nadagdagan:

Δz= f (x+Δx, y+Δy) – f (x, y) , (4)

Para sa sapat na maliliit na palugit Δx at Δy mga argumento ng function

may tinatayang pagkakapantay-pantay:

∆z ∆xz + ∆yz , (5)

at ito ay mas tumpak, mas mababa Δx at Δy.

Mga partial derivatives ng mga function ng dalawang variable

Ang partial derivative ng function na z=f (x, y) na may paggalang sa x argument sa punto (x, y) ay tinatawag na limitasyon ng bahagyang pagtaas ng ratio ∆xz ang function na ito sa kaukulang pagtaas Δx argumento x kapag nagsusumikap Δx sa 0 at sa kondisyon na ang limitasyong ito ay umiiral:

, (6)

Ang derivative ng function ay parehong tinukoy z=f (x, y) sa pamamagitan ng argumento y:

Bilang karagdagan sa ipinahiwatig na notasyon, ang mga bahagyang derivatives ng mga function ay tinutukoy din ng , z΄ x , f΄ x (x, y); , z΄ y , f΄ y (x, y).

Ang pangunahing kahulugan ng partial derivative ay ang mga sumusunod: ang partial derivative ng isang function ng ilang variable na may kinalaman sa alinman sa mga argumento nito ay nagpapakilala sa rate ng pagbabago ng function na ito kapag nagbago ang argumentong ito.

Kapag kinakalkula ang partial derivative ng isang function ng ilang variable na may kinalaman sa anumang argumento, ang lahat ng iba pang argumento ng function na ito ay itinuturing na pare-pareho.

Halimbawa1. Maghanap ng mga Partial Derivatives ng Mga Function

f (x, y)= x 2 + y 3

Desisyon. Kapag nahanap ang partial derivative ng function na ito na may paggalang sa argument x, ang argument y ay itinuturing na isang pare-parehong halaga:

;

Kapag nahanap ang partial derivative na may paggalang sa argument y, ang argument x ay itinuturing na isang pare-parehong halaga:

.

Mga partial at kabuuang differential ng isang function ng ilang variable

Ang partial differential ng isang function ng ilang variable na may kinalaman sa kung saan-alinman sa mga argumento nito ay ang produkto ng bahagyang derivative ng function na ito na may paggalang sa ibinigay na argumento at ang pagkakaiba ng argumentong ito:

dxz= ,(7)

dyz= (8)

Dito d x z at d y z-mga partial na pagkakaiba ng isang function z= f (x, y) sa pamamagitan ng mga argumento x at y. Kung saan

dx= ∆x; dy=Δy, (9)

buong kaugalian Ang isang function ng ilang mga variable ay tinatawag na kabuuan ng mga partial differential nito:

dz= d x z + d y z, (10)

Halimbawa 2 Hanapin ang partial at total differentials ng function f (x, y)= x 2 + y 3 .

Dahil ang mga partial derivatives ng function na ito ay matatagpuan sa Halimbawa 1, nakukuha natin

dxz= 2xdx; d y z= 3y 2 dy;

dz= 2xdx + 3y 2dy

Ang partial differential ng isang function ng ilang variable na may kinalaman sa bawat argumento nito ay ang pangunahing bahagi ng kaukulang partial increment ng function..

Bilang resulta, maaaring isulat ng isa:

∆xz dxz, ∆yz d yz, (11)

Ang analytical na kahulugan ng kabuuang differential ay ang kabuuang differential ng isang function ng ilang variable ay ang pangunahing bahagi ng kabuuang increment ng function na ito..

Kaya, mayroong isang tinatayang pagkakapantay-pantay

∆zdz, (12)

Ang paggamit ng formula (12) ay batay sa paggamit ng kabuuang pagkakaiba sa tinatayang mga kalkulasyon.

Isipin ang isang pagtaas Δz bilang

f (x + Δx; y + Δy) – f (x, y)

at ang kabuuang pagkakaiba sa anyo

Pagkatapos makuha namin:

f (x + Δx, y + Δy) – f (x, y) ,

, (13)

3. Ang layunin ng mga mag-aaral sa aralin:

Dapat malaman ng mag-aaral:

1. Kahulugan ng isang function ng dalawang variable.

2. Ang konsepto ng partial at total increment ng isang function ng dalawang variable.

3. Pagpapasiya ng partial derivative ng isang function ng ilang variable.

4. Ang pisikal na kahulugan ng partial derivative ng isang function ng ilang variable na may paggalang sa alinman sa mga argumento nito.

5. Pagpapasiya ng partial differential ng isang function ng ilang variable.

6. Pagpapasiya ng kabuuang pagkakaiba ng isang function ng ilang mga variable.

7. Analytical na kahulugan ng kabuuang pagkakaiba.

Ang mag-aaral ay dapat na:

1. Maghanap ng pribado at kabuuang mga pagtaas ng isang function ng dalawang variable.

2. Kalkulahin ang mga partial derivatives ng isang function ng ilang variable.

3. Maghanap ng mga partial at total differential ng isang function ng ilang variable.

4. Ilapat ang kabuuang pagkakaiba ng isang function ng ilang variable sa tinatayang mga kalkulasyon.

Teoretikal na bahagi:

1. Ang konsepto ng isang function ng ilang mga variable.

2. Function ng dalawang variable. Bahagyang at kabuuang pagtaas ng isang function ng dalawang variable.

3. Partial derivative ng isang function ng ilang variable.

4. Mga partial differential ng isang function ng ilang variable.

5. Kabuuang pagkakaiba ng isang function ng ilang mga variable.

6. Paglalapat ng kabuuang pagkakaiba ng isang function ng ilang variable sa tinatayang mga kalkulasyon.

Praktikal na bahagi:

1. Maghanap ng mga partial derivatives ng mga function:

1) ; 4) ;

2) z \u003d e xy + 2 x; 5) z= 2tg xx y;

3) z \u003d x 2 kasalanan 2 y; 6) .

4. Tukuyin ang partial derivative ng isang function na may paggalang sa isang ibinigay na argumento.

5. Ano ang tinatawag na partial at total differential ng isang function ng dalawang variable? Paano sila magkakaugnay?

6. Listahan ng mga tanong upang suriin ang huling antas ng kaalaman:

1. Sa pangkalahatang kaso ng isang arbitrary na pag-andar ng ilang mga variable, ang kabuuang pagtaas ba nito ay katumbas ng kabuuan ng lahat ng bahagyang pagdaragdag?

2. Ano ang pangunahing kahulugan ng partial derivative ng isang function ng ilang variable na may paggalang sa alinman sa mga argumento nito?

3. Ano ang analytical na kahulugan ng kabuuang pagkakaiba?

7. Timeline ng aralin:

1. Pansamahang sandali - 5 minuto.

2. Pagsusuri ng paksa - 20 min.

3. Paglutas ng mga halimbawa at problema - 40 min.

4. Kasalukuyang kontrol ng kaalaman -30 min.

5. Pagbubuod ng aralin - 5 min.

8. Listahan ng mga literaturang pang-edukasyon para sa aralin:

1. Morozov Yu.V. Mga pundasyon ng mas mataas na matematika at istatistika. M., "Medicine", 2004, §§ 4.1–4.5.

2. Pavlushkov I.V. et al Mga Batayan ng mas mataas na matematika at istatistika ng matematika. M., "GEOTAR-Media", 2006, § 3.3.