Basahin ang "kasiyahan ng x" online. Steven Strogatz - Kasiyahan ng X

Ang aklat na ito ay mahusay na kinumpleto ng:

Quanta

Scott Patterson

Brainiac

Ken Jennings

Moneyball

Michael Lewis

Flexible na kamalayan

Carol Dweck

Physics ng stock market

James Weatherall

Ang Kagalakan ng X

Isang Guided Tour ng Math, mula One hanggang Infinity

Stephen Strogatz

Ang kasiyahan ng X

Isang kamangha-manghang paglalakbay sa mundo ng matematika mula sa isa sa mga pinakamahusay na guro sa mundo

Impormasyon mula sa publisher

Na-publish sa Russian sa unang pagkakataon

Na-publish na may pahintulot mula kay Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Strogatz, P.

Ang kasiyahan ng X. Isang kamangha-manghang paglalakbay sa mundo ng matematika mula sa isa sa mga pinakamahusay na guro sa mundo / Stephen Strogatz; lane mula sa Ingles - M.: Mann, Ivanov at Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Maaaring baguhin ng aklat na ito ang iyong saloobin sa matematika. Binubuo ito ng mga maikling kabanata, sa bawat isa ay makakatuklas ka ng bago. Malalaman mo kung gaano kapaki-pakinabang ang mga numero para sa pag-aaral sa mundo sa paligid mo, mauunawaan mo ang kagandahan ng geometry, makikilala mo ang biyaya ng integral calculus, makumbinsi ka sa kahalagahan ng mga istatistika at makikipag-ugnay ka sa kawalang-hanggan . Ang may-akda ay nagpapaliwanag ng mga pangunahing ideya sa matematika nang simple at elegante, na may makikinang na mga halimbawa na mauunawaan ng lahat.

Lahat ng karapatan ay nakalaan.

Walang bahagi ng aklat na ito ang maaaring kopyahin sa anumang anyo nang walang nakasulat na pahintulot ng mga may hawak ng copyright.

Ang legal na suporta para sa publishing house ay ibinibigay ng Vegas-Lex law firm.

Paunang Salita

Mayroon akong isang kaibigan na, sa kabila ng kanyang craft (siya ay isang artista), ay mahilig sa agham. Sa tuwing magkakasama kami, masigasig siyang nagsasalita tungkol sa pinakabagong mga pag-unlad sa sikolohiya o quantum mechanics. Ngunit sa sandaling magsimula kaming mag-usap tungkol sa matematika, nakaramdam siya ng panginginig sa kanyang mga tuhod, na labis na ikinagagalit niya. Nagrereklamo siya na hindi lamang ang mga kakaibang simbolo ng matematika na ito ay sumasalungat sa kanyang pang-unawa, ngunit kung minsan ay hindi niya alam kung paano bigkasin ang mga ito.

Sa katunayan, ang dahilan ng kanyang pagtanggi sa matematika ay mas malalim. Wala siyang ideya kung ano ang ginagawa ng mga mathematician sa pangkalahatan at kung ano ang ibig nilang sabihin kapag sinabi nilang elegante ang isang binigay na patunay. Minsan nagbibiruan kami na kailangan ko lang maupo at simulan ang pagtuturo sa kanya mula sa pinakabatayan, literal na 1 + 1 = 2, at pumunta nang malalim sa math hangga't kaya niya.

At bagaman ang ideyang ito ay tila baliw, ito mismo ang susubukan kong ipatupad sa aklat na ito. Gagabayan kita sa lahat ng pangunahing sangay ng agham, mula sa aritmetika hanggang sa mas mataas na matematika, upang sa wakas ay samantalahin ito ng mga nagnanais ng pangalawang pagkakataon. At sa pagkakataong ito hindi mo na kailangang maupo sa isang mesa. Hindi ka gagawin ng aklat na ito na isang dalubhasa sa matematika. Ngunit makakatulong ito sa iyo na maunawaan kung ano ang pinag-aaralan ng disiplina na ito at kung bakit ito ay kaakit-akit para sa mga nakakaunawa nito.

Tuklasin namin kung paano makakatulong ang mga slam dunks ni Michael Jordan na ipaliwanag ang pangunahing calculus. Ipapakita ko sa iyo ang isang simple at kamangha-manghang paraan upang maunawaan ang pangunahing teorama ng Euclidean geometry - ang Pythagorean Theorem. Susubukan naming makuha ang ilalim ng ilan sa mga misteryo ng buhay, malaki at maliit: pinatay ba ni Jay Simpson ang kanyang asawa; kung paano muling iposisyon ang isang kutson upang ito ay tumagal hangga't maaari; ilang partner ang kailangang baguhin bago magpakasal - at makikita natin kung bakit mas malaki ang ilang infinity kaysa sa iba.

Ang matematika ay nasa lahat ng dako, kailangan mo lamang matutunang kilalanin ito. Maaari mong makita ang sine wave sa likod ng zebra, marinig ang mga dayandang ng Euclid's theorems sa Deklarasyon ng Kalayaan; ano ang masasabi ko, kahit sa mga tuyong ulat na nauna sa Unang Digmaang Pandaigdig, may mga negatibong numero. Makikita mo rin kung paano naiimpluwensyahan ng mga bagong larangan ng matematika ang ating buhay ngayon, halimbawa, kapag naghanap tayo ng mga restaurant gamit ang computer o sinubukan nating maunawaan man lang, o mas mabuti pa, makaligtas sa nakakatakot na pagbabagu-bago ng stock market.

Isang serye ng 15 artikulo sa ilalim ng pangkalahatang pamagat na "Mga Pangunahing Kaalaman ng Matematika" ay lumabas online sa katapusan ng Enero 2010. Bilang tugon sa kanilang publikasyon, bumuhos ang mga liham at komento mula sa mga mambabasa sa lahat ng edad, kabilang ang maraming estudyante at guro. Mayroon ding mga simpleng mausisa na tao na, sa isang kadahilanan o iba pa, "naligaw ng landas" sa pag-unawa sa agham ng matematika; ngayon naramdaman nilang may na-miss sila O mahusay, at gustong subukang muli. Lalo akong natuwa sa pasasalamat ng aking mga magulang dahil, sa tulong ko, naipaliwanag nila ang matematika sa kanilang mga anak, at sila mismo ang nagsimulang mas maunawaan ito. Tila kahit na ang aking mga kasamahan at kasama, masigasig na mga tagahanga ng agham na ito, ay nasisiyahan sa pagbabasa ng mga artikulo, maliban sa mga sandaling iyon na nag-aagawan sila sa isa't isa upang mag-alok ng lahat ng uri ng mga rekomendasyon para sa pagpapabuti ng aking utak.

Sa kabila ng popular na paniniwala, mayroong isang malinaw na interes sa matematika sa lipunan, kahit na maliit na pansin ang binabayaran sa hindi pangkaraniwang bagay na ito. Ang tanging naririnig natin ay takot sa matematika, ngunit marami ang gustong subukang maunawaan ito nang mas mabuti. At sa sandaling mangyari ito, magiging mahirap na alisin ang mga ito.

Ipakikilala sa iyo ng aklat na ito ang pinakakumplikado at advanced na mga ideya mula sa mundo ng matematika. Ang mga kabanata ay maliit, madaling basahin at hindi partikular na nakadepende sa isa't isa. Kabilang sa mga ito ang mga kasama sa unang serye ng mga artikulo sa New York Times. Kaya, sa sandaling makaramdam ka ng kaunting pagkagutom sa matematika, huwag mag-atubiling kunin ang susunod na kabanata. Kung nais mong maunawaan ang isyu na interesado ka nang mas detalyado, pagkatapos ay sa dulo ng aklat ay may mga tala na may karagdagang impormasyon at mga rekomendasyon sa kung ano pa ang mababasa mo tungkol dito.

Para sa kaginhawahan ng mga mambabasa na mas gusto ang isang hakbang-hakbang na diskarte, hinati ko ang materyal sa anim na bahagi alinsunod sa tradisyonal na pagkakasunud-sunod ng pag-aaral ng mga paksa.

Ang Bahagi I, Mga Numero, ay nagsisimula sa ating paglalakbay sa aritmetika sa kindergarten at elementarya. Ipinapakita nito kung gaano kapaki-pakinabang ang mga numero at kung gaano kaepektibo ang mga ito sa paglalarawan sa mundo sa paligid natin.

Ang Bahagi II, "Mga Ratio," ay inililipat ang atensyon mula sa mga numero sa kanilang sarili sa mga relasyon sa pagitan nila. Ang mga ideyang ito ay nasa puso ng algebra at ang mga unang tool para sa paglalarawan kung paano nakakaapekto ang isang bagay sa isa pa, na nagpapakita ng sanhi-at-epekto na relasyon ng iba't ibang bagay: supply at demand, stimulus at tugon - sa madaling salita, lahat ng uri ng mga relasyon na nagpapayaman at sari-sari ang mundo.

Ang Bahagi III "Mga Figure" ay hindi nagsasabi tungkol sa mga numero at simbolo, ngunit tungkol sa mga numero at espasyo - ang domain ng geometry at trigonometrya. Ang mga paksang ito, kasama ang paglalarawan ng lahat ng nakikitang bagay sa pamamagitan ng mga hugis, lohikal na pangangatwiran at patunay, ay nagdadala ng matematika sa isang bagong antas ng katumpakan.

Sa Part IV, Time for a Change, titingnan natin ang calculus, ang pinakakapana-panabik at magkakaibang sangay ng matematika. Ginagawang posible ng Calculus na mahulaan ang trajectory ng mga planeta, ang mga cycle ng tides at ginagawang posible na maunawaan at ilarawan ang lahat ng pana-panahong pagbabago ng mga proseso at phenomena sa Uniberso at sa loob natin. Ang isang mahalagang lugar sa bahaging ito ay ibinibigay sa pag-aaral ng kawalang-hanggan, ang pacification na kung saan ay naging isang pambihirang tagumpay na nagpapahintulot sa mga kalkulasyon na gumana. Ang pag-compute ay nakatulong sa paglutas ng maraming problema na lumitaw sa sinaunang mundo, at ito sa huli ay humantong sa isang rebolusyon sa agham at modernong mundo.

Ang Bahagi V, "Ang Maraming Mukha ng Data," ay tumatalakay sa probabilidad, istatistika, network, at agham ng datos—bago pa ring mga larangan, na isinilang mula sa hindi gaanong maayos na mga aspeto ng ating buhay, tulad ng pagkakataon at suwerte, kawalan ng katiyakan, panganib , pagkakaiba-iba, kaguluhan, pagtutulungan. Gamit ang mga tamang tool ng matematika at ang mga naaangkop na uri ng data, matututo tayong makakita ng mga pattern sa daloy ng randomness.

Sa pagtatapos ng ating paglalakbay sa Part VI, “The Limits of the Possible,” lalapitan natin ang mga limitasyon ng kaalaman sa matematika, ang hangganang rehiyon sa pagitan ng kung ano ang alam na at kung ano ang mailap at hindi pa nalalaman. Muli nating dadaan ang mga paksa sa pagkakasunud-sunod na pamilyar na natin: mga numero, ratios, figure, pagbabago at kawalang-hanggan - ngunit sa parehong oras ay titingnan natin ang bawat isa sa kanila nang mas malalim, sa modernong pagkakatawang-tao nito.

Ang aklat na ito ay mahusay na kinumpleto ng:

Quanta

Scott Patterson

Brainiac

Ken Jennings

Moneyball

Michael Lewis

Flexible na kamalayan

Carol Dweck

Physics ng stock market

James Weatherall

Ang saya ni X

Isang Guided Tour ng Math, mula One hanggang Infinity

Stephen Strogatz

Isang kamangha-manghang paglalakbay sa mundo ng matematika mula sa isa sa mga pinakamahusay na guro sa mundo

Impormasyon mula sa publisher

Na-publish sa Russian sa unang pagkakataon

Na-publish na may pahintulot mula kay Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Strogatz, P.

The Pleasure of X. Isang kamangha-manghang paglalakbay sa mundo ng matematika mula sa isa sa mga pinakamahusay na guro sa mundo / Steven Strogatz; lane mula sa Ingles - M.: Mann, Ivanov at Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Lahat ng karapatan ay nakalaan.

Walang bahagi ng aklat na ito ang maaaring kopyahin sa anumang anyo nang walang nakasulat na pahintulot ng mga may hawak ng copyright.

Ang legal na suporta para sa publishing house ay ibinibigay ng Vegas-Lex law firm.

Paunang Salita

Isang serye ng 15 artikulo sa ilalim ng pangkalahatang pamagat na "Mga Pangunahing Kaalaman ng Matematika" ay lumabas online sa katapusan ng Enero 2010. Bilang tugon sa kanilang publikasyon, bumuhos ang mga liham at komento mula sa mga mambabasa sa lahat ng edad, kabilang ang maraming estudyante at guro. Mayroon ding mga simpleng mausisa na tao na, sa isang kadahilanan o iba pa, "naligaw ng landas" sa pag-unawa sa agham ng matematika; ngayon nadama nila na may napalampas silang kapaki-pakinabang at gustong subukang muli. Lalo akong natuwa sa pasasalamat ng aking mga magulang dahil, sa tulong ko, naipaliwanag nila ang matematika sa kanilang mga anak, at sila mismo ang nagsimulang mas maunawaan ito. Tila kahit na ang aking mga kasamahan at kasama, masigasig na mga tagahanga ng agham na ito, ay nasisiyahan sa pagbabasa ng mga artikulo, maliban sa mga sandaling iyon na nag-aagawan sila sa isa't isa upang mag-alok ng lahat ng uri ng mga rekomendasyon para sa pagpapabuti ng aking utak.

Umaasa ako na ang lahat ng mga ideya na inilarawan sa aklat na ito ay mukhang kaakit-akit sa iyo at mapapabulalas ka ng higit sa isang beses: "Wow!" Ngunit palagi kang kailangang magsimula sa isang lugar, kaya magsimula tayo sa isang simple ngunit kaakit-akit na aktibidad tulad ng pagbibilang.

1. Mga Pangunahing Kaalaman: Pagdaragdag ng Isda

Ang pinakamahusay na pagpapakita ng mga konsepto ng numero na nakita ko (ang pinakamalinaw at pinakanakakatawang paliwanag kung ano ang mga numero at kung bakit kailangan natin ang mga ito) ay nasa isang episode ng sikat na palabas ng mga bata na Sesame Street na tinatawag na 123: Counting Together "(123 Counter with Me). X...

Gaano kapaki-pakinabang ang mga numero para sa pag-aaral sa mundo sa paligid natin, ano ang kagandahan ng geometry, gaano ka-elegante ang mga integral na numero at gaano kahalaga ang mga istatistika? Pinag-uusapan ni Steven Strogatz ang lahat ng ito sa kanyang aklat na The Pleasure of X. Ang may-akda ay nagpapaliwanag ng mga pangunahing ideya sa matematika nang simple at elegante, na nagbibigay ng mga halimbawa na mauunawaan ng lahat. inilathala ng site ang isa sa mga kabanata ng aklat na inilathala nina Mann, Ivanov at Ferber.

Ang mga istatistika ay biglang naging isang usong larangan. Sa pagdating ng Internet, e-commerce, mga social network, proyekto ng human genome, at pag-unlad ng digital na kultura sa pangkalahatan, ang mundo ay napuno ng data. Pinag-aaralan ng mga marketer ang ating panlasa at gawi. Kinokolekta ng mga ahensya ng intelligence ang impormasyon tungkol sa aming lokasyon, mga email at tawag sa telepono. Ang mga istatistika ng sports ay nagsasalamangka ng mga numero upang magpasya kung aling mga manlalaro ang bibilhin, kung sino ang mag-draft, at kung sino ang ihaharap. Lahat ay nagsisikap na ikonekta ang mga tuldok sa isang graph at tumuklas ng isang pattern sa isang gulong koleksyon ng data.

Hindi kataka-taka na ang mga usong ito ay makikita sa pagtuturo. "Tingnan natin ang mga istatistika," paalala ni Greg Mankiw, isang ekonomista sa Harvard University, sa isang kolum ng New York Times.

"Ang kurikulum ng matematika sa mataas na paaralan ay gumugugol ng masyadong maraming oras sa mga tradisyonal na paksa tulad ng Euclidean geometry at trigonometrya. Ang mga pagsasanay sa pag-iisip na ito, na kapaki-pakinabang para sa karaniwang tao, ay, gayunpaman, ay hindi gaanong ginagamit sa pang-araw-araw na buhay. Ang mga mag-aaral ay makikinabang nang malaki sa pag-aaral ng higit pa tungkol sa posibilidad at istatistika." Si David Brooks ay nagpapatuloy pa. Sa kanyang artikulo tungkol sa mga disiplina na karapat-dapat ng pansin upang makakuha ng disenteng edukasyon, isinulat niya: “Kunin ang mga istatistika. Makikita mo, lumalabas na ang pag-alam kung ano ang karaniwang paglihis ay magiging lubhang kapaki-pakinabang sa iyo sa buhay."

Malamang, at magandang ideya din na maunawaan kung ano ang pamamahagi. Ito ang unang bagay na balak kong pag-usapan. At gusto kong tumuon dito, dahil isa ito sa mga pangunahing aral ng istatistika: ang mga bagay ay tila walang pag-asa na random at hindi mahuhulaan kapag tiningnan nang isa-isa, ngunit kapag pinagsama-sama ay nagpapakita sila ng isang pattern at predictability.

Maaaring nakakita ka ng isang pagpapakita ng prinsipyong ito sa isang museo ng agham (kung hindi, ang mga video ay makikita online). Ang isang tipikal na eksibit ay isang gamit na tinatawag na Galton board, na medyo nakapagpapaalaala sa isang pinball machine na walang mga flippers. Sa loob nito, mayroong kahit na mga hilera ng mga pin sa mga regular na pagitan.

Ang board ni Galton

Nagsisimula ang eksperimento sa daan-daang bola na inilunsad sa tuktok ng isang Galton board. Habang nahuhulog ang mga ito, bumangga sila sa mga pin at pantay na malamang na tumalbog sa kanan o sa kaliwa, at pagkatapos ay ibinahagi sa ilalim ng board, na nahuhulog sa mga compartment na may parehong lapad. Ang taas ng isang hanay ng mga bola ay nagpapakita kung gaano kalamang na mapunta ang bola sa isang partikular na lokasyon. Karamihan sa mga bola ay inilalagay humigit-kumulang sa gitna, may mas kaunti sa mga gilid, at mas kaunti pa sa mga gilid.

Sa pangkalahatan, ang larawan ay lubos na mahuhulaan: ang mga bola ay palaging bumubuo ng isang pamamahagi na hugis kampana, bagaman imposibleng mahulaan kung saan mapupunta ang bawat indibidwal na bola.

Paano nagiging mga pangkalahatang pattern ang mga indibidwal na aksidente? Ngunit ito ay kung paano gumagana ang pagkakataon. Ang gitnang column ay naglalaman ng pinakamaraming bola dahil, bago gumulong pababa, marami sa kanila ay gagawa ng humigit-kumulang sa parehong bilang ng mga pagtalon sa kanan at kaliwa at, bilang resulta, mapupunta sa isang lugar sa gitna. Maraming mga malungkot na bola na matatagpuan sa mga gilid ang bumubuo sa mga buntot ng pamamahagi - ito ang mga bola na, kapag nagbabanggaan sa mga pin, palaging tumalbog sa parehong direksyon. Ang gayong mga bounce ay hindi malamang, kaya naman kakaunti ang mga bola sa mga gilid.

Kung paanong ang lokasyon ng bawat bola ay natutukoy sa pamamagitan ng kabuuan ng maraming random na mga kaganapan, maraming phenomena sa mundong ito ang resulta ng maraming maliliit na pangyayari at sumusunod din sa isang hugis-kampanang kurba. Ang mga kompanya ng seguro ay nagpapatakbo sa prinsipyong ito. Maaari nilang tumpak na tantiyahin ang bilang ng kanilang mga kliyente na namamatay bawat taon. Gayunpaman, hindi nila alam kung sino ang eksaktong magiging malas sa pagkakataong ito.

O kunin, halimbawa, ang taas ng tao. Depende ito sa hindi mabilang na mga aksidente na may kaugnayan sa genetika, biochemistry, nutrisyon at kapaligiran. Samakatuwid, mayroong isang magandang pagkakataon na, kapag isinasaalang-alang nang magkasama, ang taas ng mga nasa hustong gulang na lalaki at babae ay bubuo ng isang hugis-kampanilya na kurba.

Sa isang post sa blog na tinatawag na "Misthings People Tell About Themselves Online," ang dating site na serbisyo sa istatistika ng OkCupid ay nag-publish kamakailan ng isang graph ng paglaki ng mga kliyente nito, o sa halip ang kanilang mga self-reported na halaga. Napag-alaman na ang mga rate ng paglago ng parehong kasarian, tulad ng inaasahan, ay bumubuo ng isang hugis-kampanilya na kurba. Ang nakakagulat, gayunpaman, ay ang parehong mga pamamahagi ay inilipat nang humigit-kumulang dalawang pulgada sa kanan ng mga inaasahang halaga.

Strogatz S. Kasiyahan mula sa H. - M.: Mann, Ivanov at Ferber, 2014.

Kaya't alinman sa mga customer na sinuri ng OkCupid ay mas matangkad kaysa sa karaniwan o nagdaragdag sila ng ilang pulgada sa kanilang taas kapag inilalarawan ang kanilang sarili online.

Ang idealized na bersyon ng naturang bell curves ay tinatawag ng mga mathematician na normal na distribution. Ito ay isa sa pinakamahalagang konsepto sa istatistika, na may teoretikal na batayan. Mapapatunayan na ang isang normal na distribusyon ay nangyayari kapag ang isang malaking bilang ng mga maliliit na random na mga kadahilanan ay idinagdag nang sama-sama, ang bawat isa sa kanila ay kumikilos nang hiwalay sa iba. At maraming mga kaganapan ang nangyayari sa ganitong paraan.

Pero hindi lahat. At ito ang pangalawang punto na nais kong bigyang pansin. Ang normal na pamamahagi ay hindi kasing dami ng tila. Sa daan-daang taon, at lalo na sa huling ilang dekada, napansin ng mga siyentipiko at istatistika ang pagkakaroon ng maraming mga phenomena na lumihis mula sa kurba na ito at sumusunod sa kanilang sariling iskedyul. Nakakapagtataka na ang mga ganitong uri ng pamamahagi ay halos hindi nabanggit sa mga aklat-aralin sa mga istatistika ng elementarya, at kung sila ay natagpuan, sila ay karaniwang itinuturing na ilang uri ng patolohiya.

Ito ay kakaiba. Susubukan kong ipaliwanag na maraming phenomena ng modernong buhay ang nagiging mas makabuluhan kung mauunawaan ang mga "pathological" distribution na ito. Ito ang bagong normal. Kunin, halimbawa, ang pamamahagi ng mga laki ng lungsod sa Estados Unidos. Sa halip na mag-cluster sa ilang average na bell curve, ang karamihan sa mga lungsod ay maliit sa laki at samakatuwid ay cluster sa kaliwang bahagi ng graph.

Strogatz S. Kasiyahan mula sa H. - M.: Mann, Ivanov at Ferber, 2014.

At kung mas malaki ang populasyon ng isang lungsod, hindi gaanong karaniwan ang mga naturang lungsod. Sa madaling salita, sa pinagsama-samang pamamahagi ay magiging higit na isang hugis-L na kurba kaysa sa isang hugis-kampanang kurba.

At ito ay hindi nakakagulat. Alam ng lahat na may mas kaunting mga megacity kaysa sa maliliit na lungsod. Bagama't hindi masyadong halata, ang mga sukat ng lungsod ay sumusunod sa isang magandang simpleng pamamahagi - kapag tiningnan mo ang mga ito sa isang logarithmic scale.

Ipagpalagay namin na ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang lungsod ay pareho kung ang kanilang populasyon ay naiiba sa parehong bilang ng beses (tulad ng anumang dalawang piano key na pinaghihiwalay ng isang octave ay palaging naiiba sa kalahati ng dalas). At gawin natin ang parehong sa vertical axis.

Strogatz S. Kasiyahan mula sa H. - M.: Mann, Ivanov at Ferber, 2014.

Ang data ay nasa isang curve na halos perpektong tuwid na linya. Batay sa mga katangian ng logarithms, madaling mahihinuha na ang orihinal na hugis-L na curve ay isang power-law dependence, na inilalarawan ng isang function ng form.

kung saan ang x ay ang populasyon ng lungsod, ang y ay ang bilang ng mga lungsod na ganito ang laki, ang c ay isang pare-pareho, at ang exponent a (power-law exponent) ay tumutukoy sa negatibong slope ng tuwid na linya.

Ang mga distribusyon ng kuryente ay may ilang hindi makatwirang katangian mula sa pananaw ng mga tradisyonal na istatistika. Halimbawa, hindi katulad ng isang normal na distribusyon, ang kanilang mga mode, median, at paraan ay hindi nagtutugma dahil sa skewed, asymmetrical na hugis ng L-shaped curves.

Malaki ang nakinabang dito ni Pangulong Bush, na sinabi noong 2003 na ang mga pagbawas ng buwis ay nagligtas sa bawat pamilya ng average na $1,586. Bagama't ito ay tama sa matematika, sinamantala niya ang average na bawas, na nagtago ng malalaking pagbabawas ng daan-daang libong dolyar na natanggap ng pinakamayamang 0.1% ng populasyon ng bansa. Nabatid na ang buntot sa kanang bahagi ng distribusyon ng kita ay sumusunod sa batas ng kapangyarihan, at sa ganoong sitwasyon, ang paggamit ng average ay nakaliligaw dahil malayo ito sa tunay na halaga. Sa katotohanan, karamihan sa mga pamilya ay nakatanggap ng mas mababa sa $650 pabalik. Sa distribusyon na ito, ang median ay makabuluhang mas mababa kaysa sa mean.

Ang halimbawang ito ay nagpapakita ng isang mahalagang pag-aari ng mga pamamahagi ng batas ng kapangyarihan: mayroon silang mabibigat na buntot kumpara sa hindi bababa sa maliliit na likidong buntot ng isang normal na distribusyon. Ang malalaking buntot na tulad nito, bagama't bihira, ay mas karaniwan sa mga pamamahagi ng data kaysa sa mga regular na kurba na hugis kampana.

Noong Black Monday, Oktubre 19, 1987, ang Dow Jones Industrial Average ay bumagsak ng 22%. Kung ikukumpara sa karaniwang antas ng pagkasumpungin sa stock market, ang pagbaba na ito ay higit sa dalawampung standard deviations. Ayon sa mga tradisyunal na istatistika (na gumagamit ng normal na distribusyon), ang ganitong kaganapan ay halos imposible: ang posibilidad nito ay mas mababa sa isa sa 100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 (ika-5 na kapangyarihan). Gayunpaman, nangyari ito - dahil ang mga pagbabago sa presyo sa stock market ay hindi sumunod sa isang normal na pamamahagi.

Ang mga mabibigat na distribusyon ay mas angkop para ilarawan ang mga ito. Nangyayari ito sa mga lindol, sunog at baha, na nagpapahirap sa mga kompanya ng seguro na pamahalaan ang panganib.

Ang parehong modelo ng matematika ay naglalarawan sa bilang ng mga namatay mula sa mga digmaan at pag-atake ng mga terorista, pati na rin ang iba pang mas mapayapang bagay, tulad ng bilang ng mga salita sa isang nobela o ang bilang ng mga kasosyong sekswal na mayroon ang isang tao.

Bagama't ang mga pang-uri na ginamit upang ilarawan ang mahahabang buntot ay hindi pinipinta ang mga ito sa napakagandang liwanag, ang mga pamamahagi ng mga buntot ay buong pagmamalaki. Mataba, mabigat at mahaba? Oo nga. Ngunit sa kasong ito, ipakita sa akin kung alin ang normal?

Ang Kagalakan ng X

Isang Guided Tour ng Math, mula One hanggang Infinity

Na-publish na may pahintulot mula kay Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Lahat ng karapatan ay nakalaan. Walang bahagi ng elektronikong bersyon ng aklat na ito ang maaaring kopyahin sa anumang anyo o sa anumang paraan, kabilang ang pag-post sa Internet o mga corporate network, para sa pribado o pampublikong paggamit nang walang nakasulat na pahintulot ng may-ari ng copyright.

Ang legal na suporta para sa publishing house ay ibinibigay ng Vegas-Lex law firm.

* * *

Ang aklat na ito ay mahusay na kinumpleto ng:

Quanta

Scott Patterson

Brainiac

Ken Jennings

Moneyball

Michael Lewis

Flexible na kamalayan

Carol Dweck

Physics ng stock market

James Weatherall

Paunang Salita

Upang linawin kung ano ang ibig kong sabihin sa buhay ng mga numero at ang kanilang pag-uugali na hindi natin makontrol, bumalik tayo sa Furry Paws Hotel. Ipagpalagay na ibibigay na ni Humphrey ang order, ngunit bigla siyang tinawag ng mga penguin mula sa ibang silid at humingi din ng parehong dami ng isda. Ilang beses dapat isigaw ni Humphrey ang salitang "isda" pagkatapos makatanggap ng dalawang order? Kung wala siyang natutunan tungkol sa mga numero, kailangan niyang sumigaw ng maraming beses na may mga penguin sa magkabilang silid. O, gamit ang mga numero, maaari niyang ipaliwanag sa kusinero na kailangan niya ng anim na isda para sa isang numero at anim para sa isa pa. Ngunit ang talagang kailangan niya ay isang bagong konsepto: karagdagan. Kapag na-master na niya ito, buong pagmamalaki niyang sasabihin na kailangan niya ng six plus six (o, kung poser siya, labindalawa) na isda.

Ito ay ang parehong proseso ng malikhaing bilang noong una tayong nakaisip ng mga numero. Kung paanong pinadali ng mga numero ang pagbibilang kaysa sa paglilista nang paisa-isa, pinapadali ng karagdagan ang pagkalkula ng anumang halaga. Kasabay nito, ang gumagawa ng pagkalkula ay bubuo bilang isang mathematician. Sa siyentipiko, ang ideyang ito ay maaaring mabalangkas tulad ng sumusunod: ang paggamit ng mga tamang abstraction ay humahantong sa mas malalim na pananaw sa kakanyahan ng isyu at higit na kapangyarihan sa paglutas nito.

Sa lalong madaling panahon, marahil, kahit na si Humphrey ay matanto na ngayon ay maaari na siyang palaging magbilang.

Gayunpaman, sa kabila ng walang katapusang pananaw, palaging may ilang limitasyon ang ating pagkamalikhain. Maaari tayong magpasya kung ano ang ibig sabihin ng 6 at +, ngunit kapag nagawa na natin, ang mga resulta ng mga expression tulad ng 6 + 6 ay lampas sa ating kontrol. Dito ang lohika ay mag-iiwan sa amin ng walang pagpipilian. Sa ganitong kahulugan, palaging kasama sa matematika ang parehong imbensyon, kaya at pambungad: kami mag-imbento konsepto, ngunit bukas kanilang kahihinatnan. Tulad ng lilinawin ng mga susunod na kabanata, sa matematika ang ating kalayaan ay nakasalalay sa kakayahang magtanong at magpumilit sa paghahanap ng mga sagot nang hindi kinakailangang mag-imbento ng mga ito sa ating sarili.

2. Stone arithmetic

Tulad ng anumang kababalaghan sa buhay, ang aritmetika ay may dalawang panig: pormal at nakakaaliw (o mapaglaro).

Pinag-aralan namin ang pormal na bahagi sa paaralan. Doon ay ipinaliwanag nila sa amin kung paano gumawa ng mga column ng mga numero, pagdaragdag at pagbabawas ng mga ito, kung paano i-crunch ang mga ito kapag gumagawa ng mga kalkulasyon sa mga spreadsheet kapag pinupunan ang mga tax return at naghahanda ng mga taunang ulat. Ang bahaging ito ng aritmetika ay tila mahalaga sa marami mula sa praktikal na pananaw, ngunit ganap na walang saya.

Maaari mo lamang makilala ang nakakaaliw na bahagi ng aritmetika sa proseso ng pag-aaral ng mas mataas na matematika {3}. Gayunpaman, ito ay natural na tulad ng pag-usisa ng isang bata {4}.

Sa sanaysay na "The Mathematician's Lament," iminungkahi ni Paul Lockhart na pag-aralan ang mga numero sa mas konkretong mga halimbawa kaysa karaniwan: hinihiling niya sa atin na isipin ang mga ito bilang isang bilang ng mga bato. Halimbawa, ang numero 6 ay tumutugma sa sumusunod na hanay ng mga pebbles:

Malamang na hindi ka makakita ng kakaiba dito. Ang paraan nito. Hanggang sa simulan nating manipulahin ang mga numero, halos magkapareho sila. Magsisimula ang laro kapag nakatanggap kami ng isang gawain.

Halimbawa, tingnan natin ang mga set na naglalaman ng 1 hanggang 10 bato at subukang gumawa ng mga parisukat mula sa mga ito. Magagawa lamang ito sa dalawang set ng 4 at 9 na bato, dahil 4 = 2 × 2 at 9 = 3 × 3. Nakukuha natin ang mga numerong ito sa pamamagitan ng pag-square ng ibang numero (iyon ay, pag-aayos ng mga bato sa isang parisukat).

Narito ang isang problema na may mas malaking bilang ng mga solusyon: kailangan mong malaman kung aling mga set ang bubuo ng isang parihaba kung ayusin mo ang mga bato sa dalawang hanay na may pantay na bilang ng mga elemento. Ang mga set ng 2, 4, 6, 8 o 10 na bato ay angkop dito; ang bilang ay dapat na pantay. Kung susubukan naming ayusin ang mga natitirang set na may kakaibang bilang ng mga bato sa dalawang hanay, palagi kaming magtatapos sa dagdag na bato.

Ngunit hindi lahat ay nawala para sa mga awkward na numerong ito! Kung kukuha ka ng dalawang ganoong set, ang mga karagdagang elemento ay makakahanap ng isang pares, at ang kabuuan ay magiging even: odd number + odd number = even number.

Kung palawigin natin ang mga panuntunang ito sa mga numero pagkatapos ng 10, at ipagpalagay na ang bilang ng mga hilera sa isang parihaba ay maaaring higit sa dalawa, kung gayon ang ilang mga kakaibang numero ay magbibigay-daan sa mga naturang parihaba na maidagdag. Halimbawa, ang numero 15 ay maaaring bumuo ng 3 × 5 na parihaba.

Samakatuwid, kahit na ang 15 ay walang alinlangan na isang kakaibang numero, ito ay isang pinagsama-samang numero at maaaring katawanin bilang tatlong hanay ng limang bato bawat isa. Gayundin, ang anumang entry sa multiplication table ay gumagawa ng sarili nitong parihabang grupo ng mga pebbles.

Ngunit ang ilang mga numero, tulad ng 2, 3, 5 at 7, ay ganap na walang pag-asa. Wala kang mailalatag mula sa kanila maliban sa ayusin ang mga ito sa anyo ng isang simpleng linya (isang hilera). Ang mga kakaibang matigas ang ulo ang mga sikat na prime number.

Kaya nakikita natin na ang mga numero ay maaaring magkaroon ng mga kakaibang istruktura na nagbibigay sa kanila ng isang tiyak na karakter. Ngunit upang maunawaan ang buong saklaw ng kanilang pag-uugali, kailangan mong umatras mula sa mga indibidwal na numero at obserbahan kung ano ang nangyayari sa panahon ng kanilang pakikipag-ugnayan.

Halimbawa, sa halip na magdagdag lamang ng dalawang kakaibang numero, idagdag natin ang lahat ng posibleng pagkakasunod-sunod ng mga kakaibang numero, simula sa 1:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Nakakagulat, ang mga kabuuan na ito ay palaging nagiging perpektong mga parisukat. (Nasabi na namin na ang 4 at 9 ay maaaring irepresenta bilang mga parisukat, at para sa 16 = 4 × 4 at 25 = 5 × 5 ay totoo rin ito.) Ang isang mabilis na pagkalkula ay nagpapakita na ang panuntunang ito ay totoo rin para sa mas malalaking mga kakaibang numero at , tila. , ay may posibilidad na infinity. Ngunit ano ang koneksyon sa pagitan ng mga kakaibang numero sa kanilang "dagdag" na mga bato at ang mga klasikong simetriko na mga numero na bumubuo ng mga parisukat? Sa pamamagitan ng tamang paglalagay ng mga pebbles, maaari nating gawin itong halata, na siyang tanda ng isang eleganteng patunay. {5}

Ang susi dito ay ang obserbasyon na ang mga kakaibang numero ay maaaring katawanin bilang equilateral na mga anggulo, ang sunud-sunod na overlap na bumubuo ng isang parisukat!

Ang isang katulad na paraan ng pangangatuwiran ay ipinakita sa isa pang kamakailang nai-publish na libro. Ang kaakit-akit na nobela ni Yoko Ogawa na The Housekeeper and the Professor ay nagkukuwento ng isang matalino ngunit walang pinag-aralan na dalaga at ang kanyang sampung taong gulang na anak na lalaki. Isang babae ang tinanggap para alagaan ang isang matandang mathematician na ang panandaliang memorya, dahil sa isang traumatikong pinsala sa utak, ay nagpapanatili lamang ng impormasyon tungkol sa huling 80 minuto ng kanyang buhay. Nawala sa kasalukuyan, nag-iisa sa kanyang kurbadong kubo, na walang iba kundi mga numero, sinubukan ng propesor na makipag-usap sa kasambahay sa tanging paraan na alam niya: sa pamamagitan ng pagtatanong tungkol sa laki ng sapatos o petsa ng kapanganakan nito at pakikipag-usap sa kanya tungkol sa kanyang mga gastos. Nagustuhan din ng propesor ang anak ng housekeeper, na tinawag niyang Ruth (Root) dahil flat ang ulo ng bata sa itaas, at ito ay nagpapaalala sa kanya ng mathematical notation para sa square root √.

Isang araw, binigyan ng propesor ang bata ng isang simpleng gawain - upang mahanap ang kabuuan ng lahat ng mga numero mula 1 hanggang 10. Matapos maingat na pagsamahin ni Ruth ang lahat ng mga numero at bumalik kasama ang sagot (55), hiniling ng propesor sa kanya na maghanap ng isang mas madaling paraan. Mahahanap kaya niya ang sagot? walang ordinaryong pagdaragdag ng mga numero? Sinipa ni Ruth ang isang upuan at sumigaw, "Hindi makatarungan!"

Unti-unti, nahuhulog din ang kasambahay sa mundo ng mga numero at lihim na sinusubukang lutasin ang problemang ito sa kanyang sarili. "Hindi ko maintindihan kung bakit interesado ako sa isang palaisipan ng mga bata na walang praktikal na gamit," sabi niya. “Noong una gusto kong pasayahin ang propesor, ngunit unti-unting naging labanan ang araling ito sa pagitan ko at ng mga numero. Paggising ko sa umaga, naghihintay na sa akin ang equation:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,