Kahulugan 1. Prime number ay isang natural na bilang na mas malaki sa 1 na nahahati lamang sa sarili at 1.

Sa madaling salita, ang isang numero ay prime kung mayroon lamang itong dalawang natatanging natural na divisors.

Kahulugan 2. Anumang natural na numero na may iba pang divisors bukod sa sarili nito at isa ay tinatawag pinagsama-samang numero.

Sa madaling salita, ang mga natural na numero na hindi prime ay tinatawag na composite numbers. Ang Depinisyon 1 ay nagpapahiwatig na ang isang pinagsama-samang numero ay may higit sa dalawang natural na divisors. Ang numero 1 ay hindi prime o composite. mayroon lamang isang divisor 1 at, bukod dito, maraming theorems tungkol sa mga prime number ang hindi nagtataglay ng pagkakaisa.

Ito ay sumusunod mula sa Mga Kahulugan 1 at 2 na ang bawat positibong integer na higit sa 1 ay alinman sa isang prime o isang composite na numero.

Nasa ibaba ang isang programa para sa pagpapakita ng mga pangunahing numero hanggang sa 5000. Punan ang mga cell, mag-click sa pindutang "Lumikha" at maghintay ng ilang segundo.

Pangunahing talahanayan ng numero

Pahayag 1. Kung ang p ay isang prime number at a anumang integer, pagkatapos ay alinman a hinati ng p, o p at a medyo prime number.

Talaga. Kung ang p prime number, kung gayon ito ay mahahati lamang sa sarili nito at 1 kung a hindi mahahati ng p, pagkatapos ay ang pinakamalaking karaniwang divisor a at p katumbas ng 1. Pagkatapos p at a medyo prime number.

Pahayag 2. Kung ang produkto ng ilang bilang ng mga numero a 1 , a 2 , a 3 , ... ay nahahati sa isang prime number p, pagkatapos ay kahit isa sa mga numero a 1 , a 2 , a 3 , ... ay nahahati ng p.

Talaga. Kung wala sa mga numero ang mahahati ng p, pagkatapos ay ang mga numero a 1 , a 2 , a 3 , ... ay magiging relatibong prime number na may kinalaman sa p. Ngunit mula sa Corollary 3 () sumusunod na ang kanilang produkto a 1 , a 2 , a 3 , ... ay coprime din na may paggalang sa p, na sumasalungat sa kondisyon ng assertion. Samakatuwid, hindi bababa sa isa sa mga numero ang nahahati ng p.

Teorama 1. Ang anumang pinagsama-samang numero ay maaaring palaging kinakatawan, at higit pa rito sa isang natatanging paraan, bilang isang produkto ng isang may hangganang bilang ng mga prime number.

Patunay. Hayaan k composite number, at hayaan a Ang 1 ay isa sa mga divisors nito na naiiba sa 1 at mismo. Kung ang a Ang 1 ay pinagsama-sama, pagkatapos ay mayroon itong karagdagan sa 1 at a 1 at isa pang divider a 2. Kung ang a Ang 2 ay isang pinagsama-samang numero, pagkatapos ay mayroon itong, bilang karagdagan sa 1 at a 2 at isa pang divider a 3 . Nagtatalo sa ganitong paraan at isinasaalang-alang na ang mga numero a 1 , a 2 , a 3 , ... bumaba at ang seryeng ito ay naglalaman ng may hangganang bilang ng mga termino, maaabot natin ang ilang prime number p isa. Pagkatapos k maaaring katawanin bilang

Ipagpalagay na mayroong dalawang pagpapalawak ng isang numero k:

Bilang k=p 1 p 2 p 3 ... ay nahahati sa isang prime number q 1 , pagkatapos ay hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan, halimbawa p 1 ay mahahati ng q isa. Pero p Ang 1 ay prime at nahahati lang ng 1 at mismo. Kaya naman p 1 =q 1 (dahil q 1 ≠1)

Pagkatapos mula sa (2) maaari nating ibukod p 1 at q 1:

Kaya, tinitiyak namin na anumang prime number na pumapasok sa unang expansion bilang isang factor nang isa o higit pang beses ay pumapasok sa pangalawang expansion kahit man lang sa parehong bilang ng beses at vice versa, anumang prime number na pumapasok sa pangalawang expansion bilang isang factor ng isa o ilang. ang mga beses ay pumapasok din sa unang pagpapalawak ng kahit gaano karaming beses. Samakatuwid, ang anumang prime number ay pumapasok bilang isang salik sa parehong mga pagpapalawak sa parehong dami ng beses at, sa gayon, ang dalawang pagpapalawak na ito ay pareho.■

Decomposition ng isang composite number k maaaring isulat sa sumusunod na anyo

(3)

saan p 1 , p 2 , ... natatanging prime number, α, β, γ ... integer positibong numero.

Ang decomposition (3) ay tinatawag canonical decomposition numero.

Ang mga pangunahing numero sa serye ng mga natural na numero ay nangyayari nang hindi pantay. Sa ilang bahagi ng serye ay mas marami sa kanila, sa iba pa - mas kaunti. Habang patuloy tayong gumagalaw sa serye ng numero, mas bihira ang mga prime number. Ang tanong, mayroon bang pinakamalaking prime number? Pinatunayan ng sinaunang Griyegong matematiko na si Euclid na mayroong walang katapusang maraming prime number. Ipinakita namin ang patunay na ito sa ibaba.

Teorama 2. Ang bilang ng mga pangunahing numero ay walang katapusan.

Patunay. Ipagpalagay na mayroong isang may hangganan na bilang ng mga prime, at hayaan ang pinakamalaking prime p. Isaalang-alang natin ang lahat ng mga numero p. Sa pamamagitan ng pagpapalagay ng pahayag, ang mga numerong ito ay dapat na pinagsama-sama at dapat na mahahati ng hindi bababa sa isa sa mga pangunahing numero. Pumili tayo ng isang numero na produkto ng lahat ng mga prime na ito kasama ang 1:

Numero z higit pa p bilang 2p mas marami na p. p ay hindi nahahati sa alinman sa mga prime number na ito, dahil kapag hinati sa bawat isa sa kanila, ito ay nagbibigay ng nalalabi na 1. Kaya tayo ay dumating sa isang kontradiksyon. Samakatuwid, mayroong isang walang katapusang bilang ng mga prime number.

Ang theorem na ito ay isang espesyal na kaso ng isang mas pangkalahatang theorem:

Teorama 3. Hayaang magbigay ng aritmetika na pag-unlad

Pagkatapos ng anumang prime number sa n, ay dapat ding isama sa m, kaya sa n hindi maaaring isama ang iba pang pangunahing mga kadahilanan na hindi kasama sa m at, bukod dito, ang mga pangunahing salik na ito sa n lilitaw nang hindi hihigit sa mga beses kaysa sa m.

Totoo rin ang kabaligtaran. Kung ang bawat prime factor ng isang numero n nangyayari nang hindi bababa sa parehong bilang ng beses m, pagkatapos m hinati ng n.

Pahayag 3. Hayaan a 1 ,a 2 ,a 3 ,... iba't ibang prime ang lumalabas sa m kaya

saan i=0,1,...α , j=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . pansinin mo yan a i tinatanggap α +1 na halaga, β tumatanggap si j β +1 na halaga, γ kumukuha si k γ +1 na halaga, ... .

Ang paghahati ng mga natural na numero sa prime at composite ay iniuugnay sa sinaunang Greek mathematician na si Pythagoras. At kung susundin mo ang Pythagoras, kung gayon ang hanay ng mga natural na numero ay maaaring nahahati sa tatlong klase: (1) - isang set na binubuo ng isang numero - isa; (2, 3, 5, 7, 11, 13, ) ay ang set ng mga prime number; (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ) ay ang hanay ng mga pinagsama-samang numero.

Maraming iba't ibang misteryo ang nagtatago sa ikalawang set. Ngunit una, alamin natin kung ano ang isang prime number. Binuksan namin ang "Mathematical Encyclopedic Dictionary" (Yu. V. Prokhorov, publishing house na "Soviet Encyclopedia", 1988) at basahin:

“Ang prime number ay isang positive integer na mas malaki kaysa sa isa na walang ibang divisors kaysa sa sarili nito at isa: 2,3,5,7,11,13,

Ang konsepto ng isang prime number ay pangunahing sa pag-aaral ng divisibility ng natural na mga numero; ibig sabihin, ang pangunahing teorama ng arithmetic ay nagsasaad na ang bawat positibong integer, maliban sa 1, ay maaaring natatanging mabulok sa isang produkto ng mga prime number (ang pagkakasunud-sunod ng mga kadahilanan ay hindi isinasaalang-alang). Mayroong walang katapusang maraming prime number (ang proposisyong ito, na tinatawag na Euclid's theorem, ay kilala na ng mga sinaunang Greek mathematician, ang patunay nito ay makikita sa aklat 9 ng Euclid's Elements). Itinatag ni P. Dirichlet (1837) na sa isang arithmetic progression a+bx at x=1. Ang ,2,с na may mga coprime integer a at b ay naglalaman din ng walang katapusan na maraming prime.

Upang mahanap ang mga prime number mula 1 hanggang x, ang kilalang-kilala mula sa ika-3 siglo ay ginagamit. BC e. salaan ng Eratosthenes. Isinasaalang-alang ang sequence (*) ng mga prime mula 1 hanggang x ay nagpapakita na habang ang x ay tumataas, ito ay nagiging mas bihira sa karaniwan. Mayroong di-makatwirang mahabang mga segment ng isang serye ng mga natural na numero, kung saan walang isang solong prime number (Theorem 4). Kasabay nito, mayroong gayong mga pangunahing numero, ang pagkakaiba sa pagitan ng kung saan ay katumbas ng 2 (ang tinatawag na kambal). Hanggang ngayon (1987) ay hindi alam kung ang hanay ng naturang kambal ay may hangganan o walang katapusan. Ang mga talahanayan ng mga prime sa loob ng unang 11 milyong natural na numero ay nagpapakita ng napakalaking kambal (halimbawa, 10,006,427 at 10,006,429).

Ang pagpapaliwanag ng distribusyon ng mga pangunahing numero sa natural na serye ng mga numero ay isang napakahirap na problema sa teorya ng numero. Ipinapalagay ito bilang pag-aaral ng asymptotic na pag-uugali ng isang function na nagsasaad ng bilang ng mga prime na hindi lalampas sa isang positibong numero x. Malinaw mula sa teorama ni Euclid na sa. Ipinakilala ni L. Euler ang zeta function noong 1737.

Pinatunayan din niya iyon

Kung saan ang pagsusuma ay isinasagawa sa lahat ng natural na mga numero, at ang produkto ay kinuha sa lahat ng prime. Ang pagkakakilanlan na ito at ang mga paglalahat nito ay gumaganap ng isang pangunahing papel sa teorya ng pamamahagi ng mga primes. Mula rito, napatunayan ni L. Euler na ang serye at ang produkto sa prime p ay naghihiwalay. Bukod dito, itinatag ni L. Euler na mayroong "maraming" prime number, dahil

At sa parehong oras, halos lahat ng mga natural na numero ay pinagsama-sama, dahil sa.

at, para sa anumang (ibig sabihin, kung ano ang lumalaki bilang isang function). Sa kronolohikal, ang susunod na makabuluhang resulta na nagpapadalisay sa teorama ni Chebyshev ay ang tinatawag na. ang asymptotic na batas ng pamamahagi ng mga pangunahing numero (J. Hadamard, 1896, Ch. La Vallee Poussin, 1896), na binubuo sa katotohanan na ang limitasyon ng ratio sa ay katumbas ng 1. Kasunod nito, ang mga makabuluhang pagsisikap ng mga mathematician ay itinuro sa nililinaw ang asymptotic na batas ng pamamahagi ng mga prime number. Ang mga tanong ng pamamahagi ng mga prime number ay pinag-aaralan sa pamamagitan ng elementarya na pamamaraan at sa pamamagitan ng mga pamamaraan ng mathematical analysis.

Dito makatuwirang patunayan ang ilan sa mga theorems na ibinigay sa artikulo.

Lemma 1. Kung gcd(a, b)=1, may mga integer x, y na ganyan.

Patunay. Hayaang ang a at b ay medyo prime number. Isaalang-alang ang set J ng lahat ng natural na numerong z, na kinakatawan sa anyo, at piliin ang pinakamaliit na numero d dito.

Patunayan natin na ang a ay nahahati sa d. Hatiin ang a sa d sa natitira: at hayaan. Dahil mayroon itong anyo, samakatuwid,

Nakikita natin yan.

Dahil ipinapalagay namin na ang d ay ang pinakamaliit na numero sa J, mayroon kaming kontradiksyon. Kaya ang a ay nahahati sa d.

Sa parehong paraan, pinatutunayan namin na ang b ay nahahati ng d. Kaya d=1. Ang lemma ay napatunayan.

Theorem 1. Kung ang mga numerong a at b ay coprime at ang produktong bx ay nahahati sa a, kung gayon ang x ay nahahati sa a.

Patunay 1. Kailangan nating patunayan na ang ax ay nahahati ng b at gcd(a,b)=1, at ang x ay nahahati ng b.

Sa pamamagitan ng Lemma 1, mayroong x, y na ganyan. Pagkatapos, malinaw naman, ay nahahati ng b.

Patunay 2. Isaalang-alang ang set J ng lahat ng natural na numerong z na ang zc ay nahahati sa b. Hayaan ang d ang pinakamaliit na bilang sa J. Madaling makita iyon. Katulad ng patunay ng Lemma 1, pinatutunayan namin na ang a ay nahahati ng d at ang b ay nahahati ng d

Lemma 2. Kung ang mga numerong q,p1,p2,pn ay prime at ang produkto ay nahahati sa q, kung gayon ang isa sa mga numerong pi ay katumbas ng q.

Patunay. Una sa lahat, tandaan na kung ang isang prime number p ay nahahati sa q, kung gayon p=q. Ito ay agad na nagpapahiwatig ng assertion ng lemma para sa n=1. Para sa n=2 ito ay direktang sumusunod mula sa Theorem 1: kung ang p1p2 ay nahahati sa isang prime number q u, kung gayon ang p2 ay nahahati sa q (ibig sabihin).

Pinatutunayan namin ang lemma para sa n=3 bilang mga sumusunod. Hayaang ang p1 p2 p3 ay mahahati ng q. Kung p3 = q, kung gayon ang lahat ay napatunayan. Kung, ayon sa Theorem 1, ang p1 p2 ay nahahati sa q. Kaya, binawasan namin ang kaso n=3 sa itinuturing na kaso n=2.

Katulad nito, mula sa n=3 maaari tayong pumunta sa n=4, pagkatapos ay sa n=5, at sa pangkalahatan, sa pag-aakalang n=k ang assertion ng lemma ay napatunayan, madali nating mapatunayan ito para sa n=k+1. Ito ay nakakumbinsi sa atin na ang lemma ay totoo para sa lahat ng n.

Pangunahing teorama ng arithmetic. Ang bawat natural na numero ay maaaring mabulok sa mga pangunahing kadahilanan sa isang natatanging paraan.

Patunay. Ipagpalagay na mayroong dalawang factorization ng numero a sa prime factor:

Dahil ang kanang bahagi ay nahahati sa q1, ang kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay dapat ding mahahati ng q1. Ayon sa Lemma 2, ang isa sa mga numero ay katumbas ng q1. Kanselahin natin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng q1.

Isagawa natin ang parehong pangangatwiran para sa q2, pagkatapos ay para sa q3, para sa qi. Sa huli, lahat ng salik sa kanan ay mababawasan at mananatili ang 1. Natural, walang mananatili sa kaliwa maliban sa isa. Kaya't napagpasyahan namin na ang dalawang pagpapalawak at maaaring magkaiba lamang sa pagkakasunud-sunod ng mga kadahilanan. Napatunayan na ang theorem.

Ang teorama ni Euclid. Ang bilang ng mga pangunahing numero ay walang katapusan.

Patunay. Ipagpalagay na ang serye ng mga prime number ay may hangganan, at tukuyin ang huling prime number sa pamamagitan ng titik N. Bumuo ng produkto

Dagdagan natin ito ng 1. Nakukuha natin:

Ang numerong ito, bilang isang integer, ay dapat maglaman ng hindi bababa sa isang prime factor, iyon ay, dapat itong mahahati ng hindi bababa sa isang prime number. Ngunit ang lahat ng prime number, sa pamamagitan ng pagpapalagay, ay hindi lalampas sa N, habang ang numero M + 1 ay hindi mahahati nang walang nalalabi sa alinman sa mga prime number na mas mababa sa o katumbas ng N - sa bawat oras na ang natitira ay 1. Ang theorem ay napatunayan.

Theorem 4. Ang mga seksyon ng pinagsama-samang mga numero sa pagitan ng mga prime na numero ay maaaring maging anumang haba. Papatunayan natin ngayon na ang serye ay binubuo ng n magkakasunod na composite number.

Ang mga numerong ito ay direktang magkakasunod sa natural na serye, dahil ang bawat susunod ay 1 higit pa kaysa sa nauna. Ito ay nananatiling patunayan na lahat sila ay pinagsama-sama.

Unang numero

Kahit na, dahil ang parehong mga termino nito ay naglalaman ng isang kadahilanan ng 2. At anumang kahit na numero na mas malaki kaysa sa 2 ay pinagsama-sama.

Ang pangalawang numero ay binubuo ng dalawang termino, ang bawat isa ay multiple ng 3. Samakatuwid, ang numerong ito ay pinagsama-sama.

Katulad nito, itinatag namin na ang susunod na numero ay isang multiple ng 4, at iba pa. Sa madaling salita, ang bawat numero sa aming serye ay naglalaman ng isang kadahilanan na naiiba sa isa at sa sarili nito; ito ay samakatuwid ay pinagsama-sama. Napatunayan na ang theorem.

Ang pagkakaroon ng pag-aaral ng mga patunay ng theorems, ipinagpapatuloy namin ang pagsasaalang-alang ng artikulo. Sa kanyang teksto, binanggit ang salaan ni Eratosthenes bilang isang paraan upang mahanap ang mga prime number. Basahin natin ang tungkol sa pamamaraang ito mula sa parehong diksyunaryo:

"Ang salaan ng Eratosthenes ay isang paraan na binuo ni Eratosthenes na nagbibigay-daan sa iyong salain ang mga pinagsama-samang numero mula sa natural na serye. Ang kakanyahan ng salaan ng Eratosthenes ay ang mga sumusunod. Naka-cross out ang unit. Simple lang ang number two. Ang lahat ng mga natural na numero na mahahati ng 2 ay e-cross out. Numero 3 - ang unang uncrossed na numero ay magiging prime. Dagdag pa, ang lahat ng natural na numero na nahahati sa 3 ay e-cross out. Ang numero 5 - ang susunod na uncrossed na numero - ay magiging simple. Sa pagpapatuloy ng mga katulad na kalkulasyon, makakahanap ang isang tao ng isang arbitraryong mahabang bahagi ng isang pagkakasunud-sunod ng mga pangunahing numero. Ang salaan ng Eratosthenes bilang isang teoretikal na pamamaraan para sa pag-aaral ng teorya ng numero ay binuo ni W. Brun (1919).

Narito ang pinakamalaking bilang na kasalukuyang kilala bilang prime:

Ang numerong ito ay may humigit-kumulang pitong daang decimal na lugar. Ang mga kalkulasyon kung saan nalaman na ang numerong ito ay prime ay isinagawa sa mga modernong computer.

"Ang Riemann zeta function, -function, ay isang analytic function ng isang kumplikadong variable, para sa σ>1, na tinutukoy ng isang ganap at pare-parehong convergent na serye ng Dirichlet:

Para sa σ>1, ang representasyon sa anyo ng produktong Euler ay wasto:

(2) kung saan ang p ay tumatakbo sa lahat ng prime number.

Ang pagkakakilanlan ng serye (1) at produkto (2) ay isa sa mga pangunahing katangian ng zeta function. Pinapayagan nito ang isa na makakuha ng iba't ibang mga relasyon na nagkokonekta sa zeta function sa pinakamahalagang number-theoretic function. Samakatuwid, ang zeta function ay gumaganap ng isang malaking papel sa teorya ng numero.

Ang zeta function ay ipinakilala bilang isang function ng isang tunay na variable ni L. Euler (1737, publication 1744), na nagpahiwatig ng lokasyon nito sa produkto (2). Pagkatapos ang zeta function ay isinasaalang-alang ni P. Dirichlet at lalo na matagumpay ni P. L. Chebyshev na may kaugnayan sa pag-aaral ng batas ng pamamahagi ng mga prime number. Gayunpaman, ang pinakamalalim na katangian ng zeta function ay natuklasan pagkatapos ng mga gawa ni B. Riemann, na sa unang pagkakataon noong 1859 ay isinasaalang-alang ang zeta function bilang isang function ng isang complex variable, ipinakilala rin niya ang pangalang "zeta function" at ang pagtatalaga """.

Ngunit ang tanong ay lumitaw: anong praktikal na aplikasyon ang mayroon para sa lahat ng gawaing ito sa mga pangunahing numero? Sa katunayan, halos walang gamit para sa kanila, ngunit mayroong isang lugar kung saan ang mga pangunahing numero at ang kanilang mga katangian ay inilalapat hanggang sa araw na ito. Ito ay cryptography. Dito, ang mga pangunahing numero ay ginagamit sa mga sistema ng pag-encrypt nang walang paglilipat ng mga susi.

Sa kasamaang palad, ito lang ang alam tungkol sa mga prime number. Marami pa ring misteryo ang natitira. Halimbawa, hindi alam kung ang hanay ng mga prime number na kinakatawan bilang dalawang parisukat ay walang katapusan.

"NON-SIMPLE PRIME NUMBERS".

Nagpasya akong gumawa ng kaunting pananaliksik upang makahanap ng mga sagot sa ilang tanong tungkol sa mga prime number. Una sa lahat, nag-compile ako ng program na nagpi-print ng lahat ng magkakasunod na prime number na mas mababa sa 1,000,000,000. Bilang karagdagan, nag-compile ako ng program na tumutukoy kung prime ang ipinasok na numero. Upang pag-aralan ang mga problema ng mga prime number, gumawa ako ng isang graph na nagmamarka ng dependence ng halaga ng isang prime number sa ordinal number. Bilang isang karagdagang plano sa pananaliksik, nagpasya akong gamitin ang artikulo ni I. S. Zeltser at B. A. Kordemsky "Nakakatuwang mga kawan ng mga pangunahing numero." Tinukoy ng mga may-akda ang mga sumusunod na landas ng pananaliksik:

1. 168 na lugar ng unang libong natural na mga numero ay inookupahan ng mga prime number. Sa mga ito, 16 na numero ang palindromic - bawat isa ay katumbas ng reverse: 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 9.

Mayroon lamang 1061 na apat na digit na prime, at wala sa kanila ang palindromic.

Mayroong maraming limang-digit na simpleng palindromic na numero. Kasama nila ang gayong mga kagandahan: 13331, 15551, 16661, 19991. Walang alinlangan, may mga kawan ng ganitong uri: ,. Ngunit gaano karaming mga kopya ang nasa bawat gayong kawan?

3+x+x+x+3 = 6+3x = 3(2+x)

9+x+x+x+9 = 18+3x =3(6+x)

Makikita na ang kabuuan ng mga digit ng mga numero at nahahati sa 3, samakatuwid ang mga numerong ito mismo ay nahahati din ng 3.

Tulad ng para sa mga numero ng form, kasama ng mga ito ang mga numerong 72227, 75557, 76667, 78887, 79997 ay prime.

2. Sa unang libong numero mayroong limang "quartets" na binubuo ng magkakasunod na prime number, ang mga huling digit na bumubuo sa sequence 1, 3, 7, 9: (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109 ), (191, 193, 197, 199), (211, 223, 227, 229), (821, 823, 827, 829).

Ilan ang mga naturang quartet sa mga n-digit na prime para sa n>3?

Gamit ang program na isinulat ko, nakita ko ang quartet na hindi nakuha ng mga may-akda: (479, 467, 463, 461) at quartets para sa n = 4, 5, 6. Para sa n = 4, mayroong 11 quartets

3. Isang kawan ng siyam na prime: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879 - ay kaakit-akit hindi lamang dahil ito ay isang arithmetic progression na may pagkakaiba na 210, ngunit din dahil maaari itong magkasya sa siyam mga cell upang ang isang magic square ay nabuo na may pare-parehong katumbas ng pagkakaiba ng dalawang prime number: 3119 - 2:

Ang susunod, ikasampung miyembro ng pag-unlad na isinasaalang-alang, 2089, ay isa ring pangunahing numero. Kung aalisin mo ang numero 199 mula sa kawan, ngunit isama ang 2089, pagkatapos ay sa komposisyon na ito ang kawan ay maaaring bumuo ng isang magic square - isang paksa para sa paghahanap.

Dapat pansinin na mayroong iba pang mga magic square na binubuo ng mga pangunahing numero:

1847 6257 6197 3677 1307 1877 2687

2267 1427 5987 5927 1667 2027 4547

2897 947 2357 4517 3347 5867 3917

3557 4157 4397 3407 2417 2657 3257

4337 5717 3467 2297 4457 1097 2477

4817 4767 827 887 5147 5387 1997

4127 557 617 3137 5507 4937 4967

Ang iminungkahing parisukat ay kakaiba dahil

1. Ito ay isang 7x7 magic square;

2. Naglalaman ito ng 5x5 magic square;

3. Ang isang 5x5 magic square ay naglalaman ng isang 3x3 magic square;

4. Ang lahat ng mga parisukat na ito ay may isang karaniwang sentral na numero - 3407;

5. Lahat ng 49 na numero na kasama sa 7x7 square end sa numero 7;

6. Ang lahat ng 49 na numero na kasama sa 7x7 square ay prime number;

7. Ang bawat isa sa 49 na numero na kasama sa isang 7x7 square ay maaaring katawanin bilang 30n + 17.

Ang mga program na ginamit ay isinulat ko sa Dev-C++ programming language at ibinibigay ko ang kanilang mga teksto sa apendiks (tingnan ang mga file na may extension na .cpp). Bilang karagdagan sa lahat ng nasa itaas, nagsulat ako ng isang programa na nagde-decompose ng magkakasunod na natural na mga numero sa mga prime factor (tingnan ang Divisors 1. cpp) at isang program na nagde-decompose lamang ng inilagay na numero sa prime factor (tingnan ang Divisors 2. cpp). Dahil ang mga programang ito sa pinagsama-samang anyo ay tumatagal ng masyadong maraming espasyo, ang kanilang mga teksto lamang ang ibinigay. Gayunpaman, maaaring i-compile ng sinuman ang mga ito kung mayroon silang tamang programa.

MGA TALAMBUHAY NG MGA SCIENTIST NA KASANGKOT SA PROBLEMA NG MGA PRIME NUMBER

EUCLIDES

(mga 330 BC - mga 272 BC)

Napakakaunting maaasahang impormasyon ang napanatili tungkol sa buhay ng pinakasikat na matematiko ng Antiquity. Ito ay pinaniniwalaan na siya ay nag-aral sa Athens, na nagpapaliwanag sa kanyang napakatalino na utos ng geometry na binuo ng paaralan ng Plato. Gayunpaman, lumilitaw na hindi siya pamilyar sa mga isinulat ni Aristotle. Nagturo siya sa Alexandria, kung saan nakakuha siya ng mataas na papuri para sa kanyang mga aktibidad sa pagtuturo noong panahon ng paghahari ni Ptolemy I Soter. Mayroong isang alamat na hiniling ng haring ito na ipakita sa kanya ang isang paraan upang makamit ang mabilis na tagumpay sa matematika, kung saan sumagot si Euclid na walang mga royal na paraan sa geometry (gayunpaman, ang isang katulad na kuwento ay sinabi rin tungkol kay Menchem, na diumano'y tinanong halos pareho ni Alexander the Great). Napanatili ng tradisyon ang memorya ni Euclid bilang isang mabait at mahinhin na tao. Si Euclid ang may-akda ng mga treatise sa iba't ibang paksa, ngunit ang kanyang pangalan ay pangunahing nauugnay sa isa sa mga treatise na tinatawag na "Beginnings". Ito ay tungkol sa isang koleksyon ng mga gawa ng mga mathematician na nagtrabaho bago siya (ang pinakatanyag sa kanila ay Hippocrates of Kos), ang mga resulta kung saan dinala niya sa pagiging perpekto salamat sa kanyang kakayahang mag-generalize at kasipagan.

EULER (EULER) LEONARD

(Basel, Switzerland 1707 - St. Petersburg, 1783)

Mathematician, mekaniko at physicist. Ipinanganak sa pamilya ng isang mahirap na pastor na si Paul Euler. Natanggap niya ang kanyang edukasyon muna mula sa kanyang ama, at noong 1720–24 sa Unibersidad ng Basel, kung saan siya nag-aral sa mga lektura sa matematika ni I. Bernoulli.

Sa pagtatapos ng 1726, inanyayahan si Euler sa St. Petersburg Academy of Sciences at noong Mayo 1727 ay dumating sa St. Petersburg. Sa bagong organisadong akademya, natagpuan ni Euler ang mga kanais-nais na kondisyon para sa aktibidad na pang-agham, na nagpapahintulot sa kanya na agad na magsimulang mag-aral ng matematika at mekanika. Sa loob ng 14 na taon ng unang yugto ng Petersburg ng kanyang buhay, naghanda si Euler ng mga 80 gawa para sa publikasyon at naglathala ng higit sa 50. Sa St. Petersburg, nag-aral siya ng Ruso.

Lumahok si Euler sa maraming aktibidad ng St. Petersburg Academy of Sciences. Nagbigay siya ng mga lektura sa mga mag-aaral ng akademikong unibersidad, lumahok sa iba't ibang teknikal na eksaminasyon, nagtrabaho sa pag-compile ng mga mapa ng Russia, at isinulat ang pampublikong magagamit na "Gabay sa Arithmetic" (1738–40). Sa mga espesyal na tagubilin mula sa Academy, naghanda si Euler para sa publikasyong Naval Science (1749), isang pangunahing gawain sa teorya ng paggawa ng barko at pag-navigate.

Noong 1741, tinanggap ni Euler ang alok ng hari ng Prussian na si Frederick II na lumipat sa Berlin, kung saan magaganap ang muling pagsasaayos ng Academy of Sciences. Sa Berlin Academy of Sciences, kinuha ni Euler ang posisyon ng direktor ng klase ng matematika at isang miyembro ng lupon, at pagkamatay ng unang pangulo nito, si P. Maupertuis, sa loob ng ilang taon (mula noong 1759) ay talagang pinamunuan niya ang akademya. Sa loob ng 25 taon ng kanyang buhay sa Berlin, naghanda siya ng humigit-kumulang 300 mga gawa, kasama ng mga ito ang ilang malalaking monograph.

Habang naninirahan sa Berlin, hindi huminto si Euler sa masinsinang pagtatrabaho para sa St. Petersburg Academy of Sciences, na pinanatili ang titulo ng honorary member nito. Nagsagawa siya ng isang malawak na pang-agham at pang-agham-organisasyon na sulat, sa partikular, nakipag-ugnayan siya kay M. Lomonosov, na lubos niyang pinahahalagahan. In-edit ni Euler ang mathematical department ng Russian academic scientific body, kung saan sa panahong ito ay naglathala siya ng halos kasing dami ng mga artikulo tulad ng sa "Memoirs" ng Berlin Academy of Sciences. Siya ay aktibong lumahok sa pagsasanay ng mga Russian mathematician; ang mga hinaharap na akademiko na sina S. Kotelnikov, S. Rumovsky at M. Sofronov ay ipinadala sa Berlin upang mag-aral sa ilalim ng kanyang pamumuno. Nagbigay ng malaking tulong si Euler sa St. Petersburg Academy of Sciences, pagkuha ng siyentipikong literatura at kagamitan para dito, pakikipag-ayos sa mga kandidato para sa mga posisyon sa akademya, atbp.

Noong Hulyo 17 (28), 1766, bumalik si Euler at ang kanyang pamilya sa St. Petersburg. Sa kabila ng kanyang katandaan at halos ganap na pagkabulag na sumapit sa kanya, siya ay nagtrabaho nang produktibo hanggang sa katapusan ng kanyang buhay. Sa loob ng 17 taon ng kaniyang ikalawang pananatili sa St. Petersburg, naghanda siya ng mga 400 obra, kasama ng mga ito ang ilang malalaking aklat. Patuloy na lumahok si Euler sa gawaing pang-organisasyon ng akademya. Noong 1776, isa siya sa mga eksperto sa proyekto ng isang solong-arko na tulay sa kabila ng Neva, na iminungkahi ni I. Kulibin, at mula sa buong komisyon, siya lamang ang nagbigay ng malawak na suporta sa proyekto.

Ang mga merito ni Euler bilang isang kilalang siyentipiko at tagapag-ayos ng siyentipikong pananaliksik ay lubos na pinahahalagahan sa kanyang buhay. Bilang karagdagan sa mga akademya ng St. Petersburg at Berlin, miyembro siya ng pinakamalaking institusyong pang-agham: ang Paris Academy of Sciences, ang Royal Society of London at iba pa.

Isa sa mga tanda ng trabaho ni Euler ay ang kanyang pambihirang produktibo. Sa panahon lamang ng kanyang buhay, humigit-kumulang 550 sa kanyang mga libro at artikulo ang nai-publish (ang listahan ng mga gawa ni Euler ay naglalaman ng mga 850 mga pamagat). Noong 1909, ang Swiss Natural Science Society ay nagsimulang maglathala ng mga kumpletong gawa ni Euler, na natapos noong 1975; ito ay binubuo ng 72 tomo. Ang malaking interes ay ang napakalaking sulat na pang-agham ni Euler (mga 3,000 titik), na sa ngayon ay bahagyang nai-publish lamang.

Ang bilog ng mga pag-aaral ni Euler ay hindi pangkaraniwang malawak, na sumasaklaw sa lahat ng mga departamento ng kontemporaryong matematika at mekanika, ang teorya ng pagkalastiko, matematikal na pisika, optika, teorya ng musika, teorya ng makina, ballistics, agham ng dagat, negosyo ng seguro, atbp. Mga 3/5 ng mga gawa ni Euler nabibilang sa matematika, ang natitirang 2/5 pangunahin sa mga aplikasyon nito. Isinaayos ng siyentipiko ang kanyang mga resulta at ang mga resulta na nakuha ng iba sa isang bilang ng mga klasikal na monograp, na isinulat nang may kamangha-manghang kalinawan at binigyan ng mahahalagang halimbawa. Ito ay, halimbawa, “Mechanics, or the Science of Motion, Set forth Analytically” (1736), “Introduction to Analysis” (1748), “Differential Calculus” (1755), “Theory of Motion of a Rigid Body” ( 1765), "Universal Arithmetic" (1768-69), na dumaan sa humigit-kumulang 30 edisyon sa 6 na wika, "Integral Calculus" (1768-94), atbp. Noong siglo XVIII. at bahagyang noong ika-19 na siglo. Ang magagamit sa publiko na Mga Sulat sa Iba't ibang Pisikal at Pilosopikal na Bagay, na isinulat sa isang prinsesa ng Aleman, ay nakakuha ng napakalaking katanyagan. (1768–74), na dumaan sa mahigit 40 edisyon sa 10 wika. Karamihan sa nilalaman ng mga monograp ni Euler ay isinama noon sa mga aklat-aralin para sa mas mataas at bahagyang sekondaryang paaralan. Imposibleng ilista ang lahat ng teorema, pamamaraan at pormula ni Euler na ginamit hanggang ngayon, kung saan iilan lamang ang lumilitaw sa literatura sa ilalim ng kanyang pangalan [halimbawa, ang paraan ng sirang linya ni Euler, ang mga pagpapalit ni Euler, ang pare-pareho ni Euler, ang mga equation ni Euler, ang mga formula ni Euler, Euler's function, Euler's number, Euler's formula - Maclaurin, Euler-Fourier formula, Euler na katangian, Euler integrals, Euler angle].

Sa "Mechanics" unang ipinaliwanag ni Euler ang dinamika ng isang punto sa tulong ng mathematical analysis: ang malayang paggalaw ng isang punto sa ilalim ng pagkilos ng iba't ibang pwersa kapwa sa vacuum at sa isang medium na may paglaban; paggalaw ng isang punto kasama ang isang ibinigay na linya o kasama ang isang ibinigay na ibabaw; kilusan sa ilalim ng impluwensya ng mga sentral na pwersa. Noong 1744 una niyang binalangkas nang tama ang mekanikal na prinsipyo ng hindi bababa sa pagkilos at ipinakita ang mga unang aplikasyon nito. Sa The Theory of Motion of a Rigid Body, binuo ni Euler ang kinematics at dynamics ng isang matibay na katawan at nagbigay ng mga equation para sa pag-ikot nito sa paligid ng isang nakapirming punto, na naglalagay ng pundasyon para sa teorya ng mga gyroscope. Sa kanyang teorya ng barko, gumawa si Euler ng mahalagang kontribusyon sa teorya ng katatagan. Makabuluhan ang mga natuklasan ni Euler sa celestial mechanics (halimbawa, sa teorya ng motion of the moon), at continuum mechanics (ang mga pangunahing equation ng motion ng ideal fluid sa anyo ng Euler at sa tinatawag na Lagrange variables, gas. oscillations sa mga tubo, atbp.). Sa optika, ibinigay ni Euler (1747) ang formula para sa isang biconvex lens at iminungkahi ang isang paraan para sa pagkalkula ng refractive index ng isang medium. Si Euler ay sumunod sa wave theory ng liwanag. Naniniwala siya na ang iba't ibang kulay ay tumutugma sa iba't ibang wavelength ng liwanag. Iminungkahi ni Euler ang mga paraan upang maalis ang mga chromatic aberration ng mga lente at nagbigay ng mga pamamaraan para sa pagkalkula ng mga optical na bahagi ng isang mikroskopyo. Inilaan ni Euler ang isang malawak na serye ng mga gawa, na nagsimula noong 1748, sa matematikal na pisika: mga problema sa vibration ng isang string, plate, lamad, atbp. . function, differential geometry, atbp. Marami sa mga pagtuklas sa matematika ni Euler ay tiyak na nakapaloob sa mga gawang ito.

Ang pangunahing gawain ni Euler bilang isang matematiko ay ang pag-unlad ng pagsusuri sa matematika. Inilatag niya ang mga pundasyon ng ilang mga matematikal na disiplina na nasa kanilang kamusmusan o ganap na wala sa infinitesimal na calculus nina I. Newton, G. Leibniz, at ang magkapatid na Bernoulli. Kaya, si Euler ang unang nagpakilala ng mga function ng isang komplikadong argumento at nag-aral ng mga katangian ng mga pangunahing elementarya na pag-andar ng isang kumplikadong variable (exponential, logarithmic, at trigonometric function); sa partikular, nagmula siya ng mga pormula na may kaugnayan sa mga function ng trigonometriko sa exponential. Ang gawain ni Euler sa direksyong ito ay minarkahan ang simula ng teorya ng mga pag-andar ng isang kumplikadong variable.

Si Euler ang lumikha ng calculus of variations, na inilarawan sa akdang “Paraan ng paghahanap ng mga hubog na linya na may pinakamataas o pinakamababang katangian. » (1744). Ang pamamaraan kung saan nakuha ni Euler noong 1744 ang kinakailangang kondisyon para sa extremum ng isang functional, ang Euler equation, ay isang prototype ng mga direktang pamamaraan ng calculus ng mga variation ng ika-20 siglo. Nilikha ni Euler ang teorya ng mga ordinaryong differential equation bilang isang malayang disiplina at inilatag ang mga pundasyon para sa teorya ng partial differential equation. Narito siya ay nagmamay-ari ng isang malaking bilang ng mga pagtuklas: ang klasikal na paraan ng paglutas ng mga linear na equation na may pare-parehong mga coefficient, ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga di-makatwirang constants, pagpapaliwanag ng mga pangunahing katangian ng Riccati equation, ang pagsasama ng mga linear equation na may variable na coefficients gamit ang walang katapusang serye, pamantayan para sa mga espesyal na solusyon, ang doktrina ng integrating factor, iba't ibang tinatayang pamamaraan at isang bilang ng mga diskarte para sa paglutas ng mga partial differential equation. Nag-compile si Euler ng makabuluhang bahagi ng mga resultang ito sa kanyang "Integral Calculus".

Pinayaman din ni Euler ang differential at integral calculus sa makitid na kahulugan ng salita (halimbawa, ang teorya ng pagbabago ng mga variable, ang theorem sa homogenous na function, ang konsepto ng double integral, at ang pagkalkula ng maraming espesyal na integral). Sa "Differential Calculus", ipinahayag at sinuportahan ni Euler sa pamamagitan ng mga halimbawa ang kanyang paniniwala sa kapakinabangan ng paggamit ng magkakaibang serye at mga iminungkahing pamamaraan para sa pangkalahatang pagsusuma ng mga serye, na inaasahan ang mga ideya ng modernong mahigpit na teorya ng magkakaibang serye, na nilikha sa turn ng Ika-19 at ika-20 siglo. Bilang karagdagan, nakakuha si Euler ng maraming konkretong resulta sa teorya ng serye. Binuksan niya ang tinatawag. ang Euler-Maclaurin summation formula, iminungkahi ang pagbabago ng mga serye na nagtataglay ng kanyang pangalan, tinukoy ang mga kabuuan ng isang malaking bilang ng mga serye, at ipinakilala ang mga bagong mahahalagang uri ng serye sa matematika (halimbawa, trigonometriko serye). Ang mga pag-aaral ni Euler sa teorya ng patuloy na mga praksyon at iba pang mga walang katapusang proseso ay magkadugtong dito.

Si Euler ang nagtatag ng teorya ng mga espesyal na pag-andar. Una niyang sinimulan na isaalang-alang ang sine at cosine bilang mga function, at hindi bilang mga segment sa isang bilog. Nakuha niya ang halos lahat ng mga klasikal na pagpapalawak ng elementarya na mga function sa walang katapusang serye at mga produkto. Sa kanyang mga gawa, nilikha ang teorya ng γ-function. Inimbestigahan niya ang mga katangian ng elliptic integral, hyperbolic at cylindrical function, ang ζ-function, ilang θ-function, integral logarithm, at mahahalagang klase ng mga espesyal na polynomial.

Ayon kay P. Chebyshev, inilatag ni Euler ang pundasyon para sa lahat ng pananaliksik na bumubuo sa pangkalahatang bahagi ng teorya ng numero. Kaya, pinatunayan ni Euler ang isang bilang ng mga pahayag na ginawa ni P. Fermat (halimbawa, ang maliit na teorama ni Fermat), binuo ang mga pundasyon ng teorya ng mga nalalabi sa kapangyarihan at ang teorya ng mga parisukat na anyo, natuklasan (ngunit hindi napatunayan) ang parisukat na batas ng katumbasan, at pinag-aralan ang ilang mga problema sa pagsusuri ng Diophantine. Sa mga gawa sa paghahati ng mga numero sa mga termino at sa teorya ng prime numbers, si Euler ang unang gumamit ng mga paraan ng pagsusuri, kaya siya ang lumikha ng analytic number theory. Sa partikular, ipinakilala niya ang ζ-function at pinatunayan ang tinatawag na. Ang pagkakakilanlan ni Euler na nag-uugnay ng mga prime number sa lahat ng natural na numero.

Ang mga merito ni Euler ay mahusay din sa iba pang larangan ng matematika. Sa algebra, nagmamay-ari siya ng mga gawa sa solusyon ng mga equation ng mas mataas na degree sa mga radical at sa mga equation sa dalawang hindi alam, pati na rin ang tinatawag na. Ang apat na parisukat na pagkakakilanlan ni Euler. Si Euler ay gumawa ng makabuluhang pag-unlad sa analytic geometry, lalo na sa teorya ng second-order surface. Sa differential geometry, pinag-aralan niya nang detalyado ang mga katangian ng mga geodesic na linya, sa unang pagkakataon ay inilapat ang natural na mga equation ng mga kurba, at higit sa lahat, inilatag niya ang mga pundasyon ng teorya ng mga ibabaw. Ipinakilala niya ang konsepto ng mga pangunahing direksyon sa isang punto sa isang ibabaw, pinatunayan ang kanilang orthogonality, nagmula ng isang formula para sa curvature ng anumang normal na seksyon, nagsimulang pag-aralan ang mga nabubuong ibabaw, atbp.; sa isang posthumously nai-publish na trabaho (1862), siya ay bahagyang anticipated ang pananaliksik ng K. Gauss sa intrinsic geometry ng mga ibabaw. Nakipag-usap din si Euler sa mga indibidwal na katanungan ng topology at pinatunayan, halimbawa, ang isang mahalagang teorama sa convex polyhedra. Si Euler ang mathematician ay madalas na inilarawan bilang isang makinang na "calculator". Sa katunayan, siya ay isang hindi maunahang master ng mga pormal na kalkulasyon at pagbabago; sa kanyang mga gawa, maraming mga pormula at simbolo ng matematika ang nakatanggap ng isang modernong hitsura (halimbawa, pagmamay-ari niya ang mga pagtatalaga para sa e at π). Gayunpaman, ipinakilala din ni Euler ang ilang malalalim na ideya sa agham, na ngayon ay mahigpit na pinatutunayan at nagsisilbing modelo para sa lalim ng pagtagos sa paksa ng pananaliksik.

Ayon kay P. Laplace, si Euler ay isang guro ng mga mathematician noong ikalawang kalahati ng ika-18 siglo.

DIRICHLET PETER GUSTAV

(Düren, ngayon ay Alemanya, 1805 - Göttingen, ibid., 1859)

Siya-aral sa Paris, pinananatili friendly na relasyon sa mga natitirang mathematicians, sa partikular na sa Fourier. Sa pagtanggap ng kanyang degree, siya ay isang propesor sa mga unibersidad ng Breslau (1826 - 1828), Berlin (1828 - 1855) at Göttingen, kung saan siya ay naging pinuno ng departamento ng matematika pagkatapos ng pagkamatay ng siyentipiko na si Carl Friedrich Gauss. Ang kanyang pinakanamumukod-tanging kontribusyon sa agham ay may kinalaman sa teorya ng numero, pangunahin ang pag-aaral ng serye. Pinahintulutan siya nitong bumuo ng teorya ng serye na iminungkahi ni Fourier. Gumawa siya ng sarili niyang bersyon ng patunay ng teorama ni Fermat, gumamit ng mga analytic na function upang malutas ang mga problema sa aritmetika, at ipinakilala ang pamantayan ng convergence para sa serye. Sa larangan ng mathematical analysis ay pinagbuti niya ang kahulugan at konsepto ng isang function, sa larangan ng theoretical mechanics ay nakatuon siya sa pag-aaral ng katatagan ng mga sistema at sa Newtonian na konsepto ng potensyal.

CHEBYSHEV PAFNUTIY LVOVYCH

Russian mathematician, tagapagtatag ng St. Petersburg scientific school, academician ng St. Petersburg Academy of Sciences (1856). Inilatag ng mga gawa ni Chebyshev ang pundasyon para sa pagbuo ng maraming bagong sangay ng matematika.

Ang pinakamaraming mga gawa ni Chebyshev ay nasa larangan ng mathematical analysis. Siya ay, sa partikular, ang paksa ng isang disertasyon para sa karapatan sa lecture, kung saan Chebyshev investigated ang integrability ng ilang mga hindi makatwiran expression sa algebraic function at logarithms. Inilaan din ni Chebyshev ang ilang iba pang mga gawa sa pagsasama-sama ng mga algebraic function. Sa isa sa kanila (1853), nakuha ang isang kilalang teorama sa mga kondisyon ng pagkakaisa sa elementarya na pag-andar ng isang differential binomial. Ang isang mahalagang lugar ng pananaliksik sa pagsusuri sa matematika ay ang kanyang trabaho sa pagbuo ng isang pangkalahatang teorya ng orthogonal polynomials. Ang dahilan para sa paglikha nito ay ang parabolic interpolation sa pamamagitan ng least squares method. Ang mga pagsisiyasat ni Chebyshev sa problema ng mga sandali at sa mga quadrature formula ay magkadugtong sa parehong bilog ng mga ideya. Sa pag-iisip ng pagbabawas ng mga kalkulasyon, iminungkahi ni Chebyshev (1873) na isaalang-alang ang mga formula ng quadrature na may pantay na coefficient (tinatayang pagsasama). Ang pananaliksik sa mga formula ng quadrature at sa teorya ng interpolation ay malapit na nauugnay sa mga gawain na itinakda para sa Chebyshev sa departamento ng artilerya ng komiteng pang-agham ng militar.

Sa teorya ng probabilidad, si Chebyshev ay kinikilala sa sistematikong pagpapakilala sa pagsasaalang-alang ng mga random na variable at ang paglikha ng isang bagong pamamaraan para sa pagpapatunay ng limitasyon ng theorems ng probability theory - ang tinatawag na. paraan ng mga sandali (1845, 1846, 1867, 1887). Pinatunayan niya ang batas ng malalaking numero sa isang napaka-pangkalahatang anyo; Kasabay nito, ang kanyang patunay ay kapansin-pansin sa pagiging simple at pagiging simple nito. Hindi natapos ni Chebyshev ang pag-aaral ng mga kondisyon para sa convergence ng distribution functions ng mga sums ng independent random variables sa normal na batas. Gayunpaman, nagawa ito ni A. A. Markov kasama ang ilang pagdaragdag ng mga pamamaraan ni Chebyshev. Nang walang mahigpit na mga derivasyon, binalangkas din ni Chebyshev ang posibilidad ng mga refinement ng limit theorem na ito sa anyo ng mga asymptotic expansion ng distribution function ng kabuuan ng mga independiyenteng termino sa mga kapangyarihan ng n21/2, kung saan ang n ay ang bilang ng mga termino. Ang gawain ni Chebyshev sa teorya ng posibilidad ay bumubuo ng isang mahalagang yugto sa pag-unlad nito; bilang karagdagan, sila ang batayan kung saan lumaki ang Russian school of probability theory, na sa una ay binubuo ng mga direktang estudyante ng Chebyshev.

Riemann Georg Friedrich Bernhard

(Breselenz, Lower Saxony, 1826 - Selaska, malapit sa Intra, Italy 66)

Aleman na matematiko. Noong 1846 pumasok siya sa Unibersidad ng Göttingen: nakinig siya sa mga lektura ni K. Gauss, na marami sa mga ideya ay binuo niya mamaya. Noong 1847–49 dumalo siya sa mga lektura sa Unibersidad ng Berlin; sa 1849 siya ay bumalik sa Göttingen, kung saan siya ay naging malapit na kaibigan sa Gauss' collaborator, physicist W. Weber, na aroused sa kanya ng isang malalim na interes sa mga katanungan ng matematika natural na agham.

Noong 1851, ipinagtanggol niya ang kanyang tesis ng doktoral na "Mga Batayan ng pangkalahatang teorya ng mga pag-andar ng isang kumplikadong variable." Mula 1854 Privatdozent, mula 1857 propesor sa Unibersidad ng Göttingen.

Ang gawain ni Riemann ay may malaking impluwensya sa pag-unlad ng matematika sa ikalawang kalahati ng ika-19 na siglo. at noong ika-20 siglo. Sa kanyang disertasyon ng doktor, inilatag ni Riemann ang pundasyon para sa geometriko na direksyon ng teorya ng analytic function; ipinakilala niya ang tinatawag na mga ibabaw ng Riemann, na mahalaga sa pag-aaral ng mga multivalued function, binuo ang teorya ng conformal mappings at, kaugnay nito, nagbigay ng mga pangunahing ideya ng topology, pinag-aralan ang mga kondisyon para sa pagkakaroon ng analytic function sa loob ng mga rehiyon. ng iba't ibang uri (ang tinatawag na Dirichlet na prinsipyo), atbp. Ang mga pamamaraan na binuo ni Riemann ay malawakang ginamit sa kanyang karagdagang mga gawa sa teorya ng algebraic function at integral, sa analytic theory ng differential equation (sa partikular, mga equation na tumutukoy sa hypergeometric functions) , sa teorya ng analytic number (halimbawa, ipinahiwatig ni Riemann ang koneksyon sa pagitan ng distribusyon ng mga prime number at mga katangian ng ζ-function, lalo na sa pamamahagi ng mga zero nito sa complex domain - ang tinatawag na Riemann hypothesis, ang ang bisa nito ay hindi pa napatunayan), atbp.

Sa isang bilang ng mga papel, sinisiyasat ni Riemann ang pagpapalawak ng mga function sa trigonometric series at, kaugnay nito, tinukoy ang kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa integrability sa kahulugan ng Riemann, na mahalaga para sa teorya ng mga set at function ng isang tunay na variable. . Iminungkahi rin ni Riemann ang mga pamamaraan para sa pagsasama ng mga partial differential equation (halimbawa, gamit ang tinatawag na Riemann invariants at ang Riemann function).

Sa kanyang tanyag na panayam noong 1854 na "On the Hypotheses Underlying Geometry" (1867), nagbigay si Riemann ng pangkalahatang ideya ng isang mathematical space (sa kanyang mga salita, "manifolds"), kabilang ang mga functional at topological space. Dito ay itinuring niya ang geometry sa isang malawak na kahulugan bilang ang doktrina ng tuluy-tuloy na n-dimensional manifold, ibig sabihin, mga koleksyon ng anumang homogenous na bagay, at, pag-generalize ng mga resulta ng Gauss sa intrinsic geometry ng isang surface, ibinigay niya ang pangkalahatang konsepto ng isang linear na elemento. (ang pagkakaiba ng distansya sa pagitan ng mga punto ng isang manifold), sa gayon ay tinutukoy ang tinatawag na mga puwang ng Finsler. Sa mas detalyado, isinasaalang-alang ni Riemann ang tinatawag na mga puwang ng Riemannian, na ginagawang pangkalahatan ang mga puwang ng mga geometry ng Euclid, Lobachevsky at Riemann's elliptic geometry, na nailalarawan sa pamamagitan ng isang espesyal na uri ng linear na elemento, at binuo ang teorya ng kanilang curvature. Tinatalakay ang aplikasyon ng kanyang mga ideya sa pisikal na espasyo, itinaas ni Riemann ang tanong tungkol sa "mga sanhi ng metric properties" nito, na parang inaabangan ang ginawa sa pangkalahatang teorya ng relativity.

Ang mga ideya at pamamaraan na iminungkahi ni Riemann ay nagbukas ng mga bagong landas sa pag-unlad ng matematika at natagpuan ang aplikasyon sa mekanika at pangkalahatang teorya ng relativity. Namatay ang siyentipiko noong 1866 mula sa tuberculosis.

Magkaiba ang mga numero: natural, natural, rational, integer at fractional, positive at negative, complex at prime, odd at even, real, atbp. Mula sa artikulong ito matututunan mo kung ano ang mga prime number.

Anong mga numero ang tinatawag na salitang Ingles na "simple"?

Kadalasan, hindi alam ng mga mag-aaral kung paano sasagutin ang isa sa mga tila simpleng tanong sa matematika, tungkol sa kung ano ang prime number. Madalas nilang nalilito ang mga pangunahing numero sa mga natural na numero (iyon ay, ang mga numero na ginagamit ng mga tao kapag nagbibilang ng mga bagay, habang sa ilang mga mapagkukunan ay nagsisimula sila mula sa zero, at sa iba pa - mula sa isa). Ngunit ang mga ito ay dalawang ganap na magkaibang mga konsepto. Ang mga pangunahing numero ay natural na mga numero, iyon ay, integer at positibong mga numero na mas malaki sa isa at mayroon lamang 2 natural na divisors. Sa kasong ito, ang isa sa mga divisors na ito ay isang ibinigay na numero, at ang pangalawa ay isang unit. Halimbawa, ang tatlo ay isang prime number dahil hindi ito pantay na nahahati sa anumang numero maliban sa sarili nito at isa.

Mga pinagsama-samang numero

Ang kabaligtaran ng mga prime number ay mga composite na numero. Ang mga ito ay natural din, mas malaki din sa isa, ngunit walang dalawa, ngunit higit pang mga divisors. Kaya, halimbawa, ang mga numero 4, 6, 8, 9, atbp. ay natural, composite, ngunit hindi prime number. Tulad ng nakikita mo, ang mga ito ay halos kahit na mga numero, ngunit hindi lahat. Ngunit ang "dalawa" ay isang even na numero at ang "unang numero" sa isang serye ng mga prime number.

Kasunod

Upang makabuo ng isang serye ng mga pangunahing numero, kinakailangan na pumili mula sa lahat ng mga natural na numero, na isinasaalang-alang ang kanilang kahulugan, iyon ay, kailangan mong kumilos sa pamamagitan ng pagkakasalungatan. Kinakailangang isaalang-alang ang bawat isa sa mga natural na positibong numero sa paksa kung mayroon itong higit sa dalawang divisors. Subukan nating bumuo ng isang serye (sequence) na binubuo ng mga prime number. Ang listahan ay nagsisimula sa dalawa, pagkatapos ay darating sa tatlo, dahil ito ay nahahati lamang sa sarili at isa. Isaalang-alang ang bilang apat. Mayroon ba itong divisors maliban sa apat at isa? Oo, ang numerong iyon ay 2. Kaya ang apat ay hindi isang prime number. Ang lima ay prime din (bukod sa 1 at 5, hindi ito nahahati sa anumang iba pang numero), ngunit ang anim ay nahahati. At sa pangkalahatan, kung susundin mo ang lahat ng kahit na mga numero, mapapansin mo na bukod sa "dalawa", wala sa mga ito ang prime. Mula dito napagpasyahan namin na ang kahit na mga numero, maliban sa dalawa, ay hindi prime. Isa pang pagtuklas: ang lahat ng mga numero na nahahati sa tatlo, maliban sa triple mismo, kahit na o kakaiba, ay hindi rin prime (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, atbp.). Ang parehong naaangkop sa mga numero na nahahati sa lima at pito. Hindi rin simple ang lahat ng set nila. I-summarize natin. Kaya, ang lahat ng mga kakaibang numero, maliban sa isa at siyam, ay nabibilang sa mga simpleng solong-digit na numero, at "dalawa" lamang mula sa mga kahit na. Ang sampu mismo (10, 20,... 40, atbp.) ay hindi prime. Maaaring tukuyin ang dalawang-digit, tatlong-digit, atbp. na mga prime na numero batay sa mga prinsipyo sa itaas: kung wala silang ibang divisors maliban sa kanilang sarili at isa.

Mga teorya tungkol sa mga katangian ng mga prime number

Mayroong isang agham na nag-aaral ng mga katangian ng mga integer, kabilang ang mga prime. Ito ay isang sangay ng matematika, na tinatawag na mas mataas. Bilang karagdagan sa mga katangian ng mga integer, tinatalakay din niya ang mga algebraic, transendental na numero, pati na rin ang mga function ng iba't ibang pinagmulan na nauugnay sa aritmetika ng mga numerong ito. Sa mga pag-aaral na ito, bilang karagdagan sa elementarya at algebraic na pamamaraan, ginagamit din ang mga analytical at geometric. Sa partikular, ang pag-aaral ng prime numbers ay tumatalakay sa "Number Theory".

Ang mga pangunahing numero ay ang "mga bloke ng gusali" ng mga natural na numero

Sa arithmetic mayroong theorem na tinatawag na main theorem. Ayon dito, ang anumang natural na numero, maliban sa pagkakaisa, ay maaaring katawanin bilang isang produkto, ang mga kadahilanan kung saan ay ang mga pangunahing numero, at ang pagkakasunud-sunod ng mga kadahilanan ay natatangi, na nangangahulugan na ang paraan ng representasyon ay natatangi. Ito ay tinatawag na pagkabulok ng isang natural na numero sa mga pangunahing kadahilanan. May isa pang pangalan para sa prosesong ito - factorization ng mga numero. Mula dito, ang mga pangunahing numero ay maaaring tawaging "materyal sa gusali", "mga bloke" para sa pagbuo ng mga natural na numero.

Maghanap ng mga pangunahing numero. Mga Pagsusulit sa Simplicity

Maraming mga siyentipiko sa iba't ibang panahon ang sinubukang maghanap ng ilang mga prinsipyo (mga sistema) para sa paghahanap ng isang listahan ng mga prime number. Alam ng agham ang mga sistemang tinatawag na Atkin's sieve, Sundartam's sieve, Eratosthenes' sieve. Gayunpaman, hindi sila nagbibigay ng anumang makabuluhang resulta, at isang simpleng pagsubok ang ginagamit upang mahanap ang mga pangunahing numero. Ang mga algorithm ay nilikha din ng mga mathematician. Ang mga ito ay tinatawag na primality tests. Halimbawa, mayroong isang pagsubok na binuo nina Rabin at Miller. Ito ay ginagamit ng mga cryptographer. Mayroon ding pagsusulit na Kayala-Agrawala-Saskena. Gayunpaman, sa kabila ng sapat na katumpakan nito, napakahirap kalkulahin, na nagpapaliit sa praktikal na halaga nito.

May limitasyon ba ang set ng primes?

Ang katotohanan na ang hanay ng mga primes ay infinity ay isinulat sa aklat na "Mga Simula" ng sinaunang Griyegong siyentipiko na si Euclid. Sinabi niya ito: “Isipin natin sandali na may limitasyon ang mga prime number. Pagkatapos ay paramihin natin sila sa isa't isa, at magdagdag ng isa sa produkto. Ang bilang na nakuha bilang resulta ng mga simpleng operasyong ito ay hindi mahahati sa alinman sa mga serye ng mga prime number, dahil ang natitira ay palaging magiging isa. At ito ay nangangahulugan na may ilang iba pang numero na hindi pa kasama sa listahan ng mga pangunahing numero. Samakatuwid, hindi totoo ang aming palagay, at hindi maaaring magkaroon ng limitasyon ang set na ito. Bilang karagdagan sa patunay ni Euclid, mayroong isang mas modernong pormula na ibinigay ng ikalabing-walong siglong Swiss mathematician na si Leonhard Euler. Ayon sa kanya, ang kabuuan, ang reciprocal ng kabuuan ng unang n mga numero, ay lumalaki nang walang katiyakan sa paglaki ng bilang n. At narito ang pormula ng teorama tungkol sa pamamahagi ng mga prime number: (n) lumalaki tulad ng n / ln (n).

Ano ang pinakamalaking prime number?

Ang parehong Leonard Euler ay nakahanap ng pinakamalaking prime number para sa kanyang panahon. Ito ay 2 31 - 1 = 2147483647. Gayunpaman, noong 2013, isa pang pinakatumpak na pinakamalaki sa listahan ng mga prime number ang kinakalkula - 2 57885161 - 1. Ito ay tinatawag na Mersenne number. Naglalaman ito ng humigit-kumulang 17 milyong decimal na digit. Tulad ng nakikita mo, ang bilang na natagpuan ng isang siyentipiko mula sa ikalabing walong siglo ay ilang beses na mas maliit kaysa dito. Dapat ay gayon, dahil ginawa ni Euler nang manu-mano ang pagkalkula na ito, ngunit ang aming kontemporaryo ay malamang na natulungan ng isang computer. Bukod dito, ang bilang na ito ay nakuha sa Departamento ng Matematika sa isa sa mga departamentong Amerikano. Ang mga numerong pinangalanan sa siyentipikong ito ay pumasa sa Luc-Lehmer primality test. Gayunpaman, ang agham ay hindi nais na tumigil doon. Ang Electronic Frontier Foundation, na itinatag noong 1990 sa United States of America (EFF), ay nag-alok ng monetary reward para sa paghahanap ng malalaking prime. At kung hanggang 2013 ang premyo ay ibinigay sa mga siyentipiko na makakahanap sa kanila mula sa 1 at 10 milyong mga decimal na numero, ngayon ang figure na ito ay umabot mula 100 milyon hanggang 1 bilyon. Ang mga premyo ay mula 150 hanggang 250 thousand US dollars.

Mga pangalan ng mga espesyal na prime number

Ang mga numerong iyon na natagpuan salamat sa mga algorithm na nilikha ng ilang mga siyentipiko at nakapasa sa pagsubok sa pagiging simple ay tinatawag na espesyal. Narito ang ilan sa mga ito:

1. Mersin.

4. Cullen.

6. Mills et al.

Ang pagiging simple ng mga numerong ito, na pinangalanan sa itaas ng mga siyentipiko, ay itinatag gamit ang mga sumusunod na pagsubok:

1. Lucas-Lemer.

2. Pepina.

3. Riesel.

4. Billhart - Lehmer - Selfridge at iba pa.

Ang modernong agham ay hindi titigil doon, at marahil sa malapit na hinaharap malalaman ng mundo ang mga pangalan ng mga nagawang manalo ng premyo na 250,000 dolyar sa pamamagitan ng paghahanap ng pinakamalaking prime number.

Listahan ng mga divisors. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang numero n ay prime lamang kung ito ay hindi pantay na mahahati ng 2 at anumang integer maliban sa 1 at mismo. Ang formula sa itaas ay nag-aalis ng mga hindi kinakailangang hakbang at nakakatipid ng oras: halimbawa, pagkatapos suriin kung ang isang numero ay nahahati sa 3, hindi na kailangang suriin kung ito ay nahahati ng 9.

• Ang floor(x) function ay iniikot sa x sa pinakamalapit na integer na mas mababa sa o katumbas ng x.

Matuto tungkol sa modular arithmetic. Ang operasyong "x mod y" (mod ay maikli para sa salitang Latin na "modulo", ibig sabihin ay "module") ay nangangahulugang "hatiin ang x sa y at hanapin ang natitira". Sa madaling salita, sa modular arithmetic, sa pag-abot sa isang tiyak na halaga, na tinatawag modyul, ang mga numero ay "bumalik" sa zero. Halimbawa, ang orasan ay sumusukat ng oras sa modulus 12: nagpapakita ito ng 10, 11, at 12 o'clock at pagkatapos ay babalik sa 1.

• Maraming mga calculator ang may mod key. Ang dulo ng seksyong ito ay nagpapakita kung paano manu-manong kalkulahin ang function na ito para sa malalaking numero.

Alamin ang tungkol sa mga pitfalls ng Fermat's Little Theorem. Ang lahat ng mga numero kung saan ang mga kundisyon ng pagsubok ay hindi natutugunan ay pinagsama-sama, ngunit ang natitirang mga numero ay lamang malamang ay itinuturing na simple. Kung gusto mong maiwasan ang mga maling resulta, hanapin n sa listahan ng "Mga numero ng Carmichael" (mga pinagsama-samang numero na nakakatugon sa pagsusulit na ito) at "mga pseudo-prime na numero ng Fermat" (natutugunan ng mga numerong ito ang mga kundisyon ng pagsubok para lamang sa ilang mga halaga a).

Kung maginhawa, gamitin ang Miller-Rabin test. Kahit na ang pamamaraang ito ay medyo mahirap para sa mga manu-manong kalkulasyon, madalas itong ginagamit sa mga programa sa computer. Nagbibigay ito ng katanggap-tanggap na bilis at nagbibigay ng mas kaunting mga error kaysa sa pamamaraan ni Fermat. Ang isang pinagsama-samang numero ay hindi kukunin bilang isang pangunahing numero kung ang mga pagkalkula ay ginawa para sa higit sa ¼ mga halaga a. Kung random kang pumili ng iba't ibang mga halaga a at para sa kanilang lahat ang pagsubok ay magbibigay ng isang positibong resulta, maaari naming ipagpalagay na may isang medyo mataas na antas ng kumpiyansa na n ay isang prime number.

Para sa malalaking numero, gumamit ng modular arithmetic. Kung wala kang madaling gamiting mod calculator, o kung hindi idinisenyo ang iyong calculator para pangasiwaan ang mga ganoong kalaking numero, gamitin ang mga power properties at modular arithmetic para mapadali ang iyong mga kalkulasyon. Nasa ibaba ang isang halimbawa para sa 3 50 (\displaystyle 3^(50)) mod 50:

• Isulat muli ang expression sa mas madaling paraan: mod 50. Kapag manu-mano ang pagkalkula, maaaring kailanganin ang karagdagang pagpapasimple.
• (3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Dito namin isinasaalang-alang ang pag-aari ng modular multiplication.
• 3 25 (\displaystyle 3^(25)) mod 50 = 43.
• (3 25 (\displaystyle (3^(25))) mod 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 ∗ 43) (\displaystyle (43*43)) mod 50.
• = 1849 (\displaystyle =1849) mod 50.
• = 49 (\displaystyle=49).

Ang prime number ay isang natural na numero na nahahati lamang sa sarili at isa.

Ang natitirang mga numero ay tinatawag na composite.

Mga simpleng natural na numero

Ngunit hindi lahat ng natural na numero ay prime.

Ang mga simpleng natural na numero ay yaong mga nahahati lamang ng kanilang mga sarili at ng isa.

Mga halimbawa ng prime number:

2; 3; 5; 7; 11; 13;...

Mga simpleng integer

Ito ay sumusunod na ang mga natural na numero lamang ang prime number.

Nangangahulugan ito na ang mga pangunahing numero ay kinakailangang natural.

Ngunit lahat ng natural na numero ay integer din.

Kaya, ang lahat ng mga prime number ay mga integer.

Mga halimbawa ng prime number:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...

Kahit prime number

Mayroon lamang isang even prime number, at iyon ay dalawa.

Ang lahat ng iba pang prime number ay kakaiba.

Bakit hindi maaaring maging prime number ang even number na mas malaki sa dalawa?

Ngunit dahil ang kahit anong numerong mas malaki sa dalawa ay mahahati sa sarili, hindi ng isa, kundi ng dalawa, ibig sabihin, ang naturang numero ay palaging may tatlong divisors, at posibleng higit pa.