Pagbubuo ng problema

Ang gawain ay nagsasangkot ng pag-familiarize sa user sa mga pangunahing konsepto ng mga numerical na pamamaraan, tulad ng determinant at inverse matrix, at iba't ibang paraan upang kalkulahin ang mga ito. Sa teoretikal na ulat na ito, sa isang simple at naa-access na wika, ang mga pangunahing konsepto at kahulugan ay unang ipinakilala, sa batayan kung saan isinasagawa ang karagdagang pananaliksik. Maaaring walang espesyal na kaalaman ang gumagamit sa larangan ng mga numerical na pamamaraan at linear algebra, ngunit madaling magamit ang mga resulta ng gawaing ito. Para sa kalinawan, ang isang programa para sa pagkalkula ng matrix determinant sa pamamagitan ng ilang mga pamamaraan, na nakasulat sa C ++ programming language, ay ibinigay. Ang programa ay ginagamit bilang isang laboratory stand para sa paglikha ng mga ilustrasyon para sa ulat. At din ang isang pag-aaral ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation ay isinasagawa. Ang kawalang-silbi ng pagkalkula ng inverse matrix ay napatunayan, samakatuwid, ang papel ay nagbibigay ng mas pinakamainam na paraan upang malutas ang mga equation nang hindi kinakalkula ito. Ipinaliwanag kung bakit napakaraming iba't ibang mga pamamaraan para sa pagkalkula ng mga determinant at inverse matrice at ang kanilang mga pagkukulang ay sinusuri. Ang mga error sa pagkalkula ng determinant ay isinasaalang-alang din at ang nakamit na katumpakan ay tinatantya. Bilang karagdagan sa mga terminong Ruso, ang kanilang mga katumbas sa Ingles ay ginagamit din sa gawain upang maunawaan sa ilalim ng kung anong mga pangalan ang hahanapin para sa mga numerical na pamamaraan sa mga aklatan at kung ano ang ibig sabihin ng mga parameter nito.

Mga pangunahing kahulugan at simpleng katangian

Determinant

Ipakilala natin ang kahulugan ng determinant ng isang square matrix ng anumang pagkakasunud-sunod. Ang kahulugan na ito ay paulit-ulit, iyon ay, upang maitatag kung ano ang determinant ng order matrix, kailangan mong malaman na kung ano ang determinant ng order matrix. Tandaan din na ang determinant ay umiiral lamang para sa mga square matrice.

Ang determinant ng isang parisukat na matrix ay ilalarawan ng o det .

Kahulugan 1. determinant parisukat na matris pangalawang order na numero ang tinatawag .

determinant square matrix ng order , ay tinatawag na numero

saan ang determinant ng order matrix na nakuha mula sa matrix sa pamamagitan ng pagtanggal sa unang row at column na may numero .

Para sa kalinawan, isinulat namin kung paano mo makalkula ang determinant ng isang matrix ng ikaapat na pagkakasunud-sunod:

Magkomento. Ang aktwal na pagkalkula ng mga determinant para sa mga matrice sa itaas ng ikatlong order batay sa kahulugan ay ginagamit sa mga pambihirang kaso. Bilang isang patakaran, ang pagkalkula ay isinasagawa ayon sa iba pang mga algorithm, na tatalakayin sa ibang pagkakataon at nangangailangan ng mas kaunting computational work.

Magkomento. Sa Definition 1, magiging mas tumpak na sabihin na ang determinant ay isang function na tinukoy sa hanay ng mga square order matrice at pagkuha ng mga halaga sa hanay ng mga numero.

Magkomento. Sa panitikan, sa halip na ang terminong "determinant", ang terminong "determinant" ay ginagamit din, na may parehong kahulugan. Mula sa salitang "determinant" lumabas ang designation det.

Isaalang-alang natin ang ilang mga katangian ng mga determinant, na ating binubuo sa anyo ng mga assertion.

Pahayag 1. Kapag nag-transpos ng isang matrix, ang determinant ay hindi nagbabago, iyon ay, .

Pahayag 2. Ang determinant ng produkto ng square matrices ay katumbas ng produkto ng mga determinants ng mga salik, iyon ay, .

Pahayag 3. Kung ang dalawang row sa isang matrix ay pinagpalit, ang determinant nito ay magbabago ng sign.

Pahayag 4. Kung ang isang matrix ay may dalawang magkatulad na hanay, ang determinant nito ay zero.

Sa hinaharap, kakailanganin nating magdagdag ng mga string at i-multiply ang isang string sa isang numero. Gagawin namin ang mga operasyong ito sa mga hilera (column) sa parehong paraan tulad ng mga operasyon sa row matrice (column matrice), iyon ay, elemento sa pamamagitan ng elemento. Ang resulta ay isang row (column), na, bilang panuntunan, ay hindi tumutugma sa mga row ng orihinal na matrix. Sa pagkakaroon ng mga operasyon ng pagdaragdag ng mga hilera (mga haligi) at pagpaparami ng mga ito sa isang numero, maaari din nating pag-usapan ang tungkol sa mga linear na kumbinasyon ng mga hilera (mga haligi), iyon ay, mga kabuuan na may mga numerical coefficient.

Pahayag 5. Kung ang isang hilera ng isang matrix ay pinarami ng isang numero, ang determinant nito ay i-multiply sa numerong iyon.

Pahayag 6. Kung ang matrix ay naglalaman ng zero row, ang determinant nito ay zero.

Pahayag 7. Kung ang isa sa mga hilera ng matrix ay katumbas ng isa pang pinarami ng isang numero (ang mga hilera ay proporsyonal), kung gayon ang determinant ng matrix ay zero.

Pahayag 8. Hayaang ang i-th row sa matrix ay magmukhang . Pagkatapos, kung saan ang matrix ay nakuha mula sa matrix sa pamamagitan ng pagpapalit ng i-th row ng row, at ang matrix ay nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng i-th row ng row.

Pahayag 9. Kung ang isa sa mga hilera ng matrix ay idinagdag sa isa pa, na pinarami ng isang numero, kung gayon ang determinant ng matrix ay hindi magbabago.

Pahayag 10. Kung ang isa sa mga hilera ng isang matrix ay isang linear na kumbinasyon ng iba pang mga hilera nito, kung gayon ang determinant ng matrix ay zero.

Kahulugan 2. Algebraic na karagdagan sa isang elemento ng matrix ay tinatawag na isang numero na katumbas ng , kung saan ang determinant ng matrix na nakuha mula sa matrix sa pamamagitan ng pagtanggal ng i-th row at ang j-th column. Ang algebraic na pandagdag sa isang elemento ng matrix ay tinutukoy ng .

Halimbawa. Hayaan . Pagkatapos

Magkomento. Gamit ang mga algebraic na pagdaragdag, ang kahulugan ng 1 determinant ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:

Pahayag 11. Decomposition ng determinant sa isang arbitrary string.

Ang matrix determinant ay nakakatugon sa formula

Halimbawa. Kalkulahin .

Desisyon. Gamitin natin ang pagpapalawak sa ikatlong linya, ito ay mas kumikita, dahil sa ikatlong linya dalawang numero sa tatlo ay mga zero. Kunin

Pahayag 12. Para sa isang parisukat na matrix ng order sa , mayroon kaming kaugnayan .

Pahayag 13. Ang lahat ng mga katangian ng determinant na binuo para sa mga hilera (mga pahayag 1 - 11) ay may bisa din para sa mga column, lalo na, ang pagpapalawak ng determinant sa j-th column ay wasto at pagkakapantay-pantay sa .

Pahayag 14. Ang determinant ng isang triangular matrix ay katumbas ng produkto ng mga elemento ng pangunahing dayagonal nito.

Bunga. Ang determinant ng identity matrix ay katumbas ng isa, .

Konklusyon. Ginagawang posible ng mga katangiang nakalista sa itaas na makahanap ng mga determinant ng mga matrice ng sapat na mataas na mga order na may medyo maliit na halaga ng mga kalkulasyon. Ang algorithm ng pagkalkula ay ang mga sumusunod.

Algorithm para sa paglikha ng mga zero sa isang column. Hayaang kailanganin na kalkulahin ang determinant ng order. Kung , pagkatapos ay palitan ang unang linya at anumang iba pang linya kung saan ang unang elemento ay hindi zero. Bilang resulta, ang determinant , ay magiging katumbas ng determinant ng bagong matrix na may kabaligtaran na tanda. Kung ang unang elemento ng bawat hilera ay katumbas ng zero, kung gayon ang matrix ay may zero na column at, ayon sa Mga Pahayag 1, 13, ang determinant nito ay katumbas ng zero.

Kaya, isinasaalang-alang namin na nasa orihinal na matrix . Iwanan ang unang linya na hindi nagbabago. Idagdag natin sa pangalawang linya ang unang linya, na pinarami ng numero . Pagkatapos ang unang elemento ng pangalawang hilera ay magiging katumbas ng .

Ang natitirang mga elemento ng bagong pangalawang hilera ay ilalarawan ng , . Ang determinant ng bagong matrix ayon sa Pahayag 9 ay katumbas ng . I-multiply ang unang linya sa numero at idagdag ito sa pangatlo. Ang unang elemento ng bagong ikatlong hilera ay magiging katumbas ng

Ang natitirang mga elemento ng bagong ikatlong hilera ay ilalarawan ng , . Ang determinant ng bagong matrix ayon sa Pahayag 9 ay katumbas ng .

Ipagpapatuloy namin ang proseso ng pagkuha ng mga zero sa halip na ang mga unang elemento ng mga string. Sa wakas, i-multiply namin ang unang linya sa isang numero at idagdag ito sa huling linya. Ang resulta ay isang matrix, na tinutukoy ng , na may anyo

at . Upang kalkulahin ang determinant ng matrix, ginagamit namin ang pagpapalawak sa unang hanay

Simula noon

Ang determinant ng order matrix ay nasa kanang bahagi. Inilapat namin ang parehong algorithm dito, at ang pagkalkula ng determinant ng matrix ay mababawasan sa pagkalkula ng determinant ng order matrix. Ang proseso ay paulit-ulit hanggang sa maabot natin ang second-order determinant, na kinakalkula ayon sa kahulugan.

Kung ang matrix ay walang anumang mga tiyak na katangian, kung gayon hindi posible na makabuluhang bawasan ang dami ng mga kalkulasyon kumpara sa iminungkahing algorithm. Ang isa pang magandang bahagi ng algorithm na ito ay madaling magsulat ng isang programa para sa isang computer upang makalkula ang mga determinant ng mga matrice ng malalaking order. Sa mga karaniwang programa para sa pagkalkula ng mga determinant, ginagamit ang algorithm na ito sa mga maliliit na pagbabago na nauugnay sa pagliit ng epekto ng mga error sa pag-round at mga error sa input ng data sa mga kalkulasyon ng computer.

Halimbawa. Compute Matrix Determinant .

Desisyon. Ang unang linya ay hindi nababago. Sa pangalawang linya idinagdag namin ang una, na pinarami ng numero:

Ang determinant ay hindi nagbabago. Sa ikatlong linya idinagdag namin ang una, na pinarami ng numero:

Ang determinant ay hindi nagbabago. Sa ika-apat na linya idinagdag namin ang una, na pinarami ng numero:

Ang determinant ay hindi nagbabago. Bilang resulta, nakukuha namin

Gamit ang parehong algorithm, kinakalkula namin ang determinant ng isang matrix ng order 3, na nasa kanan. Iniwan namin ang unang linya na hindi nagbabago, sa pangalawang linya idinagdag namin ang una, na pinarami ng numero :

Sa ikatlong linya idinagdag namin ang una, na pinarami ng numero :

Bilang resulta, nakukuha namin

Sagot. .

Magkomento. Bagama't ginamit ang mga fraction sa mga kalkulasyon, ang resulta ay isang integer. Sa katunayan, gamit ang mga katangian ng mga determinant at ang katotohanan na ang mga orihinal na numero ay mga integer, ang mga operasyong may mga fraction ay maaaring iwasan. Ngunit sa pagsasanay sa engineering, ang mga numero ay napakabihirang integer. Samakatuwid, bilang panuntunan, ang mga elemento ng determinant ay magiging mga decimal fraction at hindi ipinapayong gumamit ng anumang mga trick upang pasimplehin ang mga kalkulasyon.

baligtad na matris

Kahulugan 3. Ang matrix ay tinatawag baligtad na matris para sa isang square matrix kung .

Ito ay sumusunod mula sa kahulugan na ang inverse matrix ay magiging isang parisukat na matrix ng parehong pagkakasunud-sunod ng matrix (kung hindi, isa sa mga produkto o hindi matukoy).

Ang inverse matrix para sa isang matrix ay tinutukoy ng . Kaya, kung mayroon, kung gayon .

Mula sa kahulugan ng isang inverse matrix, sumusunod na ang matrix ay ang kabaligtaran ng matrix, iyon ay, . Matrices at masasabing inverse sa isa't isa o mutually inverse.

Kung ang determinant ng isang matrix ay zero, kung gayon ang kabaligtaran nito ay hindi umiiral.

Dahil para sa paghahanap ng inverse matrix mahalaga kung ang determinant ng matrix ay katumbas ng zero o hindi, ipinakilala namin ang mga sumusunod na kahulugan.

Kahulugan 4. Tawagan natin ang square matrix mabulok o espesyal na matris, kung hindi nabubulok o nonsingular matrix, kung .

Pahayag. Kung mayroong isang inverse matrix, kung gayon ito ay natatangi.

Pahayag. Kung ang isang square matrix ay nondegenerate, kung gayon ang kabaligtaran nito ay umiiral at (1) kung saan ang mga algebraic na pagdaragdag sa mga elemento .

Teorama. Ang isang inverse matrix para sa isang square matrix ay umiiral kung at kung ang matrix ay nonsingular, ang inverse matrix ay natatangi, at ang formula (1) ay wasto.

Magkomento. Ang partikular na atensyon ay dapat bayaran sa mga lugar na inookupahan ng mga algebraic na pagdaragdag sa inverse matrix formula: ang unang index ay nagpapakita ng numero hanay, at ang pangalawa ay ang numero mga linya, kung saan dapat isulat ang kalkuladong algebraic complement.

Halimbawa. .

Desisyon. Paghahanap ng determinant

Dahil , kung gayon ang matrix ay walang pagkabulok, at ang kabaligtaran para dito ay umiiral. Paghahanap ng mga algebraic na karagdagan:

Binubuo namin ang inverse matrix sa pamamagitan ng paglalagay ng mga natagpuang algebraic na mga karagdagan upang ang unang index ay tumutugma sa column, at ang pangalawa sa row: (2)

Ang resultang matrix (2) ay ang sagot sa problema.

Magkomento. Sa nakaraang halimbawa, magiging mas tumpak na isulat ang sagot tulad nito:
(3)

Gayunpaman, ang notasyon (2) ay mas siksik at mas maginhawang magsagawa ng karagdagang mga kalkulasyon, kung mayroon man, kasama nito. Samakatuwid, mas mainam na isulat ang sagot sa anyong (2) kung ang mga elemento ng matrice ay mga integer. At kabaligtaran, kung ang mga elemento ng matrix ay mga decimal fraction, kung gayon mas mahusay na isulat ang kabaligtaran na matrix nang walang kadahilanan sa harap.

Magkomento. Kapag naghahanap ng inverse matrix, kailangan mong magsagawa ng napakaraming kalkulasyon at isang hindi pangkaraniwang tuntunin para sa pag-aayos ng mga algebraic na karagdagan sa huling matrix. Samakatuwid, mayroong isang mataas na pagkakataon ng error. Upang maiwasan ang mga error, dapat kang gumawa ng isang tseke: kalkulahin ang produkto ng orihinal na matrix sa pamamagitan ng huling isa sa isang pagkakasunud-sunod o iba pa. Kung ang resulta ay isang identity matrix, kung gayon ang inverse matrix ay matatagpuan nang tama. Kung hindi, kailangan mong maghanap ng error.

Halimbawa. Hanapin ang kabaligtaran ng isang matrix .

Desisyon. - umiiral.

Sagot: .

Konklusyon. Ang paghahanap ng inverse matrix sa pamamagitan ng formula (1) ay nangangailangan ng masyadong maraming kalkulasyon. Para sa mga matrice ng ikaapat na order at mas mataas, ito ay hindi katanggap-tanggap. Ang tunay na algorithm para sa paghahanap ng inverse matrix ay ibibigay sa ibang pagkakataon.

Kinakalkula ang determinant at inverse matrix gamit ang Gauss method

Ang Gauss method ay maaaring gamitin upang mahanap ang determinant at inverse matrix.

Ibig sabihin, ang matrix determinant ay katumbas ng det .

Ang inverse matrix ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng mga sistema ng linear equation gamit ang Gaussian elimination method:

Nasaan ang j-th column ng identity matrix , ay ang kinakailangang vector.

Ang resultang solusyon vectors - form, malinaw naman, ang mga haligi ng matrix, dahil .

Mga formula para sa determinant

1. Kung ang matrix ay nonsingular, kung gayon at (ang produkto ng mga nangungunang elemento).

Dahil para sa paghahanap ng inverse matrix mahalaga kung ang determinant ng matrix ay katumbas ng zero o hindi, ipinakilala namin ang mga sumusunod na kahulugan.

Kahulugan 14.9 Tawagan natin ang square matrix mabulok o espesyal na matris, kung hindi nabubulok o nonsingular matrix, kung .

Alok 14.21 Kung mayroong isang inverse matrix, kung gayon ito ay natatangi.

Patunay. Hayaan ang dalawang matrice at maging kabaligtaran ng matrix . Pagkatapos

Kaya naman, .

Ang panuntunan ni Cramer.

Hayaan ang matrix equation AX=B

saan ; ay ang determinant na nakuha mula sa determinant D kapalit i-th column sa pamamagitan ng column ng mga libreng miyembro ng matrix B:

Patunay Ang teorama ay nahahati sa tatlong bahagi:

1. Ang solusyon ng system (1) ay umiiral at natatangi.

2. Ang mga pagkakapantay-pantay (2) ay bunga ng matrix equation (1).

3. Equalities (2) entail matrix equation (1).

Dahil , mayroon ding kakaibang inverse matrix .
Ang pagpaparami ng parehong bahagi ng matrix equation (1) sa kaliwa ng , makuha natin ang solusyon ng equation na ito:

pagiging natatangi Ang inverse matrix ay nagpapatunay sa unang bahagi ng theorem.

Lumipat tayo sa patunay isa-sa-isang sulat sa pagitan ng mga formula (1) at (2).

Gamit ang formula (4), nakakakuha tayo ng expression para sa i-ika elemento. Para dito kailangan mong magparami i-ika row ng matrix

bawat hanay B.

Kung ganoon i-th row ng nauugnay na matrix ay binubuo ng mga algebraic na pagdaragdag , nakuha namin ang sumusunod na resulta:

Kumpleto na ang derivation ng mga formula ng Cramer. Ipakita natin ngayon na ang mga expression

Baguhin natin ang pagkakasunud-sunod ng pagbubuod sa kanang bahagi ng resultang expression:

nasaan ang simbolong delta Kronecker.

Dahil inalis ng simbolong delta ang pagsusuma sa isa sa mga indeks, nakukuha namin ang kinakailangang resulta:

Mga kumplikadong numero: Ang ideya ay upang tukuyin ang mga bagong bagay sa tulong ng mga kilala. Ang mga tunay na numero ay matatagpuan sa isang tuwid na linya. Kapag pumasa sa eroplano, nakakakuha tayo ng mga kumplikadong numero. Kahulugan: Ang kumplikadong numero ay isang pares ng mga tunay na numero z = (a,b). Ang bilang na a = Re z ay tinatawag na tunay na bahagi, at b = Im z ang haka-haka na bahagi ng kumplikadong numero z .

Mga operasyon sa mga kumplikadong numero: Ang mga kumplikadong numero na z1 z2 ay Z1 = z2 ⇔ Re z1 = Re z2 at Im z1 = Im z2. Dagdag: Z=z1+z2. ⇔Rez=Rez1+Rez2 at Imz1+ Imz2. Ang numero (0,0) ay ipinapahiwatig ng 0. Ito ang neutral na elemento. Napatunayan na ang pagdaragdag ng mga kumplikadong numero ay may mga katangiang katulad ng sa pagdaragdag ng mga tunay na numero. (1. Z1+ z2 = z2 + z1 – commutativity; 2. Z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 – associativity; 3. Z1 + 0 = z1 - pagkakaroon ng zero (neutral na elemento); 4. z + (−z) = 0 - ang pagkakaroon ng kabaligtaran na elemento). Pagpaparami: z= z1 z2⇔Re z=Re z1 Re z2-Im z1 Im z2 & Im z1=Im z1 Re z2+Im z2 Re z1. Ang isang kumplikadong numero z ay nasa totoong axis kung Imz = 0 . Ang mga resulta ng mga operasyon sa naturang mga numero ay nag-tutugma sa mga resulta ng mga operasyon sa mga ordinaryong tunay na numero. Ang multiplikasyon ng mga kumplikadong numero ay may mga katangian ng pagsasara, commutativity at pagkakaugnay. Ang numero (1,0) ay tinutukoy ng 1. Ito ay isang neutral na elemento sa pamamagitan ng multiplikasyon. Kung a∈ R, z ∈C , kung gayon Re(az) = aRe z, Im(az) = a Imz . Kahulugan Ang bilang (0,1) ay ipinapahiwatig ng i at tinatawag na imaginary unit. Sa notasyong ito, nakuha namin ang representasyon ng isang kumplikadong numero sa algebraic form: z = a + ib, a,b∈ R. i=-1.(a,b)=(a,0)+(0,b) ;(a,0)+b(0,1)=a+ib=z; (a1+ib)(a2+ib2)=a1a2+i(a1b2+1-a2b1)-b1b2; (a+ib)(1+0i)=a+ib; z(a,b), z(0+i0)=0; z!=0; a 2 + b 2 > 0 (a + ib) (a-ib / a 2 + b 2) = 1. Ang numero ay tinatawag conjugate hanggang z kung Re =Re z ; Im =- ako z.

= + ; = ; z =(a+ib)(a-ib)=a 2 +b 2 Ang modulus ng isang numerong z ay isang tunay na numero| z |= . Patas na formula| z| 2 = z Ito ay sumusunod mula sa kahulugan na z ≠ 0⇔| z|≠ 0. z -1 = //z| 2 (1)

Trigonometric na anyo ng isang kumplikadong numero: a=rcos(t); b=r sin(t). Z=a+ib=r(cos(t)+isin(t))(2) t-argumento ng isang kumplikadong numero. Z1=z2 =>|z1|=|z2|

arg(z1)-arg(z2)=2pk.

Z1=r1(cos(t1)+isin(t1), Z2=r2(cos(t2)+isin(t2)), Z3=z1 z2=T1T2(cos(t1+t2)+isin(t1+t2)( isa)

Arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2) (2)

Z!=0 z -1 = /|z| 2 =1/r(cos(-t)+i(sin(-t)) Z=r(cos(t)+istn(t))

R(cos(t)-isin(t))

Kahulugan: Ang ugat ng antas n mula sa pagkakaisa ay ang solusyon ng equation na z n =1 Proposal. Mayroong n natatanging nth ugat ng pagkakaisa. Ang mga ito ay isinulat bilang z = cos(2 π k / n) + isin(2 π k / n), k = 0,..., n −1 . Teorama. Sa hanay ng mga kumplikadong numero, ang equation ay laging may n solusyon.Z=r(cos(t)+isin(t)); z n =r n (cos(nt)+isin(nt))=1(cos(0)+isin(0))=>z n =1 .Z-integers. K ay nabibilang sa Z. k=2=E 2 =E n-1 E n ; E n =1; E n+p =E p . Kaya, napatunayan na ang mga solusyon ng equation ay ang mga vertices ng isang regular na n-gon, at ang isa sa mga vertices ay tumutugma sa 1.

nth root ng z 0. Z k \u003d Z 0; Z0 =0=>Z=0; Z 0 !=0;Z=r(cos(t)-isin(t)); Z 0 \u003d r 0 (cos (t0) + isin (t0)); r0!=0; Z n \u003d r n (cos (nt) + isin (nt))

r n \u003d r 0, nt-t 0 \u003d 2pk; r=; t=(2пk+t0)/n; z= (cos((2pk+t0)/n)+isin((2pk+t0)/n)= (cos t0/n+isin t0/n)(cos(2pk/n)+isin(2pk/n) )=Z 1 E k ;z=z 1 E k ;Z 1 n =z 0, k=0, n=1

Mga matrice. Kahulugan: Ang m × n matrix ay isang hugis-parihaba na talahanayan na naglalaman ng m row at n column, na ang mga elemento ay totoo o kumplikadong mga numero. Ang mga elemento ng matrix ay may dobleng indeks.

Kung m = n, kung gayon ito ay isang parisukat na matrix ng order m, at ang mga elemento na may parehong index ay bumubuo sa pangunahing dayagonal ng matrix.

Matrix Operations: Kahulugan: Dalawang matrice A,B ang tinatawag

pantay kung magkapareho ang kanilang mga sukat at A = B,1≤ i ≤ m,1≤ j ≤ n

Dagdag. Ang mga matrice ng parehong laki ay isinasaalang-alang. Kahulugan:C = A + B ⇔ C = A + B, ∀i, j Alok. Ang pagdaragdag ng matrix ay commutative, associative, mayroong neutral na elemento at para sa bawat matrix ay mayroong kabaligtaran na elemento.

Ang neutral na elemento ay ang zero matrix, ang lahat ng mga elemento ay katumbas ng 0. Ito ay tinutukoy ng Θ.

Pagpaparami. Ang isang m × n matrix A ay tinutukoy ng Amn . Kahulugan: C mk =A mn B nk ó

C= Tandaan na, sa pangkalahatan, ang multiplikasyon ay hindi commutative. Ang pagsasara ay may bisa para sa isang parisukat na matrix ng isang nakapirming laki. Hayaang ibigay ang tatlong matrice na Amn , Bnk , Ckr. Pagkatapos (AB)C = A(BC). Kung mayroong isang produkto ng 3 matrice, kung gayon ito ay nauugnay.

Ang simbolo ng Kronecker na δij . Ito ay 1 kung tumugma ang mga indeks, at 0 kung hindi. Kahulugan. Ang identity matrix I n ay isang square matrix ng order n kung saan ang equalities n I n [ i | j] = δij Alok. Pagkakapantay-pantay I m A mn =A mn I n =A mn

Ang pagdaragdag at pagpaparami ng mga matrice ay konektado ng mga batas ng distributivity. A(B+C)=AB+AC; (A+B)C=AC+BC;(A(B+C)= = = +

Transposisyon ng matrix. Ang transposed matrix ay isang matrix na nakuha mula sa orihinal sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga hilera ng mga column.

(A+B) T = A T + B T

(AB) T \u003d B T A T; (AB) T \u003d (AB) \u003d \u003d (B T A T)

Pagpaparami ng matrix sa isang numero. Ang produkto ng numero a at ang matrix A mn ay tinatawag na bagong matrix B=aA

1*A=A;a(A+B)=aA+aB;(a+b)A=aA+bA;

A(BC)=(aB)C=B(aC); (ab)A=a(bA)=b(aA)

linear na espasyo(L) sa ibabaw ng field F ay tinatawag na set ng mga vectors L=(α,β..)

1.α+β=β+α(commutativity) 2.α+(β+γ)= (α+β)+γ, (ab)α=a(bα)(associativity) 3.α+θ=α, α∙1=α(existence ng neutral) 4.α+(-α)=θ (existence of opposite)

a(α+β)=aα+aβ, (a+b)α=aα+bα. Dokumentasyon (|(a+b)α|=|a+b||α|, |aα|=|a||α|,|bα|=|b||α|, a at b>0, |a +b|=a+b,|a|=a,|b|=b.) aα+(-a)α=θ, (a+0)α=aα

Ang isang halimbawa ng linear space ay isang set ng fixed-size matrice na may mga operasyon ng karagdagan at multiplikasyon sa isang numero.

Ang sistema ng mga linear vector ay tinatawag nakadepende sa linear, kung 1.a 1 ,a 2 ..a n ≠0 2. a 1 α 1 ,a 2 α 2 ..a n α n =θ Kung ang sistema ay hindi linearly dependent, ito ay linearly independent. Isaalang-alang ang 1. n=1 α 1 depende. a 1 ≠0, a 1 α 1 =θ, a 1 -1 (a 1 α 1)= a 1 -1∙ θ=θ, (a 1 -1 a 1)α 1 =1∙α 1 =α 1 ; 2. nakadepende ang n=2 α 1 ,α 2. a 1 ≠0, a 1 α 1 + a 2 α 2 =θ, α 1 = -a 1 -1 a 2 α 2 = b 2 α 2; 3.n≥2 α 1 ..α n depende. a 1 ≠0, α 1 =Σ k =2 n b k α k , 1α 1 - Σ k =2 n b k α k =θ, (1,b 2 ..b n)≠0

Alok: Ang isang sistema ng mga vector na naglalaman ng higit sa 1 vector ay linearly dependent, at ang ilang vector ng system ay isang linear na kumbinasyon ng iba.

Kung ang isang sistema ng mga vector ay naglalaman ng isang linearly dependent subsystem, ang buong sistema ay linearly dependent. Dokumentasyon: (α 1 ..α n depende. System: α 1 ..α n ;α n +1 ..α m , a 1 α 1 +..+a n α n +0α n +1 +.. +0α m =θ, a 1 ..a n ,0..0≠0.) Kung ang system ay naglalaman ng null vector, ito ay linearly dependent. Linear space theorem: (Hayaan ang 2 sistema ng mga vector α 1 ..α m , β 1 ..β n ay ibigay. Ang sistema ng mga vectors α ay ipinahayag sa mga tuntunin ng β kung ang bawat vector α ay isang linear na kumbinasyon β α i = Σ k =1 n a ik β k , (α ) ( (β), (β) ( (γ)→ (α) ( (γ)) Teorama: Dahil sa 2 sistema ng mga vector, ang α ay independyente at, (α) ( (β)→m≤n Patunayan natin na α 1 ..α m +1 β 1 ..β m (α) ( (β)→(α ) depende (Patunayan natin sa pamamagitan ng induction. m=1: α 1 =a 11 β 1 , α 2 =a 21 β 1. a 11 =0→ α 1 =θ. a 11 α 2 – a 21 α 1 = a 11 a 21 β 1 - a 21 a 11 β 1 =θ. α 1 = a 11 β 1 +.. a 1 n -1 β n -1 .. α n = a n 1 β 1 + .. a nn -1 β n - 1 Kung ang lahat ng coefficients =0 a 11 =a 12 =..=a 1 n -1 =0→ α 1 =θ→ ang buong sistema ay linearly dependent a 1 n -1 ≠0 α 2 ′= α 2 – с 2 α 1 =b 21 β 1 +..+b 2 n -2 β n -2 , c 2 =a 2 n -1 / a 1 n -1 , α 3 ′= α 3 –с 3 α 1 . . α n ′= α n –с n α 1. Sa pamamagitan ng pre-induction, mayroong isang non-zero set ng mga numero d 2 ..d n: d 2 α 2 ′+d 3 α 3 ′+.. d n α n ′=θ , d 2 ( α 2 –с 2 α 1)+d 3 (α 3 –с 3 α 1)+.. d n (α n –с n α 1)=θ , (α) ( (β) , m>n →(α )depende kung (α) independent →m≤n)

MLNP-max.line.independent.subsystem. Hayaang magbigay ng isang sistema ng mga vectors α 1 ..α n ng ilang subsystem. Ang α i 1 ..α in ay tinatawag na MLIS kung 1. α 1 ..α n ay malaya2. α i 1 ..α ir , α ij depende. Ang bawat vector ng system ay isang linear na kumbinasyon ng mga MLLM vectors. ( α i 1 ..α ir , α ij dependent a i 1 α i 1 +.. a ir α ir +a ij α ij =θ

a i 1 ..a ir , a ij ≠0 kung a ij =0 → a i 1 α i 1 +.. a ir α ir =θ a i 1 ..a ir =0 kontradiksyon a ij ≠0 α ij = a ij - 1 (-a i 1 α i 1 -.. a ir α ir) (α 1 ..α n) ( (α i 1 ..α ir)

Bunga: Anumang 2 MLIS mula sa isang sistema ng mga vector ay naglalaman ng parehong bilang ng mga vector (α i 1 ..α ir) ( (α j 1 ..α jk), (α j 1 ..α jk) ( (α i 1 . .α ir ) k≤r, r≤k →r=k Ang bilang ng mga MLLM vector ay tinatawag ranggo orihinal na sistema. Sa kaso ng isang linear na espasyo (isang sistema ng mga vector ay binubuo ng lahat ng mga vector sa espasyo), ang MLLM mb ay maaaring may hangganan o walang katapusan. Isinasaalang-alang namin ang huling kaso. Ang bilang ng mga vectors (ranggo) ay ang dimensyon ng linear space. base ng MLNP. Ang espasyo ng mga nakadirekta na mga segment. Dalawang non-collinear vector ang bumubuo base sa espasyo ng mga vector sa eroplano. α 3 = α 1 ′+ α 2 ′=a 1 α 1 + a 2 α 2 . 3 vectors linearly dependent α 3 =a 1 α 1 + a 2 α 2 . Complanarity - 3 vectors ay parallel sa parehong eroplano α 4 = α 4 ′+ α 5′ , α 4 ′=a 1 α 1 + a 2 α 2 , α 5 ′= a 3 α 3 , α 4 = a 1 α 1 + a 2 α 2 + a 3 α 3 . Space ng mga string ng haba n. α= Alok: Ang espasyo ng mga string ng haba n ay may sukat n. ( ξ 1 =<1…0>ξ2 =<0,1…0>.. n =<0…1>,a 1 ξ 1 + a 2 ξ 2 +.. a n ξ n =θ=<0,..0> → a 1 =a 2 =..a n =0 (linear independence) β= β= b 1 ξ 1 + b 2 ξ 2 +.. b n ξ n →ang espasyo ng mga string ng haba n ay may sukat at n.

Ranggo ng matrix.

Dalawang sistema ng vectors α at β ay tinatawag na katumbas kung ang bawat vector

α( β(ipinahayag) at β( α.

Alok. Ang mga ranggo ng mga katumbas na sistema ay nag-tutugma.

α i 1 , α i 2 ,…, α ir – MLLM α , β i 1 , β i 2 ,…, β ik – MLLM β , α i 1 , α i 2 ,…, α ir< β < β i 1 , β i 2 ,…, β ik → r<=k

Pagpapalit ng α at β na lugar → r>=k >>> Kaya, r=k.

Kahulugan. Hayaan ang matrix A=

α i =

Ranggo ng matrix Ang A ay tinatawag na ranggo ng sistema ng mga vectors α1, α2,…, αm, na binubuo ng matrix na ito >>rank(A)-rank

Mula sa kahulugan, malinaw na kapag ang mga hanay ay muling inayos, ang ranggo ay hindi nagbabago. Ipakita natin na kapag inayos muli ang mga column, hindi rin nagbabago ang ranggo.

A'=

α'i=

Nakadepende sa linear:

b 1 α 1 + b 2 α 2 +…+ b m α m =θ, b 1 a 11 +b 2 a 21 +…+b m a m 1=0, b 1 α' 1 + b 2 α' 2 +…+ b m α' m , b 1 a 11 +b 2 a 21 +…+b m a m 1=0

Ito ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng ilang row o column at ang kanilang mga algebraic complements, i.e. , kung saan ang i 0 ay naayos.
Ang expression (*) ay tinatawag na decomposition ng determinant D sa mga tuntunin ng mga elemento ng row na may bilang na i 0 .

Pagtatalaga ng serbisyo. Ang serbisyong ito ay idinisenyo upang mahanap ang determinant ng matrix online na may disenyo ng buong kurso ng solusyon sa Word format. Bilang karagdagan, ang isang template ng solusyon ay nilikha sa Excel.

Pagtuturo. Piliin ang dimensyon ng matrix, i-click ang Susunod.

Dimensyon ng matrix 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Mayroong dalawang mga paraan upang makalkula ang determinant: a-prioryo at agnas ayon sa hilera o hanay. Kung gusto mong hanapin ang determinant sa pamamagitan ng paggawa ng mga zero sa isa sa mga row o column, maaari mong gamitin ang calculator na ito.

Algorithm para sa paghahanap ng determinant

1. Para sa mga matrice ng order n=2, ang determinant ay kinakalkula ng formula: Δ=a 11 *a 22 -a 12 *a 21
2. Para sa mga matrice ng order n=3, ang determinant ay kinakalkula sa pamamagitan ng algebraic na mga karagdagan o Paraan ng Sarrus.
3. Ang isang matrix na may sukat na higit sa tatlo ay nabubulok sa algebraic na mga karagdagan, kung saan ang kanilang mga determinant (mga menor de edad) ay kinakalkula. Halimbawa, 4th order matrix determinant ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagpapalawak sa mga row o column (tingnan ang halimbawa).

Upang kalkulahin ang determinant na naglalaman ng mga function sa matrix, ginagamit ang mga karaniwang pamamaraan. Halimbawa, kalkulahin ang determinant ng isang 3rd order matrix:

Gamitin natin ang pagpapalawak ng unang linya.
Δ = sin(x)× + 1× = 2sin(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x)

Mga pamamaraan para sa pagkalkula ng mga determinant

Paghahanap ng determinant sa pamamagitan ng algebraic na mga karagdagan ay isang karaniwang pamamaraan. Ang pinasimpleng bersyon nito ay ang pagkalkula ng determinant sa pamamagitan ng panuntunan ng Sarrus. Gayunpaman, na may malaking sukat ng matrix, ang mga sumusunod na pamamaraan ay ginagamit:

1. pagkalkula ng determinant sa pamamagitan ng pagbabawas ng order
2. pagkalkula ng determinant sa pamamagitan ng Gaussian method (sa pamamagitan ng pagbabawas ng matrix sa isang triangular form).

Sa Excel, para kalkulahin ang determinant, ginagamit ang function = MOPRED (saklaw ng mga cell).

Inilapat na paggamit ng mga determinant

Ang mga determinant ay kinakalkula, bilang panuntunan, para sa isang tiyak na sistema, na ibinigay sa anyo ng isang parisukat na matrix. Isaalang-alang ang ilang uri ng mga gawain sa paghahanap ng matrix determinant. Minsan kinakailangan na maghanap ng hindi kilalang parameter a kung saan ang determinant ay magiging katumbas ng zero. Upang gawin ito, kinakailangan na gumuhit ng isang equation para sa determinant (halimbawa, ayon sa tuntuning tatsulok) at, itinutumbas ito sa 0 , kalkulahin ang parameter a .
agnas ayon sa mga hanay (sa pamamagitan ng unang hanay):
Minor para sa (1,1): Tanggalin ang unang row at ang unang column mula sa matrix.
Hanapin natin ang determinant para sa menor de edad na ito. ∆ 1,1 \u003d (2 (-2) -2 1) \u003d -6.

Tukuyin natin ang menor para sa (2,1): para gawin ito, tatanggalin natin ang pangalawang hilera at ang unang hanay mula sa matrix.

Hanapin natin ang determinant para sa menor de edad na ito. ∆ 2,1 = (0 (-2)-2 (-2)) = 4 . Minor para sa (3,1): Tanggalin ang 3rd row at 1st column mula sa matrix.
Hanapin natin ang determinant para sa menor de edad na ito. ∆ 3,1 = (0 1-2 (-2)) = 4
Ang pangunahing determinant ay: ∆ = (1 (-6)-3 4+1 4) = -14

Hanapin natin ang determinant gamit ang pagpapalawak ayon sa mga hilera (sa unang hilera):
Minor para sa (1,1): Tanggalin ang unang row at ang unang column mula sa matrix.

Hanapin natin ang determinant para sa menor de edad na ito. ∆ 1,1 \u003d (2 (-2) -2 1) \u003d -6. Minor para sa (1,2): Tanggalin ang 1st row at 2nd column mula sa matrix. Kalkulahin natin ang determinant para sa menor de edad na ito. ∆ 1,2 \u003d (3 (-2) -1 1) \u003d -7. At upang mahanap ang menor de edad para sa (1,3) tinanggal namin ang unang hilera at ang ikatlong hanay mula sa matrix. Hanapin natin ang determinant para sa menor de edad na ito. ∆ 1.3 = (3 2-1 2) = 4
Nahanap namin ang pangunahing determinant: ∆ \u003d (1 (-6) -0 (-7) + (-2 4)) \u003d -14

Sistema ng m linear equation na may n hindi alam tinatawag na sistema ng anyo

saan aij at b i (i=1,…,m; b=1,…,n) ay ilang kilalang numero, at x 1 ,…,x n- hindi kilala. Sa notasyon ng mga coefficient aij unang index i nagsasaad ng bilang ng equation, at ang pangalawa j ay ang bilang ng hindi alam kung saan nakatayo ang coefficient na ito.

Ang mga coefficient para sa mga hindi alam ay isusulat sa anyo ng isang matrix , na tatawagin natin system matrix.

Ang mga numero sa kanang bahagi ng mga equation b 1 ,…,b m tinawag libreng miyembro.

Pinagsama-sama n numero c 1 ,…,c n tinawag desisyon ng sistemang ito, kung ang bawat equation ng system ay naging isang pagkakapantay-pantay pagkatapos palitan ang mga numero dito c 1 ,…,c n sa halip na ang kaukulang mga hindi alam x 1 ,…,x n.

Ang aming gawain ay maghanap ng mga solusyon sa system. Sa kasong ito, maaaring lumitaw ang tatlong sitwasyon:

Ang isang sistema ng mga linear na equation na mayroong kahit isang solusyon ay tinatawag magkadugtong. Kung hindi, i.e. kung ang sistema ay walang mga solusyon, kung gayon ito ay tinatawag hindi magkatugma.

Isaalang-alang ang mga paraan upang makahanap ng mga solusyon sa system.

PARAAN NG MATRIX PARA SA PAGSOLBA NG MGA SISTEMA NG LINEAR EQUATIONS

Ginagawang posible ng mga matrice na maikli ang pagsulat ng isang sistema ng mga linear na equation. Hayaang magbigay ng isang sistema ng 3 equation na may tatlong hindi alam:

Isaalang-alang ang matrix ng system at matrix na mga column ng hindi kilalang at libreng mga miyembro

Hanapin natin ang produkto

mga. bilang resulta ng produkto, nakukuha natin ang kaliwang bahagi ng mga equation ng sistemang ito. Pagkatapos, gamit ang kahulugan ng matrix equality, ang sistemang ito ay maaaring isulat bilang

o mas maikli A∙X=B.

Dito matrices A at B ay kilala, at ang matris X hindi kilala. Kailangan niyang mahanap, dahil. ang mga elemento nito ang solusyon ng sistemang ito. Ang equation na ito ay tinatawag equation ng matrix.

Hayaang ang matrix determinant ay naiiba sa zero | A| ≠ 0. Pagkatapos ang matrix equation ay malulutas bilang mga sumusunod. I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa kaliwa ng matrix A-1, ang kabaligtaran ng matris A: . Sa abot ng A -1 A = E at E∙X=X, pagkatapos ay makuha natin ang solusyon ng matrix equation sa anyo X = A -1 B .

Tandaan na dahil ang inverse matrix ay matatagpuan lamang para sa mga square matrice, ang matrix method ay maaari lamang malutas ang mga system kung saan ang bilang ng mga equation ay kapareho ng bilang ng mga hindi alam. Gayunpaman, ang matrix notation ng system ay posible rin sa kaso kapag ang bilang ng mga equation ay hindi katumbas ng bilang ng mga hindi alam, pagkatapos ay ang matrix. A ay hindi parisukat at samakatuwid ay imposibleng makahanap ng solusyon sa sistema sa anyo X = A -1 B.

Mga halimbawa. Lutasin ang mga sistema ng mga equation.

PANUNTUNAN NI CRAMER

Isaalang-alang ang isang sistema ng 3 linear equation na may tatlong hindi alam:

Third-order determinant na naaayon sa matrix ng system, i.e. binubuo ng mga coefficient sa hindi alam,

tinawag determinant ng sistema.

Bumubuo kami ng tatlo pang determinant gaya ng sumusunod: sunud-sunod naming pinapalitan ang 1, 2 at 3 column sa determinant D ng column ng mga libreng termino

Pagkatapos ay maaari nating patunayan ang sumusunod na resulta.

Theorem (panuntunan ni Cramer). Kung ang determinant ng system ay Δ ≠ 0, kung gayon ang system na isinasaalang-alang ay may isa at isang solusyon lamang, at

Patunay. Kaya, isaalang-alang ang isang sistema ng 3 equation na may tatlong hindi alam. I-multiply ang 1st equation ng system sa algebraic complement A 11 elemento isang 11, 2nd equation - on A21 at ika-3 - sa A 31:

Idagdag natin ang mga equation na ito:

Isaalang-alang ang bawat isa sa mga bracket at ang kanang bahagi ng equation na ito. Sa pamamagitan ng theorem sa pagpapalawak ng determinant sa mga tuntunin ng mga elemento ng 1st column

Katulad nito, maaari itong ipakita na at .

Sa wakas, madaling makita iyon

Kaya, nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay: .

Kaya naman, .

Ang mga pagkakapantay-pantay at hinango nang magkatulad, kung saan ang assertion ng theorem ay sumusunod.

Kaya, tandaan namin na kung ang determinant ng system ay Δ ≠ 0, kung gayon ang system ay may natatanging solusyon at kabaliktaran. Kung ang determinant ng system ay katumbas ng zero, kung gayon ang system ay maaaring mayroong isang walang katapusang hanay ng mga solusyon o walang mga solusyon, i.e. hindi magkatugma.

Mga halimbawa. Lutasin ang isang sistema ng mga equation

PARAAN NG GAUSS

Ang naunang isinasaalang-alang na mga pamamaraan ay maaaring gamitin upang malutas lamang ang mga sistema kung saan ang bilang ng mga equation ay tumutugma sa bilang ng mga hindi alam, at ang determinant ng system ay dapat na iba sa zero. Ang pamamaraang Gaussian ay mas unibersal at angkop para sa mga sistema na may anumang bilang ng mga equation. Binubuo ito sa sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam mula sa mga equation ng system.

Isaalang-alang muli ang isang sistema ng tatlong equation na may tatlong hindi alam:

.

Iniiwan namin ang unang equation na hindi nagbabago, at mula sa ika-2 at ika-3 ibinubukod namin ang mga terminong naglalaman ng x 1. Upang gawin ito, hinati namin ang pangalawang equation sa pamamagitan ng a 21 at i-multiply sa - a 11 at pagkatapos ay idagdag sa 1st equation. Katulad nito, hinahati namin ang ikatlong equation sa a 31 at i-multiply sa - a 11 at pagkatapos ay idagdag ito sa una. Bilang resulta, ang orihinal na sistema ay kukuha ng anyo:

Ngayon, mula sa huling equation, inalis namin ang terminong naglalaman x2. Upang gawin ito, hatiin ang ikatlong equation sa pamamagitan ng , i-multiply sa at idagdag ito sa pangalawa. Pagkatapos ay magkakaroon tayo ng isang sistema ng mga equation:

Kaya mula sa huling equation ay madaling mahanap x 3, pagkatapos ay mula sa 2nd equation x2 at sa wakas mula sa 1st - x 1.

Kapag ginagamit ang pamamaraang Gaussian, ang mga equation ay maaaring palitan kung kinakailangan.

Kadalasan, sa halip na magsulat ng bagong sistema ng mga equation, nililimitahan nila ang kanilang sarili sa pagsusulat ng pinahabang matrix ng system:

at pagkatapos ay dalhin ito sa isang triangular o dayagonal na anyo gamit ang mga elementarya na pagbabago.

Upang mga pagbabagong elementarya Kasama sa mga matrice ang mga sumusunod na pagbabagong-anyo:

1. permutasyon ng mga hilera o haligi;
2. pagpaparami ng string sa isang non-zero na numero;
3. pagdaragdag sa isang linya ng iba pang mga linya.

Mga halimbawa: Lutasin ang mga sistema ng equation gamit ang Gauss method.

Kaya, ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

2. Kung │A│=0, ang matrix A ay degenerate at ang inverse matrix A -1 ay wala.

Kung ang determinant ng matrix A ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang inverse matrix ay umiiral.

3. Hanapin ang A T na inilipat sa A.

4. Hanapin ang algebraic complements ng mga elemento ng transposed matrix at buuin ang magkadugtong na matrix mula sa kanila. 5. Kinakalkula namin ang inverse matrix ayon sa formula: 6. Suriin ang kawastuhan ng pagkalkula ng inverse matrix, batay sa kahulugan nito A -1 ∙A = A ∙A -1 = E.

· №28

· Sa isang m x n matrix, sa pamamagitan ng pagtanggal ng anumang mga row at column, maaaring pumili ng mga square submatrice ng kth order, kung saan ang k≤min(m; n). Ang mga determinant ng naturang mga submatrice ay tinatawag na k-th order minors ng matrix A.

· Ang ranggo ng isang matrix A ay ang pinakamataas na pagkakasunud-sunod ng mga di-zero na menor de edad ng matrix na ito.

· Ang ranggo ng isang matrix A ay tinutukoy ng rang A o r(A).

· Mula sa kahulugan ay sumusunod:

· 1) ang ranggo ng isang matrix ng laki m x n ay hindi lalampas sa pinakamaliit sa mga sukat nito, i.e. r(A) ≤ min (m; n).

· 2) r(A)=0 kung at kung ang lahat ng elemento ng matrix ay katumbas ng zero, i.e. A=0.

· 3) Para sa isang parisukat na matrix ng nth order, r(A) = n kung at tanging kung ang matrix A ay nonsingular.

· Sa pangkalahatang kaso, ang pagtukoy sa ranggo ng isang matrix sa pamamagitan ng enumeration ng lahat ng mga menor de edad ay medyo matrabaho. Upang mapadali ang gawaing ito, ginagamit ang mga pagbabagong elementarya na nagpapanatili ng ranggo ng matrix:

· 1) Pagtanggi sa zero row (column).

· 2) Pagpaparami ng lahat ng elemento ng isang row (column) ng isang matrix sa isang hindi-zero na numero.

· 3) Pagbabago ng pagkakasunud-sunod ng mga row (column) ng matrix.

· 4) Pagdaragdag sa bawat elemento ng isang row (column) ng mga kaukulang elemento ng isa pang row (column), na pinarami ng anumang numero.

· 5) Matrix transposition.

· Teorama. Ang ranggo ng isang matrix ay hindi magbabago sa ilalim ng elementarya na pagbabago ng matrix.

№31

— Hayaang ang bilang ng mga equation sa system (1) ay katumbas ng bilang ng mga variable, i.e. m=n. Kung gayon ang matrix ng system ay parisukat, at ang determinant nito Δ=│A│ ay tinatawag na determinant ng system.

— Ipagpalagay na ang │А│ ay hindi katumbas ng zero, pagkatapos ay mayroong isang inverse matrix A -1 .

— Ang pagpaparami ng parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay ng matrix sa kaliwa ng inverse matrix A -1 ay nakukuha natin:

— A -1 (AX) \u003d A -1 B.

Ang solusyon ng sistema ng mga equation sa pamamagitan ng inverse matrix method ay ang column matrix:

X \u003d A -1 B.

(A -1 A)X \u003d EX \u003d X

— Teorama ni Cramer. Hayaang ang Δ ang determinant ng matrix ng system A, at ang Δ j ang determinant ng matrix na nakuha mula sa matrix sa pamamagitan ng pagpapalit sa jth column ng column ng mga free terms. Kung ang Δ ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang sistema ay may natatanging solusyon na tinukoy ng mga formula ng Cramer:

kung saan ang j=1..n.

№33

—
Ang pamamaraan ng Gauss - ang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga variable - ay binubuo sa katotohanan na, sa tulong ng mga elementarya na pagbabago, ang sistema ng mga equation ay nabawasan sa isang katumbas na sistema ng isang stepped o triangular na uri.

— Isaalang-alang ang matrix:

— Ang matrix na ito ay tinatawag na pinalawig na matrix ng system (1), dahil bilang karagdagan sa matrix ng system A, kasama rin dito ang isang hanay ng mga libreng termino.

№26

— Ang isang N-dimensional na vector ay isang nakaayos na hanay ng mga n tunay na numero na nakasulat bilang X=(x 1,x 2,...x n) , kung saan ang x i ay ang i-th na bahagi ng vector X.

— Ang dalawang n-dimensional na vector ay pantay-pantay kung at kung ang kani-kanilang mga bahagi ay pantay, i.e. X=Y kung x i =y i , i=1…n.

Ang hanay ng mga vector na may mga tunay na bahagi, kung saan ang mga operasyon ng pagdaragdag ng mga vector at pagpaparami ng isang vector sa isang numero na nakakatugon sa mga katangian sa itaas, ay tinukoy, ay tinatawag na isang vector space.

— Ang isang vector space R ay tinatawag na n-dimensional kung mayroong n linearly independent vectors dito, at anumang n + 1 vectors ay nakadepende na. Ang numerong n ay tinatawag na dimensyon ng vector space R at ipinapahiwatig na dim(R).

№29

Mga linear na operator

— Kahulugan. Kung ang isang batas (panuntunan) ay ibinigay, ayon sa kung saan ang bawat vector x ng espasyo ay nauugnay sa isang solong vector y ng espasyo

pagkatapos ay sinasabi nila: na ang operator (pagbabagong-anyo, pagmamapa) A(x) ay ibinigay, kumikilos mula sa at

isulat ang y=A(x).

— Ang isang operator ay tinatawag na linear kung para sa anumang vector x at y ng espasyo

at anumang numero λ, ang mga sumusunod na relasyon ay nagtataglay:

№37

— Hayaan ang А ay isang set na binubuo ng isang may hangganan na bilang ng mga elemento a 1 , a 2 , a 3 …a n . Maaaring mabuo ang mga grupo mula sa iba't ibang elemento ng set A. Kung ang bawat pangkat ay nagsasama ng parehong bilang ng mga elemento m (m sa n), kung gayon ang mga ito ay sinasabing bumubuo ng mga compound ng n elemento na may m bawat isa. May tatlong uri ng mga koneksyon: mga pagkakalagay, kumbinasyon at mga permutasyon.

— mga koneksyon, ang bawat isa ay kinabibilangan ng lahat ng n elemento ng set A at kung saan, samakatuwid, ay naiiba sa isa't isa lamang sa pagkakasunud-sunod ng mga elemento ay tinatawag na permutations ng n elemento. Ang bilang ng naturang mga permutasyon ay tinutukoy ng simbolo Р n .

№35

Ang klasikal na kahulugan ng posibilidad ay batay sa konsepto ng equiprobability ng mga kaganapan.

Ang pagkakapantay-pantay ng mga kaganapan ay nangangahulugan na walang dahilan upang mas gusto ang alinman sa mga ito kaysa sa iba.

Isaalang-alang natin ang isang pagsubok, bilang isang resulta kung saan maaaring mangyari ang kaganapan A. Ang bawat kinalabasan, kung saan nangyari ang kaganapan A, ay tinatawag na isang kanais-nais na kaganapan A.

Ang posibilidad ng isang kaganapan A (na tinukoy ng P(A)) ay ang ratio ng bilang ng mga kinalabasan na paborable sa kaganapang A (na tinutukoy ng k) sa bilang ng lahat ng resulta ng pagsubok - N i.e. P(A)=k/N.

— Ang mga sumusunod na katangian ay sumusunod mula sa klasikal na kahulugan ng posibilidad:

— Ang posibilidad ng anumang kaganapan ay nasa pagitan ng zero at isa.

— Ang posibilidad ng isang tiyak na kaganapan ay katumbas ng isa.

— Ang posibilidad ng isang imposibleng kaganapan ay zero

№39, 40

— Pagdaragdag ng teorama. Kung hindi pare-pareho ang A at B, P(A + B) = P(A) + P(B)