Ang mga pormula ng karagdagan ay nagbibigay-daan sa iyo na ipahayag ang sin(2*a), cos(2*a), at tg(a) sa mga tuntunin ng trigonometric function ng anggulo a.

1. cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).

2. sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b).

3. tg(a+b) = (tg(a) + tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).

Itakda natin ang a = b sa mga formula na ito. Bilang resulta, nakuha namin ang mga sumusunod na pagkakakilanlan:

1. sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a).

2. cos(2*a) = (cos(a)) 2 - (sin(a)) 2 .

3. tg(2*a) = (2*tg(a))/(1-(tg(a)) 2).

Ang mga pagkakakilanlan na ito ay tinatawag na double angle formula. Isaalang-alang ang ilang mga halimbawa ng aplikasyon ng mga formula ng dobleng anggulo.

Halimbawa 1 Hanapin ang halaga ng sin(2*a) sa pag-alam na ang cos(a) = -0.8 at a ay ang 3rd quarter angle. Desisyon:

Una nating kalkulahin ang kasalanan(a). Dahil ang anggulo a ay ang ikatlong quarter, ang sine sa ikatlong quarter ay magiging negatibo:

sin(a) = -v(1-(cos(a)) 2) = -v(1-0.64) = -v0.36 = -0.6.

Ayon sa formula para sa sine ng isang dobleng anggulo, mayroon kaming:

sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*(-0.6)*(-0.8) = 0.96 .

Sagot: sin(2*a) = 0.96.

Halimbawa 2 Pasimplehin ang expression na sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a). Desisyon:

Alisin natin ang sin(a)*cos(a) sa mga bracket. Nakukuha namin:

sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) = sin(a)*cos(a)*(cos(a)) 2 - (sin(a)) 2).

Ngayon ginagamit namin ang mga formula ng double angle:

= (1/2)*(2*sin(a)*cos(a))*cos(2*a) = (1/2)*sin(2*a)*sin(2*a) = (1 /4)*kasalanan(4*a).

Sagot: sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) = (1/4)*sin(4*a).

Gamit ang mga formula ng double angle, maaari mong makuha ang mga sumusunod na expression

1 - cos(2*a) = 2*(sin(a)) 2 ,

1 + cos(2*a) = 2*(cos(a)) 2 .

Minsan kapag nag-solve ng mga halimbawa, napaka-maginhawang gamitin ang mga formula na ito. Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa:

Halimbawa 3 Pasimplehin ang expression (1-cos(a))/(1+cos(a)). Desisyon:

Ilapat natin ang mga formula na nakasulat sa itaas para sa mga expression (1-cos(a)) at (1+cos(a)). Upang gawin ito, kinakatawan muna namin ang anggulo a sa anyo ng sumusunod na produkto 2*(a/2).

Bilang resulta ng mga pagbabago, nakukuha namin ang:

(1-cos(a))/(1+cos(a)) = (2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2),

Gamit ang kahulugan ng tangent, mayroon tayong:

(2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2)= (tg(a/2)) 2 .

Sagot: (1-cos(a))/(1+cos(a))= (tg(a/2)) 2 .

Karamihan sa mga madalas itanong

Posible bang gumawa ng selyo sa isang dokumento ayon sa ibinigay na sample? Sagot Oo, posible. Magpadala ng na-scan na kopya o isang magandang kalidad na larawan sa aming email address, at gagawin namin ang kinakailangang duplicate.

Anong mga uri ng pagbabayad ang tinatanggap mo? Sagot Maaari kang magbayad para sa dokumento sa oras ng pagtanggap ng courier, pagkatapos mong suriin ang kawastuhan ng pagpuno at ang kalidad ng diploma. Maaari rin itong gawin sa opisina ng mga kumpanyang pangkoreo na nag-aalok ng cash on delivery services.
Ang lahat ng mga tuntunin ng paghahatid at pagbabayad ng mga dokumento ay inilarawan sa seksyong "Pagbabayad at Paghahatid". Handa rin kaming makinig sa iyong mga mungkahi sa mga tuntunin ng paghahatid at pagbabayad para sa dokumento.

Maaari ba akong makasigurado na pagkatapos mong mag-order ay hindi ka mawawala kasama ng aking pera? Sagot Mayroon kaming medyo mahabang karanasan sa larangan ng paggawa ng diploma. Mayroon kaming ilang mga site na patuloy na ina-update. Ang aming mga espesyalista ay nagtatrabaho sa iba't ibang bahagi ng bansa, na gumagawa ng higit sa 10 mga dokumento sa isang araw. Sa paglipas ng mga taon, ang aming mga dokumento ay nakatulong sa maraming tao na malutas ang mga problema sa trabaho o lumipat sa mas mataas na suweldong trabaho. Nagkamit kami ng tiwala at pagkilala sa aming mga customer, kaya talagang walang dahilan para gawin namin ito. Bukod dito, imposibleng gawin ito nang pisikal: babayaran mo ang iyong order sa oras na matanggap mo ito sa iyong mga kamay, walang prepayment.

Maaari ba akong mag-order ng diploma mula sa anumang unibersidad? Sagot Sa pangkalahatan, oo. Halos 12 taon na kaming nagtatrabaho sa lugar na ito. Sa panahong ito, nabuo ang halos kumpletong database ng mga dokumentong inisyu ng halos lahat ng unibersidad sa bansa at para sa iba't ibang taon ng isyu. Ang kailangan mo lang ay pumili ng unibersidad, espesyalidad, dokumento, at punan ang isang order form.

Ano ang dapat kong gawin kung makakita ako ng mga typo at error sa isang dokumento? Sagot Kapag tumatanggap ng dokumento mula sa aming courier o kumpanya ng koreo, inirerekomenda namin na maingat mong suriin ang lahat ng mga detalye. Kung may nakitang typo, error o kamalian, may karapatan kang hindi kunin ang diploma, at dapat mong ipahiwatig ang mga pagkukulang na natagpuan nang personal sa courier o sa pamamagitan ng pagsulat sa pamamagitan ng pagpapadala ng e-mail.
Sa lalong madaling panahon, itatama namin ang dokumento at muling ipapadala ito sa tinukoy na address. Siyempre, ang pagpapadala ay babayaran ng aming kumpanya.
Upang maiwasan ang mga hindi pagkakaunawaan, bago punan ang orihinal na form, nagpapadala kami ng layout ng hinaharap na dokumento sa mail ng customer para sa pag-verify at pag-apruba ng huling bersyon. Bago ipadala ang dokumento sa pamamagitan ng courier o mail, kumukuha din kami ng karagdagang larawan at video (kabilang ang ultraviolet light) upang magkaroon ka ng visual na ideya kung ano ang makukuha mo sa huli.

Ano ang kailangan mong gawin para mag-order ng diploma mula sa iyong kumpanya? Sagot Upang mag-order ng isang dokumento (sertipiko, diploma, akademikong sertipiko, atbp.), kailangan mong punan ang isang online na form ng order sa aming website o ibigay ang iyong e-mail upang magpadala kami sa iyo ng form ng palatanungan, na kailangan mong punan at ipadala pabalik sa amin.
Kung hindi mo alam kung ano ang ipahiwatig sa anumang field ng order form/kwestyoner, iwanang blangko ang mga ito. Samakatuwid, lilinawin namin ang lahat ng nawawalang impormasyon sa telepono.

Pinakahuling Pagsusuri

Torywild:

Nagpasya akong bumili ng diploma mula sa iyong kumpanya nang lumipat ako sa ibang lungsod, ngunit hindi ko mahanap ang aking diploma sa aking mga gamit. Kung wala siya, hindi ako matanggap sa trabahong may magandang suweldo. Tiniyak sa akin ng iyong consultant na ang impormasyong ito ay hindi isiwalat, at walang sinuman ang mag-iiba ng dokumento mula sa orihinal. Ang mga pagdududa ay hindi umalis, ngunit kailangan kong kumuha ng pagkakataon. Nagustuhan ko na walang kinakailangang paunang bayad. Sa pangkalahatan, natanggap ko ang aking diploma sa oras at hindi ako nalinlang. Salamat!

Oksana Ivanovna:

Nang ninakaw ang aking diploma, labis akong nabalisa. Pagkatapos ng lahat, ako ay tinanggal sa oras na iyon, at ngayon ay halos imposible na makahanap ng magandang trabaho nang walang diploma ng mas mataas na edukasyon. Sa kabutihang palad, iminungkahi ng isang kapitbahay na makipag-ugnayan sa iyong organisasyon. Nag-aalinlangan ako noong una, ngunit nagpasya akong kumuha ng pagkakataon. Tinawagan ko ang manager ng kumpanya at ipinaliwanag ang aking sitwasyon. At maswerte ako! Ginawa nila kaagad ang lahat, at higit sa lahat, nangako silang hindi ibubunyag ang sikreto ko. Nag-aalala ako na baka mamaya ay hindi na lumabas ang katotohanan ng aking pagbili ng diploma.

Masha Kutenkova:

Salamat sa iyong trabaho! Nag-order ng diploma noong 1991. Nang magsimula silang magtaas ng mga dokumento, lumabas na kakaunti ang karanasan, at kailangan din ng papel na nagpapatunay sa edukasyon. Wala ako nito, at alam ito ng amo, at siya mismo ang nagrekomenda ng iyong kumpanya (kita mo, empleyado ako, walang ganoon). Sa dokumento, itinuro niya sa akin ang mga detalye - sabi nila, sa anong taon ginamit ang tinta o tinta, ang kapal ng pirma, atbp. Salamat sa pagiging maselan at kalidad!

LenOK:

Matapos basahin ang mga kuwento tungkol sa kahiya-hiyang pagtanggal ng mga empleyado na ang mga diploma ay naka-print sa isang color printer, nagpunta ako upang mag-aplay sa unibersidad. Naku, walang budget, walang pera pang-aral at pambayad sa sessions, kailangan kong makipagsapalaran. Bagama't labis akong natutuwa na nakilala ko ang iyong kumpanya. Bagama't hindi ako kinuha sa iyong diploma, dahil sa kabiguan ng praktikal na bloke, hindi mo ito kasalanan. Sa sandaling makahanap ako ng isang bagong lugar - kaagad sa iyo, nang walang pagkaantala!

Jerry Terry:

Sa sobrang kahihiyan na pinapanood ko ang aking kasamahan ay lumipad sa trabaho para sa isang pekeng diploma, nakakatakot na sundin ang kanyang halimbawa. Kung hindi dahil sa ninong na nag-utos sa iyo, hindi ko ito itinaya. Tiniyak niya sa akin na ang lahat ay maayos dito, at ang pangalan ko ay nasa lahat ng dako kung saan kailangan. Mayroon akong 4 na araw para sa lahat. Salamat sa bilis - ginawa namin ito sa 3, at pinamamahalaang din na maingat na pag-aralan ang mga paraan ng pagmemeke ng mga dokumento, ngunit ang iyong form ay hindi magkasya sa isang pekeng, na nangangahulugang papasa ito para sa orihinal.

Andrei:

Hindi ko akalain na kailangan kong bumili ng diploma. Pagkatapos ng paaralan, ang kanyang anak na babae ay umalis patungong Poland upang magtrabaho, nang bumalik siya pagkatapos ng 5 taon, nais niyang makakuha ng trabaho bilang isang fashion designer sa isang lokal na fashion house. Kung walang diploma, walang gustong kumuha sa kanya sa trabaho. Naiintindihan niya na kapag hindi niya nakuha ang trabahong ito, aalis siya muli. Nag-surf ako sa gabi sa Internet, at sa umaga ay nasa opisina na ako kasama ang mga dokumento ng aking anak na babae. Pagkalipas ng isang linggo, dinala niya ang kanyang diploma, at sa wakas ay nanatili siya upang magtrabaho sa kanyang lungsod sa nais na posisyon. Hindi mo alam kung gaano ako nagpapasalamat!

Maaari kang mag-order ng isang detalyadong solusyon sa iyong problema !!!

Ginagawang posible ng mga formula ng dobleng anggulo na ipahayag ang mga trigonometric na function (sine, cosine, tangent, cotangent) ng anggulo `2\alpha` sa mga tuntunin ng mismong mga function na ito ng angle `\alpha`.

Ang listahan sa ibaba ay ang mga pangunahing formula ng double angle na pinakakaraniwang ginagamit sa trigonometry. Mayroong tatlo sa kanila para sa cosine, lahat sila ay katumbas at pantay na mahalaga.

`sin \ 2\alpha=` `2 \ sin \ \ alpha \ cos \ \ alpha`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, `cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha`, `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ ctg \ \alpha)`

Ang mga sumusunod na pagkakakilanlan ay nagpapahayag ng lahat ng trigonometric function ng anggulo ` 2\alpha` sa mga tuntunin ng tangent at cotangent na function ng angle `\alpha`.

`sin \ 2\alpha=` `\frac (2 \ tg \ \ alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \ alpha)(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos \ 2\alpha=` `\frac(1-tg^2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1) =` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha)(ctg \ \ alpha+tg \ \ alpha)`
`tg \ 2\alpha=` `\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2( \ ctg \ \alpha-tg \ \ alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac ( \ ctg \ \ alpha-tg \ \ alpha)2`

Ang mga formula para sa cosine at sine ng isang dobleng anggulo ay wasto para sa anumang anggulo `\alpha`. Ang mga formula para sa tangent ng isang dobleng anggulo ay may bisa para sa mga `\alpha` kung saan tinukoy ang `tg \ 2\alpha`, iyon ay, para sa ` \alpha\ne\frac\pi4+\frac\pi2 n, \ n \sa Z`. Katulad nito, para sa cotangent, mayroon silang `\alpha` kung saan tinukoy ang `ctg \ 2\alpha`, iyon ay, para sa ` \alpha\ne\frac\pi2 n, \ n \in Z`.

Patunay ng mga formula ng double angle

Ang lahat ng mga formula ng double angle ay hinango mula sa mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga anggulo ng trigonometriko function.

Kumuha tayo ng dalawang formula para sa kabuuan ng mga anggulo ng sine at cosine:

`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta` at `cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \ alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`. Kunin ang `\beta=\alpha`, pagkatapos ay `sin(\alpha+\alpha)=` `sin \ \alpha\ cos \ \alpha+cos \ \alpha\ sin \ \alpha=2 \ sin \ \ alpha \ cos \ \alpha`, katulad ng `cos(\alpha+\alpha)=` `cos \ \alpha\ cos \ \alpha-sin \ \alpha\ sin \ \alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, na at nagpapatunay ng dobleng anggulo na mga formula para sa sine at cosine.

Ang iba pang dalawang pagkakapantay-pantay para sa cosine ` cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha` at `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1` ay bumaba sa kung ano ang napatunayan na kung pinapalitan natin ang 1 sa kanila ng `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`. Kaya `1-2 \ sin^2 \alpha=` `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha-2 \ sin^2 \alpha=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha` at ` 2 \ cos^2 \alpha-1=` `2 \ cos^2 \alpha-(sin^2 \alpha+cos^2 \alpha)=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`.

Upang patunayan ang mga formula para sa tangent ng isang double angle at ang cotangent, ginagamit namin ang kahulugan ng mga function na ito. Isulat ang `tg \ 2\alpha` at `ctg \ 2\alpha` bilang `tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)` at `ctg \ 2\alpha= \ frac (cos\2\alpha)(sin\2\alpha)`. Ang paglalapat ng napatunayang double angle formula para sa sine at cosine, nakukuha natin ang `tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)=\frac (2 \ sin \ \ alpha \ cos \ \alpha )(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)` at `ctg \ 2\alpha=\frac (cos \ 2\alpha)(sin \ 2\alpha)=` `\frac (cos^2 \alpha -sin^2 \alpha)(2\sin\\alpha\cos\\alpha)`.

Sa kaso ng tangent, hinahati namin ang numerator at denominator ng huling fraction sa `cos^2 \alpha`, para sa cotangent, naman, sa `sin^2 \alpha`.

`tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)=\frac (2 \ sin \ \ alpha \ cos \ \ alpha)(cos^2 \alpha-sin^2 \ alpha)=` `\frac (\frac(2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)(cos^2 \alpha))(\frac(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(cos^ 2 \alpha))=` `\frac (2 \cdot \frac( sin \alpha )(cos \alpha))(1-\frac(sin^2 \alpha)(cos^2 \alpha))=\frac (2\tg\\alpha)(1-tg^2\alpha)`.

`ctg \ 2\alpha=\frac (cos \ 2\alpha)(sin \ 2\alpha)=` `\frac (cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(2 \ sin \ \ alpha \ cos \ \alpha)=` `\frac (\frac(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(sin^2 \alpha))(\frac(2 \ sin \ \ alpha \ cos \ \ alpha)( sin^2 \alpha))=` `\frac (\frac(cos^2 \alpha)(sin^2 \alpha)-1)(2 \cdot \frac(cos \alpha)( sin \alpha ))= \frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ctg\ \alpha)`.

Iminumungkahi din namin na panoorin ang video upang mas mahusay na pagsamahin ang teoretikal na materyal:

Mga halimbawa ng paggamit ng mga formula sa paglutas ng mga problema

Ang mga formula ng double angle ay kadalasang ginagamit upang i-convert ang mga trigonometrikong expression. Isaalang-alang natin ang ilan sa mga kaso, kung paano mo mailalapat ang mga ito sa pagsasanay kapag nilulutas ang mga partikular na problema.

Halimbawa 1. Suriin ang bisa ng mga pagkakakilanlan ng double angle para sa `\alpha=30^\circ`.

Desisyon. Gumagamit ang aming mga formula ng dalawang anggulo `\alpha` at `2\alpha`. Ang halaga ng unang anggulo ay ibinibigay sa kundisyon, ang pangalawa ay magiging `2\alpha=60^\circ` ayon sa pagkakabanggit. Alam din namin ang mga numerical na halaga para sa lahat ng trigonometric function ng mga anggulong ito. Isulat natin ang mga ito:

`sin 30^\circ=\frac 1 2`, `cos 30^\circ=\frac (\sqrt 3)2`, `tg 30^\circ=\frac (\sqrt 3)3`, `ctg 30 ^\circ=\sqrt 3` at

`sin 60^\circ=\frac (\sqrt 3)2`, `cos 60^\circ=\frac 1 2`, `tg 60^\circ=\sqrt 3`, `ctg 60^\circ=\ frac (\sqrt 3)3`.

Pagkatapos ay magkakaroon tayo

`sin 60^\circ=2 sin 30^\circ cos 30^\circ=` `2 \cdot \frac 1 2 \cdot \frac (\sqrt 3)2=\frac (\sqrt 3)2`,

`cos 60^\circ=cos^2 30^\circ-sin^2 30^\circ=` `(\frac (\sqrt 3)2)^2 \cdot (\frac 1 2)^2=\frac 1 2`,

`tg 60^\circ=\frac(2 tg 30^\circ)(1-tg^2 30^\circ)=` `\frac(2 \cdot \frac (\sqrt 3)3)(1-( \frac (\sqrt 3)3)^2)=\sqrt 3`,

`ctg 60^\circ=\frac(ctg^2 30^\circ-1)(2 \ ctg 30^\circ)=` `\frac((\sqrt 3)^2-1)(2 \cdot \ sqrt 3)=\frac (\sqrt 3)3`.

Na nagpapatunay sa bisa ng mga pagkakapantay-pantay para sa anggulo na ibinigay sa kundisyon.

Halimbawa 2. Ipahayag ang `sin \frac (2\alpha)3` sa mga tuntunin ng trigonometric function ng anggulo `\frac (\alpha)6`.

Desisyon. Sinusulat namin ang anggulo ng sine bilang mga sumusunod ` \frac (2\alpha)3=4 \cdot \frac (\alpha)6`. Pagkatapos, sa pamamagitan ng paglalapat ng double angle formula ng dalawang beses, malulutas natin ang ating problema.

Una, ginagamit namin ang double angle sine equation: ` sin\frac (2\alpha)3=2 \cdot sin\frac (\alpha)3 \cdot cos\frac (\alpha)3 `, ngayon ay inilalapat namin ang aming mga formula para sa sine at cosine muli ayon sa pagkakabanggit. Bilang resulta, nakukuha namin ang:

` sin\frac (2\alpha)3=2 \cdot sin\frac (\alpha)3 \cdot cos\frac (\alpha)3=` `2 \cdot (2 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos\frac (\alpha)6) \cdot (cos^2\frac (\alpha)6-sin^2\frac (\alpha)6)=` `4 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos^3 \frac (\alpha)6-4 \cdot sin^3\frac (\alpha)6 \cdot cos \frac (\alpha)6`.

Sagot. ` sin\frac (2\alpha)3=` `4 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos^3 \frac (\alpha)6-4 \cdot sin^3\frac (\alpha)6 \cdot cos \frac (\alpha)6`.

Mga Formula ng Triple Anggulo

Ang mga formula na ito, katulad ng mga nauna, ay ginagawang posible na ipahayag ang mga function ng anggulo `3\alpha` sa mga tuntunin ng mismong mga function na ito ng anggulo `\alpha`.

`kasalanan \ 3\alpha=3 \ kasalanan \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`

Maaari mong patunayan ang mga ito gamit ang mga pagkakapantay-pantay ng kabuuan at pagkakaiba ng mga anggulo, pati na rin ang mga kilalang double angle formula.

`sin \ 3\alpha= sin (2\alpha+ \alpha)=` `sin 2\alpha cos \alpha+cos 2\alpha sin \alpha=` `2 sin \alpha cos \alpha cos \alpha+(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) sin \alpha=` `3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha`.

Sa resultang formula, palitan ang `sin \ 3\alpha=3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha` `cos^2\alpha` ng `1-sin^2\alpha` at kunin ang `sin \ 3 \alpha=3\sin\ \alpha-4sin^3 \alpha`.

Gayundin para sa cosine ng triple angle:

`cos \ 3\alpha= cos (2\alpha+ \alpha)=` `cos 2\alpha cos \alpha-sin 2\alpha sin \alpha=` `(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) cos \alpha-2 sin \alpha cos \alpha sin \alpha+=` `cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha`.

Ang pagpapalit ng `cos \ 3\alpha=cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha` `sin^2\alpha` ng `1-cos^2\alpha` sa huling equation, makuha natin ang `cos \ 3 \alpha=4cos^3 \alpha-3 \cos\\alpha`.

Gamit ang mga napatunayang pagkakakilanlan para sa sine at cosine, mapapatunayan ng isa para sa tangent at cotangent:

`tg \ 3\alpha=\frac (sin \ 3\alpha)(cos \ 3\alpha)=` `\frac (3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(cos^3 \ alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)=` `\frac (\frac(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(cos^3 \alpha))(\frac(cos ^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(cos^3 \alpha))=` `\frac (3 \cdot \frac( sin \alpha )(cos \alpha)-\frac( sin^ 3 \alpha )(cos^3 \alpha))(1-3\frac(sin^2 \alpha)(cos^2 \alpha))=` `\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \ alpha)(1-3tg^2 \alpha)`;

`ctg \ 3\alpha=\frac (cos \ 3\alpha)(sin \ 3\alpha)=` `\frac (cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(3 sin \ alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)=` `\frac (\frac(cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(sin^3 \alpha))(\frac(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(sin^3 \alpha))=` `\frac (\frac( cos^3 \alpha )(sin^3 \alpha)-3 \cdot \ frac(cos \alpha)( sin \alpha ))(3\frac(cos^2 \alpha)(sin^2 \alpha)-1)=` `ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha -3\ctg\\alpha)(3\ctg^2\alpha-1)`.

Upang patunayan ang mga formula para sa anggulo ` 4\alpha`, maaari mo itong katawanin bilang ` 2 \cdot 2\alpha` at subukan ang mga formula ng double angle nang dalawang beses.

Upang makakuha ng magkatulad na pagkakapantay-pantay para sa anggulo ` 5\alpha`, maaari mo itong isulat bilang ` 3\alpha + 2\alpha` at ilapat ang mga pagkakakilanlan ng kabuuan at pagkakaiba ng mga anggulo at ang doble at triple na anggulo.

Katulad nito, ang lahat ng mga formula para sa iba pang maramihang anggulo ay hinango, kaya bihirang kailanganin ang mga ito sa pagsasanay.

Sa trigonometrya, maraming mga pormula ang mas madaling mahihinuha kaysa sa isaulo. Ang cosine ng double angle ay isang magandang formula! Pinapayagan ka nitong makuha ang mga formula ng pagbabawas at mga formula ng kalahating anggulo.

Kaya, kailangan namin ang cosine ng dobleng anggulo at ang trigonometric unit:

Ang mga ito ay magkatulad pa: sa formula ng cosine ng isang dobleng anggulo - ang pagkakaiba sa pagitan ng mga parisukat ng cosine at sine, at sa trigonometric unit - ang kanilang kabuuan. Kung ipahayag natin ang cosine mula sa trigonometric unit:

at palitan ito sa cosine ng double angle, nakukuha natin:

Ito ay isa pang formula para sa cosine ng isang dobleng anggulo:

Ang pormula na ito ang susi sa pagkuha ng pormula ng pagbabawas:

Kaya, ang formula para sa pagpapababa ng antas ng sine ay:

Kung sa loob nito ang anggulo ng alpha ay pinalitan ng isang kalahating anggulo ng alpha sa kalahati, at ang dobleng anggulo ng dalawang alpha ay pinalitan ng anggulo ng alpha, pagkatapos ay makuha namin ang formula para sa kalahating anggulo para sa sine:

Ngayon, mula sa trigonometric unit, ipinapahayag namin ang sine:

Ipalit ang expression na ito sa formula para sa cosine ng double angle:

Nakakuha kami ng isa pang formula para sa cosine ng isang double angle:

Ang formula na ito ang susi sa paghahanap ng cosine reduction at half angle formula para sa cosine.

Kaya, ang formula para sa pagpapababa ng antas ng cosine ay:

Kung papalitan natin ang α ng α/2 dito, at ang 2α ng α, pagkatapos ay makukuha natin ang formula para sa kalahating argumento para sa cosine:

Dahil ang tangent ay ang ratio ng sine sa cosine, ang formula para sa tangent ay:

Cotangent ay ang ratio ng cosine sa sine. Kaya ang formula para sa cotangent ay:

Siyempre, sa proseso ng pagpapasimple ng mga trigonometriko na expression, walang punto sa pagkuha ng mga formula ng kalahating anggulo o pagbaba ng antas sa bawat oras. Mas madaling maglagay ng isang sheet ng mga formula sa harap mo. At ang pagpapasimple ay uunlad nang mas mabilis, at ang visual na memorya ay i-on para sa pagsasaulo.

Ngunit sulit pa ring kunin ang mga formula na ito nang maraming beses. Pagkatapos ay lubos kang makatitiyak na sa panahon ng pagsusulit, kapag walang paraan na gumamit ng cheat sheet, madali mong makukuha ang mga ito kung kinakailangan.

Ang mga formula ng dobleng anggulo ay ginagamit upang ipahayag ang mga sinus, cosine, tangent, cotangent ng isang anggulo na may halagang 2 α gamit ang mga trigonometric na function ng anggulo α . Ipakikilala ng artikulong ito ang lahat ng mga formula ng double angle na may mga patunay. Isasaalang-alang ang mga halimbawa ng aplikasyon ng mga formula. Sa huling bahagi, ipapakita ang mga formula para sa triple, quadruple na anggulo.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Listahan ng mga formula ng dobleng anggulo

Upang i-convert ang mga formula ng dobleng anggulo, tandaan na ang mga anggulo sa trigonometrya ay may anyo na n α notation, kung saan ang n ay isang natural na numero, ang halaga ng expression ay nakasulat nang walang mga bracket. Kaya, ang sin n α ay itinuturing na may parehong kahulugan ng sin (n α) . Sa notasyong sin n α mayroon tayong katulad na notasyon (sin α) n . Ang paggamit ng notasyon ay naaangkop para sa lahat ng trigonometric function na may kapangyarihan ng n.

Ang mga sumusunod ay ang mga formula ng dobleng anggulo:

sin 2 α = 2 sin α cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 t g α 1 - t g 2 α c t g 2 α - c t g 2 α - 1 2 c t g α

Tandaan na ang mga sin at cos formula na ito ay naaangkop sa anumang halaga ng anggulong α. Ang formula para sa tangent ng isang double angle ay wasto para sa anumang halaga ng α, kung saan ang t g 2 α ay may katuturan, iyon ay, α ≠ π 4 + π 2 · z, z ay anumang integer. Ang cotangent ng isang dobleng anggulo ay umiiral para sa anumang α , kung saan ang c t g 2 α ay tinukoy sa α ≠ π 2 · z .

Ang cosine ng double angle ay may triple notation ng double angle. Lahat ng mga ito ay naaangkop.

Patunay ng mga formula ng double angle

Ang patunay ng mga formula ay nagmula sa mga pormula ng karagdagan. Inilapat namin ang mga formula para sa sine ng kabuuan:

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β at ang cosine ng sum cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β. Ipagpalagay na β = α , pagkatapos ay makuha natin iyon

kasalanan (α + α) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α at cos (α + α) = cos α cos α - sin α sin α = cos 2 α - sin2α

Kaya, ang mga formula para sa sine at cosine ng double angle sin 2 α \u003d 2 sin α cos α at cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α ay napatunayan.

Ang natitirang mga formula cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α at cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 ay humahantong sa anyo cos 2 α \u003d cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α, kapag pinapalitan 1 na may kabuuan ng mga parisukat ayon sa pangunahing pagkakakilanlan sin 2 α + cos 2 α = 1 . Nakukuha natin ang kasalanan 2 α + cos 2 α = 1. Kaya 1 - 2 sin 2 α \u003d sin 2 α + cos 2 α - 2 sin 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α at 2 cos 2 α - 1 \u003d 2 cos 2 α - (sin 2 α + cos 2 α) \u003d cos 2 α - kasalanan 2 α.

Upang patunayan ang mga formula para sa dobleng anggulo ng tangent at cotangent, inilalapat namin ang mga pagkakapantay-pantay t g 2 α \u003d sin 2 α cos 2 α at c t g 2 α \u003d cos 2 α sin 2 α. Pagkatapos ng pagbabago, nakukuha natin na t g 2 α \u003d sin 2 α cos 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α - sin 2 α at c t g 2 α \u003d cos 2 α sin 2 α \u003d cos 2 α - kasalanan 2 α 2 · kasalanan α · cos α . Hatiin ang expression sa cos 2 α kung saan ang cos 2 α ≠ 0 na may anumang halaga ng α kapag t g α ay tinukoy. Hatiin ang isa pang expression sa sin 2 α , kung saan ang sin 2 α ≠ 0 na may anumang halaga ng α , kapag ang c t g 2 α ay may katuturan. Upang patunayan ang formula ng dobleng anggulo para sa tangent at cotangent, pinapalitan namin at nakuha ang: