Isaalang-alang ang isang pagkakasunud-sunod ng $n$ independiyenteng mga pagsubok, sa bawat isa kung saan ang $A$ ay maaaring mangyari na may posibilidad na $p$, o hindi mangyayari — na may posibilidad na $q=1-p$. Tukuyin ng P n (k) ang posibilidad na ang kaganapang $A$ ay eksaktong $k$ beses sa $n$ na posible.

Sa kasong iyon, ang halaga P n(k ) ay matatagpuan gamit ang teorama ni Bernoulli (tingnan ang aralin na "Bernoulli's scheme. Mga halimbawa ng paglutas ng problema"):

Ang theorem na ito ay mahusay na gumagana, ngunit ito ay may isang depekto. Kung sapat ang laki ng $n$, hanapin ang halaga P n (k) ay nagiging hindi makatotohanan dahil sa malaking halaga ng pagtutuos. Sa kasong ito ito ay gumagana Lokal na de Moivre-Laplace theorem, na nagpapahintulot sa iyo na mahanap ang tinatayang halaga ng posibilidad:

Lokal na de Moivre-Laplace theorem. Kung sa Bernoulli scheme ang numerong $n$ ay malaki at ang bilang na $p$ ay iba sa 0 at 1, kung gayon:

Function φ ( x) ay tinatawag na Gaussian function. Ang mga halaga nito ay matagal nang kinakalkula at naipasok sa isang talahanayan na maaaring magamit kahit sa mga pagsusulit at pagsusulit.

Ang Gaussian function ay may dalawang katangian na dapat tandaan kapag nagtatrabaho sa isang talahanayan ng mga halaga:

1. φ (− x) = φ ( x) - Gaussian function - kahit na;
2. Para sa malalaking halaga x mayroon kaming: φ ( x) ≈ 0.

Ang lokal na de Moivre-Laplace theorem ay nagbibigay ng isang mahusay na pagtatantya ng Bernoulli formula kung ang bilang ng mga pagsubok n sapat na malaki. Siyempre, ang mga salitang "ang bilang ng mga pagsubok ay sapat na malaki" ay napaka-arbitrary, at ang iba't ibang mga mapagkukunan ay nagbibigay ng iba't ibang mga numero. Halimbawa:

1. Ang karaniwang kinakailangan ay: n p q> 10. Marahil ito ang pinakamababang limitasyon;
2. Iminumungkahi ng iba na ang formula na ito ay gumagana lamang para sa $n > 100$ at n p q > 20.

Sa aking palagay, sapat na ang tingnan lamang ang kalagayan ng problema. Kung makikita mo na ang karaniwang Bernoulli theorem ay hindi gumagana dahil sa malaking halaga ng mga kalkulasyon (halimbawa, walang magbibilang ng numerong 58! o 45!), huwag mag-atubiling gamitin ang Local Moivre-Laplace Theorem.

Bilang karagdagan, mas malapit ang mga halaga ng mga probabilidad na $q$ at $p$ sa 0.5, mas tumpak ang formula. At, vice versa, para sa mga borderline value (kapag ang $p$ ay malapit sa 0 o 1), ang Local Moivre-Laplace theorem ay nagbibigay ng malaking error, na malaki ang pagkakaiba sa totoong Bernoulli theorem.

Gayunpaman, mag-ingat! Maraming mga tutor sa mas mataas na matematika ang mismong nagkakamali sa naturang mga kalkulasyon. Ang katotohanan ay ang isang medyo kumplikadong numero na naglalaman ng isang arithmetic square root at isang fraction ay pinapalitan sa Gaussian function. Ang numerong ito ay dapat matagpuan bago pa man ipalit sa function. Isaalang-alang natin ang lahat sa mga partikular na gawain:

Gawain. Ang posibilidad na magkaroon ng isang lalaki ay 0.512. Hanapin ang posibilidad na sa 100 bagong panganak ay magkakaroon ng eksaktong 51 na lalaki.

Kaya, ang kabuuang mga pagsubok ayon sa Bernoulli scheme n= 100. Bilang karagdagan, p = 0.512, q= 1 − p = 0.488.

Sa abot ng n= 100 ay isang sapat na malaking bilang, kami ay gagana ayon sa Local de Moivre-Laplace theorem. pansinin mo yan n p q= 100 0.512 0.488 ≈ 25 > 20. Mayroon kaming:

Dahil binilog namin ang halaga n p q sa isang integer, ang sagot ay maaari ding bilugan: 0.07972 ≈ 0.08. Walang saysay na isaalang-alang ang natitirang mga numero.

Gawain. Ang palitan ng telepono ay nagsisilbi sa 200 mga subscriber. Para sa bawat subscriber, ang posibilidad na tatawag siya sa istasyon sa loob ng isang oras ay 0.02. Hanapin ang posibilidad na eksaktong 5 subscriber ang tatawag sa loob ng isang oras.

Ayon sa Bernoulli scheme, n= 200, p = 0.02, q= 1 - p = 0.98. pansinin mo yan n Ang = 200 ay hindi isang mahinang numero, kaya ginagamit namin ang Local De Moivre-Laplace theorem. Una, hanapin natin n p q\u003d 200 0.02 0.98 ≈ 4. Siyempre, ang 4 ay masyadong maliit, kaya ang mga resulta ay hindi tumpak. Gayunpaman, mayroon kaming:

Bilugan natin ang sagot sa pangalawang decimal place: 0.17605 ≈ 0.18. Wala pa ring saysay na isaalang-alang ang higit pang mga character, dahil nag-round kami n p q= 3.92 ≈ 4 (hanggang sa eksaktong parisukat).

Gawain. Nakatanggap ang tindahan ng 1,000 bote ng vodka. Ang posibilidad na masira ang isang bote sa pagbibiyahe ay 0.003. Hanapin ang posibilidad na ang tindahan ay makatanggap ng eksaktong dalawang basag na bote.

Ayon sa Bernoulli scheme, mayroon kaming: n= 1000, p = 0.003, q= 0.997. Mula rito n p q= 2.991 ≈ 1.73 2 (piliin ang pinakamalapit na eksaktong parisukat). Dahil ang bilang n= 1000 ay sapat na malaki, pinapalitan namin ang lahat ng mga numero sa formula ng Local Moivre-Laplace theorem:

Kami ay sadyang nag-iiwan lamang ng isang decimal na lugar (sa katunayan, ito ay magiging 0.1949 ...), dahil sa una ay gumamit kami ng mga magaspang na pagtatantya. Sa partikular: 2.991 ≈ 1.73 2 . Ang triple sa numerator sa loob ng Gaussian function ay lumitaw mula sa expression n p = 1000 0.003 = 3.

Kung ang posibilidad ng isang kaganapan ay naganap sa bawat pagsubok ay pare-pareho at natutugunan ang dobleng hindi pagkakapantay-pantay
, at ang bilang ng mga independiyenteng pagsubok sapat na malaki, pagkatapos ay ang posibilidad
maaaring kalkulahin gamit ang sumusunod na tinatayang formula

(14) ,

kung saan ang mga limitasyon ng integral ay tinukoy ng mga pagkakapantay-pantay

Ang formula (14) ay mas tumpak, mas marami ang bilang ng mga pagsubok sa eksperimentong ito.

Batay sa pagkakapantay-pantay (13), ang formula (14) ay maaaring muling isulat bilang

(15)
.

(16)
(N.F.L)

Pansinin namin ang pinakasimpleng katangian ng function
:

Ang huling property ay nauugnay sa mga katangian ng Gaussian function
.

Function
kakaiba. Sa katunayan, pagkatapos ng pagbabago ng mga variable

=


;

Upang suriin ang pangalawang pag-aari, sapat na upang makagawa ng isang pagguhit. Analytically, ito ay nauugnay sa tinatawag na hindi wastong Poisson integral.

Ito ay sumusunod nang direkta mula dito na para sa lahat ng mga numero
maaaring ipagpalagay na
samakatuwid, ang lahat ng mga halaga ng function na ito ay matatagpuan sa segment [-0.5; 0.5], habang ang pinakamaliit ay
pagkatapos ang function ay dahan-dahang lumalaki at naglalaho, i.e.
at pagkatapos ay tumataas sa
Samakatuwid, sa buong totoong linya ay isang mahigpit na pagtaas ng function, i.e. kung
pagkatapos

Dapat tandaan na ang mga konklusyon ng ari-arian 2 para sa function
ay nabibigyang katwiran batay sa hindi wastong integral ng Poisson.

Magkomento. Kapag nilulutas ang mga problema na nangangailangan ng aplikasyon ng integral theorem ng Moivre-Laplace, ginagamit ang mga espesyal na talahanayan. Ang talahanayan ay nagbibigay ng mga halaga para sa mga positibong argumento at para sa
; para sa mga halaga
dapat mong gamitin ang parehong talahanayan, isinasaalang-alang ang pagkakapantay-pantay

Dagdag pa, para magamit ang function table
, binabago namin ang pagkakapantay-pantay (15), tulad ng sumusunod:

At batay sa property 2 (odd
), na isinasaalang-alang ang parity ng integrand, nakuha namin

=
.

Kaya, ang posibilidad na ang isang kaganapan lalabas sa mga independiyenteng pagsusulit man lang minsan at hindi na beses, ay kinakalkula ng formula:

(17)

;

Halimbawa 12. Ang posibilidad na matamaan ang target sa isang shot ay 0.75. Hanapin ang posibilidad na may 300 shot ang target ay matatamaan ng hindi bababa sa 150 at hindi hihigit sa 250 beses.

Desisyon: Dito
,
,
,
,
. Kalkulahin

,
,

,
.

Ang pagpapalit sa Laplace integral formula, nakuha namin

Sa pagsasagawa, kasama ang pagkakapantay-pantay (16), ang isa pang formula ay madalas na ginagamit na tinatawag na " integral ng probabilidad» o ang Laplace function (tingnan ang higit pang mga detalye sa Kabanata 2., Seksyon 9., T.9.).

(I.V. o F.L.)

Para sa function na ito, ang mga pagkakapantay-pantay ay totoo:

Samakatuwid, ito ay nauugnay sa tabulated function
at samakatuwid ay mayroon ding talahanayan ng mga tinatayang halaga (tingnan ang apendiks sa dulo ng aklat).

Halimbawa 13 Ang posibilidad na ang bahagi ay hindi nakapasa sa tseke ng Quality Control Department ay 0.2. Hanapin ang posibilidad na sa 400 random na napiling mga bahagi ng hindi na-verify na mga bahagi ay magkakaroon ng mula 70 hanggang 100 bahagi.

Desisyon. Ayon sa gawain
,
,
.
,
. Gamitin natin ang integral theorem ng Moivre-Laplace:

,

Kalkulahin natin ang mas mababa at itaas na mga limitasyon ng pagsasama:

Samakatuwid, isinasaalang-alang ang mga tabular na halaga ng pag-andar
;

nakukuha natin ang ninanais na posibilidad

.

Ngayon kami ay may pagkakataon, bilang isang aplikasyon ng mga itinuturing na limitasyon theorems, upang patunayan ang kilalang teorama « batas ng malalaking numero sa anyong Bernoulli »

Law of Large Numbers (LLN in Bernoulli form)

Ang unang pinakasimpleng batas sa kasaysayan ng malalaking numero ay ang theorem

I. Bernoulli. Ang teorama ni Bernoulli ay nagpapahayag ng pinakasimpleng anyo ng pagpapakita ng batas ng malalaking numero. Pinatutunayan nito ang teoretikal na posibilidad ng isang tinatayang pagkalkula ng posibilidad ng isang kaganapan gamit ang relatibong dalas nito, i.e. nagpapatunay sa katangian ng katatagan ng relatibong dalas.

Hayaan itong gaganapin mga independiyenteng pagsubok, kung saan ang bawat isa ay may posibilidad na mangyari ang isang kaganapan ay katumbas ng
at ang relatibong dalas sa bawat serye ng pagsubok ay

Isaalang-alang ang problema:sa ilalim ng mga kondisyon ng pagsubok ayon sa Bernoulli scheme at may sapat na malaking bilang ng mga independiyenteng pagsubokhanapin ang posibilidad ng paglihis ng relatibong dalas
mula sa patuloy na posibilidad paglitaw ng isang pangyayari sa ganap na halaga ay hindi lalampas sa isang naibigay na numero
Sa madaling salita, hanapin ang posibilidad:

na may sapat na malaking bilang ng mga independiyenteng pagsusulit.

Theorem (ZBCh J. Bernoulli 1713)Sa ilalim ng mga kundisyon sa itaas, para sa anuman gaano man kaliit
, mayroon tayong limitasyon sa pagkakapantay-pantay

(19)
.

Patunay. Patunayan natin ang mahalagang pahayag na ito batay sa integral theorem ng Moivre – Laplace. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang relatibong dalas ay

PERO
ang posibilidad ng isang kaganapan na naganap sa isang pagsubok. Itatag muna natin ang sumusunod na pagkakapantay-pantay para sa alinman
at sapat na malaki :

(20)

.

Sa katunayan, alinsunod sa kondisyon
Madaling makita na mayroong dobleng hindi pagkakapantay-pantay. Magpakilala

(21)
.

Pagkatapos, magkakaroon tayo ng mga hindi pagkakapantay-pantay

Samakatuwid, para sa nais na posibilidad . Ngayon, para sa mga kaso
ginagamit natin ang pagkakapantay-pantay

;

at isinasaalang-alang ang kakaiba
nakukuha natin

== 2
.

Nakuha ang pagkakapantay-pantay (20).

Direkta itong sumusunod sa formula (20) na sa
(sa pagsasaalang-alang
kung saan), nakuha namin ang pagkakapantay-pantay ng limitasyon (20).

Halimbawa 14
. Hanapin ang posibilidad na sa mga random na napiling 400 bahagi, ang relatibong dalas ng paglitaw ng mga hindi karaniwang bahagi ay lumihis mula sa
sa ganap na halaga na hindi hihigit sa 0.03.

Desisyon. Ayon sa mga kondisyon ng problema, ito ay kinakailangan upang mahanap

Sa pamamagitan ng formula (3) mayroon tayo

=2
.

Isinasaalang-alang ang tabular na halaga ng function
nakukuha natin

.

Ang kahulugan ng resulta na nakuha ay ang mga sumusunod: kung kukuha tayo ng sapat na malaking bilang ng mga sample

mga detalye, pagkatapos ay sa bawat sample ay may humigit-kumulang na paglihis ng kamag-anak na "dalas" ng

95.44% at halaga
ang mga sample na ito mula sa posibilidad
, modulo na hindi hihigit sa 0.03.

Isaalang-alang ang isa pang halimbawa kung saan mo gustong maghanap ng numero
.

Halimbawa 15 Ang posibilidad na ang isang bahagi ay hindi pamantayan ay
. Ilang bahagi ang dapat piliin upang may posibilidad na 0.9999 ay mapagtatalunan na ang relatibong dalas ng hindi karaniwang mga bahagi (kabilang sa mga napili) ay lumihis mula sa modulo na hindi hihigit sa 0.03. Hanapin ang dami na ito

Desisyon. Dito, ayon sa kondisyon
.

Kinakailangang tukuyin
. Sa pamamagitan ng formula (13) mayroon tayo

.

Sa abot ng,

Ayon sa talahanayan, nakita namin na ang halagang ito ay tumutugma sa argumento
. Mula rito,
. Ang kahulugan ng resultang ito ay ang relatibong dalas ay matatapos

sa pagitan ng mga numero. Kaya, ang bilang ng mga hindi karaniwang bahagi sa 99.99% ng mga sample ay nasa pagitan ng 101.72 (7% ng bilang na 1444) at 187.72 (13% ng bilang na 1444).

Kung kukuha lamang tayo ng isang sample ng 1444 na bahagi, kung gayon may malaking kumpiyansa na maaari nating asahan na ang bilang ng mga hindi karaniwang bahagi ay hindi bababa sa 101 at hindi hihigit sa 188, habang sa parehong oras ay malamang na hindi magkakaroon ng mas kaunti. higit sa 101 o higit sa 188.

Dapat pansinin na ang teorama ni Bernoulli ay nagsasaad din: na may walang limitasyong pagtaas sa bilang ng mga pagsubok, ang dalas ng isang random na kaganapan nagtatagpo sa posibilidad sa tunay na posibilidad ng parehong kaganapan, i.e. ang pagtatantya mula sa ibaba ay wasto

(22)
;
,

sa kondisyon na ang posibilidad ng isang kaganapan mula sa pagsubok hanggang sa pagsubok ay nananatiling hindi nagbabago at pantay
kung saan
.

Ang hindi pagkakapantay-pantay (22) ay isang direktang bunga ng kilalang hindi pagkakapantay-pantay ng Chebyshev (tingnan sa ibaba ang paksang "Limit theorems of probability theory" "Chebyshev's theorem"). Babalik tayo sa ZBC na ito mamaya. Ito ay maginhawa para sa pagkuha ng mga pagtatantya ng mga probabilidad mula sa ibaba at isang dalawang-panig na pagtatantya para sa kinakailangang bilang ng mga paglitaw ng isang kaganapan, upang ang posibilidad mula sa modulus ng pagkakaiba sa pagitan ng relatibong dalas at ang tunay na posibilidad ay nakakatugon sa ibinigay na pagpilit ng kaganapang isinasaalang-alang.

Halimbawa 16 Ang isang barya ay inihahagis ng 1000 beses. Tantyahin mula sa ibaba ang posibilidad ng paglihis ng dalas ng paglitaw ng "coat of arms" mula sa probabilidad ng paglitaw nito nang mas mababa sa 0.1.

Desisyon. Sa kondisyon dito

Batay sa hindi pagkakapantay-pantay (4), nakukuha natin

Samakatuwid, ang hindi pagkakapantay-pantay
ay katumbas ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay

Samakatuwid, maaari nating tapusin na ang posibilidad ng bilang ng mga hit ng "coat of arms" sa pagitan (400; 600) ay mas malaki kaysa sa

Halimbawa 17. Ang isang urn ay naglalaman ng 1000 puti at 2000 itim na bola. Na-extract (na may pagbabalik) 300 bola. Tantyahin mula sa ibaba ang posibilidad na ang bilang ng mga iginuhit na bola m(at dapat na puti ang mga ito) ay nakakatugon sa dobleng hindi pagkakapantay-pantay 80< m <120.

Desisyon. Dobleng hindi pagkakapantay-pantay para sa magnitude m isulat muli sa form:

Kaya, kinakailangan upang tantyahin ang posibilidad ng katuparan ng hindi pagkakapantay-pantay

Kaya naman,

.

Laplace integral theorem

Teorama. Kung ang probabilidad p ng paglitaw ng kaganapan A sa bawat pagsubok ay pare-pareho at naiiba sa zero at isa, kung gayon ang posibilidad na ang bilang m ng paglitaw ng kaganapan A sa n independiyenteng pagsubok ay nasa pagitan ng a at b (kasama), na may isang sapat na malaking bilang ng mga pagsubok n, ay tinatayang katumbas ng

Ang Laplace integral formula, pati na rin ang lokal na Moivre-Laplace formula, mas tumpak, mas marami n at mas malapit sa 0.5 ang halaga p at q. Ang pagkalkula sa pamamagitan ng formula na ito ay nagbibigay ng hindi gaanong error kapag natugunan ang kundisyon npq≥ 20, kahit na ang kondisyon npq > 10.

Function F( x) ay naka-tabulate (tingnan ang Appendix 2). Upang magamit ang talahanayang ito, kailangan mong malaman ang mga katangian ng function na Ф( x):

1. Function Ф( x) ay kakaiba, ibig sabihin. F(- x) = – F( x).

2. Function Ф( x) ay monotonically tumataas, at bilang x → +∞ Ф( x) → 0.5 (sa pagsasagawa, maaari nating ipagpalagay na nasa x≥ 5 F( x) ≈ 0,5).

Halimbawa 3.4. Gamit ang mga kondisyon ng Halimbawa 3.3, kalkulahin ang posibilidad na mula 300 hanggang 360 (kabilang) mga mag-aaral ay matagumpay na makapasa sa pagsusulit sa unang pagsubok.

Desisyon. Inilapat namin ang Laplace integral theorem ( npq≥ 20). Kinakalkula namin:

= –2,5; = 5,0;

P 400 (300 ≤ m≤ 360) = F(5.0) – F(–2.5).

Isinasaalang-alang ang mga katangian ng function na Ф( x) at gamit ang talahanayan ng mga halaga nito, makikita natin ang: Ф(5.0) = 0.5; F(–2.5) = – F(2.5) = – 0.4938.

Nakukuha namin P 400 (300 ≤ m ≤ 360) = 0,5 – (– 0,4938) = 0,9938. ◄

Isulat natin ang mga kahihinatnan ng integral theorem ng Laplace.

Bunga 1. Kung ang probabilidad p ng paglitaw ng kaganapan A sa bawat pagsubok ay pare-pareho at naiiba sa zero at isa, kung gayon para sa isang sapat na malaking bilang n ng mga independiyenteng pagsubok, ang posibilidad na ang bilang m ng paglitaw ng kaganapan A ay naiiba sa produkto np nang hindi hihigit sa ε > 0

.

(3.8)

Halimbawa 3.5. Gamit ang mga kondisyon ng Halimbawa 3.3, hanapin ang posibilidad na mula 280 hanggang 360 na mga mag-aaral ay matagumpay na makapasa sa pagsusulit sa teorya ng posibilidad sa unang pagsubok.

Desisyon. Kalkulahin ang Probability R 400 (280 ≤ m≤ 360) ay maaaring maging katulad ng nakaraang halimbawa gamit ang pangunahing Laplace integral formula. Ngunit mas madaling gawin ito kung mapapansin mo na ang mga hangganan ng pagitan 280 at 360 ay simetriko na may kinalaman sa halaga np=320. Pagkatapos, batay sa Corollary 1, nakuha namin

= = ≈

≈ = 2Ф(5.0) ≈ 2 0.5 ≈ 1,

mga. ito ay halos tiyak na sa pagitan ng 280 at 360 mga mag-aaral ay papasa sa pagsusulit sa unang pagsubok. ◄

Bunga 2. Kung ang probabilidad p ng paglitaw ng kaganapan A sa bawat pagsubok ay pare-pareho at naiiba sa zero at isa, kung gayon para sa isang sapat na malaking bilang n ng mga independiyenteng pagsubok, ang posibilidad na ang dalas ng m/n ng kaganapan A ay nasa saklaw mula sa α to β (inclusive) ay katumbas ng

,

(3.9)

saan

, .

(3.10)

Halimbawa 3.6. Ayon sa istatistika, sa karaniwan, 87% ng mga bagong silang ay nabubuhay hanggang 50 taong gulang. Hanapin ang posibilidad na sa 1000 bagong panganak ang proporsyon (dalas) ng mga nakaligtas hanggang 50 taon ay nasa hanay mula 0.9 hanggang 0.95.

Desisyon. Ang posibilidad na ang isang bagong panganak ay mabubuhay hanggang sa edad na 50 ay R= 0.87. Bilang n= 1000 ay malaki (i.e. ang kundisyon npq= 1000 0.87 0.13 = 113.1 ≥ 20 ay nasiyahan), pagkatapos ay gagamitin namin ang Corollary 2 ng Laplace integral theorem. Nakikita namin:

2,82, = 7,52.

= 0,5 – 0,4976 = 0,0024. ◄

Bunga 3. Kung ang probabilidad p ng paglitaw ng kaganapan A sa bawat pagsubok ay pare-pareho at naiiba mula sa zero at isa, kung gayon para sa isang sapat na malaking bilang n ng mga independiyenteng pagsubok, ang posibilidad na ang dalas m/n ng kaganapan A ay naiiba mula sa posibilidad nito p sa pamamagitan ng hindi hihigit saΔ > 0 (sa ganap na halaga) ay katumbas ng

.

(3.11)

Halimbawa 3.7. Sa ilalim ng mga kondisyon ng nakaraang problema, hanapin ang posibilidad na sa 1000 bagong panganak, ang proporsyon (dalas) ng mga nakaligtas hanggang 50 taon ay mag-iiba mula sa posibilidad ng kaganapang ito ng hindi hihigit sa 0.04 (sa ganap na halaga).

Desisyon. Gamit ang corollary 3 ng Laplace integral theorem, makikita natin ang:

= 2F(3.76) = 2 0.4999 = 0.9998.

Dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay , ang resulta ay nangangahulugan na halos tiyak na mula 83 hanggang 91% ng mga bagong silang sa 1000 ay mabubuhay hanggang 50 taon. ◄

Nauna naming itinatag na para sa mga independiyenteng pagsubok ang posibilidad ng isang numero m mga pangyayari PERO sa n Ang pagsubok ay matatagpuan ng Bernoulli formula. Kung n ay malaki, pagkatapos ay ginagamit ang asymptotic Laplace formula. Gayunpaman, hindi angkop ang formula na ito kung maliit ang posibilidad ng kaganapan ( R≤ 0.1). Sa kasong ito ( n malaki, R maliit) ilapat ang Poisson theorem

Poisson formula

Teorama. Kung ang probabilidad p ng paglitaw ng kaganapan A sa bawat pagsubok ay may posibilidad na zero (p → 0) na may walang limitasyong pagtaas sa bilang n ng mga pagsubok (n → ∞), at ang produkto np ay may posibilidad sa isang pare-parehong numero λ (np → λ), pagkatapos ay ang posibilidad na P n (m) na ang kaganapan A ay lilitaw m beses sa n independiyenteng mga pagsubok ay nakakatugon sa limitasyon ng pagkakapantay-pantay

Ang posibilidad na sa n independiyenteng pagsubok, sa bawat isa kung saan ang posibilidad ng paglitaw ng isang kaganapan ay katumbas ng p (0< p < 1), событие наступит ровно k раз, приближенно равна
Talaan ng mga halaga ng function φ(x); para sa mga negatibong halaga ng x, ang parehong talahanayan ay ginagamit (ang function na φ (x) ay kahit na: φ (-x) = φ (x)).

Maaaring dumating ang kaganapan minsan. Ang posibilidad na mangyari ang kaganapang ito ay . Hanapin ang posibilidad na ang kaganapan ay:
darating minsan;
mas kaunti minsan;
kahit na minsan;
higit pa minsan;
wala na minsan;
kahit na at wala na minsan;
dumating kahit isang beses.
Output na iuulat:
Malamang na numero;
Ang posibilidad na ang relatibong dalas ng paglitaw ng isang kaganapan ay lumihis mula sa posibilidad nito sa ganap na halaga nang hindi hihigit sa .

Halimbawa #1. Sa bawat isa sa 700 independiyenteng pagsubok, ang kaganapan A ay nangyayari na may pare-parehong posibilidad na 0.35. Hanapin ang posibilidad na mangyari ang kaganapan A: a) eksaktong 270 beses; b) mas mababa sa 270 at higit sa 230 beses; c) higit sa 270 beses.
Desisyon. Dahil ang bilang ng mga eksperimento n = 700 ay medyo malaki, ginagamit namin ang mga formula ng Laplace.
a) Ibinigay: n = 700, p = 0.35, k = 270.
Maghanap ng P 700 (270). Ginagamit namin ang lokal na Laplace theorem.
Nakikita namin:

Nahanap namin ang halaga ng function na φ(x) mula sa talahanayan:

b) Ibinigay: n = 700, p = 0.35, a = 230, b = 270.
Maghanap ng P 700 (230< k < 270).
Ginagamit namin ang Laplace integral theorem (23), (24). Nakikita namin:

Nahanap namin ang halaga ng function na Ф (x) mula sa talahanayan:

c) Ibinigay: n = 700, p = 0.35, a = 270, b = 700.
Hanapin ang P 700 (k > 270).
Meron kami:

Halimbawa #2. Sa isang steady-state na proseso sa isang weaving mill, mayroong 10 thread break bawat 100 spindle bawat oras. Tukuyin: a) ang posibilidad na ang 7 thread break ay magaganap sa 80 spindles sa loob ng isang oras; b) ang pinaka-malamang na bilang ng mga thread break sa 80 spindles bawat oras.
Desisyon. Ang istatistikal na posibilidad na masira ang thread sa loob ng isang oras ay p = 10/100 = 0.1 at, samakatuwid, q = 1 - 0.1 = 0.9; n = 80; k = 7.
Dahil ang n ay malaki, ang lokal na Laplace theorem (23) ay ginagamit. Kinakalkula namin:

Gamitin natin ang property na φ(-x) = φ(x), hanapin ang φ(0.37) ≈ 0.3726, at pagkatapos ay kalkulahin ang kinakailangang probabilidad:

Kaya, ang posibilidad na ang 7 thread break ay magaganap sa 80 spindles sa loob ng isang oras ay humigit-kumulang 0.139.
Ang pinaka-malamang na bilang k 0 ng paglitaw ng isang kaganapan sa panahon ng paulit-ulit na pagsusulit ay tinutukoy ng formula (14). Paghahanap: 7.1< k 0 < 8,1. Поскольку k 0 может быть только целым числом, то k 0 = 8.

Halimbawa #3. Ang posibilidad na ang isang bahagi ng unang baitang ay 0.4. Gumawa ng 150 bahagi. Hanapin ang posibilidad na sa kanila ay mayroong 68 bahagi ng unang baitang.

Halimbawa #4. Ang posibilidad ng isang kaganapan na nagaganap sa bawat isa sa mga independiyenteng pagsubok ay p.
Hanapin ang posibilidad na ang isang kaganapan ay magaganap ng n beses kung m pagsubok ay isinasagawa.
Ibigay ang iyong sagot sa pinakamalapit na tatlong makabuluhang numero.
p=0.75, n=87, m=120

Moivre-Laplace integral theorem . Kung ang probabilidad p ng paglitaw ng kaganapan A sa bawat pagsubok ay pare-pareho at naiiba sa 0 at 1, kung gayon ang posibilidad na ang bilang m ng paglitaw ng kaganapan A sa n independiyenteng pagsubok ay nasa loob ng mga limitasyon mula a hanggang b (kasama) , na may sapat na malaking bilang n, ay tinatayang katumbas ng

saan
- function (o integral ng probabilities) ng Laplace;

,
.

Ang formula ay tinatawag na integral formula ng Moivre-Laplace. Ang mas malaki n, mas tumpak ang formula na ito. Sa ilalim ng kondisyon npq ≥ 20, ang integral formula
, pati na rin ang lokal, ay nagbibigay, bilang panuntunan, ng isang error sa pagkalkula ng mga probabilidad na kasiya-siya para sa pagsasanay.

Ang function na Ф(х) ay naka-tabulate (tingnan ang talahanayan). Upang magamit ang talahanayang ito, kailangan mong malaman mga katangian ng pag-andar :

Ang function na Ф(х) ay kakaiba, i.e. F(-x) = -F(x).

Ang function na Ф(х) ay monotonically pagtaas, bukod pa rito, bilang x → +∞ Ф(х) → 1 (sa pagsasagawa, maaari nating ipagpalagay na para sa x > 4 Ф(х) ≈ 1).

Halimbawa . Sa ilang lugar, sa bawat 100 pamilya, 80 ang may refrigerator. Kalkulahin ang posibilidad na mula 300 hanggang 360 (kasama) pamilya sa 400 ay may mga refrigerator.

Desisyon. Inilapat namin ang integral theorem ng Moivre-Laplace (npq = 64 ≥ 20). Tukuyin muna natin:

,

.

Ngayon ayon sa formula
, na isinasaalang-alang ang mga katangian ng Ф(х), nakukuha namin

(ayon sa talahanayan F(2.50) = 0.9876, F(5.0) ≈ 1)

1. Mga kahihinatnan mula sa Moivre-Laplace integral theorem (na may derivation). Mga halimbawa.

Isaalang-alang ang isang kinahinatnan ng integral theorem ng Moivre-Laplace.

Bunga. Kung ang probabilidad p ng paglitaw ng kaganapan A sa bawat pagsubok ay pare-pareho at naiiba sa 0 at 1, pagkatapos ay may sapat na malaking bilang n ng mga independiyenteng pagsubok, ang posibilidad na:

a) ang bilang ng m ng mga paglitaw ng kaganapan A ay naiiba sa produkto np nang hindi hihigit sa ε >
;

b) dalas Ang kaganapan A ay nasa saklaw mula α hanggang β (kasama), i.e.
, Saan
,
.

c) dalas Ang kaganapan A ay naiiba mula sa posibilidad na p nito ng hindi hihigit sa Δ > 0 (sa ganap na halaga), i.e.
.

□ 1) Hindi pagkakapantay-pantay
ay katumbas ng double inequality pr - E ~ m ~ pr + E. Samakatuwid, sa pamamagitan ng integral formula
:

.

2) Hindi pagkakapantay-pantay
ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay a ≤ m ≤ b para sa a = nα at b = nβ. Pagpapalit sa mga formula
at
,
mga halaga ng a at b sa pamamagitan ng nakuha na mga expression, nakukuha namin ang mga formula na patunayan
at
,
.

3) Hindi pagkakapantay-pantay
ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay
. Pagpapalit sa formula

, nakukuha namin ang formula na patunayan
.

Halimbawa . Ayon sa istatistika, sa karaniwan, 87% ng mga bagong silang ay nabubuhay hanggang 50 taong gulang. Hanapin ang posibilidad na sa 1000 bagong panganak, ang proporsyon (dalas) ng mga nakaligtas hanggang 50 taong gulang ay: a) nasa hanay mula 0.9 hanggang 0.95; b) ay mag-iiba mula sa posibilidad ng kaganapang ito ng hindi hihigit sa 0.04 (sa ganap na halaga)?

Desisyon. a) Ang posibilidad p na ang isang bagong panganak ay mabubuhay hanggang 50 taong gulang ay 0.87. kasi n = 1000 ay malaki (ang kundisyon npq = 1000 0.87 0.13 = 113.1 ≥ 20 ay nasiyahan), pagkatapos ay ginagamit namin ang corollary ng Moivre-Laplace integral theorem. Tukuyin muna natin:

,
. Ngayon ayon sa formula
:

B) Ayon sa pormula
:

Dahil ang hindi pagkakapantay-pantay
ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay
, ang resultang nakuha ay nangangahulugan na halos tiyak na mula 0.83 hanggang 0.91 ng bilang ng mga bagong silang sa 1000 ay mabubuhay hanggang 50 taon.

Ang konsepto ng "random variable" at ang paglalarawan nito. discrete random variable at ang batas ng pamamahagi nito (serye). Independent mga random na variable. Mga halimbawa.

Sa ilalim random variable ay nauunawaan bilang isang variable na, sa resulta ng mga pagsubok, depende sa kaso, ay tumatagal ng isa sa posibleng hanay ng mga halaga nito (na hindi alam nang maaga).

Mga halimbawa ng mga random na variable : 1) ang bilang ng mga bata na ipinanganak sa araw sa Moscow; 2) ang bilang ng mga may sira na produkto sa isang partikular na batch; 3) ang bilang ng mga putok bago ang unang tama; 4) hanay ng paglipad ng isang artillery projectile; 5) pagkonsumo ng kuryente para sa pr-tion bawat buwan.

Ang random variable ay tinatawag discrete (hindi tuloy-tuloy) , kung ang hanay ng mga halaga nito ay may hangganan, o walang hanggan, ngunit mabibilang.

Sa ilalim tuluy-tuloy na random variable mauunawaan natin ang isang dami na ang walang katapusang hindi mabilang na hanay ng mga halaga ay isang tiyak na pagitan (may hangganan o walang katapusan) ng numerical axis.

Kaya, sa mga halimbawa sa itaas 1-3 mayroon kaming mga discrete random variable (sa mga halimbawa 1 at 2 - na may isang may hangganan na hanay ng mga halaga; sa halimbawa 3 - na may isang walang katapusan, ngunit mabibilang na hanay ng mga halaga); at sa mga halimbawa 4 at 5 - tuloy-tuloy na random variable.

Para sa discrete random variable isang grupo ng posibleng mga halaga ng isang random na variable, i.e. mga function
, finitely o countably, para sa tuloy-tuloy- walang katapusan at hindi mabilang.

Ang mga random na variable ay tinutukoy ng malalaking titik ng Latin na alpabeto X, Y, Z, ..., at ang kanilang mga halaga - sa pamamagitan ng kaukulang maliliit na titik x, y, z, ....

Ang isang random na variable ay sinasabing "ibinahagi" ayon sa isang ibinigay na batas sa pamamahagi o "subordinate" sa batas ng pamamahagi na ito.

Para sa isang discrete random variable batas sa pamamahagi m.b. ibinigay sa anyo ng isang talahanayan, analytically (sa anyo ng isang formula) at graphically.

Ang pinakasimpleng anyo ng pagtukoy sa batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable X ay isang talahanayan (matrix), na naglilista sa pataas na pagkakasunud-sunod ng lahat ng posibleng mga halaga ng random variable at ang kanilang mga kaukulang probabilities, i.e.

O kaya
.

Ang nasabing mesa ay tinatawag malapit sa distribusyon ng isang discrete random variable .

Ang mga kaganapan X=x 1 , X=x 2 ,…,X=x n , na binubuo sa katotohanan na, bilang resulta ng pagsubok, ang random variable X ay kukuha ng mga halaga x 1 , x 2 , ... , x n, ayon sa pagkakabanggit, ay hindi magkatugma at ang mga posible lamang (dahil sa talahanayan ay nakalista ang lahat ng posibleng mga halaga ng isang random na variable), i.e. bumuo ng isang kumpletong grupo. Samakatuwid, ang kabuuan ng kanilang mga probabilidad ay katumbas ng 1. Kaya, para sa anumang discrete random variable
.

Ang serye ng pamamahagi ay maaaring ay inilalarawan nang grapiko, kung ang mga halaga ng isang random na variable ay naka-plot kasama ang abscissa axis, at ang kanilang mga kaukulang probabilities ay naka-plot kasama ang ordinate axis. Ang koneksyon ng nakuha na mga puntos ay bumubuo ng isang putol na linya, na tinatawag polygon o polygon ng probability distribution .

Dalawang random na variable ang tinatawag malaya , kung ang batas sa pamamahagi ng isa sa kanila ay hindi nagbabago depende sa kung anong posibleng mga halaga ang nakuha ng ibang halaga. Kaya, kung ang isang discrete random variable X ay maaaring tumagal sa mga halaga x i (i = 1, 2, ..., n), at ang isang random variable Y ay maaaring tumagal sa mga halaga y j (j = 1, 2, ..., m), kung gayon ang pagsasarili ng mga discrete random variable na mga halaga ng X at Y ay nangangahulugan ng kalayaan ng mga kaganapan X = x i at Y = y para sa anumang i = 1, 2, ... , n at j = 1 , 2, ..., m. Kung hindi, ang mga random na variable ay tinatawag umaasa .

Halimbawa , kung mayroong mga tiket para sa dalawang magkaibang loterya sa pananalapi, kung gayon ang mga random na variable na X at Y, na nagpapahayag ng mga panalo para sa bawat tiket (sa mga yunit ng pananalapi), ayon sa pagkakabanggit, ay magiging malaya, dahil para sa anumang panalo sa isang tiket ng isang lottery (halimbawa, kapag X = x i), ang batas ng pamamahagi ng mga panalo sa isa pang tiket (Y) ay hindi magbabago.

Kung ang mga random na variable na X at Y ay nagpapahayag ng mga panalo sa mga tiket ng parehong lottery ng pera, kung gayon sa kasong ito ang X at Y ay nakasalalay, dahil ang anumang panalo sa isang tiket (X = x i) ay humahantong sa isang pagbabago sa mga posibilidad na manalo sa ibang tiket (Y), ibig sabihin, e. sa pagbabago sa batas ng pamamahagi ng W.

Mga operasyong matematikal sa mga discrete random variable mga maskara at mga halimbawa ng pagbuo ng mga batas sa pamamahagi para sa KH, X" 1 , X + K, XV ayon sa ibinigay na pamamahagi ng mga independiyenteng kaso mga halaga X at U.

Tukuyin natin mga operasyong matematikal higit sa discrete random variable.

Hayaang magbigay ng dalawang random na variable:

Ang produkto kX ng isang random na variable X sa pamamagitan ng isang pare-parehong halaga k ay isang random na variable na kumukuha ng mga halaga kx i na may parehong probabilities p i (i = 1,2,...,n).

m ika kapangyarihan ng random variable X, i.e.
, ay tinatawag na random variable na kumukuha ng mga value na may parehong probabilidad p i (i = 1,2,...,n).

Ang kabuuan (pagkakaiba o produkto) ng mga random na variable X at Y ay tinatawag na random na variable na kumukuha ng lahat ng posibleng halaga ng anyong хi+уj (хj-уj o хj yj), kung saan i = l,2,...,n; j =1,2,...,m, na may probabilities pij na ang random variable X ay kumukuha ng value na xi at y ang value na yj:

Kung ang mga random na variable X at Y ay independyente, ibig sabihin. anumang mga kaganapan X=хi, Y=yj ay independyente, pagkatapos ay sa pamamagitan ng probabilities multiplication theorem para sa mga independiyenteng kaganapan

3tala . Ang mga kahulugan sa itaas ng mga operasyon sa mga discrete random variable ay kailangang linawin: dahil sa ilang mga kaso ang parehong mga halaga ,
,
ay maaaring makuha sa iba't ibang paraan para sa iba't ibang xi, yj na may probabilities pi, pij, pagkatapos ay ang mga probabilities ng naturang paulit-ulit na halaga ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagdaragdag ng nakuha na probabilities pi o pij.

Uri ng operasyon	Halaga ng pagpapahayag S/V	Exv na halaga
		huwag kang magbago
		huwag kang magbago