Sa gawain B14 mula sa USE sa matematika, kailangan mong hanapin ang pinakamaliit o pinakamalaking halaga ng isang function ng isang variable. Ito ay isang medyo maliit na problema mula sa mathematical analysis, at ito ang dahilan kung bakit ang bawat nagtapos sa high school ay maaaring at dapat matuto kung paano ito lutasin nang normal. Suriin natin ang ilang mga halimbawa na nalutas ng mga mag-aaral sa gawaing diagnostic sa matematika, na naganap sa Moscow noong Disyembre 7, 2011.

Depende sa agwat kung saan mo gustong mahanap ang maximum o minimum na halaga ng function, isa sa mga sumusunod na karaniwang algorithm ang ginagamit upang malutas ang problemang ito.

I. Algorithm para sa paghahanap ng pinakamalaki o pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment:

• Hanapin ang derivative ng isang function.
• Piliin mula sa mga puntong pinaghihinalaang ng isang extremum ang mga kabilang sa isang partikular na segment at ang domain ng function.
• Kalkulahin ang mga halaga mga function(hindi derivative!) sa mga puntong ito.
• Sa mga nakuhang halaga, piliin ang pinakamalaki o pinakamaliit, ito ang magiging ninanais.

Halimbawa 1 Hanapin ang pinakamaliit na halaga ng isang function
y = x 3 – 18x 2 + 81x+ 23 sa segment .

Desisyon: kumikilos kami ayon sa algorithm para sa paghahanap ng pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment:

• Ang saklaw ng function ay hindi limitado: D(y) = R.
• Ang derivative ng function ay: ikaw = 3x 2 – 36x+ 81. Hindi rin limitado ang saklaw ng derivative ng isang function: D(y') = R.
• Mga zero ng derivative: ikaw = 3x 2 – 36x+ 81 = 0, kaya x 2 – 12x+ 27 = 0, kung saan x= 3 at x= 9, ang aming pagitan ay kinabibilangan lamang x= 9 (isang puntong kahina-hinala para sa isang extremum).
• Natagpuan namin ang halaga ng function sa isang puntong kahina-hinala ng isang extremum at sa mga gilid ng pagitan. Para sa kaginhawaan ng mga kalkulasyon, kinakatawan namin ang function sa form: y = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 = x(x-9) 2 +23:
  • y(8) \u003d 8 (8-9) 2 +23 \u003d 31;
  • y(9) = 9 (9-9) 2 +23 = 23;
  • y(13) = 13 (13-9) 2 +23 = 231.

Kaya, mula sa nakuha na mga halaga, ang pinakamaliit ay 23. Sagot: 23.

II. Ang algorithm para sa paghahanap ng pinakamalaki o pinakamaliit na halaga ng isang function:

• Hanapin ang saklaw ng function.
• Hanapin ang derivative ng isang function.
• Tukuyin ang mga puntong kahina-hinala ng isang extremum (mga punto kung saan nawawala ang derivative ng function, at ang mga punto kung saan walang two-sided finite derivative).
• Markahan ang mga puntong ito at ang domain ng function sa linya ng numero at tukuyin ang mga palatandaan derivative(hindi function!) sa mga resultang agwat.
• Tukuyin ang mga halaga mga function(hindi derivative!) sa pinakamababang punto (mga punto kung saan nagbabago ang sign ng derivative mula minus hanggang plus), ang pinakamaliit sa mga value na ito ay ang pinakamaliit na value ng function. Kung walang pinakamababang puntos, kung gayon ang pag-andar ay walang pinakamababang halaga.
• Tukuyin ang mga halaga mga function(hindi isang derivative!) sa maximum na mga punto (yung mga punto kung saan ang sign ng derivative ay nagbabago mula plus hanggang minus), ang pinakamalaki sa mga halagang ito ay ang pinakamalaking halaga ng function. Kung walang maximum na mga puntos, kung gayon ang function ay walang maximum na halaga.

Halimbawa 2 Hanapin ang pinakamalaking halaga ng function.

Noong Hulyo 2020, naglunsad ang NASA ng isang ekspedisyon sa Mars. Ang spacecraft ay maghahatid sa Mars ng isang electronic carrier na may mga pangalan ng lahat ng mga rehistradong miyembro ng ekspedisyon.

Kung nalutas ng post na ito ang iyong problema o nagustuhan mo lang ito, ibahagi ang link dito sa iyong mga kaibigan sa mga social network.

Kailangang kopyahin at i-paste ang isa sa mga opsyon sa code na ito sa code ng iyong web page, mas mabuti sa pagitan ng mga tag at o pagkatapos mismo ng tag . Ayon sa unang opsyon, ang MathJax ay naglo-load nang mas mabilis at nagpapabagal sa pahina nang mas kaunti. Ngunit awtomatikong sinusubaybayan at nilo-load ng pangalawang opsyon ang pinakabagong bersyon ng MathJax. Kung ilalagay mo ang unang code, kakailanganin itong i-update sa pana-panahon. Kung i-paste mo ang pangalawang code, ang mga pahina ay maglo-load nang mas mabagal, ngunit hindi mo kailangang patuloy na subaybayan ang mga update sa MathJax.

Ang pinakamadaling paraan upang ikonekta ang MathJax ay nasa Blogger o WordPress: sa control panel ng site, magdagdag ng widget na idinisenyo upang magpasok ng third-party na JavaScript code, kopyahin ang una o pangalawang bersyon ng load code na ipinakita sa itaas dito, at ilagay ang widget nang mas malapit. sa simula ng template (sa pamamagitan ng paraan, ito ay hindi sa lahat ng kailangan , dahil ang MathJax script ay load asynchronously). Iyon lang. Ngayon matutunan ang MathML, LaTeX, at ASCIIMathML markup syntax at handa ka nang mag-embed ng mga math formula sa iyong mga web page.

Isa na namang Bisperas ng Bagong Taon... nagyeyelong panahon at mga snowflake sa window pane... Ang lahat ng ito ay nag-udyok sa akin na magsulat muli tungkol sa... fractals, at kung ano ang alam ng Wolfram Alpha tungkol dito. Sa pagkakataong ito, mayroong isang kawili-wiling artikulo kung saan mayroong mga halimbawa ng dalawang-dimensional na fractal na istruktura. Dito ay isasaalang-alang natin ang mas kumplikadong mga halimbawa ng tatlong-dimensional na fractals.

Ang isang fractal ay maaaring biswal na kinakatawan (inilarawan) bilang isang geometric na pigura o katawan (ibig sabihin na pareho ay isang set, sa kasong ito, isang hanay ng mga puntos), ang mga detalye nito ay may parehong hugis tulad ng orihinal na pigura mismo. Iyon ay, ito ay isang self-katulad na istraktura, kung isasaalang-alang ang mga detalye kung saan, kapag pinalaki, makikita natin ang parehong hugis na walang pagpapalaki. Samantalang sa kaso ng isang ordinaryong geometric figure (hindi isang fractal), kapag naka-zoom in, makikita natin ang mga detalye na may mas simpleng hugis kaysa sa orihinal na figure mismo. Halimbawa, sa isang sapat na mataas na magnification, ang bahagi ng isang ellipse ay mukhang isang tuwid na segment ng linya. Hindi ito nangyayari sa mga fractals: sa anumang pagtaas sa kanila, muli nating makikita ang parehong kumplikadong hugis, na sa bawat pagtaas ay paulit-ulit.

Si Benoit Mandelbrot, ang tagapagtatag ng agham ng mga fractals, sa kanyang artikulong Fractals and Art for Science ay sumulat: "Ang mga fractal ay mga geometric na hugis na kasing kumplikado sa kanilang mga detalye gaya ng sa kanilang pangkalahatang anyo. Ibig sabihin, kung bahagi ng fractal na kalooban ay pinalaki sa laki ng kabuuan, ito ay magmumukhang kabuuan, o eksakto, o marahil ay may bahagyang pagpapapangit.

Hayaan ang function y=f(X) tuloy-tuloy sa pagitan [ a, b]. Tulad ng nalalaman, ang naturang function ay umabot sa pinakamataas at pinakamababang halaga nito sa segment na ito. Maaaring kunin ng function ang mga halagang ito alinman sa isang panloob na punto ng segment [ a, b], o sa hangganan ng segment.

Upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa segment [ a, b] kailangan:

1) hanapin ang mga kritikal na punto ng function sa pagitan ( a, b);

2) kalkulahin ang mga halaga ng pag-andar sa nahanap na mga kritikal na punto;

3) kalkulahin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng segment, iyon ay, para sa x=a at x = b;

4) mula sa lahat ng mga kinakalkula na halaga ng function, piliin ang pinakamalaki at pinakamaliit.

Halimbawa. Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function

sa segment.

Paghahanap ng mga kritikal na punto:

Ang mga puntong ito ay nasa loob ng segment; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

sa punto x= 3 at sa punto x= 0.

Pagsisiyasat ng isang function para sa convexity at isang inflection point.

Function y = f (x) tinawag matambok sa gitna (a, b) , kung ang graph nito ay nasa ilalim ng tangent na iginuhit sa anumang punto ng pagitan na ito, at tinatawag matambok pababa (malukong) kung ang graph nito ay nasa itaas ng tangent.

Ang punto sa paglipat kung saan ang convexity ay pinalitan ng concavity o vice versa ay tinatawag inflection point.

Algorithm para sa pag-aaral para sa convexity at inflection point:

1. Hanapin ang mga kritikal na punto ng pangalawang uri, iyon ay, ang mga punto kung saan ang pangalawang derivative ay katumbas ng zero o wala.

2. Ilagay ang mga kritikal na punto sa linya ng numero, paghiwa-hiwalayin ito sa mga pagitan. Hanapin ang tanda ng pangalawang derivative sa bawat pagitan; kung , kung gayon ang function ay matambok pataas, kung, kung gayon ang function ay matambok pababa.

3. Kung, kapag dumadaan sa isang kritikal na punto ng pangalawang uri, nagbabago ito ng tanda at sa puntong ito ang pangalawang hinalaw ay katumbas ng zero, kung gayon ang puntong ito ay ang abscissa ng inflection point. Hanapin ang ordinate nito.

Asymptotes ng graph ng isang function. Pagsisiyasat ng isang function sa mga asymptotes.

Kahulugan. Ang asymptote ng graph ng isang function ay tinatawag tuwid, na may katangian na ang distansya mula sa anumang punto ng graph hanggang sa linyang ito ay may posibilidad na maging zero na may walang limitasyong pag-alis ng graph point mula sa pinanggalingan.

May tatlong uri ng asymptotes: patayo, pahalang at hilig.

Kahulugan. Direktang tumawag patayong asymptote function graph y = f(x), kung kahit isa sa mga one-sided na limitasyon ng function sa puntong ito ay katumbas ng infinity, iyon ay

kung saan ang discontinuity point ng function, iyon ay, hindi ito kabilang sa domain ng kahulugan.

Halimbawa.

D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - breaking point.

Kahulugan. Diretso y=A tinawag pahalang na asymptote function graph y = f(x) sa , kung

Halimbawa.

x
y

Kahulugan. Diretso y=kx +b (k≠ 0) ay tinatawag pahilig na asymptote function graph y = f(x) saan

Pangkalahatang pamamaraan para sa pag-aaral ng mga pag-andar at paglalagay.

Algoritmo ng pananaliksik sa pag-andary = f(x) :

1. Hanapin ang domain ng function D (y).

2. Hanapin (kung maaari) ang mga punto ng intersection ng graph na may mga coordinate axes (na may x= 0 at sa y = 0).

3. Magsiyasat para sa pantay at kakaibang mga function ( y (‒ x) = y (x) ‒ pagkakapantay-pantay; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ kakaiba).

4. Hanapin ang mga asymptotes ng graph ng function.

5. Maghanap ng mga pagitan ng monotonicity ng function.

6. Hanapin ang extrema ng function.

7. Hanapin ang mga pagitan ng convexity (concavity) at inflection point ng graph ng function.

8. Batay sa isinagawang pananaliksik, bumuo ng graph ng function.

Halimbawa. Siyasatin ang function at i-plot ang graph nito.

1) D (y) =

x= 4 - breaking point.

2) Kailan x = 0,

(0; – 5) – punto ng intersection sa oy.

Sa y = 0,

3) y(‒ x)= pangkalahatang pag-andar (ni kahit na o kakaiba).

4) Nag-iimbestiga kami para sa mga asymptotes.

a) patayo

b) pahalang

c) maghanap ng mga pahilig na asymptotes kung saan

‒oblique asymptote equation

5) Sa equation na ito, hindi kinakailangang maghanap ng mga pagitan ng monotonicity ng function.

6)

Ang mga kritikal na puntong ito ay naghahati sa buong domain ng function sa pagitan (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) at (10; +∞). Ito ay maginhawa upang ipakita ang mga resulta na nakuha sa anyo ng sumusunod na talahanayan:

				walang extra.

Makikita mula sa talahanayan na ang punto X= ‒2‒maximum na punto, sa punto X= 4‒ walang extremum, X= 10 – pinakamababang punto.

I-substitute ang value (‒ 3) sa equation:

9 + 24 ‒ 20 > 0

25 ‒ 40 ‒ 20 < 0

121 ‒ 88 ‒ 20 > 0

Ang maximum ng function na ito ay

(– 2; – 4) – maximum extremum.

Ang minimum ng function na ito ay

(10; 20) ang pinakamababang extremum.

7) suriin ang convexity at inflection point ng graph ng function

Ang konsepto ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function.

Ang konsepto ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ay malapit na nauugnay sa konsepto ng kritikal na punto ng isang function.

Kahulugan 1

Ang $x_0$ ay tinatawag na kritikal na punto ng function na $f(x)$ kung:

1) $x_0$ - panloob na punto ng domain ng kahulugan;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ o wala.

Ipakilala natin ngayon ang mga kahulugan ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function.

Kahulugan 2

Ang isang function na $y=f(x)$ na tinukoy sa pagitan na $X$ ay umabot sa pinakamataas na halaga nito kung mayroong isang puntong $x_0\in X$ na para sa lahat ng $x\in X$ ay hindi pagkakapantay-pantay

Kahulugan 3

Ang isang function na $y=f(x)$ na tinukoy sa pagitan na $X$ ay umabot sa pinakamababang halaga nito kung mayroong isang puntong $x_0\sa X$ na para sa lahat ng $x\in X$ ay hindi pagkakapantay-pantay

Weierstrass' theorem sa isang function na tuloy-tuloy sa isang pagitan

Ipakilala muna natin ang konsepto ng isang function na tuloy-tuloy sa isang pagitan:

Kahulugan 4

Ang isang function na $f\left(x\right)$ ay tinatawag na tuloy-tuloy sa isang segment na $$ kung ito ay tuloy-tuloy sa bawat punto ng interval $(a,b)$, at tuloy-tuloy din sa kanan sa puntong $x= a$ at sa kaliwa sa puntong $x =b$.

Bumuo tayo ng theorem sa isang function na tuloy-tuloy sa isang interval.

Teorama 1

Teorama ng Weierstrass

Ang function na $f\left(x\right)$, na tuloy-tuloy sa interval $$, ay umabot sa maximum at minimum values ​​nito sa interval na ito, ibig sabihin, may mga point $\alpha ,\beta \in $ such na para sa lahat ng $x\sa $ inequality $f(\alpha)\le f(x)\le f(\beta)$.

Ang geometric na interpretasyon ng theorem ay ipinapakita sa Figure 1.

Dito naabot ng function na $f(x)$ ang pinakamababang halaga nito sa puntong $x=\alpha $ ay umabot sa pinakamataas na halaga nito sa puntong $x=\beta $.

Scheme para sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na value ng function na $f(x)$ sa segment na $$

1) Hanapin ang derivative na $f"(x)$;

2) Hanapin ang mga punto kung saan ang derivative na $f"\left(x\right)=0$;

3) Maghanap ng mga punto kung saan wala ang derivative na $f"(x)$;

4) Piliin mula sa mga puntos na nakuha sa talata 2 at 3 ang mga kabilang sa segment na $$;

5) Kalkulahin ang halaga ng function sa mga puntos na nakuha sa hakbang 4, pati na rin sa mga dulo ng segment na $$;

6) Piliin mula sa mga nakuhang halaga ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga.

Mga problema para sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment

Halimbawa 1

Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa segment : $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Desisyon.

1) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

2) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $2\sa \kaliwa,\ 3\sa $;

5) Mga Halaga:

\ \ \ \

6) Ang pinakamalaki sa mga nahanap na halaga ay $33$, ang pinakamaliit sa mga nahanap na halaga ay $1$. Kaya, nakukuha namin ang:

Sagot:$max=33,\ min=1$.

Halimbawa 2

Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na value ng isang function sa segment : $f\left(x\right)=x^3-3x^2-45x+225$

Desisyon.

Ang solusyon ay isasagawa ayon sa pamamaraan sa itaas.

1) $f"\left(x\right)=3x^2-6x-45$;

2) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

3) $f"(x)$ ay umiiral sa lahat ng mga punto ng domain ng kahulugan;

4) $-3\notin\left,\5\sa $;

5) Mga Halaga:

\ \ \

6) Ang pinakamalaki sa mga nahanap na halaga ay $225$, ang pinakamaliit sa mga nahanap na halaga ay $50$. Kaya, nakukuha namin ang:

Sagot:$max=225,\ min=50$.

Halimbawa 3

Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa pagitan [-2,2]: $f\left(x\right)=\frac(x^2-6x+9)(x-1)$

Desisyon.

Ang solusyon ay isasagawa ayon sa pamamaraan sa itaas.

1) $f"\left(x\right)=\frac(\left(2x-6\right)\left(x-1\right)-(x^2-6x+9))(((x- 1))^2)=\frac(x^2-2x-3)(((x-1))^2)$;

2) $f"\left(x\right)=0$;

\[\frac(x^2-2x-3)(((x-1))^2)=0\] \ \

3) $f"(x)$ ay wala sa puntong $x=1$

4) $3\notin \left[-2,2\right],\ -1\in \left[-2,2\right],\ 1\in \left[-2,2\right]$, gayunpaman 1 hindi kabilang sa saklaw;

5) Mga Halaga:

\ \ \

6) Ang pinakamalaki sa mga nahanap na halaga ay $1$, ang pinakamaliit sa mga nahanap na halaga ay $-8\frac(1)(3)$. Kaya, nakukuha natin ang: \end(enumerate)

Sagot:$max=1,\ min==-8\frac(1)(3)$.

Ipinapakita ng mga figure sa ibaba kung saan maaaring maabot ng function ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga nito. Sa kaliwang figure, ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ay naayos sa mga punto ng lokal na minimum at maximum ng function. Sa tamang figure - sa mga dulo ng segment.

Kung ang function y = f(x) tuloy-tuloy sa pagitan [ a, b] , pagkatapos ay umabot ito sa segment na ito hindi bababa sa at pinakamataas na halaga . Ito, tulad ng nabanggit na, ay maaaring mangyari alinman sa matinding puntos o sa dulo ng segment. Samakatuwid, upang mahanap hindi bababa sa at ang pinakamalaking halaga ng function , tuloy-tuloy sa segment [ a, b] , kailangan mong kalkulahin ang mga halaga nito sa lahat kritikal na mga punto at sa mga dulo ng segment, at pagkatapos ay piliin ang pinakamaliit at pinakamalaki sa kanila.

Hayaan, halimbawa, kinakailangan upang matukoy ang maximum na halaga ng function f(x) sa segment [ a, b] . Upang gawin ito, hanapin ang lahat ng mga kritikal na punto nito na nasa [ a, b] .

kritikal na punto ay tinatawag na punto kung saan tinukoy ang function, at siya derivative ay alinman sa zero o wala. Pagkatapos ay dapat mong kalkulahin ang mga halaga ng pag-andar sa mga kritikal na punto. At, sa wakas, dapat ihambing ng isa ang mga halaga ng function sa mga kritikal na punto at sa mga dulo ng segment ( f(a) at f(b) ). Ang pinakamalaki sa mga bilang na ito ay magiging ang pinakamalaking halaga ng function sa pagitan [a, b] .

Ang problema sa paghahanap ang pinakamaliit na halaga ng function .

Hinahanap namin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng function nang magkasama

Halimbawa 1. Hanapin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa segment [-1, 2] .

Desisyon. Nahanap namin ang derivative ng function na ito. I-equate ang derivative sa zero () at makakuha ng dalawang kritikal na puntos: at . Upang mahanap ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa isang partikular na segment, sapat na upang kalkulahin ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment at sa punto , dahil ang punto ay hindi kabilang sa segment [-1, 2] . Ang mga value ng function na ito ay ang mga sumusunod: , , . Sinusundan nito iyon pinakamaliit na halaga ng pag-andar(minarkahan ng pula sa graph sa ibaba), katumbas ng -7, ay naabot sa kanang dulo ng segment - sa punto , at pinakadakila(pula din sa graph), ay katumbas ng 9, - sa kritikal na punto .

Kung ang function ay tuloy-tuloy sa isang tiyak na agwat at ang agwat na ito ay hindi isang segment (ngunit, halimbawa, isang agwat; ang pagkakaiba sa pagitan ng isang agwat at isang segment: ang mga hangganan na punto ng agwat ay hindi kasama sa agwat, ngunit ang Ang mga hangganan ng mga punto ng segment ay kasama sa segment), pagkatapos ay kabilang sa mga halaga ng pag-andar ay maaaring walang pinakamaliit at pinakamalaki. Kaya, halimbawa, ang function na inilalarawan sa figure sa ibaba ay tuloy-tuloy sa ]-∞, +∞[ at walang pinakamalaking halaga.

Gayunpaman, para sa anumang agwat (sarado, bukas, o walang katapusan), ang sumusunod na katangian ng tuluy-tuloy na pag-andar ay nananatili.

Para sa self-checking sa panahon ng mga kalkulasyon, maaari mong gamitin online derivatives calculator .

Halimbawa 4. Hanapin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa segment [-1, 3] .

Desisyon. Nakita namin ang derivative ng function na ito bilang derivative ng quotient:

.

Tinutumbas namin ang derivative sa zero, na nagbibigay sa amin ng isang kritikal na punto: . Ito ay kabilang sa pagitan [-1, 3] . Upang mahanap ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa isang partikular na segment, makikita namin ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment at sa natagpuang kritikal na punto:

Ihambing natin ang mga halagang ito. Konklusyon: katumbas ng -5/13, sa punto at ang pinakamalaking halaga katumbas ng 1 sa punto .

Patuloy kaming naghahanap ng pinakamaliit at pinakamalaking value ng function nang magkasama

Mayroong mga guro na, sa paksa ng paghahanap ng pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function, ay hindi nagbibigay sa mga mag-aaral ng mga halimbawa na mas kumplikado kaysa sa mga isinasaalang-alang lamang, iyon ay, ang mga kung saan ang function ay isang polynomial o isang fraction, ang numerator. at denominator nito ay mga polynomial. Ngunit hindi namin lilimitahan ang ating sarili sa mga ganitong halimbawa, dahil sa mga guro ay may mga mahilig sa pag-iisip ng mga mag-aaral nang buo (talahanayan ng mga derivatives). Samakatuwid, ang logarithm at ang trigonometric function ay gagamitin.

Halimbawa 8. Hanapin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa segment .

Desisyon. Nakikita namin ang derivative ng function na ito bilang derivative ng produkto :

Tinutumbas namin ang derivative sa zero, na nagbibigay ng isang kritikal na punto: . Ito ay kabilang sa segment. Upang mahanap ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa isang partikular na segment, makikita namin ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment at sa natagpuang kritikal na punto:

Ang resulta ng lahat ng mga aksyon: ang function ay umabot sa pinakamababang halaga nito, katumbas ng 0, sa isang punto at sa isang punto at ang pinakamalaking halaga katumbas ng e² , sa punto .

Para sa self-checking sa panahon ng mga kalkulasyon, maaari mong gamitin online derivatives calculator .

Halimbawa 9. Hanapin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa segment .

Desisyon. Nahanap namin ang derivative ng function na ito:

I-equate ang derivative sa zero:

Ang tanging kritikal na punto ay nabibilang sa segment . Upang mahanap ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa isang partikular na segment, makikita namin ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment at sa natagpuang kritikal na punto:

Konklusyon: ang function ay umabot sa pinakamababang halaga nito, katumbas ng , sa punto at ang pinakamalaking halaga, katumbas ng , sa punto .

Sa mga inilapat na matinding problema, ang paghahanap ng pinakamaliit (pinakamalaking) mga halaga ng function, bilang panuntunan, ay binabawasan sa paghahanap ng pinakamababa (maximum). Ngunit hindi ang minima o maxima mismo ang mas praktikal na interes, ngunit ang mga halaga ng argumento kung saan nakamit ang mga ito. Kapag nilulutas ang mga inilapat na problema, lumitaw ang isang karagdagang kahirapan - ang pagsasama-sama ng mga pag-andar na naglalarawan sa kababalaghan o proseso na isinasaalang-alang.

Halimbawa 10 Ang isang tangke na may kapasidad na 4, na may hugis ng parallelepiped na may parisukat na base at bukas sa itaas, ay dapat na tinned. Ano ang dapat na mga sukat ng tangke upang masakop ito ng hindi bababa sa dami ng materyal?

Desisyon. Hayaan x- gilid ng base h- taas ng tangke, S- ang ibabaw nito na walang takip, V- ang dami nito. Ang ibabaw na lugar ng tangke ay ipinahayag ng formula, i.e. ay isang function ng dalawang variable. Upang ipahayag S bilang isang function ng isang variable, ginagamit namin ang katotohanan na , kung saan . Pagpapalit sa nahanap na expression h sa pormula para sa S:

Suriin natin ang function na ito para sa isang extremum. Ito ay tinukoy at naiba sa lahat ng dako sa ]0, +∞[ , at

.

Itinutumbas namin ang derivative sa zero () at hanapin ang kritikal na punto. Bilang karagdagan, kapag ang derivative ay hindi umiiral, ngunit ang halagang ito ay hindi kasama sa domain ng kahulugan at samakatuwid ay hindi maaaring maging isang extremum point. Kaya, - ang tanging kritikal na punto. Suriin natin ito para sa pagkakaroon ng extremum gamit ang pangalawang sapat na tanda. Hanapin natin ang pangalawang derivative. Kapag ang pangalawang derivative ay mas malaki sa zero (). Nangangahulugan ito na kapag ang function ay umabot sa isang minimum . Dahil ito minimum - ang tanging extremum ng function na ito, ito ang pinakamaliit na halaga nito. Kaya, ang gilid ng base ng tangke ay dapat na katumbas ng 2 m, at ang taas nito.

Para sa self-checking sa panahon ng mga kalkulasyon, maaari mong gamitin