Maraming divisors

Isaalang-alang ang sumusunod na problema: hanapin ang divisor ng numero 140. Malinaw na ang numero 140 ay hindi isang divisor, ngunit marami. Sa ganitong mga kaso, ang gawain ay sinasabing mayroon isang grupo ng mga solusyon. Hanapin natin silang lahat. Una sa lahat, nabubulok namin ang numerong ito sa mga pangunahing kadahilanan:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

Ngayon ay madali nating maisulat ang lahat ng mga divisors. Magsimula tayo sa mga simpleng divisors, iyon ay, ang mga naroroon sa pagpapalawak sa itaas:

Pagkatapos ay isinusulat namin ang mga nakuha sa pamamagitan ng pairwise na pagpaparami ng mga prime divisors:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

Pagkatapos - ang mga naglalaman ng tatlong simpleng divisors:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

Sa wakas, huwag nating kalimutan ang yunit at ang nabubulok na numero mismo:

Ang lahat ng mga divisors na natagpuan sa amin ay bumubuo isang grupo ng mga divisors ng numero 140, na isinulat gamit ang mga kulot na braces:

Ang hanay ng mga divisors ng numero 140 =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Para sa kaginhawaan ng pang-unawa, isinulat namin ang mga divisors dito ( itakda ang mga elemento) sa pataas na pagkakasunud-sunod, ngunit sa pangkalahatan, hindi ito kinakailangan. Bilang karagdagan, ipinakilala namin ang isang pagdadaglat. Sa halip na "Ang hanay ng mga divisors ng numero 140" ay isusulat namin ang "D (140)". kaya,

Katulad nito, mahahanap ng isa ang hanay ng mga divisors para sa anumang iba pang natural na numero. Halimbawa, mula sa agnas

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

makuha namin:

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).

Mula sa hanay ng lahat ng mga divisors, dapat na makilala ng isa ang hanay ng mga prime divisors, na para sa mga numero 140 at 105 ay pantay, ayon sa pagkakabanggit:

PD(140) = (2, 5, 7).

PD(105) = (3, 5, 7).

Dapat bigyang-diin na sa decomposition ng numero 140 sa prime factor, dalawa ang naroroon nang dalawang beses, habang sa set PD(140) ito ay isa lamang. Ang set ng PD(140) ay, sa esensya, ang lahat ng mga sagot sa problema: "Maghanap ng prime factor ng numerong 140". Malinaw na ang parehong sagot ay hindi dapat ulitin nang higit sa isang beses.

Pagbawas ng fraction. Pinakamahusay na Common Divisor

Isaalang-alang ang isang fraction

Alam natin na ang fraction na ito ay maaaring bawasan ng isang numero na parehong divisor ng numerator (105) at isang divisor ng denominator (140). Tingnan natin ang mga set D(105) at D(140) at isulat ang kanilang mga karaniwang elemento.

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);

D(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).

Mga karaniwang elemento ng set D(105) at D(140) =

Ang huling pagkakapantay-pantay ay maaaring maisulat nang mas maikli, ibig sabihin:

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35).

Dito, ang espesyal na icon na "∩" ("bag na may butas sa ibaba") ay nagpapahiwatig lamang na mula sa dalawang set na nakasulat sa magkabilang panig nito, mga karaniwang elemento lamang ang dapat piliin. Ang entry na "D (105) ∩ D (140)" ay nagbabasa ng " interseksyon set ng Te mula sa 105 at Te mula sa 140.

[Tandaan sa daan na maaari kang magsagawa ng iba't ibang mga binary operation na may mga set, halos tulad ng sa mga numero. Ang isa pang karaniwang operasyon ng binary ay Unyon, na ipinapahiwatig ng icon na "∪" ("bag na may butas sa itaas"). Kasama sa unyon ng dalawang set ang lahat ng elemento ng parehong set:

PD(105) = (3, 5, 7);

PD(140) = (2, 5, 7);

PD(105) ∪ PD(140) = (2, 3, 5, 7). ]

Kaya, nalaman namin na ang fraction

maaaring bawasan sa alinman sa mga numerong kabilang sa set

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35)

at hindi maaaring bawasan ng anumang iba pang natural na numero. Narito ang lahat ng posibleng paraan para mabawasan (maliban sa hindi kawili-wiling pagbawas ng isa):

Malinaw na pinakapraktikal na bawasan ang fraction sa pamamagitan ng isang numero, kung maaari, isang mas malaki. Sa kasong ito, ito ay ang numero 35, na sinasabing pinakamalaking karaniwang divisor (GCD) bilang 105 at 140. Ito ay isinusulat bilang

gcd(105, 140) = 35.

Gayunpaman, sa pagsasagawa, kung bibigyan tayo ng dalawang numero at kailangan nating hanapin ang kanilang pinakamalaking karaniwang divisor, hindi na natin kailangang bumuo ng anumang mga hanay. Sapat na lang na i-factor ang parehong numero sa prime factor at salungguhitan ang mga salik na ito na karaniwan sa parehong factorization, halimbawa:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Ang pagpaparami ng mga may salungguhit na numero (sa alinman sa mga pagpapalawak), makukuha natin ang:

gcd(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

Siyempre, posibleng mayroong higit sa dalawang may salungguhit na salik:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

Mula dito ay malinaw na

gcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

Ang espesyal na pagbanggit ay nararapat sa sitwasyon kung saan walang mga karaniwang salik at walang dapat bigyang-diin, halimbawa:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

Sa kasong ito,

gcd(42, 55) = 1.

Dalawang natural na numero kung saan ang gcd ay katumbas ng isa ay tinatawag coprime. Kung gumawa ka ng isang fraction mula sa mga naturang numero, halimbawa,

pagkatapos ay tulad ng isang fraction ay hindi mababawasan.

Sa pangkalahatan, ang panuntunan para sa pagbabawas ng mga fraction ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:

		a/ gcd( a, b)
		b/ gcd( a, b)

Dito ipinapalagay na a at b ay mga natural na numero, at lahat ng mga fraction ay positibo. Kung magtatalaga tayo ngayon ng minus sign sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na ito, makukuha natin ang kaukulang panuntunan para sa mga negatibong fraction.

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction. Hindi bababa sa karaniwang maramihang

Ipagpalagay na gusto mong kalkulahin ang kabuuan ng dalawang fraction:

Alam na natin kung paano nabubulok ang mga denominator sa mga pangunahing kadahilanan:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Kaagad na sinusundan mula sa agnas na ito na, upang dalhin ang mga fraction sa isang karaniwang denominator, sapat na upang i-multiply ang numerator at denominator ng unang fraction sa 2 ∙ 2 (ang produkto ng hindi naka-stress na prime factor ng pangalawang denominator), at ang numerator at denominator ng pangalawang bahagi ng 3 ("produkto" na walang salungguhit na mga pangunahing kadahilanan ng unang denamineytor). Bilang resulta, ang mga denominator ng parehong mga fraction ay magiging katumbas ng isang numero na maaaring katawanin tulad ng sumusunod:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

Madaling makita na ang parehong orihinal na denominator (parehong 105 at 140) ay mga divisors ng numerong 420, at ang bilang na 420, sa turn, ay isang multiple ng parehong denominator - at hindi lamang isang multiple, ito ay hindi bababa sa karaniwang maramihang (NOC) mga numero 105 at 140. Ito ay nakasulat tulad nito:

LCM(105, 140) = 420.

Kung titingnang mabuti ang pagpapalawak ng mga numerong 105 at 140, makikita natin iyon

105 ∙ 140 = LCM(105, 140) ∙ GCD(105, 140).

Katulad nito, para sa mga arbitrary na natural na numero b at d:

b ∙ d= LCM( b, d) ∙ GCD( b, d).

Ngayon kumpletuhin natin ang kabuuan ng ating mga fraction:

3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

Tandaan. Upang malutas ang ilang mga problema, kailangan mong malaman kung ano ang parisukat ng isang numero. Numerong parisukat a tinawag ang isang numero a pinarami sa sarili, ibig sabihin a∙a. (Tulad ng nakikita mo, ito ay katumbas ng lugar ng isang parisukat na may gilid a).

Mga palatandaan ng divisibility ng mga natural na numero.

Ang mga numerong nahahati sa 2 na walang natitira ay tinatawagkahit .

Ang mga numero na hindi pantay na nahahati sa 2 ay tinatawagkakaiba .

Tanda ng divisibility ng 2

Kung ang talaan ng isang natural na numero ay nagtatapos sa isang kahit na digit, kung gayon ang numerong ito ay mahahati ng 2 nang walang natitira, at kung ang talaan ng isang numero ay nagtatapos sa isang kakaibang digit, kung gayon ang numerong ito ay hindi mahahati ng 2 nang walang natitira.

Halimbawa, ang mga numero 60 , 30 8 , 8 4 ay nahahati nang walang natitira sa 2, at ang mga numero ay 51 , 8 5 , 16 7 ay hindi nahahati sa 2 nang walang natitira.

Tanda ng divisibility ng 3

Kung ang kabuuan ng mga digit ng isang numero ay nahahati sa 3, kung gayon ang numero ay mahahati din ng 3; Kung ang kabuuan ng mga digit ng isang numero ay hindi nahahati sa 3, kung gayon ang numero ay hindi mahahati ng 3.

Halimbawa, alamin natin kung ang numerong 2772825 ay nahahati sa 3. Upang gawin ito, kinakalkula namin ang kabuuan ng mga digit ng numerong ito: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - ay nahahati sa 3 . Kaya, ang numerong 2772825 ay nahahati sa 3.

Tanda ng divisibility ng 5

Kung ang talaan ng isang natural na numero ay nagtatapos sa numerong 0 o 5, kung gayon ang numerong ito ay mahahati nang walang nalalabi sa pamamagitan ng 5. Kung ang talaan ng isang numero ay nagtatapos sa ibang digit, ang bilang na walang natitira ay hindi mahahati ng 5.

Halimbawa, ang mga numero 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 ay nahahati nang walang natitira sa 5, at ang mga numero 17 , 37 8 , 9 1 huwag ibahagi.

Tanda ng divisibility ng 9

Kung ang kabuuan ng mga digit ng isang numero ay nahahati sa 9, kung gayon ang numero ay mahahati din ng 9; Kung ang kabuuan ng mga digit ng isang numero ay hindi nahahati sa 9, kung gayon ang numero ay hindi mahahati ng 9.

Halimbawa, alamin natin kung ang numerong 5402070 ay nahahati sa 9. Upang gawin ito, kinakalkula namin ang kabuuan ng mga digit ng numerong ito: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - ay hindi nahahati ng 9. Nangangahulugan ito na ang numerong 5402070 ay hindi nahahati ng 9.

Tanda ng divisibility ng 10

Kung ang talaan ng isang natural na numero ay nagtatapos sa digit na 0, kung gayon ang numerong ito ay mahahati sa 10 na walang nalalabi.

Halimbawa, ang mga numero 40 , 17 0 , 1409 0 ay nahahati nang walang natitira sa 10, at ang mga numero 17 , 9 3 , 1430 7 - huwag ibahagi.

Ang panuntunan para sa paghahanap ng pinakamalaking karaniwang divisor (gcd).

Upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor ng ilang natural na numero, kailangan mong:

2) mula sa mga kadahilanan na kasama sa pagpapalawak ng isa sa mga numerong ito, i-cross out ang mga hindi kasama sa pagpapalawak ng iba pang mga numero;

3) hanapin ang produkto ng natitirang mga kadahilanan.

Halimbawa. Hanapin natin ang GCD (48;36). Gamitin natin ang panuntunan.

1. Binubulok namin ang mga numero 48 at 36 sa mga pangunahing kadahilanan.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Mula sa mga kadahilanan na kasama sa pagpapalawak ng numero 48, tinanggal namin ang mga hindi kasama sa pagpapalawak ng numero 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Mayroong mga kadahilanan 2, 2 at 3.

3. I-multiply ang natitirang mga salik at makakuha ng 12. Ang numerong ito ay ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong 48 at 36.

GCD (48; 36) = 2· 2 · 3 = 12.

Ang panuntunan para sa paghahanap ng least common multiple (LCM).

Upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng ilang natural na numero, kailangan mong:

1) mabulok ang mga ito sa pangunahing mga kadahilanan;

2) isulat ang mga salik na kasama sa pagpapalawak ng isa sa mga numero;

3) idagdag sa kanila ang mga nawawalang salik mula sa pagpapalawak ng natitirang mga numero;

4) hanapin ang produkto ng mga nagresultang salik.

Halimbawa. Hanapin natin ang LCM (75;60). Gamitin natin ang panuntunan.

1. Binubulok namin ang mga numerong 75 at 60 sa mga pangunahing kadahilanan.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Isulat ang mga salik na kasama sa pagpapalawak ng bilang na 75: 3, 5, 5.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Idagdag sa kanila ang nawawalang mga salik mula sa agnas ng bilang na 60, i.e. 2, 2.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Hanapin ang produkto ng mga resultang salik

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

Solusyonan natin ang problema. Mayroon kaming dalawang uri ng cookies. Ang iba ay tsokolate at ang iba ay plain. Mayroong 48 piraso ng tsokolate, at simpleng 36. Kinakailangang gawin ang pinakamataas na posibleng bilang ng mga regalo mula sa mga cookies na ito, at dapat gamitin ang lahat ng ito.

Una, isulat natin ang lahat ng mga divisors ng bawat isa sa dalawang numerong ito, dahil ang parehong mga numerong ito ay dapat na mahahati sa bilang ng mga regalo.

Nakukuha namin

• 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
• 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Hanapin natin sa mga divisors ang mga karaniwang mayroon ang una at pangalawang numero.

Ang mga karaniwang divisors ay magiging: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Ang pinakamalaking common divisor sa lahat ay 12. Ang numerong ito ay tinatawag na greatest common divisor ng 36 at 48.

Batay sa resulta, maaari nating tapusin na 12 regalo ang maaaring gawin mula sa lahat ng cookies. Ang isang ganoong regalo ay maglalaman ng 4 na chocolate cookies at 3 regular na cookies.

Paghahanap ng Pinakamahusay na Karaniwang Divisor

• Ang pinakamalaking natural na bilang kung saan ang dalawang numero a at b ay nahahati nang walang natitira ay tinatawag na pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong ito.

Minsan ginagamit ang pagdadaglat na GCD upang paikliin ang entry.

Ang ilang mga pares ng mga numero ay may isa bilang kanilang pinakamalaking karaniwang divisor. Ang mga naturang numero ay tinatawag mga numero ng coprime. Halimbawa, ang mga numero 24 at 35. Magkaroon ng GCD =1.

Paano mahahanap ang pinakadakilang karaniwang divisor

Upang mahanap ang pinakadakilang karaniwang divisor, hindi kinakailangang isulat ang lahat ng mga divisors ng mga numerong ito.

Maaari mong gawin kung hindi man. Una, i-factor ang parehong numero sa prime factor.

• 48 = 2*2*2*2*3,
• 36 = 2*2*3*3.

Ngayon, mula sa mga kadahilanan na kasama sa pagpapalawak ng unang numero, tinanggal namin ang lahat ng hindi kasama sa pagpapalawak ng pangalawang numero. Sa aming kaso, ito ay dalawang deuces.

• 48 = 2*2*2*2*3 ,
• 36 = 2*2*3 *3.

Ang mga salik 2, 2 at 3 ay mananatili. Ang kanilang produkto ay 12. Ang bilang na ito ang magiging pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong 48 at 36.

Ang panuntunang ito ay maaaring palawigin sa kaso ng tatlo, apat, at iba pa. numero.

Pangkalahatang pamamaraan para sa paghahanap ng pinakamalaking karaniwang divisor

• 1. I-decompose ang mga numero sa prime factors.
• 2. Mula sa mga salik na kasama sa pagpapalawak ng isa sa mga bilang na ito, ekis ang mga hindi kasama sa pagpapalawak ng iba pang mga numero.
• 3. Kalkulahin ang produkto ng natitirang mga salik.

Upang matutunan kung paano hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawa o higit pang mga numero, kailangan mong maunawaan kung ano ang natural, prime at complex na mga numero.

Ang natural na numero ay anumang numero na ginagamit sa pagbilang ng mga integer.

Kung ang isang natural na numero ay maaari lamang hatiin ng sarili at isa, kung gayon ito ay tinatawag na prime.

Ang lahat ng mga natural na numero ay maaaring hatiin sa pamamagitan ng kanilang mga sarili at isa, ngunit ang tanging kahit na prime na numero ay 2, lahat ng iba pang mga prime ay maaaring hatiin ng dalawa. Samakatuwid, ang mga kakaibang numero lamang ang maaaring maging prime.

Mayroong maraming mga pangunahing numero, walang kumpletong listahan ng mga ito. Upang mahanap ang GCD, maginhawang gumamit ng mga espesyal na talahanayan na may ganitong mga numero.

Karamihan sa mga natural na numero ay maaaring hatiin hindi lamang sa isa, sa kanilang sarili, kundi pati na rin sa iba pang mga numero. Kaya, halimbawa, ang numero 15 ay maaaring hatiin ng 3 at 5. Lahat sila ay tinatawag na mga divisors ng numero 15.

Kaya, ang divisor ng alinmang A ay ang bilang kung saan maaari itong hatiin nang walang nalalabi. Kung ang isang numero ay may higit sa dalawang natural na divisors, ito ay tinatawag na composite.

Ang numero 30 ay may mga divisors tulad ng 1, 3, 5, 6, 15, 30.

Makikita mo na ang 15 at 30 ay may parehong divisors 1, 3, 5, 15. Ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numerong ito ay 15.

Kaya, ang karaniwang divisor ng mga numerong A at B ay ang bilang kung saan maaari mong ganap na hatiin ang mga ito. Ang maximum ay maaaring ituring na maximum na kabuuang bilang kung saan maaari silang hatiin.

Upang malutas ang mga problema, ginagamit ang sumusunod na pinaikling inskripsyon:

GCD (A; B).

Halimbawa, GCD (15; 30) = 30.

Upang isulat ang lahat ng mga divisors ng isang natural na numero, ginagamit ang notasyon:

D(15) = (1, 3, 5, 15)

gcd (9; 15) = 1

Sa halimbawang ito, ang mga natural na numero ay mayroon lamang isang karaniwang divisor. Tinatawag silang coprime, ayon sa pagkakabanggit, ang yunit ay ang kanilang pinakamalaking karaniwang divisor.

Paano mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero

Upang mahanap ang GCD ng ilang numero, kailangan mo:

Hanapin ang lahat ng mga divisors ng bawat natural na numero nang hiwalay, iyon ay, i-decompose ang mga ito sa mga kadahilanan (prime number);

Piliin ang lahat ng parehong mga kadahilanan para sa mga ibinigay na numero;

I-multiply ang mga ito nang sama-sama.

Halimbawa, upang kalkulahin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero 30 at 56, isusulat mo ang sumusunod:

Upang hindi malito sa , maginhawang isulat ang mga multiplier gamit ang mga patayong column. Sa kaliwang bahagi ng linya, kailangan mong ilagay ang dibidendo, at sa kanan - ang divisor. Sa ilalim ng dibidendo, dapat mong ipahiwatig ang resultang quotient.

Kaya, sa kanang hanay ay makikita ang lahat ng mga salik na kailangan para sa solusyon.

Maaaring salungguhitan ang mga magkakaparehong divisors (nahanap na mga salik) para sa kaginhawahan. Dapat silang muling isulat at paramihin at ang pinakamalaking karaniwang divisor ay dapat isulat.

GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10

Ito ay talagang na simple upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero. Sa kaunting pagsasanay, halos awtomatiko mo itong magagawa.

Ang pinakamalaking natural na bilang kung saan ang mga numerong a at b ay nahahati nang walang natitira ay tinatawag pinakamalaking karaniwang divisor ang mga numerong ito. Tukuyin ang GCD(a, b).

Pag-isipang hanapin ang GCD gamit ang halimbawa ng dalawang natural na numero 18 at 60:

1 I-decompose natin ang mga numero sa prime factor:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

2 Tanggalin mula sa pagpapalawak ng unang numero ang lahat ng mga kadahilanan na hindi kasama sa pagpapalawak ng pangalawang numero, nakukuha namin 2×3×3 .

3 Pina-multiply namin ang natitirang prime factor pagkatapos mag-cross out at makuha ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero: gcd ( 18 , 60 )=2×3= 6 .

4 Tandaan na hindi mahalaga mula sa una o pangalawang numero na i-cross out natin ang mga kadahilanan, ang resulta ay pareho:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

324 , 111 at 432

I-decompose natin ang mga numero sa prime factor:

324 = 2×2×3×3×3×3

111 = 3×37

432 = 2×2×2×2×3×3×3

Tanggalin mula sa unang numero, ang mga salik na wala sa pangalawa at pangatlong numero, nakukuha namin:

2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3

Bilang resulta ng GCD( 324 , 111 , 432 )=3

Paghahanap ng GCD gamit ang Euclid's Algorithm

Ang pangalawang paraan upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang ginagamit na divisor Ang algorithm ni Euclid. Ang algorithm ng Euclid ay ang pinaka mahusay na paraan upang mahanap GCD, gamit ito kailangan mong patuloy na mahanap ang natitira sa dibisyon ng mga numero at mag-apply paulit-ulit na formula.

Paulit-ulit na formula para sa GCD, gcd(a, b)=gcd(b, isang mod b), kung saan ang mod b ay ang natitira sa paghahati ng a sa b.

Ang algorithm ni Euclid

Halimbawa Hanapin ang Pinakamahusay na Karaniwang Divisor ng Mga Numero 7920 at 594

Hanapin natin ang GCD( 7920 , 594 ) gamit ang Euclid algorithm, kakalkulahin namin ang natitira sa dibisyon gamit ang isang calculator.

GCD( 7920 , 594 )

GCD( 594 , 7920 mod 594 ) = gcd( 594 , 198 )

GCD( 198 , 594 mod 198 ) = gcd( 198 , 0 )

GCD( 198 , 0 ) = 198

• 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0

Bilang resulta, nakakakuha tayo ng GCD( 7920 , 594 ) = 198

Hindi bababa sa karaniwang maramihang

Upang makahanap ng isang karaniwang denominator kapag nagdaragdag at nagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator, kailangan mong malaman at makalkula hindi bababa sa karaniwang maramihang(NOC).

Ang multiple ng numerong "a" ay isang numero na mismong nahahati sa numerong "a" na walang natitira.

Mga numero na multiple ng 8 (iyon ay, ang mga numerong ito ay hahatiin ng 8 nang walang natitira): ito ang mga numero 16, 24, 32 ...

Multiple ng 9: 18, 27, 36, 45…

Mayroong walang katapusang maraming multiple ng isang naibigay na numero a, sa kaibahan sa mga divisors ng parehong numero. Divisors - isang may hangganan na numero.

Ang karaniwang multiple ng dalawang natural na numero ay isang numero na pantay na nahahati sa parehong mga numerong ito..

Hindi bababa sa karaniwang maramihang(LCM) ng dalawa o higit pang mga natural na numero ay ang pinakamaliit na natural na numero na mismong nahahati ng bawat isa sa mga numerong ito.

Paano mahahanap ang NOC

Ang LCM ay matatagpuan at nakasulat sa dalawang paraan.

Ang unang paraan upang mahanap ang LCM

Ang pamamaraang ito ay karaniwang ginagamit para sa maliliit na numero.

1. Nagsusulat kami ng mga multiple para sa bawat isa sa mga numero sa isang linya hanggang sa magkaroon ng multiple na pareho para sa parehong mga numero.
2. Ang isang multiple ng numerong "a" ay tinutukoy ng malaking titik na "K".

Halimbawa. Hanapin ang LCM 6 at 8.

Ang pangalawang paraan upang mahanap ang LCM

Maginhawang gamitin ang paraang ito upang mahanap ang LCM para sa tatlo o higit pang mga numero.

Ang bilang ng magkaparehong salik sa pagpapalawak ng mga numero ay maaaring magkakaiba.

Sa pagpapalawak ng mas maliit na numero (mas maliit na numero), salungguhitan ang mga salik na hindi kasama sa pagpapalawak ng mas malaking bilang (sa aming halimbawa, ito ay 2) at idagdag ang mga salik na ito sa pagpapalawak ng mas malaking bilang.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2

Itala ang resultang gawain bilang tugon.
Sagot: LCM (24, 60) = 120

Maaari mo ring gawing pormal ang paghahanap ng least common multiple (LCM) gaya ng mga sumusunod. Hanapin natin ang LCM (12, 16, 24) .

24 = 2 2 2 3

Tulad ng nakikita natin mula sa pagpapalawak ng mga numero, ang lahat ng mga kadahilanan ng 12 ay kasama sa pagpapalawak ng 24 (ang pinakamalaki sa mga numero), kaya nagdaragdag lamang kami ng isang 2 mula sa pagpapalawak ng bilang 16 hanggang sa LCM.

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

Sagot: LCM (12, 16, 24) = 48

Mga espesyal na kaso ng paghahanap ng mga NOC

Kung ang isa sa mga numero ay pantay na mahahati ng iba, kung gayon ang pinakamaliit na karaniwang multiple ng mga numerong ito ay katumbas ng numerong ito.

Halimbawa, LCM(60, 15) = 60
Dahil ang mga coprime na numero ay walang karaniwang prime divisors, ang kanilang hindi bababa sa karaniwang multiple ay katumbas ng produkto ng mga numerong ito.

Sa aming site, maaari ka ring gumamit ng isang espesyal na calculator upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang online upang suriin ang iyong mga kalkulasyon.

Kung ang isang natural na numero ay nahahati lamang sa 1 at sa sarili nito, kung gayon ito ay tinatawag na prime.

Ang anumang natural na numero ay palaging nahahati sa 1 at sa sarili nito.

Ang numero 2 ay ang pinakamaliit na prime number. Ito ang nag-iisang even na prime number, ang iba pang prime number ay kakaiba.

Maraming prime number, at ang una sa kanila ay ang number 2. Gayunpaman, walang huling prime number. Sa seksyong "Para sa Pag-aaral," maaari kang mag-download ng talahanayan ng mga prime number hanggang 997.

Ngunit maraming natural na numero ang pantay na nahahati ng iba pang natural na numero.

• ang bilang na 12 ay nahahati ng 1, ng 2, ng 3, ng 4, ng 6, ng 12;
• Ang 36 ay nahahati ng 1, ng 2, ng 3, ng 4, ng 6, ng 12, ng 18, ng 36.

Ang mga numero kung saan ang numero ay pantay na nahahati (para sa 12 ito ay 1, 2, 3, 4, 6 at 12) ay tinatawag na mga divisors ng numero.

Ang divisor ng isang natural na numero a ay isang natural na numero na naghahati sa ibinigay na bilang na "a" nang walang natitira.

Ang natural na numero na mayroong higit sa dalawang salik ay tinatawag na composite number.

Tandaan na ang mga numero 12 at 36 ay may mga karaniwang divisors. Ito ang mga numero: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ang pinakamalaking divisor ng mga numerong ito ay 12.

Ang karaniwang divisor ng dalawang binigay na numero na "a" at "b" ay ang bilang kung saan ang parehong ibinigay na mga numero na "a" at "b" ay nahahati nang walang natitira.

Pinakamahusay na Common Divisor(GCD) ng dalawang ibinigay na numerong "a" at "b" ay ang pinakamalaking bilang kung saan ang parehong mga numerong "a" at "b" ay nahahati nang walang natitira.

Sa madaling sabi, ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong "a" at "b" ay nakasulat bilang mga sumusunod:

Halimbawa: gcd (12; 36) = 12 .

Ang mga divisors ng mga numero sa talaan ng solusyon ay tinutukoy ng isang malaking titik na "D".

Ang mga numero 7 at 9 ay mayroon lamang isang karaniwang divisor - ang numero 1. Ang mga naturang numero ay tinatawag mga numero ng coprime.

Mga numero ng koprime ay mga natural na numero na mayroon lamang isang karaniwang divisor - ang numero 1. Ang kanilang GCD ay 1.

Paano mahahanap ang pinakadakilang karaniwang divisor

Para mahanap ang gcd ng dalawa o higit pang natural na numero kailangan mo:

• mabulok ang mga divisors ng mga numero sa pangunahing mga kadahilanan;

Maginhawang isinusulat ang mga kalkulasyon gamit ang isang vertical bar. Sa kaliwa ng linya, isulat muna ang dibidendo, sa kanan - ang divisor. Karagdagan sa kaliwang hanay isinulat namin ang mga halaga ng pribado.

Ipaliwanag natin kaagad sa isang halimbawa. I-factorize natin ang mga numerong 28 at 64 sa prime factor.

Salungguhitan ang parehong prime factor sa parehong numero.
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
Nahanap namin ang produkto ng magkatulad na pangunahing mga kadahilanan at isulat ang sagot;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4

Sagot: GCD (28; 64) = 4

Maaari mong ayusin ang lokasyon ng GCD sa dalawang paraan: sa isang column (tulad ng ginawa sa itaas) o "sa isang linya."

Ang unang paraan ng pagsulat ng GCD

Hanapin ang GCD 48 at 36.

GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

Ang pangalawang paraan ng pagsulat ng GCD

Ngayon, isulat natin ang solusyon sa paghahanap ng GCD sa isang linya. Hanapin ang GCD 10 at 15.

Sa aming site ng impormasyon, mahahanap mo rin ang pinakamalaking karaniwang divisor online gamit ang helper program upang suriin ang iyong mga kalkulasyon.

Paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang, mga pamamaraan, mga halimbawa ng paghahanap ng LCM.

Ang materyal na ipinakita sa ibaba ay isang lohikal na pagpapatuloy ng teorya mula sa artikulo sa ilalim ng pamagat na LCM - Least Common Multiple, kahulugan, mga halimbawa, relasyon sa pagitan ng LCM at GCD. Dito natin pag-uusapan paghahanap ng least common multiple (LCM), at bigyang-pansin ang paglutas ng mga halimbawa. Ipakita muna natin kung paano kinakalkula ang LCM ng dalawang numero sa mga tuntunin ng GCD ng mga numerong ito. Susunod, isaalang-alang ang paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang sa pamamagitan ng pag-factor ng mga numero sa prime factor. Pagkatapos nito, tututukan namin ang paghahanap ng LCM ng tatlo o higit pang mga numero, at bibigyan din ng pansin ang pagkalkula ng LCM ng mga negatibong numero.

Pag-navigate sa pahina.

Pagkalkula ng least common multiple (LCM) sa pamamagitan ng gcd

Ang isang paraan upang mahanap ang least common multiple ay batay sa relasyon sa pagitan ng LCM at GCD. Ang umiiral na ugnayan sa pagitan ng LCM at GCD ay nagbibigay-daan sa iyong kalkulahin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang positive integer sa pamamagitan ng kilalang pinakadakilang karaniwang divisor. Ang kaukulang formula ay may anyo LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Isaalang-alang ang mga halimbawa ng paghahanap ng LCM ayon sa formula sa itaas.

Hanapin ang least common multiple ng dalawang numero 126 at 70 .

Sa halimbawang ito a=126 , b=70 . Gamitin natin ang link ng LCM na may GCD, na ipinapahayag ng formula na LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Iyon ay, kailangan muna nating hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong 70 at 126, pagkatapos nito ay maaari nating kalkulahin ang LCM ng mga numerong ito ayon sa nakasulat na formula.

Hanapin ang gcd(126, 70) gamit ang algorithm ni Euclid: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , kaya gcd(126, 70)=14 .

Ngayon nakita namin ang kinakailangang hindi bababa sa karaniwang multiple: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .

Ano ang LCM(68, 34) ?

Dahil ang 68 ay pantay na nahahati ng 34 , kung gayon gcd(68, 34)=34 . Ngayon, kinakalkula namin ang hindi bababa sa karaniwang multiple: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .

Tandaan na ang nakaraang halimbawa ay umaangkop sa sumusunod na panuntunan para sa paghahanap ng LCM para sa mga positibong integer a at b: kung ang numero a ay nahahati sa b , kung gayon ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong ito ay a .

Paghahanap ng LCM sa pamamagitan ng Factoring Numbers into Prime Factors

Ang isa pang paraan upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ay batay sa mga numero ng factoring sa prime factor. Kung gagawin namin ang isang produkto ng lahat ng prime factor ng mga numerong ito, pagkatapos nito ay ibubukod namin mula sa produktong ito ang lahat ng karaniwang prime factor na naroroon sa mga pagpapalawak ng mga numerong ito, ang resultang produkto ay magiging katumbas ng hindi bababa sa common multiple ng mga numerong ito.

Ang inihayag na panuntunan para sa paghahanap ng LCM ay sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay na LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Sa katunayan, ang produkto ng mga numerong a at b ay katumbas ng produkto ng lahat ng mga salik na kasangkot sa pagpapalawak ng mga numerong a at b. Sa turn, ang gcd(a, b) ay katumbas ng produkto ng lahat ng prime factor na sabay-sabay na naroroon sa mga pagpapalawak ng mga numerong a at b (na inilalarawan sa seksyon sa paghahanap ng gcd gamit ang decomposition ng mga numero sa prime factor. ).

Kumuha tayo ng isang halimbawa. Ipaalam sa amin na 75=3 5 5 at 210=2 3 5 7 . Buuin ang produkto ng lahat ng salik ng mga pagpapalawak na ito: 2 3 3 5 5 5 7 . Ngayon ay ibinubukod namin mula sa produktong ito ang lahat ng mga kadahilanan na naroroon kapwa sa pagpapalawak ng numero 75 at sa pagpapalawak ng bilang 210 (ang mga naturang kadahilanan ay 3 at 5), pagkatapos ay ang produkto ay kukuha ng anyo 2 3 5 5 7 . Ang halaga ng produktong ito ay katumbas ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng 75 at 210 , ibig sabihin, LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .

Pagkatapos i-factor ang mga numerong 441 at 700 sa prime factor, hanapin ang least common multiple ng mga numerong ito.

I-decompose natin ang mga numerong 441 at 700 sa prime factors:

Nakukuha natin ang 441=3 3 7 7 at 700=2 2 5 5 7 .

Ngayon, gumawa tayo ng produkto ng lahat ng mga salik na kasangkot sa pagpapalawak ng mga bilang na ito: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Ibukod natin sa produktong ito ang lahat ng mga salik na sabay-sabay na naroroon sa parehong mga pagpapalawak (mayroong isa lamang salik na ito - ito ang numero 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Kaya LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .

LCM(441, 700)= 44 100 .

Ang panuntunan para sa paghahanap ng LCM gamit ang decomposition ng mga numero sa prime factor ay maaaring mabuo nang medyo naiiba. Kung idaragdag natin ang nawawalang mga salik mula sa pagpapalawak ng bilang b sa mga salik mula sa pagpapalawak ng bilang a, kung gayon ang halaga ng resultang produkto ay magiging katumbas ng hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numerong a at b.

Halimbawa, kunin natin ang lahat ng parehong numero 75 at 210, ang kanilang mga pagpapalawak sa prime factor ay ang mga sumusunod: 75=3 5 5 at 210=2 3 5 7 . Sa mga salik 3, 5 at 5 mula sa agnas ng numerong 75, idinaragdag namin ang nawawalang salik 2 at 7 mula sa agnas ng numerong 210, nakukuha namin ang produkto 2 3 5 5 7 , ang halaga nito ay LCM(75). , 210).

Hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng 84 at 648.

Una naming makuha ang agnas ng mga numero 84 at 648 sa pangunahing mga kadahilanan. Kamukha nila ang 84=2 2 3 7 at 648=2 2 2 3 3 3 3 . Sa mga salik 2 , 2 , 3 at 7 mula sa agnas ng numerong 84 idinaragdag namin ang nawawalang salik 2 , 3 , 3 at 3 mula sa agnas ng numerong 648 , nakukuha namin ang produkto 2 2 2 3 3 3 3 7 , na katumbas ng 4 536 . Kaya, ang nais na hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numero 84 at 648 ay 4,536.

Paghahanap ng LCM ng tatlo o higit pang mga numero

Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero ay makikita sa pamamagitan ng sunud-sunod na paghahanap ng LCM ng dalawang numero. Alalahanin ang kaukulang theorem, na nagbibigay ng paraan upang mahanap ang LCM ng tatlo o higit pang mga numero.

Hayaang ibigay ang positive integers a 1 , a 2 , …, a k, ang hindi bababa sa karaniwang multiple m k ng mga numerong ito ay makikita sa sequential kalkulasyon m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2, a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Isaalang-alang ang aplikasyon ng theorem na ito sa halimbawa ng paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang ng apat na numero.

Hanapin ang LCM ng apat na numero 140 , 9 , 54 at 250 .

Una nating mahanap ang m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) . Upang gawin ito, gamit ang Euclidean algorithm, tinutukoy namin ang gcd(140, 9) , mayroon kaming 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , samakatuwid, gcd( 140, 9)=1 , kung saan LCM(140, 9)=140 9: GCD(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Ibig sabihin, m 2 =1 260 .

Ngayon nakita natin ang m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) . Kalkulahin natin ito sa pamamagitan ng gcd(1 260, 54) , na tinutukoy din ng Euclid algorithm: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Pagkatapos gcd(1 260, 54)=18 , kung saan LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Iyon ay, m 3 \u003d 3 780.

Ito ay nananatili upang mahanap ang m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) . Para magawa ito, hanapin natin ang GCD(3 780, 250) gamit ang Euclid algorithm: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Samakatuwid, gcd(3 780, 250)=10 , kaya LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Iyon ay, m 4 \u003d 94 500.

Kaya ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng orihinal na apat na numero ay 94,500.

LCM(140, 9, 54, 250)=94500 .

Sa maraming mga kaso, ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng tatlo o higit pang mga numero ay madaling makita gamit ang mga prime factorization ng mga ibinigay na numero. Sa kasong ito, dapat sundin ang sumusunod na panuntunan. Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng ilang mga numero ay katumbas ng produkto, na binubuo ng mga sumusunod: ang nawawalang mga salik mula sa pagpapalawak ng pangalawang numero ay idinaragdag sa lahat ng mga salik mula sa pagpapalawak ng unang numero, ang nawawalang mga salik mula sa pagpapalawak ng ang ikatlong numero ay idinagdag sa nakuha na mga kadahilanan, at iba pa.

Isaalang-alang ang isang halimbawa ng paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang gamit ang decomposition ng mga numero sa prime factor.

Hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng limang numero 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Una, nakukuha natin ang mga decomposition ng mga numerong ito sa prime factor: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 ay isang prime number, ito ay kasabay ng decomposition nito sa prime factor) at 143=11 13 .

Upang mahanap ang LCM ng mga numerong ito, sa mga salik ng unang numero 84 (sila ay 2 , 2 , 3 at 7) kailangan mong idagdag ang nawawalang mga salik mula sa pagpapalawak ng pangalawang numero 6 . Ang pagpapalawak ng numero 6 ay hindi naglalaman ng mga nawawalang kadahilanan, dahil ang parehong 2 at 3 ay naroroon na sa pagpapalawak ng unang numero 84 . Dagdag pa sa mga salik 2 , 2 , 3 at 7 idinaragdag namin ang nawawalang salik 2 at 2 mula sa pagpapalawak ng ikatlong numero 48 , nakakakuha kami ng isang hanay ng mga salik 2 , 2 , 2 , 2 , 3 at 7 . Hindi na kailangang magdagdag ng mga salik sa set na ito sa susunod na hakbang, dahil ang 7 ay nakapaloob na dito. Sa wakas, sa mga salik 2 , 2 , 2 , 2 , 3 at 7 idinaragdag namin ang nawawalang salik 11 at 13 mula sa pagpapalawak ng bilang na 143 . Nakukuha namin ang produkto 2 2 2 2 3 7 11 13 , na katumbas ng 48 048 .

Samakatuwid, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

Paghahanap ng Pinakamaliit na Karaniwang Multiple ng mga Negatibong Numero

Minsan may mga gawain kung saan kailangan mong hanapin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang mga numero, kung saan negatibo ang isa, marami o lahat ng numero. Sa mga kasong ito, ang lahat ng negatibong numero ay dapat mapalitan ng kanilang kabaligtaran na mga numero, pagkatapos ay ang LCM ng mga positibong numero ay dapat mahanap. Ito ang paraan upang mahanap ang LCM ng mga negatibong numero. Halimbawa, LCM(54, −34)=LCM(54, 34) at LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888) .

Magagawa natin ito dahil ang set ng multiple ng a ay kapareho ng set ng multiple ng −a (a at −a ay magkasalungat na numero). Sa katunayan, hayaan ang b ay ilang maramihang ng a , pagkatapos ay ang b ay mahahati ng a , at ang konsepto ng divisibility ay nagsasaad ng pagkakaroon ng naturang integer q na b=a q . Ngunit ang pagkakapantay-pantay b=(−a)·(−q) ay magiging totoo din, na, sa bisa ng parehong konsepto ng divisibility, ay nangangahulugan na ang b ay nahahati ng −a , ibig sabihin, ang b ay isang multiple ng −a . Ang kabaligtaran na pahayag ay totoo rin: kung ang b ay ilang maramihang ng −a , kung gayon ang b ay isang maramihan din ng a .

Hanapin ang least common multiple ng mga negatibong numero −145 at −45.

Palitan natin ang mga negatibong numero −145 at −45 sa kanilang mga kabaligtaran na numero 145 at 45 . Mayroon kaming LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . Nang matukoy ang gcd(145, 45)=5 (halimbawa, gamit ang Euclid algorithm), kinakalkula namin ang LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 . Kaya, ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga negatibong integer −145 at −45 ay 1,305 .

www.cleversstudents.ru

Patuloy kaming nag-aaral ng division. Sa araling ito, titingnan natin ang mga konsepto tulad ng GCD at NOC.

GCD ay ang pinakamalaking karaniwang divisor.

NOC ay ang least common multiple.

Ang paksa ay medyo boring, ngunit ito ay kinakailangan upang maunawaan ito. Kung walang pag-unawa sa paksang ito, hindi mo magagawang epektibong magtrabaho sa mga fraction, na isang tunay na balakid sa matematika.

Pinakamahusay na Common Divisor

Kahulugan. Pinakamahusay na Common Divisor of Numbers a at b a at b hinati nang walang natitira.

Upang maunawaan nang mabuti ang kahulugang ito, pinapalitan namin sa halip na mga variable a at b anumang dalawang numero, halimbawa, sa halip na isang variable a palitan ang numerong 12, at sa halip na ang variable b numero 9. Ngayon ay subukan nating basahin ang kahulugang ito:

Pinakamahusay na Common Divisor of Numbers 12 at 9 ay ang pinakamalaking bilang kung saan 12 at 9 hinati nang walang natitira.

Malinaw mula sa kahulugan na pinag-uusapan natin ang isang karaniwang divisor ng mga numero 12 at 9, at ang divisor na ito ang pinakamalaki sa lahat ng umiiral na divisor. Dapat matagpuan ang pinakamalaking karaniwang divisor (gcd).

Upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numero, tatlong pamamaraan ang ginagamit. Ang unang pamamaraan ay medyo matagal, ngunit pinapayagan ka nitong maunawaan nang mabuti ang kakanyahan ng paksa at madama ang buong kahulugan nito.

Ang pangalawa at pangatlong pamamaraan ay medyo simple at ginagawang posible upang mabilis na mahanap ang GCD. Isasaalang-alang namin ang lahat ng tatlong pamamaraan. At kung ano ang ilalapat sa pagsasanay - pipiliin mo.

Ang unang paraan ay upang mahanap ang lahat ng posibleng divisors ng dalawang numero at piliin ang pinakamalaki sa kanila. Isaalang-alang natin ang pamamaraang ito sa sumusunod na halimbawa: hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero 12 at 9.

Una, nakita namin ang lahat ng posibleng divisors ng numero 12. Upang gawin ito, hinahati namin ang 12 sa lahat ng divisors sa hanay mula 1 hanggang 12. Kung pinapayagan kami ng divisor na hatiin ang 12 nang walang natitira, pagkatapos ay i-highlight namin ito sa asul at gumawa ng angkop na paliwanag sa mga bracket.

12: 1 = 12
(12 hinati sa 1 na walang natitira, kaya ang 1 ay isang divisor ng 12)

12: 2 = 6
(12 hinati sa 2 nang walang natitira, kaya ang 2 ay isang divisor ng 12)

12: 3 = 4
(12 na hinati ng 3 nang walang natitira, kaya ang 3 ay isang divisor ng 12)

12: 4 = 3
(12 na hinati sa 4 na walang natitira, kaya ang 4 ay isang divisor ng 12)

12:5 = 2 (2 natitira)
(Ang 12 ay hindi nahahati sa 5 nang walang natitira, kaya ang 5 ay hindi isang divisor ng 12)

12: 6 = 2
(12 hinati sa 6 na walang natitira, kaya ang 6 ay isang divisor ng 12)

12:7 = 1 (5 ang natitira)
(Ang 12 ay hindi nahahati sa 7 nang walang nalalabi, kaya ang 7 ay hindi isang divisor ng 12)

12: 8 = 1 (4 ang natitira)
(Ang 12 ay hindi nahahati sa 8 nang walang natitira, kaya ang 8 ay hindi isang divisor ng 12)

12:9 = 1 (3 natitira)
(Ang 12 ay hindi nahahati sa 9 nang walang nalalabi, kaya ang 9 ay hindi isang divisor ng 12)

12:10 = 1 (2 natitira)
(Ang 12 ay hindi nahahati sa 10 nang walang natitira, kaya ang 10 ay hindi isang divisor ng 12)

12:11 = 1 (1 natitira)
(Ang 12 ay hindi nahahati sa 11 nang walang natitira, kaya ang 11 ay hindi isang divisor ng 12)

12: 12 = 1
(12 hinati sa 12 na walang natitira, kaya ang 12 ay isang divisor ng 12)

Ngayon hanapin natin ang mga divisors ng numero 9. Upang gawin ito, suriin ang lahat ng divisors mula 1 hanggang 9

9: 1 = 9
(9 na hinati sa 1 na walang natitira, kaya ang 1 ay isang divisor ng 9)

9: 2 = 4 (1 ang natitira)
(Ang 9 ay hindi nahahati sa 2 nang walang natitira, kaya ang 2 ay hindi isang divisor ng 9)

9: 3 = 3
(9 na hinati ng 3 na walang natitira, kaya ang 3 ay isang divisor ng 9)

9: 4 = 2 (1 ang natitira)
(Ang 9 ay hindi nahahati sa 4 nang walang natitira, kaya ang 4 ay hindi isang divisor ng 9)

9:5 = 1 (4 ang natitira)
(Ang 9 ay hindi nahahati sa 5 nang walang natitira, kaya ang 5 ay hindi isang divisor ng 9)

9:6 = 1 (3 natitira)
(Ang 9 ay hindi hinati sa 6 nang walang natitira, kaya ang 6 ay hindi isang divisor ng 9)

9:7 = 1 (2 natitira)
(Ang 9 ay hindi nahahati sa 7 nang walang natitira, kaya ang 7 ay hindi isang divisor ng 9)

9:8 = 1 (1 ang natitira)
(Ang 9 ay hindi nahahati sa 8 nang walang nalalabi, kaya ang 8 ay hindi isang divisor ng 9)

9: 9 = 1
(9 na hinati ng 9 na walang natitira, kaya ang 9 ay isang divisor ng 9)

Ngayon isulat ang mga divisors ng parehong numero. Ang mga numerong naka-highlight sa asul ay ang mga divisors. Isulat natin ang mga ito:

Ang pagkakaroon ng nakasulat na mga divisors, maaari mong agad na matukoy kung alin ang pinakamalaki at pinakakaraniwan.

Sa pamamagitan ng kahulugan, ang pinakamalaking karaniwang divisor ng 12 at 9 ay ang bilang kung saan ang 12 at 9 ay pantay na nahahati. Ang pinakamalaki at karaniwang divisor ng mga numero 12 at 9 ay ang numero 3

Parehong ang numero 12 at ang numero 9 ay nahahati sa 3 nang walang natitira:

Kaya gcd (12 at 9) = 3

Ang pangalawang paraan upang mahanap ang GCD

Ngayon isaalang-alang ang pangalawang paraan upang mahanap ang pinakadakilang karaniwang divisor. Ang kakanyahan ng pamamaraang ito ay upang mabulok ang parehong mga numero sa pangunahing mga kadahilanan at i-multiply ang mga karaniwan.

Halimbawa 1. Hanapin ang GCD ng mga numero 24 at 18

Una, i-factor natin ang parehong numero sa prime factor:

Ngayon pinarami natin ang kanilang karaniwang mga kadahilanan. Upang hindi malito, maaaring salungguhitan ang mga karaniwang salik.

Tinitingnan natin ang agnas ng numerong 24. Ang unang salik nito ay 2. Hinahanap natin ang parehong salik sa pagkabulok ng numerong 18 at makikita na naroroon din ito. Sinalungguhitan namin ang dalawa:

Muli nating tinitingnan ang agnas ng numerong 24. Ang pangalawang salik nito ay 2 din. Hinahanap natin ang parehong salik sa pagkabulok ng numero 18 at nakita na wala ito sa pangalawang pagkakataon. Tapos wala kaming highlight.

Ang susunod na dalawa sa pagpapalawak ng numero 24 ay nawawala din sa pagpapalawak ng numero 18.

Dumaan tayo sa huling salik sa pagkabulok ng numero 24. Ito ang salik 3. Hinahanap natin ang parehong salik sa pagkabulok ng numero 18 at nakita natin na naroon din ito. Binibigyang-diin namin ang parehong tatlo:

Kaya, ang mga karaniwang salik ng mga numero 24 at 18 ay ang mga salik 2 at 3. Upang makuha ang GCD, dapat na i-multiply ang mga salik na ito:

Kaya gcd (24 at 18) = 6

Ang ikatlong paraan upang mahanap ang GCD

Ngayon isaalang-alang ang ikatlong paraan upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor. Ang kakanyahan ng pamamaraang ito ay nakasalalay sa katotohanan na ang mga numero na hahanapin para sa pinakamalaking karaniwang divisor ay nabubulok sa mga pangunahing kadahilanan. Pagkatapos, mula sa agnas ng unang numero, ang mga salik na hindi kasama sa agnas ng pangalawang numero ay tatanggalin. Ang natitirang mga numero sa unang pagpapalawak ay pinarami at nakakakuha ng GCD.

Halimbawa, hanapin natin ang GCD para sa mga numerong 28 at 16 sa ganitong paraan. Una sa lahat, nabubulok namin ang mga numerong ito sa mga pangunahing kadahilanan:

Nakakuha kami ng dalawang pagpapalawak: at

Ngayon, mula sa pagpapalawak ng unang numero, tinanggal namin ang mga kadahilanan na hindi kasama sa pagpapalawak ng pangalawang numero. Ang pagpapalawak ng pangalawang numero ay hindi kasama ang pito. Tatanggalin namin ito mula sa unang pagpapalawak:

Ngayon pinarami namin ang natitirang mga kadahilanan at makuha ang GCD:

Ang numero 4 ay ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero 28 at 16. Pareho sa mga numerong ito ay nahahati ng 4 nang walang natitira:

Halimbawa 2 Hanapin ang GCD ng mga numero 100 at 40

Pagsasaalang-alang ng bilang na 100

Pag-factor out ng numero 40

Nakakuha kami ng dalawang pagpapalawak:

Ngayon, mula sa pagpapalawak ng unang numero, tinatanggal namin ang mga kadahilanan na hindi kasama sa pagpapalawak ng pangalawang numero. Ang pagpapalawak ng pangalawang numero ay hindi kasama ang isa lima (mayroong isa lamang lima). Tinatanggal namin ito mula sa unang pagkabulok

I-multiply ang natitirang mga numero:

Nakuha namin ang sagot na 20. Kaya't ang numero 20 ay ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero 100 at 40. Ang dalawang numerong ito ay nahahati ng 20 nang walang natitira:

GCD (100 at 40) = 20.

Halimbawa 3 Hanapin ang gcd ng mga numerong 72 at 128

Pag-factor out ng numero 72

Pag-factoring out sa bilang na 128

2×2×2×2×2×2×2

Ngayon, mula sa pagpapalawak ng unang numero, tinatanggal namin ang mga kadahilanan na hindi kasama sa pagpapalawak ng pangalawang numero. Ang pagpapalawak ng pangalawang numero ay hindi kasama ang dalawang triplets (wala talaga). Tinatanggal namin ang mga ito mula sa unang pagpapalawak:

Nakuha namin ang sagot na 8. Kaya ang numero 8 ay ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong 72 at 128. Ang dalawang numerong ito ay nahahati sa 8 nang walang natitira:

GCD (72 at 128) = 8

Paghahanap ng GCD para sa Maramihang Numero

Ang pinakamalaking karaniwang divisor ay matatagpuan para sa ilang mga numero, at hindi lamang para sa dalawa. Para dito, ang mga numerong mahahanap para sa pinakamalaking karaniwang divisor ay nabubulok sa prime factor, pagkatapos ay ang produkto ng karaniwang prime factor ng mga numerong ito ay makikita.

Halimbawa, hanapin natin ang GCD para sa mga numero 18, 24 at 36

Pag-factor ng numero 18

Pag-factor ng numero 24

Pag-factoring ng numero 36

Nakakuha kami ng tatlong pagpapalawak:

Ngayon pipiliin at salungguhitan namin ang mga karaniwang salik sa mga numerong ito. Ang mga karaniwang salik ay dapat isama sa lahat ng tatlong numero:

Nakikita namin na ang mga karaniwang salik para sa mga numero 18, 24 at 36 ay salik 2 at 3. Sa pamamagitan ng pagpaparami sa mga salik na ito, nakukuha namin ang GCD na aming hinahanap:

Nakuha namin ang sagot na 6. Kaya't ang numero 6 ay ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero 18, 24 at 36. Ang tatlong numerong ito ay nahahati ng 6 nang walang natitira:

GCD (18, 24 at 36) = 6

Halimbawa 2 Maghanap ng gcd para sa mga numero 12, 24, 36 at 42

I-factorize natin ang bawat numero. Pagkatapos ay makikita natin ang produkto ng mga karaniwang salik ng mga numerong ito.

Pag-factor ng numero 12

Pag-factor ng numero 42

Nakakuha kami ng apat na pagpapalawak:

Ngayon pipiliin at salungguhitan namin ang mga karaniwang salik sa mga numerong ito. Ang mga karaniwang salik ay dapat isama sa lahat ng apat na numero:

Nakikita namin na ang mga karaniwang salik para sa mga numerong 12, 24, 36, at 42 ay ang mga salik 2 at 3. Sa pamamagitan ng pag-multiply sa mga salik na ito, nakukuha namin ang GCD na aming hinahanap:

Nakuha namin ang sagot na 6. Kaya ang numero 6 ay ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero 12, 24, 36 at 42. Ang mga numerong ito ay nahahati ng 6 nang walang natitira:

gcd(12, 24, 36 at 42) = 6

Mula sa nakaraang aralin, alam natin na kung ang ilang numero ay hinati sa isa pang walang natitira, ito ay tinatawag na multiple ng numerong ito.

Lumalabas na ang isang maramihan ay maaaring maging karaniwan sa ilang mga numero. At ngayon kami ay magiging interesado sa isang maramihang ng dalawang numero, habang ito ay dapat na kasing liit hangga't maaari.

Kahulugan. Least common multiple (LCM) ng mga numero a at b- a at b a at numero b.

Ang kahulugan ay naglalaman ng dalawang variable a at b. Palitan natin ang alinmang dalawang numero para sa mga variable na ito. Halimbawa, sa halip na isang variable a palitan ang numero 9, at sa halip na ang variable b palitan natin ang bilang na 12. Ngayon ay subukan nating basahin ang kahulugan:

Least common multiple (LCM) ng mga numero 9 at 12 - ay ang pinakamaliit na bilang na isang multiple ng 9 at 12 . Sa madaling salita, ito ay isang maliit na bilang na nahahati nang walang nalalabi sa bilang 9 at sa numero 12 .

Mula sa kahulugan, malinaw na ang LCM ay ang pinakamaliit na bilang na nahahati sa 9 at 12 nang walang natitira. Ang LCM na ito ay kinakailangang matagpuan.

Mayroong dalawang paraan upang mahanap ang least common multiple (LCM). Ang unang paraan ay maaari mong isulat ang mga unang multiple ng dalawang numero, at pagkatapos ay pumili sa mga multiple na ito ng isang numero na magiging karaniwan sa parehong mga numero at maliit. Ilapat natin ang pamamaraang ito.

Una sa lahat, hanapin natin ang unang multiple para sa numero 9. Upang mahanap ang multiple para sa 9, kailangan mong i-multiply ang siyam na ito sa mga numero mula 1 hanggang 9. Ang mga sagot na makukuha mo ay magiging multiple ng numero 9. Kaya , simulan na natin. Ang mga maramihan ay iha-highlight sa pula:

Ngayon ay nakahanap kami ng mga multiple para sa numerong 12. Upang gawin ito, i-multiply namin ang 12 sa lahat ng mga numerong 1 hanggang 12.