Ang dami ng isang tetrahedron.Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang ilang mga gawain sa mga pyramids. Tulad ng alam mo, ang tetrahedron ay isa ring pyramid. O kahulugan ng tetrahedron:

Ang isang tetrahedron ay ang pinakasimpleng polyhedron, mayroon itong 4 na mukha, na mga tatsulok. Ang tetrahedron ay may 4 na vertex, 3 gilid ay nagtatagpo sa bawat vertex, at mayroong 6 na gilid sa kabuuan. Ang isang tetrahedron na ang mga mukha ay equilateral triangles ay tinatawag na regular.

Ang dami ng pyramid (at samakatuwid ay ang tetrahedron):

S ay ang lugar ng base ng pyramid h - ang taas ng pyramid

Kalkulahin natin ang volume ng isang regular na tetrahedron na may gilid na katumbas ng a.

Kung gayon ang lugar ng bawat mukha ay magiging pantay (sa kasong ito, ang base ng ABC):

Kalkulahin ang taas ng SO. Isaalang-alang ang isang right triangle SOC:

* Alam na ang mga bisector ng isang tatsulok ay nahahati sa intersection point sa ratio na 1 hanggang 2.

Kalkulahin natin ang CM. Ayon sa Pythagorean theorem:

Kaya naman:

Kaya, ang dami ng tetrahedron ay magiging katumbas ng:

Ang kahulugan ng mga gawain na isinasaalang-alang sa ibaba ay ang mga sumusunod - lahat ng mga gilid ng pyramid, o ang taas lamang, ay tumataas nang maraming beses. Malinaw na pinapataas din nito ang surface area nito. Susunod, kailangan mong kalkulahin kung gaano karaming beses naganap ang pagtaas na ito.

1. Kung tumataas lamang ang taas ng pyramid at may tanong tungkol sa pagpapalit ng volume, malinaw na tumataas ito sa direktang proporsyon sa paunang dami ng pyramid, dahil linear ang dependence. Sa madaling salita, ang lakas ng tunog ay tumataas nang kapareho ng pagtaas ng taas.

2. Kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa pagtaas ng lahat ng mga gilid ng pyramid sa isang tiyak na bilang ng mga beses, narito ito ay kinakailangan upang maunawaan na ang resulta ay isang pyramid na katulad ng orihinal, at ang mga mukha nito ay katulad din sa kaukulang mga mukha. ng resultang pyramid.

Papayagan ko ang aking sarili, sa sandaling ito, sa isyu ng pagkakatulad ng mga pigura at katawan, na magmungkahi na bumaling ka sa teoryang itinakda sa aklat-aralin. Sa malapit na hinaharap tiyak na mag-post ako ng isang hiwalay na artikulo sa paksang ito.

Tulad ng para sa ipinakita na pangkat ng mga gawain, tandaan ko na gamit ang mga katangian ng pagkakatulad, ang mga naturang gawain ay nalutas halos sa isang hakbang.

Narito ang kailangan mong tandaan at malaman:

Iyon ay, kung dagdagan natin ang lahat ng mga gilid ng pyramid ng k beses, kung gayon ang ratio ng lugar ng alinman sa mga mukha nito sa lugar ng orihinal na mukha na naaayon dito ay magiging katumbas ng k 2 . Naturally, ang ratio ng kabuuang mga lugar sa ibabaw ng naturang mga pyramids ay magiging katumbas din ng k 2 .

Pati na rin ang:

Iyon ay, kung dagdagan natin ang lahat ng mga gilid ng pyramid ng k beses, kung gayon ang ratio ng dami ng nagresultang pyramid sa dami ng orihinal ay magiging katumbas ng k 3 . Isaalang-alang ang mga gawain:

Ilang beses tataas ang volume ng isang regular na tetrahedron kung ang lahat ng mga gilid nito ay tataas ng labing anim na beses?

Ang tetrahedron ay isang pyramid na ang lahat ng mga mukha ay equilateral triangles.

Ang pyramid na ito at ang pyramid na nakuha sa pamamagitan ng pagtaas ng lahat ng mga gilid nito ng 16 na beses ay magkatulad, ang koepisyent ng pagkakapareho ay magiging katumbas ng 16, ayon sa pagkakabanggit.

Ang mga volume ng magkatulad na katawan ay nauugnay bilang ang kubo ng koepisyent ng pagkakatulad.Iyon ay, tulad ng nabanggit na, ang dami ng nagresultang pyramid ay katumbas ng produkto ng kubo ng koepisyent ng pagkakapareho at ang dami ng orihinal na pyramid:

Tukuyin kung gaano karaming beses tataas ang volume, hanapin ang ratio ng mga volume:

Kaya, kung ang lahat ng mga gilid ay nadagdagan ng 16 na beses, ang dami ay tataas ng 4096 na beses.

* Maaari mong lutasin ang problema sa ibang paraan. Italaga ang gilid ng tetrahedron bilang a, pagkatapos ay ipahayag ang taas nito. Pagkatapos nito, tukuyin ang mga volume ng mga pyramids gamit ang formula, at pagkatapos ay hanapin ang ratio ng mga nagresultang volume. Ngunit ang gayong landas ay magiging hindi makatwirang mahaba at mangangailangan ng maraming beses na mas maraming oras upang malutas.

Sagot: 4096

Ilang beses tataas ang volume ng pyramid kung tataas ang taas nito ng labindalawang beses?

Ang dami ng isang pyramid ay katumbas ng isang katlo ng produkto ng lugar ng base at taas:

S- base na lugar

h- ang taas ng pyramid

Sa pagtaas ng taas ng 12 beses, ang volume ng pyramid ay tataas din ng 12 beses (ito ay isang straight-line na relasyon):

Sagot: 12

Ilang beses tataas ang surface area ng isang regular na tetrahedron kung ang lahat ng gilid nito ay tataas ng limang beses?

Tandaan na ang ibabaw na lugar ng isang tetrahedron ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng apat na mukha nito, na mga regular na tatsulok.

Unang paraan:

Tukuyin natin ang ibabaw na lugar ng orihinal na tetrahedron at ang pinalaki, at pagkatapos ay hanapin ang ratio ng mga lugar.

Hayaang maging ang gilid ng tetrahedron a, kung gayon ang lugar ng mukha ay magiging katumbas ng:

*Gumamit ng tatsulok.

Kaya ang ibabaw na lugar ng orihinal na tetrahedron ay magiging katumbas ng:

Kung ang mga gilid ng tetrahedron ay nadagdagan ng 5 beses, ang ibabaw na lugar ay magbabago tulad ng sumusunod:

Ang ratio ng lugar ay:

Kaya, kung ang mga gilid ng isang tetrahedron ay nadagdagan ng limang beses, ang ibabaw nito ay tataas ng 25 beses.

Pangalawang paraan:

Ito ay kilala na sa isang pagtaas (pagbaba) sa mga linear na sukat ng isang figure sa pamamagitan ng k beses, ang isang figure na katulad nito ay nakuha, ang kanilang mga lugar ay nauugnay bilang parisukat ng koepisyent ng pagkakapareho, iyon ay:

k ay ang koepisyent ng pagkakatulad

Sa suliraning ito k=5.

Iyon ay, gamit ang pagkakatulad na pag-aari, ang problema ay malulutas nang pasalita:

*Ang lugar ng bawat mukha ng pyramid ay tataas ng 25 beses, na nangangahulugan na ang surface area ng buong pyramid ay tataas din ng 25 beses.

Sagot: 25

27172. Ilang beses tataas ang surface area ng pyramid kung dodoble ang lahat ng gilid nito?

Ang gawaing ito ay hindi naiiba sa nauna. Hindi mahalaga kung tetrahedron, pyramid, kubo, parallelepiped, o ibang polyhedron ang pinag-uusapan natin. Kung sinabi na ang lahat ng mga gilid ay nadagdagan ng parehong bilang ng mga beses, kung gayon ang mga magreresultang mukha ng "bagong" katawan ay magiging katulad ng kaukulang mga mukha ng orihinal na katawan. At nangangahulugan ito na ang pagtaas sa lugar ng ibabaw ay magaganap sa k 2 beses (kung saan ang k ay ang koepisyent ng pagkakatulad).

USE test sa matematika.

Demo #8.

Paglutas ng pinakamahirap na gawain ng pangkat B.

SA 3. Ang paralelogram at isang parihaba ay may magkaparehong panig. Hanapin ang acute angle ng parallelogram kung ang lugar nito ay kalahati ng area ng rectangle. Ibigay ang iyong sagot sa antas.

Desisyon.

Parallelogram area formula:

S= a . b. sinα, saan a, b ay ang mga gilid ng paralelogram, ang sin α ay ang anggulo sa pagitan nila.

Pormula ng parihaba na lugar:

S= a . b, saan a, b- ang mga gilid ng parihaba.

1) Ang lugar ng isang parihaba ay dalawang beses sa lugar ng isang paralelogram kung ang kanilang mga panig ay pantay. I.e:

a . b = 2 (a . b. sinα).

2) Kalkulahin ang sine ng anggulo α:

a . b
sinα = ———— = 1/2.
2(a . b)

3) Alalahanin ang bilog ng numero: kung ang sine ng isang anggulo ay 1/2, kung gayon ang anggulong ito mismo ay 30 °. Kaya nalutas ang gawain.

Sagot: 30.

SA 10 O'CLOCK. Mayroong 56 na atleta ang kalahok sa kampeonato ng gymnastics: 27 mula sa Russia, 22 mula sa USA, at ang iba ay mula sa China. Ang pagkakasunud-sunod kung saan ang mga gymnast ay gumaganap ay tinutukoy ng lot. Hanapin ang posibilidad na ang atleta na unang lumaban ay mula sa China.

Desisyon.

7 Chinese gymnast ang lumahok sa championship (56 - 27 - 22 = 7).

Nangangahulugan ito na ang posibilidad na ang babaeng Tsino ang unang magsalita ay 7 sa 56. Binubuo namin ang proporsyon na ito at isinasalin ito sa isang decimal na bahagi, na magiging sagot:

7/56 = 0,125.

Sagot: 0,125.

SA 11. Gaano karaming beses tataas ang volume ng isang regular na tetrahedron kung ang lahat ng mga gilid nito ay tataas ng walong beses?

Desisyon.

Formula ng dami ng Tetrahedron:

V = √2/12. a 3, saan a ay ang haba ng gilid ng tetrahedron.

Nakikita namin na ang dami ng isang tetrahedron ay nakasalalay lamang sa haba ng gilid nito. Iyon ay, kung ihahambing natin ang dalawang tetrahedra ng iba't ibang laki, ito ay lumalabas: kung gaano karaming beses pa a 3 ng isang tetrahedron kumpara sa isa pa, ang dami nito ay parehong bilang ng beses na mas malaki. Kaya ang problema ay madaling malutas.

Hayaan a= 1. Pagkatapos ay isang 3 = 1.

Dagdagan natin ang haba ng gilid ng 8 beses - ngayon hayaan a= 8. Tingnan natin kung ano ang mangyayari sa kasong ito:

8 3 = 512.

Konklusyon: na may pagtaas sa gilid ng isang tetrahedron ng 8 beses, ang dami nito ay tataas ng 512 beses.

Sagot: 512.

SA 12. Ang pagtitiwala sa dami ng demand q(mga yunit bawat buwan) para sa mga produkto ng isang monopolyong negosyo mula sa presyo p(libong rubles) ay ibinibigay ng formula q= 50−5p. Kita ng kumpanya para sa buwan r(libong rubles) ay kinakalkula ng formula r(p) = pq. Tukuyin ang pinakamataas na presyo p, kung saan ang buwanang kita r(p) ay aabot sa 120 libong rubles. Ibigay ang iyong sagot sa libu-libong rubles.

Desisyon.

Una, isulat natin ang nalalaman natin mula sa problema:

r(p) = 120,

q= 50−5p.

Sa pormula ng kita r(p) = pq pinapalitan namin ang dalawang halagang ito, gumawa ng mga pagbawas at kumuha ng quadratic equation:

p(50−5p) = 120,

50p - 5p 2 = 120,

5p 2 + 50p = 120,

5p 2 + 50p - 120 = 0,

5p 2 - 50p + 120 = 0,

p 2 - 10p + 24 = 0.

Ang paglutas ng quadratic equation, makuha natin ang dalawang ugat nito:

p 1 = 4, p 2 = 6.

Kailangan nating matukoy ang pinakamataas na presyo - iyon ay, mula sa dalawang halaga p piliin ang pangalawa: 6 (libong rubles).

Sagot: 6.

B13. Sa pamamagitan ng dagat, dalawang tuyong barkong kargamento ang sumusunod sa magkatulad na mga kurso sa isang direksyon: ang una ay 120 metro ang haba, ang pangalawa ay 80 metro ang haba. Una, ang pangalawang bulk carrier ay nahuhuli sa una, at sa ilang sandali, ang distansya mula sa popa ng unang bulk carrier hanggang sa busog ng pangalawa ay 400 metro. 12 minuto pagkatapos nito, ang unang bulk carrier ay nahuhuli sa pangalawa upang ang distansya mula sa popa ng pangalawang bulk carrier hanggang sa busog ng una ay 600 metro. Sa ilang kilometro bawat oras ang bilis ng unang cargo ship ay mas mababa kaysa sa bilis ng pangalawa?

Desisyon.

Mahalagang maunawaan: ang una ay hindi tumayo, parehong lumipat. Kinakailangang isipin ang dalawang tuyong barko ng kargamento na gumagalaw upang hindi magkamali o magsagawa ng mga hindi kinakailangang aksyon, na hahantong din sa isang hindi tamang sagot.

1) Kaya, ang pangalawang tuyong barko ng kargamento ay gumalaw nang mas mabilis at sa loob ng 12 minuto ay nalampasan ang unang tuyong barko ng kargamento ng 600 metro, habang nilalampasan ang lag na 400 metro, at ang haba ng unang tuyong barko ng kargamento, at isang distansya na katumbas ng sarili nitong haba. Bilang resulta, lumipat siya kaugnay sa unang dry cargo ship sa kabuuan ng lahat ng mga halagang ito:

80 + 400 + 120 + 600 = 1200 (m).

12 min - 1200 m

60 min - X m.

Mula rito:

X= 60 . 1200: 12 = 6000 m o 6 km.

Kaya, ang bilis ng pangalawang bulk carrier ay 6 km/h higit pa kaysa sa bilis ng una.

Nalutas ang problema.

Sagot: 6.

Kamusta mahal na mga kaibigan! Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang ilang mga problema kung saan pinag-uusapan natin ang dami ng isang kono. Sa huling artikulo, mayroon kaming ilang mga gawain. Ang kakanyahan ay simple - mayroong isang kondisyon para sa pagbawas (pagtaas) ng taas ng kono o radius sa isang tiyak. Ang tanong ay kung paano nagbago ang volume.Muli, ang formula para sa dami ng isang kono:

Una, isaalang-alang ang problema, at pagkatapos ay magtakda ng ilang rekomendasyon para sa solusyon.

27094. Ilang beses bababa ang volume ng kono kung babawasan ng 3 beses ang taas nito?

Malinaw, kung babawasan natin ang taas ng factor na tatlo, bababa din ang volume ng factor ng tatlo (straight-line ang relasyon). Sa pormal, maaari itong isulat bilang mga sumusunod:

Sagot: 3

27095. Ilang beses tataas ang volume ng isang kono kung ang base radius nito ay tataas ng 1.5 beses?

Dagdagan natin ang radius ng 1.5 beses:

Ang volume ay tataas ng 2.25 beses.

Sagot: 2.25

* Ibig sabihin, maaari nating tapusin:

Kung ang radius ng base ng kono ay binago (nadagdagan o nabawasan) ng n beses, ang dami nito ay tataas o bababa ng n 2 beses, ayon sa pagkakabanggit. Tingnan ang pormal na entry:

Magtakda tayo ng ganoong gawain.Paano magbabago ang volume ng isang kono kung ang taas nito ay tataas ng 10 beses at ang radius ay nababawasan ng 4 na beses.

Ang dami ng kono ay:

Dagdagan ang taas ng 10 at bawasan ang radius ng 4:

Ang halaga ng 0.625 ay nagpapakita na ang volume ay bababa. Iyon ay, ang dami ng resultang kono ay magiging 0.625 ng dami ng orihinal na kono.

Ang pagbabagong ito ay maaari ding ipahayag bilang mga sumusunod.

Hatiin ang volume ng orihinal na kono sa dami ng resultang kono at tukuyin kung gaano karaming beses ang pagbaba ay magaganap:

Iyon ay, ang dami ng kono ay bababa ng 1.6 beses.

Masasabi natin ito - ang dami ng nagresultang kono ay 1.6 mas mababa kaysa sa orihinal.

Maliit na buod!

Tulad ng nakikita mo, ang mga gawain ay napaka-simple. Ang kakanyahan ng proseso ng solusyon ay "bawasan" ang formula para sa dami ng nagresultang kono sa sumusunod na anyo:

*Iyon ay, upang ang nagresultang dami ay ipinahayag sa mga tuntunin ng dami ng orihinal na kono.

Siyempre, kung pinag-uusapan lamang natin ang tungkol sa pagbabago ng taas, kung gayon ang gayong problema ay maaaring malutas nang pasalita (direktang relasyon).

Ang pangalawang problema (kung saan nagbabago lamang ang radius) na may karanasan ay maaari ding malutas sa pasalita, ngunit mas mahusay na isulat ang proseso ng pagkalkula nang detalyado.

Ang mga gawain kung saan pinag-uusapan natin ang pagbabago ng parehong mga halaga sa pagsusulit ay hindi inaasahan, ngunit maging handa kung sakali.

Sa hinaharap, tiyak na isasaalang-alang namin ang isang pamamaraan na napaka-maginhawang gamitin kapag nilulutas ang mga naturang gawain. Pag-uusapan natin hindi lamang ang tungkol sa mga cones, kundi pati na rin ang tungkol sa iba pang mga katawan, huwag palampasin ito, mag-subscribe sa newsletter.

Iyon lang. Good luck sa iyo!

Taos-puso, Alexander Krutitskikh.

P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo ang tungkol sa site sa mga social network.