Ano ang isang lugar?

Lugar - isang katangian ng isang closed geometric figure (bilog, parisukat, tatsulok, atbp.), Na nagpapakita ng laki nito. Ang lugar ay sinusukat sa square centimeters, meters, atbp. Tinutukoy ng liham S(parisukat).

Paano mahahanap ang lugar ng isang tatsulok?

S= a h

saan a- haba ng base h ay ang taas ng tatsulok na iginuhit sa base.

Bukod dito, ang base ay hindi kailangang nasa ibaba. Gagawin din yan.

Kung tatsulok mahina ang ulo, pagkatapos ay bumaba ang taas sa pagpapatuloy ng base:

Kung tatsulok hugis-parihaba, kung gayon ang base at taas ay ang mga binti nito:

2. Ang isa pang formula, na hindi gaanong kapaki-pakinabang, ngunit sa ilang kadahilanan ay palaging nakalimutan:

S= a b sinα

saan a at b dalawang gilid ng isang tatsulok sinα ay ang sine ng anggulo sa pagitan ng mga panig na ito.

Ang pangunahing kondisyon ay ang anggulo ay kinuha sa pagitan ng dalawang kilalang panig.

3. Ang formula para sa lugar sa tatlong panig (pormula ng Heron):

S=

saan a, b at kasama ay ang mga gilid ng tatsulok, at R - kalahating gilid. p = (a+b+c)/2.

4. Ang formula para sa lugar ng isang tatsulok sa mga tuntunin ng radius ng circumscribed na bilog:

S=

saan a, b at kasama ay ang mga gilid ng tatsulok, at R- radius ng circumscribed circle.

5. Ang formula para sa lugar ng isang tatsulok sa mga tuntunin ng radius ng inscribed na bilog:

S= p r

saan R - semiperimeter ng isang tatsulok, at r- radius ng inscribed na bilog.

Paano mahahanap ang lugar ng isang parihaba?

1. Ang lugar ng isang rektanggulo ay medyo simple:

S=a b

Walang trick.

Paano mahahanap ang lugar ng isang parisukat?

1. Dahil ang isang parisukat ay isang parihaba na ang lahat ng panig ay pantay, ang parehong formula ay nalalapat dito:

S=a a = a2

2. Gayundin, ang lugar ng isang parisukat ay matatagpuan sa pamamagitan ng dayagonal nito:

S= d 2

Paano mahahanap ang lugar ng isang paralelogram?

1. Ang lugar ng isang paralelogram ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

S=a h

Ito ay dahil sa ang katunayan na kung putulin mo ang isang right-angled na tatsulok mula dito sa kanan at ilakip ito sa kaliwa, makakakuha ka ng isang parihaba:

2. Gayundin, ang lugar ng isang paralelogram ay matatagpuan sa pamamagitan ng anggulo sa pagitan ng dalawang panig:

S=a b sinα

Paano mahahanap ang lugar ng isang rhombus?

Ang rhombus ay mahalagang paralelogram kung saan ang lahat ng panig ay pantay. Samakatuwid, ang parehong mga formula ng lugar ay nalalapat dito.

1. Lugar ng rhombus sa mga tuntunin ng taas:

S=a h

Upang malutas ang mga problema sa geometry, kailangan mong malaman ang mga formula - tulad ng lugar ng isang tatsulok o ang lugar ng isang parallelogram - pati na rin ang mga simpleng trick, na pag-uusapan natin.

Una, alamin natin ang mga formula para sa mga lugar ng mga figure. Espesyal na nakolekta namin ang mga ito sa isang maginhawang mesa. Mag-print, matuto at mag-apply!

Siyempre, hindi lahat ng mga formula ng geometry ay nasa aming talahanayan. Halimbawa, upang malutas ang mga problema sa geometry at stereometry sa ikalawang bahagi ng pagsusulit sa profile sa matematika, ginagamit din ang iba pang mga formula para sa lugar ng isang tatsulok. Tiyak na sasabihin namin sa iyo ang tungkol sa kanila.

Ngunit paano kung kailangan mong hanapin hindi ang lugar ng isang trapezoid o tatsulok, ngunit ang lugar ng ilang kumplikadong pigura? May mga unibersal na paraan! Ipapakita namin sa kanila ang paggamit ng mga halimbawa mula sa FIPI task bank.

1. Paano mahahanap ang lugar ng isang hindi karaniwang pigura? Halimbawa, isang arbitrary quadrilateral? Isang simpleng pamamaraan - hatiin natin ang figure na ito sa mga alam nating lahat, at hanapin ang lugar nito - bilang kabuuan ng mga lugar ng mga figure na ito.

Hatiin ang quadrilateral na ito sa pamamagitan ng pahalang na linya sa dalawang tatsulok na may karaniwang base na katumbas ng . Ang taas ng mga tatsulok na ito ay katumbas ng at . Kung gayon ang lugar ng quadrilateral ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng dalawang tatsulok: .

Sagot: .

2. Sa ilang mga kaso, ang lugar ng figure ay maaaring katawanin bilang pagkakaiba ng anumang mga lugar.

Ito ay hindi napakadaling kalkulahin kung ano ang base at taas sa tatsulok na ito ay katumbas ng! Ngunit maaari nating sabihin na ang lugar nito ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga lugar ng isang parisukat na may gilid at tatlong tatsulok na may tamang anggulo. Nakikita mo sila sa larawan? Nakukuha namin ang: .

Sagot: .

3. Minsan sa isang gawain ay kinakailangan upang mahanap ang lugar hindi ng buong figure, ngunit ng bahagi nito. Karaniwang pinag-uusapan natin ang lugar ng isang sektor - bahagi ng isang bilog. Hanapin ang lugar ng isang sektor ng isang bilog ng radius , na ang haba ng arko ay katumbas ng .

Sa larawang ito makikita natin ang bahagi ng isang bilog. Ang lugar ng buong bilog ay katumbas ng , dahil . Ito ay nananatiling alamin kung anong bahagi ng bilog ang inilalarawan. Dahil ang haba ng buong bilog ay (mula noon), at ang haba ng arko ng sektor na ito ay pantay, samakatuwid, ang haba ng arko ay ilang beses na mas mababa kaysa sa haba ng buong bilog. Ang anggulo kung saan nakapatong ang arko na ito ay mas mababa din sa isang buong bilog (iyon ay, mga degree). Nangangahulugan ito na ang lugar ng sektor ay ilang beses na mas mababa kaysa sa lugar ng buong bilog.

Lahat ng mga formula para sa lugar ng mga figure ng eroplano

Lugar ng isang isosceles trapezoid

1. Ang formula para sa lugar ng isang isosceles trapezoid sa mga tuntunin ng mga gilid at anggulo

a - ibabang base

b - tuktok na base

c - pantay na panig

α - anggulo sa ibabang base

Ang formula para sa lugar ng isang isosceles trapezoid sa mga tuntunin ng mga gilid, (S):

Ang formula para sa lugar ng isang isosceles trapezoid sa mga tuntunin ng mga gilid at anggulo, (S):

2. Ang formula para sa lugar ng isang isosceles trapezoid sa mga tuntunin ng radius ng inscribed na bilog

R- radius ng inscribed na bilog

D- diameter ng nakasulat na bilog

O - may nakasulat na bilog na sentro

H- taas ng trapezoid

α, β - mga anggulo ng trapezoid

Ang formula para sa lugar ng isang isosceles trapezoid sa mga tuntunin ng radius ng inscribed na bilog, (S):

PATAS, para sa isang nakasulat na bilog sa isang isosceles trapezoid:

3. Ang formula para sa lugar ng isang isosceles trapezoid sa mga tuntunin ng mga diagonal at ang anggulo sa pagitan ng mga ito

d-diagonal ng isang trapezoid

α,β- anggulo sa pagitan ng mga dayagonal

Ang formula para sa lugar ng isang isosceles trapezoid sa mga tuntunin ng mga diagonal at anggulo sa pagitan ng mga ito, (S):

4. Ang formula para sa lugar ng isang isosceles trapezoid sa pamamagitan ng midline, lateral side at anggulo sa base

c- gilid

m- gitnang linya ng trapezoid

α, β - mga anggulo sa base

Ang formula para sa lugar ng isang isosceles trapezoid sa mga tuntunin ng midline, lateral side at anggulo sa base,

(S):

5. Ang formula para sa lugar ng isang isosceles trapezoid sa mga tuntunin ng mga base at taas

a - ibabang base

b - tuktok na base

h - ang taas ng trapezoid

Ang formula para sa lugar ng isang isosceles trapezoid sa mga tuntunin ng mga base at taas, (S):

Lugar ng isang tatsulok na binibigyan ng isang gilid at dalawang anggulo, formula.

a, b, c - mga gilid ng tatsulok

α, β, γ - magkasalungat na anggulo

Lugar ng isang tatsulok sa pamamagitan ng isang gilid at dalawang anggulo (S):

Ang formula para sa lugar ng isang regular na polygon

a - polygon side

n - bilang ng mga panig

Lugar ng isang regular na polygon, (S):

Ang (Heronian) formula para sa lugar ng isang tatsulok sa mga tuntunin ng semi-perimeter (S):

Ang lugar ng isang equilateral triangle ay:

Mga formula para sa pagkalkula ng lugar ng isang equilateral triangle.

a - gilid ng tatsulok

h - taas

Paano makalkula ang lugar ng isang isosceles triangle?

b - ang base ng tatsulok

a - pantay na panig

h - taas

3. Ang formula para sa lugar ng isang trapezoid sa mga tuntunin ng apat na panig

a - ibabang base

b - tuktok na base

c, d - mga gilid

Ang radius ng circumscribed na bilog ng trapezoid sa mga gilid at diagonal

a - ang mga gilid ng trapezoid

c - ibabang base

b - tuktok na base

d - pahilis

h - taas

Ang formula para sa radius ng circumscribed circle ng isang trapezoid, (R)

hanapin ang radius ng circumscribed na bilog ng isang isosceles triangle sa mga gilid

Alam ang mga gilid ng isang isosceles triangle, maaari mong gamitin ang formula upang mahanap ang radius ng circumscribed na bilog sa paligid ng tatsulok na ito.

a, b - mga gilid ng tatsulok

Radius ng circumscribed circle ng isang isosceles triangle (R):

Radius ng isang inscribed na bilog sa isang hexagon

a - gilid ng heksagono

Radius ng isang nakasulat na bilog sa isang hexagon, (r):

Radius ng isang nakasulat na bilog sa isang rhombus

r - radius ng inscribed na bilog

a - gilid ng rhombus

D, d - mga dayagonal

h - taas ng brilyante

Radius ng isang nakasulat na bilog sa isang isosceles trapezoid

c - mas mababang base

b - tuktok na base

a - panig

h - taas

Radius ng isang nakasulat na bilog sa isang tamang tatsulok

a, b - mga binti ng tatsulok

c - hypotenuse

Radius ng isang inscribed na bilog sa isang isosceles triangle

a, b - mga gilid ng tatsulok

Patunayan na ang lugar ng inscribed quadrilateral ay

\/(p - a)(p - b) (p - c) (p - d),

kung saan ang p ay ang semi-perimeter at ang a, b, c at d ay ang mga gilid ng quadrilateral.

Patunayan na ang lugar ng isang quadrilateral na nakasulat sa isang bilog ay

1/2 (ab + cb) sin α, kung saan ang a, b, c at d ay ang mga gilid ng quadrilateral at ang α ay ang anggulo sa pagitan ng panig a at b.

S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - Magbasa nang higit pa sa FB.ru:

Ang lugar ng isang di-makatwirang quadrilateral (Larawan 1.13) ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga gilid nito a, b, c at ang kabuuan ng isang pares ng magkasalungat na mga anggulo:

kung saan ang p ay ang semiperimeter ng quadrilateral.

Ang lugar ng isang quadrangle na nakasulat sa isang bilog () (Fig. 1.14, a) ay kinakalkula gamit ang Brahmagupta formula

at inilarawan (Larawan 1.14, b) () - ayon sa formula

Kung ang quadrilateral ay nakasulat at inilarawan sa parehong oras (Larawan 1.14, c), kung gayon ang formula ay nagiging medyo simple:

Peak Formula

Upang matantya ang lugar ng isang polygon sa checkered na papel, sapat na upang kalkulahin kung gaano karaming mga cell ang sakop ng polygon na ito (kinuha namin ang lugar ng cell bilang isang yunit). Mas tiyak, kung ang S ay ang lugar ng polygon, ay ang bilang ng mga cell na ganap na nasa loob ng polygon, at ang bilang ng mga cell na may hindi bababa sa isang karaniwang punto sa loob ng polygon.

Isasaalang-alang namin sa ibaba lamang ang mga naturang polygon, na ang lahat ng mga vertices ay nasa mga node ng checkered na papel - sa mga kung saan ang mga linya ng grid ay nagsalubong. Lumalabas na para sa gayong mga polygon, maaari mong tukuyin ang sumusunod na formula:

kung saan ang lugar, ang r ay ang bilang ng mga node na nasa loob ng polygon.

Ang formula na ito ay tinatawag na "Peak formula" pagkatapos ng mathematician na natuklasan ito noong 1899.