Matatanggal na elemento.

papalabas na elemento.

• a) walang mga karaniwang puntos;

Teorama.

Pagtatalaga ng mga pagbawas

Ang GOST 2.305-2008 ay nagbibigay ng mga sumusunod na kinakailangan para sa pagtatalaga ng seksyon:

1. Ang posisyon ng cutting plane ay ipinahiwatig sa pagguhit ng isang linya ng seksyon.

2. Dapat gumamit ng bukas na linya para sa linya ng seksyon (kapal mula S hanggang 1.5S, haba ng linya 8-20 mm).

3. Sa isang kumplikadong hiwa, ang mga stroke ay isinasagawa din sa mga intersection ng mga secant na eroplano sa bawat isa.

4. Ang mga arrow na nagpapahiwatig ng direksyon ng view ay dapat ilagay sa paunang at panghuling stroke, ang mga arrow ay dapat ilapat sa layo na 2-3 mm mula sa panlabas na dulo ng stroke.

5. Ang mga sukat ng mga arrow ay dapat na tumutugma sa mga ipinapakita sa Figure 14.

6. Ang panimula at pagtatapos na mga stroke ay hindi dapat tumawid sa balangkas ng kani-kanilang larawan.

7. Sa simula at dulo ng linya ng seksyon, at, kung kinakailangan, sa intersection ng mga cutting planes, ilagay ang parehong malaking titik ng alpabetong Ruso. Ang mga titik ay inilapat malapit sa mga arrow na nagpapahiwatig ng direksyon ng view, at sa mga intersection mula sa gilid ng panlabas na sulok (Figure 24).

Figure 24 - Mga halimbawa ng pagtatalaga ng seksyon

8. Ang hiwa ay dapat markahan ng isang inskripsiyon ng uri na "A-A" (palaging dalawang titik na pinaghihiwalay ng isang gitling).

9. Kapag ang cutting plane ay nag-tutugma sa eroplano ng simetriya ng bagay sa kabuuan, at ang mga kaukulang imahe ay matatagpuan sa parehong sheet sa direktang projection na koneksyon at hindi pinaghihiwalay ng anumang iba pang mga imahe, ang posisyon ng cutting plane ay hindi minarkahan para sa pahalang, pangharap at mga seksyon ng profile, at ang paghiwa ay hindi sinamahan ng isang inskripsiyon.

10. Ang mga seksyon ng frontal at profile, bilang panuntunan, ay binibigyan ng posisyon na naaayon sa pinagtibay para sa isang partikular na paksa sa pangunahing larawan ng pagguhit.

11. Ang mga seksyon ng pahalang, pangharap at profile ay matatagpuan sa lugar ng kaukulang mga pangunahing view.

12. Pinapayagan na ilagay ang hiwa kahit saan sa patlang ng pagguhit, pati na rin sa pag-ikot na may pagdaragdag ng isang maginoo na simbolo ng graphic - ang icon na "Rotated" (Larawan 25).

Figure 25 - Conditional graphic designation - icon na "Pinaikot"

Ang pagtatalaga ng mga seksyon ay magkatulad pagtatalaga ng mga seksyon at binubuo ng mga bakas ng isang secant na eroplano at isang arrow na nagpapahiwatig ng direksyon ng view, pati na rin ang isang titik na nakakabit sa labas ng arrow (Figure 1c, Figure 3). Ang inalis na seksyon ay hindi naka-label at ang cutting plane ay hindi ipinapakita kung ang seksyon ng linya ay tumutugma sa axis ng symmetry ng seksyon, at ang seksyon mismo ay matatagpuan sa pagpapatuloy ng bakas ng cutting plane o sa puwang sa pagitan ng mga bahagi ng ang view. Para sa isang simetriko superimposed na seksyon, ang cutting plane ay hindi rin ipinapakita. Kung ang seksyon ay walang simetriko at matatagpuan sa isang puwang o nakapatong (Figure 2 b), ang linya ng seksyon ay iginuhit gamit ang mga arrow, ngunit hindi minarkahan ng mga titik.

Ang seksyon ay pinapayagang iikot, na nagbibigay ng inskripsiyon sa itaas ng seksyon na may salitang "pinaikot". Para sa ilang magkaparehong seksyon na nauugnay sa parehong bagay, ang mga linya ng seksyon ay itinalaga ng parehong titik at gumuhit ng isang seksyon. Sa mga kaso kung saan nakuha ang seksyon na binubuo ng magkakahiwalay na bahagi, dapat gamitin ang mga pagbawas.

Pangkalahatang linya

Ang isang tuwid na linya sa pangkalahatang posisyon (Larawan 2.2) ay tinatawag na isang tuwid na linya na hindi parallel sa alinman sa mga projection planes na ito. Anumang segment ng naturang tuwid na linya ay na-proyekto sa isang partikular na sistema ng mga projection planes nang distorted. Ang mga anggulo ng inclination ng tuwid na linya na ito sa projection planes ay baluktot din.

kanin. 2.2.

Direktang pribadong probisyon
Ang mga direktang linya ng partikular na posisyon ay kinabibilangan ng mga tuwid na linya parallel sa isa o dalawang projection plane.
Anumang linya (tuwid o kurba) na parallel sa projection plane ay tinatawag na level line. Sa engineering graphics, mayroong tatlong pangunahing linya ng antas: pahalang, pangharap at mga linya ng profile.

kanin. 2.3-a

Ang pahalang na linya ay anumang linyang parallel sa pahalang na eroplano ng mga projection (Larawan 2.3-a). Ang frontal projection ng pahalang ay palaging patayo sa mga linya ng komunikasyon. Ang anumang segment ng pahalang papunta sa pahalang na projection plane ay inaasahang nasa totoong halaga. Ang tunay na halaga ay inaasahang papunta sa eroplanong ito at ang anggulo ng pagkahilig ng pahalang (tuwid na linya) sa frontal projection plane. Bilang isang halimbawa, sa Fig. 2.Z-a, isang visual na imahe at isang kumplikadong pagguhit ng isang pahalang na linya ay ibinigay h, nakahilig sa eroplano P 2 sa isang anggulo b .
kanin. 2.3-b

Ang frontal ay tinatawag na isang linya parallel sa frontal projection plane (Larawan 2.3-b). Ang pahalang na projection ng frontal ay palaging patayo sa mga linya ng komunikasyon. Anumang bahagi ng frontal papunta sa frontal projection plane ay inaasahang nasa totoong sukat. Ang tunay na halaga ay naka-project sa eroplanong ito at ang anggulo ng pagkahilig ng frontal (tuwid) sa horizontal projection plane (anggulo a).
kanin. 2.3-in

Ang isang linya ng profile ay isang linya parallel sa profile plane ng mga projection (Larawan 2.Z-c). Ang pahalang at pangharap na mga projection ng linya ng profile ay parallel sa mga linya ng komunikasyon ng mga projection na ito. Anumang segment ng linya ng profile (tuwid) ay naka-project sa profile plane sa totoong halaga. Sa parehong eroplano ay inaasahang sa totoong halaga at ang mga anggulo ng pagkahilig ng profile na tuwid na linya sa mga projection na eroplano P 1 at P 2. Kapag tinukoy ang isang linya ng profile sa isang kumplikadong pagguhit, kinakailangan upang tukuyin ang dalawang punto ng linyang ito.

Ang mga linya ng antas na parallel sa dalawang projection plane ay magiging patayo sa ikatlong projection plane. Ang ganitong mga linya ay tinatawag na projecting. Mayroong tatlong pangunahing mga linya ng projecting: pahalang, frontal at profile projecting na mga linya.
kanin. 2.3-g kanin. 2.3-d kanin. ika-2.3

Ang isang pahalang na naka-project na tuwid na linya (Larawan 2.3-d) ay tinatawag na isang tuwid na linya na patayo sa eroplano P isa. Anumang bahagi ng linyang ito ay naka-project sa eroplano P P 1 - hanggang sa punto.

Ang isang tuwid na linya na nakaharap sa harap (Fig. 2.Z-e) ay tinatawag na isang tuwid na linya na patayo sa eroplano P 2. Anumang bahagi ng linyang ito ay naka-project sa eroplano P 1 nang walang pagbaluktot, ngunit patag P 2 - sa punto.

Ang isang profile projecting line (Larawan 2.Z-e) ay tinatawag na isang tuwid na linya na patayo sa eroplano P 3 , ibig sabihin. tuwid na linya parallel sa projection planes P 1 at P 2. Anumang bahagi ng linyang ito ay naka-project sa eroplano P 1 at P 2 nang walang pagbaluktot, ngunit patag P 3 - hanggang sa punto.

Mga pangunahing linya sa eroplano

Kabilang sa mga tuwid na linya na kabilang sa eroplano, ang isang espesyal na lugar ay inookupahan ng mga tuwid na linya na sumasakop sa isang partikular na posisyon sa espasyo:

1. Horizontals h - mga tuwid na linya na nakahiga sa isang naibigay na eroplano at parallel sa pahalang na eroplano ng mga projection (h / / P1) (Larawan 6.4).

Larawan 6.4 Pahalang

2. Frontals f - mga tuwid na linya na matatagpuan sa eroplano at parallel sa frontal plane ng mga projection (f / / P2) (Fig. 6.5).

Larawan 6.5 Pangharap

3. Profile straight lines p - tuwid na linya na nasa isang ibinigay na eroplano at parallel sa profile plane ng mga projection (p / / P3) (Fig. 6.6). Dapat pansinin na ang mga bakas ng eroplano ay maaari ding maiugnay sa mga pangunahing linya. Ang pahalang na bakas ay ang pahalang ng eroplano, ang frontal ay ang harap at ang profile ay ang profile line ng eroplano.

Larawan 6.6 Diretso ang profile

4. Ang linya ng pinakamalaking slope at ang pahalang na projection nito ay bumubuo ng isang linear na anggulo j, na sumusukat sa dihedral na anggulo na binubuo ng eroplanong ito at ang pahalang na eroplano ng mga projection (Larawan 6.7). Malinaw, kung ang isang linya ay walang dalawang karaniwang mga punto sa isang eroplano, kung gayon ito ay kahanay sa eroplano o intersects ito.

Figure 6.7 Ang linya ng pinakamalaking slope

Kinematic na paraan ng pagbuo ng ibabaw. Pagtatakda ng ibabaw sa pagguhit.

Sa engineering graphics, ang isang ibabaw ay itinuturing bilang isang hanay ng mga sunud-sunod na posisyon ng isang linya na gumagalaw sa kalawakan ayon sa isang tiyak na batas. Sa proseso ng pagbuo sa ibabaw, ang linya 1 ay maaaring manatiling hindi nagbabago o magbago ng hugis nito.
Para sa kalinawan ng imahe ng ibabaw sa isang kumplikadong pagguhit, ipinapayong itakda ang batas ng displacement nang graphically sa anyo ng isang pamilya ng mga linya (a, b, c). Ang batas ng paggalaw ng linya 1 ay maaaring tukuyin ng dalawa (a at b) o isang (a) na linya at karagdagang mga kondisyon na tumutukoy sa batas ng paggalaw 1.
Ang gumagalaw na linya 1 ay tinatawag na generatrix, ang mga nakapirming linya a, b, c ay ang mga gabay.
Isasaalang-alang namin ang proseso ng pagbuo ng ibabaw gamit ang halimbawang ipinapakita sa Fig. 3.1.
Dito, ang linya 1 ay kinuha bilang isang generatrix. Ang batas ng displacement ng generatrix ay ibinibigay ng gabay a at linya b. Nangangahulugan ito na ang generatrix 1 ay dumudulas sa gabay a, sa lahat ng oras na natitira parallel sa tuwid na linya b.
Ang ganitong paraan ng pagbuo ng mga ibabaw ay tinatawag na kinematic. Gamit ito, maaari kang lumikha at magtakda ng iba't ibang mga ibabaw sa pagguhit. Sa partikular, ang Figure 3.1 ay nagpapakita ng pinaka-pangkalahatang kaso ng isang cylindrical na ibabaw.

kanin. 3.1.

Ang isa pang paraan upang mabuo ang isang ibabaw at ang imahe nito sa pagguhit ay upang itakda ang ibabaw sa pamamagitan ng isang hanay ng mga punto o linya na kabilang dito. Sa kasong ito, ang mga punto at linya ay pinili upang gawing posible upang matukoy ang hugis ng ibabaw na may sapat na antas ng katumpakan at malutas ang iba't ibang mga problema dito.
Ang hanay ng mga punto o linya na tumutukoy sa isang ibabaw ay tinatawag na wireframe nito.
Depende sa kung paano tinukoy ang surface frame, ayon sa mga punto o linya, ang mga frame ay nahahati sa point at linear.
Ipinapakita ng Figure 3.2 ang isang surface skeleton na binubuo ng dalawang orthogonally located na pamilya ng mga linyang a1, a2, a3, ..., an at b1, b2, b3, ..., bn.

kanin. 3.2.

Mga seksyon ng conic.

CONIC SECTIONS, mga kurba ng eroplano, na nakuha sa pamamagitan ng pagtawid sa isang kanang pabilog na kono na may isang eroplano na hindi dumaan sa tuktok nito (Larawan 1). Mula sa punto ng view ng analytical geometry, ang conic section ay ang locus ng mga puntos na nakakatugon sa isang second-order equation. Maliban sa mga degenerate na kaso na tinalakay sa huling seksyon, ang mga conic na seksyon ay mga ellipse, hyperbola, o parabola.

Ang mga conic na seksyon ay madalas na matatagpuan sa kalikasan at teknolohiya. Halimbawa, ang mga orbit ng mga planeta na umiikot sa Araw ay mga ellipse. Ang bilog ay isang espesyal na kaso ng isang ellipse, kung saan ang major axis ay katumbas ng minor. Ang isang parabolic mirror ay may pag-aari na ang lahat ng mga sinag ng insidente na kahanay sa axis nito ay nagtatagpo sa isang punto (focus). Ginagamit ito sa karamihan ng mga sumasalamin na teleskopyo gamit ang mga parabolic mirror, gayundin sa mga radar antenna at mga espesyal na mikropono na may mga parabolic reflector. Ang isang sinag ng parallel ray ay nagmumula sa isang pinagmumulan ng liwanag na nakalagay sa pokus ng isang parabolic reflector. Samakatuwid, ang mga parabolic na salamin ay ginagamit sa makapangyarihang mga spotlight at mga headlight ng kotse. Ang hyperbola ay isang graph ng maraming mahahalagang pisikal na relasyon, tulad ng batas ni Boyle (na nag-uugnay sa presyon at dami ng ideal na gas) at batas ng Ohm, na tumutukoy sa electric current bilang isang function ng resistensya sa pare-parehong boltahe.

MAAGANG KASAYSAYAN

Ang nakatuklas ng mga conic section ay sinasabing si Menechmus (4th century BC), isang estudyante ni Plato at guro ni Alexander the Great. Gumamit si Menechmus ng parabola at isosceles hyperbola upang malutas ang problema ng pagdodoble ng isang cube.

Mga Treatises sa conic section na isinulat nina Aristaeus at Euclid sa pagtatapos ng ika-4 na siglo. BC, ay nawala, ngunit ang mga materyales mula sa kanila ay kasama sa sikat na Conic Sections ng Apollonius ng Perga (c. 260–170 BC), na nakaligtas hanggang sa ating panahon. Inabandona ni Apollonius ang pangangailangan na ang secant plane ng generatrix ng cone ay patayo at, sa pamamagitan ng pag-iiba-iba ng anggulo ng pagkahilig nito, nakuha ang lahat ng conic section mula sa isang circular cone, tuwid o hilig. Utang din namin kay Apollonius ang mga modernong pangalan ng mga kurba - ellipse, parabola at hyperbola.

Sa kanyang mga konstruksyon, gumamit si Apollonius ng dalawang-sheet na pabilog na kono (tulad ng sa Fig. 1), kaya sa unang pagkakataon ay naging malinaw na ang hyperbola ay isang curve na may dalawang sanga. Mula noong panahon ni Apollonius, ang mga conic na seksyon ay nahahati sa tatlong uri, depende sa pagkahilig ng secant plane sa generatrix ng cone. Ang isang ellipse (Larawan 1, a) ay nabuo kapag ang cutting plane ay nagsalubong sa lahat ng mga generator ng kono sa mga punto ng isa sa kanyang lukab; parabola (Larawan 1, b) - kapag ang cutting plane ay parallel sa isa sa mga tangent na eroplano ng kono; hyperbola (Larawan 1, c) - kapag ang cutting plane ay nagsalubong sa parehong mga cavity ng kono.

KONSTRUKSYON NG CONIC SECTIONS

Habang pinag-aaralan ang mga conic section bilang intersection ng mga eroplano at cone, itinuturing din ng mga sinaunang Greek mathematician ang mga ito bilang mga trajectory ng mga punto sa isang eroplano. Napag-alaman na ang isang ellipse ay maaaring tukuyin bilang ang locus ng mga puntos, ang kabuuan ng mga distansya mula sa kung saan sa dalawang ibinigay na mga punto ay pare-pareho; parabola - bilang isang locus ng mga puntos na katumbas ng layo mula sa isang naibigay na punto at isang naibigay na linya; hyperbola - bilang isang locus ng mga puntos, ang pagkakaiba sa mga distansya mula sa kung saan sa dalawang ibinigay na mga punto ay pare-pareho.

Ang mga kahulugang ito ng mga conic na seksyon bilang mga kurba ng eroplano ay nagmumungkahi din ng isang paraan upang gawin ang mga ito gamit ang isang nakaunat na sinulid.

Ellipse.

Kung ang mga dulo ng isang thread ng isang naibigay na haba ay naayos sa mga punto F1 at F2 (Fig. 2), pagkatapos ay ang curve na inilarawan sa pamamagitan ng dulo ng isang lapis na dumudulas kasama ang isang mahigpit na nakaunat na thread ay may hugis ng isang ellipse. Ang mga puntong F1 at F2 ay tinatawag na foci ng ellipse, at ang mga segment na V1V2 at v1v2 sa pagitan ng mga intersection point ng ellipse na may mga coordinate axes ay tinatawag na major at minor axes. Kung ang mga puntos na F1 at F2 ay nag-tutugma, kung gayon ang ellipse ay nagiging bilog.

kanin. 2 Ellipsis

Hyperbola.

Kapag gumagawa ng hyperbola, ang point P, ang punto ng isang lapis, ay naayos sa isang thread na malayang dumudulas kasama ang mga peg na naka-install sa mga puntong F1 at F2, tulad ng ipinapakita sa Fig. 3a. Ang mga distansya ay pinili upang ang segment na PF2 ay mas mahaba kaysa sa segment na PF1 sa pamamagitan ng isang nakapirming halaga, na mas mababa kaysa sa distansya F1F2. Sa kasong ito, ang isang dulo ng thread ay dumadaan sa ilalim ng F1 peg at ang magkabilang dulo ng thread ay pumasa sa F2 peg. (Ang dulo ng lapis ay hindi dapat dumulas sa sinulid, kaya dapat itong i-secure sa pamamagitan ng paggawa ng isang maliit na loop sa thread at paglalagay ng dulo dito.) Gumuhit kami ng isang sangay ng hyperbola (PV1Q), tinitiyak na ang thread nananatiling mahigpit sa lahat ng oras, at hinihila ang magkabilang dulo na sinulid pababa sa puntong F2, at kapag ang puntong P ay nasa ibaba ng segment na F1F2, hinahawakan ang sinulid sa magkabilang dulo at maingat na binabawasan (i.e. ilalabas) ito. Iginuhit namin ang pangalawang sangay ng hyperbola (PўV2Qў), na dati nang binago ang mga tungkulin ng mga pin F1 at F2.

kanin. 3 hyperbole

Ang mga sanga ng hyperbola ay lumalapit sa dalawang tuwid na linya na nagsalubong sa pagitan ng mga sanga. Ang mga linyang ito, na tinatawag na asymptotes ng hyperbola, ay itinayo tulad ng ipinapakita sa Fig. 3b. Ang mga slope ng mga linyang ito ay katumbas ng ± (v1v2)/(V1V2), kung saan ang v1v2 ay ang segment ng bisector ng anggulo sa pagitan ng mga asymptotes, patayo sa segment na F1F2; ang segment na v1v2 ay tinatawag na conjugate axis ng hyperbola, at ang segment na V1V2 ay tinatawag nitong transverse axis. Kaya, ang mga asymptotes ay ang mga diagonal ng isang rektanggulo na may mga gilid na dumadaan sa apat na puntos na v1, v2, V1, V2 na kahanay sa mga palakol. Upang mabuo ang parihaba na ito, kailangan mong tukuyin ang lokasyon ng mga puntos na v1 at v2. Sila ay nasa parehong distansya, katumbas ng

mula sa punto ng intersection ng mga axes O. Ang formula na ito ay nagsasangkot ng pagbuo ng isang tamang tatsulok na may mga binti Ov1 at V2O at hypotenuse F2O.

Kung ang mga asymptotes ng hyperbola ay magkaparehong patayo, kung gayon ang hyperbola ay tinatawag na isosceles. Dalawang hyperbola na may mga karaniwang asymptotes, ngunit may muling inayos na transverse at conjugate axes, ay tinatawag na mutually conjugate.

Parabola.

Ang foci ng ellipse at hyperbola ay kilala ni Apollonius, ngunit ang pokus ng parabola, tila, ay unang itinatag ni Pappus (ika-2 kalahati ng ika-3 siglo), na tinukoy ang curve na ito bilang ang locus ng mga puntos na katumbas ng isang punto ( focus) at isang ibinigay na tuwid na linya, na tinatawag na direktor. Ang pagtatayo ng isang parabola gamit ang isang nakaunat na sinulid, batay sa kahulugan ng Pappus, ay iminungkahi ni Isidore ng Miletus (ika-6 na siglo). Ayusin natin ang ruler upang ang gilid nito ay tumutugma sa directrix LLў (Fig. 4), at ikabit ang binti AC ng drawing triangle ABC sa gilid na ito. Inaayos namin ang isang dulo ng thread na may haba na AB sa vertex B ng tatsulok, at ang isa sa pokus ng parabola F. Hinila ang thread gamit ang dulo ng lapis, pindutin ang dulo sa variable point P sa libre binti AB ng drawing triangle. Habang gumagalaw ang tatsulok sa kahabaan ng ruler, ilalarawan ng point P ang arc ng isang parabola na may focus F at directrix LLў, dahil ang kabuuang haba ng thread ay AB, ang segment ng thread ay katabi ng libreng leg ng triangle, at samakatuwid ang natitirang bahagi ng thread PF ay dapat na katumbas ng natitirang bahagi ng binti AB, i.e. PA. Ang punto ng intersection ng V parabola na may axis ay tinatawag na vertex ng parabola, ang tuwid na linya na dumadaan sa F at V ay tinatawag na axis ng parabola. Kung ang isang tuwid na linya na patayo sa axis ay iguguhit sa pamamagitan ng focus, kung gayon ang segment ng tuwid na linyang ito na pinutol ng parabola ay tinatawag na focal parameter. Para sa isang ellipse at isang hyperbola, ang focal parameter ay parehong tinukoy.

MGA TICKET SAGOT: Hindi. 1 (hindi kumpleto), 2 (hindi kumpleto), 3 (hindi kumpleto), 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14 (hindi kumpleto), 16, 17, 18, 20, 21 , 22, 23 , 26,

Matatanggal na elemento.

Kapag gumagawa ng mga guhit, sa ilang mga kaso, kinakailangan na bumuo ng karagdagang hiwalay na imahe ng anumang bahagi ng bagay na nangangailangan ng mga paliwanag tungkol sa hugis, sukat o iba pang data. Ang ganitong imahe ay tinatawag papalabas na elemento. Karaniwang ginagawa itong pinalaki. Ang isang callout ay maaaring ilagay bilang isang view o bilang isang seksyon.

Kapag nagtatayo ng isang malayong elemento, ang kaukulang lugar sa pangunahing imahe ay minarkahan ng isang saradong solidong manipis na linya, karaniwang isang hugis-itlog o isang bilog, at ipinahiwatig ng isang malaking titik ng alpabetong Ruso sa istante ng linya ng pinuno. Ang panlabas na elemento ay naitala ayon sa uri A (5: 1). Sa fig. Ang 191 ay nagpapakita ng isang halimbawa ng isang remote na elemento. Ito ay inilalagay nang mas malapit hangga't maaari sa kaukulang lugar sa larawan ng paksa.

1. Ang paraan ng rectangular (orthogonal) projection. Mga pangunahing invariant na katangian ng rectangular projection. Epure Monge.

Ang orthogonal (rectangular) projection ay isang espesyal na kaso ng parallel projection, kapag ang lahat ng projecting ray ay patayo sa projection plane. Ang mga orthogonal projection ay may lahat ng mga katangian ng parallel projection, ngunit sa isang hugis-parihaba na projection, ang projection ng isang segment, kung ito ay hindi parallel sa projection plane, ay palaging mas mababa kaysa sa segment mismo (Fig. 58). Ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na ang segment mismo sa espasyo ay ang hypotenuse ng isang right-angled triangle, at ang projection nito ay ang binti: A "B" \u003d ABcos a.

Sa hugis-parihaba na projection, ang isang tamang anggulo ay inaasahang nasa buong laki kapag ang magkabilang panig nito ay parallel sa projection plane, at kapag isa lamang sa mga gilid nito ang parallel sa projection plane, at ang pangalawang gilid ay hindi patayo sa projection plane na ito.

Mutual arrangement ng isang tuwid na linya at isang eroplano.

Ang isang tuwid na linya at isang eroplano sa kalawakan ay maaaring:

• a) walang mga karaniwang puntos;
• b) may eksaktong isang karaniwang punto;
• c) magkaroon ng hindi bababa sa dalawang karaniwang mga punto.

Sa fig. Ipinapakita ng 30 ang lahat ng mga posibilidad na ito.

Kung sakaling a) ang linya b ay parallel sa eroplano: b || .

Kung sakaling b) ang linya l ay nag-intersect sa eroplano sa isang punto O; l = O.

Kung sakaling c) ang linya a ay kabilang sa eroplano: a o a.

Teorama. Kung ang linya b ay parallel sa hindi bababa sa isang linya a na kabilang sa eroplano , kung gayon ang linya ay parallel sa eroplano .

Ipagpalagay na ang linyang m ay nag-intersect sa eroplano sa puntong Q. Kung ang m ay patayo sa bawat linya ng eroplano na dumadaan sa puntong Q, kung gayon ang linyang m ay tinatawag na patayo sa eroplano.

Ang mga riles ng tram ay naglalarawan ng pagmamay-ari ng mga tuwid na linya patungo sa ground plane. Ang mga linya ng kuryente ay parallel sa ground plane, at ang mga puno ng kahoy ay mga halimbawa ng mga tuwid na linya na tumatawid sa lupa, ang ilan ay patayo sa ground plane, ang iba ay hindi patayo (slanted).

Ang magkaparehong posisyon ng isang tuwid na linya at isang eroplano ay tinutukoy ng bilang ng mga karaniwang puntos :

1) kung ang isang linya ay may dalawang karaniwang mga punto na may isang eroplano, kung gayon ito ay kabilang sa eroplanong ito,

2) kung ang isang linya ay may isang karaniwang punto na may isang eroplano, pagkatapos ay ang linya ay nag-intersect sa eroplano,

3) kung ang punto ng intersection ng isang linya na may isang eroplano ay inalis hanggang sa kawalang-hanggan, kung gayon ang linya at ang eroplano ay magkatulad.

Ang mga problema kung saan tinutukoy ang relatibong posisyon ng iba't ibang geometric na hugis na nauugnay sa isa't isa ay tinatawag na positional na problema.

Ang tuwid na linya na kabilang sa eroplano ay isinasaalang-alang nang mas maaga.

Linya parallel sa eroplano, kung ito ay parallel sa ilang tuwid na linya na nakahiga sa eroplanong ito. Upang makabuo ng tulad ng isang tuwid na linya, kinakailangan upang tukuyin ang anumang tuwid na linya sa eroplano at iguhit ang kinakailangang parallel dito.

kanin. 1.53 Fig. 1.54 Fig.1.55

Hayaan sa pamamagitan ng tuldok PERO(Larawan 1.53) ito ay kinakailangan upang gumuhit ng isang tuwid na linya AB, parallel sa eroplano Q, na ibinigay ng isang tatsulok CDF. Upang gawin ito, sa pamamagitan ng frontal projection ng punto a / puntos PERO gumawa ng frontal projection a / sa / ninanais na linya parallel sa frontal projection ng anumang linya na nakahiga sa eroplano R, hal. tuwid CD (a / sa /!!s / d /). Sa pamamagitan ng pahalang na projection a puntos PERO parallel sd gumawa ng pahalang na projection aw gustong linya AB (av11 sd). Diretso AB parallel sa eroplano R, ibinigay ng isang tatsulok CDF.

Sa lahat ng posibleng mga posisyon ng isang linya na nagsasalubong sa isang eroplano, napapansin namin ang kaso kapag ang linya ay patayo sa eroplano. Isaalang-alang ang mga katangian ng mga projection ng naturang linya.

kanin. 1.56 Fig. 1.57

Ang linya ay patayo sa eroplano(isang espesyal na kaso ng intersection ng isang tuwid na linya na may isang eroplano) kung ito ay patayo sa anumang tuwid na linya na nakahiga sa eroplano. Upang makabuo ng mga projection ng isang patayo sa isang eroplano sa pangkalahatang posisyon, hindi ito sapat nang hindi binabago ang mga projection. Samakatuwid, ang isang karagdagang kondisyon ay ipinakilala: ang isang linya ay patayo sa isang eroplano kung ito ay patayo sa dalawang intersecting na pangunahing linya(upang makabuo ng mga projection, ginagamit ang tamang kondisyon ng projection ng anggulo). Sa kasong ito: ang pahalang at frontal projection ng patayo ay patayo, ayon sa pagkakabanggit, sa pahalang na projection ng pahalang at ang frontal projection ng frontal ng isang naibigay na eroplano sa pangkalahatang posisyon (Fig. 1.54). Kapag ang isang eroplano ay tinukoy ng mga bakas, ang mga projection ng patayo ay patayo, ayon sa pagkakabanggit, sa frontal - sa frontal trace, pahalang - sa pahalang na bakas ng eroplano (Fig. 1.55).

Intersection ng isang tuwid na linya na may projecting plane. Isipin mo isang tuwid na linya na nagsasalubong sa isang eroplano kapag ang eroplano ay nasa isang partikular na posisyon.

Ang isang eroplanong patayo sa projection plane (ang projection plane) ay naka-project dito bilang isang tuwid na linya. Sa linyang ito (ang projection ng eroplano) ay dapat mayroong katumbas na projection ng punto kung saan ang ilang linya ay nagsalubong sa eroplanong ito (Larawan 1.56).

Sa Figure 1.56, ang frontal projection ng punto Upang intersection ng linya AB may tatsulok CDE ay tinutukoy sa intersection ng kanilang mga frontal projection, dahil tatsulok CDE naka-project sa frontal plane bilang isang tuwid na linya. Natagpuan namin ang pahalang na projection ng punto ng intersection ng linya kasama ang eroplano (ito ay namamalagi sa pahalang na projection ng linya). Gamit ang paraan ng mga nakikipagkumpitensyang puntos, tinutukoy namin ang visibility ng linya AB may kaugnayan sa eroplano ng tatsulok CDE sa pahalang na projection plane.

Ang Figure 1.59 ay nagpapakita ng isang horizontally projecting plane P at isang tuwid na linya sa pangkalahatang posisyon AB. kasi eroplano R ay patayo sa pahalang na eroplano ng mga projection, pagkatapos ang lahat ng bagay na nasa loob nito ay inaasahang papunta sa pahalang na eroplano ng mga projection sa bakas nito, kabilang ang punto ng intersection nito sa linya AB. Samakatuwid, sa kumplikadong pagguhit mayroon kaming isang pahalang na projection ng punto ng intersection ng linya kasama ang eroplano R. Ayon sa pag-aari ng punto sa tuwid na linya, makikita natin ang frontal projection ng punto ng intersection ng tuwid na linya AB may eroplano R. Tukuyin ang visibility ng linya sa frontal projection plane.

kanin. 1.58 Fig. 1.59

Ipinapakita ng Figure 1.58 ang isang komprehensibong pagguhit ng pagtatayo ng mga projection ng punto ng intersection ng linya AB na may pahalang na antas ng eroplano G. Pangharap na bakas ng eroplano G ay ang frontal projection nito. Frontal projection ng punto ng intersection ng eroplano G na may tuwid na linya AB ay tinutukoy sa intersection ng frontal projection ng tuwid na linya at ang frontal trace ng eroplano. Ang pagkakaroon ng isang frontal projection ng punto ng intersection, nakita namin ang pahalang na projection ng punto ng intersection ng linya AB may eroplano G.

Ang Figure 1.57 ay nagpapakita ng isang eroplano sa pangkalahatang posisyon, na ibinigay ng isang tatsulok CDE at front projection line AB? intersecting ang eroplano sa isang punto K. Frontal projection ng isang punto - k / tumutugma sa mga puntos a / at b/ . Upang makabuo ng pahalang na projection ng intersection point, gumuhit sa punto K sa eroplano CDE tuwid na linya (hal. 1-2 ). Buuin natin ang frontal projection nito, at pagkatapos ay pahalang. Dot K ay ang punto ng intersection ng mga linya AB at 1-2. Iyon ang punto K sabay-sabay na kabilang sa linya AB at ang eroplano ng tatsulok at, samakatuwid, ay ang punto ng kanilang intersection.

Ang intersection ng dalawang eroplano. Ang isang tuwid na linya ng intersection ng dalawang eroplano ay tinutukoy ng dalawang puntos, na ang bawat isa ay kabilang sa parehong mga eroplano, o sa pamamagitan ng isang punto, na kabilang sa dalawang eroplano, at ang kilalang direksyon ng linya. Sa parehong mga kaso, ang gawain ay upang mahanap ang isang punto na karaniwan sa dalawang eroplano.

Intersection ng projecting planes. Ang dalawang eroplano ay maaaring parallel sa isa't isa o magsalubong. Isaalang-alang ang mga kaso ng mutual intersection ng mga eroplano.

Ang isang tuwid na linya na nakuha sa magkabilang intersection ng dalawang eroplano ay ganap na tinutukoy ng dalawang puntos, ang bawat isa ay kabilang sa parehong mga eroplano, samakatuwid, ito ay kinakailangan at sapat upang mahanap ang dalawang puntong ito na kabilang sa linya ng intersection ng dalawang ibinigay na eroplano.

Samakatuwid, sa pangkalahatang kaso, upang makabuo ng isang linya ng intersection ng dalawang eroplano, kinakailangan upang makahanap ng anumang dalawang puntos, na ang bawat isa ay kabilang sa parehong mga eroplano. Tinutukoy ng mga puntong ito ang linya ng intersection ng mga eroplano. Upang mahanap ang bawat isa sa dalawang puntong ito, karaniwang kailangan mong magsagawa ng mga espesyal na konstruksyon. Ngunit kung hindi bababa sa isa sa mga intersecting na eroplano ay patayo (o parallel) sa anumang projection plane, kung gayon ang pagtatayo ng projection ng linya ng kanilang intersection ay pinasimple.

kanin. 1.60 Fig. 1.61

Kung ang mga eroplano ay binibigyan ng mga bakas, natural na hanapin ang mga punto na tumutukoy sa linya ng intersection ng mga eroplano sa mga punto ng intersection ng mga bakas ng mga eroplano ng parehong pangalan sa mga pares: ang linya na dumadaan sa mga puntong ito. ay karaniwan sa parehong eroplano, i.e. kanilang linya ng intersection.

Isaalang-alang ang mga espesyal na kaso ng lokasyon ng isa (o pareho) ng mga intersecting na eroplano.

Ang kumplikadong pagguhit (Larawan 1.60) ay nagpapakita ng pahalang na pag-project ng mga eroplano P at Q. Pagkatapos ang pahalang na projection ng kanilang intersection line ay bumababa sa isang punto, at ang frontal projection sa isang tuwid na linya na patayo sa axis. baka.

Ang kumplikadong pagguhit (Larawan 1.61) ay nagpapakita ng mga eroplano ng pribadong posisyon: ang eroplano R patayo sa horizontal projection plane (horizontal projection plane) at sa eroplano Q- pahalang na antas ng eroplano. Sa kasong ito, ang pahalang na projection ng kanilang linya ng intersection ay magkakasabay sa pahalang na bakas ng eroplano. R, at ang pangharap - na may pangharap na bakas ng eroplano Q.

Sa kaso ng pagtukoy ng mga eroplano sa pamamagitan ng mga bakas, madaling matukoy na ang mga eroplanong ito ay nagsalubong: kung ang hindi bababa sa isang pares ng mga bakas ng parehong pangalan ay magsalubong, kung gayon ang mga eroplano ay magsalubong sa isa't isa.

Ang nabanggit ay nalalapat sa mga eroplano na tinukoy sa pamamagitan ng intersecting na mga bakas. Kung ang parehong mga eroplano ay may mga bakas na parallel sa bawat isa sa pahalang at pangharap na mga eroplano, kung gayon ang mga eroplanong ito ay maaaring magkatulad o magsalubong. Ang magkaparehong posisyon ng naturang mga eroplano ay maaaring hatulan sa pamamagitan ng pagbuo ng isang ikatlong projection (ikatlong bakas). Kung ang mga bakas ng parehong mga eroplano sa ikatlong projection ay parallel din, kung gayon ang mga eroplano ay parallel sa bawat isa. Kung ang mga bakas sa ikatlong eroplano ay bumalandra, ang mga eroplano na ibinigay sa kalawakan ay bumalandra.

Ang kumplikadong pagguhit (Larawan 1.62) ay nagpapakita ng mga eroplanong naka-project sa harap na tinukoy ng isang tatsulok ABC at DEF. Ang projection ng linya ng intersection sa frontal projection plane ay isang punto, i.e. dahil ang mga tatsulok ay patayo sa frontal projection plane, ang kanilang linya ng intersection ay patayo din sa frontal projection plane. Samakatuwid, ang pahalang na projection ng linya ng intersection ng mga triangles ( 12 ) ay patayo sa axis baka. Ang kakayahang makita ng mga elemento ng mga tatsulok sa pahalang na projection plane ay tinutukoy gamit ang mga nakikipagkumpitensyang puntos (3,4).

Sa kumplikadong pagguhit (Larawan 1.63), dalawang eroplano ang nakatakda: ang isa ay isang tatsulok ABC pangkalahatang posisyon, ang iba pa - isang tatsulok DEF patayo sa frontal projection plane, i.e. matatagpuan sa isang pribadong posisyon (front-projecting). Frontal projection ng linya ng intersection ng mga triangles ( 1 / 2 / ) ay matatagpuan batay sa mga karaniwang punto na sabay na nabibilang sa parehong mga tatsulok (lahat ng bagay na nasa front-projecting triangle DEF sa frontal projection ay magreresulta sa isang linya - ang projection nito sa frontal plane, kasama ang linya ng intersection nito sa triangle ABC. Ayon sa pag-aari ng mga punto ng intersection sa mga gilid ng tatsulok ABC, nakita namin ang pahalang na projection ng linya ng intersection ng mga triangles. Gamit ang paraan ng mga nakikipagkumpitensya na puntos, tinutukoy namin ang kakayahang makita ng mga elemento ng tatsulok sa pahalang na eroplano ng mga projection.

kanin. 1.63 Fig. 1.64

Ang Figure 1.64 ay nagpapakita ng isang kumplikadong pagguhit ng dalawang eroplano na tinukoy ng isang tatsulok sa pangkalahatang posisyon ABC at pahalang na naka-project na eroplano R, na ibinigay ng mga bakas. Mula sa eroplano R- pahalang na projecting, pagkatapos ang lahat ng nasa loob nito, kabilang ang linya ng intersection nito sa eroplano ng tatsulok ABC, sa pahalang na projection ay magkakasabay nito

pahalang na track. Ang frontal projection ng linya ng intersection ng mga eroplanong ito ay matatagpuan mula sa kondisyon na ang mga punto ng elemento ay nabibilang sa (mga gilid) ng eroplano ng pangkalahatang posisyon.

Sa kaso ng pagtukoy ng mga eroplano sa pangkalahatang posisyon hindi sa pamamagitan ng mga bakas, pagkatapos ay upang makuha ang linya ng intersection ng mga eroplano, ang punto ng pulong ng gilid ng isang tatsulok na may eroplano ng isa pang tatsulok ay sunud-sunod na matatagpuan. Kung ang mga eroplano sa pangkalahatang posisyon ay hindi ibinibigay ng mga tatsulok, kung gayon ang linya ng intersection ng naturang mga eroplano ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagpapakilala ng dalawang auxiliary secant na eroplano sa turn - projecting (para sa pagtukoy ng mga eroplano sa pamamagitan ng triangles) o antas para sa lahat ng iba pang mga kaso.

Intersection ng isang linya sa pangkalahatang posisyon na may isang eroplano sa pangkalahatang posisyon. Noong nakaraan, ang mga kaso ng intersection ng mga eroplano ay isinasaalang-alang, kapag ang isa sa kanila ay projecting. Batay dito, mahahanap natin ang punto ng intersection ng isang linya sa pangkalahatang posisyon na may isang eroplano sa pangkalahatang posisyon sa pamamagitan ng pagpapakilala ng karagdagang projecting mediator plane.

Bago isaalang-alang ang intersection ng mga eroplano sa pangkalahatang posisyon, isaalang-alang ang intersection ng isang linya sa pangkalahatang posisyon na may isang eroplano sa pangkalahatang posisyon.

Upang mahanap ang tagpuan ng isang linya sa pangkalahatang posisyon na may isang eroplano sa pangkalahatang posisyon, ito ay kinakailangan:

1) ilakip ang isang tuwid na linya sa isang auxiliary projecting plane,

2) hanapin ang linya ng intersection ng ibinigay at auxiliary na eroplano,

tukuyin ang isang karaniwang punto na nabibilang nang sabay-sabay sa dalawang eroplano (ito ang kanilang linya ng intersection) at isang tuwid na linya.

kanin. 1.65 Fig. 1.66

kanin. 1.67 Fig. 1.68

Ang kumplikadong pagguhit (Larawan 1.65) ay nagpapakita ng isang tatsulok CDE pangkalahatang posisyon at direkta AB pangkalahatang posisyon. Upang mahanap ang punto ng intersection ng isang linya na may isang eroplano, tapusin namin ang linya AB Q. Hanapin natin ang linya ng intersection ( 12 ) intermediary plane Q at binigay na eroplano CDE. Kapag gumagawa ng isang pahalang na projection ng linya ng intersection, mayroong isang karaniwang punto Upang, sabay-sabay na kabilang sa dalawang eroplano at isang ibinigay na linya AB. Mula sa pag-aari ng isang punto hanggang sa isang tuwid na linya, nakita namin ang frontal projection ng punto ng intersection ng isang tuwid na linya na may isang naibigay na eroplano. Ang kakayahang makita ng mga elemento ng isang tuwid na linya sa mga projection planes ay tinutukoy gamit ang mga nakikipagkumpitensyang puntos.

Ang Figure 1.66 ay nagpapakita ng isang halimbawa ng paghahanap ng tagpuan ng isang tuwid na linya AB, na isang pahalang na linya (ang linya ay parallel sa pahalang na eroplano ng mga projection) at ang eroplano R, sa pangkalahatang posisyon, na ibinibigay ng mga bakas. Upang mahanap ang punto ng kanilang intersection, ang linya AB namamalagi sa horizontally projecting plane Q. Pagkatapos ay magpatuloy tulad ng sa halimbawa sa itaas.

Upang mahanap ang tagpuan ng isang pahalang na projecting na linya AB na may isang eroplano sa pangkalahatang posisyon (Larawan 1.67), sa pamamagitan ng tagpuan ng isang tuwid na linya na may isang eroplano (ang pahalang na projection nito ay tumutugma sa pahalang na projection ng tuwid na linya mismo) gumuhit kami ng isang pahalang na linya (i.e. tinatali namin ang punto ng intersection ng isang tuwid na linya na may isang eroplano sa isang eroplano R). Ang pagkakaroon ng natagpuan ang frontal projection ng iginuhit na pahalang sa eroplano R, markahan ang frontal projection ng meeting point ng linya AB may eroplano R.

Upang mahanap ang linya ng intersection ng mga eroplano sa pangkalahatang posisyon, na ibinigay ng mga bakas, sapat na upang markahan ang dalawang karaniwang mga punto na sabay na nabibilang sa parehong mga eroplano. Ang nasabing mga punto ay ang mga punto ng intersection ng kanilang mga bakas (Larawan 1.68).

Upang mahanap ang linya ng intersection ng mga eroplano sa pangkalahatang posisyon, na ibinigay ng dalawang tatsulok (Larawan 1.69), sunud-sunod nating hinahanap ang punto

pulong ng gilid ng isang tatsulok sa eroplano ng isa pang tatsulok. Ang pagkuha ng anumang dalawang panig mula sa anumang tatsulok, na isinasama ang mga ito sa mga tagapamagitan na nagpapalabas ng mga eroplano, dalawang puntos ang natagpuan na sabay na nabibilang sa parehong mga tatsulok - ang linya ng kanilang intersection.

Ang Figure 1.69 ay nagpapakita ng isang kumplikadong pagguhit ng mga tatsulok ABC at DEF pangkalahatang posisyon. Upang mahanap ang linya ng intersection ng mga eroplanong ito:

1. Tinatapos namin ang panig araw tatsulok ABC papunta sa frontal projection plane S(ang pagpili ng mga eroplano ay ganap na arbitrary).

2. Hanapin ang linya ng intersection ng eroplano S at eroplano DEF – 12 .

3. Minarkahan namin ang pahalang na projection ng meeting point (karaniwang punto ng dalawang triangles) Upang mula sa intersection 12 at araw at hanapin ang frontal projection nito sa frontal projection ng linya Araw.

4. Gumuhit kami ng pangalawang auxiliary projecting plane Q sa kabila D.F. tatsulok DEF.

5. Hanapin ang linya ng intersection ng eroplano Q at tatsulok ABC - 3 4.

6. Markahan ang pahalang na projection ng punto L, na siyang tagpuan ng partido D.F. may tatsulok na eroplano ABC at hanapin ang frontal projection nito.

7. Ikinonekta namin ang parehong pinangalanang projection ng mga puntos Upang at L. hanggang L- linya ng intersection ng mga eroplano sa pangkalahatang posisyon, na ibinigay ng mga tatsulok ABC at DEF.

8. Gamit ang paraan ng mga nakikipagkumpitensyang puntos, tinutukoy namin ang kakayahang makita ng mga elemento ng mga tatsulok sa mga projection plane.

Dahil ang nasa itaas ay wasto din para sa mga pangunahing linya ng magkatulad na mga eroplano, maaari nating sabihin iyon ang mga eroplano ay parallel kung ang kanilang mga bakas ng parehong pangalan ay parallel(Larawan 1.71).
Ipinapakita ng Figure 1.72 ang pagtatayo ng isang eroplanong parallel sa ibinigay na isa at dumadaan sa punto PERO. Sa unang kaso, sa pamamagitan ng punto PERO ang isang tuwid na linya (harap) ay iginuhit parallel sa isang ibinigay na eroplano G. Kaya, ang isang eroplano ay iginuhit R naglalaman ng isang linya parallel sa isang ibinigay na eroplano G at kahanay nito. Sa pangalawang kaso, sa pamamagitan ng punto PERO ang isang eroplano ay iginuhit, na ibinibigay ng mga pangunahing linya mula sa kondisyon ng parallelism ng mga linyang ito sa isang naibigay na eroplano G.

Parehong patayo na mga eroplano.Kung ang isang eroplano ay naglalaman ng

hindi bababa sa isang linya na patayo sa isa pang eroplano, pagkatapos ay ganoon

ang mga eroplano ay patayo. Larawan 1.73 ang magkabilang patayo na mga eroplano ay ipinapakita. Ipinapakita ng Figure 1.74 ang pagbuo ng isang eroplano na patayo sa ibinigay sa pamamagitan ng punto PERO, gamit ang kondisyon ng perpendicularity ng isang tuwid na linya (sa kasong ito, ang mga pangunahing linya) sa eroplano.

Sa unang kaso, sa pamamagitan ng punto PERO ang isang frontal ay iginuhit patayo sa eroplano R, ang pahalang na bakas nito ay itinayo at ang isang pahalang na bakas ng eroplano ay iginuhit sa pamamagitan nito Q , patayo sa pahalang na bakas ng eroplano R. Sa pamamagitan ng nagresultang pagkawalang punto Q X isang frontal na bakas ng eroplano ay iginuhit Q patayo sa harap na bakas ng eroplano R.

Sa pangalawang kaso, ang mga pahalang na linya ay iginuhit sa eroplano ng tatsulok MAGING at pangharap bf at sa pamamagitan ng isang naibigay na punto PERO itinakda namin ang eroplano sa pamamagitan ng pag-intersecting ng mga tuwid na linya (pangunahing linya) na patayo sa eroplano ng tatsulok. Upang gawin ito, gumuhit sa punto PERO pahalang at pangharap. Ang pahalang na projection ng pahalang ng nais na eroplano ( N) gumuhit kami patayo sa pahalang na projection ng pahalang ng tatsulok, ang frontal projection ng harap ng bagong eroplano ( M) ay patayo sa frontal projection ng harap ng tatsulok.

Stereometry

Mutual na pag-aayos ng mga linya at eroplano

Sa kalawakan

Paralelismo ng mga linya at eroplano

Dalawang linya sa espasyo ang tinatawag parallel kung nakahiga sila sa parehong eroplano at hindi nagsalubong.

Tinatawag na linya at eroplano parallel kung hindi sila magsalubong.

Tinatawag ang dalawang eroplano parallel kung hindi sila magsalubong.

Ang mga linya na hindi nagsalubong at hindi nakahiga sa parehong eroplano ay tinatawag interbreeding .

Tanda ng parallelism ng isang tuwid na linya at isang eroplano. Kung ang isang linya na hindi kabilang sa isang eroplano ay parallel sa ilang linya sa eroplanong iyon, kung gayon ito ay parallel din sa mismong eroplano.

Tanda ng parallel planes. Kung ang dalawang intersecting na linya ng isang eroplano ay magkatulad na parallel sa dalawang linya ng isa pang eroplano, kung gayon ang mga eroplanong ito ay parallel.

Tanda ng mga linyang nagsasalubong. Kung ang isa sa dalawang linya ay nasa isang eroplano, at ang isa pa ay nagsalubong sa eroplanong ito sa isang punto na hindi kabilang sa unang linya, kung gayon ang mga linyang ito ay nagsalubong.

Theorem ng parallel lines at parallel planes.

1. Dalawang linya na kahanay sa ikatlong linya ay magkatulad.

2. Kung ang isa sa dalawang parallel na linya ay nag-intersect sa isang eroplano, ang kabilang linya ay nag-intersect sa eroplanong ito.

3. Sa pamamagitan ng isang punto sa labas ng isang ibinigay na linya, ang isa ay maaaring gumuhit ng isang linya parallel sa ibinigay na linya, at isa lamang.

4. Kung ang isang linya ay parallel sa bawat isa sa dalawang intersecting na eroplano, kung gayon ito ay parallel sa kanilang linya ng intersection.

5. Kung ang dalawang parallel na eroplano ay intersected ng isang ikatlong eroplano, pagkatapos ay ang mga linya ng intersection ay parallel.

6. Sa pamamagitan ng isang puntong hindi nakahiga sa isang naibigay na eroplano, ang isang tao ay maaaring gumuhit ng isang eroplanong parallel sa ibinigay na isa, at isa lamang.

7. Dalawang eroplano na parallel sa isang third ay parallel sa isa't isa.

8. Ang mga segment ng parallel na linya na nakapaloob sa pagitan ng mga parallel na eroplano ay pantay.

Mga anggulo sa pagitan ng mga linya at eroplano

Anggulo sa pagitan ng linya at eroplano ang anggulo sa pagitan ng linya at ang projection nito sa eroplano ay tinatawag (ang anggulo sa Fig. 1).

Anggulo sa pagitan ng mga skew na linya ay ang anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya parallel ayon sa pagkakabanggit sa mga ibinigay na skew na linya.

dihedral na anggulo Ang isang pigura na nabuo ng dalawang kalahating eroplano na may isang karaniwang tuwid na linya ay tinatawag. Half planes ang tawag mga mukha , tuwid na linya gilid dihedral na anggulo.

Linear na anggulo Ang anggulo ng dihedral ay ang anggulo sa pagitan ng mga kalahating linya na kabilang sa mga mukha ng anggulo ng dihedral, na nagmumula sa isang punto sa gilid at patayo sa gilid (ang anggulo sa Fig. 2).

Ang antas (radian) na sukat ng isang dihedral na anggulo ay katumbas ng antas (radian) na sukat ng linear na anggulo nito.

Perpendicularity ng mga linya at eroplano

Ang dalawang linya ay tinatawag patayo kung magsalubong sila sa tamang mga anggulo.

Ang isang linya na nagsasalubong sa isang eroplano ay tinatawag patayo ang eroplanong ito kung ito ay patayo sa anumang linya sa eroplano na dumadaan sa punto ng intersection ng linyang ito at ng eroplano.

Tinatawag ang dalawang eroplano patayo , kung intersecting, bumubuo sila ng mga tamang dihedral na anggulo.

Isang tanda ng perpendicularity ng isang tuwid na linya at isang eroplano. Kung ang isang linya na bumabagtas sa isang eroplano ay patayo sa dalawang intersecting na linya sa eroplanong iyon, kung gayon ito ay patayo sa eroplano.

Tanda ng perpendicularity ng dalawang eroplano. Kung ang isang eroplano ay dumaan sa isang linya na patayo sa isa pang eroplano, ang mga eroplanong ito ay patayo.

Theorems sa patayo na linya at eroplano.

1. Kung ang isang eroplano ay patayo sa isa sa dalawang magkatulad na linya, kung gayon ito ay patayo din sa isa.

2. Kung ang dalawang linya ay patayo sa parehong eroplano, kung gayon sila ay parallel.

3. Kung ang isang linya ay patayo sa isa sa dalawang magkatulad na eroplano, kung gayon ito ay patayo din sa isa.

4. Kung ang dalawang eroplano ay patayo sa parehong linya, kung gayon sila ay parallel.

Perpendicular at pahilig

Teorama. Kung ang isang patayo at pahilig na mga linya ay iginuhit mula sa isang punto sa labas ng eroplano, kung gayon:

1) hilig, pagkakaroon ng pantay na projection, ay pantay;

2) sa dalawang hilig, ang isa na ang projection ay mas malaki ay mas malaki;

3) ang mga pantay na oblique ay may pantay na projection;

4) sa dalawang projection, mas malaki ang tumutugma sa mas malaking slope.

Tatlong perpendicular theorem. Upang ang isang tuwid na linya na nakahiga sa isang eroplano ay maging patayo sa isang hilig, ito ay kinakailangan at sapat na ang tuwid na linya na ito ay patayo sa projection ng hilig (Larawan 3).

Theorem sa lugar ng orthogonal projection ng isang polygon papunta sa isang eroplano. Ang lugar ng isang orthogonal projection ng isang polygon papunta sa isang eroplano ay katumbas ng produkto ng lugar ng polygon na beses ang cosine ng anggulo sa pagitan ng eroplano ng polygon at ang projection plane.

Konstruksyon.

1. Sa eroplano a gumuhit ng isang tuwid na linya a.

3. Sa eroplano b sa pamamagitan ng isang punto PERO gumuhit tayo ng isang tuwid na linya b, parallel sa linya a.

4. Bumuo ng isang tuwid na linya b parallel sa eroplano a.

Patunay. Sa batayan ng parallelism ng isang tuwid na linya at isang eroplano, isang tuwid na linya b parallel sa eroplano a, dahil ito ay parallel sa linya a kabilang sa eroplano a.

Mag-aral. Ang problema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon, dahil ang linya a sa eroplano a ay pinipili nang arbitraryo.

Halimbawa 2 Tukuyin kung gaano kalayo ang isang punto mula sa isang eroplano PERO kung tuwid AB nag-intersect sa eroplano sa isang anggulo na 45º, ang distansya mula sa punto PERO sa punto AT, na kabilang sa eroplano, ay katumbas ng cm?

Desisyon. Gumawa tayo ng drawing (Larawan 5):

AC- patayo sa eroplano a, AB- hilig, anggulo ABC- ang anggulo sa pagitan ng linya AB at eroplano a. Tatsulok ABC- hugis-parihaba bilang AC- patayo. Ninanais na distansya mula sa isang punto PERO sa eroplano - ito ang binti AC kanang tatsulok. Alam ang anggulo at hypotenuse cm, nakita namin ang binti AC:

Sagot: 3 cm

Halimbawa 3 Tukuyin kung gaano kalayo mula sa eroplano ng isang isosceles triangle ang isang punto na 13 cm ang layo mula sa bawat isa sa mga vertices ng triangle kung ang base at taas ng triangle ay 8 cm bawat isa?

Desisyon. Gumawa tayo ng drawing (Larawan 6). Dot S malayo sa mga puntos PERO, AT at Sa sa parehong distansya. Kaya hilig SA, SB at SC pantay, KAYA- ang karaniwang patayo ng mga hilig na ito. Sa pamamagitan ng pahilig at projection theorem AO = BO = CO.

Dot O- ang gitna ng isang bilog na nakapaligid sa isang tatsulok ABC. Hanapin natin ang radius nito:

saan araw- base;

AD ay ang taas ng ibinigay na isosceles triangle.

Paghahanap ng mga gilid ng isang tatsulok ABC mula sa isang tamang tatsulok ABD ayon sa Pythagorean theorem:

Ngayon nahanap namin OV:

Isaalang-alang ang isang tatsulok SOB: SB= 13 cm, OV= = 5 cm.Hanapin ang haba ng patayo KAYA ayon sa Pythagorean theorem:

Sagot: 12 cm

Halimbawa 4 Ibinigay parallel planes a at b. Sa pamamagitan ng tuldok M, na hindi kabilang sa alinman sa mga ito, ang mga tuwid na linya ay iginuhit a at b, aling krus a sa mga punto PERO 1 at AT 1 , at ang eroplano b- sa mga punto PERO 2 at AT 2. Hanapin PERO 1 AT 1 kung ito ay kilala na MA 1 = 8 cm, PERO 1 PERO 2 = 12 cm, PERO 2 AT 2 = 25 cm.

Desisyon. Dahil hindi sinasabi ng kundisyon kung paano matatagpuan ang punto na may kaugnayan sa parehong mga eroplano M, pagkatapos ay dalawang opsyon ang posible: (Larawan 7, a) at (Larawan 7, b). Isaalang-alang natin ang bawat isa sa kanila. Dalawang linyang magkasalubong a at b tukuyin ang isang eroplano. Nag-intersect ang eroplanong ito sa dalawang parallel na eroplano a at b kasama ang mga parallel na linya PERO 1 AT 1 at PERO 2 AT 2 ayon sa Theorem 5 sa parallel lines at parallel planes.

mga tatsulok MA 1 AT 1 at MA 2 AT 2 ay magkatulad (angles PERO 2 MV 2 at PERO 1 MV 1 - patayo, mga sulok MA 1 AT 1 at MA 2 AT 2 - panloob na krus na nakahiga na may mga parallel na linya PERO 1 AT 1 at PERO 2 AT 2 at secant PERO 1 PERO 2). Mula sa pagkakapareho ng mga tatsulok ay sumusunod sa proporsyonalidad ng mga panig:

Pagpipilian a):

Pagpipilian b):

Sagot: 10 cm at 50 cm.

Halimbawa 5 Sa pamamagitan ng tuldok PERO eroplano g direkta AB bumubuo ng isang anggulo sa eroplano a. Sa pamamagitan ng isang tuwid na linya AB iginuhit na eroplano r, na bumubuo sa eroplano g iniksyon b. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng projection ng linya AB papunta sa eroplano g at eroplano r.

Desisyon. Gumawa tayo ng drawing (Larawan 8). Mula sa isang punto AT drop ng isang patayo sa eroplano g. Linear dihedral angle sa pagitan ng mga eroplano g at r ay ang anggulo AD DBC, sa batayan ng perpendicularity ng linya at ng eroplano, dahil at Sa batayan ng perpendicularity ng mga eroplano, ang eroplano r patayo sa eroplano ng tatsulok DBC, dahil dumadaan ito sa linya AD. Binubuo namin ang nais na anggulo sa pamamagitan ng pag-drop ng patayo mula sa punto Sa papunta sa eroplano r, tukuyin ito Hanapin ang sine ng anggulong ito ng isang tamang tatsulok SARILI KO. Ipinakilala namin ang isang pantulong na segment a = araw. Mula sa isang tatsulok ABC: Mula sa isang tatsulok hukbong-dagat hanapin

Pagkatapos ang kinakailangang anggulo

Sagot:

Mga gawain para sa malayang solusyon

level ko

1.1. Sa pamamagitan ng isang punto, gumuhit ng isang linya na patayo sa dalawang ibinigay na linya ng skew.

1.2. Tukuyin kung gaano karaming iba't ibang mga eroplano ang maaaring iguhit:

1) sa pamamagitan ng tatlong magkakaibang mga punto;

2) sa pamamagitan ng apat na magkakaibang mga punto, walang tatlo na namamalagi sa parehong eroplano?

1.3. sa pamamagitan ng mga vertex ng tatsulok ABC, na nakahiga sa isa sa dalawang magkatulad na eroplano, ang mga parallel na linya ay iginuhit na nagsalubong sa pangalawang eroplano sa mga punto PERO 1 , AT 1 , Sa isa. Patunayan na ang mga tatsulok ay pantay ABC at PERO 1 AT 1 Sa 1 .

1.4. Mula sa itaas PERO parihaba A B C D itinayo patayo AM papunta sa eroplano nito.

1) patunayan na ang mga tatsulok MBC at MDC- hugis-parihaba;

2) ipahiwatig sa mga segment MB, MC, MD at MA segment ng pinakamalaki at pinakamaliit na haba.

1.5. Ang mga mukha ng isang dihedral na anggulo ay parallel sa mga mukha ng isa pa. Tukuyin kung ano ang kaugnayan sa pagitan ng mga halaga ng mga dihedral na anggulo na ito.

1.6. Hanapin ang halaga ng anggulo ng dihedral kung ang distansya mula sa puntong kinuha sa isang mukha hanggang sa gilid ay 2 beses ang distansya mula sa punto hanggang sa eroplano ng pangalawang mukha.

1.7. Mula sa isang punto na pinaghihiwalay mula sa eroplano sa pamamagitan ng isang distansya, dalawang pantay na hilig na linya ay iguguhit, na bumubuo ng isang anggulo ng 60º. Ang mga projection ng mga hilig na eroplano ay magkaparehong patayo. Hanapin ang mga haba ng obliques.

1.8. Mula sa itaas AT parisukat A B C D itinayo patayo MAGING sa eroplano ng parisukat. Ang anggulo ng pagkahilig ng eroplano ng tatsulok ACE sa eroplano ng parisukat ay j, ang gilid ng parisukat ay a ACE.

II antas

2.1. Sa pamamagitan ng isang punto na hindi kabilang sa alinman sa dalawang magkasalubong na linya, gumuhit ng isang linya na nagsa-intersect sa parehong ibinigay na mga linya.

2.2. Mga parallel na linya a, b at kasama huwag magsinungaling sa parehong eroplano. Sa pamamagitan ng tuldok PERO sa isang tuwid na linya a iginuhit patayo sa mga linya b at kasama, intersecting ang mga ito ayon sa pagkakabanggit sa mga punto AT at Sa. Patunayan na ang linya araw patayo sa mga tuwid na linya b at kasama.

2.3. Sa pamamagitan ng tuktok PERO kanang tatsulok ABC isang eroplanong iginuhit parallel sa araw. Mga tatsulok na binti AC= 20 cm, araw\u003d 15 cm Ang projection ng isa sa mga binti sa eroplano ay 12 cm Hanapin ang projection ng hypotenuse.

2.4. Sa isa sa mga mukha ng isang dihedral na anggulo na katumbas ng 30º, mayroong isang punto M. Ang distansya mula dito hanggang sa gilid ng sulok ay 18 cm.Hanapin ang distansya mula sa projection ng punto M sa pangalawang gilid hanggang sa unang gilid.

2.5. Natapos ang linya AB nabibilang sa mga mukha ng isang dihedral na anggulo na katumbas ng 90º. Distansya mula sa mga puntos PERO at AT hanggang sa gilid ay pantay-pantay AA 1 = 3 cm, BB 1 \u003d 6 cm, distansya sa pagitan ng mga punto sa gilid Hanapin ang haba ng segment AB.

2.6. Mula sa isang puntong hiwalay sa eroplano ng layo a, dalawang hilig ang iginuhit, na bumubuo ng mga anggulo na 45º at 30º sa eroplano, at sa pagitan ng mga ito ay isang anggulo na 90º. Hanapin ang distansya sa pagitan ng mga base ng mga slope.

2.7. Ang mga gilid ng tatsulok ay 15 cm, 21 cm at 24 cm. Point M inalis mula sa eroplano ng tatsulok ng 73 cm at nasa parehong distansya mula sa mga vertices nito. Hanapin ang distansyang ito.

2.8. Mula sa gitna O bilog na nakasulat sa isang tatsulok ABC, patayo sa eroplano ng tatsulok OM. Hanapin ang distansya mula sa isang punto M sa mga gilid ng tatsulok, kung AB = BC = 10 cm AC= 12 cm, OM= 4 cm.

2.9. Mga distansya mula sa isang punto M sa mga gilid at vertex ng tamang anggulo ay ayon sa pagkakabanggit 4 cm, 7 cm at 8 cm. Hanapin ang distansya mula sa punto M sa eroplano ng tamang anggulo.

2.10. Sa pamamagitan ng base AB isosceles triangle ABC eroplanong iginuhit sa isang anggulo b sa eroplano ng tatsulok. Vertex Sa inalis mula sa eroplano sa malayo a. Hanapin ang lugar ng isang tatsulok ABC kung ang basehan AB ng isang isosceles triangle ay katumbas ng taas nito.

III antas

3.1. Layout ng parihaba A B C D kasama ang mga partido a at b nakatiklop pahilis BD upang ang mga eroplano ng mga tatsulok masama at BCD maging mutually perpendicular. Hanapin ang haba ng segment AC.

3.2. Dalawang hugis-parihaba na trapezoid na may mga anggulo na 60º ay nakahiga sa mga patayong eroplano at may mas malaking karaniwang base. Ang malalaking gilid ng gilid ay 4 cm at 8 cm. Hanapin ang distansya sa pagitan ng mga vertices ng mga tuwid na linya at ang mga vertices ng obtuse na mga anggulo ng trapezium kung ang mga vertices ng kanilang mga acute na anggulo ay nagtutugma.

3.3 Ang kubo ay ibinibigay ABCDA 1 B 1 C 1 D isa. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng linya CD 1 at eroplano bdc 1 .

3.4. nasa gilid AB Cuba ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 puntos ang nakuha R ay ang gitna ng gilid na ito. Bumuo ng isang seksyon ng isang kubo sa pamamagitan ng isang eroplanong dumadaan sa mga punto C 1 PD at hanapin ang lugar ng seksyong ito kung ang gilid ng kubo ay a.

3.5. Sa kabila AD parihaba A B C D iginuhit na eroplano a upang ang dayagonal BD gumagawa ng isang anggulo ng 30 degrees sa eroplanong ito. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng eroplano ng parihaba at ng eroplano a, kung AB = a, AD=b. Tukuyin kung anong ratio a at b may solusyon ang problema.

3.6. Hanapin ang locus ng mga puntos na katumbas ng layo mula sa mga linya na tinukoy ng mga gilid ng tatsulok.

Prisma. Parallelepiped

prisma ay tinatawag na polyhedron na ang dalawang mukha ay magkapantay na n-gons (grounds) , na nakahiga sa parallel na mga eroplano, at ang natitirang n mga mukha ay parallelograms (mga gilid ng gilid) . Tadyang sa gilid Ang prisma ay ang gilid ng lateral face na hindi kabilang sa base.

Ang isang prisma na ang mga gilid ng gilid ay patayo sa mga eroplano ng mga base ay tinatawag tuwid prisma (Larawan 1). Kung ang mga gilid ng gilid ay hindi patayo sa mga eroplano ng mga base, kung gayon ang prisma ay tinatawag pahilig . tama Ang prisma ay isang tuwid na prisma na ang mga base ay regular na polygons.

taas Ang prisma ay tinatawag na distansya sa pagitan ng mga eroplano ng mga base. dayagonal Ang prisma ay isang segment na nagdudugtong sa dalawang vertice na hindi kabilang sa iisang mukha. diagonal na seksyon Ang isang seksyon ng isang prisma sa pamamagitan ng isang eroplano na dumadaan sa dalawang gilid na gilid na hindi kabilang sa parehong mukha ay tinatawag. Perpendikular na seksyon tinatawag na seksyon ng prisma sa pamamagitan ng isang eroplanong patayo sa gilid ng gilid ng prisma.

Side surface area Ang prisma ay ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng panig na mukha. Buong lugar sa ibabaw ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga mukha ng prisma ay tinatawag (i.e., ang kabuuan ng mga lugar ng mga gilid na mukha at ang mga lugar ng mga base).

Para sa isang di-makatwirang prisma, ang mga formula ay totoo:

saan l ay ang haba ng gilid na tadyang;

H- taas;

P

Q

S gilid

S puno

S pangunahing ay ang lugar ng mga base;

V ay ang dami ng prisma.

Para sa isang tuwid na prisma, ang mga sumusunod na formula ay totoo:

saan p- ang perimeter ng base;

l ay ang haba ng gilid na tadyang;

H- taas.

Parallelepiped Ang isang prisma na ang base ay isang paralelogram ay tinatawag. Ang isang parallelepiped na ang mga gilid ng gilid ay patayo sa mga base ay tinatawag direkta (Larawan 2). Kung ang mga gilid ng gilid ay hindi patayo sa mga base, kung gayon ang parallelepiped ay tinatawag pahilig . Ang isang kanang parallelepiped na ang base ay isang parihaba ay tinatawag hugis-parihaba. Ang isang parihabang parallelepiped kung saan ang lahat ng mga gilid ay pantay ay tinatawag kubo.

Ang mga mukha ng isang parallelepiped na walang mga karaniwang vertex ay tinatawag kabaligtaran . Ang mga haba ng mga gilid na nagmumula sa isang vertex ay tinatawag mga sukat parallelepiped. Dahil ang kahon ay isang prisma, ang mga pangunahing elemento nito ay tinukoy sa parehong paraan tulad ng mga ito ay tinukoy para sa mga prisma.

Theorems.

1. Ang mga dayagonal ng parallelepiped ay nagsalubong sa isang punto at hinahati ito.

2. Sa isang parihabang parallelepiped, ang parisukat ng haba ng dayagonal ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng tatlong dimensyon nito:

3. Ang lahat ng apat na diagonal ng isang parihabang parallelepiped ay katumbas ng bawat isa.

Para sa isang arbitrary na parallelepiped, ang mga sumusunod na formula ay totoo:

saan l ay ang haba ng gilid na tadyang;

H- taas;

P ay ang perimeter ng perpendikular na seksyon;

Q- Lugar ng patayong seksyon;

S gilid ay ang lateral surface area;

S puno ay ang kabuuang lugar sa ibabaw;

S pangunahing ay ang lugar ng mga base;

V ay ang dami ng prisma.

Para sa tamang parallelepiped, totoo ang mga sumusunod na formula:

saan p- ang perimeter ng base;

l ay ang haba ng gilid na tadyang;

H ay ang taas ng kanang parallelepiped.

Para sa isang parihabang parallelepiped, ang mga sumusunod na formula ay totoo:

saan p- ang perimeter ng base;

H- taas;

d- dayagonal;

a,b,c– mga sukat ng parallelepiped.

Ang mga tamang formula para sa isang kubo ay:

saan a ay ang haba ng tadyang;

d ay ang dayagonal ng kubo.

Halimbawa 1 Ang dayagonal ng isang rectangular cuboid ay 33 dm, at ang mga sukat nito ay nauugnay bilang 2:6:9. Hanapin ang mga sukat ng cuboid.

Desisyon. Upang mahanap ang mga sukat ng parallelepiped, ginagamit namin ang formula (3), i.e. ang katotohanan na ang parisukat ng hypotenuse ng isang cuboid ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga sukat nito. Tukuyin ng k koepisyent ng proporsyonalidad. Kung gayon ang mga sukat ng parallelepiped ay magiging katumbas ng 2 k, 6k at 9 k. Sumulat kami ng formula (3) para sa data ng problema:

Paglutas ng equation na ito para sa k, nakukuha natin:

Samakatuwid, ang mga sukat ng parallelepiped ay 6 dm, 18 dm at 27 dm.

Sagot: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Halimbawa 2 Hanapin ang volume ng isang inclined triangular prism na ang base ay isang equilateral triangle na may gilid na 8 cm, kung ang lateral edge ay katumbas ng gilid ng base at nakahilig sa isang anggulo na 60º sa base.

Desisyon . Gumawa tayo ng drawing (Larawan 3).

Upang mahanap ang dami ng isang hilig na prisma, kailangan mong malaman ang lugar ng base at taas. Ang lugar ng base ng prisma na ito ay ang lugar ng isang equilateral triangle na may gilid na 8 cm. Kalkulahin ito:

Ang taas ng isang prisma ay ang distansya sa pagitan ng mga base nito. Mula sa itaas PERO 1 ng itaas na base ay ibinababa namin ang patayo sa eroplano ng mas mababang base PERO 1 D. Ang haba nito ay magiging taas ng prisma. Isaalang-alang ang D PERO 1 AD: dahil ito ang anggulo ng pagkahilig ng gilid ng tadyang PERO 1 PERO sa base plane PERO 1 PERO= 8 cm Mula sa tatsulok na ito makikita natin PERO 1 D:

Ngayon kalkulahin namin ang volume gamit ang formula (1):

Sagot: 192 cm3.

Halimbawa 3 Ang lateral edge ng isang regular na hexagonal prism ay 14 cm. Ang lugar ng pinakamalaking diagonal na seksyon ay 168 cm 2. Hanapin ang kabuuang lugar ng ibabaw ng prisma.

Desisyon. Gumawa tayo ng drawing (Fig. 4)

Ang pinakamalaking seksyon ng dayagonal ay isang parihaba AA 1 DD 1 , dahil ang dayagonal AD regular na heksagono ABCDEF ay ang pinakamalaking. Upang makalkula ang lateral surface area ng isang prisma, kinakailangang malaman ang gilid ng base at ang haba ng lateral rib.

Alam ang lugar ng seksyon ng dayagonal (parihaba), nahanap namin ang dayagonal ng base.

Dahil, kung gayon

Simula noon AB= 6 cm.

Kung gayon ang perimeter ng base ay:

Hanapin ang lugar ng lateral surface ng prisma:

Ang lugar ng isang regular na hexagon na may gilid na 6 cm ay:

Hanapin ang kabuuang lugar ng ibabaw ng prisma:

Sagot:

Halimbawa 4 Ang base ng isang kanang parallelepiped ay isang rhombus. Ang mga lugar ng mga diagonal na seksyon ay 300 cm 2 at 875 cm 2. Hanapin ang lugar ng gilid na ibabaw ng parallelepiped.

Desisyon. Gumawa tayo ng drawing (Larawan 5).

Tukuyin ang gilid ng rhombus sa pamamagitan ng a, ang mga dayagonal ng rhombus d 1 at d 2, ang taas ng kahon h. Upang mahanap ang lateral surface area ng isang tuwid na parallelepiped, kinakailangan upang i-multiply ang perimeter ng base sa taas: (formula (2)). Base perimeter p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, bilang A B C D- rhombus. H = AA 1 = h. yun. Kailangang hanapin a at h.

Isaalang-alang ang mga diagonal na seksyon. AA 1 SS 1 - isang rektanggulo, ang isang gilid nito ay ang dayagonal ng isang rhombus AC = d 1 , pangalawang gilid na gilid AA 1 = h, pagkatapos

Katulad din para sa seksyon BB 1 DD 1 makuha natin:

Gamit ang pag-aari ng isang paralelogram na ang kabuuan ng mga parisukat ng mga dayagonal ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng lahat ng panig nito, nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay Nakukuha natin ang sumusunod:

Mula sa unang dalawang pagkakapantay-pantay, ipinapahayag at pinapalitan natin ang pangatlo. Nakukuha namin: pagkatapos

1.3. Sa isang hilig na tatsulok na prisma, ang isang seksyon ay iginuhit patayo sa gilid ng gilid na katumbas ng 12 cm Sa resultang tatsulok, ang dalawang panig na may haba na cm at 8 cm ay bumubuo ng isang anggulo na 45 °. Hanapin ang lateral surface area ng prisma.

1.4. Ang base ng isang right parallelepiped ay isang rhombus na may gilid na 4 cm at isang matinding anggulo na 60°. Hanapin ang mga dayagonal ng parallelepiped kung ang haba ng gilid na gilid ay 10 cm.

1.5. Ang base ng right parallelepiped ay isang parisukat na may dayagonal na katumbas ng cm. Ang gilid na gilid ng parallelepiped ay 5 cm. Hanapin ang kabuuang surface area ng parallelepiped.

1.6. Ang base ng isang inclined parallelepiped ay isang parihaba na may mga gilid na 3 cm at 4 cm. Ang gilid ng gilid na katumbas ng cm ay nakahilig sa base plane sa isang anggulo na 60 °. Hanapin ang volume ng parallelepiped.

1.7. Kalkulahin ang surface area ng isang cuboid kung ang dalawang gilid at isang dayagonal na nagmumula sa parehong vertex ay 11 cm, cm at 13 cm, ayon sa pagkakabanggit.

1.8. Tukuyin ang bigat ng isang haligi ng bato na may hugis ng isang parihabang parallelepiped, na may sukat na 0.3 m, 0.3 m at 2.5 m, kung ang tiyak na gravity ng materyal ay 2.2 g/cm3.

1.9. Hanapin ang lugar ng diagonal na seksyon ng isang kubo kung ang dayagonal ng mukha nito ay dm.

1.10. Hanapin ang volume ng isang kubo kung ang distansya sa pagitan ng dalawang vertices nito na hindi nakahiga sa parehong mukha ay cm.

II antas

2.1. Ang base ng isang inclined prism ay isang equilateral triangle na may side cm. Ang lateral edge ay nakahilig sa base plane sa isang anggulo na 30°. Hanapin ang cross-sectional area ng prism na dumadaan sa gilid ng gilid at ang taas ng prism, kung alam na ang isa sa mga vertices ng itaas na base ay inaasahang papunta sa gitna ng gilid ng ibabang base.

2.2. Ang base ng inclined prism ay isang equilateral triangle ABC na may gilid na katumbas ng 3 cm.Ang vertex A 1 ay naka-project sa gitna ng triangle ABC. Ang tadyang AA 1 ay gumagawa ng isang anggulo na 45° sa base plane. Hanapin ang lateral surface area ng prisma.

2.3. Kalkulahin ang volume ng isang inclined triangular prism kung ang mga gilid ng base ay 7 cm, 5 cm at 8 cm, at ang taas ng prism ay katumbas ng mas mababang taas ng base triangle.

2.4. Ang dayagonal ng isang regular na quadrangular prism ay nakahilig sa gilid na mukha sa isang anggulo na 30°. Hanapin ang anggulo ng pagkahilig sa base plane.

2.5. Ang base ng isang tuwid na prisma ay isang isosceles trapezoid, ang mga base nito ay 4 cm at 14 cm, at ang dayagonal ay 15 cm Ang dalawang gilid na mukha ng prisma ay mga parisukat. Hanapin ang kabuuang lugar ng ibabaw ng prisma.

2.6. Ang mga dayagonal ng isang regular na hexagonal prism ay 19 cm at 21 cm. Hanapin ang volume nito.

2.7. Hanapin ang mga sukat ng isang cuboid na ang dayagonal ay 8 dm at bumubuo ng mga anggulo ng 30° at 40° na may mga gilid na mukha.

2.8. Ang mga diagonal ng base ng isang tuwid na parallelepiped ay 34 cm at 38 cm, at ang mga lugar ng mga gilid na mukha ay 800 cm 2 at 1200 cm 2. Hanapin ang volume ng parallelepiped.

2.9. Tukuyin ang volume ng isang cuboid kung saan ang mga dayagonal ng mga gilid na mukha na lumalabas sa isang vertex ay 4 cm at 5 cm at bumubuo ng isang anggulo na 60°.

2.10. Hanapin ang volume ng isang kubo kung ang distansya mula sa dayagonal nito hanggang sa isang gilid na hindi nagsalubong dito ay mm.

III antas

3.1. Sa isang regular na triangular na prisma, ang isang seksyon ay iginuhit sa gilid ng base at sa gitna ng kabaligtaran na gilid ng gilid. Ang base area ay 18 cm2, at ang dayagonal ng side face ay nakahilig sa base sa isang anggulo na 60°. Hanapin ang sectional area.

3.2. Ang base ng prism ay isang parisukat na ABCD, ang lahat ng mga vertices ay katumbas ng layo mula sa tuktok A 1 ng itaas na base. Ang anggulo sa pagitan ng gilid ng gilid at ang eroplano ng base ay 60°. Ang gilid ng base ay 12 cm. Bumuo ng isang seksyon ng prism sa pamamagitan ng isang eroplanong dumadaan sa vertex C, patayo sa gilid AA 1 at hanapin ang lugar nito.

3.3. Ang base ng isang kanang prisma ay isang isosceles trapezoid. Ang lugar ng diagonal na seksyon at ang lugar ng parallel na gilid na mga mukha ay ayon sa pagkakabanggit 320 cm 2 , 176 cm 2 at 336 cm 2 . Hanapin ang lateral surface area ng prisma.

3.4. Ang lugar ng base ng isang tuwid na tatsulok na prism ay 9 cm 2, ang lugar ng mga gilid na mukha ay 18 cm 2, 20 cm 2 at 34 cm 2. Hanapin ang volume ng prisma.

3.5. Hanapin ang mga dayagonal ng isang cuboid, alam na ang mga dayagonal ng mga mukha nito ay 11 cm, 19 cm at 20 cm.

3.6. Ang mga anggulo na nabuo sa pamamagitan ng dayagonal ng base ng isang parihabang parallelepiped sa gilid ng base at ang dayagonal ng parallelepiped ay katumbas ng a at b, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang lugar ng lateral surface ng parallelepiped kung ang dayagonal nito ay d.

3.7. Ang lugar ng seksyong iyon ng kubo, na isang regular na hexagon, ay cm 2. Hanapin ang surface area ng cube.

direktang lata nabibilang sa eroplano, maging siya parallel o krus eroplano. Ang isang linya ay kabilang sa isang eroplano kung ang dalawang puntos na kabilang sa linya at ang eroplano ay may parehong elevation. Ang bunga ng sinabi: ang isang punto ay kabilang sa isang eroplano kung ito ay kabilang sa isang linya na nakahiga sa eroplanong iyon.

Ang isang linya ay parallel sa isang eroplano kung ito ay parallel sa isang linya sa eroplanong iyon.

Isang tuwid na linya na nag-intersect sa isang eroplano. Upang mahanap ang punto ng intersection ng isang tuwid na linya na may isang eroplano, ito ay kinakailangan (Larawan 3.28):

1) gumuhit ng isang pantulong na eroplano sa pamamagitan ng isang naibigay na linya m T;

2) bumuo ng isang linya n intersection ng ibinigay na eroplano Σ kasama ang auxiliary plane T;

3) markahan ang intersection point R, binigay na linya m may linya ng intersection n.

Isaalang-alang ang problema (Larawan 3.29) Ang linyang m ay ibinibigay sa plano sa pamamagitan ng punto A 6 at isang anggulo ng ikiling na 35°. Ang isang auxiliary vertical plane ay iginuhit sa linyang ito. T, na nag-intersect sa eroplano Σ sa kahabaan ng linya n (B 2 C 3). Kaya, lumipat sila mula sa magkaparehong posisyon ng isang tuwid na linya at isang eroplano patungo sa magkaparehong posisyon ng dalawang tuwid na linya na nakahiga sa parehong patayong eroplano. Ang problemang ito ay nalulutas sa pamamagitan ng pagbuo ng mga profile ng mga tuwid na linyang ito. Intersection ng linya m at n tinutukoy ang nais na punto sa profile R. Pagtaas ng punto R tinutukoy ng vertical scale.

Isang tuwid na linya na patayo sa isang eroplano. Ang isang tuwid na linya ay patayo sa isang eroplano kung ito ay patayo sa alinmang dalawang intersecting na linya ng eroplanong iyon. Ang Figure 3.30 ay nagpapakita ng isang tuwid na linya m, patayo sa eroplano Σ at intersecting ito sa punto A. Sa plano ng projection ng tuwid na linya m at ang mga pahalang ng eroplano ay magkaparehong patayo (isang kanang anggulo, ang isang gilid nito ay kahanay sa eroplano ng mga projection, ay inaasahang walang pagbaluktot. Ang parehong mga linya ay nasa parehong patayong eroplano, samakatuwid, ang mga posisyon ng naturang mga linya ay kabaligtaran sa isa't isa: l m = l/l ikaw . Pero l uΣ = lΣ , pagkatapos l m = l/lΣ , iyon ay, ang pagtula ng tuwid na linya m ay inversely proportional sa pagtula ng eroplano. Ang talon sa isang tuwid na linya at ang isang eroplano ay nakadirekta sa iba't ibang direksyon.

3.4. Mga projection na may mga numerical na marka. ibabaw

3.4.1 Polyhedra at mga hubog na ibabaw. ibabaw ng topograpiko

Sa kalikasan, maraming mga sangkap ang may mala-kristal na istraktura sa anyo ng polyhedra. Ang polyhedron ay isang koleksyon ng mga polygon ng eroplano na hindi nakahiga sa parehong eroplano, kung saan ang bawat panig ng isa sa mga ito ay magkasabay na magkatabi. Kapag naglalarawan ng isang polyhedron, sapat na upang ipahiwatig ang mga projection ng mga vertices nito, pagkonekta sa kanila sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod na may mga tuwid na linya - ang mga projection ng mga gilid. Sa kasong ito, ang nakikita at hindi nakikitang mga gilid ay dapat ipahiwatig sa pagguhit. Sa fig. Ang 3.31 ay nagpapakita ng isang prisma at isang pyramid, pati na rin ang paghahanap ng mga marka ng mga puntos na kabilang sa mga ibabaw na ito.

Ang isang espesyal na pangkat ng mga convex polygon ay ang pangkat ng mga regular na polygon kung saan ang lahat ng mga mukha ay pantay na regular na mga polygon at lahat ng mga polygonal na anggulo ay pantay. Mayroong limang uri ng mga regular na polygon.

Tetrahedron- Ang isang regular na quadrangle na napapalibutan ng equilateral triangles ay may 4 na vertices at 6 na gilid (Fig. 3.32 a).

Hexahedron- isang regular na hexagon (kubo) - 8 vertices, 12 gilid (Larawan 3.32b).

Octahedron- isang regular na octahedron, limitado ng walong equilateral triangles - 6 vertices, 12 edges (Fig. 3.32c).

Dodecahedron- isang regular na dodecahedron, limitado ng labindalawang regular na pentagons, na konektado ng tatlo malapit sa bawat vertex.

Mayroon itong 20 vertices at 30 gilid (Fig. 3.32 d).

icosahedron- isang regular na dalawampu't panig na tatsulok, na nililimitahan ng dalawampung equilateral na tatsulok, na konektado ng lima malapit sa bawat vertex. 12 vertex at 30 gilid (Larawan 3.32 e).

Kapag nagtatayo ng isang punto na nakahiga sa isang mukha ng isang polyhedron, kinakailangan upang gumuhit ng isang linya na kabilang sa mukha na ito at markahan ang projection ng punto sa projection nito.

Ang mga conical na ibabaw ay nabubuo sa pamamagitan ng paggalaw ng isang rectilinear generatrix kasama ang isang curvilinear guide upang sa lahat ng posisyon ang generatrix ay dumaan sa isang nakapirming punto - ang tuktok ng ibabaw. Ang mga conical na ibabaw ng isang pangkalahatang view sa plano ay inilalarawan bilang isang gabay na pahalang at isang vertex. Sa fig. Ipinapakita ng 3.33 ang paghahanap ng marka ng isang punto sa ibabaw ng isang conical surface.

Ang isang tuwid na pabilog na kono ay inilalarawan bilang isang serye ng mga concentric na bilog na iginuhit sa mga regular na pagitan (Larawan 3.34a). Elliptical cone na may pabilog na base - isang serye ng mga sira-sira na bilog (Larawan 3.34 b)

mga spherical na ibabaw. Ang isang spherical na ibabaw ay tinutukoy bilang isang ibabaw ng rebolusyon. Ito ay nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang bilog sa paligid ng diameter nito. Sa plano, ang isang spherical na ibabaw ay tinukoy ng gitna Upang at ang projection ng isa sa mga contour nito (ang ekwador ng globo) (Larawan 3.35).

ibabaw ng topograpiko. Ang topographic surface ay tinutukoy bilang geometrically irregular surface, dahil wala itong geometric law of formation. Upang makilala ang ibabaw, tinutukoy ang posisyon ng mga katangiang puntos nito na may kaugnayan sa projection plane. Sa fig. 3.3 b at isang halimbawa ng isang seksyon ng isang topographic na ibabaw ay ibinigay, na nagpapakita ng mga projection ng mga indibidwal na punto nito. Ang ganitong plano, kahit na ginagawang posible na makakuha ng ideya ng hugis ng itinatanghal na ibabaw, gayunpaman ay hindi masyadong malinaw. Upang bigyan ang pagguhit ng higit na kalinawan at sa gayon ay mapadali ang pagbabasa nito, ang mga projection ng mga puntos na may parehong mga marka ay konektado sa pamamagitan ng makinis na mga hubog na linya, na tinatawag na mga contour lines (isolines) (Fig. 3.36 b).

Ang mga pahalang ng isang topographic na ibabaw ay minsan din ay tinukoy bilang mga linya ng intersection ng ibabaw na ito na may mga pahalang na eroplano na may pagitan sa isa't isa ng parehong distansya (Larawan 3.37). Ang pagkakaiba sa pagitan ng mga taas ng dalawang magkatabing pahalang ay tinatawag na taas ng seksyon.

Ang imahe ng topographic na ibabaw ay mas tumpak, mas maliit ang pagkakaiba sa mga elevation sa pagitan ng dalawang magkatabing linya ng contour. Sa mga plano, ang mga linya ng tabas ay sarado sa loob ng pagguhit o sa labas nito. Sa mas matarik na mga dalisdis ng ibabaw, ang mga projection ng mga linya ng tabas ay nagtatagpo, sa banayad na mga dalisdis, ang kanilang mga projection ay naghihiwalay.

Ang pinakamaikling distansya sa pagitan ng mga projection ng dalawang magkatabing pahalang sa plano ay tinatawag na laying. Sa fig. 3.38 sa pamamagitan ng tuldok PERO topographic surface ilang mga segment ng mga tuwid na linya ang iginuhit AT IKAW at AD. Lahat sila ay may iba't ibang anggulo ng saklaw. Ang pinakamalaking anggulo ng saklaw ay may isang segment AC, na ang posisyon ay may pinakamababang halaga. Samakatuwid, ito ang magiging projection ng linya ng saklaw ng ibabaw sa isang naibigay na lokasyon.

Sa fig. Ang 3.39 ay isang halimbawa ng pagbuo ng projection ng line of fall sa pamamagitan ng isang naibigay na punto PERO. Mula sa isang punto Isang 100, tulad ng mula sa gitna, gumuhit ng isang arko ng isang bilog na padaplis sa pinakamalapit na pahalang sa punto Sa 90. Dot Sa 90, nakahiga sa pahalang h 90, ay kabilang sa linya ng taglagas. Mula sa isang punto Sa 90 gumuhit ng arc tangent sa susunod na pahalang sa isang punto Mula 80, at iba pa. Makikita sa pagguhit na ang linya ng saklaw ng topographic na ibabaw ay isang putol na linya, na ang bawat link ay patayo sa pahalang na dumadaan sa ibabang dulo ng link, na may mas mababang elevation.

3.4.2 Intersection ng conical surface sa pamamagitan ng eroplano

Kung ang cutting plane ay dumaan sa vertex ng isang conical surface, pagkatapos ay i-intersect ito sa mga tuwid na linya na bumubuo sa ibabaw. Sa lahat ng iba pang mga kaso, ang linya ng seksyon ay magiging isang flat curve: isang bilog, isang ellipse, atbp. Isaalang-alang ang kaso ng intersection ng isang conical surface sa pamamagitan ng isang eroplano.

Halimbawa 1. Buuin ang projection ng linya ng intersection ng circular cone Φ( h o , S5) na may eroplanong Ω parallel sa generatrix ng conical surface.

Ang isang korteng ibabaw sa isang partikular na lokasyon ng eroplano ay nagsalubong sa isang parabola. Ang pagkakaroon ng interpolated ang generatrix t bumuo kami ng mga pahalang ng isang pabilog na kono - mga concentric na bilog na may sentro S 5 . Pagkatapos ay tinutukoy namin ang mga intersection point ng parehong pangalan na pahalang ng eroplano at ang kono (Larawan 3.40).

3.4.3. Intersection ng isang topographic na ibabaw na may isang eroplano at isang tuwid na linya

Ang kaso ng intersection ng isang topographic na ibabaw na may isang eroplano ay madalas na nakatagpo sa paglutas ng mga problema sa geological. Sa fig. Ang 3.41 ay nagbibigay ng isang halimbawa ng paggawa ng intersection ng isang topographic na ibabaw na may isang eroplanong Σ. Ang nais na kurba m ay tinutukoy ng mga intersection point ng parehong-pangalan na mga contour na linya ng eroplano at ang topographic na ibabaw.

Sa fig. Ang 3.42 ay nagbibigay ng isang halimbawa ng pagbuo ng isang tunay na view ng isang topographic na ibabaw na may patayong eroplano Σ. Ang nais na linya m ay tinutukoy ng mga puntos A, B, C… mga intersection ng mga linya ng tabas ng topographic na ibabaw na may cutting plane Σ. Sa plano, ang projection ng curve ay bumababa sa isang tuwid na linya na tumutugma sa projection ng eroplano: m≡Σ. Ang profile ng curve m ay binuo na isinasaalang-alang ang lokasyon sa plano ng mga projection ng mga punto nito, pati na rin ang kanilang mga elevation.

3.4.4. Pantay na ibabaw ng slope

Ang isang ibabaw ng pantay na slope ay isang pinasiyahan na ibabaw, ang lahat ng mga rectilinear generator na kung saan ay gumagawa ng isang pare-pareho ang anggulo sa pahalang na eroplano. Makukuha mo ang ganoong ibabaw sa pamamagitan ng paggalaw ng kanang pabilog na kono na may axis na patayo sa eroplano ng plano, upang ang tuktok nito ay dumudulas sa ilang gabay, at ang axis ay nananatiling patayo sa anumang posisyon.

Sa fig. 3.43 ay nagpapakita ng isang ibabaw ng pantay na slope (i \u003d 1/2), na ginagabayan ng isang spatial curve A B C D.

Graduation ng eroplano. Bilang halimbawa, isaalang-alang ang eroplano ng mga slope ng daanan.

Halimbawa 1. Ang longitudinal slope ng roadway i=0, ang slope ng embankment i n = 1:1.5, (Fig. 3.44a). Kinakailangang gumuhit ng mga pahalang na linya sa 1m. Ang solusyon ay bumaba sa mga sumusunod. Gumuhit kami ng sukat ng slope ng eroplano na patayo sa gilid ng daanan, markahan ang mga puntos sa layo na katumbas ng pagitan ng 1.5 m, kinuha mula sa linear scale, at tinutukoy ang mga marka 49, 48 at 47. Sa pamamagitan ng nakuha ang mga puntos na iginuhit namin ang mga pahalang na linya ng slope parallel sa gilid ng kalsada.

Halimbawa 2. Ang longitudinal slope ng kalsada i≠0, ang slope ng embankment i n = 1:1.5, (Fig. 3.44b). Ang eroplano ng kalsada ay nagtapos. Ang slope ng kalsada ay namarkahan bilang mga sumusunod. Sa punto na may vertex 50.00 (o isa pang punto) inilalagay namin ang tuktok ng kono, ilarawan ang isang bilog na may radius na katumbas ng pagitan ng slope ng dike (sa aming halimbawa l= 1.5m). Ang elevation ng pahalang na linyang ito ng cone ay magiging mas mababa ng isa kaysa sa elevation ng vertex, i.e. 49m. Gumuhit kami ng isang serye ng mga bilog, nakuha namin ang mga marka ng mga linya ng contour 48, 47, tangent kung saan iginuhit namin ang mga pahalang na linya ng slope ng embankment mula sa mga punto ng gilid na may mga marka 49, 48, 47.

Pag-grado sa ibabaw.

Halimbawa 3. Kung ang longitudinal slope ng kalsada i = 0 at ang slope ng embankment i n = 1: 1.5, kung gayon ang mga pahalang na slope ay iguguhit sa pamamagitan ng mga slope scale point, ang pagitan nito ay katumbas ng pagitan ng mga slope ng ang pilapil, (Larawan 3.45a). Ang distansya sa pagitan ng dalawang projection ng katabing pahalang sa direksyon ng pangkalahatang pamantayan (slope scale) ay pareho sa lahat ng dako.

Halimbawa 4. Kung ang longitudinal slope ng kalsada i≠0, at ang slope ng embankment i n \u003d 1: 1.5, (Fig. 3.45b), kung gayon ang mga pahalang ay itinayo sa parehong paraan, maliban na ang mga pahalang na slope ay iginuhit hindi sa mga tuwid na linya, ngunit sa mga kurba.

3.4.5. Pagpapasiya ng linya ng limitasyon sa paghuhukay

Dahil ang karamihan sa mga lupa ay hindi makapagpanatili ng mga patayong pader, ang mga dalisdis (artipisyal na istruktura) ay kailangang itayo. Ang slope na ibinigay ng slope ay depende sa lupa.

Upang mabigyan ng isang balangkas ng ibabaw ng lupa ang hitsura ng isang eroplano na may isang tiyak na slope, kailangan mong malaman ang linya ng mga limitasyon para sa paghuhukay at zero work. Ang linyang ito, na nililimitahan ang nakaplanong lugar, ay kinakatawan ng mga linya ng intersection ng mga slope ng mga embankment at mga hiwa na may ibinigay na topographic na ibabaw.

Dahil ang bawat ibabaw (kabilang ang mga patag) ay inilalarawan gamit ang mga linya ng contour, ang linya ng intersection ng mga ibabaw ay binuo bilang isang hanay ng mga intersection point ng mga contour na linya na may parehong mga marka. Isaalang-alang ang mga halimbawa.

Halimbawa 1. Sa fig. 3.46 isang earthen structure ang ibinigay, na may hugis ng pinutol na quadrangular pyramid, nakatayo sa isang eroplano H. Nangungunang base A B C D may marka ang pyramid 4m at mga sukat sa gilid 2×2.5 m. Ang mga gilid na mukha (embankment slope) ay may slope na 2:1 at 1:1, na ang direksyon ay ipinapakita ng mga arrow.

Kinakailangan na bumuo ng isang linya ng intersection ng mga slope ng istraktura sa eroplano H at sa pagitan ng kanilang mga sarili, pati na rin bumuo ng isang longitudinal profile sa kahabaan ng axis ng mahusay na proporsyon.

Una, ang isang diagram ng mga slope, mga pagitan at mga kaliskis ng mga pundasyon, na ibinigay na mga slope ay binuo. Patayo sa bawat panig ng site, ang mga kaliskis ng mga slope ng mga slope ay iginuhit sa tinukoy na mga agwat, pagkatapos kung saan ang mga projection ng mga linya ng contour na may parehong mga marka ng katabing mga mukha ay ang mga linya ng intersection ng mga slope, na kung saan ay mga projection ng gilid na gilid ng pyramid na ito.

Ang mas mababang base ng pyramid ay tumutugma sa mga zero contour na linya ng mga slope. Kung ang gawaing lupa na ito ay tatawid ng isang patayong eroplano Q, sa seksyon na nakakakuha ka ng isang putol na linya - ang longitudinal na profile ng istraktura.

Halimbawa 2. Bumuo ng isang linya ng intersection ng mga slope ng hukay na may patag na slope at sa bawat isa. ibaba ( A B C D) ng hukay ay isang hugis-parihaba na lugar na may markang 10m at mga sukat na 3 × 4m. Ang axis ng site ay gumagawa ng isang anggulo ng 5 ° sa timog-hilagang linya. Ang mga slope ng recesses ay may parehong mga slope ng 2:1 (Fig. 3.47).

Ang linya ng zero na trabaho ay itinatag ayon sa plano ng lupain. Ito ay binuo ayon sa mga intersection point ng parehong-pangalan na mga projection ng mga pahalang ng mga ibabaw na isinasaalang-alang. Ayon sa mga punto ng intersection ng mga linya ng contour ng mga slope at ang topographic na ibabaw na may parehong mga marka, ang linya ng intersection ng mga slope ay matatagpuan, na mga projection ng mga gilid na gilid ng ibinigay na hukay.

Sa kasong ito, ang mga gilid na slope ng mga recess ay magkadugtong sa ilalim ng hukay. Linya a B C D ay ang kinakailangang linya ng intersection. Aa, Bb, Cs, Dd- ang mga gilid ng hukay, ang mga linya ng intersection ng mga slope sa bawat isa.

4. Mga tanong para sa pagpipigil sa sarili at mga gawain para sa independiyenteng gawain sa paksang "Rectangular projection"

Dot

4.1.1. Ang kakanyahan ng paraan ng projection.

4.1.2. Ano ang point projection?

4.1.3. Ano ang tawag sa projection planes at denoted?

4.1.4. Ano ang mga linya ng koneksyon ng projection sa pagguhit at paano sila matatagpuan sa pagguhit na may kaugnayan sa mga projection axes?

4.1.5. Paano bumuo ng pangatlong (profile) projection ng isang punto?

4.1.6. Bumuo ng tatlong projection ng mga puntos A, B, C sa isang three-picture drawing, isulat ang kanilang mga coordinate at punan ang talahanayan.

4.1.7. Buuin ang nawawalang projection axes, x A =25, y A =20. Bumuo ng profile projection ng point A.

4.1.8. Bumuo ng tatlong projection ng mga puntos ayon sa kanilang mga coordinate: A(25,20,15), B(20,25,0) at C(35,0,10). Tukuyin ang posisyon ng mga punto na may kaugnayan sa mga eroplano at projection axes. Alin sa mga punto ang mas malapit sa P 3 plane?

4.1.9. Ang mga punto ng materyal na A at B ay nagsisimulang bumagsak nang sabay-sabay. Saan ang punto B kapag ang punto A ay dumampi sa lupa? Tukuyin ang visibility ng mga puntos. Bumuo ng mga puntos sa isang bagong posisyon.

4.1.10. Bumuo ng tatlong projection ng point A, kung ang punto ay nasa P 3 plane, at ang distansya mula dito sa P 1 plane ay 20 mm, sa P 2 plane - 30 mm. Isulat ang mga coordinate ng punto.

Diretso

4.2.1. Ano ang isang tuwid na linya sa isang guhit?

4.2.2. Aling tuwid na linya ang tinatawag na tuwid na linya sa pangkalahatang posisyon?

4.2.3. Anong posisyon ang maaaring sakupin ng isang tuwid na linya na may kaugnayan sa mga projection planes?

4.2.4. Kailan nagiging punto ang projection ng isang tuwid na linya?

4.2.5. Ano ang tipikal para sa isang kumplikadong pagguhit ng isang tuwid na antas?

4.2.6. Tukuyin ang relatibong posisyon ng mga linyang ito.

a … b a … b a … b

4.2.7. Bumuo ng mga projection ng isang straight line segment AB na may haba na 20 mm, parallel sa mga eroplano: a) P 2; b) P 1; c) aksis ng baka. Italaga ang mga anggulo ng inclination ng segment sa projection planes.

4.2.8. Bumuo ng mga projection ng segment AB ayon sa mga coordinate ng mga dulo nito: A (30,10,10), B (10,15,30). Bumuo ng mga projection ng point C na naghahati sa segment na may kaugnayan sa AC:CB = 1:2.

4.2.9. Tukuyin at isulat ang bilang ng mga gilid ng isang binigay na polyhedron at ang kanilang posisyon na nauugnay sa mga projection plane.

4.2.10. Sa pamamagitan ng punto A gumuhit ng isang pahalang na linya at isang pangharap na linya na nagsalubong sa linyang m.

4.2.11. Tukuyin ang distansya sa pagitan ng linya b at punto A

4.2.12. Bumuo ng mga projection ng isang segment AB na may haba na 20 mm, na dumadaan sa punto A at patayo sa eroplano a) P 2; b) P 1; c) P 3.

Mutual arrangement ng dalawang tuwid na linya

Ang mga sumusunod na pahayag ay nagpapahayag ng kailangan at sapat na pamantayan para sa relatibong posisyon ng dalawang linya sa espasyo na ibinigay ng mga canonical equation

a) Ang mga linya ay nagsalubong, i.e. huwag magsinungaling sa parehong eroplano.

b) Magsalubong ang mga linya.

Ngunit ang mga vector at hindi collinear (kung hindi, ang kanilang mga coordinate ay proporsyonal).

sa) Ang mga linya ay parallel.

Ang mga vector at ay collinear, ngunit ang vector ay hindi collinear sa kanila.

G) Nagtutugma ang mga linya.

Lahat ng tatlong vectors: , ay collinear.

Patunay. Patunayan natin ang kasapatan ng ipinahiwatig na pamantayan

a) Isaalang-alang ang vector at mga vector ng direksyon ng mga ibinigay na linya

kung gayon ang mga vector na ito ay hindi coplanar, samakatuwid, ang mga linyang ito ay hindi nakahiga sa parehong eroplano.

b) Kung, kung gayon ang mga vector ay coplanar, samakatuwid, ang mga linyang ito ay nasa parehong eroplano, at dahil sa kaso ( b) ang mga vector ng direksyon at ang mga linyang ito ay ipinapalagay na hindi collinear, pagkatapos ay magsalubong ang mga linya.

sa) Kung ang mga vectors ng direksyon at mga binigay na linya ay collinear, kung gayon ang mga linya ay kahanay o nagtutugma. Kailan ( sa) ang mga linya ay parallel, dahil sa pamamagitan ng kondisyon, ang vector, ang simula nito ay nasa punto ng unang linya, at ang dulo - sa punto ng pangalawang linya, ay hindi collinear at.

d) Kung ang lahat ng mga vector at ay collinear, kung gayon ang mga linya ay nag-tutugma.

Ang pangangailangan ng mga tampok ay pinatunayan ng kontradiksyon.

Kletenik No. 1007

Ang mga sumusunod na pahayag ay nagbibigay ng kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa relatibong posisyon ng linya na ibinigay ng mga canonical equation

at ang eroplanong ibinigay ng pangkalahatang equation

kaugnay sa isang karaniwang Cartesian coordinate system.

Ang isang eroplano at isang linya ay nagsalubong:

Ang eroplano at linya ay parallel:

Ang linya ay nasa eroplano:

Patunayan muna natin ang kasapatan ng ipinahiwatig na pamantayan. Isinulat namin ang mga equation ng tuwid na linyang ito sa parametric form:

Ang pagpapalit sa equation (2 (plane)) ng mga coordinate ng isang arbitrary na punto ng linyang ito, na kinuha mula sa mga formula (3), magkakaroon tayo ng:

1. Kung, ang equation (4) ay may relatibong t tanging desisyon:

na nangangahulugan na ang ibinigay na linya at ang ibinigay na eroplano ay mayroon lamang isang karaniwang punto, i.e. bumalandra.

2. Kung, ang equation (4) ay hindi nasiyahan para sa anumang halaga t, ibig sabihin. walang punto sa isang naibigay na linya na namamalagi sa isang partikular na eroplano, samakatuwid, ang ibinigay na linya at eroplano ay parallel.

3. Kung, ang equation (4) ay nasiyahan para sa anumang halaga t, ibig sabihin. lahat ng mga punto ng isang linya ay namamalagi sa isang partikular na eroplano, kaya ang ibinigay na linya ay namamalagi sa isang partikular na eroplano.

Ang sapat na mga kundisyon para sa magkaparehong posisyon ng linya at ang eroplano na ating hinango ay parehong kailangan at mapapatunayan kaagad sa pamamagitan ng kontradiksyon.

Ang kinakailangan at sapat na kondisyon na ang vector ay coplanar sa eroplano na ibinigay ng pangkalahatang equation na may paggalang sa pangkalahatang Cartesian coordinate system ay sumusunod sa kung ano ang napatunayan.