Lesson plan.
1. Organisasyon sandali.
2. Paglalahad ng materyal.
3. Takdang-Aralin.
4. Pagbubuod ng aralin.
Sa panahon ng mga klase
I. Pansamahang sandali.
II. Paglalahad ng materyal.
Pagganyak.
Ang pagpapalawak ng hanay ng mga tunay na numero ay binubuo sa katotohanan na ang mga bagong numero (haka-haka) ay idinagdag sa mga tunay na numero. Ang pagpapakilala ng mga numerong ito ay konektado sa imposibilidad sa hanay ng mga totoong numero ng pagkuha ng ugat mula sa isang negatibong numero.
Panimula ng konsepto ng isang kumplikadong numero.
Ang mga haka-haka na numero na kung saan namin idagdag ang tunay na mga numero ay nakasulat bilang bi, saan i ay ang haka-haka na yunit, at i 2 = - 1.
Batay dito, nakuha namin ang sumusunod na kahulugan ng isang kumplikadong numero.
Kahulugan. Ang isang kumplikadong numero ay isang pagpapahayag ng anyo a+bi, saan a at b ay tunay na mga numero. Sa kasong ito, ang mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan:
a) Dalawang kumplikadong numero a 1 + b 1 i at a 2 + b 2 i katumbas kung at kung lamang a 1 = a 2, b1=b2.
b) Ang pagdaragdag ng mga kumplikadong numero ay tinutukoy ng panuntunan:
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
c) Ang pagpaparami ng mga kumplikadong numero ay tinutukoy ng panuntunan:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.
Algebraic na anyo ng isang kumplikadong numero.
Pagsusulat ng isang kumplikadong numero sa form a+bi ay tinatawag na algebraic form ng isang complex number, kung saan a- totoong bahagi bi ay ang haka-haka na bahagi, at b ay isang tunay na numero.
Kumplikadong numero a+bi ay itinuturing na katumbas ng zero kung ang tunay at haka-haka na mga bahagi nito ay katumbas ng zero: a=b=0
Kumplikadong numero a+bi sa b = 0 itinuturing na isang tunay na numero a: a + 0i = a.
Kumplikadong numero a+bi sa a = 0 ay tinatawag na puro haka-haka at may denotasyon bi: 0 + bi = bi.
Dalawang kumplikadong numero z = a + bi at = a – bi, na naiiba lamang sa tanda ng haka-haka na bahagi, ay tinatawag na conjugate.
Mga aksyon sa kumplikadong mga numero sa algebraic form.
Ang mga sumusunod na operasyon ay maaaring isagawa sa mga kumplikadong numero sa algebraic form.
1) Dagdag.
Kahulugan. Ang kabuuan ng mga kumplikadong numero z 1 = a 1 + b 1 i at z 2 = a 2 + b 2 i tinatawag na complex number z, ang tunay na bahagi nito ay katumbas ng kabuuan ng mga tunay na bahagi z1 at z2, at ang haka-haka na bahagi ay ang kabuuan ng mga haka-haka na bahagi ng mga numero z1 at z2, ibig sabihin z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.
Numero z1 at z2 ay tinatawag na mga termino.
Ang pagdaragdag ng mga kumplikadong numero ay may mga sumusunod na katangian:
1º. Commutativity: z1 + z2 = z2 + z1.
2º. Pagkakaisa: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3º. Kumplikadong numero -a -bi ay tinatawag na kabaligtaran ng isang kumplikadong numero z = a + bi. Complex number na kabaligtaran ng complex number z, ipinahiwatig -z. Kabuuan ng mga kumplikadong numero z at -z katumbas ng zero: z + (-z) = 0
Halimbawa 1: Idagdag (3 - i) + (-1 + 2i).
(3 - i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) Pagbabawas.
Kahulugan. Ibawas sa kumplikadong numero z1 kumplikadong numero z2 z, Ano z + z 2 = z 1.
Teorama. Ang pagkakaiba ng mga kumplikadong numero ay umiiral at, bukod dito, ay natatangi.
Halimbawa 2: Ibawas (4 - 2i) - (-3 + 2i).
(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.
3) Pagpaparami.
Kahulugan. Ang produkto ng mga kumplikadong numero z 1 =a 1 +b 1 i at z 2 \u003d a 2 + b 2 i tinatawag na complex number z, tinukoy ng pagkakapantay-pantay: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.
Numero z1 at z2 ay tinatawag na mga kadahilanan.
Ang pagpaparami ng mga kumplikadong numero ay may mga sumusunod na katangian:
1º. Commutativity: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2º. Pagkakaisa: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3º. Distributivity ng multiplikasyon na may kinalaman sa karagdagan:
(z 1 + z 2) z 3 \u003d z 1 z 3 + z 2 z 3.
4º. z \u003d (a + bi) (a - bi) \u003d a 2 + b 2 ay isang tunay na numero.
Sa pagsasagawa, ang pagpaparami ng mga kumplikadong numero ay isinasagawa ayon sa panuntunan ng pagpaparami ng kabuuan sa kabuuan at paghihiwalay ng tunay at haka-haka na mga bahagi.
Sa sumusunod na halimbawa, isaalang-alang ang pagpaparami ng mga kumplikadong numero sa dalawang paraan: ayon sa panuntunan at sa pamamagitan ng pagpaparami ng kabuuan sa kabuuan.
Halimbawa 3: Multiply (2 + 3i) (5 – 7i).
1 paraan. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.
2 paraan. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 - 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) Dibisyon.
Kahulugan. Hatiin ang isang kumplikadong numero z1 sa isang kumplikadong numero z2, ay nangangahulugan ng paghahanap ng ganitong kumplikadong numero z, Ano z z 2 = z 1.
Teorama. Ang kusyente ng mga kumplikadong numero ay umiiral at natatangi kung z2 ≠ 0 + 0i.
Sa pagsasagawa, ang quotient ng kumplikadong mga numero ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagpaparami ng numerator at denominator sa conjugate ng denominator.
Hayaan z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, pagkatapos
.
Sa sumusunod na halimbawa, ginagawa namin ang paghahati sa pamamagitan ng pormula at ang panuntunan ng pagpaparami ng conjugate ng denominator.
Halimbawa 4. Humanap ng quotient 
.
5) Pagtaas sa isang positibong integer na kapangyarihan.
a) Mga kapangyarihan ng haka-haka na pagkakaisa.
Sinasamantala ang pagkakapantay-pantay i 2 \u003d -1, madaling tukuyin ang anumang positibong integer na kapangyarihan ng haka-haka na yunit. Meron kami:
i 3 \u003d i 2 i \u003d -i,
i 4 \u003d i 2 i 2 \u003d 1,
i 5 \u003d i 4 i \u003d i,
i 6 \u003d i 4 i 2 \u003d -1,
i 7 \u003d i 5 i 2 \u003d -i,
i 8 = i 6 i 2 = 1 atbp.
Ito ay nagpapakita na ang mga halaga ng degree sa, saan n- isang positibong integer, pana-panahong inuulit kapag ang indicator ay tumaas ng 4 .
Samakatuwid, upang taasan ang bilang i sa isang positibong integer na kapangyarihan, hatiin ang exponent sa pamamagitan ng 4 at tuwid i sa kapangyarihan na ang exponent ay ang natitira sa dibisyon.
Halimbawa 5 Kalkulahin: (i 36 + i 17) at 23.
i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,
i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 i = i.
i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 i 3 = - i.
(i 36 + i 17) i 23 \u003d (1 + i) (- i) \u003d - i + 1 \u003d 1 - i.
b) Ang pagpapataas ng isang kumplikadong numero sa isang positibong integer na kapangyarihan ay isinasagawa ayon sa panuntunan ng pagpapataas ng isang binomial sa katumbas na kapangyarihan, dahil ito ay isang espesyal na kaso ng pagpaparami ng magkaparehong kumplikadong mga kadahilanan.
Halimbawa 6 Kalkulahin: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
Pahina 2 ng 3
Algebraic na anyo ng isang kumplikadong numero.
Pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami at paghahati ng mga kumplikadong numero.
Nakilala na natin ang algebraic form ng complex number - ito ang algebraic form ng complex number. Bakit pinag-uusapan natin ang tungkol sa anyo? Ang katotohanan ay mayroon ding mga trigonometric at exponential na anyo ng mga kumplikadong numero, na tatalakayin sa susunod na talata.
Ang mga operasyong may kumplikadong mga numero ay hindi partikular na mahirap at kaunti ang pagkakaiba sa ordinaryong algebra.
Pagdaragdag ng mga kumplikadong numero
Halimbawa 1
Magdagdag ng dalawang kumplikadong numero,
Upang magdagdag ng dalawang kumplikadong numero, idagdag ang kanilang tunay at haka-haka na mga bahagi:
Simple, hindi ba? Ang aksyon ay napakalinaw na hindi ito nangangailangan ng karagdagang mga komento.
Sa isang simpleng paraan, mahahanap mo ang kabuuan ng anumang bilang ng mga termino: isama ang mga tunay na bahagi at isama ang mga haka-haka na bahagi.
Para sa mga kumplikadong numero, ang panuntunan ng unang klase ay totoo: 
- mula sa muling pagsasaayos ng mga termino, ang kabuuan ay hindi nagbabago.
Pagbabawas ng mga kumplikadong numero
Halimbawa 2
Hanapin ang mga pagkakaiba ng mga kumplikadong numero at , kung ,
Ang aksyon ay katulad ng karagdagan, ang tanging tampok ay ang subtrahend ay dapat kunin sa mga bracket, at pagkatapos, bilang pamantayan, buksan ang mga bracket na ito na may pagbabago sa tanda:
Ang resulta ay hindi dapat malito, ang resultang numero ay may dalawa, hindi tatlong bahagi. Ang tunay na bahagi lamang ay isang bahagi: . Para sa kalinawan, ang sagot ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod: .
Kalkulahin natin ang pangalawang pagkakaiba:
Narito ang tunay na bahagi ay isang bahagi din:
Upang maiwasan ang anumang pagmamaliit, magbibigay ako ng isang maikling halimbawa na may "masamang" haka-haka na bahagi: . Dito hindi mo magagawa nang walang panaklong.
Pagpaparami ng mga kumplikadong numero
Dumating na ang sandali upang ipakilala sa iyo ang sikat na pagkakapantay-pantay:
Halimbawa 3
Hanapin ang produkto ng mga kumplikadong numero,
Malinaw, ang gawain ay dapat na nakasulat tulad nito:
Ano ang tinatanong? Iminumungkahi nito ang sarili na buksan ang mga bracket ayon sa panuntunan ng pagpaparami ng mga polynomial. Ganyan dapat gawin! Ang lahat ng mga algebraic na operasyon ay pamilyar sa iyo, ang pangunahing bagay na dapat tandaan ay iyon at mag-ingat.
Ulitin natin, omg, ang tuntunin ng paaralan para sa pagpaparami ng mga polynomial: Upang i-multiply ang isang polynomial sa isang polynomial, kailangan mong i-multiply ang bawat termino ng isang polynomial sa bawat termino ng isa pang polynomial.
Isusulat ko nang detalyado:
Sana naging malinaw sa lahat iyon
Atensyon, at muli pansin, kadalasan ang isang pagkakamali ay ginawa sa mga palatandaan.
Tulad ng kabuuan, ang produkto ng mga kumplikadong numero ay nababago, iyon ay, ang pagkakapantay-pantay ay totoo: .
Sa literatura na pang-edukasyon at sa Web, madaling makahanap ng isang espesyal na formula para sa pagkalkula ng produkto ng mga kumplikadong numero. Gamitin ito kung gusto mo, ngunit tila sa akin na ang diskarte na may multiplikasyon ng mga polynomial ay mas pangkalahatan at mas malinaw. Hindi ko ibibigay ang pormula, sa palagay ko sa kasong ito ay binabara ang ulo ng sup.
Dibisyon ng mga kumplikadong numero
Halimbawa 4
Dahil sa mga kumplikadong numero , . Maghanap ng pribado.
Gumawa tayo ng quotient:
Ang paghahati ng mga numero ay isinasagawa sa pamamagitan ng pagpaparami ng denominator at numerator sa conjugate expression ng denominator.
Naaalala namin ang balbas na formula at tingnan ang aming denominator: . Ang denominator ay mayroon nang , kaya ang conjugate expression sa kasong ito ay , ibig sabihin
Ayon sa panuntunan, ang denominator ay dapat na i-multiply sa , at upang walang magbago, i-multiply ang numerator sa parehong numero:
Isusulat ko nang detalyado:
Nakakuha ako ng isang "mahusay" na halimbawa, kung kukuha ka ng dalawang numero "mula sa bulldozer", pagkatapos bilang isang resulta ng paghahati ay halos palaging makakakuha ka ng mga fraction, isang katulad.
Sa ilang mga kaso, bago hatiin, ipinapayong gawing simple ang fraction, halimbawa, isaalang-alang ang quotient ng mga numero:. Bago hatiin, inaalis namin ang mga hindi kinakailangang minus: sa numerator at sa denominator, kinuha namin ang mga minus sa mga bracket at bawasan ang mga minus na ito: 
. Para sa mga gustong mag-solve, ibibigay ko ang tamang sagot:
Bihirang, ngunit may ganoong gawain:
Halimbawa 5
Binigyan ka ng complex number. Isulat ang ibinigay na numero sa algebraic form (i.e. sa form).
Ang pagtanggap ay pareho - pinarami namin ang denominator at numerator sa expression na conjugate sa denominator. Tingnan natin muli ang formula. Ang denominator ay mayroon nang , kaya ang denominator at numerator ay dapat na i-multiply sa conjugate expression, iyon ay, sa pamamagitan ng:
Sa pagsasagawa, madali silang mag-alok ng magarbong halimbawa kung saan kailangan mong magsagawa ng maraming operasyon na may mga kumplikadong numero. Walang Panic: mag-ingat ka, sundin ang mga alituntunin ng algebra, ang karaniwang algebraic na pagkakasunud-sunod ng mga operasyon, at tandaan na .
Trigonometric at exponential na anyo ng isang kumplikadong numero
Sa seksyong ito, higit tayong magtutuon ng pansin sa trigonometrikong anyo ng isang kumplikadong numero. Ang exponential form sa mga praktikal na gawain ay hindi gaanong karaniwan. Inirerekumenda ko ang pag-download at, kung maaari, ang pag-print ng mga trigonometriko na talahanayan, ang metodolohikal na materyal ay matatagpuan sa pahina Mga formula at talahanayan ng matematika. Hindi ka makakarating nang walang mga mesa.
Anumang kumplikadong numero (maliban sa zero) ay maaaring isulat sa trigonometric form: 
, saan iyon complex number modulus, isang - kumplikadong argumento ng numero. Huwag tumakas, ito ay mas madali kaysa sa iyong iniisip.
Gumuhit ng isang numero sa kumplikadong eroplano. Para sa katiyakan at pagiging simple ng mga paliwanag, ilalagay namin ito sa unang coordinate quarter, i.e. iniisip namin na:
Ang modulus ng isang complex number ay ang distansya mula sa pinanggalingan ng mga coordinate hanggang sa kaukulang punto ng kumplikadong eroplano. Sa madaling salita, modulus ay ang haba radius vector, na minarkahan ng pula sa drawing.
Ang modulus ng isang kumplikadong numero ay karaniwang tinutukoy ng: o
Gamit ang Pythagorean theorem, madaling makakuha ng formula para sa paghahanap ng modulus ng complex number: . Ang formula na ito ay may bisa para sa anumang nangangahulugang "a" at "maging".
Tandaan: ang modulus ng isang complex number ay isang generalization ng konsepto real number modulus, bilang ang distansya mula sa punto hanggang sa pinanggalingan.
Ang argumento ng isang kumplikadong numero tinawag iniksyon sa pagitan positibong axis ang tunay na axis at ang radius vector na iginuhit mula sa pinanggalingan hanggang sa kaukulang punto. Ang argumento ay hindi tinukoy para sa isahan: .
Ang prinsipyong isinasaalang-alang ay talagang katulad ng polar coordinate, kung saan ang polar radius at polar angle ay natatanging tumutukoy sa isang punto.
Ang argumento ng isang kumplikadong numero ay karaniwang tinutukoy ng: o
Mula sa mga geometric na pagsasaalang-alang, ang sumusunod na pormula para sa paghahanap ng argumento ay nakuha:
. Pansin! Gumagana lang ang formula na ito sa tamang kalahating eroplano! Kung ang complex number ay hindi matatagpuan sa 1st o 4th coordinate quadrant, kung gayon ang formula ay magiging bahagyang naiiba. Isasaalang-alang din natin ang mga kasong ito.
Ngunit una, isaalang-alang ang pinakasimpleng mga halimbawa, kapag ang mga kumplikadong numero ay matatagpuan sa mga coordinate axes.
Halimbawa 7
Isagawa natin ang pagguhit:
Sa katunayan, ang gawain ay bibig. Para sa kalinawan, muling isusulat ko ang trigonometriko na anyo ng isang kumplikadong numero: 
Tandaan nating mabuti, ang modyul - haba(na palaging hindi negatibo ), ang argumento ay iniksyon.
1) Katawanin natin ang numero sa anyong trigonometriko. Hanapin ang modulus at argumento nito. Obvious naman na . Pormal na pagkalkula ayon sa formula: .
Ito ay malinaw na (ang numero ay namamalagi nang direkta sa tunay na positibong semiaxis). Kaya ang numero sa trigonometric form ay: 
.
Maaliwalas bilang araw, baligtarin ang pagkilos ng pagsusuri:
2) Katawanin natin ang numero sa anyong trigonometric. Hanapin ang modulus at argumento nito. Obvious naman na . Pormal na pagkalkula ayon sa formula: .
Malinaw (o 90 degrees). Sa pagguhit, ang sulok ay minarkahan ng pula. Kaya ang numero sa trigonometric form ay: 
.
Gamit ang isang talahanayan ng mga halaga ng mga pag-andar ng trigonometriko, madaling ibalik ang algebraic form ng isang numero (kasabay nito sa pamamagitan ng pagsuri):
3) Katawanin natin ang numero sa anyong trigonometriko. Hanapin ang modulus at argumento nito. Obvious naman na . Pormal na pagkalkula ayon sa formula: .
Malinaw (o 180 degrees). Sa pagguhit, ang anggulo ay ipinahiwatig sa asul. Kaya ang numero sa trigonometric form ay: 
.
Pagsusuri:
4) At ang ikaapat na kawili-wiling kaso. Katawanin natin ang numero sa anyong trigonometric. Hanapin ang modulus at argumento nito. Obvious naman na . Pormal na pagkalkula ayon sa formula: .
Ang argumento ay maaaring isulat sa dalawang paraan: Unang paraan: (270 degrees), at, nang naaayon: 
. Pagsusuri:
Gayunpaman, ang sumusunod na panuntunan ay mas karaniwan: Kung ang anggulo ay higit sa 180 degrees, pagkatapos ito ay nakasulat na may minus sign at ang kabaligtaran na oryentasyon ("pag-scroll") ng anggulo: (minus 90 degrees), sa pagguhit ang anggulo ay minarkahan ng berde. Madaling makita iyon at pareho ang anggulo.
Kaya, ang entry ay nagiging: 
Pansin! Sa anumang kaso ay hindi mo dapat gamitin ang kapantayan ng cosine, ang kakatwa ng sine at magsagawa ng karagdagang "pagpapasimple" ng rekord:
Sa pamamagitan ng paraan, kapaki-pakinabang na alalahanin ang hitsura at katangian ng trigonometriko at kabaligtaran na mga function ng trigonometriko, ang mga sangguniang materyales ay nasa mga huling talata ng pahina. Mga graph at katangian ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya. At ang mga kumplikadong numero ay mas madaling matutunan!
Sa disenyo ng pinakasimpleng mga halimbawa, ito ay dapat na nakasulat na ganito: "ito ay malinaw na ang module ay ... ito ay malinaw na ang argumento ay ...". Ito ay talagang halata at madaling malutas sa salita.
Lumipat tayo sa mas karaniwang mga kaso. Tulad ng nabanggit ko na, walang mga problema sa module, dapat mong palaging gamitin ang formula. Ngunit ang mga pormula para sa paghahanap ng argumento ay mag-iiba, depende ito sa kung saang coordinate quarter naroroon ang numero. Sa kasong ito, tatlong opsyon ang posible (kapaki-pakinabang na muling isulat ang mga ito sa iyong kuwaderno):
1) Kung (1st at 4th coordinate quarters, o ang kanang kalahating eroplano), dapat mahanap ang argumento gamit ang formula.
2) Kung (2nd coordinate quarter), kung gayon ang argumento ay dapat matagpuan ng formula 
.
3) Kung (3rd coordinate quarter), kung gayon ang argumento ay dapat matagpuan ng formula 
.
Halimbawa 8
Ipahayag ang mga kumplikadong numero sa anyong trigonometriko: , , , .
Sa sandaling mayroong handa na mga formula, kung gayon ang pagguhit ay hindi kinakailangan. Ngunit mayroong isang punto: kapag hiniling sa iyo na ipakita ang isang numero sa trigonometric form, kung gayon ang pagguhit ay mas mahusay na gawin pa rin. Ang katotohanan ay madalas na tinatanggihan ng mga guro ang isang solusyon nang walang pagguhit, ang kawalan ng pagguhit ay isang seryosong dahilan para sa isang minus at isang pagkabigo.
Eh, hindi ako gumuhit ng kahit ano gamit ang kamay sa loob ng isang daang taon, hawakan mo:
As always, magulo pala =)
Ipapakita ko ang mga numero at sa kumplikadong anyo, ang una at pangatlong numero ay para sa independiyenteng desisyon.
Katawanin natin ang numero sa anyong trigonometric. Hanapin ang modulus at argumento nito.
Algebraic na anyo ng pagsulat ng isang kumplikadong numero ............................................. ... ................... | |||
Plane ng mga kumplikadong numero .............................................. .................... ................................ ................... ... | |||
Mga kumplikadong conjugate na numero .............................................. ................................................. .............. | |||
Mga operasyong may kumplikadong mga numero sa algebraic na anyo ........................................... ................... .... | |||
Pagdaragdag ng mga kumplikadong numero .............................................. .................... ................................ ................... | |||
Pagbabawas ng mga kumplikadong numero .............................................. ............ ...................................... .......... | |||
Pagpaparami ng mga kumplikadong numero .............................................. ............ ...................................... ......... | |||
Dibisyon ng mga kumplikadong numero .............................................. ................................................. ............... ... | |||
Trigonometric form ng isang complex number ................................................ .................. .......... | |||
Mga operasyong may mga kumplikadong numero sa anyong trigonometriko ............................................. ............ | |||
Pagpaparami ng mga kumplikadong numero sa anyong trigonometriko............................................. ......................... | |||
Dibisyon ng mga kumplikadong numero sa anyong trigonometriko ............................................. ................... ... | |||
Pagtaas ng isang kumplikadong numero sa isang positibong integer na kapangyarihan | |||
Kinukuha ang ugat ng isang positibong integer na kapangyarihan mula sa isang kumplikadong numero | |||
Pagtaas ng isang kumplikadong numero sa isang makatwirang kapangyarihan ............................................ .................... ..... | |||
Mga kumplikadong serye ................................................ .................. ................................ ................. .................... | |||
serye ng kumplikadong numero .............................................. ................................................. .............. | |||
Power series sa complex plane ............................................ .................. ................................ | |||
Dalawang panig na serye ng kapangyarihan sa kumplikadong eroplano ...................................... ................... ... | |||
Mga pag-andar ng isang kumplikadong variable ............................................. ..................... ................................ ................... | |||
Mga pangunahing pag-andar ng elementarya ................................................. ................... .............................. .......... | |||
Mga formula ng Euler ................................................ .. ................................................ ................... | |||
Ang exponential form ng representasyon ng isang complex number ............................................ ....... | |||
Relasyon sa pagitan ng trigonometriko at hyperbolic function ............................................ | |||
Logarithmic function ................................................ .................. ................................ ................... | |||
Pangkalahatang exponential at pangkalahatang mga function ng kapangyarihan ............................................ ...................... ............... | |||
Differentiation ng mga function ng isang complex variable................................................................ ................... ... | |||
Mga kondisyon ng Cauchy-Riemann .............................................. ......... ................................................ ......... ............ | |||
Mga formula para sa pagkalkula ng derivative ............................................. ............. ................................ | |||
Mga katangian ng pagpapatakbo ng pagkita ng kaibhan ............................................ .............. ................................ | |||
Mga katangian ng tunay at haka-haka na mga bahagi ng isang analytic function ....................................... ....... | |||
Pagbawi ng isang function ng isang kumplikadong variable mula sa tunay o haka-haka nito |
|||
Paraan numero 1. Paggamit ng Curvilinear Integral .............................................. ......... . | |||
Paraan numero 2. Direktang paglalapat ng mga kundisyon ng Cauchy-Riemann...................................... | |||
Pamamaraan numero 3. Sa pamamagitan ng derivative ng ninanais na function ............................................. ................... ......... | |||
Pagsasama-sama ng mga pag-andar ng isang kumplikadong variable................................................. .................... ........... | |||
Integral na formula ng Cauchy .............................................. ................................................... . .. | |||
Pagpapalawak ng mga function sa Taylor at Laurent series .......................................... .... ......................... | |||
Mga zero at singular na punto ng isang function ng isang kumplikadong variable ...................................... .......... | |||
Mga zero ng isang function ng isang kumplikadong variable .............................................. ....................................... | |||
Isolated Singular Points ng isang Function ng isang Complex Variable ........................................ ...... | |||
14.3 Point sa infinity bilang isang singular na punto ng isang function ng isang complex variable
Mga withdrawal ................................................ ................................................... . ................................................ | |||
Pagbawas sa dulong punto .............................................. ............. ..................................... ............ ...... | |||
Nalalabi ng isang function sa isang punto sa infinity ......................................... ..................... ................ | |||
Pagkalkula ng mga integral gamit ang mga nalalabi ............................................. ................. .............................. | |||
Mga tanong para sa pagsusuri sa sarili ................................................. .................. ................................ ................. ....... | |||
Panitikan................................................. ................................................... . ................................ | |||
Index ng paksa................................................ ................................................... . ............. | |||
Paunang salita
Medyo mahirap na wastong maglaan ng oras at pagsisikap sa paghahanda para sa teoretikal at praktikal na bahagi ng pagsusulit o sertipikasyon ng module, lalo na't palaging walang sapat na oras sa sesyon. At tulad ng ipinapakita sa pagsasanay, hindi lahat ay makayanan ito. Bilang isang resulta, sa panahon ng pagsusulit, ang ilang mga mag-aaral ay nalutas nang tama ang mga problema, ngunit nahihirapang sagutin ang pinakasimpleng mga teoretikal na tanong, habang ang iba ay maaaring magbalangkas ng isang teorama, ngunit hindi ito mailalapat.
Ang mga metodolohikal na rekomendasyong ito para sa paghahanda para sa pagsusulit sa kursong Theory of Functions of a Complex Variable (TFV) ay isang pagtatangka na lutasin ang kontradiksyon na ito at tiyakin ang sabay-sabay na pag-uulit ng teoretikal at praktikal na materyal ng kurso. Ginagabayan ng prinsipyong "Theory without practice is dead, practice without theory is blind", naglalaman ang mga ito ng parehong teoretikal na posisyon ng kurso sa antas ng mga kahulugan at formulations, at mga halimbawang naglalarawan ng aplikasyon ng bawat ibinigay na teoretikal na posisyon, at, sa gayon, pagpapadali sa pagsasaulo at pag-unawa nito.
Ang layunin ng mga iminungkahing rekomendasyong pamamaraan ay tulungan ang mag-aaral na maghanda para sa pagsusulit sa isang pangunahing antas. Sa madaling salita, isang pinahabang gabay sa pagtatrabaho ang naipon na naglalaman ng mga pangunahing punto na ginamit sa mga klase ng kurso sa TFKT at kinakailangan kapag gumagawa ng takdang-aralin at naghahanda para sa mga aktibidad sa pagkontrol. Bilang karagdagan sa independiyenteng gawain ng mga mag-aaral, ang elektronikong publikasyong pang-edukasyon na ito ay maaaring gamitin kapag nagsasagawa ng mga klase sa isang interactive na anyo gamit ang electronic board o para sa paglalagay sa isang distance learning system.
Pakitandaan na hindi pinapalitan ng gawaing ito ang mga aklat-aralin o mga tala sa panayam. Para sa isang malalim na pag-aaral ng materyal, inirerekumenda na sumangguni sa mga nauugnay na seksyon ng publikasyon na inilathala sa Moscow State Technical University. N.E. Bauman pangunahing aklat-aralin.
Sa dulo ng manwal mayroong isang listahan ng mga inirerekomendang literatura at isang indeks ng paksa, na kinabibilangan ng lahat ng mga naka-highlight sa teksto. naka-bold italic mga tuntunin. Ang index ay binubuo ng mga hyperlink sa mga seksyon kung saan ang mga terminong ito ay mahigpit na tinukoy o inilarawan at kung saan ang mga halimbawa ay ibinigay upang ilarawan ang kanilang paggamit.
Ang manwal ay inilaan para sa 2nd year na mga mag-aaral ng lahat ng faculties ng MSTU. N.E. Bauman.
1. Algebraic form ng pagsulat ng complex number
Pagre-record ng form z \u003d x + iy, kung saan ang x, y ay mga tunay na numero, ang i ay isang haka-haka na yunit (i.e. i 2 = − 1)
ay tinatawag na algebraic form ng complex number z. Sa kasong ito, ang x ay tinatawag na tunay na bahagi ng kumplikadong numero at tinutukoy ng Re z (x = Re z ), ang y ay tinatawag na haka-haka na bahagi ng kumplikadong numero at tinutukoy ng Im z (y = Im z ).
Halimbawa. Ang kumplikadong numero z = 4− 3i ay may tunay na bahagi Rez = 4 , at ang haka-haka na bahagi na Imz = − 3 .
2. Eroplano ng mga kumplikadong numero
AT isinasaalang-alang ang mga teorya ng mga pag-andar ng isang kumplikadong variablekumplikadong numero ng eroplano, na kung saan ay ipinahiwatig alinman, o ang mga titik na nagsasaad ng mga kumplikadong numero z, w, atbp ay ginagamit.
Ang pahalang na axis ng kumplikadong eroplano ay tinatawag totoong axis, ang mga tunay na numero ay matatagpuan dito z \u003d x + 0i \u003d x.
Ang vertical axis ng complex plane ay tinatawag na imaginary axis, mayroon ito
3. Mga kumplikadong conjugate na numero
Ang mga numerong z = x + iy at z = x − iy ay tinatawag kumplikadong conjugate. Sa kumplikadong eroplano, tumutugma sila sa mga punto na simetriko tungkol sa totoong axis.
4. Mga operasyon na may mga kumplikadong numero sa algebraic form
4.1 Pagdaragdag ng mga kumplikadong numero
Ang kabuuan ng dalawang kumplikadong numero | z 1= x 1+ iy 1 | at ang z 2 = x 2 + iy 2 ay tinatawag na complex number |
|||||||||||
z 1+ z 2 | = (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + i (y 1+ y 2) . | operasyon | mga karagdagan |
||||||||||
ang mga kumplikadong numero ay katulad ng operasyon ng pagdaragdag ng mga algebraic binomial. | |||||||||||||
Halimbawa. Ang kabuuan ng dalawang kumplikadong numero z 1 = 3+ 7i at z 2 | = −1 +2 i | magiging kumplikadong numero |
|||||||||||
z 1 +z 2 =(3 +7 i ) +(−1 +2 i ) =(3 −1 ) +(7 +2 ) i =2 +9 i . | |||||||||||||
Obviously, | kabuuan sa isang complex | conjugated | ay isang | wasto | |||||||||
z + z = (x + iy) + (x − iy) = 2 x= 2 Rez. | |||||||||||||
4.2 Pagbabawas ng mga kumplikadong numero | |||||||||||||
Ang pagkakaiba ng dalawang kumplikadong numero z 1 = x 1 + iy 1 | X 2 +iy 2 | tinawag | komprehensibo |
||||||||||
numero z 1− z 2= (x 1+ iy 1) − (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2) . | |||||||||||||
Halimbawa. Ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang kumplikadong numero | z 1 =3 −4 i | at z2 | = −1 +2 i | magkakaroon ng komprehensibo |
|||||||||
numero z 1 − z 2 = (3− 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3− (− 1) ) + (− 4− 2) i = 4− 6i . | |||||||||||||
pagkakaiba | kumplikadong conjugate | ay isang | |||||||||||
z − z = (x+ iy) − (x − iy) = 2 iy= 2 iIm z. | |||||||||||||
4.3 Pagpaparami ng mga kumplikadong numero | |||||||||||||
Ang produkto ng dalawang kumplikadong numero | z 1= x 1+ iy 1 | at z 2= x 2+ iy 2 | ay tinatawag na kumplikado |
||||||||||
z 1z 2= (x 1+ iy 1)(x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2 | = (x 1x 2− y 1y 2) + i (y 1x 2+ y 2x ) . | ||||||||||||
Kaya, ang pagpapatakbo ng pagpaparami ng mga kumplikadong numero ay katulad ng pagpapatakbo ng pagpaparami ng mga algebraic binomial, na isinasaalang-alang ang katotohanan na i 2 = - 1.
