Mayroong isang buong pangkat ng mga gawain (kasama sa mga uri ng pagsusuri ng mga gawain) na nauugnay sa coordinate plane. Ito ang mga gawain na nagsisimula sa pinaka elementarya na niresolba nang pasalita (pagtukoy sa ordinate o abscissa ng isang partikular na punto, o isang simetriko na ibinigay na punto, atbp.), na nagtatapos sa mga gawain na nangangailangan ng mataas na kalidad na kaalaman, pag-unawa at mahusay na kasanayan (mga gawain nauugnay sa slope ng isang tuwid na linya).
Unti-unti, isasaalang-alang natin ang lahat ng ito. Sa artikulong ito, magsisimula tayo sa mga pangunahing kaalaman. Ito ay mga simpleng gawain para sa pagtukoy: ang abscissa at ordinate ng isang punto, ang haba ng isang segment, ang midpoint ng isang segment, ang sine o cosine ng anggulo ng pagkahilig ng isang tuwid na linya.Karamihan sa mga gawaing ito ay hindi magiging kawili-wili. Ngunit sa tingin ko ito ay kinakailangan upang sabihin ang mga ito.
Ang bagay ay, hindi lahat ay pumapasok sa paaralan. Maraming tao ang pumasa sa pagsusulit 3-4 na taon o higit pa pagkatapos ng graduation, at malabo nilang naaalala kung ano ang abscissa at ordinate. Susuriin din namin ang iba pang mga gawain na may kaugnayan sa coordinate plane, huwag palampasin ito, mag-subscribe sa pag-update ng blog. Ngayon n kaunting teorya.
Bumuo tayo ng isang punto A sa coordinate plane na may mga coordinate x=6, y=3.
Sabi nila na ang abscissa ng point A ay anim, ang ordinate ng point A ay tatlo.
Sa madaling salita, ang x-axis ay ang abscissa axis, ang y-axis ay ang y-axis.
Iyon ay, ang abscissa ay isang punto sa x-axis kung saan ang isang punto na ibinigay sa coordinate plane ay inaasahang; Ang ordinate ay ang punto sa y-axis kung saan ang tinukoy na punto ay inaasahang.
Ang haba ng segment sa coordinate plane
Ang formula para sa pagtukoy ng haba ng isang segment, kung ang mga coordinate ng mga dulo nito ay kilala:
Tulad ng nakikita mo, ang haba ng segment ay ang haba ng hypotenuse sa isang kanang tatsulok na may mga binti na katumbas ng
X B - X A at Y B - Y A
* * *
Ang gitna ng hiwa. Ang kanyang mga coordinate.
Formula para sa paghahanap ng mga coordinate ng midpoint ng isang segment:
Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos
Ang formula para sa equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto ay:
kung saan (x 1; y 1) at (x 2; y 2 ) mga coordinate ng mga ibinigay na puntos.
Ang pagpapalit ng mga halaga ng mga coordinate sa formula, ito ay nabawasan sa anyo:
y = kx + b, kung saan ang k ay ang slope ng linya
Kakailanganin namin ang impormasyong ito kapag nilulutas ang isa pang pangkat ng mga problemang nauugnay sa coordinate plane. Magkakaroon ng isang artikulo tungkol dito, huwag palampasin ito!
Ano pa ang maaaring idagdag?
Ang anggulo ng pagkahilig ng isang tuwid na linya (o segment) ay ang anggulo sa pagitan ng oX axis at ng tuwid na linyang ito, mula 0 hanggang 180 degrees.
Isaalang-alang natin ang mga gawain.
Mula sa punto (6;8) ang patayo ay ibinababa sa y-axis. Hanapin ang ordinate ng base ng patayo.
Ang base ng perpendicular na bumaba sa y-axis ay magkakaroon ng mga coordinate (0; 8). Ang ordinate ay walo.
Sagot: 8
Hanapin ang distansya mula sa isang punto A na may mga coordinate (6;8) sa y-axis.
Ang distansya mula sa punto A hanggang sa y-axis ay katumbas ng abscissa ng punto A.
Sagot: 6.
A(6;8) tungkol sa axis baka.
Ang isang puntong simetriko hanggang point A na may kinalaman sa oX axis ay may mga coordinate (6; - 8).
Ang ordinate ay minus walo.
Sagot: - 8
Hanapin ang ordinate ng isang puntong simetriko sa isang punto A(6;8) kaugnay sa pinanggalingan.
Ang isang puntong simetriko hanggang point A na may kinalaman sa pinanggalingan ay may mga coordinate (- 6; - 8).
Ang ordinate nito ay -8.
Sagot: -8
Hanapin ang abscissa ng midpoint ng line segment na nagkokonekta sa mga puntosO(0;0) at A(6;8).
Upang malutas ang problema, kinakailangan upang mahanap ang mga coordinate ng gitna ng segment. Ang mga coordinate ng mga dulo ng aming segment ay (0;0) at (6;8).
Kinakalkula namin sa pamamagitan ng formula:
Nakuha (3;4). Ang abscissa ay tatlo.
Sagot: 3
* Ang abscissa ng gitna ng segment ay maaaring matukoy nang hindi kinakalkula ng formula sa pamamagitan ng pagbuo ng segment na ito sa coordinate plane sa sheet sa isang cell. Ang gitna ng segment ay madaling matukoy ng mga cell.
Hanapin ang abscissa ng midpoint ng line segment na nagkokonekta sa mga puntos A(6;8) at B(–2;2).
Upang malutas ang problema, kinakailangan upang mahanap ang mga coordinate ng gitna ng segment. Ang mga coordinate ng mga dulo ng aming segment ay (–2;2) at (6;8).
Kinakalkula namin sa pamamagitan ng formula:
Nakakuha (2;5). Ang abscissa ay dalawa.
Sagot: 2
* Ang abscissa ng gitna ng segment ay maaaring matukoy nang hindi kinakalkula ng formula sa pamamagitan ng pagbuo ng segment na ito sa coordinate plane sa sheet sa isang cell.
Hanapin ang haba ng segment na nagdudugtong sa mga puntos (0;0) at (6;8).
Ang haba ng segment sa ibinigay na mga coordinate ng mga dulo nito ay kinakalkula ng formula:
sa aming kaso mayroon kaming O(0;0) at A(6;8). Ibig sabihin,
*Ang pagkakasunud-sunod ng mga coordinate kapag ang pagbabawas ay hindi mahalaga. Maaari mong ibawas ang abscissa at ordinate ng point A mula sa abscissa at ordinate ng point O:
Sagot:10
Hanapin ang cosine ng slope ng segment na nagkokonekta sa mga punto O(0;0) at A(6;8), na may x-axis.
Ang anggulo ng pagkahilig ng isang segment ay ang anggulo sa pagitan ng segment na ito at ng x-axis.
Mula sa punto A ibinababa namin ang patayo sa x-axis:
Iyon ay, ang anggulo ng pagkahilig ng segment ay ang angguloSAIsa kanang tatsulok ABO.
Ang cosine ng isang acute angle sa isang right triangle ay
ratio ng katabing binti sa hypotenuse
Kailangang hanapin ang hypotenuseOA.
Ayon sa Pythagorean theorem:Sa isang tamang tatsulok, ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti.
Kaya, ang cosine ng anggulo ng pagkahilig ay 0.6
Sagot: 0.6
Mula sa punto (6;8) ang patayo sa abscissa axis ay ibinababa. Hanapin ang abscissa ng base ng patayo.
Ang isang tuwid na linya ay iginuhit sa pamamagitan ng punto (6; 8), parallel sa x-axis. Hanapin ang ordinate ng intersection point nito sa axis OU.
Hanapin ang distansya mula sa isang punto A na may mga coordinate (6;8) sa x-axis.
Hanapin ang distansya mula sa isang punto A na may mga coordinate (6;8) sa pinanggalingan.
Ang haba, tulad ng nabanggit na, ay ipinahiwatig ng modulus sign.
Kung ang dalawang punto ng eroplano ay ibinigay, kung gayon ang haba ng segment ay maaaring kalkulahin ng formula
Kung ang dalawang puntos sa espasyo at ibinigay, kung gayon ang haba ng segment ay maaaring kalkulahin ng formula
Tandaan: Ang mga formula ay mananatiling tama kung ang kaukulang mga coordinate ay muling ayusin: at , ngunit ang unang opsyon ay mas karaniwan
Halimbawa 3
Desisyon: ayon sa kaukulang formula:
Sagot: 
Para sa kalinawan, gagawa ako ng drawing 
Segment ng linya - hindi ito vector, at hindi mo ito maililipat kahit saan, siyempre. Bilang karagdagan, kung kukumpletuhin mo ang pagguhit ayon sa sukat: 1 yunit. \u003d 1 cm (dalawang tetrad cell), pagkatapos ay masusuri ang sagot sa isang regular na ruler sa pamamagitan ng direktang pagsukat sa haba ng segment.
Oo, ang solusyon ay maikli, ngunit mayroong ilang mahahalagang punto dito na nais kong linawin:
Una, sa sagot ay itinakda namin ang dimensyon: "mga yunit". Hindi sinasabi ng kundisyon kung ANO ito, milimetro, sentimetro, metro o kilometro. Samakatuwid, ang pangkalahatang pagbabalangkas ay magiging isang mathematically competent na solusyon: "mga yunit" - dinaglat bilang "mga yunit".
Pangalawa, ulitin natin ang materyal sa paaralan, na kapaki-pakinabang hindi lamang para sa isinasaalang-alang na problema:
pansinin mo mahalagang teknikal na panlilinlang – pagkuha ng multiplier mula sa ilalim ng ugat. Bilang resulta ng mga kalkulasyon, nakuha namin ang resulta at ang mahusay na istilo ng matematika ay kinabibilangan ng pagkuha ng multiplier mula sa ilalim ng ugat (kung maaari). Ang proseso ay mukhang ganito nang mas detalyado: 
. Siyempre, ang pag-iwan ng sagot sa form ay hindi isang pagkakamali - ngunit ito ay tiyak na isang depekto at isang mabigat na argumento para sa nitpicking sa bahagi ng guro.
Narito ang iba pang karaniwang mga kaso: 
Kadalasan ang isang sapat na malaking bilang ay nakuha sa ilalim ng ugat, halimbawa. Paano maging sa mga ganitong kaso? Sa calculator, tinitingnan namin kung ang numero ay nahahati sa 4:. Oo, hatiin nang buo, kaya: 
. O baka mahati ulit ng 4 ang numero? . kaya: 
. Ang huling digit ng numero ay kakaiba, kaya ang paghahati sa 4 para sa ikatlong pagkakataon ay malinaw na hindi posible. Sinusubukang hatiin sa siyam: . Ang resulta:
handa na.
Konklusyon: kung sa ilalim ng ugat ay nakakakuha tayo ng isang ganap na hindi na-extract na numero, pagkatapos ay susubukan naming alisin ang kadahilanan mula sa ilalim ng ugat - sa calculator ay sinusuri namin kung ang numero ay nahahati sa: 4, 9, 16, 25, 36, 49, atbp.
Sa kurso ng paglutas ng iba't ibang mga problema, ang mga ugat ay madalas na matatagpuan, palaging subukang kunin ang mga kadahilanan mula sa ilalim ng ugat upang maiwasan ang isang mas mababang marka at hindi kinakailangang mga problema sa pagsasapinal ng iyong mga solusyon ayon sa sinabi ng guro.
Ulitin natin ang pag-squaring ng mga ugat at iba pang kapangyarihan nang sabay-sabay: 
Ang mga patakaran para sa mga aksyon na may mga degree sa isang pangkalahatang anyo ay matatagpuan sa isang aklat-aralin sa paaralan sa algebra, ngunit sa palagay ko ang lahat o halos lahat ay malinaw na mula sa mga halimbawang ibinigay.
Gawain para sa isang independiyenteng solusyon na may isang segment sa espasyo:
Halimbawa 4
Binigyan ng mga puntos at . Hanapin ang haba ng segment.
Solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.
Kung hinawakan mo ang isang notebook sheet na may isang mahusay na pinatalim na lapis, isang bakas ang mananatili na nagbibigay ng ideya ng punto. (Larawan 3).
Minarkahan namin ang dalawang puntos na A at B sa isang sheet ng papel. Ang mga puntong ito ay maaaring konektado sa pamamagitan ng iba't ibang linya (fig. 4). At paano ikonekta ang mga punto A at B sa pinakamaikling linya? Magagawa ito gamit ang isang ruler (fig. 5). Ang resultang linya ay tinatawag segment.
Punto at Linya - Mga Halimbawa mga geometric na hugis.
Ang mga puntos A at B ay tinatawag ang mga dulo ng segment.
May isang segment na ang mga dulo ay mga puntos A at B. Samakatuwid, ang isang segment ay tinutukoy sa pamamagitan ng pagsusulat ng mga punto na mga dulo nito. Halimbawa, ang segment sa Figure 5 ay itinalaga sa isa sa dalawang paraan: AB o BA. Basahin ang: "segment AB" o "segment BA".
Ipinapakita ng Figure 6 ang tatlong segment. Ang haba ng segment AB ay katumbas ng 1 cm. Ito ay eksaktong tatlong beses na inilagay sa segment na MN, at eksaktong 4 na beses sa segment na EF. Sasabihin natin yan haba ng segment Ang MN ay 3 cm, at ang haba ng segment na EF ay 4 cm.
Nakaugalian din na sabihin: "ang segment ng MN ay 3 cm", "ang segment na EF ay 4 cm". Isinulat nila ang: MN = 3 cm, EF = 4 cm.
Sinukat namin ang mga haba ng mga segment na MN at EF iisang segment, ang haba nito ay 1 cm. Upang sukatin ang mga segment, maaari kang pumili ng iba mga yunit ng haba, halimbawa: 1 mm, 1 dm, 1 km. Sa figure 7, ang haba ng segment ay 17 mm. Ito ay sinusukat ng isang solong segment, ang haba nito ay 1 mm, gamit ang isang ruler na may mga dibisyon. Gayundin, gamit ang isang ruler, maaari kang bumuo (gumuhit) ng isang segment ng isang naibigay na haba (tingnan ang fig. 7).
Sa pangkalahatan, upang sukatin ang isang segment ay nangangahulugang bilangin kung gaano karaming mga segment ng unit ang magkasya dito.
Ang haba ng isang segment ay may sumusunod na katangian.
Kung ang punto C ay minarkahan sa segment AB, ang haba ng segment AB ay katumbas ng kabuuan ng mga haba ng mga segment na AC at CB(Larawan 8).
Sumulat sila: AB = AC + CB.
Ipinapakita ng Figure 9 ang dalawang segment na AB at CD. Magkakasabay ang mga segment na ito kapag naka-superimpose.
Dalawang segment ay tinatawag na pantay-pantay kung sila ay nag-tutugma kapag nakapatong.
Kaya ang mga segment na AB at CD ay pantay. Sumulat sila: AB = CD.
Ang mga pantay na segment ay may pantay na haba.
Sa dalawang hindi pantay na segment, isasaalang-alang namin ang isa na may mas mahabang haba na mas malaki. Halimbawa, sa Figure 6, mas malaki ang segment EF kaysa sa segment na MN.
Ang haba ng segment AB ay tinatawag distansya sa pagitan ng mga puntos A at B.
Kung ang ilang mga segment ay nakaayos tulad ng ipinapakita sa Figure 10, pagkatapos ay isang geometric figure ay makukuha, na tinatawag na putol na linya. Tandaan na ang lahat ng mga segment sa Figure 11 ay hindi bumubuo ng isang putol na linya. Ito ay pinaniniwalaan na ang mga segment ay bumubuo ng isang putol na linya kung ang dulo ng unang segment ay nag-tutugma sa dulo ng pangalawa, at ang kabilang dulo ng pangalawang segment ay nag-tutugma sa dulo ng pangatlo, atbp.
Mga Punto A, B, C, D, E − polyline vertices ABCDE, puntos A at E − nagtatapos ang sirang linya, at ang mga segment na AB, BC, CD, DE ay nito mga link(tingnan ang fig. 10).
Ang haba ng putol na linya ay ang kabuuan ng mga haba ng lahat ng mga link nito.
Ang Figure 12 ay nagpapakita ng dalawang putol na linya, ang mga dulo nito ay nag-tutugma. Ang ganitong mga putol na linya ay tinatawag sarado.
Halimbawa 1 . Ang Segment BC ay 3 cm mas mababa kaysa sa segment AB, ang haba nito ay 8 cm (Larawan 13). Hanapin ang haba ng segment AC.
Desisyon. Mayroon kaming: BC \u003d 8 - 3 \u003d 5 (cm).
Gamit ang pag-aari ng haba ng isang segment, maaari nating isulat ang AC = AB + BC. Kaya AC = 8 + 5 = 13 (cm).
Sagot: 13 cm.
Halimbawa 2 . Ito ay kilala na ang MK = 24 cm, NP = 32 cm, MP = 50 cm (Fig. 14). Hanapin ang haba ng segment na NK.
Desisyon. Mayroon kaming: MN = MP − NP.
Kaya MN = 50 − 32 = 18 (cm).
Mayroon kaming: NK = MK − MN.
Kaya NK = 24 − 18 = 6 (cm).
Sagot: 6 cm.
Ang haba ng isang segment ay maaaring matukoy sa iba't ibang paraan. Upang malaman kung paano hanapin ang haba ng isang segment, sapat na magkaroon ng isang ruler na magagamit o malaman ang mga espesyal na formula para sa pagkalkula.
Haba ng linya na may ruler
Upang gawin ito, inilapat namin ang isang ruler na may mga dibisyon ng milimetro sa segment na binuo sa eroplano, at ang panimulang punto ay dapat na nakahanay sa zero ng ruler scale. Pagkatapos ay dapat mong markahan sa sukat na ito ang lokasyon ng dulong punto ng segment na ito. Ang magreresultang bilang ng buong dibisyon ng sukat ay ang haba ng segment, na ipinahayag sa cm at mm.
Paraan ng coordinate ng eroplano
Kung ang mga coordinate ng segment (x1; y1) at (x2; y2) ay kilala, kung gayon ang haba nito ay dapat kalkulahin bilang mga sumusunod. Mula sa mga coordinate sa eroplano ng pangalawang punto, ang mga coordinate ng unang punto ay dapat ibawas. Ang resulta ay dapat na dalawang numero. Ang bawat isa sa mga numerong ito ay dapat na parisukat, at pagkatapos ay hanapin ang kabuuan ng mga parisukat na ito. Mula sa resultang numero, ang square root ay dapat makuha, na magiging distansya sa pagitan ng mga punto. Dahil ang mga puntong ito ay ang mga dulo ng segment, ang halagang ito ang magiging haba nito.
Isaalang-alang ang isang halimbawa kung paano hanapin ang haba ng isang segment ayon sa mga coordinate. Mayroong mga coordinate ng dalawang puntos (-1;2) at (4;7). Kapag nahanap ang pagkakaiba sa mga coordinate ng mga puntos, nakuha namin ang mga sumusunod na halaga: x = 5, y = 5. Ang mga resultang numero ay ang mga coordinate ng segment. Pagkatapos ay i-square namin ang bawat numero at hanapin ang kabuuan ng mga resulta, ito ay 50. Mula sa numerong ito kinuha namin ang square root. Ang resulta ay: 5 ugat ng 2. Ito ang haba ng segment.
Paraan ng mga coordinate sa espasyo
Upang gawin ito, isaalang-alang kung paano hanapin ang haba ng isang vector. Siya ang magiging segment sa Euclidean space. Ito ay matatagpuan sa halos parehong paraan tulad ng haba ng isang segment sa isang eroplano. Ang pagtatayo ng vector ay nangyayari sa iba't ibang mga eroplano. Paano mahahanap ang haba ng isang vector?
- Hanapin ang mga coordinate ng vector, para dito, mula sa mga coordinate ng end point nito, kailangan mong ibawas ang mga coordinate ng start point nito.
- Pagkatapos nito, kailangan mong i-square ang bawat coordinate ng vector.
- Pagkatapos ay idagdag ang mga parisukat ng mga coordinate.
- Upang mahanap ang haba ng isang vector, kailangan mong kunin ang square root ng kabuuan ng mga parisukat ng mga coordinate.
Isaalang-alang natin ang algorithm ng pagkalkula gamit ang isang halimbawa. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga coordinate ng vector AB. Ang mga puntong A at B ay may mga sumusunod na coordinate: A (1;6;3) at B (3;-1;7). Ang simula ng vector ay namamalagi sa punto A, ang dulo ay matatagpuan sa punto B. Kaya, upang mahanap ang mga coordinate nito, kinakailangan upang ibawas ang mga coordinate ng point A mula sa mga coordinate ng point B: (3 - 1; -1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7;4).
Ngayon ay i-square namin ang bawat coordinate at idagdag ang mga ito: 4+49+16=69. Panghuli, i-extract ang square root ng ibinigay na numero. Mahirap kunin ito, kaya isinusulat namin ang resulta sa ganitong paraan: ang haba ng vector ay katumbas ng ugat ng 69.
Kung hindi mahalaga para sa iyo na kalkulahin ang haba ng mga segment at vector sa iyong sarili, ngunit kailangan mo lamang ang resulta, pagkatapos ay maaari kang gumamit ng isang online na calculator, halimbawa, ang isang ito.
Ngayon, napag-aralan ang mga pamamaraang ito at isinasaalang-alang ang ipinakita na mga halimbawa, madali mong mahahanap ang haba ng segment sa anumang problema.
Sasaklawin ng artikulo sa ibaba ang mga isyu sa paghahanap ng mga coordinate ng gitna ng segment sa pagkakaroon ng mga coordinate ng mga extreme point nito bilang paunang data. Ngunit, bago magpatuloy sa pag-aaral ng isyu, ipinakilala namin ang ilang mga kahulugan.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Depinisyon 1
Segment ng linya- isang tuwid na linya na nagkokonekta sa dalawang di-makatwirang punto, na tinatawag na mga dulo ng segment. Bilang halimbawa, hayaan ang mga ito ay mga punto A at B at, ayon sa pagkakabanggit, ang segment A B .
Kung ang segment A B ay ipagpapatuloy sa parehong direksyon mula sa mga punto A at B, makakakuha tayo ng isang tuwid na linya A B. Pagkatapos ang segment A B ay isang bahagi ng nakuhang tuwid na linya na nililimitahan ng mga puntos A at B . Pinagsasama ng segment na A B ang mga puntong A at B , na siyang mga dulo nito, pati na rin ang hanay ng mga puntong nasa pagitan. Kung, halimbawa, kukuha tayo ng anumang di-makatwirang punto K na nakahiga sa pagitan ng mga punto A at B , maaari nating sabihin na ang puntong K ay nasa segment A B .
Kahulugan 2
Haba ng gupit ay ang distansya sa pagitan ng mga dulo ng segment sa isang partikular na sukat (segment ng haba ng yunit). Tinutukoy namin ang haba ng segment A B tulad ng sumusunod: A B .
Kahulugan 3
gitnang punto Isang punto sa isang segment ng linya na katumbas ng layo mula sa mga dulo nito. Kung ang gitna ng segment A B ay tinutukoy ng punto C, kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay magiging totoo: A C \u003d C B
Paunang data: coordinate line O x at hindi magkatugmang mga punto dito: A at B . Ang mga puntong ito ay tumutugma sa mga tunay na numero x A at x B . Ang point C ay ang midpoint ng segment A B: kailangan mong tukuyin ang coordinate x C .
Dahil ang point C ay ang midpoint ng segment A B, ang pagkakapantay-pantay ay magiging totoo: | A C | = | C B | . Ang distansya sa pagitan ng mga punto ay tinutukoy ng modulus ng pagkakaiba sa pagitan ng kanilang mga coordinate, i.e.
| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C
Pagkatapos ay posible ang dalawang pagkakapantay-pantay: x C - x A = x B - x C at x C - x A = - (x B - x C)
Mula sa unang pagkakapantay-pantay, nakukuha namin ang isang formula para sa coordinate ng punto C: x C \u003d x A + x B 2 (kalahati ng kabuuan ng mga coordinate ng mga dulo ng segment).
Mula sa pangalawang pagkakapantay-pantay makuha natin ang: x A = x B , na imposible, dahil sa orihinal na data - mga hindi tugmang puntos. kaya, formula para sa pagtukoy ng mga coordinate ng midpoint ng segment A B na may mga dulo A (x A) at B(xB):
Ang resultang formula ay magiging batayan para sa pagtukoy ng mga coordinate ng midpoint ng segment sa isang eroplano o sa kalawakan.
Paunang data: rectangular coordinate system sa eroplano O x y , dalawang di-makatwirang di-nagtutugmang mga punto na may ibinigay na mga coordinate A x A , y A at B x B , y B . Ang point C ay ang midpoint ng segment A B . Ito ay kinakailangan upang matukoy ang mga coordinate x C at y C para sa punto C .
Isaalang-alang natin para sa pagsusuri ang kaso kapag ang mga puntong A at B ay hindi nagtutugma at hindi nakahiga sa parehong linya ng coordinate o isang linya na patayo sa isa sa mga palakol. A x , A y ; B x , B y at C x , C y - projection ng mga puntos A , B at C sa mga coordinate axes (mga tuwid na linya O x at O y).
Sa pamamagitan ng pagbuo, ang mga linyang A A x , B B x , C C x ay parallel; ang mga linya ay parallel din sa isa't isa. Kasama nito, ayon sa Thales theorem, mula sa pagkakapantay-pantay A C \u003d C B, ang mga pagkakapantay-pantay ay sumusunod: A x C x \u003d C x B x at A y C y \u003d C y B y, at sila naman, ipahiwatig na ang punto C x - ang gitna ng segment A x B x, at C y ay ang gitna ng segment A y B y. At pagkatapos, batay sa pormula na nakuha nang mas maaga, nakukuha natin:
x C = x A + x B 2 at y C = y A + y B 2
Ang parehong mga formula ay maaaring gamitin sa kaso kapag ang mga punto A at B ay nasa parehong coordinate line o isang linya na patayo sa isa sa mga axes. Hindi kami magsasagawa ng isang detalyadong pagsusuri sa kasong ito, isasaalang-alang lamang namin ito nang graphical:
Pagbubuod ng lahat ng nasa itaas, mga coordinate ng gitna ng segment A B sa eroplano na may mga coordinate ng mga dulo A (x A , y A) at B(x B, y B) tinukoy bilang:
(x A + x B 2 , y A + y B 2)
Paunang data: coordinate system О x y z at dalawang arbitrary point na may ibinigay na coordinate A (x A , y A , z A) at B (x B , y B , z B) . Ito ay kinakailangan upang matukoy ang mga coordinate ng punto C , na kung saan ay ang gitna ng segment A B .
A x , A y , A z ; B x , B y , B z at C x , C y , C z - projection ng lahat ng ibinigay na puntos sa mga axes ng coordinate system.
Ayon sa Thales theorem, ang mga pagkakapantay-pantay ay totoo: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z
Samakatuwid, ang mga puntong C x , C y , C z ay ang mga midpoint ng mga segment A x B x , A y B y , A z B z ayon sa pagkakabanggit. pagkatapos, upang matukoy ang mga coordinate ng gitna ng segment sa espasyo, ang mga sumusunod na formula ay totoo:
x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2
Ang mga resultang formula ay naaangkop din sa mga kaso kung saan ang mga punto A at B ay nasa isa sa mga linya ng coordinate; sa isang tuwid na linya patayo sa isa sa mga palakol; sa isang coordinate plane o isang plane na patayo sa isa sa mga coordinate plane.
Pagtukoy sa mga coordinate ng gitna ng isang segment sa pamamagitan ng mga coordinate ng radius vectors ng mga dulo nito
Ang formula para sa paghahanap ng mga coordinate ng gitna ng segment ay maaari ding makuha ayon sa algebraic na interpretasyon ng mga vector.
Paunang data: rectangular Cartesian coordinate system O x y , mga puntos na may ibinigay na coordinate A (x A , y A) at B (x B , x B) . Ang point C ay ang midpoint ng segment A B .
Ayon sa geometric na kahulugan ng mga aksyon sa mga vector, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay magiging totoo: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Ang punto C sa kasong ito ay ang intersection point ng mga diagonal ng parallelogram na itinayo batay sa mga vectors O A → at O B → , i.e. ang punto ng gitna ng mga diagonal. Ang mga coordinate ng radius vector ng punto ay katumbas ng mga coordinate ng punto, kung gayon ang mga pagkakapantay-pantay ay totoo: O A → = (x A , y A) , O B → = (x B , y B). Magsagawa tayo ng ilang operasyon sa mga vector sa mga coordinate at makuha ang:
O C → = 1 2 O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2
Samakatuwid, ang punto C ay may mga coordinate:
x A + x B 2 , y A + y B 2
Sa pamamagitan ng pagkakatulad, ang isang formula ay tinukoy para sa paghahanap ng mga coordinate ng midpoint ng isang segment sa espasyo:
C (x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2)
Mga halimbawa ng paglutas ng mga problema para sa paghahanap ng mga coordinate ng gitna ng isang segment
Kabilang sa mga gawain na kinasasangkutan ng paggamit ng mga formula na nakuha sa itaas, mayroong parehong kung saan ang tanong ay direktang kalkulahin ang mga coordinate ng gitna ng segment, at ang mga may kinalaman sa pagdadala ng mga ibinigay na kundisyon sa tanong na ito: ang terminong "median" ay madalas na ginagamit, ang layunin ay upang mahanap ang mga coordinate ng isa mula sa mga dulo ng segment, pati na rin ang mga problema sa simetrya, ang solusyon na kung saan sa pangkalahatan ay hindi dapat maging sanhi ng mga paghihirap pagkatapos pag-aralan ang paksang ito. Isaalang-alang natin ang mga karaniwang halimbawa.
Halimbawa 1
Paunang data: sa eroplano - mga puntos na may ibinigay na mga coordinate A (- 7, 3) at B (2, 4) . Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga coordinate ng midpoint ng segment A B.
Desisyon
Tukuyin natin ang gitna ng segment A B sa pamamagitan ng punto C . Ang mga coordinate nito ay tutukuyin bilang kalahati ng kabuuan ng mga coordinate ng mga dulo ng segment, i.e. puntos A at B.
x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2
Sagot: mga coordinate ng gitna ng segment A B - 5 2 , 7 2 .
Halimbawa 2
Paunang data: ang mga coordinate ng tatsulok A B C ay kilala: A (- 1 , 0) , B (3 , 2) , C (9 , - 8) . Kinakailangang hanapin ang haba ng median na A M.
Desisyon
- Sa pamamagitan ng kondisyon ng problema, ang A M ay ang median, na nangangahulugan na ang M ay ang midpoint ng segment B C . Una sa lahat, nakita namin ang mga coordinate ng gitna ng segment B C , i.e. M puntos:
x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3
- Dahil alam na natin ngayon ang mga coordinate ng magkabilang dulo ng median (mga puntos A at M), maaari nating gamitin ang formula upang matukoy ang distansya sa pagitan ng mga punto at kalkulahin ang haba ng median A M:
A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58
Sagot: 58
Halimbawa 3
Paunang data: isang parallelepiped A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 ay ibinibigay sa rectangular coordinate system ng three-dimensional space. Ang mga coordinate ng point C 1 (1 , 1 , 0) ay ibinibigay, at ang point M ay tinukoy din, na siyang midpoint ng diagonal B D 1 at may mga coordinate M (4 , 2 , - 4) . Kinakailangang kalkulahin ang mga coordinate ng point A.
Desisyon
Ang mga diagonal ng isang parallelepiped ay nagsalubong sa isang punto, na siyang midpoint ng lahat ng mga diagonal. Batay sa pahayag na ito, maaari nating tandaan na ang punto M na kilala ng mga kondisyon ng problema ay ang gitna ng segment А С 1 . Batay sa formula para sa paghahanap ng mga coordinate ng gitna ng segment sa espasyo, nakita namin ang mga coordinate ng point A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 (- 4) - 0 = - 8
Sagot: mga coordinate ng point A (7, 3, - 8) .
Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
