Ang mga parusa laban sa sektor ng enerhiya ng Russia ng Estados Unidos ay maaaring humantong sa mga kritikal na kahihinatnan - hanggang sa pagbagsak ng European energy system. Ganito ang sabi ni Robert, ang pinuno ng British oil and gas company na BP.

“Hindi ko akalain na mangyayari. Kung magpapataw ka ng mga parusa sa Rosneft, tulad ng mga inilapat sa Rusal, pagkatapos ay i-off mo talaga ang mga sistema ng enerhiya ng Europa, at ito ay medyo sobra na, "

- sabi ni Dudley, nagsasalita sa Oil & Money 2018 conference sa London (sinipi mula sa).

Ang pagkakaloob ng utang at equity capital sa mga negosyo mula sa Russia ay limitado, pati na rin ang supply ng kagamitan para sa paggalugad at paggawa ng langis sa istante sa lalim na higit sa 150 metro at para sa pagbuo ng mga shale rock.

Noong Agosto 2017, hinigpitan ng United States ang mga pinansiyal na parusa, ipinakilala ang mga karagdagang pagbabawal sa supply ng mga kalakal at teknolohiya para sa produksyon, at isinabatas din ang posibilidad na magpataw ng mga paghihigpit sa mga pipeline ng pag-export. Dahil sa mga parusa, halos lahat ng pinagsamang proyekto sa mga dayuhan upang bumuo ng offshore at shale oil ay sinuspinde din.

Ang mga eksperto ay paulit-ulit na nabanggit na sa hinaharap ang mga paghihigpit na ito ay maaaring humantong sa isang pagbaba sa antas ng produksyon sa Russian Federation kung ang bansa ay hindi nagbabayad ng higit na pansin sa geological exploration at pag-unlad ng sarili nitong mga teknolohiya.

Malinaw, kung ang pinakamahigpit na pakete ng mga paghihigpit ay pinagtibay sa Nobyembre, ang pakikipag-ugnayan ay maaaring kumplikado, ngunit hindi malamang na ito ay mapupunta sa kategorya ng isang kumpletong paghinto,

Sa isip ni Zharsky.

Kung ang mga inaasahan ay iba, kung gayon ang parehong nakakagambalang balita ay magsisimulang magmula sa ibang interesadong partido, ngunit ang mga oilmen ay hindi nauutal tungkol sa gayong mga pagtataya, ang eksperto ay nakakakuha ng pansin.

Ang pagpapataw ng matitinding parusa ay hindi lamang isang problema para sa Russia, kundi isang sakit ng ulo para sa ating mga dayuhang katapat, na kinabibilangan ng mga pinakamalapit na kaalyado ng US, ay sumasang-ayon sa BCS Premier investment strategist.

Ayon sa analyst, sa kaganapan ng pagpapalakas ng mga parusa, ang mga paghihigpit na hakbang ay maaaring mas pinili sa kalikasan at malamang na hindi idirekta sa buong industriya.

Sinasakop ng Russia ang higit sa 10% ng merkado ng langis sa mundo, ang biglaang pag-alis ng naturang pangunahing manlalaro ay mangangahulugan ng mabilis na paglaki ng langis quotes: potensyal na ito ay hindi lamang isang suntok sa European, ngunit din sa lahat ng iba pang mga mamimili ng langis.

Kaya, noong Setyembre, ang produksyon ng langis sa Russia ay umabot sa 11.35 milyong barrels bawat araw (b / d). Ayon sa CDU ng Fuel and Energy Complex ng Ministry of Energy, noong Enero-Setyembre 2018, ang Russia ay nagbigay ng 190.212 milyong tonelada ng langis sa mga bansang hindi CIS.

Tulad ng para sa merkado ng gas, ang sitwasyon para sa EU ay mas seryoso: Ang Russia ay nagkakahalaga ng halos 34% ng lahat ng mga supply ng gas sa Europa. Kasabay nito, noong nakaraang taon ang Gazprom ay naghatid ng humigit-kumulang 195 bilyong metro kubiko ng gas sa mga bansang hindi CIS (ang EU kasama ang Turkey). Sa taong ito, ayon sa mga pagtataya ng mga eksperto at ang monopolista mismo, ang bilang na ito ay lalampas sa 200 bilyong metro kubiko.

Napakahirap na mabilis na palitan ang mga naturang volume. Hindi sa banggitin ang katotohanan na ang matipid na gas mula sa Russian Federation ay mas kumikita para sa mga bansang Europa kaysa sa parehong liquefied natural gas (LNG).

Nauna kong iniulat na imposibleng magpataw ng mga parusa laban sa Russia ayon sa matigas na senaryo ng Iran o Hilagang Korea, ang bansa ay masyadong malalim na isinama sa ekonomiya ng mundo. Sa Nobyembre, ang isang embargo sa supply ng langis mula sa Iran ay ipakikilala, at ang merkado ay mawawalan ng humigit-kumulang 1-2 milyong bariles. Tanging ang inaasahan nito ang nagdala ng mga panipi sa antas na $80-85 kada bariles ng Brent.

Gayunpaman, hindi isinasaalang-alang ng administrasyon ang mga panganib, na naglalabas ng mga digmaang pangkalakalan sa EU at China. Sinabi kamakailan ng Kalihim ng Panloob ng US na si Ryan Zinke na maaaring magpataw ang US ng naval blockade sa Russia. Kaya't hindi isang solong, kahit na ang pinaka-imposibleng senaryo, ay maaaring maalis.

Sa lahat ng mga pagkakasunud-sunod ng mga numero, ang geometric na pag-unlad, na isinasaalang-alang sa kursong algebra sa ika-9 na baitang, ay isa sa pinakasikat. Ano ito at kung paano malutas ang isang geometric na pag-unlad - ang mga tanong na ito ay sinasagot sa artikulong ito.

Isang pagkakasunud-sunod ng mga numero na sumusunod sa isang batas sa matematika

Ang pamagat ng talatang ito ay isang pangkalahatang kahulugan ng isang geometric na pag-unlad. Ang batas kung saan ito ay inilarawan ay medyo simple: ang bawat susunod na numero ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng isang kadahilanan, na tinatawag na "denominator". Maaari mo itong italaga gamit ang letrang r. Pagkatapos ay maaari nating isulat ang sumusunod na pagkakapantay-pantay:

Narito ang isang miyembro ng progression na may numero n.

Kung ang r ay mas malaki kaysa sa 1, kung gayon ang pag-unlad ay tataas sa ganap na halaga (maaari itong bumaba kung ang unang termino nito ay may negatibong tanda). Kung ang r ay mas mababa sa isa, ang buong pag-unlad ay magiging zero o mula sa ibaba (a1<0), либо сверху (a1>0). Sa kaso ng isang negatibong denominator (r<0) иметь место будет чередующаяся числовая последовательность (каждый положительный член будет окружен двумя отрицательными). Наконец, при равенстве r единице получится простой набор чисел, который, как правило, не называют прогрессией.

Ang isang halimbawa ng uri ng pag-unlad na isinasaalang-alang ay ibinigay sa ibaba:

2, 3, 4, 5, 6, 75, …

Dito ang unang termino ay 2 at ang denominator ay 1.5.

Mga mahahalagang formula

Paano malutas ang isang geometric na pag-unlad sa grade 9? Upang gawin ito, dapat mong malaman hindi lamang ang kahulugan nito at maunawaan kung tungkol saan ito, ngunit tandaan din ang dalawang mahahalagang formula. Ang una sa mga ito ay ipinapakita sa ibaba:

Pinapayagan ka ng expression na madaling makahanap ng isang di-makatwirang elemento ng pagkakasunud-sunod, ngunit para dito kailangan mong malaman ang dalawang numero: ang denominator at ang unang elemento. Madaling patunayan ang formula na ito, kailangan mo lamang tandaan ang kahulugan ng isang geometric na pag-unlad: ang pangalawang elemento ay nakuha sa pamamagitan ng pag-multiply ng una sa denominator hanggang sa unang degree, ang pangatlong elemento sa pamamagitan ng pagpaparami ng una sa denominator sa pangalawa. degree, at iba pa. Ang pagiging kapaki-pakinabang ng expression na ito ay halata: hindi na kailangang sunud-sunod na ibalik ang buong serye ng numero upang malaman kung anong halaga ang kukunin ng ika-n na elemento nito.

Ang sumusunod na formula ay kapaki-pakinabang din sa pagsagot sa tanong kung paano lutasin ang isang geometric na pag-unlad. Pinag-uusapan natin ang kabuuan ng mga elemento nito, simula sa una at nagtatapos sa ika-n. Ang kaukulang expression ay ibinigay sa ibaba:

Sn = a1*(rn-1)/(r-1).

Ito ay nagkakahalaga ng pagbibigay pansin sa kakaiba nito: tulad ng sa pormula para sa paghahanap ng ika-n na elemento, narito sapat din na malaman ang parehong dalawang numero (a1 at r). Ang resultang ito ay hindi nakakagulat, dahil ang bawat termino ng pag-unlad ay nauugnay sa mga minarkahang numero.

Pagpapanumbalik ng pag-unlad

Ang unang halimbawa, kung paano lutasin ang isang geometric na pag-unlad, ay may sumusunod na kondisyon: alam na ang dalawang numero 10 at 20 ay bumubuo sa uri ng pag-unlad na isinasaalang-alang. Sa kasong ito, ang mga numero ay ang ikawalo at ikalabinlimang elemento ng serye. Kinakailangang ibalik ang buong serye, alam na dapat itong bumababa.

Ang medyo nakakalito na kondisyon ng problema ay dapat na maingat na pag-aralan: dahil pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang bumababa na serye, ang numero 10 ay dapat nasa posisyon 15, at 20 sa 8. Simula sa paglutas, isulat ang mga katumbas na pagkakapantay-pantay para sa bawat isa sa mga numero:

a8 = a1*r7 at a15 = a1*r14.

Mayroon kang dalawang pagkakapantay-pantay na may dalawang hindi alam. Lutasin ang mga ito sa pamamagitan ng pagpapahayag mula sa unang a1 at pagpapalit nito sa pangalawa. Kunin:

a1 = a8*r-7 at a15 = a8*r-7 *r14=a8*r7 => r=7√(a15/a8).

Ngayon ay nananatili itong palitan ang naaangkop na mga halaga mula sa kondisyon at kalkulahin ang ikapitong ugat. Kunin:

r=7√(a15/a8) = 7√(10/20) ≈ 0.9057.

Ang pagpapalit ng nagresultang denominator sa alinman sa mga expression para sa kilalang nth elemento, ang a1 ay nakuha:

a1 = a8*r-7 = 20*(0.9057)-7 ≈ 40.0073.

Sa ganitong paraan makikita mo ang unang termino at ang denominator, na nangangahulugang ibabalik mo ang buong pag-unlad. Unang ilang miyembro:

40,0073, 36,2346, 32,8177, 29,7230, …

Dapat tandaan na kapag nagsasagawa ng mga kalkulasyon, ginamit ang pag-ikot sa 4 na decimal na lugar.

Paghahanap ng hindi kilalang miyembro ng isang serye

Ngayon ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang ng isa pang halimbawa: ito ay kilala na ang ikapitong elemento ng serye ay 27, na kung saan ay ang ikalabintatlong termino kung ang denominator r \u003d -2. Paano malutas ang isang geometric na pag-unlad gamit ang data na ito? Napakasimple, kailangan mong isulat ang formula para sa ika-7 elemento:

Dahil ang numerong a1 lamang ang hindi alam sa pagkakapantay-pantay na ito, ipahayag ito:

Gamitin ang huling equation sa pamamagitan ng pagpapalit nito sa formula para sa ika-13 terminong gusto mong hanapin. Kunin:

a13 = a1*r12 = a7*r-6*r12 = a7*r6.

Ito ay nananatiling palitan ang mga numero at isulat ang sagot:

a13 = a7*r6 = 27*(-2)6 = 1728.

Ipinapakita ng resultang numero kung gaano kabilis ang paglaki ng geometric na pag-unlad.

Gawain para sa kabuuan

Ang huling gawain, na nagpapakita ng tanong kung paano malutas ang isang geometric na pag-unlad, ay nauugnay sa paghahanap ng kabuuan ng ilang mga elemento. Hayaan ang a1 = 1.5, r = 2. Dapat mong kalkulahin ang kabuuan ng mga tuntunin ng seryeng ito, simula sa ika-5 at nagtatapos sa ika-10.

Upang makuha ang sagot sa tanong na ibinigay, dapat mong ilapat ang formula:

S510 = S10 - S4.

Iyon ay, kailangan mo munang hanapin ang kabuuan ng 10 elemento, pagkatapos ay ang kabuuan ng unang 4 at ibawas ang mga ito sa kanilang sarili. Kasunod ng tinukoy na algorithm, lalabas ito:

S10 = a1*(rn-1)/(r-1) = 1.5*(210-1)/(2-1) = 1534.5;

S4 = a1*(rn-1)/(r-1) = 1.5*(24-1)/(2-1) = 22.5;

S510 = 1534.5 - 22.5 = 1512.

Kapansin-pansin na sa pangwakas na pormula, ang kabuuan ng eksaktong 4 na termino ay ibinawas, dahil ang ikalimang, ayon sa kondisyon ng problema, ay dapat lumahok sa kabuuan.

Oktubre 9, 2018

Ang geometric progression ay isa sa pinakakawili-wiling serye ng numero na isinasaalang-alang sa kursong algebra ng paaralan. Ang artikulong ito ay nakatuon sa isang espesyal na kaso ng nabanggit na serye: isang bumababa na walang katapusang geometric na pag-unlad at ang kabuuan ng mga termino nito.

Anong serye ng mga numero ang pinag-uusapan natin?

Ang geometric progression ay isang one-dimensional na pagkakasunud-sunod ng mga tunay na numero na nauugnay sa isa't isa sa pamamagitan ng sumusunod na relasyon:

a 2 = a 1 *r, a 3 = a 2 *r, a 4 = a 3 *r, ...., a n = a n-1 *r

Pag-generalize ng mga expression sa itaas, maaari naming isulat ang sumusunod na pagkakapantay-pantay:

a n = a 1 *r n-1

Tulad ng malinaw mula sa mga entry sa itaas, ang a n ay ang elemento ng pag-unlad na may bilang na n. Ang parameter r, kung saan ang n-1 na mga elemento ay dapat paramihin upang makuha ang n-ika elemento, ay tinatawag na denominator.

Ano ang mga katangian ng inilarawang pagkakasunod-sunod? Ang sagot sa tanong ay depende sa halaga at tanda ng r. Posible ang mga sumusunod na opsyon:

• Ang denominator r ay positibo at mas malaki sa 1. Sa kasong ito, ang pag-unlad ay palaging tataas sa ganap na halaga, habang ang ganap na halaga ng mga miyembro nito ay maaari ding bumaba kung ang isang 1 ay negatibo.
• Ang denominator r ay negatibo at mas malaki sa 1. Sa kasong ito, ang mga tuntunin ng pag-unlad ay lilitaw na may alternating sign (+ at -). Ang ganitong mga serye ay hindi gaanong praktikal na interes.
• Ang modulus ng denominator r ay mas mababa sa 1. Ang seryeng ito ay tinatawag na pagbaba, anuman ang tanda ng r. Ang pag-unlad na ito ang may malaking praktikal na interes, at ito ay tatalakayin sa artikulong ito.

Formula para sa kabuuan

Una, kumuha tayo ng expression na magpapahintulot sa atin na kalkulahin ang kabuuan ng isang arbitrary na bilang ng mga elemento ng isang naibigay na pag-unlad. Simulan nating lutasin ang problemang ito nang direkta. Meron kami:

S n = a 1 +a 2 +a 3 +..+a n

Ang pagkakapantay-pantay sa itaas ay maaaring gamitin kung kinakailangan upang kalkulahin ang resulta para sa isang maliit na bilang ng mga termino (3-4 na termino), ang bawat isa ay tinutukoy ng formula para sa ika-n na termino (tingnan ang nakaraang talata). Gayunpaman, kung mayroong maraming mga termino, kung gayon ito ay hindi maginhawa upang mabilang sa noo at maaari kang magkamali, kaya gumamit sila ng isang espesyal na formula.

I-multiply namin ang parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay sa itaas sa pamamagitan ng r, nakukuha namin ang:

r*S n = r*a 1 +r*a 2 +r*a 3 +..+r*a n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1

Ngayon ay ibawas namin ang kaliwa at kanang bahagi ng dalawang expression na ito nang pares, mayroon kaming:

r*S n - S n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1 - (a 1 +a 2 +a 3 +..+a n) = a n+1 - a 1

Ang pagpapahayag ng kabuuan S n at gamit ang formula para sa terminong a n+1 , nakukuha natin ang:

S n \u003d (a n+1 - a 1) / (r-1) \u003d a 1 * (r n - 1) / (r-1)

Kaya, nakakuha kami ng pangkalahatang pormula para sa kabuuan ng unang n termino ng itinuturing na uri ng serye ng numero. Tandaan na ang formula ay wasto kung r≠1. Sa huling kaso, mayroong isang simpleng serye ng magkaparehong mga numero, ang kabuuan nito ay kinakalkula bilang produkto ng isang numero at kanilang numero.

Mga kaugnay na video

Paano mahahanap ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad?

Upang masagot ang tanong na ito, dapat nating alalahanin na ang serye ay bababa kapag |r|<1. Воспользуемся полученной в предыдущем пункте формулой для S n:

S n \u003d a 1 * (r n - 1) / (r-1)

Tandaan na ang anumang numero na ang modulus ay mas mababa sa 1 ay may posibilidad na maging zero kapag itinaas sa isang malaking kapangyarihan, iyon ay, r ∞ -> 0. Maaari mong suriin ang katotohanang ito sa anumang halimbawa:

r = -1/2, pagkatapos ay (-1/2)**10 ≈ 9.7*10 -4, (-1/2)**20 ≈ 9.5*10 -7 at iba pa.

Sa pagkakaroon ng itinatag na katotohanang ito, bigyang-pansin natin ang expression para sa kabuuan: para sa n->∞ ito ay muling isusulat tulad ng sumusunod:

S ∞ = a 1 *(r ∞ - 1)/(r-1) = a 1 /(1-r)

Isang kawili-wiling resulta ang nakuha: ang kabuuan ng isang walang katapusang pag-unlad ng isang bumababa na geometriko ay may posibilidad na isang may hangganan na numero, na hindi nakadepende sa bilang ng mga termino. Ito ay tinutukoy lamang ng unang termino at ang denominator. Tandaan na ang tanda ng kabuuan ay natatanging tinutukoy ng tanda ng isang 1 , dahil ang denominator ay palaging isang positibong numero (1-r>0).

Ang kabuuan ng mga parisukat ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad

Tinutukoy ng pamagat ng item ang problemang lutasin. Upang gawin ito, gumagamit kami ng isang pamamaraan na ganap na katulad ng ginamit upang makuha ang pangkalahatang formula para sa S n . Mayroon kaming unang expression:

M n = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2

I-multiply ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay sa r 2, isulat ang pangalawang expression:

r 2 *M n = r 2 *a 1 2 + r 2 *a 2 2 + r 2 *a 3 2 + ... + r 2 *a n 2 = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 .. .+a n+1 2

Ngayon nakita namin ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang pagkakapantay-pantay na ito:

r 2 *M n - M n = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 ... + a n+1 2 - (a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2) = a n+1 2 - a 1 2

Ipinapahayag namin ang M n at ginagamit ang formula para sa nth elemento, nakukuha namin ang pagkakapantay-pantay:

M n \u003d (a n+1 2 - a 1 2) / (r 2 -1) \u003d a 1 2 * (r 2n -1) / (r 2 -1)

Sa nakaraang talata, ipinakita na r ∞ -> 0, kung gayon ang panghuling formula ay kukuha ng anyo:

M ∞ = a 1 2 */(1-r 2)

Paghahambing ng dalawang natanggap na kabuuan

Paghambingin natin ang dalawang formula: para sa isang walang katapusang kabuuan at isang walang katapusang kabuuan ng mga parisukat gamit ang halimbawa ng sumusunod na problema: ang kabuuan ng isang walang katapusang geometric na pag-unlad ay 2, ito ay kilala na pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang bumababa na pagkakasunud-sunod kung saan ang denominator ay 1 /3. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang walang katapusang kabuuan ng mga parisukat ng seryeng ito ng mga numero.

Gamitin natin ang formula para sa kabuuan. Ipahayag ang isang 1:

S ∞ = a 1 /(1-r) => a 1 = S ∞ *(1-r)

Pinapalitan namin ang expression na ito sa formula para sa kabuuan ng mga parisukat, mayroon kaming:

M ∞ = a 1 2 */(1-r 2) = S ∞ 2 *(1-r) 2 /(1-r 2) = S ∞ 2 *(1-r)/(1+r)

Nakuha namin ang nais na pormula, ngayon ay maaari naming palitan ang data na kilala mula sa kundisyon:

M ∞ = S ∞ 2 *(1-r)/(1+r) = 2 2 *(1-1/3)/(1+1/3) = 2

Kaya, nakuha namin ang parehong halaga para sa walang katapusang kabuuan ng mga parisukat tulad ng para sa simpleng kabuuan. Tandaan na ang resultang ito ay wasto lamang para sa problemang ito. Sa pangkalahatan, M ∞ ≠ S ∞ .

Ang gawain ng pagkalkula ng lugar ng isang rektanggulo

Alam ng bawat mag-aaral ang formula S = a * b, na tumutukoy sa lugar ng isang parihaba sa mga tuntunin ng mga gilid nito. Ilang tao ang nakakaalam na ang problema sa paghahanap ng lugar ng figure na ito ay madaling malutas gamit ang kabuuan ng isang walang katapusang geometric na pag-unlad. Ipakita natin kung paano ito ginawa.

Hatiin natin sa kaisipan ang parihaba sa kalahati. Ang lugar ng isang kalahati ay kinuha bilang pagkakaisa. Ngayon hinati namin muli ang kalahati sa kalahati. Kumuha kami ng dalawang halves, ang isa ay hahatiin namin sa kalahati. Ipagpapatuloy namin ang pamamaraang ito nang walang katapusan (tingnan ang figure sa ibaba).

Bilang resulta, ang lugar ng rektanggulo sa mga yunit na napili namin ay magiging katumbas ng:

S ∞ = 1+1/2+1/4+1/8+...

Makikita na ang mga terminong ito ay mga elemento ng isang bumababa na serye, kung saan ang isang 1 = 1 at r = 1/2. Gamit ang formula para sa isang walang katapusang kabuuan, nakukuha natin ang:

S∞ = 1 /(1-1/2) = 2

Sa sukat na aming napili, kalahati ng parihaba (isang yunit) ay tumutugma sa lugar na a*b/2. Nangangahulugan ito na ang lugar ng buong parihaba ay:

S ∞ = 2*a*b/2 = a*b

Ang resulta na nakuha ay halata, gayunpaman, ito ay nagpakita kung paano ang isang bumababa na pag-unlad ay maaaring ilapat upang malutas ang mga problema sa geometry.

Ang geometric progression ay isa sa pinakakawili-wiling serye ng numero na isinasaalang-alang sa kursong algebra ng paaralan. Ang artikulong ito ay nakatuon sa isang partikular na kaso ng nabanggit na serye: at ang kabuuan ng mga miyembro nito.

Anong serye ng mga numero ang pinag-uusapan natin?

Ang geometric progression ay isang one-dimensional na pagkakasunud-sunod ng mga tunay na numero na nauugnay sa isa't isa sa pamamagitan ng sumusunod na relasyon:

a 2 = a 1 *r, a 3 = a 2 *r, a 4 = a 3 *r, ...., a n = a n-1 *r

Pag-generalize ng mga expression sa itaas, maaari naming isulat ang sumusunod na pagkakapantay-pantay:

a n = a 1 *r n-1

Tulad ng malinaw mula sa mga entry sa itaas, ang a n ay ang elemento ng pag-unlad na may bilang na n. Ang parameter r, kung saan ang n-1 na mga elemento ay dapat paramihin upang makuha ang n-ika elemento, ay tinatawag na denominator.

Ano ang mga katangian ng inilarawang pagkakasunod-sunod? Ang sagot sa tanong ay depende sa halaga at tanda ng r. Posible ang mga sumusunod na opsyon:

• Ang denominator r ay positibo at mas malaki sa 1. Sa kasong ito, ang pag-unlad ay palaging tataas sa ganap na halaga, habang ang ganap na halaga ng mga miyembro nito ay maaari ding bumaba kung ang isang 1 ay negatibo.
• Ang denominator r ay negatibo at mas malaki sa 1. Sa kasong ito, ang mga tuntunin ng pag-unlad ay lilitaw na may alternating sign (+ at -). Ang ganitong mga serye ay hindi gaanong praktikal na interes.
• Ang modulus ng denominator r ay mas mababa sa 1. Ang seryeng ito ay tinatawag na pagbaba, anuman ang tanda ng r. Ang pag-unlad na ito ang may malaking praktikal na interes, at ito ay tatalakayin sa artikulong ito.

Formula para sa kabuuan

Una, kumuha tayo ng expression na magpapahintulot sa atin na kalkulahin ang kabuuan ng isang arbitrary na bilang ng mga elemento ng isang naibigay na pag-unlad. Simulan nating lutasin ang problemang ito nang direkta. Meron kami:

S n = a 1 +a 2 +a 3 +..+a n

Ang pagkakapantay-pantay sa itaas ay maaaring gamitin kung kinakailangan upang kalkulahin ang resulta para sa isang maliit na bilang ng mga termino (3-4 na termino), ang bawat isa ay tinutukoy ng formula para sa ika-n na termino (tingnan ang nakaraang talata). Gayunpaman, kung mayroong maraming mga termino, kung gayon ito ay hindi maginhawa upang mabilang sa noo at maaari kang magkamali, kaya gumamit sila ng isang espesyal na formula.

I-multiply namin ang parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay sa itaas sa pamamagitan ng r, nakukuha namin ang:

r*S n = r*a 1 +r*a 2 +r*a 3 +..+r*a n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1

Ngayon ay ibawas namin ang kaliwa at kanang bahagi ng dalawang expression na ito nang pares, mayroon kaming:

r*S n - S n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1 - (a 1 +a 2 +a 3 +..+a n) = a n+1 - a 1

Ang pagpapahayag ng kabuuan S n at gamit ang formula para sa terminong a n+1 , nakukuha natin ang:

S n \u003d (a n+1 - a 1) / (r-1) \u003d a 1 * (r n - 1) / (r-1)

Kaya, nakakuha kami ng pangkalahatang pormula para sa kabuuan ng unang n termino ng itinuturing na uri ng serye ng numero. Tandaan na ang formula ay wasto kung r≠1. Sa huling kaso, mayroong isang simpleng serye ng magkaparehong mga numero, ang kabuuan nito ay kinakalkula bilang produkto ng isang numero at kanilang numero.

Paano mahahanap ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad?

Upang masagot ang tanong na ito, dapat nating alalahanin na ang serye ay bababa kapag |r|<1. Воспользуемся полученной в предыдущем пункте формулой для S n:

S n \u003d a 1 * (r n - 1) / (r-1)

Tandaan na ang anumang numero na ang modulus ay mas mababa sa 1 ay may posibilidad na maging zero kapag itinaas sa isang malaking kapangyarihan, iyon ay, r ∞ -> 0. Maaari mong suriin ang katotohanang ito sa anumang halimbawa:

r = -1/2, pagkatapos ay (-1/2)**10 ≈ 9.7*10 -4, (-1/2)**20 ≈ 9.5*10 -7 at iba pa.

Sa pagkakaroon ng itinatag na katotohanang ito, bigyang-pansin natin ang expression para sa kabuuan: para sa n->∞ ito ay muling isusulat tulad ng sumusunod:

S ∞ = a 1 *(r ∞ - 1)/(r-1) = a 1 /(1-r)

Isang kawili-wiling resulta ang nakuha: ang kabuuan ng isang walang katapusang pag-unlad ng isang bumababa na geometriko ay may posibilidad na isang may hangganan na numero, na hindi nakadepende sa bilang ng mga termino. Ito ay tinutukoy lamang ng unang termino at ang denominator. Tandaan na ang tanda ng kabuuan ay natatanging tinutukoy ng tanda ng isang 1 , dahil ang denominator ay palaging isang positibong numero (1-r>0).

Ang kabuuan ng mga parisukat ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad

Tinutukoy ng pamagat ng item ang problemang lutasin. Upang gawin ito, gumagamit kami ng isang pamamaraan na ganap na katulad ng ginamit upang makuha ang pangkalahatang formula para sa S n . Mayroon kaming unang expression:

M n = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2

I-multiply ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay sa r 2, isulat ang pangalawang expression:

r 2 *M n = r 2 *a 1 2 + r 2 *a 2 2 + r 2 *a 3 2 + ... + r 2 *a n 2 = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 .. .+a n+1 2

Ngayon nakita namin ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang pagkakapantay-pantay na ito:

r 2 *M n - M n = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 ... + a n+1 2 - (a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2) = a n+1 2 - a 1 2

Ipinapahayag namin ang M n at ginagamit ang formula para sa nth elemento, nakukuha namin ang pagkakapantay-pantay:

M n \u003d (a n+1 2 - a 1 2) / (r 2 -1) \u003d a 1 2 * (r 2n -1) / (r 2 -1)

Sa nakaraang talata, ipinakita na r ∞ -> 0, kung gayon ang panghuling formula ay kukuha ng anyo:

M ∞ = a 1 2 */(1-r 2)

Paghahambing ng dalawang natanggap na kabuuan

Paghambingin natin ang dalawang formula: para sa isang walang katapusang kabuuan at isang walang katapusang kabuuan ng mga parisukat gamit ang halimbawa ng sumusunod na problema: ang kabuuan ng isang walang katapusang geometric na pag-unlad ay 2, ito ay kilala na pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang bumababa na pagkakasunud-sunod kung saan ang denominator ay 1 /3. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang walang katapusang kabuuan ng mga parisukat ng seryeng ito ng mga numero.

Gamitin natin ang formula para sa kabuuan. Ipahayag ang isang 1:

S ∞ = a 1 /(1-r) => a 1 = S ∞ *(1-r)

Pinapalitan namin ang expression na ito sa formula para sa kabuuan ng mga parisukat, mayroon kaming:

M ∞ = a 1 2 */(1-r 2) = S ∞ 2 *(1-r) 2 /(1-r 2) = S ∞ 2 *(1-r)/(1+r)

Nakuha namin ang nais na pormula, ngayon ay maaari naming palitan ang data na kilala mula sa kundisyon:

M ∞ = S ∞ 2 *(1-r)/(1+r) = 2 2 *(1-1/3)/(1+1/3) = 2

Kaya, nakuha namin ang parehong halaga para sa walang katapusang kabuuan ng mga parisukat tulad ng para sa simpleng kabuuan. Tandaan na ang resultang ito ay wasto lamang para sa problemang ito. Sa pangkalahatan, M ∞ ≠ S ∞ .

Ang gawain ng pagkalkula ng lugar ng isang rektanggulo

Alam ng bawat mag-aaral ang formula S = a * b, na tumutukoy sa lugar ng isang parihaba sa mga tuntunin ng mga gilid nito. Ilang tao ang nakakaalam na ang problema sa paghahanap ng lugar ng figure na ito ay madaling malutas gamit ang kabuuan ng isang walang katapusang geometric na pag-unlad. Ipakita natin kung paano ito ginawa.

Hatiin natin sa kaisipan ang parihaba sa kalahati. Ang lugar ng isang kalahati ay kinuha bilang pagkakaisa. Ngayon hinati namin muli ang kalahati sa kalahati. Kumuha kami ng dalawang halves, ang isa ay hahatiin namin sa kalahati. Ipagpapatuloy namin ang pamamaraang ito nang walang katapusan (tingnan ang figure sa ibaba).

Bilang resulta, ang lugar ng rektanggulo sa mga yunit na napili namin ay magiging katumbas ng:

S ∞ = 1+1/2+1/4+1/8+...

Makikita na ang mga terminong ito ay mga elemento ng isang bumababa na serye, kung saan ang isang 1 = 1 at r = 1/2. Gamit ang formula para sa isang walang katapusang kabuuan, nakukuha natin ang:

S∞ = 1 /(1-1/2) = 2

Sa sukat na aming napili, kalahati ng parihaba (isang yunit) ay tumutugma sa lugar na a*b/2. Nangangahulugan ito na ang lugar ng buong parihaba ay:

S ∞ = 2*a*b/2 = a*b

Ang resulta na nakuha ay halata, gayunpaman, ito ay nagpakita kung paano ang isang bumababa na pag-unlad ay maaaring ilapat upang malutas ang mga problema sa geometry.

Sa lahat ng mga pagkakasunud-sunod ng mga numero, ang geometric na pag-unlad, na isinasaalang-alang sa kursong algebra sa ika-9 na baitang, ay isa sa pinakasikat. Ano ito at kung paano malutas ang isang geometric na pag-unlad - ang mga tanong na ito ay sinasagot sa artikulong ito.

Isang pagkakasunud-sunod ng mga numero na sumusunod sa isang batas sa matematika

Ang pamagat ng talatang ito ay isang pangkalahatang kahulugan ng isang geometric na pag-unlad. Ang batas kung saan ito ay inilarawan ay medyo simple: ang bawat susunod na numero ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng isang kadahilanan, na tinatawag na "denominator". Maaari mo itong italaga gamit ang letrang r. Pagkatapos ay maaari nating isulat ang sumusunod na pagkakapantay-pantay:

Narito ang isang n ay isang miyembro ng progression na may bilang n.

Kung ang r ay mas malaki kaysa sa 1, kung gayon ang pag-unlad ay tataas sa ganap na halaga (maaari itong bumaba kung ang unang termino nito ay may negatibong tanda). Kung ang r ay mas mababa sa isa, ang buong pag-unlad ay magiging zero o mula sa ibaba (a 1<0), либо сверху (a 1 >0). Sa kaso ng isang negatibong denominator (r<0) иметь место будет чередующаяся числовая последовательность (каждый положительный член будет окружен двумя отрицательными). Наконец, при равенстве r единице получится простой набор чисел, который, как правило, не называют прогрессией.

Ang isang halimbawa ng uri ng pag-unlad na isinasaalang-alang ay ibinigay sa ibaba:

2, 3, 4, 5, 6, 75, ...

Dito ang unang termino ay 2 at ang denominator ay 1.5.

Mga mahahalagang formula

Paano malutas ang isang geometric na pag-unlad sa grade 9? Upang gawin ito, dapat mong malaman hindi lamang ang kahulugan nito at maunawaan kung tungkol saan ito, ngunit tandaan din ang dalawang mahahalagang formula. Ang una sa mga ito ay ipinapakita sa ibaba:

Pinapayagan ka ng expression na madaling makahanap ng isang di-makatwirang elemento ng pagkakasunud-sunod, ngunit para dito kailangan mong malaman ang dalawang numero: ang denominator at ang unang elemento. Madaling patunayan ang formula na ito, kailangan mo lamang tandaan ang kahulugan ng isang geometric na pag-unlad: ang pangalawang elemento ay nakuha sa pamamagitan ng pag-multiply ng una sa denominator hanggang sa unang degree, ang pangatlong elemento sa pamamagitan ng pagpaparami ng una sa denominator sa pangalawa. degree, at iba pa. Ang pagiging kapaki-pakinabang ng expression na ito ay halata: hindi na kailangang sunud-sunod na ibalik ang buong serye ng numero upang malaman kung anong halaga ang kukunin ng ika-n na elemento nito.

Ang sumusunod na formula ay kapaki-pakinabang din sa pagsagot sa tanong kung paano lutasin ang isang geometric na pag-unlad. Pinag-uusapan natin ang kabuuan ng mga elemento nito, simula sa una at nagtatapos sa ika-n. Ang kaukulang expression ay ibinigay sa ibaba:

S n \u003d a 1 * (r n -1) / (r-1).

Ito ay nagkakahalaga ng pagbibigay pansin sa kakaibang katangian nito: tulad ng sa pormula para sa paghahanap ng ika-n na elemento, dito sapat din na malaman ang parehong dalawang numero (a 1 at r). Ang resultang ito ay hindi nakakagulat, dahil ang bawat termino ng pag-unlad ay nauugnay sa mga minarkahang numero.

Pagpapanumbalik ng pag-unlad

Ang unang halimbawa, kung paano lutasin ang isang geometric na pag-unlad, ay may sumusunod na kondisyon: alam na ang dalawang numero 10 at 20 ay bumubuo sa uri ng pag-unlad na isinasaalang-alang. Sa kasong ito, ang mga numero ay ang ikawalo at ikalabinlimang elemento ng serye. Kinakailangang ibalik ang buong serye, alam na dapat itong bumababa.

Ang medyo nakakalito na kondisyon ng problema ay dapat na maingat na pag-aralan: dahil pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang bumababa na serye, ang numero 10 ay dapat nasa posisyon 15, at 20 sa 8. Simula sa paglutas, isulat ang mga katumbas na pagkakapantay-pantay para sa bawat isa sa mga numero:

a 8 = a 1 *r 7 at a 15 = a 1 *r 14 .

Mayroon kang dalawang pagkakapantay-pantay na may dalawang hindi alam. Lutasin ang mga ito sa pamamagitan ng pagpapahayag mula sa una ng a 1 at pagpapalit nito sa pangalawa. Kunin:

a 1 = a 8 *r -7 at a 15 = a 8 *r -7 *r 14 = a 8 *r 7 => r= 7 √ (a 15 / a 8).

Ngayon ay nananatili itong palitan ang naaangkop na mga halaga mula sa kondisyon at kalkulahin ang ikapitong ugat. Kunin:

r \u003d 7 √ (a 15 / a 8) \u003d 7 √ (10 / 20) ≈ 0.9057.

Ang pagpapalit ng nagresultang denominator sa alinman sa mga expression para sa kilalang nth elemento, makakakuha tayo ng 1:

isang 1 \u003d isang 8 * r -7 \u003d 20 * (0.9057) -7 ≈ 40.0073.

Sa ganitong paraan makikita mo ang unang termino at ang denominator, na nangangahulugang ibabalik mo ang buong pag-unlad. Unang ilang miyembro:

40,0073, 36,2346, 32,8177, 29,7230, ...

Dapat tandaan na kapag nagsasagawa ng mga kalkulasyon, ginamit ang pag-ikot sa 4 na decimal na lugar.

Paghahanap ng hindi kilalang miyembro ng isang serye

Ngayon ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang ng isa pang halimbawa: ito ay kilala na ang ikapitong elemento ng serye ay 27, na kung saan ay ang ikalabintatlong termino kung ang denominator r \u003d -2. Paano malutas ang isang geometric na pag-unlad gamit ang data na ito? Napakasimple, kailangan mong isulat ang formula para sa ika-7 elemento:

Dahil ang numerong a 1 lamang ang hindi alam sa pagkakapantay-pantay na ito, ipahayag ito:

Gamitin ang huling equation sa pamamagitan ng pagpapalit nito sa formula para sa ika-13 terminong gusto mong hanapin. Kunin:

a 13 = a 1 *r 12 = a 7 *r -6 *r 12 = a 7 *r 6 .

Ito ay nananatiling palitan ang mga numero at isulat ang sagot:

isang 13 \u003d isang 7 * r 6 \u003d 27 * (-2) 6 \u003d 1728.

Ipinapakita ng resultang numero kung gaano kabilis ang paglaki ng geometric na pag-unlad.

Gawain para sa kabuuan

Ang huling gawain, na nagpapakita ng tanong kung paano malutas ang isang geometric na pag-unlad, ay nauugnay sa paghahanap ng kabuuan ng ilang mga elemento. Hayaan ang isang 1 \u003d 1.5, r \u003d 2. Ang kabuuan ng mga tuntunin ng seryeng ito ay dapat kalkulahin, simula sa ika-5 at nagtatapos sa ika-10.

Upang makuha ang sagot sa tanong na ibinigay, dapat mong ilapat ang formula:

Iyon ay, kailangan mo munang hanapin ang kabuuan ng 10 elemento, pagkatapos ay ang kabuuan ng unang 4 at ibawas ang mga ito sa kanilang sarili. Kasunod ng tinukoy na algorithm, lalabas ito:

S 10 \u003d a 1 * (r n -1) / (r-1) \u003d 1.5 * (2 10 -1) / (2-1) \u003d 1534.5;

S 4 \u003d a 1 * (r n -1) / (r-1) \u003d 1.5 * (2 4 -1) / (2-1) \u003d 22.5;

S 5 10 \u003d 1534.5 - 22.5 \u003d 1512.

Kapansin-pansin na sa pangwakas na pormula, ang kabuuan ng eksaktong 4 na termino ay ibinawas, dahil ang ikalimang, ayon sa kondisyon ng problema, ay dapat lumahok sa kabuuan.