Ngunit maraming natural na numero ang pantay na nahahati ng iba pang natural na numero.

Halimbawa:

Ang bilang na 12 ay nahahati ng 1, ng 2, ng 3, ng 4, ng 6, ng 12;

Ang bilang na 36 ay nahahati ng 1, ng 2, ng 3, ng 4, ng 6, ng 12, ng 18, ng 36.

Ang mga numero kung saan ang numero ay nahahati (para sa 12 ito ay 1, 2, 3, 4, 6 at 12) ay tinatawag mga divisors ng numero. Divisor ng isang natural na numero a ay ang natural na numero na naghahati sa ibinigay na numero a walang bakas. Ang isang natural na numero na may higit sa dalawang mga kadahilanan ay tinatawag pinagsama-sama .

Tandaan na ang mga numero 12 at 36 ay may mga karaniwang divisors. Ito ang mga numero: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ang pinakamalaking divisor ng mga numerong ito ay 12. Ang karaniwang divisor ng dalawang numerong ito a at b ay ang bilang kung saan ang parehong ibinigay na mga numero ay nahahati nang walang natitira a at b.

karaniwang maramihan ilang mga numero ang tinatawag na bilang na nahahati sa bawat isa sa mga numerong ito. Halimbawa, ang mga numerong 9, 18 at 45 ay may common multiple na 180. Ngunit 90 at 360 din ang kanilang common multiple. Sa lahat ng jcommon multiples, palaging may pinakamaliit, sa kasong ito ito ay 90. Ang numerong ito ay tinatawag hindi bababa sacommon multiple (LCM).

Ang LCM ay palaging isang natural na numero, na dapat na mas malaki kaysa sa pinakamalaki sa mga numero kung saan ito tinukoy.

Least common multiple (LCM). Ari-arian.

Commutativity:

Pagkakaisa:

Sa partikular, kung at mga coprime na numero , kung gayon:

Hindi bababa sa karaniwang maramihang ng dalawang integer m at n ay isang divisor ng lahat ng iba pang common multiples m at n. Bukod dito, ang hanay ng mga karaniwang multiple m,n tumutugma sa hanay ng mga multiple para sa LCM( m,n).

Ang mga asymptotics para sa ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng ilang mga function ng number-theoretic.

Kaya, Pag-andar ng Chebyshev. Pati na rin ang:

Ito ay sumusunod mula sa kahulugan at mga katangian ng Landau function g(n).

Ano ang sumusunod mula sa batas ng pamamahagi ng mga prime number.

Paghahanap ng least common multiple (LCM).

NOC( a, b) ay maaaring kalkulahin sa maraming paraan:

1. Kung kilala ang pinakamalaking karaniwang divisor, maaari mong gamitin ang kaugnayan nito sa LCM:

2. Hayaang malaman ang canonical decomposition ng parehong mga numero sa prime factor:

saan p 1 ,...,p k ay iba't ibang prime number, at d 1 ,...,d k at e 1 ,...,ek ay mga di-negatibong integer (maaari silang maging zero kung ang kaukulang prime ay wala sa decomposition).

Pagkatapos LCM ( a,b) ay kinakalkula ng formula:

Sa madaling salita, ang pagpapalawak ng LCM ay naglalaman ng lahat ng pangunahing salik na kasama sa kahit isa sa mga pagpapalawak ng numero a, b, at ang pinakamalaki sa dalawang exponent ng salik na ito ay kinuha.

Halimbawa:

Ang pagkalkula ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng ilang numero ay maaaring bawasan sa ilang sunud-sunod na kalkulasyon ng LCM ng dalawang numero:

Panuntunan. Upang mahanap ang LCM ng isang serye ng mga numero, kailangan mo:

- mabulok ang mga numero sa pangunahing mga kadahilanan;

- ilipat ang pinakamalaking pagpapalawak sa mga kadahilanan ng nais na produkto (ang produkto ng mga kadahilanan ng pinakamalaking bilang ng mga ibinigay), at pagkatapos ay magdagdag ng mga kadahilanan mula sa pagpapalawak ng iba pang mga numero na hindi nangyayari sa unang numero o nasa loob nito isang mas maliit na bilang ng mga beses;

- ang magreresultang produkto ng prime factor ay ang LCM ng mga ibinigay na numero.

Anumang dalawa o higit pang mga natural na numero ay may sariling LCM. Kung ang mga numero ay hindi multiple ng bawat isa o walang parehong mga salik sa pagpapalawak, ang kanilang LCM ay katumbas ng produkto ng mga numerong ito.

Ang mga pangunahing salik ng numerong 28 (2, 2, 7) ay dinagdagan ng salik na 3 (ang numero 21), ang resultang produkto (84) ang magiging pinakamaliit na bilang na mahahati ng 21 at 28.

Ang mga pangunahing kadahilanan ng pinakamalaking bilang 30 ay dinagdagan ng isang kadahilanan na 5 ng bilang 25, ang nagresultang produkto 150 ay mas malaki kaysa sa pinakamalaking bilang 30 at nahahati sa lahat ng ibinigay na mga numero nang walang natitira. Ito ang pinakamaliit na posibleng produkto (150, 250, 300...) na ang lahat ng ibinigay na numero ay multiple.

Ang mga numerong 2,3,11,37 ay prime, kaya ang kanilang LCM ay katumbas ng produkto ng mga ibinigay na numero.

tuntunin. Upang kalkulahin ang LCM ng mga prime number, kailangan mong i-multiply ang lahat ng mga numerong ito nang magkasama.

Iba pang Pagpipilian:

Para mahanap ang least common multiple (LCM) ng ilang numero kailangan mo:

1) kinakatawan ang bawat numero bilang produkto ng mga pangunahing salik nito, halimbawa:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) isulat ang mga kapangyarihan ng lahat ng pangunahing mga kadahilanan:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) isulat ang lahat ng prime divisors (multipliers) ng bawat isa sa mga numerong ito;

4) piliin ang pinakamalaking antas ng bawat isa sa kanila, na makikita sa lahat ng pagpapalawak ng mga numerong ito;

5) paramihin ang mga kapangyarihang ito.

Halimbawa. Hanapin ang LCM ng mga numero: 168, 180 at 3024.

Desisyon. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Isinulat namin ang pinakamalaking kapangyarihan ng lahat ng pangunahing divisors at i-multiply ang mga ito:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Ngunit maraming natural na numero ang pantay na nahahati ng iba pang natural na numero.

Halimbawa:

Ang bilang na 12 ay nahahati ng 1, ng 2, ng 3, ng 4, ng 6, ng 12;

Ang bilang na 36 ay nahahati ng 1, ng 2, ng 3, ng 4, ng 6, ng 12, ng 18, ng 36.

Ang mga numero kung saan ang numero ay nahahati (para sa 12 ito ay 1, 2, 3, 4, 6 at 12) ay tinatawag mga divisors ng numero. Divisor ng isang natural na numero a ay ang natural na numero na naghahati sa ibinigay na numero a walang bakas. Ang isang natural na numero na may higit sa dalawang mga kadahilanan ay tinatawag pinagsama-sama .

Tandaan na ang mga numero 12 at 36 ay may mga karaniwang divisors. Ito ang mga numero: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ang pinakamalaking divisor ng mga numerong ito ay 12. Ang karaniwang divisor ng dalawang numerong ito a at b ay ang bilang kung saan ang parehong ibinigay na mga numero ay nahahati nang walang natitira a at b.

karaniwang maramihan ilang mga numero ang tinatawag na bilang na nahahati sa bawat isa sa mga numerong ito. Halimbawa, ang mga numerong 9, 18 at 45 ay may common multiple na 180. Ngunit 90 at 360 din ang kanilang common multiple. Sa lahat ng jcommon multiples, palaging may pinakamaliit, sa kasong ito ito ay 90. Ang numerong ito ay tinatawag hindi bababa sacommon multiple (LCM).

Ang LCM ay palaging isang natural na numero, na dapat na mas malaki kaysa sa pinakamalaki sa mga numero kung saan ito tinukoy.

Least common multiple (LCM). Ari-arian.

Commutativity:

Pagkakaisa:

Sa partikular, kung at mga coprime na numero , kung gayon:

Hindi bababa sa karaniwang maramihang ng dalawang integer m at n ay isang divisor ng lahat ng iba pang common multiples m at n. Bukod dito, ang hanay ng mga karaniwang multiple m,n tumutugma sa hanay ng mga multiple para sa LCM( m,n).

Ang mga asymptotics para sa ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng ilang mga function ng number-theoretic.

Kaya, Pag-andar ng Chebyshev. Pati na rin ang:

Ito ay sumusunod mula sa kahulugan at mga katangian ng Landau function g(n).

Ano ang sumusunod mula sa batas ng pamamahagi ng mga prime number.

Paghahanap ng least common multiple (LCM).

NOC( a, b) ay maaaring kalkulahin sa maraming paraan:

1. Kung kilala ang pinakamalaking karaniwang divisor, maaari mong gamitin ang kaugnayan nito sa LCM:

2. Hayaang malaman ang canonical decomposition ng parehong mga numero sa prime factor:

saan p 1 ,...,p k ay iba't ibang prime number, at d 1 ,...,d k at e 1 ,...,ek ay mga di-negatibong integer (maaari silang maging zero kung ang kaukulang prime ay wala sa decomposition).

Pagkatapos LCM ( a,b) ay kinakalkula ng formula:

Sa madaling salita, ang pagpapalawak ng LCM ay naglalaman ng lahat ng pangunahing salik na kasama sa kahit isa sa mga pagpapalawak ng numero a, b, at ang pinakamalaki sa dalawang exponent ng salik na ito ay kinuha.

Halimbawa:

Ang pagkalkula ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng ilang numero ay maaaring bawasan sa ilang sunud-sunod na kalkulasyon ng LCM ng dalawang numero:

Panuntunan. Upang mahanap ang LCM ng isang serye ng mga numero, kailangan mo:

- mabulok ang mga numero sa pangunahing mga kadahilanan;

- ilipat ang pinakamalaking pagpapalawak sa mga kadahilanan ng nais na produkto (ang produkto ng mga kadahilanan ng pinakamalaking bilang ng mga ibinigay), at pagkatapos ay magdagdag ng mga kadahilanan mula sa pagpapalawak ng iba pang mga numero na hindi nangyayari sa unang numero o nasa loob nito isang mas maliit na bilang ng mga beses;

- ang magreresultang produkto ng prime factor ay ang LCM ng mga ibinigay na numero.

Anumang dalawa o higit pang mga natural na numero ay may sariling LCM. Kung ang mga numero ay hindi multiple ng bawat isa o walang parehong mga salik sa pagpapalawak, ang kanilang LCM ay katumbas ng produkto ng mga numerong ito.

Ang mga pangunahing salik ng numerong 28 (2, 2, 7) ay dinagdagan ng salik na 3 (ang numero 21), ang resultang produkto (84) ang magiging pinakamaliit na bilang na mahahati ng 21 at 28.

Ang mga pangunahing kadahilanan ng pinakamalaking bilang 30 ay dinagdagan ng isang kadahilanan na 5 ng bilang 25, ang nagresultang produkto 150 ay mas malaki kaysa sa pinakamalaking bilang 30 at nahahati sa lahat ng ibinigay na mga numero nang walang natitira. Ito ang pinakamaliit na posibleng produkto (150, 250, 300...) na ang lahat ng ibinigay na numero ay multiple.

Ang mga numerong 2,3,11,37 ay prime, kaya ang kanilang LCM ay katumbas ng produkto ng mga ibinigay na numero.

tuntunin. Upang kalkulahin ang LCM ng mga prime number, kailangan mong i-multiply ang lahat ng mga numerong ito nang magkasama.

Iba pang Pagpipilian:

Para mahanap ang least common multiple (LCM) ng ilang numero kailangan mo:

1) kinakatawan ang bawat numero bilang produkto ng mga pangunahing salik nito, halimbawa:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) isulat ang mga kapangyarihan ng lahat ng pangunahing mga kadahilanan:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) isulat ang lahat ng prime divisors (multipliers) ng bawat isa sa mga numerong ito;

4) piliin ang pinakamalaking antas ng bawat isa sa kanila, na makikita sa lahat ng pagpapalawak ng mga numerong ito;

5) paramihin ang mga kapangyarihang ito.

Halimbawa. Hanapin ang LCM ng mga numero: 168, 180 at 3024.

Desisyon. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Isinulat namin ang pinakamalaking kapangyarihan ng lahat ng pangunahing divisors at i-multiply ang mga ito:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Paghahanap ng least common multiple (LCM) at ang greatest common divisor (GCD) ng mga natural na numero.

	2						5
	2						5
	3						3
	5

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Isinulat namin ang mga salik na kasama sa pagpapalawak ng una sa mga numerong ito at idinaragdag sa kanila ang nawawalang salik 5 mula sa pagpapalawak ng pangalawang numero. Nakukuha namin ang: 2*2*3*5*5=300. Natagpuan ang NOC, i.e. ang kabuuan na ito = 300. Huwag kalimutan ang sukat at isulat ang sagot:
Sagot: Ang nanay ay nagbibigay ng 300 rubles bawat isa.

Kahulugan ng GCD: Greatest Common Divisor (GCD) natural na mga numero a at sa pangalanan ang pinakamalaking natural na bilang c, kung saan at a, at b hinati nang walang natitira. Yung. c ay ang pinakamaliit na natural na bilang kung saan at a at b ay maramihan.

Paalala: Mayroong dalawang mga diskarte sa kahulugan ng mga natural na numero

• mga numerong ginamit sa: enumeration (numbering) ng mga item (una, pangalawa, pangatlo, ...); - sa mga paaralan, kadalasan.
• na nagpapahiwatig ng bilang ng mga item (walang pokemon - zero, isang pokemon, dalawang pokemon, ...).

Ang mga negatibo at hindi integer (makatuwiran, totoo, ...) na mga numero ay hindi natural. Ang ilang mga may-akda ay nagsasama ng zero sa hanay ng mga natural na numero, ang iba ay hindi. Ang hanay ng lahat ng mga natural na numero ay karaniwang tinutukoy ng simbolo N

Paalala: Divisor ng isang natural na numero a tawagan ang numero b, kung saan a hinati nang walang natitira. Maramihang natural na numero b tinatawag na natural na numero a, na hinahati ng b walang bakas. Kung numero b- divisor ng numero a, pagkatapos a maramihan ng b. Halimbawa: Ang 2 ay isang divisor ng 4 at ang 4 ay isang multiple ng 2. Ang 3 ay isang divisor ng 12, at ang 12 ay isang multiple ng 3.
Paalala: Ang mga natural na numero ay tinatawag na prime kung sila ay nahahati nang walang natitira lamang sa kanilang mga sarili at sa pamamagitan ng 1. Ang Coprime ay mga numero na mayroon lamang isang karaniwang divisor na katumbas ng 1.

Kahulugan ng kung paano hanapin ang GCD sa pangkalahatang kaso: Para mahanap ang GCD (Greatest Common Divisor) Maraming mga natural na numero ang kailangan:
1) I-decompose ang mga ito sa pangunahing mga kadahilanan. (Ang Prime Number Chart ay maaaring maging kapaki-pakinabang para dito.)
2) Isulat ang mga salik na kasama sa pagpapalawak ng isa sa mga ito.
3) Tanggalin ang mga hindi kasama sa pagpapalawak ng natitirang mga numero.
4) I-multiply ang mga salik na nakuha sa talata 3).

Gawain 2 sa (NOK): Sa bagong taon, bumili si Kolya Puzatov ng 48 hamster at 36 na kaldero ng kape sa lungsod. Si Fekla Dormidontova, bilang pinakatapat na batang babae sa klase, ay binigyan ng gawaing hatiin ang ari-arian na ito sa pinakamalaking posibleng bilang ng mga set ng regalo para sa mga guro. Ano ang bilang ng mga hanay? Ano ang komposisyon ng mga set?

Halimbawa 2.1. paglutas ng problema sa paghahanap ng GCD. Paghahanap ng GCD sa pamamagitan ng pagpili.
Desisyon: Ang bawat isa sa mga numero 48 at 36 ay dapat na mahahati sa bilang ng mga regalo.
1) Isulat ang mga divisors 48: 48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) Isulat ang mga paghahati 36:36, 18, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 Piliin ang pinakamalaking karaniwang divisor. Op-la-la! Natagpuan, ito ang bilang ng mga hanay ng 12 piraso.
3) Hatiin ang 48 sa 12, makakakuha tayo ng 4, hatiin ang 36 sa 12, makuha natin ang 3. Huwag kalimutan ang dimensyon at isulat ang sagot:
Sagot: Makakakuha ka ng 12 set ng 4 na hamster at 3 coffee pot sa bawat set.

Ang multiple ng isang numero ay isang numero na nahahati sa isang naibigay na numero nang walang natitira. Ang least common multiple (LCM) ng isang pangkat ng mga numero ay ang pinakamaliit na bilang na pantay na nahahati ng bawat numero sa pangkat. Upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang, kailangan mong hanapin ang mga pangunahing kadahilanan ng mga ibinigay na numero. Gayundin, maaaring kalkulahin ang LCM gamit ang ilang iba pang mga pamamaraan na naaangkop sa mga pangkat ng dalawa o higit pang mga numero.

Mga hakbang

Isang bilang ng mga multiple

Tingnan ang mga numerong ito. Ang pamamaraang inilarawan dito ay pinakamahusay na ginagamit kapag binigyan ng dalawang numero na parehong mas mababa sa 10. Kung malalaking numero ang ibinigay, gumamit ng ibang paraan.

• Halimbawa, hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero 5 at 8. Ito ay maliliit na numero, kaya maaaring gamitin ang paraang ito.

1. Ang multiple ng isang numero ay isang numero na nahahati sa isang naibigay na numero nang walang natitira. Maramihang mga numero ay matatagpuan sa multiplication table.

   • Halimbawa, ang mga numero na multiple ng 5 ay: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Isulat ang isang serye ng mga numero na multiple ng unang numero. Gawin ito sa ilalim ng multiple ng unang numero upang paghambingin ang dalawang hanay ng mga numero.

   • Halimbawa, ang mga numero na multiple ng 8 ay: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, at 64.

3. Hanapin ang pinakamaliit na numero na lumilitaw sa parehong serye ng mga multiple. Maaaring kailanganin mong magsulat ng mahabang serye ng mga multiple upang mahanap ang kabuuan. Ang pinakamaliit na numero na lumilitaw sa parehong serye ng mga multiple ay ang hindi bababa sa karaniwang maramihang.

   • Halimbawa, ang pinakamaliit na numero na lumilitaw sa serye ng mga multiple ng 5 at 8 ay 40. Samakatuwid, ang 40 ay ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng 5 at 8.

   Prime factorization

   1. Tingnan ang mga numerong ito. Ang pamamaraang inilarawan dito ay pinakamahusay na ginagamit kapag binigyan ng dalawang numero na parehong mas malaki sa 10. Kung mas maliit na mga numero ang ibinigay, gumamit ng ibang paraan.

      • Halimbawa, hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero 20 at 84. Ang bawat isa sa mga numero ay mas malaki sa 10, kaya maaaring gamitin ang paraang ito.

   2. I-factor ang unang numero. Iyon ay, kailangan mong hanapin ang gayong mga prime number, kapag pinarami, makakakuha ka ng isang naibigay na numero. Kapag natagpuan ang pangunahing mga kadahilanan, isulat ang mga ito bilang isang pagkakapantay-pantay.

      • Halimbawa, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) at 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Kaya, ang mga pangunahing kadahilanan ng bilang 20 ay ang mga numero 2, 2 at 5. Isulat ang mga ito bilang isang expression: .

   3. I-factor ang pangalawang numero sa prime factor. Gawin ito sa parehong paraan tulad ng pag-factor mo sa unang numero, iyon ay, hanapin ang mga prime number na, kapag pinarami, ay makakakuha ng numerong ito.

      • Halimbawa, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) at 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Kaya, ang mga pangunahing kadahilanan ng numero 84 ay ang mga numero 2, 7, 3 at 2. Isulat ang mga ito bilang isang expression: .

   4. Isulat ang mga salik na karaniwan sa parehong mga numero. Isulat ang mga salik bilang pagpaparami. Habang isinusulat mo ang bawat salik, i-cross out ito sa parehong mga expression (mga expression na naglalarawan sa decomposition ng mga numero sa prime factor).

      • Halimbawa, ang karaniwang kadahilanan para sa parehong mga numero ay 2, kaya isulat 2 × (\displaystyle 2\beses ) at ekis ang 2 sa parehong expression.
      • Ang karaniwang kadahilanan para sa parehong mga numero ay isa pang kadahilanan ng 2, kaya sumulat 2 × 2 (\displaystyle 2\beses 2) at ekis ang pangalawang 2 sa parehong mga expression.

   5. Idagdag ang natitirang mga kadahilanan sa pagpaparami. Ito ang mga salik na hindi natatanggal sa parehong mga expression, iyon ay, mga salik na hindi karaniwan sa parehong mga numero.

      • Halimbawa, sa expression 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\beses 2\beses 5) parehong dalawa (2) ang ekis dahil sila ay karaniwang mga kadahilanan. Ang kadahilanan 5 ay hindi na-cross out, kaya isulat ang pagpaparami ng operasyon tulad ng sumusunod: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\beses 2\beses 5)
      • Sa ekspresyon 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\beses 7\beses 3\beses 2) parehong deuces (2) ay ekis din. Ang mga salik 7 at 3 ay hindi natatanggal, kaya isulat ang pagpaparami bilang sumusunod: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\beses 2\beses 5\beses 7\beses 3).

   6. Kalkulahin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang. Upang gawin ito, i-multiply ang mga numero sa nakasulat na multiplication operation.

      • Halimbawa, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\beses 2\beses 5\beses 7\beses 3=420). Kaya ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng 20 at 84 ay 420.

   Paghahanap ng mga karaniwang divisors

   1. Gumuhit ng grid tulad ng gagawin mo para sa isang laro ng tic-tac-toe. Ang nasabing grid ay binubuo ng dalawang parallel na linya na nagsa-intersect (sa tamang mga anggulo) sa dalawang iba pang parallel na linya. Magreresulta ito sa tatlong row at tatlong column (ang grid ay kamukha ng # sign). Isulat ang unang numero sa unang hanay at ikalawang hanay. Isulat ang pangalawang numero sa unang hanay at ikatlong hanay.

      • Halimbawa, hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng 18 at 30. Isulat ang 18 sa unang hanay at ikalawang hanay, at isulat ang 30 sa unang hanay at ikatlong hanay.

   2. Hanapin ang divisor na karaniwan sa parehong mga numero. Isulat ito sa unang hanay at unang hanay. Mas mainam na maghanap ng mga pangunahing divisors, ngunit hindi ito isang kinakailangan.

      • Halimbawa, ang 18 at 30 ay mga numerong pantay, kaya ang kanilang karaniwang divisor ay 2. Kaya't isulat ang 2 sa unang hanay at unang hanay.

   3. Hatiin ang bawat numero sa unang divisor. Isulat ang bawat quotient sa ilalim ng katumbas na numero. Ang quotient ay ang resulta ng paghahati ng dalawang numero.

      • Halimbawa, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), kaya sumulat ng 9 sa ilalim ng 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), kaya sumulat ng 15 sa ilalim ng 30.

   4. Maghanap ng divisor na karaniwan sa parehong quotient. Kung walang ganoong divisor, laktawan ang susunod na dalawang hakbang. Kung hindi, isulat ang divisor sa ikalawang hanay at unang hanay.

      • Halimbawa, ang 9 at 15 ay nahahati sa 3, kaya isulat ang 3 sa pangalawang hanay at unang hanay.

   5. Hatiin ang bawat quotient sa pangalawang divisor. Isulat ang bawat resulta ng paghahati sa ilalim ng katumbas na quotient.

      • Halimbawa, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), kaya sumulat ng 3 sa ilalim ng 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), kaya sumulat ng 5 sa ilalim ng 15.

   6. Kung kinakailangan, dagdagan ang grid na may karagdagang mga cell. Ulitin ang mga hakbang sa itaas hanggang sa magkaroon ng karaniwang divisor ang mga quotient.

   7. Bilugan ang mga numero sa unang hanay at huling hilera ng grid. Pagkatapos ay isulat ang mga naka-highlight na numero bilang isang multiplication operation.

      • Halimbawa, ang mga numero 2 at 3 ay nasa unang hanay, at ang mga numero 3 at 5 ay nasa huling hilera, kaya't isulat ang pagpaparami nang ganito: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\beses 3\beses 3\beses 5).

   8. Hanapin ang resulta ng pagpaparami ng mga numero. Kakalkulahin nito ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang ibinigay na numero.

      • Halimbawa, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\beses 3\beses 3\beses 5=90). Kaya ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng 18 at 30 ay 90.

   Ang algorithm ni Euclid

   1. Alalahanin ang terminolohiya na nauugnay sa operasyon ng paghahati. Ang dibidendo ay ang bilang na hinahati. Ang divisor ay ang numero kung saan hahatiin. Ang quotient ay ang resulta ng paghahati ng dalawang numero. Ang natitira ay ang numerong natitira kapag hinati ang dalawang numero.

      • Halimbawa, sa expression 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) magpahinga. 3:
        15 ang mahahati
        6 ang divisor
        2 ay pribado
        3 ang natitira.

Upang maunawaan kung paano kalkulahin ang LCM, dapat mo munang matukoy ang kahulugan ng terminong "marami".

Ang multiple ng A ay isang natural na numero na nahahati sa A nang walang natitira. Kaya, ang 15, 20, 25, at iba pa ay maaaring ituring na multiple ng 5.

Maaaring may limitadong bilang ng mga divisors ng isang partikular na numero, ngunit mayroong walang katapusang bilang ng mga multiple.

Ang karaniwang multiple ng mga natural na numero ay isang numero na nahahati ng mga ito nang walang natitira.

Paano mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang mga numero

Ang least common multiple (LCM) ng mga numero (dalawa, tatlo o higit pa) ay ang pinakamaliit na natural na numero na pantay na nahahati sa lahat ng numerong ito.

Upang mahanap ang NOC, maaari kang gumamit ng ilang mga pamamaraan.

Para sa maliliit na numero, madaling isulat sa isang linya ang lahat ng multiple ng mga numerong ito hanggang sa matagpuan ang isang karaniwan sa kanila. Ang mga multiple ay tinutukoy sa talaan na may malaking titik K.

Halimbawa, ang mga multiple ng 4 ay maaaring isulat ng ganito:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Kaya, makikita mo na ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero 4 at 6 ay ang numero 24. Ang entry na ito ay ginanap bilang mga sumusunod:

LCM(4, 6) = 24

Kung ang mga numero ay malaki, hanapin ang karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero, pagkatapos ay mas mahusay na gumamit ng ibang paraan upang makalkula ang LCM.

Upang makumpleto ang gawain, kinakailangan upang mabulok ang mga iminungkahing numero sa mga pangunahing kadahilanan.

Una kailangan mong isulat ang pagpapalawak ng pinakamalaking ng mga numero sa isang linya, at sa ibaba nito - ang natitira.

Sa pagpapalawak ng bawat numero, maaaring mayroong ibang bilang ng mga salik.

Halimbawa, i-factor natin ang mga numerong 50 at 20 sa prime factor.

Sa pagpapalawak ng mas maliit na bilang, dapat isalungguhitan ang mga salik na nawawala sa pagpapalawak ng unang pinakamalaking bilang, at pagkatapos ay idagdag ang mga ito dito. Sa ipinakita na halimbawa, isang deuce ang nawawala.

Ngayon ay maaari nating kalkulahin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng 20 at 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Kaya, ang produkto ng prime factor ng mas malaking bilang at ang mga factor ng pangalawang numero, na hindi kasama sa decomposition ng mas malaking numero, ay ang pinakamaliit na common multiple.

Upang mahanap ang LCM ng tatlo o higit pang mga numero, lahat ng mga ito ay dapat na mabulok sa mga pangunahing kadahilanan, tulad ng sa nakaraang kaso.

Bilang halimbawa, mahahanap mo ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Kaya, dalawang deuces lamang mula sa decomposition ng labing-anim ang hindi kasama sa factorization ng isang mas malaking bilang (isa ay nasa decomposition ng dalawampu't apat).

Kaya, kailangan nilang idagdag sa pagkabulok ng isang mas malaking bilang.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

May mga espesyal na kaso ng pagtukoy ng hindi bababa sa karaniwang maramihang. Kaya, kung ang isa sa mga numero ay maaaring hatiin nang walang natitira sa isa pa, kung gayon ang mas malaki sa mga numerong ito ay ang hindi bababa sa karaniwang maramihang.

Halimbawa, ang mga NOC ng labindalawa at dalawampu't apat ay magiging dalawampu't apat.

Kung kinakailangan upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero ng coprime na walang parehong divisors, kung gayon ang kanilang LCM ay magiging katumbas ng kanilang produkto.

Halimbawa, LCM(10, 11) = 110.