Ang pagtaas sa negatibong kapangyarihan ay isa sa mga pangunahing elemento ng matematika, na kadalasang kinakaharap sa paglutas ng mga problema sa algebraic. Nasa ibaba ang isang detalyadong tagubilin.

Paano itaas sa isang negatibong kapangyarihan - teorya

Kapag kinuha namin ang isang numero sa karaniwang kapangyarihan, pinarami namin ang halaga nito nang maraming beses. Halimbawa, 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. Sa isang negatibong bahagi, ang kabaligtaran ay totoo. Ang pangkalahatang anyo ayon sa formula ay ang mga sumusunod: a -n = 1/a n . Kaya, upang itaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan, kailangan mong hatiin ang isa sa ibinigay na numero, ngunit na sa isang positibong kapangyarihan.

Paano itaas sa isang negatibong kapangyarihan - mga halimbawa sa mga ordinaryong numero

Sa pag-iisip sa tuntunin sa itaas, lutasin natin ang ilang halimbawa.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Sagot: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Ang sagot ay -4 -2 = 1/16.

Ngunit bakit pareho ang sagot sa una at pangalawang halimbawa? Ang katotohanan ay kapag ang isang negatibong numero ay itinaas sa pantay na kapangyarihan (2, 4, 6, atbp.), ang tanda ay nagiging positibo. Kung ang antas ay pantay, kung gayon ang minus ay napanatili:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Paano itaas sa isang negatibong kapangyarihan - mga numero mula 0 hanggang 1

Alalahanin na kapag ang isang numero sa pagitan ng 0 at 1 ay itinaas sa isang positibong kapangyarihan, ang halaga ay bumababa habang tumataas ang kapangyarihan. Kaya halimbawa, 0.5 2 = 0.25. 0.25

Halimbawa 3: Kalkulahin ang 0.5 -2
Solusyon: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Sagot: 0.5 -2 = 4

Pag-parse (pagkakasunod-sunod ng mga aksyon):

• Kino-convert namin ang decimal fraction na 0.5 sa isang fractional na 1/2. Mas madali.
  Itaas ang 1/2 sa isang negatibong kapangyarihan. 1/(2) -2 . Hatiin ang 1 sa 1/(2) 2 , makuha natin ang 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Halimbawa 4: Kalkulahin ang 0.5 -3
Solusyon: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Halimbawa 5: Kalkulahin -0.5 -3
Solusyon: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Sagot: -0.5 -3 = -8

Batay sa ika-4 at ika-5 na halimbawa, gagawa tayo ng ilang konklusyon:

• Para sa isang positibong numero sa hanay mula 0 hanggang 1 (halimbawa 4), itinaas sa isang negatibong kapangyarihan, ang kahit o kakaibang antas ay hindi mahalaga, ang halaga ng expression ay magiging positibo. Sa kasong ito, mas malaki ang antas, mas malaki ang halaga.
• Para sa isang negatibong numero sa pagitan ng 0 at 1 (halimbawa 5), ​​itinaas sa isang negatibong kapangyarihan, kahit na ang kapangyarihan ay kahit o kakaiba, ang halaga ng expression ay magiging negatibo. Sa kasong ito, mas mataas ang antas, mas mababa ang halaga.

Paano itaas sa isang negatibong kapangyarihan - ang kapangyarihan bilang isang fractional na numero

Ang mga expression ng ganitong uri ay may sumusunod na anyo: a -m/n , kung saan ang a ay isang ordinaryong numero, m ang numerator ng degree, n ang denominator ng degree.

Isaalang-alang ang isang halimbawa:
Kalkulahin: 8 -1/3

Solusyon (pagkakasunod-sunod ng mga aksyon):

• Alalahanin ang panuntunan para sa pagtaas ng isang numero sa isang negatibong kapangyarihan. Nakukuha natin ang: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 .
• Tandaan na ang denominator ay 8 sa isang fractional na kapangyarihan. Ang pangkalahatang anyo ng pagkalkula ng fractional degree ay ang mga sumusunod: a m/n = n √8 m .
• Kaya, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Nakukuha natin ang cube root ng walo, na 2. Batay dito, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Sagot: 8 -1/3 = 2

Mula sa paaralan, alam nating lahat ang panuntunan tungkol sa pagtaas sa isang kapangyarihan: anumang numero na may exponent N ay katumbas ng resulta ng pagpaparami ng numerong ito sa sarili nitong N beses. Sa madaling salita, ang 7 sa kapangyarihan ng 3 ay 7 na pinarami ng sarili nitong tatlong beses, iyon ay, 343. Ang isa pang tuntunin - ang pagtaas ng anumang halaga sa kapangyarihan ng 0 ay nagbibigay ng isa, at ang pagtaas ng negatibong halaga ay ang resulta ng ordinaryong exponentiation, kung ito ay pantay, at ang parehong resulta na may minus sign kung ito ay kakaiba.

Ang mga patakaran ay nagbibigay din ng sagot sa kung paano itaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan. Upang gawin ito, kailangan mong itaas ang kinakailangang halaga ng module ng indicator sa karaniwang paraan, at pagkatapos ay hatiin ang yunit sa resulta.

Mula sa mga patakarang ito, nagiging malinaw na ang pagpapatupad ng mga tunay na gawain na may malalaking dami ay mangangailangan ng pagkakaroon ng mga teknikal na paraan. Manu-manong ito ay magpaparami sa sarili nitong isang maximum na hanay ng mga numero hanggang dalawampu't tatlumpu, at pagkatapos ay hindi hihigit sa tatlo o apat na beses. Ito ay hindi banggitin ang katotohanan na pagkatapos ay hatiin din ang yunit sa resulta. Samakatuwid, para sa mga walang espesyal na calculator ng engineering, sasabihin namin sa iyo kung paano itaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan sa Excel.

Paglutas ng mga problema sa Excel

Upang malutas ang mga problema sa exponentiation, pinapayagan ka ng Excel na gumamit ng isa sa dalawang opsyon.

Ang una ay ang paggamit ng formula na may karaniwang simbolo ng cap. Ipasok ang sumusunod na data sa mga cell ng worksheet:

Sa parehong paraan, maaari mong itaas ang nais na halaga sa anumang kapangyarihan - negatibo, fractional. Gawin natin ang sumusunod at sagutin ang tanong kung paano itataas ang isang numero sa negatibong kapangyarihan. Halimbawa:

Posibleng itama nang direkta sa formula =B2^-C2.

Ang pangalawang pagpipilian ay ang paggamit ng yari na "Degree" na function, na tumatagal ng dalawang mandatoryong argumento - isang numero at isang tagapagpahiwatig. Upang simulan ang paggamit nito, sapat na upang maglagay ng pantay na tanda (=) sa anumang libreng cell, na nagpapahiwatig ng simula ng formula, at ipasok ang mga salita sa itaas. Nananatili itong pumili ng dalawang cell na lalahok sa operasyon (o manu-manong tukuyin ang mga partikular na numero), at pindutin ang Enter key. Tingnan natin ang ilang simpleng halimbawa.

			Formula	Resulta
			KAPANGYARIHAN(B2;C2)
			KAPANGYARIHAN(B3;C3)	0,002915

Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado tungkol sa kung paano itaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan at sa isang regular na numero gamit ang Excel. Pagkatapos ng lahat, upang malutas ang problemang ito, maaari mong gamitin ang parehong pamilyar na simbolo ng "takip" at ang madaling tandaan na built-in na function ng programa. Ito ay isang tiyak na plus!

Lumipat tayo sa mas kumplikadong mga halimbawa. Alalahanin natin ang panuntunan kung paano itaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan ng isang fractional na karakter, at makikita natin na ang gawaing ito ay napakasimpleng nalutas sa Excel.

Fractional indicator

Sa madaling salita, ang algorithm para sa pagkalkula ng isang numero na may fractional exponent ay ang mga sumusunod.

1. I-convert ang isang fractional exponent sa isang wasto o hindi wastong fraction.
2. Itaas ang aming numero sa numerator ng resultang na-convert na fraction.
3. Mula sa bilang na nakuha sa nakaraang talata, kalkulahin ang ugat, na may kondisyon na ang root indicator ay ang denominator ng fraction na nakuha sa unang yugto.

Sumang-ayon na kahit na gumagana sa maliit na mga numero at wastong mga fraction, ang mga naturang kalkulasyon ay maaaring tumagal ng maraming oras. Mabuti na ang spreadsheet processor na Excel ay walang pakialam kung anong numero at sa anong antas ang itataas. Subukang lutasin ang sumusunod na halimbawa sa isang worksheet ng Excel:

Gamit ang mga panuntunan sa itaas, maaari mong suriin at tiyaking tama ang pagkalkula.

Sa dulo ng aming artikulo, magbibigay kami sa anyo ng isang talahanayan na may mga formula at mga resulta ng ilang mga halimbawa kung paano itaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan, pati na rin ang ilang mga halimbawa na may mga fractional na numero at kapangyarihan.

Halimbawang talahanayan

Suriin ang Excel worksheet para sa mga sumusunod na halimbawa. Para gumana nang tama ang lahat, kailangan mong gumamit ng halo-halong sanggunian kapag kinokopya ang formula. Ayusin ang numero ng column na naglalaman ng numerong itinataas, at ang numero ng row na naglalaman ng indicator. Dapat ganito ang hitsura ng iyong formula: "=$B4^C$3".

Numero / Degree

Pakitandaan na ang mga positibong numero (kahit na hindi integer) ay kinakalkula nang walang mga problema para sa anumang mga exponent. Walang mga problema sa pagpapataas ng anumang mga numero sa mga integer. Ngunit ang pagtaas ng negatibong numero sa isang fractional na kapangyarihan ay magiging isang pagkakamali para sa iyo, dahil imposibleng sundin ang panuntunang ipinahiwatig sa simula ng aming artikulo tungkol sa pagtaas ng mga negatibong numero, dahil ang parity ay isang katangian ng isang eksklusibong numero ng INTEGER.

Isang numero na itinaas sa isang kapangyarihan tumawag sa isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses.

Kapangyarihan ng isang numero na may negatibong halaga (a - n) maaaring tukuyin sa parehong paraan tulad ng pagtukoy sa antas ng parehong numero na may positibong exponent (isang) . Gayunpaman, nangangailangan din ito ng karagdagang kahulugan. Ang formula ay tinukoy bilang:

a-n = (1 / isang n)

Ang mga katangian ng mga negatibong halaga ng mga kapangyarihan ng mga numero ay katulad ng mga kapangyarihan na may positibong exponent. Kinakatawan na Equation a m / a n = isang m-n maaaring maging patas bilang

« Wala kahit saan, tulad ng sa matematika, ang kalinawan at katumpakan ng konklusyon ay hindi nagpapahintulot sa isang tao na lumayo sa sagot sa pamamagitan ng pakikipag-usap sa paligid ng tanong.».

A. D. Alexandrov

sa n higit pa m , pati na rin ang m higit pa n . Tingnan natin ang isang halimbawa: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Una kailangan mong matukoy ang numero na gumaganap bilang isang kahulugan ng degree. b=a(-n) . Sa halimbawang ito -n ay isang tagapagpahiwatig ng antas b - ninanais na halaga ng numero, a - ang base ng degree bilang natural na numerical value. Pagkatapos ay tukuyin ang module, iyon ay, ang ganap na halaga ng isang negatibong numero, na gumaganap bilang isang exponent. Kalkulahin ang antas ng ibinigay na numero na nauugnay sa ganap na numero bilang isang tagapagpahiwatig. Ang halaga ng antas ay matatagpuan sa pamamagitan ng paghahati ng isa sa resultang numero.

kanin. isa

Isaalang-alang ang kapangyarihan ng isang numero na may negatibong fractional exponent. Isipin na ang numero a ay anumang positibong numero, ang mga numero n at m - mga integer. Sa pamamagitan ng kahulugan a , na itinataas sa kapangyarihan - katumbas ng isang hinati sa parehong numero na may positibong antas (Fig. 1). Kapag ang kapangyarihan ng isang numero ay isang fraction, kung gayon sa mga ganitong kaso ay mga numero lamang na may positibong exponent ang ginagamit.

Worth remembering na ang zero ay hindi kailanman maaaring maging isang exponent ng isang numero (ang panuntunan ng paghahati sa pamamagitan ng zero).

Ang pagkalat ng naturang konsepto bilang isang numero ay nagsimula sa mga manipulasyon gaya ng mga kalkulasyon ng pagsukat, gayundin ang pag-unlad ng matematika bilang isang agham. Ang pagpapakilala ng mga negatibong halaga ay dahil sa pagbuo ng algebra, na nagbigay ng mga pangkalahatang solusyon sa mga problema sa aritmetika, anuman ang kanilang tiyak na kahulugan at paunang numerical na data. Sa India, noong ika-6 hanggang ika-11 na siglo, ang mga negatibong halaga ng mga numero ay sistematikong ginamit sa paglutas ng mga problema at binibigyang kahulugan sa parehong paraan tulad ng ngayon. Sa agham ng Europa, nagsimulang malawakang gamitin ang mga negatibong numero salamat kay R. Descartes, na nagbigay ng geometriko na interpretasyon ng mga negatibong numero bilang mga direksyon ng mga segment. Si Descartes ang nagmungkahi na ang bilang na itinaas sa isang kapangyarihan ay ipakita bilang isang dalawang palapag na formula isang n .

Tulad ng alam mo, sa matematika mayroong hindi lamang mga positibong numero, kundi pati na rin ang mga negatibo. Kung ang kakilala sa mga positibong degree ay nagsisimula sa pagtukoy ng lugar ng isang parisukat, kung gayon sa mga negatibo ang lahat ay medyo mas kumplikado.

Dapat itong malaman:

1. Ang pagpapataas ng isang numero sa isang natural na kapangyarihan ay ang pagpaparami ng isang numero (ang konsepto ng isang numero at isang figure sa artikulo ay ituturing na katumbas) sa kanyang sarili sa halagang tulad ng exponent (sa sumusunod ay gagamitin natin ang salitang indicator sa parallel at simple). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. Sa pangkalahatan, ganito ang hitsura: m^n = m*m*m*…*m (n beses).
2. Dapat tandaan na kapag ang isang negatibong numero ay itinaas sa isang natural na kapangyarihan, ito ay magiging positibo kung ang exponent ay pantay.
3. Ang pagtaas ng isang numero sa isang exponent na 0 ay nagbibigay ng isang yunit, sa kondisyon na ito ay hindi katumbas ng zero. Ang zero sa kapangyarihan ng zero ay itinuturing na hindi natukoy. 17^0 = 1.
4. Ang pagkuha ng isang ugat ng isang tiyak na antas mula sa isang numero ay tinatawag na paghahanap ng isang numero na, kapag itinaas sa isang naaangkop na tagapagpahiwatig, ay magbibigay ng nais na halaga. Kaya ang cube root ng 125 ay 5 dahil 5^3 = 125.
5. Kung nais mong itaas ang isang numero sa isang positibong fractional power, pagkatapos ay kailangan mong itaas ang numero sa denominator at kunin ang ugat ng numerator mula dito. 6^5/7 = 7th root ng 6*6*6*6*6.
6. Kung gusto mong itaas ang isang numero sa isang negatibong exponent, kailangan mong hanapin ang kapalit ng isang ito. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.

Pagtaas ng numero sa isang negatibong power modulo mula sa zero patungo sa isa

Una, dapat nating tandaan ano ang modyul. Ito ang distansya sa linya ng coordinate mula sa halagang napili namin hanggang sa pinagmulan (zero ng linya ng coordinate). Sa pamamagitan ng kahulugan, hindi ito maaaring maging negatibo.

Halaga na higit sa zero

Sa halaga ng isang digit sa hanay mula sa zero hanggang isa, ang negatibong tagapagpahiwatig ay nagbibigay ng pagtaas sa digit mismo. Nangyayari ito dahil bumababa ang denominator, habang nananatiling positibo.

Tingnan natin ang mga halimbawa:

• 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
• 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

Bukod dito, mas malaki ang module ng indicator, mas aktibong lumalaki ang figure. Dahil ang denominator ay may posibilidad na zero, ang fraction mismo ay may posibilidad na plus infinity.

Mas mababa sa zero ang halaga

Ngayon tingnan natin kung paano itataas sa isang negatibong kapangyarihan kung ang numero ay mas mababa sa zero. Ang prinsipyo ay kapareho ng sa nakaraang bahagi, ngunit ang tanda ng exponent ay mahalaga dito.

Tingnan natin muli ang mga halimbawa:

• -19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
• -29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

Sa kasong ito, nakikita natin iyon patuloy na lumalaki ang module, ngunit ang sign ay depende sa kung ang exponent ay even o odd.

Dapat pansinin na kung tayo ay magtatayo ng isang yunit, ito ay palaging mananatili sa sarili nito. Kung kailangan mong itaas ang isang numero na minus isa, pagkatapos ay sa isang pantay na exponent ito ay magiging isa, na may isang kakaiba ay mananatiling minus isa.

Pagtaas sa isang negatibong integer na kapangyarihan kung ang modulus ay mas malaki kaysa sa isa

Para sa mga digit na ang modulus ay mas malaki kaysa sa isa, may sariling katangian ng pagkilos. Una sa lahat, kailangan mong i-convert ang buong bahagi ng fraction sa numerator, iyon ay, i-convert ito sa isang hindi tamang fraction. Kung mayroon tayong decimal fraction, dapat itong i-convert sa regular. Ginagawa ito tulad ng sumusunod:

• 6 na integer 7/17 = 109/17;
• 2,54 = 254/100.

Ngayon isaalang-alang kung paano itaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan sa ilalim ng mga kundisyong ito. Mula na sa itaas, maaari nating ipagpalagay kung ano ang dapat nating asahan mula sa resulta ng mga kalkulasyon. Dahil ang double fraction ay binabaligtad sa panahon ng pagpapasimple, ang modulus ng digit ay bababa nang mas mabilis, mas malaki ang modulus ng indicator.

Una, isaalang-alang ang sitwasyon kung saan positibo ang ibinigay na numero.

Una sa lahat, nagiging malinaw na ang huling resulta ay magiging mas malaki kaysa sa zero, dahil ang paghahati ng dalawang positibo ay palaging nagbibigay ng positibo. Muli, tingnan natin ang mga halimbawa kung paano ito ginagawa:

• 6 integer 1/20 hanggang sa minus fifth power = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0 .0001234;
• 2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

Tulad ng nakikita mo, ang mga aksyon ay hindi nagdudulot ng anumang partikular na paghihirap, at ang lahat ng aming mga paunang pagpapalagay ay naging totoo.

Ngayon ay bumaling tayo sa kaso ng isang negatibong digit.

Upang magsimula, maaari nating ipagpalagay na kung ang tagapagpahiwatig ay pantay, kung gayon ang resulta ay magiging positibo, kung ang tagapagpahiwatig ay kakaiba, kung gayon ang resulta ay magiging negatibo. Ang lahat ng aming mga nakaraang kalkulasyon sa bahaging ito ay ituturing na wasto ngayon. Tingnan natin muli ang mga halimbawa:

• -3 integer 1/2 hanggang minus ikaanim na kapangyarihan = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0.000544;
• -1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

Kaya, lahat ng aming pangangatuwiran ay naging tama.

Pagtaas sa kaso ng isang negatibong fractional exponent

Dito kailangan mong tandaan na ang gayong pagtayo ay umiiral pagkuha ng ugat ng antas ng denominator mula sa numero sa antas ng numerator. Ang lahat ng aming naunang pangangatwiran ay nananatiling totoo sa pagkakataong ito. Ipaliwanag natin ang ating mga aksyon sa isang halimbawa:

• 4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/rad(4^3) = 1/rad64 = 1/8.

Sa kasong ito, kailangan mong tandaan na ang pagkuha ng mataas na antas ng mga ugat ay posible lamang sa isang espesyal na napiling anyo at, malamang, hindi mo maalis ang tanda ng radikal (square root, cubic root, atbp.) na may tumpak na mga kalkulasyon.

Gayunpaman, nang detalyadong pag-aralan ang mga nakaraang kabanata, hindi dapat asahan ng isa ang mga paghihirap sa mga kalkulasyon ng paaralan.

Dapat tandaan na kasama rin sa paglalarawan ng kabanatang ito paninigas na may sadyang hindi makatwiran na exponent, halimbawa, kung ang indicator ay minus PI. Kailangan mong kumilos ayon sa mga prinsipyong inilarawan sa itaas. Gayunpaman, ang mga kalkulasyon sa ganitong mga kaso ay nagiging napakasalimuot na ang mga makapangyarihang elektronikong kompyuter lamang ang makakagawa nito.

Konklusyon

Ang aksyon na aming pinag-aralan ay isa sa pinakamahirap na problema sa matematika(lalo na sa kaso ng isang fractionally rational o irrational value). Gayunpaman, nang pag-aralan ang pagtuturo na ito nang detalyado at hakbang-hakbang, maaari mong matutunan kung paano gawin ito nang ganap nang awtomatiko nang walang anumang mga problema.

Mga formula ng kapangyarihan ginagamit sa proseso ng pagbabawas at pagpapasimple ng mga kumplikadong expression, sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Numero c ay isang n-ika-kapangyarihan ng isang numero a kailan:

Mga operasyon na may mga degree.

1. Ang pagpaparami ng mga degree na may parehong base, ang kanilang mga tagapagpahiwatig ay nagdaragdag:

isang ma n = a m + n .

2. Sa paghahati ng mga degree na may parehong base, ang kanilang mga tagapagpahiwatig ay ibinabawas:

3. Ang antas ng produkto ng 2 o higit pang mga salik ay katumbas ng produkto ng mga antas ng mga salik na ito:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Ang antas ng isang fraction ay katumbas ng ratio ng mga antas ng dibidendo at ang divisor:

(a/b) n = a n / b n .

5. Pagtaas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang mga exponent ay pinarami:

(am) n = a m n .

Ang bawat formula sa itaas ay tama sa mga direksyon mula kaliwa hanggang kanan at vice versa.

Halimbawa. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Mga operasyon na may mga ugat.

1. Ang ugat ng produkto ng ilang salik ay katumbas ng produkto ng mga ugat ng mga salik na ito:

2. Ang ugat ng ratio ay katumbas ng ratio ng dibidendo at ang divisor ng mga ugat:

3. Kapag itinaas ang isang ugat sa isang kapangyarihan, sapat na upang itaas ang numero ng ugat sa kapangyarihang ito:

4. Kung taasan natin ang antas ng ugat sa n sabay taas sa n Ang kapangyarihan ay isang numero ng ugat, kung gayon ang halaga ng ugat ay hindi magbabago:

5. Kung babawasan natin ang antas ng ugat sa n sabay na ugat n ika degree mula sa radikal na numero, kung gayon ang halaga ng ugat ay hindi magbabago:

Degree na may negatibong exponent. Ang antas ng isang numero na may hindi positibo (integer) na exponent ay tinukoy bilang isa na hinati sa antas ng parehong numero na may isang exponent na katumbas ng ganap na halaga ng hindi positibong exponent:

Formula isang m:a n = a m - n maaaring gamitin hindi lamang para sa m> n, ngunit din sa m< n.

Halimbawa. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Sa formula isang m:a n = a m - n naging patas sa m=n, kailangan mo ang pagkakaroon ng zero degree.

Degree na may zero exponent. Ang kapangyarihan ng anumang non-zero na numero na may zero exponent ay katumbas ng isa.

Halimbawa. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Isang degree na may fractional exponent. Upang itaas ang isang tunay na numero a sa isang antas m/n, kailangan mong kunin ang ugat n ika na antas ng m ika kapangyarihan ng numerong ito a.

Tinutulungan ka ng calculator na mabilis na itaas ang isang numero sa isang power online. Ang base ng degree ay maaaring maging anumang numero (parehong integer at tunay). Ang exponent ay maaari ding maging integer o tunay, at parehong positibo at negatibo. Dapat tandaan na para sa mga negatibong numero, ang pagtaas sa isang non-integer na kapangyarihan ay hindi tinukoy, at samakatuwid ang calculator ay mag-uulat ng isang error kung susubukan mo pa ring gawin ito.

Degree calculator

Itaas sa isang kapangyarihan

Exponentiations: 20880

Ano ang natural na kapangyarihan ng isang numero?

Ang numerong p ay tinatawag na ika-n na kapangyarihan ng numerong a kung ang p ay katumbas ng bilang na pinarami ng sarili nitong n beses: p \u003d a n \u003d a ... a
n - tinawag exponent, at ang bilang a - base ng degree.

Paano itaas ang isang numero sa isang natural na kapangyarihan?

Upang maunawaan kung paano itaas ang iba't ibang mga numero sa natural na kapangyarihan, isaalang-alang ang ilang mga halimbawa:

Halimbawa 1. Itaas ang numerong tatlo sa ikaapat na kapangyarihan. Iyon ay, kinakailangang kalkulahin ang 3 4
Desisyon: gaya ng nabanggit sa itaas, 3 4 = 3 3 3 3 = 81 .
Sagot: 3 4 = 81 .

Halimbawa 2. Itaas ang numerong lima hanggang ikalimang kapangyarihan. Iyon ay, kinakailangang kalkulahin ang 5 5
Desisyon: gayundin, 5 5 = 5 5 5 5 5 = 3125 .
Sagot: 5 5 = 3125 .

Kaya, upang itaas ang isang numero sa isang natural na kapangyarihan, ito ay sapat lamang upang i-multiply ito sa kanyang sarili ng n beses.

Ano ang negatibong kapangyarihan ng isang numero?

Ang negatibong kapangyarihan -n ng a ay isa na hinati ng a sa kapangyarihan ng n: a -n = .

Sa kasong ito, ang isang negatibong antas ay umiiral lamang para sa mga di-zero na numero, dahil kung hindi, ang paghahati sa pamamagitan ng zero ay magaganap.

Paano itaas ang isang numero sa isang negatibong integer?

Upang itaas ang isang hindi zero na numero sa isang negatibong kapangyarihan, kailangan mong kalkulahin ang halaga ng numerong ito sa parehong positibong kapangyarihan at hatiin ang isa sa resulta.

Halimbawa 1. Itaas ang numerong dalawa sa minus na pang-apat na kapangyarihan. Iyon ay, kinakailangang kalkulahin ang 2 -4

Desisyon: tulad ng nabanggit sa itaas, 2 -4 = = = 0.0625 .

Sagot: 2 -4 = 0.0625 .

Aralin at presentasyon sa paksa: "Degree na may negatibong tagapagpahiwatig. Kahulugan at mga halimbawa ng paglutas ng problema"

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, puna, mungkahi. Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang antivirus program.

Mga pantulong sa pagtuturo at simulator sa online na tindahan na "Integral" para sa grade 8
Manwal para sa aklat-aralin na Muravina G.K. Manwal para sa aklat-aralin Alimova Sh.A.

Pagtukoy sa antas na may negatibong exponent

Guys, magaling tayo sa pagpapataas ng mga numero sa isang kapangyarihan.
Halimbawa: $2^4=2*2*2*2=16$  $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.

Alam nating mabuti na ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa. $a^0=1$, $a≠0$.
Ang tanong ay lumitaw, ano ang mangyayari kung itataas mo ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan? Halimbawa, ano ang magiging katumbas ng numerong $2^(-2)$?
Ang mga unang mathematician na nagtanong sa tanong na ito ay nagpasya na hindi ito nagkakahalaga ng muling pag-imbento ng gulong, at mabuti na ang lahat ng mga katangian ng mga degree ay nananatiling pareho. Iyon ay, kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang mga exponent ay nagdaragdag.
Isaalang-alang natin ang kasong ito: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Nakuha namin na ang produkto ng naturang mga numero ay dapat magbigay ng pagkakaisa. Ang yunit sa produkto ay nakukuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga reciprocal, iyon ay, $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

Ang ganitong pangangatwiran ay humantong sa sumusunod na kahulugan.
Kahulugan. Kung ang $n$ ay isang natural na numero at $а≠0$, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay taglay: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

Isang mahalagang pagkakakilanlan na kadalasang ginagamit: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
Sa partikular, $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Mga halimbawa ng solusyon

Halimbawa 1
Kalkulahin: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.

Desisyon.
Isaalang-alang natin ang bawat termino nang hiwalay.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Nananatili itong magsagawa ng mga pagpapatakbo ng karagdagan at pagbabawas: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4)$.
Sagot: $6\frac(1)(4)$.

Halimbawa 2
Ipahayag ang ibinigay na numero bilang kapangyarihan ng isang prime number $\frac(1)(729)$.

Desisyon.
Malinaw na $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Ngunit ang 729 ay hindi isang prime number na nagtatapos sa 9. Maaari nating ipagpalagay na ang numerong ito ay isang kapangyarihan ng tatlo. Hatiin natin nang sunud-sunod ang 729 sa 3.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Nakumpleto na ang anim na operasyon, ibig sabihin: $729=3^6$.
Para sa aming gawain:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Sagot: $3^(-6)$.

Halimbawa 3. Ipahayag ang expression bilang isang kapangyarihan: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Desisyon. Ang unang operasyon ay palaging ginagawa sa loob ng mga bracket, pagkatapos ay ang multiplication $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1) )=\frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)) )=a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Sagot: $a$.

Halimbawa 4. Patunayan ang pagkakakilanlan:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 )+1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Desisyon.
Sa kaliwang bahagi, isaalang-alang ang bawat salik sa panaklong nang hiwalay.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x) )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Lumipat tayo sa fraction kung saan tayo naghahati.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Gawin natin ang paghahati.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Nakuha namin ang tamang pagkakakilanlan, na kinakailangang patunayan.

Sa pagtatapos ng aralin, isusulat namin muli ang mga patakaran para sa mga aksyon na may mga degree, dito ang exponent ay isang integer.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Mga gawain para sa malayang solusyon

1. Kalkulahin: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.
2. Kinakatawan ang ibinigay na numero bilang kapangyarihan ng isang prime number na $\frac(1)(16384)$.
3. Ipahayag ang expression bilang isang degree:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. Patunayan ang pagkakakilanlan:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.